มาทำความเข้าใจว่าวงกลมและวงกลมคืออะไร สูตรพื้นที่วงกลมและเส้นรอบวง

ทุกวันเราเจอวัตถุมากมายที่มีรูปร่างเหมือนวงกลมหรือในทางกลับกันเป็นวงกลม บางครั้งคำถามก็เกิดขึ้นว่าวงกลมคืออะไร และแตกต่างจากวงกลมอย่างไร แน่นอนว่าเราทุกคนเคยเรียนวิชาเรขาคณิตมาแล้ว แต่บางครั้งการทบทวนความรู้ด้วยคำอธิบายง่ายๆ ก็ไม่เสียหายอะไร

เส้นรอบวงและพื้นที่ของวงกลมคืออะไร: คำจำกัดความ

ดังนั้น วงกลมจึงเป็นเส้นโค้งปิดที่จำกัดหรือสร้างวงกลมในทางตรงกันข้าม ข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับวงกลมคือต้องมีจุดศูนย์กลางและจุดทั้งหมดอยู่ห่างจากวงกลมนั้นเท่ากัน พูดง่ายๆ ก็คือ วงกลมก็คือห่วงยิมนาสติก (หรือที่มักเรียกว่าฮูลาฮูป) บนพื้นผิวเรียบ

เส้นรอบวงของวงกลมคือความยาวรวมของส่วนโค้งที่ประกอบเป็นวงกลม ดังที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ไม่ว่าวงกลมจะมีขนาดใดก็ตาม อัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางและความยาวจะเท่ากับตัวเลข π = 3.141592653589793238462643

จากนี้ไป π=L/D โดยที่ L คือเส้นรอบวง และ D คือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม

หากคุณทราบเส้นผ่านศูนย์กลาง ก็จะสามารถหาความยาวได้โดยใช้สูตรง่ายๆ: L= π* D

หากทราบรัศมี: L=2 πR

เราหาได้แล้วว่าวงกลมคืออะไรและสามารถไปยังคำจำกัดความของวงกลมได้

วงกลมอยู่ รูปทรงเรขาคณิตซึ่งล้อมรอบด้วยวงกลม หรือวงกลมคือรูปร่างที่มีขอบเขตประกอบด้วย ปริมาณมากมีระยะห่างจากจุดศูนย์กลางรูปเท่ากัน พื้นที่ทั้งหมดที่อยู่ภายในวงกลมรวมทั้งจุดศูนย์กลางด้วย เรียกว่าวงกลม

เป็นที่น่าสังเกตว่าวงกลมและวงกลมที่อยู่ในนั้นมีรัศมีและเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน และเส้นผ่านศูนย์กลางก็ใหญ่เป็นสองเท่าของรัศมี

วงกลมมีพื้นที่บนระนาบ ซึ่งหาได้จากสูตรง่ายๆ ดังนี้

โดยที่ S คือพื้นที่ของวงกลม และ R คือรัศมีของวงกลม

วงกลมแตกต่างจากวงกลมอย่างไร: คำอธิบาย

ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างวงกลมกับวงกลมก็คือ วงกลมเป็นรูปทรงเรขาคณิต ในขณะที่วงกลมเป็นเส้นโค้งปิด โปรดสังเกตความแตกต่างระหว่างวงกลมและวงกลมด้วย:

  • วงกลมคือเส้นปิด และวงกลมคือพื้นที่ภายในวงกลมนั้น
  • วงกลมคือเส้นโค้งบนเครื่องบิน และวงกลมคือช่องว่างที่ล้อมรอบด้วยวงแหวน
  • ความคล้ายคลึงกันระหว่างวงกลมกับวงกลม: รัศมีและเส้นผ่านศูนย์กลาง
  • วงกลมและเส้นรอบวงมีจุดศูนย์กลางจุดเดียว
  • หากพื้นที่ภายในวงกลมถูกแรเงา พื้นที่นั้นจะกลายเป็นวงกลม
  • วงกลมมีความยาว แต่วงกลมไม่มี และในทางกลับกัน วงกลมก็มีพื้นที่ซึ่งวงกลมไม่มี

วงกลมและเส้นรอบวง: ตัวอย่างภาพถ่าย

เพื่อความชัดเจน เราขอแนะนำให้ดูภาพถ่ายที่แสดงวงกลมทางด้านซ้ายและวงกลมทางด้านขวา

สูตรเส้นรอบวงและพื้นที่ของวงกลม: การเปรียบเทียบ

สูตรเส้นรอบวง L=2 πR

สูตรพื้นที่วงกลม S= πR²

โปรดทราบว่าทั้งสองสูตรมีรัศมีและตัวเลข π ขอแนะนำให้จำสูตรเหล่านี้เนื่องจากเป็นสูตรที่ง่ายที่สุดและจะมีประโยชน์อย่างแน่นอน ชีวิตประจำวันและที่ทำงาน

พื้นที่ของวงกลมต่อเส้นรอบวง: สูตร

S=π(L/2π)=L²/4π โดยที่ S คือพื้นที่ของวงกลม L คือเส้นรอบวง

วิดีโอ: วงกลม เส้นรอบวง และรัศมีคืออะไร


วงกลมคือ ตัวเลขที่ประกอบด้วยจุดทุกจุดของระนาบจากจุดที่กำหนดเป็นระยะทางเท่ากัน

แนวคิดพื้นฐาน:

ศูนย์กลางวงกลมคือจุดที่ห่างจากจุดบนวงกลมเท่ากัน

รัศมี– นี่คือระยะห่างจากจุดของวงกลมถึงศูนย์กลาง (เท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง รูปที่ 1)

เส้นผ่านศูนย์กลางเป็นคอร์ดที่ผ่านจุดศูนย์กลางวงกลม (รูปที่ 1)

คอร์ดคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลม (รูปที่ 1)

แทนเจนต์เป็นเส้นตรงที่มีจุดร่วมเพียงจุดเดียวกับวงกลม ผ่านจุดบนวงกลมที่ตั้งฉากกับเส้นผ่านศูนย์กลางที่ลากมาถึงจุดนี้ (รูปที่ 1)

ซีแคนต์เป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุดต่าง ๆ ของวงกลม 2 จุด (รูปที่ 1)

วงกลมหน่วยเป็นวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับหนึ่ง

ส่วนโค้งของวงกลมเป็นส่วนหนึ่งของวงกลมหารด้วยจุดสองจุดที่แตกต่างกันบนวงกลม

1 เรเดียนคือมุมที่เกิดจากส่วนโค้งของวงกลมเท่ากับความยาวของรัศมี (รูปที่ 4)
1 เรเดียน = 180˚ : π data 57.3˚

มุมกลางคือมุมที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางวงกลม เท่ากับการวัดระดับของส่วนโค้งที่วางอยู่ (รูปที่ 2)

มุมที่ถูกจารึกไว้คือมุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและมีด้านตัดกับวงกลมนี้ เท่ากับครึ่งหนึ่งของการวัดระดับของส่วนโค้งที่วางอยู่ (รูปที่ 3)

วงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางร่วมเรียกว่า มีศูนย์กลางร่วมกัน.

เรียกว่าวงกลมสองวงที่ตัดกันเป็นมุมฉาก ตั้งฉาก.

เส้นรอบวงและพื้นที่ของวงกลม:

การกำหนด:
เส้นรอบวง – C
ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง – ง
ความยาวรัศมี – r

ความหมายπ :
อัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางจะแสดงด้วยตัวอักษรกรีก π (pi)

22
π = -
7

สูตรเส้นรอบวง:

C = πd หรือ C = 2πr

สูตรพื้นที่วงกลม:

Cr
ส = --
2

พาย ดี 2
ส = ---
4

พื้นที่ของเซกเตอร์วงกลมและเซกเตอร์วงกลม

ภาควงกลมคือส่วนของวงกลมที่วางอยู่ภายในมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน
สูตรพื้นที่เซกเตอร์วงกลม:

พายอาร์ 2
ส = ---α
360

ที่ไหน π – ค่าคงที่เท่ากับ 3.1416; ร - รัศมีของวงกลม α – การวัดระดับของมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน

ส่วนที่เป็นวงกลม- นี้ ส่วนทั่วไปวงกลมและครึ่งระนาบ
สูตรพื้นที่ส่วนวงกลม:

พายอาร์ 2
ส = ---α ± ส Δ
360

ที่ไหน α – การวัดองศาของมุมตรงกลางที่มีส่วนโค้งของส่วนวงกลมนี้ ส Δ - พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางวงกลมและที่ปลายรัศมีซึ่งจำกัดเซกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง

ต้องใช้เครื่องหมายลบเมื่อ α< 180˚, а знак «плюс» надо брать, когда α >180˚.

สมการของวงกลมในพิกัดคาร์ทีเซียนx, ย โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด (ก; ข):

(เอ็กซ์ –ก) 2 + (ใช่-ข) 2 = ร 2

วงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 4)

วงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 5)

มุมที่จารึกไว้ในวงกลม (รูปที่ 3)

เรียกว่ามุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและมีด้านตัดกับวงกลมนี้ จารึกไว้ในวงกลม.

แนวคิดพื้นฐาน:

มุมแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน แต่ละส่วนเหล่านี้เรียกว่า มุมแบน.

เรียกว่ามุมระนาบที่มีด้านร่วม เพิ่มเติม.

เรียกว่ามุมระนาบที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางวงกลม มุมกลาง(รูปที่ 2)



สัดส่วนของส่วนของคอร์ดและซีแคนต์ของวงกลม

กรณีและสูตรพิเศษ:

1) จากจุด C ซึ่งอยู่นอกวงกลม วาดเส้นสัมผัสกันไปที่วงกลมและระบุจุดที่สัมผัสกับตัวอักษร D

จากนั้นเราวาดเส้นตัดจากจุดเดียวกัน C และแสดงจุดตัดของเส้นตัดกับวงกลมด้วยตัวอักษร A และ B (รูปที่ 8)

ในกรณีนี้:

ซีดี 2 =เครื่องปรับอากาศ ·บี.ซี.

2) วาดเส้นผ่านศูนย์กลาง AB ในวงกลม จากนั้นจากจุด C ที่อยู่บนวงกลม ให้วาดตั้งฉากกับเส้นผ่านศูนย์กลางนี้และแสดงถึงส่วน CD ที่เป็นผลลัพธ์ (รูปที่ 9)

ในกรณีนี้:

ซีดี 2 =พ.ศ. ·บี.ดี.

วงกลม- รูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยจุดทุกจุดของระนาบซึ่งอยู่ห่างจากจุดที่กำหนดในระยะที่กำหนด

จุดนี้ (O) เรียกว่า ศูนย์กลางของวงกลม.
รัศมีวงกลม- นี่คือส่วนที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางกับจุดใดๆ บนวงกลม รัศมีทั้งหมดมีความยาวเท่ากัน (ตามคำจำกัดความ)
คอร์ด- ส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลม เรียกว่าคอร์ดที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลาง- จุดศูนย์กลางของวงกลมคือจุดกึ่งกลางของเส้นผ่านศูนย์กลางใดๆ
จุดสองจุดใดๆ บนวงกลมจะแบ่งออกเป็นสองส่วน แต่ละส่วนเหล่านี้เรียกว่า ส่วนโค้งของวงกลม- ส่วนโค้งเรียกว่า ครึ่งวงกลมหากส่วนที่เชื่อมต่อปลายมีเส้นผ่านศูนย์กลาง
ความยาวของครึ่งวงกลมหนึ่งหน่วยแสดงด้วย π .
ผลรวมของการวัดระดับของส่วนโค้งสองส่วนของวงกลมที่มีปลายร่วมจะเท่ากับ 360°.
ส่วนของระนาบที่ล้อมรอบด้วยวงกลมเรียกว่า รอบ ๆ.
ภาควงกลม- ส่วนหนึ่งของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยส่วนโค้งและมีรัศมีสองอันที่เชื่อมปลายส่วนโค้งเข้ากับศูนย์กลางของวงกลม ส่วนโค้งที่จำกัดเซกเตอร์เรียกว่า ส่วนโค้งของภาค.
วงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางร่วมเรียกว่า มีศูนย์กลางร่วมกัน.
เรียกว่าวงกลมสองวงที่ตัดกันเป็นมุมฉาก ตั้งฉาก.

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงและวงกลม

  1. ถ้าระยะห่างจากศูนย์กลางวงกลมถึงเส้นตรงน้อยกว่ารัศมีของวงกลม ( d) จากนั้นเส้นตรงและวงกลมจะมีจุดร่วมสองจุด ในกรณีนี้จะมีการเรียกสาย ตัดออกสัมพันธ์กับวงกลม
  2. ถ้าระยะห่างจากศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้นตรงเท่ากับรัศมีของวงกลม แล้วเส้นตรงและวงกลมจะมีจุดร่วมเพียงจุดเดียว เส้นนี้เรียกว่า สัมผัสกับวงกลมและจุดร่วมของพวกเขาเรียกว่า จุดสัมผัสระหว่างเส้นกับวงกลม.
  3. ถ้าระยะห่างจากศูนย์กลางวงกลมถึงเส้นตรงมากกว่ารัศมีของวงกลม แล้วเส้นตรงและวงกลม ไม่มีจุดร่วม
    4. .

มุมกลางและมุมที่ถูกจารึกไว้

มุมกลางคือมุมที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางวงกลม
มุมที่ถูกจารึกไว้- มุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและมีด้านตัดกับวงกลม

ทฤษฎีบทมุมที่ถูกจารึกไว้

มุมที่จารึกไว้นั้นวัดโดยครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่มุมนั้นรองรับ

  • ข้อพิสูจน์ 1.
    มุมที่ถูกจารึกไว้ซึ่งรองรับส่วนโค้งเดียวกันนั้นมีค่าเท่ากัน

  • ข้อพิสูจน์ 2.
    มุมที่ถูกจารึกไว้ซึ่งต่อด้วยครึ่งวงกลมจะเป็นมุมฉาก

ทฤษฎีบทผลคูณของส่วนของคอร์ดที่ตัดกัน

หากคอร์ดสองคอร์ดในวงกลมตัดกัน ผลคูณของเซกเมนต์ของคอร์ดหนึ่งจะเท่ากับผลคูณของเซกเมนต์ของคอร์ดอีกคอร์ดหนึ่ง

สูตรพื้นฐาน

  • เส้นรอบวง:
C = 2∙π∙R
  • ความยาวส่วนโค้งวงกลม:
R = С/(2∙π) = D/2
  • เส้นผ่านศูนย์กลาง:
D = C/π = 2∙R
  • ความยาวส่วนโค้งวงกลม:
ล. = (π∙R) / 180∙α,
ที่ไหน α - องศาการวัดความยาวของส่วนโค้งวงกลม)
  • พื้นที่ของวงกลม:
S = π∙R 2
  • พื้นที่ของเซกเตอร์วงกลม:
S = ((π∙R 2) / 360)∙α

สมการของวงกลม

  • ใน ระบบสี่เหลี่ยมสมการพิกัดของรัศมีวงกลม รมีศูนย์กลางที่จุดหนึ่ง ค(x o;y o) มีรูปแบบ:
(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2
  • สมการของวงกลมรัศมี r ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดมีรูปแบบดังนี้
x 2 + y 2 = r 2

วงกลมคือเส้นโค้งปิดบนระนาบ จุดทั้งหมดอยู่ห่างจากจุดหนึ่งเท่ากัน จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงกลม

ส่วนของระนาบที่ล้อมรอบด้วยวงกลมเรียกว่าวงกลม.

ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดบนวงกลมกับจุดศูนย์กลางเรียกว่ารัศมี(รูปที่ 84)

เนื่องจากจุดทุกจุดของวงกลมอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน ดังนั้นรัศมีทั้งหมดของวงกลมเดียวกันจึงเท่ากัน รัศมีมักจะแสดงด้วยตัวอักษร รหรือ ร.

จุดที่ถ่ายภายในวงกลมนั้นอยู่ห่างจากศูนย์กลางที่ระยะทางน้อยกว่ารัศมี ง่ายต่อการตรวจสอบว่าคุณวาดรัศมีผ่านจุดนี้หรือไม่ (รูปที่ 85)

จุดที่นำมานอกวงกลมนั้นอยู่ห่างจากศูนย์กลางที่ระยะห่างมากกว่ารัศมี สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายโดยเชื่อมต่อจุดนี้เข้ากับศูนย์กลางของวงกลม (รูปที่ 85)

ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลมเรียกว่าคอร์ด

คอร์ดที่ผ่านจุดศูนย์กลางเรียกว่าเส้นผ่านศูนย์กลาง(รูปที่ 84) เส้นผ่านศูนย์กลางมักจะแสดงด้วยตัวอักษร D เส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับสองรัศมี:

เนื่องจากรัศมีทั้งหมดของวงกลมเดียวกันนั้นเท่ากัน ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางทั้งหมดของวงกลมที่กำหนดจึงเท่ากัน

ทฤษฎีบท. คอร์ดที่ไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมจะมีขนาดเล็กกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางที่ลากในวงกลมเดียวกัน

ในความเป็นจริงถ้าเราวาดคอร์ดบางอย่างเช่น AB และเชื่อมต่อปลายของมันกับจุดศูนย์กลาง O (รูปที่ 86) เราจะเห็นว่าคอร์ด AB นั้นเล็กกว่าเส้นแบ่ง AO + OB เช่น AB r และตั้งแต่ 2 ร= D แล้วก็ AB

หากวงกลมโค้งงอตามเส้นผ่านศูนย์กลาง (รูปที่ 87) ทั้งสองส่วนของวงกลมและวงกลมจะอยู่ในแนวเดียวกัน เส้นผ่านศูนย์กลางแบ่งวงกลมและเส้นรอบวงออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน

วงกลมสองวง (สองวงกลม) จะถูกเรียกว่าเท่ากันหากสามารถซ้อนทับกันเพื่อให้ตรงกัน

ดังนั้น วงกลมสองวง (สองวงกลม) ที่มีรัศมีเท่ากันจะเท่ากัน

2. ส่วนโค้งของวงกลม

ส่วนหนึ่งของวงกลมเรียกว่าส่วนโค้ง

บางครั้งคำว่า "arc" จะถูกแทนที่ด้วยเครื่องหมาย \(\breve( )\) ส่วนโค้งถูกกำหนดด้วยตัวอักษรสองสามตัว โดยสองตัวจะอยู่ที่ปลายส่วนโค้ง และตัวที่สามอยู่ที่จุดใดจุดหนึ่งบนส่วนโค้ง ในภาพวาด 88 มีการระบุส่วนโค้งสองส่วน: \(\breve(ACB)\) และ \(\breve(ADB)\)

เมื่อส่วนโค้งมีขนาดเล็กกว่าครึ่งวงกลม โดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษรสองตัว ดังนั้น สามารถกำหนดส่วนโค้ง ADB ได้ \(\breve(AB)\) (รูปที่ 88) คอร์ดที่เชื่อมต่อปลายของส่วนโค้งกล่าวกันว่ารองรับส่วนโค้ง

หากเราเลื่อนส่วนโค้ง AC (รูปที่ 89, a) เพื่อให้มันเลื่อนไปตามวงกลมที่กำหนด และหากในเวลาเดียวกันมันเกิดขึ้นพร้อมกับส่วนโค้ง MN ดังนั้น \(\breve(AC)\) = \(\breve (นิวเม็กซิโก)\)

ในการวาด 89, b, ส่วนโค้ง AC และ AB ไม่เท่ากัน ส่วนโค้งทั้งสองเริ่มต้นที่จุด A แต่ส่วนโค้ง \(\breve(AB)\) หนึ่งส่วนเป็นเพียงส่วนหนึ่งของส่วนโค้งอีกส่วน \(\breve(AC)\)

ดังนั้น \(\breve(AC)\) > \(\breve(AB)\); \(\บรีฟ(AB)\)

การสร้างวงกลมโดยใช้จุดสามจุด

งาน. วาดวงกลมผ่านจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน

ให้เราได้รับสามจุด A, B และ C ที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (รูปที่ 311)

ลองเชื่อมโยงจุดเหล่านี้กับส่วน AB และ BC กัน หากต้องการค้นหาจุดที่อยู่ห่างจากจุด A และ B เท่าๆ กัน ให้แบ่งส่วน AB ออกเป็นสองส่วนแล้วลากเส้นตั้งฉากกับ AB ผ่านจุดกึ่งกลาง (จุด M) แต่ละจุดของเส้นตั้งฉากนี้อยู่ห่างจากจุด A และ B เท่าๆ กัน

ในการค้นหาจุดที่ห่างจากจุด B และ C เท่ากัน ให้แบ่งส่วน BC ออกเป็นสองส่วนแล้วลากเส้นตั้งฉากกับ BC ผ่านจุดกึ่งกลาง (จุด N) แต่ละจุดของเส้นตั้งฉากนี้อยู่ห่างจากจุด B และ C เท่าๆ กัน

จุด O ของจุดตัดของเส้นตั้งฉากเหล่านี้จะอยู่ห่างจากจุด A, B และ C เท่ากัน (AO = BO = CO) หากเราให้จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมโดยมีรัศมีเท่ากับ AO แล้ววาดวงกลม วงกลมก็จะผ่านจุดที่กำหนด A, B และ C ทั้งหมด

จุด O เป็นจุดเดียวที่สามารถทำหน้าที่เป็นศูนย์กลางของวงกลมที่ผ่านจุด A, B และ C สามจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นเดียวกัน เนื่องจากจุดตั้งฉากสองจุดกับส่วน AB และ BC สามารถตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าปัญหามีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

บันทึก- หากจุด A, B และ C สามจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ปัญหาก็จะไม่มีวิธีแก้ปัญหา เนื่องจากตั้งฉากกับส่วน AB และ BC จะขนานกัน และจะไม่มีจุดที่ห่างจากจุด A, B เท่ากัน C คือ . จุดที่สามารถทำหน้าที่เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ต้องการได้

หากเราเชื่อมต่อจุด A และ C ด้วยส่วนและเชื่อมต่อตรงกลางของส่วนนี้ (จุด K) กับจุดศูนย์กลางของวงกลม O จากนั้น OK จะตั้งฉากกับ AC (รูปที่ 311) เนื่องจากในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว AOC OK คือ ค่ามัธยฐาน ดังนั้น OK⊥AC

ผลที่ตามมา เส้นตั้งฉากสามเส้นที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางจะตัดกันที่จุดหนึ่ง

วงกลมคือ ตัวเลขที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมดบนระนาบซึ่งห่างจากจุดที่กำหนดเท่ากัน จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงกลม

วงกลมที่มีรัศมีเป็นศูนย์ (วงกลมเสื่อม) คือจุด บางครั้งกรณีนี้ไม่รวมอยู่ในคำจำกัดความ

YouTube สารานุกรม

    1 / 5

    วงกลมและคุณสมบัติของมัน (bezbotvy)

    วงกลมที่จารึกไว้และล้อมรอบ - จาก bezbotvy

    คณิตศาสตร์: การเตรียมตัวสำหรับ OGE และการสอบ Unified State ระนาบ วงกลมและคุณสมบัติของมัน

    คณิตศาสตร์ 26. วงเวียน. วงกลมและวงกลม - โรงเรียน Shishkina

    สมการวงกลม ภารกิจที่ 18 (C5) อาเธอร์ ชารีฟอฟ

    คำบรรยาย

การกำหนด

หากวงกลมผ่านจุด A, B, C แสดงว่าวงกลมนั้นถูกแสดงโดยระบุจุดเหล่านี้ในวงเล็บ: (A, B, C) จากนั้นส่วนโค้งของวงกลมที่ผ่านจุด A, B, C จะแสดงเป็นส่วนโค้ง ABC (หรือส่วนโค้ง AC) เช่นเดียวกับ υ ABC (หรือ υ AC)

คำจำกัดความอื่น ๆ

  • เส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม เอบี เอ, บี เอบีมองเห็นได้ในมุมฉาก (นิยามผ่านมุมตามเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม)
  • วงกลมด้วยคอร์ด เอบีเป็นร่างที่ประกอบด้วยจุด เอ, บีและทุกจุดของระนาบจากส่วนนั้น เอบีมองเห็นได้ในมุมคงที่ด้านหนึ่งเท่ากับ มุมที่จารึกไว้ของส่วนโค้ง ABและอีกมุมคงที่อีกด้านหนึ่ง เท่ากับ 180 องศาลบ มุมที่จารึกไว้ของส่วนโค้ง ABที่ระบุไว้ข้างต้น (คำจำกัดความผ่านมุมที่จารึกไว้)
  • ร่างที่ประกอบด้วยจุดดังกล่าว X , (\displaystyle X,)ว่าอัตราส่วนของความยาวของส่วนต่างๆ ขวานและ บีเอ็กซ์อย่างสม่ำเสมอ: A X B X = c ≠ 1 , (\displaystyle (\frac (AX)(BX))=c\neq 1,)เป็นวงกลม (นิยามผ่านวงกลมของอพอลโลเนียส)
  • รูปที่ประกอบด้วยจุดดังกล่าวทั้งหมด โดยแต่ละจุดผลรวมของกำลังสองของระยะทางถึงจุดที่กำหนดสองจุดมีค่าเท่ากับค่าที่กำหนดมากกว่าครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่างจุดที่กำหนด จะเป็นวงกลมด้วย (นิยามผ่าน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสตามอำเภอใจ สามเหลี่ยมมุมฉากจารึกไว้ในวงกลม โดยมีด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม)
  • มวาดคอร์ดข้างในนั้น เอบี, ซีดี, อีเอฟฯลฯ ดังนั้นความเท่าเทียมกันจึงถูกต้อง: A M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F = … (\displaystyle AM\cdot (MB)=CM\cdot (MD)=EM\cdot (MF)=\dots )- ความเสมอภาคจะได้รับความพึงพอใจเสมอโดยไม่คำนึงถึงการเลือกคะแนน มและทิศทางของคอร์ดที่ลากผ่านมัน (คำจำกัดความผ่านคอร์ดที่ตัดกัน)
  • วงกลมคือรูปปิดและไม่มีตัวตัดกัน โดยมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ หากผ่านจุดใดจุดหนึ่ง มด้านนอกให้วาดแทนเจนต์สองตัวไปยังจุดที่สัมผัสกับวงกลมเช่น กและ บีจากนั้นความยาวจะเท่ากันเสมอ: M A = M B (\displaystyle MA=MB)- ความเสมอภาคจะคงอยู่เสมอโดยไม่คำนึงถึงการเลือกคะแนน ม(นิยามผ่านแทนเจนต์ที่เท่ากัน)
  • วงกลมคือรูปปิดและไม่มีตัวตัดกัน โดยมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ อัตราส่วนของความยาวของคอร์ดใดๆ ต่อไซน์ของคอร์ดใดๆ มุมที่ถูกจารึกไว้ตามคอร์ดนี้ คือค่าคงที่เท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนี้ (นิยามผ่านทฤษฎีบทของไซน์)
  • วงกลมอยู่ กรณีพิเศษวงรีซึ่งมีระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสเป็นศูนย์ (คำจำกัดความในแง่ของวงรีเสื่อม)

คำจำกัดความที่เกี่ยวข้องกับวงกลมหนึ่งวง

  • ตำแหน่งที่ตั้งทางเรขาคณิตของจุดต่างๆ ในระนาบ ซึ่งเป็นระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งไม่มากกว่าระยะทางที่ไม่ใช่ศูนย์ที่กำหนด เรียกว่า รอบ ๆ .
  • รัศมี- ไม่เพียงแต่ระยะทางเท่านั้น แต่ยังรวมถึงส่วนที่เชื่อมต่อศูนย์กลางของวงกลมด้วยจุดใดจุดหนึ่งด้วย รัศมีเป็นครึ่งหนึ่งเสมอ เส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม
  • รัศมีจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่ลากไปยังวงกลมที่จุดร่วมกับวงกลมเสมอ นั่นคือรัศมียังเป็นเส้นปกติของวงกลมด้วย
  • วงกลมเรียกว่า เดี่ยว ถ้ารัศมีของมันเท่ากับหนึ่ง วงกลมหน่วยเป็นหนึ่งในวัตถุหลักของวิชาตรีโกณมิติ
  • ส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลมเรียกว่าส่วนนั้น คอร์ด- เรียกว่าคอร์ดที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลาง.
  • จุดสองจุดที่ไม่ตรงกันบนวงกลมจะแบ่งออกเป็นสองส่วน แต่ละส่วนเหล่านี้เรียกว่า ส่วนโค้งของวงกลม- ส่วนโค้งเรียกว่า ครึ่งวงกลมหากส่วนที่เชื่อมต่อปลายมีเส้นผ่านศูนย์กลาง
  • ความยาวของครึ่งวงกลมหนึ่งหน่วยแสดงด้วย
  • เส้นตรงที่มีจุดร่วมหนึ่งจุดกับวงกลมเรียกว่าเส้นตรง แทนเจนต์ไปยังวงกลม และจุดร่วมของพวกมันเรียกว่าจุดสัมผัสของเส้นตรงและวงกลม
  • แทนเจนต์วงกลมจะตั้งฉากกับรัศมี (และเส้นผ่านศูนย์กลาง) ที่วาด ณ จุดที่สัมผัสกันเสมอ ซึ่งก็คือ ปกติดำเนินการ ณ จุดนี้
  • เส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดที่แตกต่างกันบนวงกลมเรียกว่า ตัดออก.

การกำหนดรูปสามเหลี่ยมสำหรับวงกลมหนึ่งวง

  • สามเหลี่ยม ABC เรียกว่า จารึกไว้ในวงกลม(A,B,C) ถ้าจุดยอด A, B และ C ทั้งสามอยู่บนวงกลมนี้ ในกรณีนี้เรียกว่าวงกลม วงกลมที่ล้อมรอบ สามเหลี่ยมเอบีซี(ดูวงกลมล้อมรอบ)
  • แทนเจนต์วงกลมที่ลากผ่านจุดยอดใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลมนั้นจะขนานกับด้านของรูปสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามกับจุดยอดที่กำหนด
  • สามเหลี่ยม ABC เรียกว่า ล้อมรอบเป็นวงกลม(A",B",C") ถ้าด้าน AB, BC และ CA ทั้งสามด้านสัมผัสวงกลมนี้ที่บางจุด C", A" และ B" ตามลำดับ ในกรณีนี้เรียกว่าวงกลม วงกลมที่ถูกจารึกไว้สามเหลี่ยม ABC (ดูวงกลมที่จารึกไว้)

คำจำกัดความของมุมสำหรับวงกลมหนึ่งวง

  • มุมที่เกิดจากส่วนโค้งของวงกลมที่มีความยาวเท่ากับรัศมีจะคิดเป็น 1 เรเดียน.
  • ศูนย์กลางมุม - มุมที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางวงกลม มุมที่ศูนย์กลางเท่ากับค่าเรเดียน/องศาของส่วนโค้งที่มุมนั้นวางอยู่ (ดูรูป)
  • จารึกไว้  มุม - มุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและมีด้านตัดกับวงกลมนี้ มุมที่ถูกจารึกไว้เท่ากับครึ่งหนึ่งของการวัดส่วนโค้งที่มันวางอยู่ (ดูรูป)
  • มุมภายนอกสำหรับ จารึกไว้  มุม - มุมที่เกิดขึ้นจากด้านหนึ่งและความต่อเนื่องของอีกด้านหนึ่ง จารึกไว้มุม (ดูรูปที่มุม θ สีน้ำตาล). มุมภายนอกสำหรับมุมที่เขียนไว้อีกด้านหนึ่งของวงกลมจะมีค่าเท่ากัน θ .
  • มุมระหว่างวงกลมกับเส้นตรง- มุมระหว่างเส้นตรงกับเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดตัดของเส้นตรงกับวงกลม มุมทั้งสองระหว่างวงกลมที่ตัดกันและเส้นตรงจะเท่ากัน
  • มุมหักด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม- มุมที่จารึกไว้ในวงกลมนี้ ซึ่งด้านข้างประกอบด้วยปลายของเส้นผ่านศูนย์กลาง เขาเป็นคนตรงเสมอ

คำจำกัดความที่เกี่ยวข้องกับวงกลมสองวง

  • วงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางร่วมเรียกว่า มีศูนย์กลางร่วมกัน.
  • วงกลมสองวงที่มีจุดร่วมเพียงจุดเดียวเรียกว่า เกี่ยวกับ ภายนอกถ้าวงกลมของพวกเขาไม่มีจุดอื่นที่เหมือนกัน และ ภายในถ้าวงกลมของพวกเขาวางอยู่ข้างในอีกวงหนึ่ง
  • วงกลมสองวงที่มีจุดร่วมสองจุดเรียกว่า ตัดกัน- วงกลม (ล้อมรอบด้วยพวกมัน) ตัดกันในพื้นที่ที่เรียกว่าส่วนของวงกลมคู่
  • มุมระหว่างวงกลมสองวงที่ตัดกัน (หรือแทนเจนต์) คือมุมระหว่างแทนเจนต์ที่วาดที่จุดร่วมของจุดตัด (หรือแทนเจนต์)
  • อีกด้วย มุมระหว่างวงกลมสองวงที่ตัดกัน (หรือแทนเจนต์) เราสามารถพิจารณามุมระหว่างรัศมี (เส้นผ่านศูนย์กลาง) ที่วาดที่จุดร่วมของจุดตัดกัน (หรือแทนเจนต์)
  • เนื่องจากสำหรับวงกลมใดๆ รัศมี (หรือเส้นผ่านศูนย์กลาง) และแทนเจนต์ที่ลากผ่านจุดใดๆ ของวงกลมนั้นตั้งฉากกัน จึงสามารถพิจารณารัศมี (หรือเส้นผ่านศูนย์กลาง) ได้ ปกติให้เป็นวงกลมที่สร้างขึ้น ณ จุดที่กำหนด ดังนั้น มุมทั้งสองประเภทที่กำหนดไว้ในสองย่อหน้าก่อนหน้าจะเท่ากันเสมอ เช่น มุมที่มีด้านตั้งฉากกัน
  • มุมขวาเรียกว่า ตั้งฉาก- วงกลมสามารถนับได้ ตั้งฉากถ้าพวกมันทำมุมฉากกัน
  • แกนรากของวงกลมสองวง- ตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดที่มีองศาสัมพันธ์กับวงกลมสองวงที่กำหนดให้เท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความยาวของแทนเจนต์สี่เส้นที่ลากไปยังวงกลมสองวงจากจุดใดก็ตามจะเท่ากัน มเมื่อพิจารณาตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดต่างๆ

คำจำกัดความของมุมสำหรับวงกลมสองวง

  • มุมระหว่างวงกลมสองวงที่ตัดกัน- มุมระหว่างเส้นสัมผัสกันกับวงกลม ณ จุดตัดของวงกลมเหล่านี้ มุมทั้งสองระหว่างวงกลมสองวงที่ตัดกันจะเท่ากัน
  • มุมระหว่างวงกลมสองวงที่แยกจากกัน- มุมระหว่างสองแทนเจนต์ร่วมกับวงกลมสองวง ซึ่งเกิดขึ้นที่จุดตัดของแทนเจนต์ทั้งสองนี้ จุดตัดกันของเส้นสัมผัสกันทั้งสองวงต้องอยู่ระหว่างวงกลมทั้งสองวง และไม่ได้อยู่ที่ด้านข้างของวงกลมวงใดวงหนึ่ง (ไม่นับมุมนี้) มุมแนวตั้งทั้งสองระหว่างวงกลมสองวงที่แยกจากกันจะเท่ากัน

มุมฉาก

  • เรียกว่าวงกลมสองวงที่ตัดกันเป็นมุมฉาก ตั้งฉาก- วงกลมสามารถนับได้ ตั้งฉากถ้าพวกมันทำมุมฉากกัน
  • วงกลมสองวงที่ตัดกันที่จุด A และ B โดยมีจุดศูนย์กลาง O และ O" เรียกว่า ตั้งฉากถ้ามุม OAO" และ OBO" เป็นมุมฉาก เงื่อนไขนี้เป็นหลักประกันครับ มุมฉากระหว่างวงกลม ในกรณีนี้ รัศมี (เส้นปกติ) ของวงกลมสองวงที่ลากไปยังจุดตัดกันจะตั้งฉากกัน ดังนั้น แทนเจนต์ของวงกลมสองวงที่ลากไปยังจุดตัดกันจึงตั้งฉากกันเช่นกัน แทนเจนต์ของวงกลมตั้งฉากกับรัศมี (ปกติ) ที่ลากไปยังจุดแทนเจนต์ โดยทั่วไปแล้ว มุมระหว่างเส้นโค้งคือมุมระหว่างแทนเจนต์ที่วาดที่จุดตัดกัน
  • อาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติมอื่นได้ ปล่อยให้วงกลมสองวงที่ตัดกันที่จุด A และ B มีจุดกึ่งกลางของส่วนโค้งที่ตัดกันที่จุด C และ D นั่นคือ ส่วนโค้ง AC เท่ากับส่วนโค้ง CB ส่วนโค้ง AD เท่ากับส่วนโค้ง DB จากนั้นวงกลมเหล่านี้จะถูกเรียกว่า ตั้งฉากถ้ามุม CAD และ CBD เป็นมุมฉาก

คำจำกัดความที่เกี่ยวข้องกับวงกลมสามวง

  • วงกลมสามวงจะถูกเรียกว่าแทนเจนต์ซึ่งกันและกัน (ตัดกัน) หากมีวงกลมสองวงสัมผัสกัน (ตัดกัน) ซึ่งกันและกัน
  • ในเรขาคณิต ศูนย์กลางหัวรุนแรงวงกลมสามวงคือจุดตัดของแกนรากทั้งสามของวงกลมคู่หนึ่ง ถ้าจุดศูนย์กลางรากอยู่นอกวงกลมทั้งสามวง มันจะเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมวงเดียว ( วงกลมหัวรุนแรง) ซึ่งตัดกันวงกลมสามวงที่กำหนด ตั้งฉาก.

เลมมาของอาร์คิมิดีส

การพิสูจน์

อนุญาต G (\displaystyle G)- ความคล้ายคลึงกันที่เปลี่ยนวงกลมเล็กให้เป็นวงกลมใหญ่ แล้วมันชัดเจนว่า เอ 1 (\displaystyle A_(1))เป็นศูนย์กลางของความคล้ายคลึงกันนี้ แล้วตรง BC (\displaystyle BC)จะเข้าสู่เส้นตรงบางประเภท ก (\displaystyle ก)สัมผัสกับวงกลมใหญ่และ A 2 (\displaystyle A_(2))ก็จะไปถึงจุดบนเส้นนี้และเป็นวงเวียนใหญ่ เมื่อนึกถึงความคล้ายคลึงกันที่นำเส้นเข้าเป็นเส้นขนานกับพวกมัน เราเข้าใจดี a ∥ BC (\displaystyle a\parallel BC)- อนุญาต G (A 2) = A 3 (\displaystyle G(A_(2))=A_(3))และ D (\displaystyle D)- ชี้ไปที่เส้น ก (\displaystyle ก)ว่ามันคมและ E (\displaystyle E)- จุดดังกล่าวบนเส้น ก (\displaystyle ก), อะไร ∠ B A 3 E (\displaystyle \มุม BA_(3)E)- เผ็ด. แล้วตั้งแต่ ก (\displaystyle ก)- สัมผัสกับวงกลมใหญ่ ∠ C A 3 D (\รูปแบบการแสดงผล \มุม CA_(3)D)= (\displaystyle =)∠ CBA 3 (\รูปแบบการแสดงผล \มุม CBA_(3))= ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 (\displaystyle =\angle BA_(3)E=\angle BCA_(3))- เพราะฉะนั้น △ B C A 3 (\displaystyle \bigtriangleup BCA_(3))- หน้าจั่วซึ่งหมายถึง ∠ B A 1 A 3 = ∠ C A 1 A 3 (\รูปแบบการแสดงผล \มุม BA_(1)A_(3)=\มุม CA_(1)A_(3)), นั่นคือ A 1 A 2 (\รูปแบบการแสดงผล A_(1)A_(2))- เส้นแบ่งครึ่งมุม ∠ B A 1 C (\รูปแบบการแสดงผล \มุม BA_(1)C).

ทฤษฎีบทของเดการ์ตสำหรับรัศมีของวงกลมแทนเจนต์สี่วงในแนวคู่

ทฤษฎีบทของเดส์การตส์"ระบุว่ารัศมีของวงกลมแทนเจนต์ทั้งสี่วงใดๆ เป็นไปตามสมการกำลังสองที่แน่นอน บางครั้งเรียกว่าวงกลม Soddy

คุณสมบัติ

x 2 + y 2 = ร 2 . (\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2).)

สมการของวงกลมที่ผ่านจุดต่างๆ (x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , (\displaystyle \left(x_(1),y_(1)\right),\left(x_(2) ,y_(2)\right),\left(x_(3),y_(3)\right),)ไม่นอนอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (ใช้ปัจจัยกำหนด)

- x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 | = 0. (\displaystyle (\begin(vmatrix)x^(2)+y^(2)&x&y&1\\x_(1)^(2)+y_(1)^(2)&x_(1)&y_(1 )&1\\x_(2)^(2)+y_(2)^(2)&x_(2)&y_(2)&1\\x_(3)^(2)+y_(3)^(2)&x_ (3)&y_(3)&1\end(วีแมทริกซ์))=0.)< 2 π . {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases}},\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .}

( x = x 0 + R cos ⁡ φ y = y 0 + R บาป ⁡ φ , 0 ⩽ φ

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน วงกลมไม่ใช่กราฟของฟังก์ชัน แต่สามารถอธิบายได้ว่าเป็นการรวมกันของกราฟของฟังก์ชันสองฟังก์ชันต่อไปนี้

y = y 0 ± R 2 − (x − x 0) 2 (\displaystyle y=y_(0)\pm (\sqrt (R^(2)-(x-x_(0))^(2))).)

หากจุดศูนย์กลางของวงกลมตรงกับจุดกำเนิด ฟังก์ชันจะอยู่ในรูปแบบ:

y = ± ร 2 − x 2 (\displaystyle y=\pm (\sqrt (R^(2)-x^(2))).)

พิกัดเชิงขั้ว รัศมีวงกลมมีศูนย์กลางที่จุดหนึ่ง R (\รูปแบบการแสดงผล R).