![ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ x บนพื้นฐานทางออนไลน์ การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์ ระบบพิกัดอัฟฟิน](https://i1.wp.com/lib.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_afl/files.book&file=afl_23.files/image3.gif)
ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ x บนพื้นฐานทางออนไลน์ การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์ ระบบพิกัดอัฟฟิน
ในแคลคูลัสเวกเตอร์และการประยุกต์ ความสำคัญอย่างยิ่งมีงานการสลายตัวซึ่งประกอบด้วยการแสดงเวกเตอร์ที่กำหนดเป็นผลรวมของเวกเตอร์หลายตัวที่เรียกว่าส่วนประกอบของเวกเตอร์ที่กำหนด
เวกเตอร์ ซึ่งงานนี้ก็ได้ กรณีทั่วไปคำตอบจำนวนอนันต์จะค่อนข้างแน่นอนหากคุณระบุองค์ประกอบบางส่วนของเวกเตอร์ส่วนประกอบ
2. ตัวอย่างการสลายตัว
ให้เราพิจารณากรณีการสลายตัวที่พบบ่อยๆ หลายกรณี
1. แยกเวกเตอร์ c ที่กำหนดให้เป็นเวกเตอร์องค์ประกอบสองตัว โดยเวกเตอร์ตัวหนึ่ง เช่น a กำหนดขนาดและทิศทาง
ปัญหาอยู่ที่การกำหนดความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์สองตัว อันที่จริง ถ้าเวกเตอร์เป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ c ก็จะต้องได้รับความเท่าเทียมกัน
จากที่นี่จะกำหนดเวกเตอร์องค์ประกอบที่สอง
2. แยกเวกเตอร์ c ที่กำหนดออกเป็นสององค์ประกอบ โดยองค์ประกอบหนึ่งจะต้องอยู่ในระนาบที่กำหนด และเวกเตอร์ที่สองต้องอยู่บนเส้นตรง a ที่กำหนด
ในการกำหนดเวกเตอร์ส่วนประกอบ เราย้ายเวกเตอร์ c เพื่อให้จุดเริ่มต้นของมันเกิดขึ้นพร้อมกับจุดตัดของเส้นตรงที่กำหนดกับระนาบ (จุด O - ดูรูปที่ 18) จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ c (จุด C) เราวาดเส้นตรงไปที่
จุดตัดกับระนาบ (B คือจุดตัด) จากนั้นจากจุด C เราวาดเส้นตรงขนานกัน
เวกเตอร์ และ จะเป็นค่าที่ต้องการ เช่น โดยธรรมชาติแล้ว การขยายตัวที่ระบุเป็นไปได้หากเส้นตรง a และระนาบไม่ขนานกัน
3. ให้เวกเตอร์โคพลานาร์สามตัว a, b และ c และเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน จำเป็นต้องแยกเวกเตอร์ c ให้เป็นเวกเตอร์
ให้เรานำเวกเตอร์ที่กำหนดทั้งสามตัวมาที่จุดเดียว O จากนั้น เนื่องจากความระนาบของพวกมัน พวกมันจึงอยู่ในระนาบเดียวกัน การใช้เวกเตอร์ c นี้เป็นเส้นทแยงมุม เราจะสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งด้านข้างขนานกับเส้นการกระทำของเวกเตอร์ (รูปที่ 19) โครงสร้างนี้เป็นไปได้เสมอ (เว้นแต่ว่าเวกเตอร์เป็นแบบแนวเดียวกัน) และมีลักษณะเฉพาะ จากรูป 19 เป็นที่ชัดเจนว่า
พื้นฐานของพื้นที่เป็นระบบของเวกเตอร์ซึ่งเวกเตอร์อื่นๆ ทั้งหมดในอวกาศสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่รวมอยู่ในฐานได้
ในทางปฏิบัติ ทั้งหมดนี้ทำได้ค่อนข้างง่าย ตามกฎแล้วจะมีการตรวจสอบพื้นฐานบนระนาบหรือในอวกาศและด้วยเหตุนี้คุณจะต้องค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับที่สองและสามที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์ ด้านล่างมีการเขียนแผนผัง เงื่อนไขที่เวกเตอร์เป็นพื้นฐาน
ถึง ขยายเวกเตอร์ b ไปเป็นเวกเตอร์ฐาน
e,e...,e[n] มีความจำเป็นต้องค้นหาสัมประสิทธิ์ x, ..., x[n] ซึ่งผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ e,e...,e[n] เท่ากับ เวกเตอร์ ข:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = ข.
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ สมการเวกเตอร์ควรถูกแปลงเป็นระบบ สมการเชิงเส้นและหาทางแก้ไข นี่ยังค่อนข้างง่ายในการติดตั้ง
เรียกค่าสัมประสิทธิ์ที่พบ x, ..., x[n] พิกัดของเวกเตอร์ b บนพื้นฐานอี,อี...,อี[n].
เรามาต่อกันที่ ด้านการปฏิบัติหัวข้อ
การสลายตัวของเวกเตอร์ให้เป็นเวกเตอร์พื้นฐาน
ภารกิจที่ 1 ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ a1, a2 เป็นฐานบนระนาบหรือไม่
1) ก1 (3; 5), ก2 (4; 2)
วิธีแก้ไข: เราเขียนดีเทอร์มิแนนต์จากพิกัดของเวกเตอร์แล้วคำนวณ
ปัจจัยกำหนดไม่เป็นศูนย์, เพราะฉะนั้น เวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่าพวกมันก่อตัวเป็นพื้นฐาน.
2) เอ1 (2; -3), เอ2 (5;-1)
วิธีแก้: เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์
ดีเทอร์มิแนนต์มีค่าเท่ากับ 13 (ไม่เท่ากับศูนย์) - จากนี้จึงเป็นไปตามที่เวกเตอร์ a1, a2 เป็นพื้นฐานบนระนาบ
---=================---
ลองดูตัวอย่างทั่วไปจากโปรแกรม MAUP ในสาขาวิชา "คณิตศาสตร์ขั้นสูง"
ภารกิจที่ 2 แสดงว่าเวกเตอร์ a1, a2, a3 เป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์สามมิติ และขยายเวกเตอร์ b ตามพื้นฐานนี้ (ใช้วิธีแครเมอร์เมื่อแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น)
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
วิธีแก้: ขั้นแรก พิจารณาระบบของเวกเตอร์ a1, a2, a3 และตรวจสอบดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A
สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ เมทริกซ์ประกอบด้วยองค์ประกอบที่เป็นศูนย์หนึ่งรายการ ดังนั้นจึงเหมาะสมกว่าในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์เป็นกำหนดการในคอลัมน์แรกหรือแถวที่สาม
จากการคำนวณเราพบว่าดีเทอร์มิแนนต์แตกต่างจากศูนย์ดังนั้น เวกเตอร์ a1, a2, a3 มีความเป็นอิสระเชิงเส้น.
ตามคำนิยาม เวกเตอร์จะสร้างพื้นฐานใน R3 ลองเขียนตารางเวลาของเวกเตอร์ b กัน
เวกเตอร์จะเท่ากันเมื่อพิกัดที่สอดคล้องกันเท่ากัน
ดังนั้นจากสมการเวกเตอร์เราได้ระบบสมการเชิงเส้น
มาแก้ SLAE กัน วิธีการของแครมเมอร์- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เขียนระบบสมการในรูปแบบ
ดีเทอร์มิแนนต์หลักของ SLAE จะเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์พื้นฐานเสมอ
ดังนั้นในทางปฏิบัติจะไม่นับสองครั้ง ในการค้นหาปัจจัยเสริม เราใส่คอลัมน์ที่มีพจน์อิสระเข้ามาแทนที่แต่ละคอลัมน์ของปัจจัยหลัก ปัจจัยกำหนดคำนวณโดยใช้กฎสามเหลี่ยม
ลองแทนที่ดีเทอร์มิแนนต์ที่พบลงในสูตรของแครเมอร์
ดังนั้น การขยายตัวของเวกเตอร์ b ในรูปของฐานจะมีรูปแบบ b=-4a1+3a2-a3 พิกัดของเวกเตอร์ b บนพื้นฐาน a1, a2, a3 จะเป็น (-4,3, 1)
2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), ข (3; 5; 1)
วิธีแก้ปัญหา: เราตรวจสอบเวกเตอร์เป็นพื้นฐาน - เราเขียนดีเทอร์มิแนนต์จากพิกัดของเวกเตอร์แล้วคำนวณ
ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์จึงไม่เท่ากับศูนย์ เวกเตอร์เป็นพื้นฐานในอวกาศ- ยังคงต้องค้นหาตารางเวลาของเวกเตอร์ b ผ่านพื้นฐานนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราเขียนสมการเวกเตอร์
และแปลงเป็นระบบสมการเชิงเส้น
มาเขียนมันลงไปกันดีกว่า สมการเมทริกซ์
ต่อไป สำหรับสูตรของแครเมอร์ เราจะหาปัจจัยเสริม
เราใช้สูตรของแครเมอร์
ดังนั้นเวกเตอร์ที่กำหนด b มีตารางเวลาผ่านเวกเตอร์ฐานสองตัว b=-2a1+5a3 และพิกัดของมันในฐานเท่ากับ b(-2,0, 5)
พื้นฐาน(กรีกโบราณ βασις พื้นฐาน) - ชุดของเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์ โดยที่เวกเตอร์ใดๆ ในพื้นที่นี้สามารถแสดงได้โดยไม่ซ้ำกันเป็นการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์จากชุดนี้ - เวกเตอร์พื้นฐาน
พื้นฐานในพื้นที่ Rn คือระบบใดๆ จาก n- เวกเตอร์อิสระเชิงเส้น เวกเตอร์แต่ละตัวจาก R n ที่ไม่รวมอยู่ในฐานสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐานได้ เช่น กระจายอยู่บนพื้นฐาน
อนุญาต เป็นพื้นฐานของช่องว่าง R n และ . จากนั้นก็มีตัวเลข แลมบ์ดา 1, แลมบ์ 2, …, แลมบ์ดา เช่นนั้น .
ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัว แลมบ์ดา 1, แลมบ์ 2, ..., แลมบ์ n เรียกว่าพิกัดเวกเตอร์ในฐาน B หากกำหนดพื้นฐานไว้ ค่าสัมประสิทธิ์เวกเตอร์จะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน
ความคิดเห็น ในทุกๆ n-ปริภูมิเวกเตอร์มิติ คุณสามารถเลือกฐานที่แตกต่างกันได้ไม่จำกัดจำนวน ในฐานที่ต่างกัน เวกเตอร์เดียวกันมีพิกัดต่างกัน แต่จะไม่ซ้ำกันในพื้นฐานที่เลือก ตัวอย่าง.ขยายเวกเตอร์ให้เป็นฐาน
สารละลาย. - ลองแทนที่พิกัดของเวกเตอร์ทั้งหมดแล้วดำเนินการกับพวกมัน:
เมื่อพิกัดเท่ากันเราจะได้ระบบสมการ:
มาแก้กัน: .
ดังนั้นเราจึงได้รับการสลายตัว: .
โดยพื้นฐานแล้ว เวกเตอร์มีพิกัด
สิ้นสุดการทำงาน -
หัวข้อนี้เป็นของส่วน:
แนวคิดเรื่องเวกเตอร์ การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์
เวกเตอร์คือส่วนที่กำกับซึ่งมีความยาวที่แน่นอน นั่นคือส่วนของความยาวที่แน่นอนซึ่งมีจุดจำกัดจุดใดจุดหนึ่ง ความยาวของเวกเตอร์เรียกว่าโมดูลัสของมัน และแสดงด้วยโมดูลัสเวกเตอร์สัญลักษณ์ เรียกว่าศูนย์ โดยกำหนดให้จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน
ถ้าคุณต้องการ วัสดุเพิ่มเติมในหัวข้อนี้หรือคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหาเราขอแนะนำให้ใช้การค้นหาในฐานข้อมูลผลงานของเรา:
เราจะทำอย่างไรกับเนื้อหาที่ได้รับ:
หากเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับคุณ คุณสามารถบันทึกลงในเพจของคุณได้ ในเครือข่ายโซเชียล: