การประชุมทางวิทยาศาสตร์และการปฏิบัติ

“ก้าวแรกสู่วิทยาศาสตร์”

ส่วน"คณิตศาสตร์"

สมบูรณ์:นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ของ MBOU

"โรงเรียนมัธยมมอร์โดเวียน-เปเยฟสกายา"

เอรอคคิน อีวาน

หัวหน้างาน:ครูคณิตศาสตร์

Kadyshkina N.V.

อินซาร์ 2014

สารบัญ

การแนะนำ…………………………………………………………………………………

ประวัติความเป็นมาของการค้นพบจำนวนเชิงซ้อน ………………… 4

2.1. คำกล่าวของนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่เกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน... 4

2.2 การปรากฏตัวของจำนวนเชิงซ้อน……………………………4

ส่วนสำคัญ

คำจำกัดความของจำนวนเชิงซ้อน………………………………………… 8

2.1. รูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน………8

2.2. การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน…………………… 9

3. การแก้สมการด้วยตัวแปรเชิงซ้อน………………… 12

4. แนวคิดของระนาบเชิงซ้อน…………………………….. 14

5. รูปทรงเรขาคณิตจำนวนเชิงซ้อน……………………….. 15

6. แบบฟอร์มตรีโกณมิติตัวเลข…………………………….. 17

7. การยกจำนวนเชิงซ้อนให้ยกกำลัง………………. 19

แบบฟอร์มสาธิตตัวเลข………………………………………………………20

จำนวนเชิงซ้อนใช้ที่ไหน............................................ ........ 21

บทสรุป. ข้อสรุป……………………………………………………………………… 23

อ้างอิง…………………………………………24

ทดสอบหัวข้อ “จำนวนเชิงซ้อน”………………………………. 25

การแนะนำ ใน กาลเวลาเมื่อเรียนรู้ที่จะนับผู้คนก็เรียนรู้การวัดปริมาณ - ตัวเลข NUMBER เป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ ซึ่งมีต้นกำเนิดมาตั้งแต่สมัยโบราณและค่อยๆ ขยายออกไปและทำให้แพร่หลาย มีเสน่ห์ ความงามของธรรมชาติ, อิ่มแล้ว ความสามัคคีภายในเข้าถึงได้แต่ยังเข้าใจยาก ซ่อนความลับมากมายไว้เบื้องหลังความเรียบง่ายที่ชัดเจน... ในชีวิตเราแต่ละคนต้องเผชิญกับตัวเลข ดี หลักสูตรของโรงเรียนและชีวิตต่อไปเป็นเรื่องยากที่จะจินตนาการได้หากไม่มีพวกเขา

เป็นธรรมชาติ ทั้งหมด มีเหตุผล ไม่ลงตัว มีอยู่จริง พวกเขาทำให้ฉันหลงใหลมากขึ้นทุกปี ปีที่แล้วฉันได้ค้นคว้าเกี่ยวกับเลขลึกลับไพ นี่คือจุดที่จำนวนเชิงซ้อนทำให้ฉันสนใจ ฉันได้ยินเรื่องพวกนี้ครั้งแรกตอนเกรด 8 ขณะแก้สมการกำลังสอง ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ฉันมีปัญหาร้ายแรงในการแก้สมการกำลังสาม ซึ่งต้องมีสามราก เนื่องจากหลังจากแยกพหุนามออกเป็นตัวประกอบเชิงเส้นแล้ว ก็จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสอง และทันใดนั้นปรากฎว่าการแบ่งแยกเป็นลบนั่นคือสมการไม่มีรากเพราะเมื่อค้นหารากของสมการกำลังสองฉันต้องแยกรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของจำนวนลบออก ซึ่งหมายความว่าสมการลูกบาศก์แทนที่จะเป็นสามรากมีเพียงรากเดียว นั่นคือวิธีที่ฉันได้รับความขัดแย้ง และฉันตัดสินใจที่จะตรวจสอบมัน การดำเนินการดังกล่าวเป็นไปไม่ได้กับเซตของจำนวนจริง แต่ก็ไม่เป็นไปไม่ได้โดยทั่วไป ปรากฎว่ารากของสมการที่ฉันกำลังแก้อยู่ในเซตของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งประกอบด้วยตัวเลขซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ -1ความสนใจของฉันเพิ่มมากขึ้นเมื่อฉันเรียนรู้มากมายเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน

เป้าหมายของงาน:ศึกษาจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์และบทบาทของพวกเขาในคณิตศาสตร์หลายสาขา

วัตถุประสงค์ของการวิจัย:

1. วิเคราะห์วรรณกรรมในประเด็นนี้

2. จัดระบบข้อมูลเกี่ยวกับตัวเลข

3. ขยายชุดตัวเลขจากเป็นธรรมชาติไปเป็นซับซ้อนเป็นแนวทาง

การสร้างเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ใหม่

4. ปรับปรุงเทคนิคการแปลงพีชคณิต

5. ประเมินความหมายและบทบาทของจำนวนเชิงซ้อนในคณิตศาสตร์ เพื่อเพิ่มความสนใจในการศึกษาจำนวนเชิงซ้อนของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ในการพัฒนาความสามารถในการสร้างสรรค์และการวิจัย

ปัญหา:การขาดเรียนในหลักสูตรพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ สถาบันการศึกษาส่วนศึกษาจำนวนเชิงซ้อน

สมมติฐานการทำงาน:สันนิษฐานว่าการแนะนำและการศึกษาจำนวนเชิงซ้อนโดยนักเรียนจะช่วยให้พวกเขาเพิ่มพูนความรู้ในด้านคณิตศาสตร์หลายด้านและเตรียมเครื่องมือเพิ่มเติมสำหรับการแก้ปัญหาต่างๆ

หัวข้อการศึกษา:จำนวนเชิงซ้อน

วัตถุประสงค์ของการศึกษา: แบบฟอร์มสำหรับระบุจำนวนเชิงซ้อนและการดำเนินการกับจำนวนเหล่านั้น

วิธีการวิจัย:

1. ศึกษาและวิเคราะห์แหล่งวรรณกรรม

2. การแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

3. พัฒนาการทดสอบ

4. สำรวจ.

5. การวิเคราะห์งานที่ทำ

ความเกี่ยวข้องของหัวข้อ

ฉันเชื่อว่าธีมของฉันที่เกี่ยวข้อง เนื่องจากแม้ว่าในยุคของเราจะมีวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์และการศึกษาค่อนข้างมาก แต่สิ่งพิมพ์บางฉบับไม่ได้นำเสนอเนื้อหาอย่างชัดเจน เข้าใจได้ และเข้าถึงได้สำหรับนักเรียนของเรา ความสนใจของฉันเพิ่มมากขึ้นเมื่อฉันเรียนรู้มากมายเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน นี่คือผลงานของฉันในหัวข้อนี้

ส่วนสำคัญ.

ประวัติความเป็นมาของการค้นพบจำนวนเชิงซ้อน

ตัวเลขในจินตนาการเป็นสิ่งมหัศจรรย์และเป็นที่พึ่งของวิญญาณศักดิ์สิทธิ์ เกือบจะเป็นสัตว์ครึ่งบกครึ่งน้ำที่ไม่มีอะไรเลย ก. ไลบ์นิซ

“นอกเหนือจากและขัดต่อความประสงค์ของนักคณิตศาสตร์คนใดคนหนึ่ง ตัวเลขจินตภาพยังปรากฏขึ้นครั้งแล้วครั้งเล่าในการคำนวณ และเมื่อประโยชน์ของการใช้ถูกค้นพบก็ค่อยๆ แพร่หลายมากขึ้นเท่านั้น” เอฟ. ไคลน์

ไม่มีใครสงสัยในความถูกต้องของผลลัพธ์ที่ได้จากการคำนวณด้วยปริมาณจินตภาพ แม้ว่าจะเป็นเพียงรูปแบบพีชคณิตและอักษรอียิปต์โบราณของปริมาณที่ไร้สาระก็ตาม

แอล. การ์โนต์

กระบวนการขยายแนวคิดเรื่องจำนวนจากธรรมชาติไปสู่จำนวนจริงมีความเกี่ยวข้องทั้งกับความจำเป็นในการฝึกฝนและกับความต้องการของคณิตศาสตร์ด้วย นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณถือว่าเฉพาะตัวเลขธรรมชาติเท่านั้นที่เป็น "จำนวนจริง" แต่ในการคำนวณเชิงปฏิบัติเมื่อสองพันปีก่อนคริสตกาล ในบาบิโลนโบราณและ อียิปต์โบราณมีการใช้เศษส่วนแล้ว ต่อไป ขั้นตอนสำคัญในการพัฒนาแนวคิดเรื่องจำนวนปรากฏว่ามีปริมาณเป็นลบ พวกเขาได้รับการแนะนำโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวจีนเมื่อสองศตวรรษก่อนคริสต์ศักราช จ. และนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณไดโอแฟนตัสใน สาม คริสต์ศตวรรษที่ จ. รู้วิธีดำเนินการกับเชิงลบอยู่แล้วตัวเลขจริง

ในทางคณิตศาสตร์เรียกว่าเซตของจำนวนจริง

จำนวนจริงทั้งหมดอยู่บนเส้นจำนวน:

กลุ่มของจำนวนจริงมีความหลากหลายมาก มีทั้งจำนวนเต็ม เศษส่วน และจำนวนอตรรกยะ ในกรณีนี้ จุดตัวเลขแต่ละจุดจะต้องสอดคล้องกับจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง

ใน สิบสาม ศตวรรษเริ่มแยกรากที่สองจากจำนวนบวกแล้วกำหนดสิ่งนั้นด้วยจำนวนลบการดำเนินการนี้เป็นไปไม่ได้ แต่ในเจ้าพระยา ศตวรรษที่เกี่ยวข้องกับการศึกษานักคณิตศาสตร์สมการลูกบาศก์ประสบปัญหา:ในการศึกษาสมการลูกบาศก์ จำเป็นต้องแยกรากที่สองออกจากจำนวนลบ

ยูการจัดตำแหน่ง ต้องมีทีสามราก. เมื่อแก้ได้บ่อยๆมีจำนวนลบอยู่ใต้เครื่องหมายรากที่สอง ปรากฎว่าเส้นทางไปยังรากเหล่านี้นำไปสู่การดำเนินการที่เป็นไปไม่ได้ในการแยกรากที่สองของจำนวนลบ

เพื่ออธิบายความขัดแย้งที่เกิดขึ้น นักพีชคณิตชาวอิตาลี จิโรลาโม คาร์ดาโน ในปี 1545 ได้เสนอแนะตัวเลขที่มีลักษณะใหม่ เขาแสดงให้เห็นว่าระบบสมการ x + y = 10เอ็กซ์ซี = 40 ซึ่งไม่มีคำตอบในชุดจำนวนจริง จะมีคำตอบเสมอ x = 5 ±
, y = 5 ±
คุณเพียงแค่ต้องตกลงที่จะดำเนินการกับนิพจน์ดังกล่าวตามกฎของพีชคณิตธรรมดาและถือว่าเป็นเช่นนั้น
∙
= - ก. Cardano เรียกปริมาณดังกล่าวว่า “ล้วนๆ เชิงลบ" และแม้แต่ "เชิงลบเชิงซับซ้อน"แต่เขาคิดว่ามันไร้ประโยชน์โดยสิ้นเชิงและพยายามที่จะไม่ใช้มัน อย่างไรก็ตามในปี ค.ศ. 1572 เพื่อนร่วมชาติของเขา อาร์. บอมเบลลี ได้ตีพิมพ์หนังสือซึ่งมีการกำหนดกฎข้อแรกของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขดังกล่าว จนถึงการแยกออกจากพวกมันมีรากลูกบาศก์

ชื่อ "ตัวเลขจินตภาพ" ถูกนำมาใช้ในปี 1637

นักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวฝรั่งเศส R. Descartes

และในปี พ.ศ. 2320 นักพีชคณิตที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งที่สิบแปด ศตวรรษ - L. ออยเลอร์ - แนะนำให้ใช้อักษรตัวแรกของคำภาษาฝรั่งเศสจินตนาการ (ความคิดเห็น ฉัน) เพื่อแสดงถึงตัวเลขฉัน =
.

สัญลักษณ์นี้ถูกนำมาใช้โดยทั่วไปโดย K. Gaussคำว่า “จำนวนเชิงซ้อน ” ได้รับการแนะนำโดยเกาส์ในปี พ.ศ. 2374 คำว่าซับซ้อน (จากภาษาละตินเชิงซ้อน ) หมายถึง ความเชื่อมโยง การรวมกัน ชุดของแนวคิด วัตถุ ปรากฏการณ์ ฯลฯ, โอ รวมกันเป็นหนึ่งเดียว

ในช่วงรัชกาลที่ 17 ศตวรรษ การอภิปรายเกี่ยวกับธรรมชาติทางคณิตศาสตร์ของจำนวนจินตภาพและความเป็นไปได้ในการให้เหตุผลเชิงเรขาคณิตแก่พวกมันยังคงดำเนินต่อไป

เทคนิคการดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนค่อยๆพัฒนาขึ้น บนขอบ XVII – XVIII ศตวรรษ ทฤษฎีทั่วไปเรื่องรากได้ถูกสร้างขึ้นn ระดับที่ 1 จากจำนวนลบ แล้วต่อจากจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 18 เจ. ลากรองจ์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสสามารถกล่าวได้ว่าการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์นั้นไม่ซับซ้อนอีกต่อไปด้วยปริมาณจินตภาพ จากการใช้จำนวนเชิงซ้อน เราเรียนรู้ที่จะแสดงวิธีแก้ไขปัญหาเชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์โดยมีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ ตัวอย่างเช่น สมการดังกล่าวพบได้ในทฤษฎีการแกว่งของจุดวัสดุในตัวกลางต้านทาน

เจ. เบอร์นูลลีใช้จำนวนเชิงซ้อนในการคำนวณปริพันธ์ แม้ว่าในระหว่างที่สิบแปด ศตวรรษ คำถามมากมายได้รับการแก้ไขด้วยความช่วยเหลือของจำนวนเชิงซ้อน รวมถึงปัญหาประยุกต์ที่เกี่ยวข้องกับการทำแผนที่ อุทกพลศาสตร์ ฯลฯ แต่ก็ยังไม่มีเหตุผลเชิงตรรกะอย่างเคร่งครัดสำหรับทฤษฎีของตัวเลขเหล่านี้ ดังนั้นนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส P. Laplace เชื่อว่าผลลัพธ์ที่ได้รับด้วยความช่วยเหลือของตัวเลขจินตภาพนั้นเป็นเพียงการเหนี่ยวนำเท่านั้นจึงจะได้รับลักษณะของความจริงที่แท้จริงหลังจากการยืนยันด้วยหลักฐานโดยตรงเท่านั้น ในตอนท้าย XVIII – ต้น XIX ศตวรรษ ได้รับการตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน Dane G. Wessel, J. Argan ชาวฝรั่งเศส และ K. Gauss ชาวเยอรมัน เสนออย่างอิสระให้เป็นตัวแทนของจำนวนเชิงซ้อน z = a + จุดสองจุด M (a, b ) บนระนาบพิกัด ต่อมาปรากฎว่าสะดวกกว่าในการแสดงตัวเลขไม่ใช่จากจุด M เอง แต่โดยเวกเตอร์ OM ที่ไปยังจุดนี้จากจุดกำเนิดของพิกัด ด้วยการตีความนี้ การบวกและการลบจำนวนเชิงซ้อนจะสอดคล้องกับการดำเนินการเดียวกันกับเวกเตอร์

การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อนทำให้สามารถกำหนดแนวคิดต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนและขยายขอบเขตของการประยุกต์ได้ เห็นได้ชัดว่าจำนวนเชิงซ้อนมีประโยชน์ในหลายประเด็นที่เกี่ยวข้องกับปริมาณที่แสดงด้วยเวกเตอร์บนระนาบ: เมื่อศึกษาการไหลของของไหล ปัญหาในทฤษฎีความยืดหยุ่น ในวิศวกรรมไฟฟ้าเชิงทฤษฎี

นักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซียและโซเวียตมีส่วนช่วยอย่างมากในการพัฒนาทฤษฎีการทำงานของตัวแปรที่ซับซ้อน: R.I. Muskhelishvili ศึกษาการประยุกต์ใช้กับทฤษฎีความยืดหยุ่น M.V. Keldysh และ M.A. Lavrentiev - เพื่ออากาศพลศาสตร์และอุทกพลศาสตร์, N.N. Bogolyubov และ V.S. Vladimirov - สู่ปัญหา ทฤษฎีควอนตัมสาขา

คำจำกัดความของจำนวนเชิงซ้อน

3.1 รูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน z เรียกว่าการแสดงออก z = ก + ข ฉัน, ที่ไหน ก และ ข – จำนวนจริงฉัน 2 = -1,

ก = อีกครั้ง z – ส่วนที่แท้จริง z (จริง) (Re จากภาษาฝรั่งเศส r é ele – “ของจริง”, “ถูกต้อง”);

ข = ฉัน z ส่วนจินตภาพ z (ฉันมาจากจินตนาการของชาวฝรั่งเศส - "จินตนาการ") .

ข – สัมประสิทธิ์ของส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน

การเขียนจำนวนเชิงซ้อน z อยู่ในรูป a + ib เรียกว่ารูปพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ถ้า ก 0 ใน 0, หมายเลขนั้น z– จินตนาการ ( z = 37 - 6 ผม ).

อี ถ้า ก = 0 , วี 0, หมายเลขนั้น z –จำนวนจินตภาพล้วนๆ ( z = 22 ผม) .

ถ้า ก 0 ใน =0, z - เบอร์จริง ( z = -5).

เลขยกกำลัง i:

ฉัน 1 = ฉัน
ฉัน 4n+1 = ฉัน;

ฉัน 2 = - 1
ฉัน 4n+2 = - 1;

ฉัน 3 = ฉัน 2 ·ฉัน
ฉัน 4n+3 = - ฉัน

ฉัน 4 = (ฉัน 2 ) 2 = 1
ฉัน 4 n = 1

ตามมาจากสูตรที่การบวกและการคูณสามารถทำได้ตามกฎการดำเนินการด้วยพหุนามโดยพิจารณาจาก ฉัน 2 = –1 การดำเนินการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนมีคุณสมบัติเป็นจำนวนจริง คุณสมบัติพื้นฐาน:

คุณสมบัติการแทนที่:

Z 1 +Z 2 =Z 2 +Z 1, Z 1 ·Z 2 =Z 2 ·Z 1

คุณสมบัติที่ตรงกัน:

(Z 1 +Z 2)+Z 3 =Z 1 +(Z 2 +Z 3), (Z 1 Z 2) Z 3 =Z 1 (Z 2 Z 3)

คุณสมบัติการกระจาย:

Z 1 ·(Z 2 +Z 3)=Z 1 ·Z 2 +Z 1 ·Z 3

ผลรวมของตัวเลขตรงข้ามสองตัวคือ 0 (z + (- z ) = 0)

จำนวนเชิงซ้อนจะเท่ากับศูนย์ถ้าส่วนจริงและส่วนจินตภาพมีค่าเท่ากับศูนย์ตามลำดับ

3.2 การดำเนินการเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน.

ส่วนจำนวนเชิงซ้อนที่เขียนไว้ รูปแบบพีชคณิตทุกสิ่งสามารถทำได้ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เช่นเดียวกับทวินามธรรมดา โดยคำนึงถึงสิ่งนั้นเท่านั้น ฉัน 2 = -1.

การบวกและการลบจำนวนเชิงซ้อน

ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน z 1 = a 1 + b 1 i และ z 2 = a 2 – b 2 i เท่ากับ:
z 1 + z 2 = (ก 1 + 2) +(ข 1 + ข 2) ผม

ตัวอย่างที่ 1

บวกจำนวนเชิงซ้อนสองตัวz 1 = 1 +3 ฉัน, z 2 =4-5 ฉัน

ในการบวกจำนวนเชิงซ้อนสองตัว คุณต้องบวกส่วนจริงและส่วนจินตภาพ:

z 1 +z 2 =1 +3i +4 -5i =5 -2i

ความแตกต่างของความซับซ้อน z 1 = ก 1 + ข 1 ฉัน และ z 2 = ก 2 – ข 2 ฉัน ตัวเลขเท่ากัน บน:

z 1 - z 2 = (ก 1 - 2) + (ข 1 - ข 2) ผม

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาผลต่างของจำนวนเชิงซ้อนz 1 = -2 + ฉันและz 2 = 4 ฉัน -2

การดำเนินการคล้ายกับการบวก ความผิดปกติเพียงอย่างเดียวคือต้องใส่เครื่องหมายย่อยในวงเล็บ จากนั้นจะต้องเปิดวงเล็บด้วยวิธีมาตรฐานโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย:

ซี 1 – z 2 = (-2 + ผม ) – (4i – 2) = -2 +ผม – 4i +2 = - 3i

การคูณจำนวนเชิงซ้อน

ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน z 1 = a 1 + b 1 i และ z 2 = a 2 – b 2 i เท่ากับ:

z 1 · z 2 = (ก 1 · 2 - ข 1 · ข 2 ) +( ก 2 · ข 1 + ข 2 · 1 ) · ฉัน

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน

z 1 =1 – ผม, z 2 =3 +6i

z 1 z 2 =(1 -i)(3 +6i)=1 3 –i 3 + 1 6i - ฉัน 6i= 3- 3i + 6i +6 = 9 + 3i

การหารจำนวนเชิงซ้อน

ผลหารของจำนวนเชิงซ้อน z 1 = ก 1 + ข 1 · ฉัน และ z 2 = ก 2 – ข 2 · ฉัน เท่ากับ:

ตัวอย่างที่ 4 ให้ z 1 =13 + i, z 2 = 7 – 6 i

หากต้องการหาผลหาร ขั้นแรกให้นำตัวเศษและส่วนของเศษส่วนไปคูณตัวส่วนแบบคอนจูเกต จากนั้นจึงดำเนินการที่เหลือ

การแยกรากออกจากจำนวนเชิงซ้อน

ถอนรากไม่ได้เหรอ? ถ้า เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับจำนวนจริงแล้วมันเป็นไปไม่ได้เลยจริงๆ สามารถแยกรากของจำนวนเชิงซ้อนได้! อย่างแม่นยำมากขึ้น, สองราก:

รากที่พบคือคำตอบของสมการจริงหรือ? มาตรวจสอบกัน:

รากเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่า ผสานรากที่ซับซ้อน.

เมื่อทำการสกัด รากที่สองจากจำนวนลบที่เราได้รับ สองผสานรากที่ซับซ้อน

ตัวอย่างเช่น, , , , ,

การแก้สมการด้วยตัวแปรเชิงซ้อน

ก่อนอื่น ฉันดูสมการกำลังสองที่ง่ายที่สุด z 2 = a โดยที่ – หมายเลขที่กำหนด z – ไม่ทราบ บนเซตของจำนวนจริงสมการนี้คือ:

1) มีหนึ่งราก z = 0 ถ้า a = 0;

2) มีรากที่แท้จริงสองอันซี 1.2 = ±
, ถ้า > 0;

3) ไม่มีรากที่แท้จริงถ้าก< 0;

4) บนเซตของจำนวนเชิงซ้อน สมการนี้จะมีรากเสมอ

โดยทั่วไปสมการ z 2 = a โดยที่ < 0 имеет два комплексных корня: ซี 1.2 = ±
ฉัน.

โดยใช้ความเท่าเทียมกันฉัน 2 = –1 รากที่สองของจำนวนลบมักจะเขียนได้ดังนี้
= ฉัน
= ฉัน
= 2i,
= ฉัน
.

ดังนั้น,
กำหนดไว้สำหรับจำนวนจริงใดๆก (บวก ลบ และศูนย์) ดังนั้นสมการกำลังสองใดๆ

az 2 + bz + c = 0 โดยที่ a , ข , с – จำนวนจริงก ≠ 0 มีราก พบรากเหล่านี้ตามสูตรที่รู้จักกันดี:

ซี 1, 2 =
.

มันก็จริงเช่นกันว่าสมการระดับใดๆnมีอย่างแน่นอน n รากในขณะที่อาจมีรากที่เหมือนกันและซับซ้อนได้

เป็นไปไม่ได้ที่จะไม่พิจารณาหนึ่งในสูตรที่สวยที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ - สูตร Cardano สำหรับการคำนวณรากของสมการลูกบาศก์ของแบบฟอร์ม x 3 + px + q = 0:

ตัวอย่างที่ 5แก้สมการกำลังสอง

จำแนก:

ดี<0, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

เราได้รับสองราก:

– ผสานรากที่ซับซ้อน

ดังนั้นสมการ มีรากเชิงซ้อนคอนจูเกตสองตัว: ,

และโดยทั่วไป สมการใด ๆ ที่มีพหุนามอยู่ในระดับ "n" จะมีรากที่แน่นอน ซึ่งบางสมการก็มีความซับซ้อนได้

แนวคิดของระนาบเชิงซ้อน

หากสามารถแสดงจำนวนจริงใดๆ ในเชิงเรขาคณิตเป็นจุดบนเส้นจำนวนได้ จำนวนเชิงซ้อนก็จะแสดงด้วยจุดบนระนาบ ซึ่งพิกัดจะเป็นส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนตามลำดับร เป็นเรื่องปกติที่จะต้องแสดงเซตของจำนวนจริงพวงของจำนวนเชิงซ้อน มักจะแสดงด้วยตัวอักษร C. ในกรณีนี้ แกนนอนจะเป็นแกนจำนวนจริง และแกนตั้งจะเป็นแกนจินตภาพ

ดังนั้น จำนวนจริงจึงอยู่บนแกน OX และบนแกน O Y – จินตนาการล้วนๆ:

กฎในการออกแบบภาพวาดเกือบจะเหมือนกับการวาดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ตามแกนที่คุณต้องกำหนดมิติให้ทำเครื่องหมาย: ศูนย์; หน่วยตามแกนจริง หน่วยจินตภาพตามแนวแกนจินตภาพ

ตัวอย่างที่ 6 สร้างจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้บนระนาบเชิงซ้อน:

เซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน

6. รูปแบบเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

กับ คำว่า "ซับซ้อน" แปลจากภาษาละตินแปลว่า "คอมโพสิต", "ซับซ้อน" แม้ว่าจำนวนเชิงซ้อนจะใช้งานได้ไม่ยากไปกว่าจำนวนจริง จนกระทั่งต้นศตวรรษที่ 19 จำนวนเชิงซ้อนถูกมองว่าเป็นวัตถุที่ซับซ้อน คลุมเครือ และเกือบจะลึกลับ ด้วยความดื้อรั้นที่คู่ควรกับการใช้งานที่ดีกว่า การต่อสู้อันยาวนานจึงเกิดขึ้นระหว่างผู้สนับสนุนและฝ่ายตรงข้ามที่มีตัวเลข "ในจินตนาการ" ข้อโต้แย้งหลักของฝ่ายตรงข้ามมีดังต่อไปนี้: การแสดงออกของฟอร์มเอ+ไอบี ไม่สมเหตุสมผลเพราะว่าฉัน ไม่ใช่จำนวนจริง จึงไม่ใช่จำนวนเลย นั่นเป็นเหตุผลฉัน ไม่สามารถคูณด้วยจำนวนจริงได้

เพื่อวางทฤษฎีจำนวนเชิงซ้อนไว้บนรากฐานที่มั่นคง จำเป็นต้องมีโครงสร้างที่ชัดเจน โดยควรเป็นโครงสร้างทางเรขาคณิต ความปรารถนาที่จะมีการรับรู้ทางเรขาคณิตของเซตของจำนวนเชิงซ้อนนั้นไม่ใช่เรื่องบังเอิญ หากเราจำได้ว่าเซตของจำนวนจริงนั้นไม่สามารถแยกเราออกจาก "เส้นจริง" โดยมีจุดคงที่ซึ่งเป็นตัวแทนของ 0 และมีจุดคงที่สำหรับเรา ขนาดที่กำหนดโดยตำแหน่งของหมายเลข 1

เป็นครั้งแรกที่ K. Wessel นักธรณีวิทยาชาวเดนมาร์กเป็นผู้ให้ภาพการดำเนินการทางเรขาคณิตกับจำนวนเชิงซ้อนในปี 1799 และ J. Argan นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในปี 1806 โดยเป็นอิสระจากเขา อย่างไรก็ตาม ได้รับการยอมรับโดยทั่วไปเฉพาะในทศวรรษที่ 30 ของศตวรรษที่ 18 หลังจากผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน F. Gauss และนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ W. Hamilton แนวคิดในการตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อนคือไม่ได้แสดงด้วยจุดบนเส้นเหมือนจำนวนจริง แต่แสดงด้วยจุดบนระนาบ

จำนวนเชิงซ้อนz = ก + ข ฉัน แสดงบนระนาบที่มีพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนโดยจุดที่มีพิกัด (a;ข)นี้

ประเด็นนี้ระบุด้วยตัวอักษรเดียวกันz . จำนวนจริงจะแสดงด้วยจุดบนแกนแอบซิสซา และจำนวนจินตภาพบริสุทธิ์จะแสดงด้วยจุดบนแกนพิกัด

จำนวนเชิงซ้อนยังแสดงด้วยเวกเตอร์บนระนาบเชิงซ้อนโดยมีจุดกำเนิดอยู่ที่จุด เกี่ยวกับและสิ้นสุดที่จุด M

ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนถูกสร้างขึ้นตามกฎปกติของการบวกเวกเตอร์ นั่นคือตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ผลต่างของจำนวนเชิงซ้อนถูกสร้างขึ้นตามกฎของการลบเวกเตอร์:

7.รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนตามอำเภอใจ z = ก + ไบ แสดงเป็นเวกเตอร์รัศมี
บนระนาบที่ซับซ้อน อนุญาตเอ็น – การฉายภาพแบบจุดม สู่แกนจริง ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากความยาวขา OMN ON และ OM เท่ากันตามลำดับก และ ข และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากโอมก็เท่ากัน
- จากตรีโกณมิติเป็นที่ทราบกันว่าอัตราส่วนของความยาวของขาต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นเท่ากับโคไซน์ของมุมที่อยู่ติดกันและไซน์ของมุมตรงข้าม เพราะฉะนั้น,

ก = เรื่อง z = | z | ∙ cos φ,

b = ฉัน z = | z | ∙ซินφ,

ที่ไหน φ –
- อาร์กิวเมนต์หลัก (เฟส, แอมพลิจูด) ของจำนวนเชิงซ้อน z , - < φ < (มุมφ ระหว่าง ครึ่งแกนบวกของแกนจริงเรซ และเวกเตอร์รัศมีที่ลากจากจุดกำเนิดไปยังจุดที่สอดคล้องกัน). จากนั้นจึงสามารถแสดงจำนวนเชิงซ้อนได้เช่น:

การบันทึกรูปแบบนี้เรียกว่า รูปแบบตรีโกณมิติของการเขียนจำนวนเชิงซ้อน

ตัวอย่างที่ 7:สารละลาย:
เรามาแทนตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติกัน ลองหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของมันกัน - เนื่องจาก (กรณีที่ 1) แล้ว - ดังนั้น: – ตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ

ผลคูณและผลหารของจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ

การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตทั้งหมดที่มีจำนวนเชิงซ้อนให้มาในรูปแบบตรีโกณมิติจะดำเนินการตามกฎเดียวกันกับจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดในรูปแบบพีชคณิต การบวกและการลบจำนวนเชิงซ้อนจะง่ายและสะดวกกว่าเมื่อให้ไว้ในรูปแบบพีชคณิต และการคูณและหารในรูปแบบตรีโกณมิติ มีสามทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท 1เมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อนที่มีจำกัด โมดูลของจำนวนนั้นจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์เข้าไป

ทฤษฎีบท 2เมื่อทำการหารจำนวนเชิงซ้อน โมดูลัสของพวกมันจะถูกแบ่งและอาร์กิวเมนต์จะถูกลบออก

ทฤษฎีบท 3ให้z – ซับซ้อนและ n - จำนวนธรรมชาติ ในชุดจำนวนเชิงซ้อน นิพจน์
ที่ z =0 มีค่าเดียวเท่ากับศูนย์ และเมื่อใด z 0 – น ความหมายที่แตกต่างกัน ถ้าซ = ร ( เพราะ + ฉัน บาป ) จากนั้นสูตรจะพบค่าเหล่านี้

=
(เพราะ
+ ฉัน บาป
), =0.1,…,n-1

ตัวอย่างที่ 8 ค้นหาผลิตภัณฑ์: ,

8. การยกจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นกำลัง

กำลังสองจำนวนเชิงซ้อน

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน การหาสูตรการคูณแบบย่อของคุณเองเป็นเรื่องง่าย:
- สูตรที่คล้ายกันสามารถหาได้จากกำลังสองของผลต่าง เช่นเดียวกับกำลังสามของผลรวมและกำลังสามของผลต่าง จะเป็นอย่างไรถ้าคุณต้องการยกจำนวนเชิงซ้อนเป็นยกกำลัง 5, 10 หรือ 100? เห็นได้ชัดว่าแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะดำเนินการดังกล่าวในรูปแบบพีชคณิต จริงๆ แล้ว จะแก้ตัวอย่างเช่น ?

และนี่คือรูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อนและสิ่งที่เรียกว่ามาช่วย สูตรมูฟวร์.

(Abraham de Moivre (1667 - 1754) - นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ)

จากการดำเนินการคูณจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นไปตามนั้น

ในกรณีทั่วไปเราได้รับ:

ที่ไหน n – จำนวนเต็มบวก.

ตัวอย่างที่ 7 เมื่อระบุจำนวนเชิงซ้อน ให้ค้นหา

ขั้นแรก คุณต้องแสดงตัวเลขที่ระบุในรูปแบบตรีโกณมิติ

จากนั้นตามสูตรของ Moivre:

9. รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน

=8 + 6·ฉัน

10. จำนวนเชิงซ้อนใช้ที่ไหน?

ในช่วงสองร้อยปีที่ผ่านมา จำนวนเชิงซ้อนได้พบการประยุกต์ใช้อย่างไม่คาดคิดมากมายและบางครั้งก็เกิดขึ้นอย่างไม่คาดคิด ตัวอย่างเช่น ด้วยความช่วยเหลือของจำนวนเชิงซ้อน เกาส์พบคำตอบสำหรับคำถามเรขาคณิตล้วนๆ ว่า n-gon ปกติสามารถสร้างจำนวนธรรมชาติใดด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัดได้ จากหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน คุณรู้วิธีสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัด: สามเหลี่ยมปกติ สี่เหลี่ยมจัตุรัส และ 6 เหลี่ยมปกติ (ด้านของมันจะเท่ากับรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบมัน) ที่ยากกว่าคือการสร้าง 5 เหลี่ยมปกติและ 15 เหลี่ยม แม้ว่าเรขาคณิตกรีกโบราณและนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ จะต้องพยายามอย่างมาก แต่ก็ไม่มีใครสามารถสร้างรูปเจ็ดเหลี่ยมปกติหรือ 9 เหลี่ยมธรรมดาได้ นอกจากนี้ยังเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้าง p-gon ปกติสำหรับจำนวนเฉพาะ p ใดๆ ยกเว้น p = 3 และ p = 5 เป็นเวลากว่าสองพันปีแล้วที่ไม่มีใครสามารถก้าวหน้าในการแก้ปัญหานี้ได้ ในปี 1796 Carl Friedrich Gauss นักศึกษาคณิตศาสตร์วัย 19 ปีที่มหาวิทยาลัย Göttingen ได้พิสูจน์ความเป็นไปได้เป็นครั้งแรกในการสร้าง 17 เหลี่ยมปกติโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด นี่เป็นหนึ่งในการค้นพบที่น่าทึ่งที่สุดในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ ในอีกไม่กี่ปีข้างหน้า เกาส์ได้แก้ไขปัญหาการสร้างเอ็นกอนปกติอย่างสมบูรณ์ เกาส์พิสูจน์ว่า N-gon ปกติที่มีจำนวนด้านเป็นเลขคี่ (จุดยอด) สามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด ถ้าจำนวน N เป็นจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์หรือผลคูณของจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์หลายๆ ตัว (เลขแฟร์มาต์คือตัวเลขที่อยู่ในรูป F n = + 1 · สำหรับ n = 0, 1, 2, 3, 4 ตัวเลขเหล่านี้เป็นจำนวนเฉพาะ สำหรับ n = 5 ตัวเลข F 5 จะถูกนำมาประกอบกัน จากผลลัพธ์นี้ จึงตามมา ว่าการสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกตินั้นเป็นไปไม่ได้โดยมี N = 7, 9, 11, 13 จะเห็นว่าปัญหาการสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกตินั้นเท่ากับปัญหาการแบ่งวงกลมรัศมี R = 1 ออกเป็น ส่วนที่เท่ากัน เมื่อพิสูจน์ความเป็นไปได้ในการสร้าง 17 เหลี่ยมปกติ เกาส์ใช้คุณสมบัติของรากของเลขยกกำลังที่ 17

ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติที่สำคัญของการทำแผนที่ วิศวกรรมไฟฟ้า การนำความร้อน ฯลฯ ในหลาย ๆ ประเด็นที่เรากำลังพูดถึง เช่น เกี่ยวกับศักย์ไฟฟ้าที่จุดในอวกาศรอบๆ ตัวเก็บประจุที่มีประจุ หรือเกี่ยวกับอุณหภูมิภายในวัตถุที่ร้อน เกี่ยวกับความเร็ว อนุภาคของของเหลวหรือก๊าซในกระแสที่เคลื่อนที่ในช่องใดช่องหนึ่งและไหลไปรอบๆ สิ่งกีดขวางบางอย่าง เป็นต้น คุณต้องสามารถค้นหาศักย์ อุณหภูมิ ความเร็ว ฯลฯ ได้ ปัญหาประเภทนี้สามารถแก้ไขได้โดยไม่ยากหากวัตถุที่พบในนั้นมีรูปร่างเรียบง่าย (เช่น เป็นรูปแผ่นแบนหรือทรงกระบอกกลม)

นักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซียและโซเวียต H. E. Zhukovsky (1847–1921) ใช้อย่างประสบความสำเร็จ

ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนในการแก้ปัญหาประยุกต์ที่สำคัญ

ด้วยเหตุนี้ เขาจึงได้พิสูจน์ทฤษฎีบทหลักเกี่ยวกับแรงยกของปีกเครื่องบินโดยใช้วิธีการของทฤษฎีนี้ V.I. Lenin เรียก H.E. Zhukovsky ว่า “บิดาแห่งการบินรัสเซีย” ในสุนทรพจน์ครั้งหนึ่งของเขา H. E. Zhukovsky กล่าวว่า: "... คนไม่มีปีกและเมื่อเทียบกับน้ำหนักของร่างกายกับน้ำหนักของกล้ามเนื้อเขาอ่อนแอกว่านกถึง 72 เท่า; ...หนักกว่าอากาศเกือบ 800 เท่า ในขณะที่นกหนักกว่าอากาศ 200 เท่า แต่ฉันคิดว่าเขาจะบินไม่ได้ขึ้นอยู่กับความแข็งแกร่งของกล้ามเนื้อ แต่ขึ้นอยู่กับความแข็งแกร่งของจิตใจของเขา การใช้ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน H.E. Zhukovsky แก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับปัญหาน้ำซึมผ่านเขื่อน

จำนวนเชิงซ้อนเป็นสิ่งจำเป็นในการทำงานในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูงอื่นๆ ให้สำเร็จ นอกจากนี้ยังใช้ในการคำนวณทางวิศวกรรมที่ค่อนข้างเป็นวัสดุในทางปฏิบัติอีกด้วย

11. บทสรุป

โดยทั่วไปฉันเชื่อว่าวัตถุประสงค์และวัตถุประสงค์ของงานของเธอบรรลุผลสำเร็จแล้ว ฉันเข้าใจหัวข้อนี้ด้วยตัวเอง ในระหว่างการวิจัย ฉันได้ศึกษาวรรณกรรมเกี่ยวกับหัวข้อนี้มากมาย ในขณะที่อ่านหนังสือหลายเล่มฉันสังเกตเห็นข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเรียบง่ายและสวยงามที่สุดในหัวข้อนี้กับตัวเองในขณะเดียวกันก็พยายามนำเสนอพวกเขาตามแสงของตัวเองในแบบที่ฉันคิดว่ามีเหตุผลที่สุด

ข้อดีของงานของฉันคือการนำเสนอที่กระชับและเรียบง่าย การผสมผสานความรู้เกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนเข้าด้วยกัน และความสามารถในการเข้าถึงได้

ฉันพบว่างานของฉันมีประโยชน์และเกี่ยวข้องกับนักเรียนที่ต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับหลักสูตรของโรงเรียน

ในระหว่างการวิจัย ฉันได้ทำกิจกรรมหลายอย่างในห้องเรียน แต่เนื่องจากชั้นเรียนของเรามีนักเรียนเพียง 2 คนนอกเหนือจากฉัน จึงไม่สามารถติดตามการพัฒนาคุณภาพความรู้ได้เนื่องจากพวกเขาเรียนได้ดี แต่ฉันดีใจที่ทุกคนอยากเรียนหัวข้อนี้ต่อในเกรด 10

ข้อสรุปของฉัน:

1. มีการศึกษาแหล่งข้อมูลวรรณกรรมต่างๆ มีการเลือกเนื้อหาที่ให้ความเข้าใจที่สมบูรณ์ที่สุดเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน ประวัติความเป็นมาของการค้นพบ บทบาทและความสำคัญในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ต่างๆ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการกับตัวเลขเหล่านี้จะถูกกำหนดและพิจารณา ตัวอย่างที่ใช้จำนวนเชิงซ้อนจะถูกเลือกและแก้ไข

2. มีการประเมินความสำคัญและบทบาทของจำนวนเชิงซ้อนในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่ง

3. หากในช่วงต้นปีการศึกษาสามารถประเมินระดับการรับรู้และความรู้ของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 เกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนได้ต่ำ จากนั้นเมื่อสิ้นปีการศึกษา ความสนใจในการศึกษาคณิตศาสตร์ การเปิดโลกทัศน์กว้างขึ้น และ การแก้ปัญหาที่ประสบความสำเร็จในระดับความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้น

12. ข้อมูลอ้างอิง

1. เอ.จี. มอร์ดโควิช. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ 10 เกรด อ.: Mnemosyne, 2549.

2. ม. ยา. คู่มือคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา อ.: สำนักพิมพ์วรรณกรรมกายภาพและคณิตศาสตร์แห่งรัฐ 2503

3. N.Ya. Vilenkin และคณะ พีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 อ.: Mnemosyne, 2004.

4. เอ.จี. มอร์ดโควิช. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ 10 เกรด อ.: Mnemosyne, 2549.

5. ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ในโรงเรียน เรียบเรียงโดย จี.ไอ. เกลเซอร์ – มอสโก-1983.

6.. คำถามเฉพาะทางคณิตศาสตร์แก้ไขโดย I. N. Antipov – มอสโก-1979.

7. เบื้องหลังหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ที่เรียบเรียงโดย N. Ya. - มอสโก-2539

8. เอ็นบี อัลฟูโตวา. พีชคณิตและทฤษฎีจำนวน อ.: MTsNMO, 2548.

ทดสอบหัวข้อ “จำนวนเชิงซ้อน”

จำนวนเชิงซ้อนมีกี่สัญลักษณ์?

ก) 1 ข) 2 ค) 3 วัน) 4

ตัวเลขแสดงถึงอะไร?ฉัน?

ก) ตัวเลขที่มีกำลังสองคือ 1

b) จำนวนที่มีกำลังสองเป็น – 1

c) จำนวนที่มีรากที่สองคือ – 1

d) จำนวนที่มีรากที่สองคือ 1

สามารถใช้สูตรของ Moivre ได้หากเขียนจำนวนเชิงซ้อน:

สามารถใช้สูตรของออยเลอร์ได้หากเขียนจำนวนเชิงซ้อน:

ก) ในรูปแบบสาธิต b) ในรูปแบบภาพ

c) รูปแบบตรีโกณมิติ d) รูปแบบพีชคณิต

จำนวนเชิงซ้อนแสดงบนระนาบตัวเลขได้อย่างไร?

a) เป็นส่วน b) เป็นเวกเตอร์จุดหรือรัศมี

c) รูปทรงเรขาคณิตแบน c) ในรูปของวงกลม

เลือกจำนวนจินตภาพล้วนๆจากตัวเลขที่กำหนด:

ก) z =3 +6 ฉันข) z 2 =6 ฉันวี) z 2 =31 ก.) z 2 =0

คำนวณผลรวมของตัวเลข z 1 =7 +2i และ z 2 =3 +7 i

ก ) z =10 +9i ข) z =4-5i ค) z =10 -5i ง)z =4 +5i

8. แทนจำนวนเชิงซ้อน z =3 +4i ในรูปแบบตรีโกณมิติ

a) นี่คือเวกเตอร์รัศมี b) z =5(0.6 +0.8i)

วี) z =3 -4i d) นี่คือจุดบนระนาบพิกัด

9. ชุดใดประกอบด้วยตัวเลข 5; 3; -6i ;2.7; 2 ฉัน ?

ก) จำนวนจริง b) จำนวนตรรกยะ

c) จำนวนเชิงซ้อน d) จำนวนอตรรกยะ

10. ใครเป็นคนแนะนำชื่อ “ตัวเลขจินตภาพ”?

ก) เดการ์ต ข) อาร์แกน

c) ออยเลอร์ d) คาร์ดาโน

การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์

จำนวนเชิงซ้อนถูกนำมาใช้ในคณิตศาสตร์เพื่อให้สามารถหารากที่สองของจำนวนจริงใดๆ ได้ อย่างไรก็ตาม นี่ยังไม่ใช่เหตุผลเพียงพอที่จะนำตัวเลขใหม่ๆ มาสู่คณิตศาสตร์ ปรากฎว่าหากคุณทำการคำนวณตามกฎปกติเกี่ยวกับนิพจน์ที่เกิดรากที่สองของจำนวนลบ คุณจะได้ผลลัพธ์ที่ไม่มีรากที่สองของจำนวนลบอีกต่อไป ในศตวรรษที่ 16 คาร์ดาโนพบสูตรสำหรับการแก้สมการลูกบาศก์ ปรากฎว่าเมื่อสมการกำลังสามมีรากจำนวนจริงสามราก สูตรคาร์ดาโนจะมีรากที่สองของจำนวนลบ ดังนั้นรากที่สองของจำนวนลบจึงเริ่มถูกนำมาใช้ในคณิตศาสตร์และถูกเรียกว่าจำนวนจินตภาพ - ด้วยเหตุนี้พวกเขาจึงได้รับสิทธิ์ในการดำรงอยู่อย่างผิดกฎหมาย เกาส์ให้สิทธิพลเมืองโดยสมบูรณ์แก่จำนวนจินตภาพ ซึ่งเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน ให้การตีความทางเรขาคณิต และพิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต ซึ่งระบุว่าทุกพหุนามมีรากจริงอย่างน้อยหนึ่งราก

1. แนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน

การแก้ปัญหามากมายในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ขึ้นอยู่กับการแก้สมการพีชคณิต ดังนั้นการศึกษาสมการพีชคณิตจึงเป็นประเด็นที่สำคัญที่สุดประเด็นหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ ความปรารถนาที่จะทำให้สมการแก้ได้เป็นหนึ่งในเหตุผลหลักในการขยายแนวคิดเรื่องตัวเลข

ดังนั้น ในการแก้สมการในรูปแบบ X+A=B จำนวนบวกยังไม่เพียงพอ ตัวอย่างเช่น สมการ X+5=2 ไม่มีรากที่เป็นบวก ดังนั้นคุณต้องป้อนตัวเลขลบและศูนย์

สมการพีชคณิตระดับแรกสามารถแก้ไขได้ด้วยเซตของจำนวนตรรกยะ เช่น สมการในรูปแบบ A· X+B=0 (A0) อย่างไรก็ตาม สมการพีชคณิตที่มีระดับสูงกว่าสมการแรกอาจไม่มีรากที่เป็นตรรกยะ ตัวอย่างเช่น นี่คือสมการ X 2 =2, X 3 =5 ความจำเป็นในการแก้สมการดังกล่าวเป็นสาเหตุหนึ่งของการแนะนำจำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะประกอบกันเป็นเซตของจำนวนจริง

อย่างไรก็ตาม จำนวนจริงไม่เพียงพอที่จะแก้สมการพีชคณิตใดๆ ตัวอย่างเช่น สมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริงและมีตัวจำแนกเชิงลบไม่มีรากที่แท้จริง สิ่งที่ง่ายที่สุดคือสมการ X 2 +1=0 ดังนั้นเราจึงต้องขยายเซตของจำนวนจริงด้วยการบวกจำนวนใหม่ลงไป จำนวนใหม่เหล่านี้รวมกับจำนวนจริงจะรวมกันเป็นเซตซึ่งเรียกว่าเซต จำนวนเชิงซ้อน

ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าจำนวนเชิงซ้อนควรมีรูปแบบใด เราจะสมมุติว่าสมการ X 2 +1=0 มีรากอยู่บนเซตของจำนวนเชิงซ้อน เรามาแทนรากนี้ด้วยตัวอักษร ฉัน ดังนั้น, ฉัน เป็นจำนวนเชิงซ้อนเช่นนั้น ฉัน 2 = –1.

สำหรับจำนวนจริง จำเป็นต้องแนะนำการดำเนินการของการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อน เพื่อให้ผลรวมและผลิตภัณฑ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับจำนวนจริงใดๆ A และ B นิพจน์ A+B+ ฉัน ถือได้ว่าเป็นตัวแทนของจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบทั่วไป ชื่อ "ซับซ้อน" มาจากคำว่า "คอมโพสิต": ตามรูปแบบของสำนวน A+B· ฉัน .

จำนวนเชิงซ้อน เรียกว่านิพจน์ที่อยู่ในรูป A+B ฉัน โดยที่ A และ B เป็นจำนวนจริง และ ฉัน – สัญลักษณ์บางอย่างเช่นนั้น ฉัน 2 = –1 และเขียนแทนด้วยตัวอักษร Z

จำนวน A เรียกว่าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน A+B ฉัน, และเลข B คือส่วนจินตภาพของมัน ตัวเลข ฉัน เรียกว่าหน่วยจินตภาพ

เช่น ส่วนที่แท้จริงของจำนวนเชิงซ้อน 2+3 ฉัน เท่ากับ 2 และจินตภาพเท่ากับ 3

ในการกำหนดจำนวนเชิงซ้อนอย่างเคร่งครัด จำเป็นต้องแนะนำแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันสำหรับตัวเลขเหล่านี้

จำนวนเชิงซ้อนสองตัว A+B· ฉัน และซี+ดี ฉัน ถูกเรียกว่า เท่ากันถ้าหากว่า A=C และ B=D นั่นคือ เมื่อส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากัน

2. การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนจริงจะแสดงในเชิงเรขาคณิตด้วยจุดบนเส้นจำนวน จำนวนเชิงซ้อน A+B ฉัน ถือได้ว่าเป็นคู่ของจำนวนจริง (A;B) ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะแทนจำนวนเชิงซ้อนด้วยจุดบนระนาบ ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม จำนวนเชิงซ้อน Z=A+B· ฉัน แสดงด้วยจุดบนระนาบที่มีพิกัด (A;B) และจุดนี้แสดงด้วยตัวอักษร Z ตัวเดียวกัน (รูปที่ 1) แน่นอนว่าผลลัพธ์ที่ได้คือการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ทำให้สามารถตีความจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดของระนาบที่เลือกระบบพิกัดได้ ระนาบพิกัดนี้เรียกว่า เครื่องบินที่ซับซ้อน - เรียกว่าแกนแอบซิสซา แกนจริง , เพราะ มันมีจุดที่สอดคล้องกับจำนวนจริง แกนพิกัดเรียกว่า แกนจินตภาพ – ประกอบด้วยจุดที่สอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อนจินตภาพ

การตีความจำนวนเชิงซ้อน A+B· ที่สำคัญและสะดวกไม่น้อยไปกว่ากัน ฉัน เป็นเวกเตอร์ เช่น เวกเตอร์ที่มีจุดกำเนิดที่จุด

O(0;0) และปลายอยู่ที่จุด M(A;B) (รูปที่ 2)

ความสอดคล้องที่เกิดขึ้นระหว่างเซตของจำนวนเชิงซ้อนในด้านหนึ่งกับเซตของจุดหรือเวกเตอร์ของระนาบในอีกด้านหนึ่ง ทำให้จำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์ได้

3. โมดูลจำนวนที่ซับซ้อน

ให้จำนวนเชิงซ้อน Z=A+B· มอบให้ ฉัน . ผัน กับ ซีเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน A – B ฉัน ซึ่งแสดงว่าคือ

เอ-บี ฉัน .

โปรดทราบว่า = A+B· ฉัน ดังนั้น สำหรับจำนวนเชิงซ้อน Z ใดๆ ความเท่าเทียมกัน =Z ยังคงอยู่

โมดูล จำนวนเชิงซ้อน Z=A+B· ฉัน เรียกว่า ตัวเลขและเขียนแทนด้วย เช่น

จากสูตร (1) จะได้ว่าสำหรับจำนวนเชิงซ้อน Z ใดๆ และ =0 ถ้าและเฉพาะในกรณีที่ Z=0 นั่นคือ เมื่อ A=0 และ B=0 ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนเชิงซ้อน Z ใดๆ สูตรต่อไปนี้ใช้ได้:

4. การเพิ่มและการคูณจำนวนเชิงซ้อน

จำนวน จำนวนเชิงซ้อนสองตัว A+B ฉัน และซี+ดี ฉัน เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน (A+C ) + (บี+ดี) ฉัน , เช่น. (เอ+บี ฉัน) + (ซี+ดี ฉัน)=(เอ+ค) + (บี+ดี) ฉัน

การทำงาน จำนวนเชิงซ้อนสองตัว A+B ฉัน และซี+ดี ฉัน เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน (A· C – B· D)+(A· D+B· C) · ฉัน , เช่น.

(เอ+บี ฉัน ) (ค + ง) ฉัน )=(A·C – B·D) + (A·D + B·C)· ฉัน

ตามมาจากสูตรที่การบวกและการคูณสามารถทำได้ตามกฎการดำเนินการด้วยพหุนามโดยพิจารณาจาก ฉัน 2 = –1 การดำเนินการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนมีคุณสมบัติเป็นจำนวนจริง คุณสมบัติพื้นฐาน:

คุณสมบัติการแทนที่:

Z 1 +Z 2 =Z 2 +Z 1, Z 1· Z 2 =Z 2· Z 1

คุณสมบัติที่ตรงกัน:

(Z 1 +Z 2)+Z 3 =Z 1 +(Z 2 +Z 3), (Z 1 Z 2) Z 3 =Z 1 (Z 2 Z 3)

คุณสมบัติการกระจาย:

Z 1 (Z 2 +Z 3)=Z 1 Z 2 +Z 1 Z 3

การแสดงทางเรขาคณิตของผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน

ตามคำจำกัดความของการบวกจำนวนเชิงซ้อนสองตัว ส่วนที่แท้จริงของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของส่วนจริงของพจน์ ส่วนจินตภาพของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของส่วนจินตภาพของพจน์ พิกัดของผลรวมของเวกเตอร์ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน:

ผลรวมของเวกเตอร์สองตัวที่มีพิกัด (A 1 ;B 1) และ (A 2 ;B 2) เป็นเวกเตอร์ที่มีพิกัด (A 1 +A 2 ;B 1 +B 2) ดังนั้น ในการค้นหาเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน Z 1 และ Z 2 คุณต้องบวกเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อน Z 1 และ Z 2

ตัวอย่างที่ 1: ค้นหาผลรวมและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน Z 1 =2 – 3× ฉัน และ

ซี 2 = –7 + 8× ฉัน .

Z 1 + Z 2 = 2 – 7 + (–3 + 8)× ฉัน = – 5 + 5× ฉัน

ซี 1× ซี 2 = (2 – 3× ฉัน )× (–7 + 8× ฉัน ) = –14 + 16× ฉัน +21× ฉัน + 24 = 10 + 37× ฉัน

5.การลบและการหารจำนวนเชิงซ้อน

การลบจำนวนเชิงซ้อนเป็นการดำเนินการผกผันของการบวก สำหรับจำนวนเชิงซ้อนใดๆ Z 1 และ Z 2 จะมีจำนวน Z เพียงตัวเดียว โดยที่:

หากเราบวก (–Z 2) สิ่งที่ตรงกันข้ามกับตัวเลข Z 2 เข้ากับทั้งสองด้านของค่าเท่ากัน:

Z+Z 2 +(–Z 2)=Z 1 +(–Z 2) ดังนั้น

เรียกหมายเลข Z=Z 1 +Z 2 ความแตกต่างในตัวเลข ซี 1 และ ซี 2

การหารถูกนำมาใช้เป็นการดำเนินการผกผันของการคูณ:

Z×Z 2 =Z 1

หารทั้งสองข้างด้วย Z 2 เราจะได้:

จากสมการนี้ชัดเจนว่า Z 2 0

การแสดงทางเรขาคณิตของผลต่างของจำนวนเชิงซ้อน

ผลต่าง Z 2 – Z 1 ของจำนวนเชิงซ้อน Z 1 และ Z 2 สอดคล้องกับผลต่างของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับตัวเลข Z 1 และ Z 2 โมดูลัสของความแตกต่างระหว่างจำนวนเชิงซ้อนสองตัว Z 2 และ Z 1 ตามคำจำกัดความของโมดูลัสคือความยาวของเวกเตอร์ Z 2 – Z 1 ลองสร้างเวกเตอร์นี้เป็นผลรวมของเวกเตอร์ Z 2 และ (–Z 1) (รูปที่ 4) ดังนั้น โมดูลัสของผลต่างของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวคือระยะห่างระหว่างจุดของระนาบเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับตัวเลขเหล่านี้

การตีความทางเรขาคณิตที่สำคัญของโมดูลัสของผลต่างของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวนี้ทำให้ข้อเท็จจริงทางเรขาคณิตอย่างง่ายมีประโยชน์

ตัวอย่างที่ 2: ให้จำนวนเชิงซ้อน Z 1 = 4 + 5 ฉัน และ Z 2 = 3 + 4 ฉัน - ค้นหาความแตกต่าง Z 2 – Z 1 และผลหาร

ซี 2 – ซี 1 = (3 + 4 ฉัน) – (4 + 5· ฉัน) = –1 – ฉัน

6. รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

การเขียนจำนวนเชิงซ้อน Z เป็น A+B· ฉัน เรียกว่า รูปแบบพีชคณิต จำนวนเชิงซ้อน. นอกจากรูปแบบพีชคณิตแล้ว ยังใช้การเขียนจำนวนเชิงซ้อนรูปแบบอื่นๆ อีกด้วย

ลองพิจารณาดู แบบฟอร์มตรีโกณมิติ การเขียนจำนวนเชิงซ้อน ส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน Z=A+B· ฉัน แสดงผ่านโมดูลัส = r และอาร์กิวเมนต์ j ดังนี้:

A= ร cosj ; B= r บาป .

เลข Z สามารถเขียนได้ดังนี้:

Z= r cosj + ฉัน ซินจ์ = r (cosj + ฉัน ซินจ์)

Z = r (cosj + ฉัน ซินจ์) (2)

รายการนี้เรียกว่า รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน .

r =– โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน

เรียกว่าหมายเลข j อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน

อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน Z0 คือขนาดของมุมระหว่างทิศทางบวกของแกนจริงกับเวกเตอร์ Z และมุมจะถือว่าเป็นบวกหากการนับทวนเข็มนาฬิกาและเป็นลบหากนับตามเข็มนาฬิกา

สำหรับตัวเลข Z=0 อาร์กิวเมนต์จะไม่ถูกกำหนด และในกรณีนี้เท่านั้น หมายเลขจะถูกระบุโดยโมดูลัสเท่านั้น

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น = r = ความเท่าเทียมกัน (2) สามารถเขียนได้ในรูปแบบ

เอ+บี ฉัน =· คอสเจ + ฉัน · ซินจ์,จากที่เราได้รับ:

คอสเจ =, ซินจ์ = (3)

ถ้า ซินจ์หารด้วย คอสเจเราได้รับ:

ทีเจ= (4)

สูตรนี้ใช้ค้นหาอาร์กิวเมนต์ j ได้สะดวกกว่าสูตร (3) อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกค่าของ j ที่เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน (4) ที่เป็นอาร์กิวเมนต์ของตัวเลข A + B ฉัน . ดังนั้น เมื่อค้นหาข้อโต้แย้ง คุณต้องพิจารณาว่าจุด A+B อยู่ที่ไตรมาสใด ฉัน .

7. คุณสมบัติของโมดูลและการโต้แย้งของจำนวนที่ซับซ้อน

การใช้รูปแบบตรีโกณมิติทำให้สะดวกในการค้นหาผลิตภัณฑ์และผลหารของจำนวนเชิงซ้อน

ให้ Z 1 = r 1 ( คอสเจ 1 +ฉันบาป 1)ซี 2 = ร 2 ( คอสเจ 2 +ฉันบาป 2)แล้ว:

ซี 1 ซี 2 = r 1 · r 2 =

= ร 1 ร 2 .

ดังนั้น ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนที่เขียนในรูปตรีโกณมิติจึงสามารถหาได้โดยใช้สูตร:

ซี 1 ซี 2 = r 1 · r 2 (5)

จากสูตร (5) จะได้ว่า เมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อน โมดูลจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์

ถ้า Z 1 =Z 2 เราจะได้:

ซี 2 = 2 =ร 2 (cos2j +ฉันบาป2j)

Z 3 =Z 2 Z= ร 2 ( cos2j +ฉัน sin2j ) r (cosj + ฉันซินจ์ )=

= ร 3 ( cos3j +ฉันบาป3j)

โดยทั่วไปสำหรับจำนวนเชิงซ้อนใดๆ ซี=ร (cosj + ฉันซินจ์ )0และจำนวนธรรมชาติใดๆ n สูตรนี้ใช้ได้:

ซีเอ็น=[ r (cosj + ฉันบาป )] n = r n (cosnj + ฉันบาป)(6)

ซึ่งเรียกว่าสูตรของมูฟวร์

ผลหารของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวที่เขียนในรูปแบบตรีโกณมิติสามารถพบได้โดยใช้สูตร:

[คอส(เจ 1 – เจ 2) + ฉันบาป(เจ 1 – เจ 2)](7)

= = cos(–j 2) + ฉันบาป(–j 2)

ใช้สูตร 5

(cosj 1 + ฉันบาป 1)× (cos(–j 2) + ฉันบาป(–j 2)) =

cos(เจ 1 – เจ 2) + ฉันบาป(จ 1 – เจ 2)

ตัวอย่างที่ 3:

เราเขียนตัวเลข –8 ในรูปแบบตรีโกณมิติ

8 = 8 (คอส(พี + 2พี เค ) + ฉัน·บาป(p + 2p k )), k О Z

ให้ Z = r×(cosj + ฉัน×

ร 3× (cos3j + ฉัน× sin3j ) = 8 (คอส(p + 2p k ) + ฉัน·บาป(p + 2p k )), k О Z

จากนั้น 3j =p + 2p k , k О Z

เจ= , เค โอ ซี

เพราะฉะนั้น:

Z = 2 (คอส() + ฉัน·บาป()), k О Z

เค = 0,1,2...

เค = 0

Z 1 = 2 (คอส + ฉันบาป) = 2 ( ฉัน) = 1+× ฉัน

เค = 1

Z 2 = 2 (คอส( + ) + ฉันบาป( + )) = 2 (cosp + ฉันบาป ) = –2

เค = 2

Z 3 = 2 (คอส( + ) + ฉันบาป( + )) = 2 (cos + ฉันบาป) = 1–× ฉัน

ตอบ: Z 13 = ; Z2 = –2

ตัวอย่างที่ 4:

เราเขียนเลข 1 ในรูปแบบตรีโกณมิติ

1 = 1· (คอส(2p k ) + ฉัน·บาป(2p k )), k О Z

ให้ Z = r×(cosj + ฉัน× sinj ) จากนั้นสมการนี้จะถูกเขียนเป็น:

r 4× (cos4j + ฉัน× sin4j ) = cos(2p k ) + ฉัน·บาป(2p k )), k О Z

4j = 2p k , k О Z

เจ = , k О Z

Z = คอส+ ฉัน× บาป

เค = 0,1,2,3...

เค = 0

Z 1 = คอส0+ ฉัน× บาป0 = 1 + 0 = 1

เค = 1

Z 2 = คอส+ ฉัน× บาป = 0 + ฉัน = ฉัน

เค = 2

Z 3 = คอสป + ฉันบาป = –1 + 0 = –1

เค = 3

Z 4 = คอส+ ฉัน× บาป

คำตอบ: Z 13 = 1

ซี 24 = ฉัน

8. เพิ่มพลังและแยกราก

จากสูตร 6 จะเห็นได้ชัดว่าการเพิ่มจำนวนเชิงซ้อน r· (cosj + ฉัน sinj ) เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ โมดูลของมันถูกยกให้เป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังเดียวกัน และอาร์กิวเมนต์จะถูกคูณด้วยเลขชี้กำลัง

[ r (cosj + ฉัน บาป )] n = r n (cos nj + ฉัน บาป)

ตัวเลข ซีเรียกว่า รากของการศึกษาระดับปริญญา nจากตัวเลข w (แสดง) ถ้า Z n =w

จากคำจำกัดความนี้เป็นไปตามแต่ละคำตอบของสมการ สังกะสี=wเป็นรากของปริญญา nจากหมายเลข w กล่าวอีกนัยหนึ่งเพื่อดึงรากของพลังออกมา nจากจำนวน w ก็เพียงพอที่จะแก้สมการได้ ซี น =ว.ถ้า w =0 แล้วสำหรับสมการ n ใดๆ สังกะสี=wมีทางออกเดียวเท่านั้น ซี= 0. ถ้า w 0 แล้ว ซี0 ดังนั้น Z และ w จึงสามารถแสดงในรูปแบบตรีโกณมิติได้

Z = r (cosj + ฉัน sinj ), w = p (สบาย + ฉัน บาป)

สมการ Z n = w จะอยู่ในรูปแบบ:

rn (cos nj + ฉัน บาป nj ) = p (สบาย + ฉัน บาป)

จำนวนเชิงซ้อนสองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อโมดูลัสของพวกมันเท่ากันและอาร์กิวเมนต์ต่างกันตามเงื่อนไขที่เป็นทวีคูณของ 2p ดังนั้น r n = p และ nj = y + 2p k , โดยที่О Z หรือ r = และ เจ= , โดยที่ kО Z .

ดังนั้น สามารถเขียนคำตอบทั้งหมดได้ดังนี้

Z K =, kО Z (8)

สูตร 8 เรียกว่า สูตรที่สองของ Moivre.

ดังนั้น ถ้า w 0 ก็แสดงว่ามีรากของดีกรี n จำนวน n จากจำนวน w พอดี ซึ่งทั้งหมดมีอยู่ในสูตร 8 รากของดีกรีทั้งหมด nจากตัวเลข w มีโมดูลเดียวกัน แต่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกัน ต่างกันไปตามคำที่เป็นผลคูณของตัวเลข เป็นไปตามจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเป็นรากของระดับ n จากจำนวนเชิงซ้อน w สอดคล้องกับจุดของระนาบเชิงซ้อนซึ่งอยู่ที่จุดยอดของ n-gon ปกติที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมีที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดนั้น ซี = 0

สัญลักษณ์ไม่มีความหมายที่ชัดเจน ดังนั้นเมื่อใช้งานคุณควรเข้าใจอย่างชัดเจนว่าสัญลักษณ์นี้หมายถึงอะไร ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้สัญลักษณ์ คุณควรทำให้ชัดเจนว่าสัญลักษณ์นี้หมายถึงคู่ของจำนวนเชิงซ้อนหรือไม่ ฉัน และ -ฉัน หรือสิ่งหนึ่งอันไหนกันแน่

สมการระดับที่สูงกว่า

สูตร 8 หารากทั้งหมดของสมการทวินามของดีกรี n สถานการณ์มีความซับซ้อนมากขึ้นอย่างล้นหลามในกรณีของสมการพีชคณิตทั่วไปของระดับ n:

n× Z n+ a n–1× Z n–1 +...+ a 1× Z 1 + a 0 = 0(9)

โดยที่ n ,..., 0 จะได้รับจำนวนเชิงซ้อน

ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง ทฤษฎีบทของเกาส์ได้รับการพิสูจน์แล้ว: สมการพีชคณิตทุกสมการจะมีรากอย่างน้อยหนึ่งรากในชุดจำนวนเชิงซ้อน ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน คาร์ล เกาส์ ในปี พ.ศ. 2322

จากทฤษฎีบทของเกาส์ สามารถพิสูจน์ได้ว่าด้านซ้ายของสมการ 9 สามารถแสดงเป็นผลคูณได้เสมอ:

โดยที่ Z 1, Z 2,..., ZK เป็นจำนวนเชิงซ้อนต่างกัน

และ 1 ,a 2 ,...,a k เป็นจำนวนธรรมชาติ และ:

ก 1 + ก 2 + ... + ก = n

ตามมาว่าตัวเลข Z 1, Z 2,..., Z K เป็นรากของสมการ 9 ในกรณีนี้ พวกเขาบอกว่า Z 1 เป็นรากของการคูณ a 1, Z 2 คือรากของการคูณ a 2 และอื่น ๆ

ทฤษฎีบทของเกาส์และทฤษฎีบทกล่าวไว้เป็นการแก้โจทย์การมีอยู่ของราก แต่ไม่ได้กล่าวถึงวิธีค้นหารากเหล่านี้เลย หากสามารถหารากขององศาที่หนึ่งและสองได้ง่าย ดังนั้นสำหรับสมการขององศาที่สามและสี่ สูตรนั้นยุ่งยาก และสำหรับสมการของดีกรีที่สูงกว่าสูตรที่สี่นั้นไม่มีอยู่เลย การไม่มีวิธีการทั่วไปไม่ได้ขัดขวางเราจากการค้นหารากของสมการทั้งหมด ในการแก้สมการด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ทฤษฎีบทต่อไปนี้มักมีประโยชน์: รากจำนวนเต็มของสมการพีชคณิตใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มคือตัวหารของพจน์อิสระ

มาพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้กัน:

ให้ Z = k เป็นรากจำนวนเต็มของสมการ

a n× Z n + a n–1× Z n–1 +...+ a 1× Z 1 + a 0 = 0

ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม แล้ว

a n× k n + a n–1× k n–1 +...+ a 1× k 1 + a 0 = 0

a 0 = – k(a n× k n–1 + a n–1× k n–2 +...+ a 1)

ตัวเลขในวงเล็บภายใต้สมมติฐานที่ตั้งไว้ เห็นได้ชัดว่าเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งหมายความว่า k เป็นตัวหารของตัวเลข a 0

9.สมการกำลังสองกับความซับซ้อนที่ไม่รู้จัก

พิจารณาสมการ Z 2 = a โดยที่ a เป็นจำนวนจริงที่กำหนด Z เป็นจำนวนที่ไม่รู้จัก

นี่คือสมการ:

ลองเขียนตัวเลข a ในรูปแบบ a = (– 1)× (– a) = ฉัน 2× = ฉัน 2× () 2 . จากนั้นสมการ Z 2 = a จะถูกเขียนในรูปแบบ: Z 2 – ฉัน 2× () 2 = 0

เหล่านั้น. (ซ – ฉัน× )(Z+ ฉัน× ) = 0

ดังนั้นสมการจึงมีรากสองอัน: Z 1.2 = ฉัน×

แนวคิดที่แนะนำเกี่ยวกับรากของจำนวนลบช่วยให้เราสามารถเขียนรากของสมการกำลังสองใดๆ ด้วยค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริงได้

a× Z 2 + b× Z + c = 0

ตามสูตรทั่วไปที่รู้จักกันดี

ซี 1.2 = (10)

ดังนั้น สำหรับ a(a0), b, c จริงใดๆ รากของสมการสามารถหาได้โดยใช้สูตร 10 ยิ่งไปกว่านั้น หากผู้แยกแยะ เช่น การแสดงออกที่รุนแรงในสูตร 10

D = ข 2 – 4× a× c

เป็นบวก ดังนั้นสมการ a× Z 2 + b× Z + c = 0 จึงเป็นรากที่ต่างกันจริงสองราก ถ้า D = 0 ดังนั้นสมการ a× Z 2 + b× Z + c = 0 จะมีหนึ่งรูต ถ้า D< 0, то уравнение a× Z 2 + b× Z + c = 0 имеет два различных комплексных корня.

รากเชิงซ้อนของสมการกำลังสองมีคุณสมบัติเดียวกันกับคุณสมบัติที่ทราบของรากจริง

ให้เรากำหนดประเด็นหลัก:

ให้ Z 1 ,Z 2 เป็นรากของสมการกำลังสอง a× Z 2 + b× Z + c = 0, a0 จากนั้นมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ซี 1× ซี 2 =

สำหรับ Z เชิงซ้อนทั้งหมด สูตรนี้ใช้ได้

a× Z 2 + b× Z + c = a× (Z – Z 1)× (Z – Z 2)

ตัวอย่างที่ 5:

ซี 2 – 6 ซี + 10 = 0

D = ข 2 – 4 เอซี

ง = 6 2 – 4 10 = – 4

– 4 = ฉัน 2 ·4

ซี 1.2 =

คำตอบ: Z 1 = Z 2 = 3 + ฉัน

ตัวอย่างที่ 6:

3·Z 2 +2·Z + 1 = 0

D = ข 2 – 4 เอซี

ง = 4 – 12 = – 8

ด = –1·8 = 8· ฉัน 2

ซี 1.2 = =

คำตอบ: Z 1 = Z 2 = –

ตัวอย่างที่ 7:

ซี 4 – 8 ซี 2 – 9 = 0

เสื้อ 2 – 8 เสื้อ – 9 = 0

D = ข 2 – 4 ค = 64 + 36 = 100

เสื้อ 1 = 9 เสื้อ 2 = – 1

ซี 2 = 9 ซี 2 = – 1

ซี 3.4 = ฉัน

คำตอบ: Z 1.2 = 3, Z 3.4 = ฉัน

ตัวอย่างที่ 8:

ซี 4 + 2 ซี 2 – 15 = 0

เสื้อ 2 + 2 เสื้อ – 15 = 0

D = ข 2 – 4 ค = 4 + 60 = 64

เสื้อ 1.2 = = = –14

เสื้อ 1 = – 5 เสื้อ 2 = 3

ซี 2 = – 5 ซี 2 = 3

ซี 2 = – 1·5 Z 3.4 =

ซี 2 = ฉัน 2 ·5

ซี 1.2 = ฉัน

คำตอบ: Z 1.2 = ฉัน , Z 3.4 =

ตัวอย่างที่ 9:

ซี 2 = 24 10 ฉัน

ให้ Z = X + Y ฉัน

(X + Y ฉัน ) 2 = X 2 + 2· X· Y· ฉัน ย2

X 2 + 2 X Y ฉัน ป 2 = 24 10 ฉัน

(X 2 ปี 2) + 2· X· Y· ฉัน = 24 10· ฉัน

คูณด้วย X 2 0

X 4 – 24 X 2 – 25 = 0

เสื้อ 2 – 24 เสื้อ – 25 = 0

เสื้อ 1 เสื้อ 2 = – 25

เสื้อ 1 = 25 เสื้อ 2 = – 1

X 2 = 25 X 2 = – 1 - ไม่มีวิธีแก้ไข

X 1 = 5 X 2 = – 5

ปี 1 = – ปี 2 =

ปี 1 = – 1 ปี 2 = 1

จ 1.2 =(5 – ฉัน )

ตอบ: Z 1.2 =(5 – ฉัน )

งาน:

(2 – ป) 2 + 3 (2 – ป) ป + ป 2 = 6

4 – 4·Y + Y 2 + 6·Y – 3·Y 2 + Y 2 = 6

–ป 2 + 2ป – 2 = 0 / –1

ป 2 – 2ป + 2 = 0

ง = ข 2 – 4 ค = 4 – 8 = – 4

– 4 = – 1·4 = 4· ฉัน 2

ย 1.2 = = = 1 ฉัน

ป 1 = 1– ฉัน ป 2 = 1 + ฉัน

X 1 = 1 + ฉัน เอ็กซ์ 2 = 1– ฉัน

คำตอบ: (1 + ฉัน ; 1–ฉัน }

{1–ฉัน ; 1 + ฉัน }

ลองยกกำลังสองดู

§1. จำนวนเชิงซ้อน

1° คำนิยาม. สัญกรณ์พีชคณิต

คำจำกัดความ 1. จำนวนเชิงซ้อนคู่อันดับของจำนวนจริงจะถูกเรียก และ หากสำหรับพวกเขามีการกำหนดแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันการบวกและการคูณซึ่งเป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้:

1) ตัวเลขสองตัว
และ
เท่ากับถ้าและถ้าเท่านั้น
,
, เช่น.


,
.

2) ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน
และ

และเท่าเทียมกัน
, เช่น.

+
=
.

3) ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน
และ
คือตัวเลขที่แสดงโดย
และเท่าเทียมกัน กล่าวคือ

∙=.

เซตของจำนวนเชิงซ้อนจะแสดงแทน ค.

สูตร (2), (3) สำหรับตัวเลขของแบบฟอร์ม
ใช้แบบฟอร์ม

โดยเหตุใดจึงเป็นไปตามการดำเนินการของการบวกและการคูณตัวเลขของแบบฟอร์ม
เกิดขึ้นพร้อมกับการบวกและการคูณจำนวนจริง  จำนวนเชิงซ้อนของแบบฟอร์ม
ระบุด้วยจำนวนจริง .

จำนวนเชิงซ้อน
เรียกว่า หน่วยจินตภาพและถูกกำหนดไว้ , เช่น.
จากนั้นจาก (3) 

จาก (2), (3)  ซึ่งหมายถึง

นิพจน์ (4) เรียกว่า สัญกรณ์พีชคณิตจำนวนเชิงซ้อน.

ในสัญลักษณ์พีชคณิต การดำเนินการของการบวกและการคูณจะอยู่ในรูปแบบ:

จำนวนเชิงซ้อนเขียนแทนด้วย
, – ส่วนจริง – ส่วนจินตภาพ เป็นจำนวนจินตภาพล้วนๆ การกำหนด:
,
.

คำจำกัดความ 2- จำนวนเชิงซ้อน
เรียกว่า ผันด้วยจำนวนเชิงซ้อน
.

คุณสมบัติของการผันคำกริยาที่ซับซ้อน

2)
.

3) ถ้า
, ที่
.

4)
.

5)
- เบอร์จริง.

การพิสูจน์จะดำเนินการโดยการคำนวณโดยตรง

คำจำกัดความ 3- ตัวเลข
เรียกว่า โมดูลจำนวนเชิงซ้อน
และถูกกำหนดไว้
.

เห็นได้ชัดว่า
, และ

- สูตรยังชัดเจน:
และ
.

2° คุณสมบัติของการดำเนินการบวกและการคูณ

1) การเปลี่ยนแปลง:
,
.

2) การเชื่อมโยง:,
.

3) การกระจายสินค้า: .

การพิสูจน์ 1) – 3) ดำเนินการโดยการคำนวณโดยตรงโดยอิงตามคุณสมบัติที่คล้ายกันของจำนวนจริง

4)
,
.

5) , ค ! เป็นไปตามสมการ
- นี้

6) ,ค, 0, ! :
- นี้ พบได้โดยการคูณสมการด้วย

.

ตัวอย่าง. ลองจินตนาการถึงจำนวนเชิงซ้อน
ในรูปแบบพีชคณิต เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนคอนจูเกตของตัวส่วน เรามี:

3. การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน รูปแบบตรีโกณมิติและเลขชี้กำลังของการเขียนจำนวนเชิงซ้อน

ให้ระบุระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ แล้ว
คคุณสามารถจับคู่จุดบนเครื่องบินด้วยพิกัดได้
.(ดูรูปที่ 1) เห็นได้ชัดว่าการโต้ตอบดังกล่าวเป็นแบบตัวต่อตัว ในกรณีนี้ จำนวนจริงจะอยู่บนแกนแอบซิสซา และจำนวนจินตภาพล้วนๆ จะอยู่บนแกนพิกัด ดังนั้นจึงเรียกว่าแกนแอบซิสซา แกนจริงและแกนพิกัด − แกนจินตภาพ- ระนาบที่จำนวนเชิงซ้อนอยู่เรียกว่า เครื่องบินที่ซับซ้อน.

โปรดทราบว่า และ
มีความสมมาตรเกี่ยวกับต้นกำเนิดและ และ สมมาตรด้วยความเคารพต่ออ็อกซ์

จำนวนเชิงซ้อนแต่ละตัว (เช่น แต่ละจุดบนระนาบ) สามารถเชื่อมโยงกับเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด O และจุดสิ้นสุดที่จุด
- ความสอดคล้องระหว่างเวกเตอร์และจำนวนเชิงซ้อนเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้นเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อน , แสดงด้วยตัวอักษรเดียวกัน

ดี เส้นเวกเตอร์
ตรงกับจำนวนเชิงซ้อน
มีค่าเท่ากัน
, และ
,
.

เมื่อใช้การตีความเวกเตอร์ เราจะเห็นว่าเวกเตอร์นั้น
− ผลรวมของเวกเตอร์ และ , ก
− ผลรวมของเวกเตอร์ และ
.(ดูรูปที่ 2) ดังนั้นอสมการต่อไปนี้จึงถูกต้อง: ,

ประกอบกับความยาว เวกเตอร์ เรามาแนะนำมุมกันดีกว่า ระหว่างเวกเตอร์ และแกนวัว นับจากทิศทางบวกของแกนวัว ถ้านับทวนเข็มนาฬิกา เครื่องหมายของมุมจะถือเป็นบวก ถ้าตามเข็มนาฬิกาก็ถือเป็นลบ มุมนี้เรียกว่า. อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนและถูกกำหนดไว้
- มุม ไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน แต่แม่นยำ
- สำหรับ
อาร์กิวเมนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้

สูตร (6) กำหนดสิ่งที่เรียกว่า สัญกรณ์ตรีโกณมิติจำนวนเชิงซ้อน.

จาก (5) จะได้ว่า ถ้า
และ
ที่

,
.

จาก (5)
แล้วไง และ จำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดโดยเฉพาะ การสนทนาไม่เป็นความจริง กล่าวคือ เรื่องจำนวนเชิงซ้อน โมดูลของมัน พบได้ไม่ซ้ำกันและเกิดข้อโต้แย้ง โดยอาศัยอำนาจตาม (7) - ด้วยความแม่นยำ
- นอกจากนี้ยังตามมาจาก (7) ว่าอาร์กิวเมนต์ สามารถหาได้เป็นคำตอบของสมการ

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกคำตอบของสมการนี้จะเป็นคำตอบของ (7)

ในบรรดาค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนจะมีการเลือกค่าหนึ่งซึ่งเรียกว่าค่าหลักของอาร์กิวเมนต์และแสดงแทน
- โดยปกติแล้วค่าหลักของอาร์กิวเมนต์จะถูกเลือกในช่วงเวลาหนึ่ง
หรือในช่วงเวลา

สะดวกในการดำเนินการคูณและหารในรูปแบบตรีโกณมิติ

ทฤษฎีบท 1โมดูลัสผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน และ เท่ากับผลคูณของโมดูล และอาร์กิวเมนต์คือผลรวมของอาร์กิวเมนต์ เช่น

, ก.

เช่นเดียวกัน

การพิสูจน์.อนุญาต , . จากนั้นโดยการคูณโดยตรงเราจะได้:

เช่นเดียวกัน

.■

ผลที่ตามมา(สูตรมูฟร์) สำหรับ
สูตรของ Moivre ใช้ได้

ป ตัวอย่าง. ให้เราค้นหาตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุด
- จากทฤษฎีบทที่ 1 จะได้ว่า

ดังนั้น ในการสร้างมัน คุณต้องสร้างจุดก่อน ซึ่งก็คือการกลับกัน สัมพันธ์กับวงกลมหน่วย แล้วหาจุดที่สมมาตรสัมพันธ์กับแกนวัว

อนุญาต
, เช่น.
จำนวนเชิงซ้อน
แสดงโดย
, เช่น. รสูตรของออยเลอร์ใช้ได้

เพราะ
, ที่
,
- จากทฤษฎีบท 1
ฟังก์ชันมีอะไรบ้าง
คุณสามารถทำงานเหมือนกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังปกติได้ เช่น ความเท่าเทียมกันนั้นถูกต้อง

,
,
.

จาก (8)
สัญกรณ์สาธิตจำนวนเชิงซ้อน

, ที่ไหน
,

ตัวอย่าง. .

4° ราก - ยกกำลังที่ 2 ของจำนวนเชิงซ้อน

พิจารณาสมการ

,
กับ ,
เอ็น .

อนุญาต
และหาคำตอบของสมการ (9) ในรูปแบบ
- จากนั้น (9) เข้าสู่รูปแบบ
จากที่เราพบสิ่งนั้น
,
, เช่น.

,
,
.

ดังนั้นสมการ (9) จึงมีราก

,
.

ให้เราแสดงว่าใน (10) นั้นมีอยู่จริง รากที่แตกต่างกัน จริงหรือ,

แตกต่างกันเพราะว่า ข้อโต้แย้งของพวกเขาแตกต่างกันและแตกต่างกันน้อยกว่า
- ไกลออกไป,
, เพราะ
- เช่นเดียวกัน
.

ดังนั้นสมการ (9) ที่
มีอย่างแน่นอน ราก
ซึ่งอยู่ที่จุดยอดของเส้นปกติ - รูปสามเหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมี โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O

จึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 2การสกัดราก - ยกกำลังที่ 2 ของจำนวนเชิงซ้อน
มันเป็นไปได้เสมอ ความหมายรากทั้งหมด ระดับของ อยู่ที่จุดยอดที่ถูกต้อง -gon จารึกไว้ในวงกลมโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์และรัศมี
- โดยที่

ผลที่ตามมาราก - กำลัง 1 แสดงโดยสูตร

ผลคูณของรากสองตัวของ 1 คือราก 1 คือราก -พลังแห่งความสามัคคี ราก
:
.

ให้เรานึกถึงข้อมูลที่จำเป็นเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนเป็นการแสดงออกถึงรูปร่าง ก + สอง, ที่ไหน ก, ขเป็นจำนวนจริง และ ฉัน- ที่เรียกว่า หน่วยจินตภาพซึ่งเป็นสัญลักษณ์ที่มีกำลังสองเท่ากับ –1 นั่นก็คือ ฉัน 2 = –1 ตัวเลข กเรียกว่า ส่วนที่แท้จริงและหมายเลข ข - ส่วนจินตภาพจำนวนเชิงซ้อน z = ก + สอง- ถ้า ข= 0 จากนั้นแทน ก + 0ฉันพวกเขาเขียนง่ายๆ ก- จะเห็นได้ว่าจำนวนจริงเป็นกรณีพิเศษของจำนวนเชิงซ้อน

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนเชิงซ้อนจะเหมือนกับจำนวนจริง กล่าวคือ สามารถบวก ลบ คูณ และหารซึ่งกันและกันได้ การบวกและการลบเกิดขึ้นตามกฎ ( ก + สอง) ± ( ค + ดิ) = (ก ± ค) + (ข ± ง)ฉันและการคูณเป็นไปตามกฎ ( ก + สอง) · ( ค + ดิ) = (เครื่องปรับอากาศ – ข) + (โฆษณา + ก่อนคริสต์ศักราช)ฉัน(ในที่นี้ใช้แบบนั้น. ฉัน 2 = –1) หมายเลข = ก – สองเรียกว่า คอนจูเกตที่ซับซ้อนถึง z = ก + สอง- ความเท่าเทียมกัน z · = ก 2 + ข 2 ช่วยให้คุณเข้าใจวิธีหารจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่งด้วยจำนวนเชิงซ้อนอีกตัว (ที่ไม่ใช่ศูนย์):

(ตัวอย่างเช่น, .)

จำนวนเชิงซ้อนมีการแสดงรูปทรงเรขาคณิตที่สะดวกและมองเห็นได้: ตัวเลข z = ก + สองสามารถแสดงด้วยเวกเตอร์ที่มีพิกัด ( ก; ข) บนระนาบคาร์ทีเซียน (หรือซึ่งเกือบจะเหมือนกันคือจุด - จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่มีพิกัดเหล่านี้) ในกรณีนี้ ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวจะแสดงเป็นผลรวมของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน (ซึ่งสามารถหาได้โดยใช้กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของเวกเตอร์ที่มีพิกัด ( ก; ข) เท่ากับ . ปริมาณนี้เรียกว่า โมดูลจำนวนเชิงซ้อน z = ก + สองและเขียนแทนด้วย | z- เรียกว่ามุมที่เวกเตอร์นี้ทำกับทิศทางบวกของแกน x (นับทวนเข็มนาฬิกา) การโต้แย้งจำนวนเชิงซ้อน zและเขียนแทนด้วย Arg z- อาร์กิวเมนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ แต่ขึ้นอยู่กับการเพิ่มค่าที่เป็นจำนวนทวีคูณของ 2 เท่านั้น π เรเดียน (หรือ 360° หากนับเป็นองศา) ท้ายที่สุดแล้ว เป็นที่ชัดเจนว่าการหมุนด้วยมุมดังกล่าวรอบจุดกำเนิดจะไม่เปลี่ยนเวกเตอร์ แต่ถ้าเป็นเวกเตอร์ความยาว รสร้างมุม φ โดยมีทิศทางบวกของแกน x ดังนั้นพิกัดจะเท่ากับ ( รเพราะ φ ; รบาป φ - จากที่นี่ปรากฎว่า สัญกรณ์ตรีโกณมิติจำนวนเชิงซ้อน: z = |z- · (cos(หาเรื่อง z) + ฉันบาป(หาเรื่อง z- การเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบนี้มักจะสะดวก เนื่องจากจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก การคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิตินั้นง่ายมาก: z 1 · z 2 = |z 1 | - z 2 | · (cos(หาเรื่อง z 1 + หาเรื่อง z 2) + ฉันบาป(หาเรื่อง z 1 + หาเรื่อง z 2)) (เมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อนสองตัว โมดูลจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์) จากนี้ไปตาม สูตรของ Moivre: z n = |z|n· (คอส( n· (หาเรื่อง z)) + ฉันบาป( n· (หาเรื่อง z- การใช้สูตรเหล่านี้ทำให้ง่ายต่อการเรียนรู้วิธีแยกรากจากจำนวนเชิงซ้อนในระดับใดๆ ก็ตาม รากที่ n ของ z- นี่คือจำนวนเชิงซ้อน ว, อะไร ไม่ทราบ = z- มันชัดเจนว่า , และที่ไหน เคสามารถรับค่าใดๆ จากเซตได้ (0, 1, ..., n- 1) ซึ่งหมายความว่ามีอยู่เสมอ nราก nระดับของจำนวนเชิงซ้อน (บนระนาบจะอยู่ที่จุดยอดของเส้นปกติ n-gon)

เรื่องจำนวนเชิงซ้อนและพหุนาม

บรรยาย 22

§1. จำนวนเชิงซ้อน: คำจำกัดความพื้นฐาน

เครื่องหมาย ได้รับการแนะนำโดยอัตราส่วน
และเรียกว่าหน่วยจินตภาพ กล่าวอีกนัยหนึ่ง
.

คำนิยาม. การแสดงออกของแบบฟอร์ม
, ที่ไหน
เรียกว่า จำนวนเชิงซ้อน และจำนวน เรียกว่าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน และแสดงถึง
, ตัวเลข – ส่วนจินตภาพ และแสดงถึง
.

จากคำจำกัดความนี้ สรุปได้ว่าจำนวนจริงคือจำนวนเชิงซ้อนซึ่งมีส่วนจินตภาพเท่ากับศูนย์

สะดวกในการแสดงจำนวนเชิงซ้อนด้วยจุดของระนาบซึ่งให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนไว้ กล่าวคือ จำนวนเชิงซ้อน
สอดคล้องกับจุด
และในทางกลับกัน. บนแกน
มีการแสดงจำนวนจริงและเรียกว่าแกนจริง จำนวนเชิงซ้อนของแบบฟอร์ม

เรียกว่าจินตภาพล้วนๆ พวกมันแสดงด้วยจุดบนแกน
ซึ่งเรียกว่าแกนจินตภาพ ระนาบนี้ซึ่งทำหน้าที่แทนจำนวนเชิงซ้อน เรียกว่าระนาบเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นจำนวนจริง เช่น ดังนั้น
ซึ่งบางครั้งเรียกว่าจินตภาพ

กล่าวกันว่าจำนวนเชิงซ้อนสองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อทั้งส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากัน

การบวก การลบ และการคูณจำนวนเชิงซ้อนจะดำเนินการตามกฎปกติของพีชคณิตพหุนาม โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่า

- การดำเนินการหารสามารถกำหนดเป็นค่าผกผันของการดำเนินการคูณ และสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ของผลลัพธ์ได้ (หากตัวหารไม่เป็นศูนย์) อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติมีการใช้แนวทางที่แตกต่างออกไป

จำนวนเชิงซ้อน
และ
เรียกว่าคอนจูเกต บนระนาบเชิงซ้อนจะแสดงด้วยจุดที่สมมาตรเกี่ยวกับแกนจริง เห็นได้ชัดว่า:

1)

;

2)
;

3)
.

ตอนนี้แยกแล้ว บน สามารถทำได้ดังนี้:

มันไม่ยากที่จะแสดงสิ่งนั้น

สัญลักษณ์อยู่ที่ไหน หมายถึงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ใดๆ

อนุญาต
จำนวนจินตภาพบางส่วน และ – ตัวแปรที่แท้จริง ผลคูณของทวินามสองตัว

คือตรีโกณมิติกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริง

ตอนนี้เมื่อมีจำนวนเชิงซ้อน เราก็สามารถแก้สมการกำลังสองใดๆ ก็ได้
.ถ้าอย่างนั้น

และสมการนี้มีรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนสองอัน

ถ้า
แล้วสมการจะมีรากจริงที่แตกต่างกันสองราก ถ้า
จากนั้นสมการจะมีรากที่เหมือนกันสองอัน

§2 รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้นเป็นจำนวนเชิงซ้อน
สะดวกในการแสดงเป็นจุด
- หมายเลขนี้สามารถระบุได้ด้วยเวกเตอร์รัศมีของจุดนี้
- ด้วยการตีความนี้ การบวกและการลบจำนวนเชิงซ้อนจะดำเนินการตามกฎสำหรับการบวกและการลบเวกเตอร์ สำหรับการคูณและหารจำนวนเชิงซ้อนรูปแบบอื่นจะสะดวกกว่า

ให้เราแนะนำบนระนาบที่ซับซ้อน
ระบบพิกัดเชิงขั้ว แล้วที่
,
และจำนวนเชิงซ้อน
สามารถเขียนเป็น:

สัญกรณ์รูปแบบนี้เรียกว่าตรีโกณมิติ (ตรงกันข้ามกับรูปแบบพีชคณิต
- ในรูปแบบนี้หมายเลข เรียกว่าโมดูลและ – อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน - พวกเขาถูกกำหนด:
,

- สำหรับโมดูลเรามีสูตร

อาร์กิวเมนต์ของตัวเลขไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ แต่ขึ้นอยู่กับคำศัพท์
,
- ค่าของการโต้แย้งที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน
เรียกว่าตัวหลักและแสดงแทน
- แล้ว,
- สำหรับค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ คุณสามารถรับนิพจน์ต่อไปนี้:

อาร์กิวเมนต์จำนวน
ถือว่าไม่แน่นอน

เงื่อนไขสำหรับความเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวในรูปแบบตรีโกณมิติมีรูปแบบ: โมดูลของตัวเลขเท่ากัน และอาร์กิวเมนต์ต่างกันด้วยผลคูณของ
.

ลองหาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวในรูปแบบตรีโกณมิติ:

ดังนั้น เมื่อตัวเลขถูกคูณ โมดูลของพวกมันจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์ของมัน

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเมื่อทำการหาร โมดูลของตัวเลขจะถูกแบ่งออก และอาร์กิวเมนต์จะถูกลบออก

เมื่อเข้าใจถึงการยกกำลังเป็นการคูณซ้ำ เราสามารถหาสูตรในการยกจำนวนเชิงซ้อนเป็นกำลังได้:

ให้เราได้มาซึ่งสูตรสำหรับ
– ราก - ยกกำลังที่ 2 ของจำนวนเชิงซ้อน (อย่าสับสนกับรากเลขคณิตของจำนวนจริง!) การดำเนินการแยกรากเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับการดำเนินการยกกำลัง นั่นเป็นเหตุผล
เป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น
.

อนุญาต
เป็นที่รู้จักแต่
จำเป็นต้องพบ แล้ว

จากความเท่าเทียมกันของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวในรูปแบบตรีโกณมิติจะเป็นไปตามนั้น

,
,
.

จากที่นี่
(นี่คือรากเลขคณิต!)

,
.

มันง่ายที่จะตรวจสอบสิ่งนั้น สามารถยอมรับได้เท่านั้น ค่าที่แตกต่างกันโดยพื้นฐาน เช่น เมื่อ
- ในที่สุดเราก็ได้สูตร:

,
.

ดังนั้นราก กำลัง th ของจำนวนเชิงซ้อนมี ความหมายที่แตกต่างกัน บนระนาบเชิงซ้อน ค่าเหล่านี้จะอยู่ที่จุดยอดอย่างถูกต้อง - รูปสามเหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมี
โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ราก "แรก" มีข้อโต้แย้ง
ข้อโต้แย้งของราก "เพื่อนบ้าน" สองอันนั้นแตกต่างกัน
.

ตัวอย่าง. ลองหารากที่สามของหน่วยจินตภาพ:
,
,
- แล้ว: