จุดศูนย์ถ่วงอยู่นิ่ง ศูนย์กลางมวล

ในส่วนนี้เราจะพิจารณารายละเอียด กรณีพิเศษระบบของแรงคู่ขนานที่เหมาะสม กล่าวคือ ตัววัตถุใดๆ หรือระบบของจุดวัสดุ (อนุภาคที่ไม่ต่อเนื่อง) ที่อยู่บนพื้นโลกจะขึ้นอยู่กับการกระทำของแรงโน้มถ่วงของโลก ดังนั้นแต่ละอนุภาคของระบบกลไกดังกล่าวจึงได้รับผลกระทบจากแรงโน้มถ่วง พูดอย่างเคร่งครัด แรงทั้งหมดเหล่านี้มุ่งตรงไปยังจุดศูนย์กลางของโลก แต่เนื่องจากขนาดของวัตถุบนพื้นโลกมีขนาดเล็กมากเมื่อเทียบกับรัศมีของโลก (เราสันนิษฐานว่าปริมาตรที่อนุภาคแยกปิดล้อมนั้นมีขนาดเล็กเช่นกัน) ดังนั้นด้วยความแม่นยำระดับสูง แรงเหล่านี้จึงถือว่าขนานกันได้ ย่อหน้านี้อุทิศให้กับการนำระบบกองกำลังนี้

แรงดึงดูดเฉพาะ

ให้เราแยกอนุภาคมูลฐานออกจากร่างกายที่มีปริมาตรเล็กจนสามารถกำหนดตำแหน่งของมันได้ด้วยเวกเตอร์รัศมี 1 ตัว ให้น้ำหนักของอนุภาคนี้เป็นค่า

เรียกว่าค่าความถ่วงจำเพาะและค่า

ความหนาแน่นของร่างกาย

ในระบบ SI ของหน่วย แรงดึงดูดเฉพาะมีมิติ

และความหนาแน่น

ที่ กรณีทั่วไปความถ่วงจำเพาะและความหนาแน่นเป็นหน้าที่ของพิกัดของจุดต่างๆ ในร่างกาย หากเหมือนกันทุกจุดแสดงว่าร่างกายเป็นเนื้อเดียวกัน

ผลลัพธ์ของแรงโน้มถ่วงเบื้องต้นทั้งหมดเท่ากับผลรวมและแสดงถึงน้ำหนักของร่างกาย ศูนย์กลางของแรงคู่ขนานเหล่านี้เรียกว่าจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย

เห็นได้ชัดว่าตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงในร่างกายไม่ได้ขึ้นอยู่กับทิศทางของร่างกายในอวกาศ ข้อความนี้ต่อจากข้อสังเกตก่อนหน้านี้ที่ว่า ศูนย์กลางของแรงในแนวขนานจะไม่เปลี่ยนตำแหน่งเมื่อแรงทั้งหมดหมุนผ่านมุมเดียวกันรอบๆ จุดใช้งาน

สูตรที่กำหนดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายและระบบของอนุภาคที่ไม่ต่อเนื่อง

ในการกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายเราแบ่งออกเป็นอนุภาคขนาดเล็กที่มีปริมาตรเพียงพอ เราใช้แรงโน้มถ่วงกับแต่ละอันเท่ากับ

ผลลัพธ์ของแรงคู่ขนานเหล่านี้มีค่าเท่ากับน้ำหนักของร่างกายซึ่งเราแทนด้วย

เวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายซึ่งเราแสดงด้วย ถูกกำหนดโดยสูตรของย่อหน้าก่อนหน้าว่าเป็นจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน เท่านี้เราก็จะได้

หากกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของระบบอนุภาคไม่ต่อเนื่อง จะมีค่าความถ่วงจำเพาะของอนุภาค V - ปริมาตร - เวกเตอร์รัศมีที่กำหนดตำแหน่งของอนุภาค สูตรสุดท้ายกำหนดในกรณีนี้คือจุดศูนย์กลางมวลของระบบอนุภาคไม่ต่อเนื่อง

หากระบบทางกลเป็นร่างกายที่เกิดจากการสะสมของอนุภาคอย่างต่อเนื่องผลรวมของสูตรสุดท้ายจะกลายเป็นอินทิกรัลในขีด จำกัด และเวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายสามารถคำนวณได้โดยสูตร:

โดยที่อินทิกรัลกระจายไปทั่วปริมาตรทั้งหมดของร่างกาย

หากร่างกายเป็นเนื้อเดียวกันสูตรสุดท้ายจะมีรูปแบบ:

โดยที่ V คือปริมาตรของร่างกายทั้งหมด

ดังนั้น เมื่อร่างกายเป็นเนื้อเดียวกัน การกำหนดจุดศูนย์ถ่วงจะลดลงเป็นปัญหาทางเรขาคณิตเพียงอย่างเดียว ในกรณีนี้ เราพูดถึงจุดศูนย์ถ่วงของปริมาตร

ศูนย์กลางมวลของร่างกาย

แนวคิดเรื่องจุดศูนย์ถ่วงที่แนะนำนั้นเหมาะสมสำหรับวัตถุ (ขนาดเล็กเมื่อเปรียบเทียบกับขนาดของโลก) ที่อยู่ใกล้พื้นผิวโลกเท่านั้น ในเวลาเดียวกันวิธีการคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงทำให้สามารถนำไปใช้ในการคำนวณพิกัดของจุดที่มีลักษณะการกระจายตัวของสสารในร่างกายได้ ในการทำเช่นนี้ไม่ควรคำนึงถึงน้ำหนักของอนุภาค แต่เป็นมวลของอนุภาค แต่ละอนุภาคในร่างกายมีมวล

และแทนที่ในสูตรที่ได้รับก่อนหน้านี้ด้วยความเท่าเทียมกัน:

ซึ่งกำหนดจุดที่เรียกว่าศูนย์กลางมวลหรือศูนย์กลางความเฉื่อยของร่างกาย

หากระบบประกอบด้วยจุดวัสดุ มวลของจุดศูนย์กลางมวลของระบบจะพบได้จากสูตร:

มวลของระบบทั้งหมดอยู่ที่ไหน เวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายขึ้นอยู่กับตัวเลือกของจุดกำเนิด O หากเลือกจุดศูนย์กลางของความเฉื่อยเป็นจุดกำเนิดของพิกัดก็จะเท่ากับศูนย์:

แนวคิดเรื่องจุดศูนย์กลางมวลสามารถนำเสนอได้โดยไม่ขึ้นกับแนวคิดเรื่องจุดศูนย์ถ่วง ด้วยเหตุนี้จึงใช้กับระบบกลไกต่างๆ

ช่วงเวลาคงที่

นิพจน์นี้เรียกว่าช่วงเวลาคงที่ของน้ำหนัก ปริมาตร และมวลของร่างกายเทียบกับจุด O ตามลำดับ หากเลือกจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายเป็นจุด (จุดกำเนิด) ดังนั้นช่วงเวลาคงที่ของร่างกาย เมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางมวลจะเท่ากับศูนย์ ซึ่งจะใช้ซ้ำๆ ในสิ่งต่อไปนี้

วิธีการคำนวณจุดศูนย์กลางมวล

ในกรณีของร่างกาย รูปร่างที่ซับซ้อนการกำหนดพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลตามที่กำหนดให้ สูตรทั่วไปมักจะเกี่ยวข้องกับการคำนวณอย่างอุตสาหะ ในบางกรณี สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อย่างมากโดยใช้วิธีการต่อไปนี้

1) วิธีสมมาตร ให้ร่างกายมีศูนย์กลางของความสมมาตรของวัสดุ ซึ่งหมายความว่าแต่ละอนุภาคที่มีมวลและเวกเตอร์รัศมีที่ลากจากจุดศูนย์กลางนี้จะสอดคล้องกับอนุภาคที่มีมวลและเวกเตอร์รัศมีเท่ากัน ในกรณีนี้ ช่วงเวลาคงที่ของมวลของร่างกายจะเปลี่ยนเป็นศูนย์และ

ดังนั้นจุดศูนย์กลางมวลในกรณีนี้จะตรงกับจุดศูนย์กลางของความสมมาตรของวัตถุ สำหรับวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกัน หมายความว่าจุดศูนย์กลางมวลตรงกับศูนย์กลางทางเรขาคณิตของปริมาตรของร่างกาย หากร่างกายมีระนาบสมมาตรของวัสดุจุดศูนย์กลางมวลจะอยู่ในระนาบนี้ ถ้าร่างกายสมมาตรรอบแกนใดแกนหนึ่ง ศูนย์กลางมวลจะอยู่บนแกนนี้

2) วิธีการแบ่งพาร์ติชัน ถ้าร่างกายสามารถแบ่งออกเป็นส่วนๆ ได้จำกัด โดยทราบมวลและตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลแล้ว เราจะหาจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายทั้งหมดได้ดังนี้ จินตนาการว่ามวลของส่วนเหล่านี้คือ จดจ่ออยู่ที่ศูนย์กลางมวล จากนั้นร่างกายจะลดลงจนถึงจำนวนจุดวัตถุที่จำกัด จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุดวัสดุคำนวณง่ายๆ โดยใช้สูตรข้างต้น

3) วิธีการของมวลลบ ปล่อยให้มวลที่เป็นเนื้อเดียวกันมีรูและจุดศูนย์กลางมวลถูกกำหนดโดยเวกเตอร์รัศมี หากรูต่าง ๆ ของร่างกายเหล่านี้เต็มไปด้วยสารที่ร่างกายประกอบขึ้นพวกมันก็จะมีมวลและจุดศูนย์กลางมวลที่แน่นอน มวลของรูที่เติมเหล่านี้จะเท่ากันและเวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์กลางมวล จากนั้นจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายที่มีรูที่เติมจะถูกกำหนดโดยเวกเตอร์รัศมี

โดยที่ M คือมวลของร่างกายที่มีรูเต็ม จากที่นี่

แต่ด้วยเหตุนี้

สูตรที่ได้จะระบุวิธีการต่อไปนี้ในการกำหนดจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายที่มีรู อุดรูรั่วทางจิตใจด้วยสารที่ประกอบกันเป็นร่างกาย จากนั้นจะพบมวลและจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายที่ได้รับในลักษณะนี้ เช่นเดียวกับมวลและจุดศูนย์กลางมวลของสารที่อุดรู และกำหนดเครื่องหมายลบให้กับมวลเหล่านี้ หลังจากนั้นสามารถคำนวณจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุที่พิจารณาได้โดยใช้วิธีการแบ่งส่วน

ระบบกลไกใดๆ ก็เหมือนกับร่างกายอื่นๆ ที่มีจุดศูนย์กลางมวลที่ยอดเยี่ยม คน, รถ, โลก, จักรวาล, นั่นคือ, วัตถุใด ๆ ก็มี บ่อยครั้งที่จุดนี้สับสนกับจุดศูนย์ถ่วง แม้ว่าพวกเขามักจะตรงกัน แต่ก็มีความแตกต่างบางประการ เราสามารถพูดได้ว่าจุดศูนย์กลางมวล ระบบเครื่องกลเป็นแนวคิดที่กว้างกว่าจุดศูนย์ถ่วง มันคืออะไรและจะค้นหาตำแหน่งของมันในระบบหรือในวัตถุเดียวได้อย่างไร? นี่คือสิ่งที่จะกล่าวถึงในบทความของเรา

สูตรแนวคิดและคำจำกัดความ

จุดศูนย์กลางมวลคือจุดตัดของเส้นบางจุด ขนานกับแรงภายนอกที่กระทำ ทำให้เกิดการเคลื่อนที่เชิงแปลของวัตถุนี้ ข้อความนี้เป็นจริงทั้งสำหรับเนื้อหาเดียวที่นำมา และสำหรับกลุ่มขององค์ประกอบที่มีความสัมพันธ์บางอย่างซึ่งกันและกัน จุดศูนย์กลางของมวลมักจะตรงกับจุดศูนย์ถ่วงเสมอ และเป็นหนึ่งในลักษณะทางเรขาคณิตที่สำคัญที่สุดของการกระจายมวลทั้งหมดในระบบที่กำลังศึกษาอยู่ แสดงโดย m i มวลของแต่ละจุดของระบบ (i = 1,…,n) ตำแหน่งใด ๆ ของพวกเขาสามารถอธิบายได้ด้วยสามพิกัด: x i , y i , z i . จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่ามวลของร่างกาย (ของระบบทั้งหมด) จะเท่ากับผลรวมของมวลของอนุภาค: М=∑m i และจุดศูนย์กลางมวล (O) สามารถกำหนดได้ด้วยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

X o = ∑m ฉัน *x ฉัน /M;

Y o = ∑m ฉัน *y ฉัน /M;

Z o = ∑m ฉัน *z ฉัน /M

ทำไมประเด็นนี้ถึงน่าสนใจ? ข้อได้เปรียบหลักประการหนึ่งคือลักษณะการเคลื่อนที่ของวัตถุโดยรวม คุณสมบัตินี้ทำให้สามารถใช้จุดศูนย์กลางมวลในกรณีที่ร่างกายมีขนาดใหญ่หรือมีรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่สม่ำเสมอ

สิ่งที่คุณต้องรู้เพื่อค้นหาจุดนี้

ใช้งานได้จริง

แนวคิดนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายใน พื้นที่ต่างๆกลศาสตร์. โดยปกติจะใช้จุดศูนย์กลางมวลเป็นจุดศูนย์ถ่วง หลังเป็นจุดที่แขวนวัตถุไว้ข้างหลังซึ่งจะสามารถสังเกตความไม่แปรเปลี่ยนของตำแหน่งได้ ศูนย์กลางมวลของระบบมักถูกคำนวณเมื่อออกแบบชิ้นส่วนต่างๆ ในทางวิศวกรรมเครื่องกล นอกจากนี้ยังมีบทบาทอย่างมากในการทรงตัว ซึ่งสามารถนำไปใช้ได้ เช่น ในการสร้างเฟอร์นิเจอร์ทางเลือก ยานพาหนะ ในการก่อสร้าง ในคลังสินค้า ฯลฯ หากไม่ทราบหลักการพื้นฐานที่ใช้กำหนดจุดศูนย์ถ่วง มันจะ จัดระเบียบความปลอดภัยของงานที่มีโหลดขนาดใหญ่และวัตถุโดยรวมได้ยาก เราหวังว่าบทความของเราจะเป็นประโยชน์และตอบคำถามทั้งหมดในหัวข้อนี้

ลองนึกภาพสิ่งของสองชิ้นที่มีมวลและเชื่อมต่อกันด้วยแท่งไฟเพื่อให้ระยะห่างระหว่างวัตถุทั้งสองเท่ากัน (รูปที่ 1) โหลดดังกล่าวไม่สามารถทำงานได้อย่างอิสระอีกต่อไป - พวกมันก่อตัวขึ้น ระบบเดียว. หากคุณใช้แรงภายนอกกับโหลด โหลดก็จะเร่งขึ้นเช่นกัน และในทางกลับกัน วิธีที่ดีที่สุดในการอธิบายการเคลื่อนไหวของระบบดังกล่าวคืออะไร?

ปรากฎว่ามีจุดเดียวที่เคลื่อนที่ราวกับว่ามวลทั้งหมดของระบบกระจุกตัวอยู่ในนั้นและใช้แรงภายนอกทั้งหมด ( กองกำลังภายในสามารถละเว้นได้เนื่องจากผลรวมเวกเตอร์ตามกฎข้อที่สามของนิวตันมีค่าเท่ากับศูนย์) ตัวอย่างเช่น ถ้าน้ำหนักถูกโยนลงไปในสนามแรงโน้มถ่วง มันก็จะพังลงมา แต่จุดหนึ่งของระบบจะเคลื่อนที่ไปตามพาราโบลาตามที่คาดไว้ จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางมวล แม้แต่ระบบที่ซับซ้อนที่สุดก็มี

จะหาตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลได้อย่างไร? หากคุณแขวนแท่งที่มีน้ำหนักด้วยตัวเลือกจุดแขวนที่แน่นอนแท่งจะยังคงอยู่ในสมดุลในแนวนอน สำหรับสิ่งนี้จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข - เพื่อให้ช่วงเวลาของแรงโน้มถ่วงเทียบกับจุดระงับจะเท่ากัน ในทางกลับกัน เนื่องจากตามคำนิยามแล้ว เราสามารถสันนิษฐานได้ว่ามวลทั้งหมดของระบบกระจุกตัวอยู่ที่จุดศูนย์กลางมวล ผลของแรงโน้มถ่วงจะต้องผ่านจุดศูนย์กลางมวลด้วย (ดังนั้นจึงเรียกอีกอย่างว่าจุดศูนย์กลางของ แรงโน้มถ่วงของระบบ) ดังนั้นในสภาวะสมดุลเมื่อไม่มีการหมุน จุดศูนย์กลางมวลจะต้องตรงกับจุดที่หยุดหมุน แน่นอน ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลไม่จำเป็นต้องพบในการทดลอง สามารถคำนวณโดยใช้สูตรข้างต้น: จุดศูนย์กลางมวลอยู่บนเส้นที่เชื่อมต่อน้ำหนักที่ระยะห่างจากโหลดหรือที่ระยะห่างจากโหลด หากมีน้ำหนักมาก แบ่งระบบออกเป็นคู่ๆ ตามลำดับ คุณจะพบตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของระบบทั้งหมด

ดังนั้น จุดศูนย์กลางมวลช่วยให้เราสามารถอธิบายการเคลื่อนที่ขนาดใหญ่ของระบบภายใต้การกระทำของ แรงภายนอกเสียสมาธิจากรายละเอียดของการเคลื่อนไหวภายใน โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากแรงภายนอกไม่กระทำต่อร่างกาย (หรือผลรวมเวกเตอร์เท่ากับศูนย์) จุดศูนย์กลางมวลจะต้องเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ หากในตอนแรกหยุดนิ่ง การกระจัดจะเป็นศูนย์ ศูนย์กลางมวลของระบบแยกยังคงอยู่ที่เดิม ด้วยเหตุนี้จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะกระจายตัวบนน้ำแข็งที่ลื่นมาก บินหนีไปด้วยจรวดโดยไม่ทิ้งเชื้อเพลิงกลับ ฯลฯ คุณสมบัตินี้สะท้อนถึงกฎธรรมชาติที่สำคัญมาก นั่นคือกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม

ในทางกลับกัน หากเราสนใจกระบวนการภายในของระบบ ดังนั้น เพื่อที่จะแยกออกจากการเคลื่อนไหวโดยรวม เราสามารถเปลี่ยนไปใช้กรอบอ้างอิงที่เกี่ยวข้องกับศูนย์กลางมวล (ศูนย์กลางของระบบมวล) . สำหรับระบบที่แยกออกจากกัน จุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ และระบบดังกล่าวจะเฉื่อย

ตัวอย่างเช่น เป็นที่ทราบกันดีว่าควอนตั้มสามารถสร้างอนุภาคคู่หนึ่ง: อิเล็กตรอนและโพซิตรอน แต่กลายเป็นว่ากระบวนการนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้กับควอนตัมเดียว เพื่อตรวจสอบสิ่งนี้ เราใช้ศูนย์กลางของระบบมวล ในระบบนี้ โมเมนตัมรวมของอิเล็กตรอนและโพสิตรอนมีค่าเท่ากับศูนย์ (เนื่องจากมวลของอนุภาคเท่ากัน จุดศูนย์กลางของมวลจะอยู่ตรงกลางเสมอ และเมื่อเทียบกับมัน อนุภาคจะบินออกจากกันด้วยความเร็วเท่ากัน ไปคนละทิศละทาง) ในเวลาเดียวกัน โมเมนตัมของ -ควอนตัม ซึ่งเป็นต้นกำเนิดของอนุภาคนั้นแตกต่างจากศูนย์ เนื่องจากในกรอบอ้างอิงใด ๆ มันเคลื่อนที่ด้วยความเร็วแสง ดังนั้นกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมจึงห้ามกระบวนการดังกล่าว มันสามารถเกิดขึ้นได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อโฟตอนสองตัวชนกันหรือเมื่อมีอนุภาคอื่นที่มีการถ่ายโอนโมเมนตัมเพิ่มเติม ในทำนองเดียวกัน การทำลายล้างก่อให้เกิดสองควอนตัม (รูปที่ 2) อย่างที่เห็นได้ว่าสะดวกในการศึกษากระบวนการปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคในศูนย์กลางของระบบมวล และระบบดังกล่าวมักใช้ในฟิสิกส์นิวเคลียร์และฟิสิกส์ของอนุภาคมูลฐาน

พิจารณาระบบคะแนนวัสดุเดียวกันอีกครั้ง ลองสร้างเวกเตอร์รัศมีตามกฎต่อไปนี้:

โดยที่เวกเตอร์รัศมีของจุดวัสดุนั้นของระบบคืออะไร และคือมวลของมัน

เวกเตอร์รัศมีกำหนดตำแหน่งในอวกาศ ศูนย์กลางความเฉื่อย (ศูนย์กลางมวล)ระบบ

ไม่จำเป็นเลยที่จุดวัสดุบางส่วนจะอยู่ที่ศูนย์กลางมวลของระบบ

ตัวอย่าง.มาหาจุดศูนย์กลางมวลของระบบที่ประกอบด้วยลูกบอลขนาดเล็กสองลูก - จุดวัสดุเชื่อมต่อกันด้วยแท่งไร้น้ำหนัก (รูปที่ 3.29) ระบบของร่างกายนี้เรียกว่าดัมเบล

ข้าว. 3.29. ศูนย์กลางมวลดัมเบล

จากมะเดื่อ เป็นที่ชัดเจนว่า

แทนการแสดงออกของเวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์กลางมวลลงในความเท่าเทียมกันเหล่านี้

ตามมาด้วยจุดศูนย์กลางมวลอยู่บนเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางของลูกบอล ระยะทาง ล 1 และ ล 2 ระหว่างลูกบอลและจุดศูนย์กลางมวลเท่ากันตามลำดับ

จุดศูนย์กลางมวลจะอยู่ใกล้ลูกบอลมากกว่า มวลจะมากกว่า ดังจะเห็นได้จากความสัมพันธ์:

ให้เรากำหนดความเร็วที่ศูนย์กลางของความเฉื่อยของระบบเคลื่อนที่ เรามาแยกความแตกต่างของทั้งสองส่วนตามเวลากัน:

ตัวเศษของนิพจน์ผลลัพธ์ทางด้านขวาประกอบด้วยผลรวมของแรงกระตุ้นของจุดทั้งหมด นั่นคือ แรงกระตุ้นของระบบ ตัวส่วนคือมวลรวมของระบบ

เราพบว่าความเร็วของจุดศูนย์กลางความเฉื่อยสัมพันธ์กับโมเมนตัมของระบบและมวลรวมด้วยความสัมพันธ์เดียวกันกับที่ใช้ได้สำหรับจุดวัสดุ:

วิดีโอ 3.11. การเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของเกวียนที่เหมือนกันสองคันที่เชื่อมต่อกันด้วยสปริง

จุดศูนย์กลางมวลของระบบปิดจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่เสมอ เนื่องจากโมเมนตัมของระบบดังกล่าวจะถูกอนุรักษ์ไว้

หากตอนนี้เราแยกแยะนิพจน์สำหรับโมเมนตัมของระบบตามเวลาและพิจารณาว่าอนุพันธ์ของโมเมนตัมของระบบเป็นผลมาจากแรงภายนอก เราก็จะได้ สมการการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบโดยทั่วไป:

เป็นที่ชัดเจนว่า

จุดศูนย์กลางมวลของระบบเคลื่อนที่ในลักษณะเดียวกับจุดมวลที่มีมวลจะเคลื่อนที่ เท่ากับมวลของอนุภาคทั้งหมดของระบบ ภายใต้การกระทำของผลรวมเวกเตอร์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อระบบ

หากมีระบบของจุดวัสดุ ตำแหน่งภายในและการเคลื่อนไหวที่เราไม่สนใจ เรามีสิทธิ์ที่จะพิจารณาว่าเป็นจุดวัสดุที่มีพิกัดของเวกเตอร์รัศมีของศูนย์กลางความเฉื่อยและมวลเท่ากับผลรวม มวลของจุดวัสดุของระบบ

หากเราเชื่อมโยงกับจุดศูนย์กลางมวลของระบบปิดของจุดวัสดุ (อนุภาค) ระบบอ้างอิง (เรียกว่า ระบบจุดศูนย์ถ่วง) ดังนั้นโมเมนตัมรวมของอนุภาคทั้งหมดในระบบดังกล่าวจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นในศูนย์กลางของระบบมวล ระบบปิดของอนุภาค โดยรวมอยู่นิ่งและมีการเคลื่อนที่ของอนุภาคเทียบกับจุดศูนย์กลางมวลเท่านั้น ดังนั้นจึงสามารถเปิดเผยคุณสมบัติของกระบวนการภายในที่เกิดขึ้นในระบบปิดได้อย่างชัดเจน

ในกรณีที่ระบบเป็นวัตถุที่มีการกระจายมวลอย่างต่อเนื่อง คำจำกัดความของจุดศูนย์กลางมวลยังคงเหมือนเดิม เราล้อมรอบจุดโดยพลการในร่างกายของเราด้วยปริมาตรเล็กน้อย มวลที่บรรจุอยู่ในปริมาตรนี้เท่ากับ ความหนาแน่นของสารในร่างกายอยู่ที่ไหน ซึ่งอาจไม่คงที่ในปริมาตรของมัน ตอนนี้ผลรวมของมวลมูลฐานดังกล่าวทั้งหมดถูกแทนที่ด้วยอินทิกรัลของปริมาตรทั้งหมดของร่างกาย เพื่อให้ได้รับนิพจน์สำหรับตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย

หากสารในร่างกายเป็นเนื้อเดียวกัน ความหนาแน่นของมันจะคงที่ และสามารถนำออกจากใต้เครื่องหมายอินทิกรัลได้ เพื่อให้มันลดลงในตัวเศษและตัวส่วน จากนั้นนิพจน์สำหรับเวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายจะอยู่ในรูปแบบ

ปริมาตรของร่างกายอยู่ที่ไหน

และในกรณีที่มีการแจกแจงจำนวนมากอย่างต่อเนื่อง ข้อความดังกล่าวเป็นความจริงว่า

จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุแข็งจะเคลื่อนที่ในลักษณะเดียวกับจุดวัสดุที่มีมวลเท่ากับมวลของวัตถุจะเคลื่อนที่ภายใต้การกระทำของผลรวมเวกเตอร์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำกับวัตถุ

ตัวอย่าง. หากโพรเจกไทล์ระเบิด ณ จุดใดจุดหนึ่งในวิถีโค้งพาราโบลา เศษชิ้นส่วนจะลอยไปตามวิถีต่างๆ แต่จุดศูนย์กลางมวลยังคงเคลื่อนที่ไปตามพาราโบลา

คำว่า "ศูนย์กลางมวล" ไม่ได้ใช้เฉพาะในกลศาสตร์และในการคำนวณการเคลื่อนไหวเท่านั้น แต่ยังใช้ในชีวิตประจำวันด้วย เป็นเพียงว่าผู้คนมักไม่คิดถึงกฎของธรรมชาติที่ปรากฏในสถานการณ์ที่กำหนด ตัวอย่างเช่น นักสเก็ตลีลาที่เล่นสเก็ตคู่จะใช้จุดศูนย์กลางมวลของระบบอย่างแข็งขันเมื่อหมุนตัว โดยจับมือกัน

แนวคิดเรื่องจุดศูนย์กลางมวลยังใช้ในการออกแบบเรืออีกด้วย จำเป็นต้องคำนึงถึงไม่ใช่แค่สองร่างเท่านั้น แต่ยังมีจำนวนมากและนำทุกอย่างมาเป็นตัวส่วนร่วม ข้อผิดพลาดในการคำนวณหมายถึงการขาดเสถียรภาพของเรือ: ในกรณีหนึ่ง เรือจะจมอยู่ในน้ำมากเกินไป เสี่ยงที่จะจมเมื่อโดนคลื่นเพียงเล็กน้อย และอีกด้านหนึ่งก็อยู่สูงจากระดับน้ำทะเลมากเกินไป ซึ่งอาจก่อให้เกิดอันตรายจากการรัฐประหารได้ อย่างไรก็ตาม นั่นคือเหตุผลที่ทุกสิ่งบนกระดานควรเข้าที่ โดยการคำนวณ: ใหญ่ที่สุดที่ด้านล่างสุด

ศูนย์กลางของมวลไม่ได้ถูกใช้เฉพาะในความสัมพันธ์เท่านั้น เทห์ฟากฟ้าและการออกแบบกลไก แต่ยังรวมถึงการศึกษา "พฤติกรรม" ของอนุภาคของไมโครเวิร์ลด้วย ตัวอย่างเช่น หลายตัวเกิดเป็นคู่ (อิเล็กตรอน-โพซิตรอน) มีการหมุนเริ่มต้นและปฏิบัติตามกฎแรงดึงดูด/แรงผลัก พวกมันถือได้ว่าเป็นระบบที่มีจุดศูนย์กลางมวลร่วมกัน