ขีดจำกัดของฟังก์ชันคือ 0 ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง ขีดจำกัดฟังก์ชัน Cauchy
นิยามของลิมิตของลำดับและฟังก์ชัน คุณสมบัติของลิมิต ลิมิตที่น่าทึ่งที่หนึ่งและที่สอง ตัวอย่าง
จำนวนคงที่ กเรียกว่า ขีด จำกัด ลำดับ(x n ) ถ้าสำหรับจำนวนบวกที่มีค่าน้อยใดๆ ε > 0 จะมีตัวเลข N ซึ่งจะทำให้ค่าทั้งหมด เอ็กซ์เอ็นโดยที่ n>N ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน
เขียนมันลงไปดังนี้: หรือ xn → a
อสมการ (6.1) เทียบเท่ากับอสมการสองเท่า
เอ - ε< x n < a + ε которое означает, что точки เอ็กซ์เอ็นเริ่มต้นจากตัวเลขบางตัว n>N อยู่ภายในช่วงเวลา (a-ε , a+ε) เช่น ตกอยู่ในบริเวณใกล้เคียง ε เล็กๆ ของจุดนั้น ก.
ลำดับที่มีขีดจำกัดเรียกว่า มาบรรจบกัน, มิฉะนั้น - แตกต่าง.
แนวคิดเรื่องขีดจำกัดของฟังก์ชันคือการทำให้แนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับขีดจำกัดของลำดับ เนื่องจากขีดจำกัดของลำดับถือได้ว่าเป็นขีดจำกัดของฟังก์ชัน x n = f(n) ของอาร์กิวเมนต์จำนวนเต็ม n.
กำหนดให้ฟังก์ชัน f(x) และปล่อยให้ ก - จุดจำกัดโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้ D(f) เช่น จุดดังกล่าว พื้นที่ใกล้เคียงใดๆ ที่มีจุดของเซต D(f) นอกเหนือจากนั้น ก- จุด กอาจเป็นหรืออาจจะไม่อยู่ในเซต D(f)
คำจำกัดความ 1.เรียกค่าคงที่ A ขีด จำกัด ฟังก์ชั่นฉ(x) ที่ x → a ถ้าสำหรับลำดับใด ๆ (x n ) ของค่าอาร์กิวเมนต์ที่มีแนวโน้ม กลำดับที่สอดคล้องกัน (f(x n)) มีขีดจำกัด A เท่ากัน
คำจำกัดความนี้เรียกว่า การกำหนดขีดจำกัดของฟังก์ชันตาม Heineหรือ " ในภาษาลำดับ”.
คำจำกัดความ 2- เรียกค่าคงที่ A ขีด จำกัด ฟังก์ชั่นฉ(x) ที่ x→a ถ้าให้จำนวนบวกจำนวนน้อยตามอำเภอใจ ε เราสามารถหาได้ว่า δ >0 (ขึ้นอยู่กับ ε) ซึ่งสำหรับทั้งหมด xนอนอยู่ใน ε-บริเวณใกล้เคียงของตัวเลข ก, เช่น. สำหรับ x, สนองความเหลื่อมล้ำ
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε
คำจำกัดความนี้เรียกว่า โดยการกำหนดขีดจำกัดของฟังก์ชันตาม Cauchyหรือ “ ในภาษาε - δ"
คำจำกัดความ 1 และ 2 เทียบเท่ากัน ถ้าฟังก์ชัน f(x) เป็น x → a มี ขีด จำกัดเท่ากับ A เขียนอยู่ในรูปนี้
ในกรณีที่ลำดับ (f(x n)) เพิ่มขึ้น (หรือลดลง) โดยไม่มีขีดจำกัดสำหรับวิธีการประมาณค่าใดๆ xถึงขีดจำกัดของคุณ กแล้วเราจะบอกว่าฟังก์ชัน f(x) มี ขีดจำกัดอนันต์และเขียนไว้ในรูปแบบ:
เรียกตัวแปร (เช่น ลำดับหรือฟังก์ชัน) ซึ่งมีขีดจำกัดเป็นศูนย์ เล็กอนันต์
ตัวแปรที่มีขีดจำกัดเป็นอนันต์เรียกว่า ใหญ่อนันต์.
เพื่อหาขีดจำกัดในทางปฏิบัติ จะใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 1 - หากทุกขีดจำกัดมีอยู่
(6.4)
(6.5)
(6.6)
ความคิดเห็น- นิพจน์ในรูปแบบ 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ นั้นมีความไม่แน่นอน เช่น อัตราส่วนของปริมาณที่น้อยมากหรือมากอย่างไม่จำกัด 2 ปริมาณ และการค้นหาขีดจำกัดประเภทนี้เรียกว่า "การเปิดเผยข้อมูลที่ไม่แน่นอน"
ทฤษฎีบท 2
เหล่านั้น. เราสามารถไปถึงขีดจำกัดตามกำลังด้วยเลขชี้กำลังคงที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง 
ทฤษฎีบท 3
(6.11)
ที่ไหน จ» 2.7 - ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ สูตร (6.10) และ (6.11) เรียกว่าขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันแรกและขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันที่สอง
ผลที่ตามมาจากสูตร (6.11) ก็ใช้ในทางปฏิบัติเช่นกัน:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
โดยเฉพาะขีดจำกัด
ถ้า x → a และในเวลาเดียวกัน x > a ให้เขียน x →a + 0 โดยเฉพาะอย่างยิ่งหาก a = 0 ให้เขียน +0 แทนสัญลักษณ์ 0+0 ในทำนองเดียวกัน ถ้า x→a และในเวลาเดียวกัน x 
- ฟังก์ชัน f(x) ถูกเรียก อย่างต่อเนื่อง ตรงจุด x 0 ถ้าเป็นขีดจำกัด
(6.15)
เงื่อนไข (6.15) สามารถเขียนใหม่ได้เป็น:
นั่นคือ การผ่านไปยังลิมิตภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันนั้นเป็นไปได้ ถ้ามันต่อเนื่องกัน ณ จุดที่กำหนด
หากมีการละเมิดความเท่าเทียมกัน (6.15) เราจะพูดอย่างนั้น ที่ x = xo การทำงานฉ(x) มันมี ช่องว่างพิจารณาฟังก์ชัน y = 1/x โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือเซต รยกเว้น x = 0 จุด x = 0 คือจุดจำกัดของเซต D(f) เนื่องจากอยู่ในย่านใกล้เคียงใดๆ ของเซตนั้น กล่าวคือ ในช่วงเปิดใดๆ ที่มีจุด 0 จะมีจุดจาก D(f) แต่ตัวมันเองไม่อยู่ในเซตนี้ ค่า f(x o)= f(0) ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น ณ จุด x o = 0 ฟังก์ชันจึงมีความไม่ต่อเนื่องกัน
ฟังก์ชัน f(x) ถูกเรียก ต่อเนื่องไปทางขวาตรงจุด x o ถ้าถึงขีดจำกัด
และ ต่อเนื่องทางซ้ายตรงจุด x o ถ้าถึงขีดจำกัด
ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง xoเท่ากับความต่อเนื่อง ณ จุดนี้ทั้งทางขวาและทางซ้าย
เพื่อให้ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องตรงจุด xoตัวอย่างเช่น ทางด้านขวา ประการแรก ต้องมีขีดจำกัดจำกัด และประการที่สอง ขีดจำกัดนี้เท่ากับ f(x o) ดังนั้น หากไม่ตรงตามเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งข้อจากสองเงื่อนไขนี้ ฟังก์ชันก็จะมีความต่อเนื่องกัน
1. ถ้าลิมิตมีอยู่และไม่เท่ากับ f(x o) ก็แสดงว่าเป็นเช่นนั้น การทำงานฉ(x) ตรงจุด xo มี การแตกร้าวแบบแรกหรือ เผ่น.
2. ถ้าลิมิตเป็น +∞ หรือ -∞ หรือไม่มีอยู่ก็บอกว่าอิน จุด xo ฟังก์ชั่นมีความไม่ต่อเนื่อง ประเภทที่สอง.
ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y = ctg x เมื่อ x → +0 มีขีดจำกัดเท่ากับ +∞ ซึ่งหมายความว่า ณ จุด x=0 จะมีความไม่ต่อเนื่องของชนิดที่สอง ฟังก์ชัน y = E(x) (ส่วนของจำนวนเต็มของ x) ที่จุดที่มีฝีทั้งหมดมีความไม่ต่อเนื่องแบบที่ 1 หรือการกระโดด
ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันทุกจุดในช่วงเวลาจะถูกเรียก อย่างต่อเนื่องวี ฟังก์ชันต่อเนื่องจะแสดงด้วยเส้นโค้งทึบ
ปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับการเติบโตอย่างต่อเนื่องของปริมาณบางอย่างนำไปสู่ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง ตัวอย่างเช่น งานดังกล่าว ได้แก่ การเติบโตของเงินฝากตามกฎหมายว่าด้วยดอกเบี้ยทบต้น การเติบโตของประชากรของประเทศ การสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสี การแพร่กระจายของแบคทีเรีย เป็นต้น
ลองพิจารณาดู ตัวอย่างของ Ya. I. Perelmanโดยให้การตีความตัวเลข จในปัญหาดอกเบี้ยทบต้น ตัวเลข จมีขีดจำกัด 
- ในธนาคารออมสิน เงินดอกเบี้ยจะถูกเพิ่มเข้าไปในทุนคงที่ทุกปี หากมีการภาคยานุวัติบ่อยขึ้น ทุนก็จะเติบโตเร็วขึ้น เนื่องจากจำนวนเงินที่มากขึ้นจะเกี่ยวข้องกับการก่อตัวของดอกเบี้ย ลองใช้ตัวอย่างเชิงทฤษฎีล้วนๆ และเรียบง่ายมาก ให้ผู้ปฏิเสธ 100 คนฝากเข้าธนาคาร หน่วย ขึ้นอยู่กับ 100% ต่อปี หากเงินดอกเบี้ยถูกเพิ่มเข้าไปในทุนคงที่หลังจากผ่านไปหนึ่งปีเท่านั้น ภายในช่วงเวลานี้ 100 เด็น หน่วย จะกลายเป็น 200 หน่วยการเงิน มาดูกันว่า 100 เดนิซจะกลายเป็นอะไร หน่วยหากเพิ่มดอกเบี้ยเข้าไปในทุนถาวรทุก ๆ หกเดือน หลังจากหกเดือน 100 ถ้ำ หน่วย จะเติบโต 100 × 1.5 = 150 และหลังจากนั้นอีกหกเดือน - 150 × 1.5 = 225 (หน่วยหน่วย) ถ้าภาคยานุวัติทำทุกๆ 1/3 ของปี จากนั้นอีก 100 ถ้ำหลังจากหนึ่งปี หน่วย จะกลายเป็น 100 × (1 +1/3) 3 data 237 (หน่วยหน่วย) เราจะเพิ่มเงื่อนไขในการบวกดอกเบี้ยเป็น 0.1 ปี, เป็น 0.01 ปี, เป็น 0.001 ปี เป็นต้น แล้วหมด 100 ถ้ำ หน่วย หลังจากผ่านไปหนึ่งปีจะเป็น:
100×(1 +1/10) 10 data 259 (หน่วยหน่วย)
100×(1+1/100) 100 ñ 270 (จำนวนหน่วย)
100×(1+1/1000) 1000 µ271 (หน่วยหน่วย)
ด้วยการลดเงื่อนไขการเพิ่มดอกเบี้ยไม่จำกัด ทุนสะสมจะไม่เติบโตอย่างไม่มีกำหนด แต่เข้าใกล้ขีดจำกัดที่แน่นอนเท่ากับประมาณ 271 ทุนที่ฝาก 100% ต่อปีไม่สามารถเพิ่มขึ้นเกิน 2.71 เท่า แม้ว่าดอกเบี้ยค้างรับก็ตาม ถูกเพิ่มเข้าเมืองหลวงทุกวินาทีเพราะมีขีดจำกัด
ตัวอย่างที่ 3.1-
ใช้คำจำกัดความของขีดจำกัดของลำดับตัวเลข พิสูจน์ว่าลำดับ x n =(n-1)/n มีลิมิตเท่ากับ 1สารละลาย.< ε
หา ε > 0 ใดๆ เนื่องจาก x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n ดังนั้นการหา N ก็เพียงพอแล้วที่จะแก้อสมการ 1/n<ε. Отсюда n>1/ε และด้วยเหตุนี้ N จึงสามารถนำมาเป็นส่วนจำนวนเต็มของ 1/ε N = E(1/ε) เราจึงได้พิสูจน์ให้เห็นแล้วว่าขีดจำกัด
ตัวอย่างที่ 3.2ค้นหาขีดจำกัดของลำดับที่กำหนดโดยคำศัพท์ทั่วไป
.
สารละลาย. ลองใช้ลิมิตของทฤษฎีบทผลรวมแล้วหาลิมิตของแต่ละเทอม เมื่อ n → ∞ ตัวเศษและส่วนของแต่ละเทอมมีแนวโน้มที่จะมีค่าอนันต์ และเราไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทลิมิตผลหารโดยตรงได้ ดังนั้นก่อนอื่นเราจึงเปลี่ยนแปลง เอ็กซ์เอ็นโดยหารตัวเศษและส่วนของเทอมแรกด้วย หมายเลข 2และครั้งที่สอง n- จากนั้น เมื่อใช้ลิมิตของผลหารและลิมิตของทฤษฎีบทผลรวม เราจะพบว่า:
ตัวอย่างที่ 3.3. 
- หา .
ในที่นี้เราใช้ทฤษฎีบทลิมิตของดีกรี: ลิมิตของดีกรีเท่ากับดีกรีของลิมิตของฐาน
ตัวอย่างที่ 3.4- หา ( 
).
สารละลาย. เป็นไปไม่ได้ที่จะใช้ลิมิตของทฤษฎีบทผลต่าง เนื่องจากเรามีรูปแบบ ∞-∞ ที่ไม่แน่นอน มาแปลงสูตรคำศัพท์ทั่วไปกัน:
ตัวอย่างที่ 3.5- กำหนดให้ฟังก์ชัน f(x)=2 1/x พิสูจน์ว่าไม่มีขีดจำกัด
ใช้คำจำกัดความของขีดจำกัดของลำดับตัวเลข พิสูจน์ว่าลำดับ x n =(n-1)/n มีลิมิตเท่ากับ 1ลองใช้คำจำกัดความ 1 ของขีดจำกัดของฟังก์ชันผ่านลำดับกัน ขอให้เราใช้ลำดับ ( x n ) มาบรรจบกันเป็น 0 เช่น ให้เราแสดงว่าค่า f(x n)= มีพฤติกรรมแตกต่างกันสำหรับลำดับที่ต่างกัน ให้ xn = 1/n แน่นอนว่ามีขีดจำกัดแล้ว 
ตอนนี้ให้เราเลือกเป็น เอ็กซ์เอ็นลำดับที่มีพจน์ทั่วไป x n = -1/n และมีแนวโน้มเป็นศูนย์เช่นกัน 
ดังนั้นจึงไม่มีขีดจำกัด
ตัวอย่างที่ 3.6- พิสูจน์ว่าไม่มีขีดจำกัด
ใช้คำจำกัดความของขีดจำกัดของลำดับตัวเลข พิสูจน์ว่าลำดับ x n =(n-1)/n มีลิมิตเท่ากับ 1ให้ x 1 , x 2 ,..., xn ,... เป็นลำดับที่
- ลำดับ (f(x n)) = (sin x n) มีพฤติกรรมอย่างไรสำหรับ x n → ∞
ถ้า xn = pn ดังนั้น sin xn = sin (น น) = 0 สำหรับทุกคน nและขีดจำกัดถ้า
x n = 2 p n+ p /2 จากนั้น sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 สำหรับทั้งหมด nและด้วยเหตุนี้จึงมีขีดจำกัด มันจึงไม่มีอยู่จริง
ขีดจำกัดของฟังก์ชัน- ตัวเลข กจะเป็นขีดจำกัดของปริมาณแปรผันบางปริมาณ หากปริมาณตัวแปรนี้เข้าใกล้ไปเรื่อยๆ ในกระบวนการเปลี่ยนแปลง ก.
หรืออีกนัยหนึ่งคือจำนวน กคือขีดจำกัดของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)ตรงจุด x 0ถ้าลำดับจุดใดๆ จากโดเมนคำจำกัดความของฟังก์ชัน ไม่เท่ากัน x 0และมาบรรจบกันตรงจุด x 0 (ลิม x n = x0)ลำดับของค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกันมาบรรจบกันเป็นตัวเลข ก.
กราฟของฟังก์ชันซึ่งมีขีดจำกัดเมื่อพิจารณาจากอาร์กิวเมนต์ที่มีแนวโน้มเป็นอนันต์จะเท่ากับ ล:
ความหมาย กเป็น ขีดจำกัด (ค่าขีดจำกัด) ของฟังก์ชัน ฉ(x)ตรงจุด x 0ในกรณีที่มีลำดับจุดใด ๆ 
ซึ่งมาบรรจบกันที่ x 0แต่ที่ไม่มี x 0เป็นหนึ่งในองค์ประกอบ (เช่น ในบริเวณใกล้เคียงที่ถูกเจาะ x 0) ลำดับของค่าฟังก์ชัน 
มาบรรจบกันที่ ก.
ขีดจำกัดของฟังก์ชัน Cauchy
ความหมาย กจะ ขีดจำกัดของฟังก์ชัน ฉ(x)ตรงจุด x 0ถ้าสำหรับจำนวนที่ไม่เป็นลบใด ๆ ที่ถ่ายไว้ล่วงหน้า ε จะพบจำนวนที่ไม่เป็นลบที่สอดคล้องกัน δ = δ(ε) เช่นนั้นสำหรับแต่ละข้อโต้แย้ง x, เป็นไปตามเงื่อนไข 0 < | x - x0 | < δ ความไม่เท่าเทียมกันก็จะเป็นที่พอใจ - เอฟ(x)เอ |< ε .
มันจะง่ายมากถ้าคุณเข้าใจสาระสำคัญของขีด จำกัด และกฎพื้นฐานในการค้นหา ขีดจำกัดของฟังก์ชันคืออะไร ฉ (เอ็กซ์)ที่ xมุ่งมั่นเพื่อ กเท่ากับ ก, เขียนไว้ดังนี้:
นอกจากนี้ค่าที่ตัวแปรมีแนวโน้มไป xไม่เพียงแต่เป็นตัวเลขเท่านั้น แต่ยังเป็นค่าอนันต์ (∞) ได้ด้วย บางครั้ง +∞ หรือ -∞ หรืออาจไม่มีขีดจำกัดเลย
เพื่อทำความเข้าใจวิธีการ ค้นหาขีดจำกัดของฟังก์ชันวิธีที่ดีที่สุดคือดูตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา
จำเป็นต้องค้นหาขีดจำกัดของฟังก์ชัน ฉ (x) = 1/xที่:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
มาหาคำตอบถึงขีดจำกัดแรกกัน ในการทำเช่นนี้คุณสามารถทดแทนได้ xจำนวนที่มีแนวโน้มจะเป็นเช่น 2 เราได้รับ:
ลองหาลิมิตที่สองของฟังก์ชันกัน- ที่นี่แทนที่ pure 0 แทน xมันเป็นไปไม่ได้เพราะว่า คุณไม่สามารถหารด้วย 0 ได้ แต่เราสามารถนำค่าที่ใกล้กับศูนย์ได้ เช่น 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 เป็นต้น และค่าของฟังก์ชัน ฉ (เอ็กซ์)จะเพิ่มขึ้น: 100; 1,000; 10,000; 100,000 และอื่นๆ ดังนั้นจึงสามารถเข้าใจได้ว่าเมื่อใด x→ 0 ค่าของฟังก์ชันที่อยู่ใต้เครื่องหมายขีดจำกัดจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด กล่าวคือ มุ่งมั่นไปสู่ความไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งหมายความว่า:
เกี่ยวกับขอบเขตที่สาม สถานการณ์เดียวกันกับกรณีก่อนหน้านี้ไม่สามารถทดแทนได้ ∞ ในรูปแบบที่บริสุทธิ์ที่สุด เราต้องพิจารณากรณีเพิ่มไม่จำกัด x- เราแทนที่ 1,000 ทีละอัน 10,000; 100,000 และอื่นๆ เราก็ได้ค่าของฟังก์ชันนั้นแล้ว ฉ (x) = 1/xจะลดลง: 0.001; 0.0001; 0.00001; และอื่นๆ โดยมีแนวโน้มเป็นศูนย์ นั่นเป็นเหตุผล:
จำเป็นต้องคำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชัน 
เริ่มแก้ตัวอย่างที่ 2 เราเห็นความไม่แน่นอน จากที่นี่เราจะพบระดับสูงสุดของตัวเศษและส่วน - นี่คือ x3เรานำมันออกจากวงเล็บในตัวเศษและส่วนแล้วลดมันลงโดย:
คำตอบ 
ก้าวแรกเข้า ค้นพบขีดจำกัดนี้ให้แทนที่ค่า 1 แทน xส่งผลให้เกิดความไม่แน่นอน เพื่อแก้มัน ลองแยกตัวประกอบของเศษแล้วทำโดยใช้วิธีหาราก สมการกำลังสอง x 2 + 2x - 3:
ง = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ ด=√16 = 4
x 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x2= 1.
ดังนั้นตัวเศษจะเป็น:
คำตอบ 
นี่คือคำจำกัดความของค่าเฉพาะหรือพื้นที่เฉพาะที่ฟังก์ชันตกอยู่ ซึ่งถูกจำกัดด้วยขีดจำกัด
หากต้องการแก้ไขขีดจำกัด ให้ปฏิบัติตามกฎ:
เมื่อเข้าใจแก่นแท้และหลักแล้ว กฎสำหรับการแก้ขีด จำกัด, คุณจะได้รับ แนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา
ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่งเรียกว่า ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
\begin(สมการ)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(สมการ)
เนื่องจากสำหรับ $\alpha\to(0)$ เรามี $\sin\alpha\to(0)$ พวกเขากล่าวว่าลิมิตแรกที่น่าทึ่งเผยให้เห็นความไม่แน่นอนของรูปแบบ $\frac(0)(0)$ โดยทั่วไปแล้ว ในสูตร (1) แทนที่จะเป็นตัวแปร $\alpha$ นิพจน์ใดๆ สามารถวางไว้ใต้เครื่องหมายไซน์และในตัวส่วนได้ ตราบใดที่ตรงตามเงื่อนไขสองประการ:
- นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายไซน์และในตัวส่วนมีแนวโน้มเป็นศูนย์พร้อมกันนั่นคือ มีความไม่แน่นอนในรูปแบบ $\frac(0)(0)$
- นิพจน์ใต้เครื่องหมายไซน์และในตัวส่วนเหมือนกัน
ข้อพิสูจน์จากขีด จำกัด แรกที่น่าทึ่งก็มักจะใช้เช่นกัน:
\begin(สมการ) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(สมการ) \begin(สมการ) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(สมการ) \begin(สมการ) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(สมการ)
ตัวอย่างสิบเอ็ดตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้วในหน้านี้ ตัวอย่างที่ 1 มีไว้สำหรับการพิสูจน์สูตร (2)-(4) ตัวอย่างหมายเลข 2 หมายเลข 3 หมายเลข 4 และหมายเลข 5 มีวิธีแก้ปัญหาพร้อมความคิดเห็นโดยละเอียด ตัวอย่างที่ 6-10 มีวิธีแก้ปัญหาที่แทบไม่มีความคิดเห็น เนื่องจากมีคำอธิบายโดยละเอียดอยู่ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ วิธีแก้ปัญหาใช้สูตรตรีโกณมิติบางสูตรที่หาได้
ฉันสังเกตว่าการมีอยู่ ฟังก์ชันตรีโกณมิติประกอบกับความไม่แน่นอน $\frac (0) (0)$ ไม่ได้หมายความว่าจำเป็นต้องบังคับใช้ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง บางครั้งการแปลงตรีโกณมิติอย่างง่ายก็เพียงพอแล้ว - ตัวอย่างเช่น ดู
ตัวอย่างหมายเลข 1
พิสูจน์ว่า $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
ก) เนื่องจาก $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ ดังนั้น:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
เนื่องจาก $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ และ $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , ที่:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. -
b) มาทำการเปลี่ยนแปลง $\alpha=\sin(y)$ กันดีกว่า เนื่องจาก $\sin(0)=0$ ดังนั้นจากเงื่อนไข $\alpha\to(0)$ เราจะได้ $y\to(0)$ นอกจากนี้ ยังมีย่านใกล้เคียงเป็นศูนย์โดยที่ $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$ ดังนั้น:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. -
ความเท่าเทียมกัน $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ได้รับการพิสูจน์แล้ว
c) มาแทนที่ $\alpha=\tg(y)$ กันดีกว่า เนื่องจาก $\tg(0)=0$ ดังนั้นเงื่อนไข $\alpha\to(0)$ และ $y\to(0)$ จึงเท่ากัน นอกจากนี้ มีค่าใกล้เคียงศูนย์โดยที่ $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ ดังนั้น จากผลลัพธ์ของจุด a) เราจะได้:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. -
ความเท่าเทียมกัน $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ได้รับการพิสูจน์แล้ว
ความเท่าเทียมกัน a) b) c) มักใช้ร่วมกับขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง
ตัวอย่างหมายเลข 2
คำนวณขีดจำกัด $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.
เนื่องจาก $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ และ $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$ เช่น และทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนมีแนวโน้มเป็นศูนย์พร้อมกัน ดังนั้น ในกรณีนี้ เรากำลังจัดการกับความไม่แน่นอนของรูปแบบ $\frac(0)(0)$ เช่น เสร็จแล้ว. นอกจากนี้เป็นที่ชัดเจนว่าการแสดงออกภายใต้เครื่องหมายไซน์และในตัวส่วนตรงกัน (เช่น และพอใจ):
ดังนั้น ตรงตามเงื่อนไขทั้งสองที่ระบุไว้ในตอนต้นของหน้า จากนี้ไปจะใช้สูตรได้เช่น $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
คำตอบ: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
ตัวอย่างหมายเลข 3
หา $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$
เนื่องจาก $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ และ $\lim_(x\to(0))x=0$ ดังนั้น เรากำลังเผชิญกับความไม่แน่นอนของรูปแบบ $\frac (0 )(0)$ เช่น เสร็จแล้ว. อย่างไรก็ตาม สำนวนใต้เครื่องหมายไซน์และตัวส่วนไม่ตรงกัน ที่นี่คุณจะต้องปรับนิพจน์ในตัวส่วนให้อยู่ในรูปแบบที่ต้องการ เราจำเป็นต้องมีนิพจน์ $9x$ เพื่อเป็นตัวส่วน จากนั้นจะกลายเป็นจริง โดยพื้นฐานแล้ว เราขาดตัวประกอบของ $9$ ในตัวส่วน ซึ่งป้อนได้ไม่ยาก เพียงคูณนิพจน์ในตัวส่วนด้วย $9$ โดยปกติแล้ว เพื่อชดเชยการคูณด้วย $9$ คุณจะต้องหารด้วย $9$ ทันที:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
ตอนนี้นิพจน์ในตัวส่วนและใต้เครื่องหมายไซน์ตรงกัน เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสองสำหรับขีดจำกัด $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ ดังนั้น $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$ และนี่หมายความว่า:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. -
คำตอบ: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
ตัวอย่างหมายเลข 4
หา $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$
เนื่องจาก $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ และ $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ ที่นี่เรากำลังจัดการกับความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม $\frac(0)(0)$. อย่างไรก็ตาม รูปแบบของขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการแรกถูกละเมิด ตัวเศษที่มี $\sin(5x)$ ต้องมีตัวส่วนของ $5x$ ในสถานการณ์นี้ วิธีที่ง่ายที่สุดคือการหารตัวเศษด้วย $5x$ แล้วคูณด้วย $5x$ ทันที นอกจากนี้ เราจะดำเนินการคล้ายกันกับตัวส่วน โดยคูณและหาร $\tg(8x)$ ด้วย $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
เมื่อลดลง $x$ แล้วนำค่าคงที่ $\frac(5)(8)$ ออกไปนอกเครื่องหมายจำกัด เราจะได้:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
โปรดทราบว่า $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ เป็นไปตามข้อกำหนดสำหรับขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่งอย่างครบถ้วน หากต้องการค้นหา $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8) -
คำตอบ: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
ตัวอย่างหมายเลข 5
หา $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$
เนื่องจาก $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (จำไว้ว่า $\cos(0)=1$) และ $\ lim_(x\to(0))x^2=0$ ดังนั้น เรากำลังเผชิญกับความไม่แน่นอนของรูปแบบ $\frac(0)(0)$ อย่างไรก็ตาม ในการใช้ลิมิตแรกที่น่าทึ่ง คุณควรกำจัดโคไซน์ในตัวเศษออก แล้วย้ายไปยังไซน์ (เพื่อที่จะนำสูตรไปใช้) หรือแทนเจนต์ (เพื่อที่จะนำสูตรไปใช้) ซึ่งสามารถทำได้ด้วยการเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
กลับไปที่ขีดจำกัดกันเถอะ:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
เศษส่วน $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ อยู่ใกล้กับแบบฟอร์มที่จำเป็นสำหรับขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่งอยู่แล้ว เรามาลองใช้เศษส่วน $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ กันหน่อย โดยปรับให้เป็นขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง (โปรดทราบว่านิพจน์ในตัวเศษและใต้ไซน์ต้องตรงกัน):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
กลับไปที่ขีดจำกัดที่เป็นปัญหา:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. -
คำตอบ: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
ตัวอย่างหมายเลข 6
หาลิมิต $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$
เนื่องจาก $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ และ $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ แล้ว เรากำลังเผชิญกับความไม่แน่นอน $\frac(0)(0)$ ให้เราเปิดเผยมันด้วยความช่วยเหลือจากขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการแรก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาย้ายจากโคไซน์หนึ่งไปอีกไซน์กัน เนื่องจาก $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ ดังนั้น:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
เมื่อผ่านไปยังไซน์ตามขีดจำกัดที่กำหนด เราจะได้:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\ซ้าย(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9 -
คำตอบ: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
ตัวอย่างหมายเลข 7
คำนวณขีดจำกัด $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ ขึ้นอยู่กับ $\alpha\neq \ เบต้า$
มีการอธิบายรายละเอียดไว้ก่อนหน้านี้ แต่ที่นี่เราขอแจ้งให้ทราบว่ายังมีความไม่แน่นอน $\frac(0)(0)$ อีกครั้ง ลองย้ายจากโคไซน์หนึ่งไปอีกไซน์โดยใช้สูตรกัน
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
เมื่อใช้สูตรนี้เราจะได้:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\ขวา| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ เบต้า(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ อัลฟา^2-\เบต้า^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\อัลฟา^2)(2) -
คำตอบ: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ อัลฟา^2)(2)$.
ตัวอย่างหมายเลข 8
หาขีดจำกัด $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$
เนื่องจาก $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (จำไว้ว่า $\sin(0)=\tg(0)=0$) และ $\ lim_(x\to(0))x^3=0$ แล้วตรงนี้เราจะจัดการกับความไม่แน่นอนของรูปแบบ $\frac(0)(0)$ มาแยกย่อยกันดังนี้:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2) -
คำตอบ: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
ตัวอย่างหมายเลข 9
หาลิมิต $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$
เนื่องจาก $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ และ $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$ แล้วมีความไม่แน่นอนในรูปแบบ $\frac(0)(0)$ ก่อนที่จะดำเนินการขยาย จะสะดวกที่จะทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรในลักษณะที่ตัวแปรใหม่มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ (โปรดทราบว่าในสูตรตัวแปร $\alpha \to 0$) วิธีที่ง่ายที่สุดคือการแนะนำตัวแปร $t=x-3$ อย่างไรก็ตาม เพื่อความสะดวกในการแปลงเพิ่มเติม (ประโยชน์นี้สามารถเห็นได้ในแนวทางการแก้ปัญหาด้านล่าง) จึงคุ้มค่าที่จะทำการแทนที่ต่อไปนี้: $t=\frac(x-3)(2)$ ฉันทราบว่าการแทนที่ทั้งสองใช้ได้ในกรณีนี้ เพียงแต่การแทนที่ครั้งที่สองจะช่วยให้คุณทำงานโดยใช้เศษส่วนน้อยลงเท่านั้น ตั้งแต่ $x\to(3)$ แล้วก็ $t\to(0)$
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\ซ้าย|\frac (0)(0)\ขวา| =\left|\begin(ชิด)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(ชิด)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ ถึง(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. -
คำตอบ: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
ตัวอย่างหมายเลข 10
หาลิมิต $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.
เรากำลังเผชิญกับความไม่แน่นอนอีกครั้ง $\frac(0)(0)$ ก่อนที่จะดำเนินการขยาย จะสะดวกที่จะทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรในลักษณะที่ตัวแปรใหม่มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ (โปรดทราบว่าในสูตร ตัวแปรคือ $\alpha\to(0)$) วิธีที่ง่ายที่สุดคือการแนะนำตัวแปร $t=\frac(\pi)(2)-x$ เนื่องจาก $x\to\frac(\pi)(2)$ ดังนั้น $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\ซ้าย|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(ชิด)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(ชิด)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2) -
คำตอบ: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
ตัวอย่างหมายเลข 11
ค้นหาลิมิต $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ ไพ)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$
ในกรณีนี้เราไม่ต้องใช้ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์อันแรก โปรดทราบว่าทั้งขีดจำกัดที่หนึ่งและที่สองมีเพียงฟังก์ชันตรีโกณมิติและตัวเลขเท่านั้น บ่อยครั้งในตัวอย่างประเภทนี้ คุณสามารถทำให้นิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายจำกัดง่ายขึ้นได้ นอกจากนี้ หลังจากการลดความซับซ้อนและลดปัจจัยบางประการที่กล่าวมาข้างต้น ความไม่แน่นอนก็หายไป ฉันยกตัวอย่างนี้เพื่อจุดประสงค์เดียวเท่านั้น เพื่อแสดงให้เห็นว่าการมีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ใต้เครื่องหมายจำกัดไม่จำเป็นต้องหมายถึงการใช้ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่งเสมอไป
เนื่องจาก $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (จำไว้ว่า $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) และ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (ฉันขอเตือนคุณว่า $\cos\frac(\pi)(2)=0$) แล้วเราจะได้ การจัดการกับความไม่แน่นอนของรูปแบบ $\frac(0)(0)$ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่าเราจะต้องใช้ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์อันแรก เพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอน ก็เพียงพอที่จะพิจารณาว่า $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2) -
มีวิธีแก้ปัญหาที่คล้ายกันในหนังสือวิธีแก้ปัญหาของ Demidovich (หมายเลข 475) สำหรับขีดจำกัดที่สอง ดังตัวอย่างก่อนหน้าในส่วนนี้ เรามีความไม่แน่นอนในรูปแบบ $\frac(0)(0)$ ทำไมมันถึงเกิดขึ้น? มันเกิดขึ้นเพราะ $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ และ $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ เราใช้ค่าเหล่านี้เพื่อแปลงนิพจน์ในตัวเศษและส่วน เป้าหมายของการกระทำของเราคือจดผลรวมในตัวเศษและส่วนเป็นผลคูณ อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนตัวแปรมักจะอยู่ในประเภทที่คล้ายกัน ซึ่งทำในลักษณะที่ตัวแปรใหม่มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ (ดูตัวอย่างตัวอย่างหมายเลข 9 หรือหมายเลข 10 ในหน้านี้) อย่างไรก็ตามใน ในตัวอย่างนี้ไม่มีประเด็นในการแทนที่ แม้ว่าต้องการ การแทนที่ตัวแปร $t=x-\frac(2\pi)(3)$ ไม่ใช่เรื่องยากที่จะนำไปใช้
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ ถึง\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ บาป\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)) -
อย่างที่คุณเห็น เราไม่จำเป็นต้องใช้ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์อันแรก แน่นอน คุณสามารถทำเช่นนี้ได้หากต้องการ (ดูหมายเหตุด้านล่าง) แต่ไม่จำเป็น
วิธีแก้ปัญหาโดยใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันแรกคืออะไร? แสดงซ่อน
จากการใช้ขีดจำกัดอันน่าทึ่งอันแรกที่เราได้รับ:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ ขวา))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). -
คำตอบ: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
สารละลาย ขีดจำกัดฟังก์ชันออนไลน์- ค้นหาค่าจำกัดของฟังก์ชันหรือลำดับฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง แล้วคำนวณ สุดยอดค่าของฟังก์ชันที่อนันต์ กำหนดการบรรจบกันของชุดตัวเลขและอื่น ๆ อีกมากมายที่สามารถทำได้ต้องขอบคุณเรา บริการออนไลน์- เราช่วยให้คุณค้นหาขีดจำกัดฟังก์ชันออนไลน์ได้อย่างรวดเร็วและแม่นยำ คุณป้อนมันเอง ตัวแปรฟังก์ชันและขีดจำกัดที่มุ่งมั่น บริการของเราจะคำนวณทั้งหมดให้กับคุณ โดยให้คำตอบที่แม่นยำและเรียบง่าย และสำหรับ ค้นหาขีดจำกัดทางออนไลน์คุณสามารถเข้าเช่น ชุดตัวเลขและฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่มีค่าคงที่ในนิพจน์ตามตัวอักษร ในกรณีนี้ ขีดจำกัดที่พบของฟังก์ชันจะประกอบด้วยค่าคงที่เหล่านี้เป็นอาร์กิวเมนต์คงที่ในนิพจน์ บริการของเราแก้ไขใด ๆ งานที่ซับซ้อนโดยการค้นหา ขีดจำกัดออนไลน์ก็เพียงพอที่จะระบุฟังก์ชันและจุดที่จำเป็นในการคำนวณ ค่าจำกัดของฟังก์ชัน- กำลังคำนวณ ขีดจำกัดออนไลน์, คุณสามารถใช้ได้ วิธีการต่างๆและกฎเกณฑ์ในการแก้ปัญหาพร้อมตรวจสอบผลลัพธ์ที่ได้รับด้วย แก้ขีดจำกัดออนไลน์บน www.site ซึ่งจะนำไปสู่ความสำเร็จของงาน - คุณจะหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดและข้อผิดพลาดของเสมียนของคุณเอง หรือคุณสามารถไว้วางใจเราอย่างสมบูรณ์และใช้ผลลัพธ์ของเราในการทำงานของคุณ โดยไม่ต้องใช้ความพยายามและเวลาในการคำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชันอย่างอิสระ เราอนุญาตให้ป้อนค่าขีดจำกัดเช่นอนันต์ จำเป็นต้องป้อนสมาชิกร่วมของลำดับตัวเลขและ www.เว็บไซต์จะคำนวณค่า จำกัด ออนไลน์บวกหรือลบอนันต์
แนวคิดพื้นฐานประการหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ก็คือ ขีด จำกัด ของฟังก์ชันและ ขีดจำกัดลำดับณ จุดหนึ่งและจุดอนันต์ สิ่งสำคัญคือต้องสามารถแก้ไขได้อย่างถูกต้อง ขีดจำกัด- ด้วยบริการของเราสิ่งนี้จะไม่ใช่เรื่องยาก มีการตัดสินใจ ขีดจำกัดออนไลน์ภายในไม่กี่วินาทีคำตอบก็แม่นยำและครบถ้วน การศึกษาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เริ่มต้นด้วย การเปลี่ยนแปลงไปสู่ขีดจำกัด, ขีดจำกัดถูกใช้ในเกือบทุกสาขาของคณิตศาสตร์ชั้นสูง ดังนั้นจึงมีประโยชน์ที่จะมีเซิร์ฟเวอร์ไว้คอยบริการ โซลูชั่นจำกัดออนไลน์ซึ่งก็คือ matematikam.ru
วิธีการแก้ไขขีดจำกัด ความไม่แน่นอน.
ลำดับการเติบโตของฟังก์ชัน วิธีการทดแทน
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาขีดจำกัด 
นี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายกว่าในการแก้ไขด้วยตัวเอง ในตัวอย่างที่เสนอมีความไม่แน่นอนอีกครั้ง (ลำดับการเติบโตที่สูงกว่าราก)
ถ้า "x" มีแนวโน้มเป็น "ลบอนันต์"
อสุรกายของ "ลบอนันต์" วนเวียนอยู่ในบทความนี้มาเป็นเวลานาน ให้เราพิจารณาขีดจำกัดด้วยพหุนามซึ่ง หลักการและวิธีการแก้ปัญหาจะเหมือนกับในส่วนแรกของบทเรียนทุกประการ ยกเว้นความแตกต่างหลายประการ
ลองพิจารณาชิป 4 ตัวที่จะต้องแก้ไข งานภาคปฏิบัติ:
1) คำนวณขีด จำกัด 
ค่าของขีดจำกัดจะขึ้นอยู่กับคำศัพท์เท่านั้น เนื่องจากมีลำดับการเติบโตสูงสุด ถ้าอย่างนั้น โมดูลัสขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุดจำนวนลบยกกำลัง EVENในกรณีนี้ – ในข้อที่สี่ มีค่าเท่ากับ “บวกอนันต์”: ค่าคงที่ (“สอง”) เชิงบวกนั่นเป็นเหตุผล: 
2) คำนวณขีด จำกัด 
นี่ก็รุ่นพี่อีกแล้ว สม่ำเสมอนั่นเป็นเหตุผล: . แต่ข้างหน้ามี "ลบ" ( เชิงลบค่าคงที่ –1) ดังนั้น: 
3) คำนวณขีด จำกัด 
ค่าขีดจำกัดขึ้นอยู่กับเท่านั้น ดังที่คุณจำได้จากโรงเรียน "ลบ" "กระโดดออกมา" จากต่ำกว่าระดับคี่ โมดูลัสขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุดจำนวนลบยกกำลัง ODDเท่ากับ “ลบอนันต์” ในกรณีนี้:
ค่าคงที่ (“สี่”) เชิงบวก, วิธี: 
4) คำนวณขีด จำกัด
ผู้ชายคนแรกในหมู่บ้านได้อีกแล้ว แปลกองศานอกจากนี้ในอก เชิงลบคงที่ ซึ่งหมายถึง: ดังนั้น:
.
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาขีดจำกัด 
จากประเด็นข้างต้น เราก็ได้ข้อสรุปว่าที่นี่มีความไม่แน่นอน ตัวเศษและส่วนมีลำดับการเติบโตเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าเมื่อถึงขีดจำกัด ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนจำกัด มาหาคำตอบด้วยการทิ้งลูกปลาทั้งหมด:
การแก้ปัญหาเป็นเรื่องเล็กน้อย: 
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาขีดจำกัด 
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน
และตอนนี้อาจเป็นกรณีที่ละเอียดอ่อนที่สุด:
ตัวอย่างที่ 7
ค้นหาขีดจำกัด 
เมื่อพิจารณาเงื่อนไขชั้นนำแล้ว เราก็ได้ข้อสรุปว่าที่นี่มีความไม่แน่นอน ตัวเศษมีลำดับการเติบโตที่สูงกว่าตัวส่วน ดังนั้นเราจึงบอกได้ทันทีว่าขีดจำกัดนั้นเท่ากับอนันต์ แต่อนันต์แบบไหน “บวก” หรือ “ลบ”? เทคนิคก็เหมือนกัน - มากำจัดสิ่งเล็กๆ น้อยๆ ในตัวเศษและส่วน: 
เราตัดสินใจ: 
หารทั้งเศษและส่วนด้วย
ตัวอย่างที่ 15
ค้นหาขีดจำกัด
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน
ตัวอย่างที่น่าสนใจอีกสองสามตัวอย่างในหัวข้อการแทนที่ตัวแปร:
ตัวอย่างที่ 16
ค้นหาขีดจำกัด
เมื่อแทนเอกภาพเข้าไปในขีดจำกัด จะได้ความไม่แน่นอน การเปลี่ยนตัวแปรเป็นการแนะนำตัวเองแล้ว แต่ก่อนอื่น เราต้องแปลงแทนเจนต์โดยใช้สูตร จริงๆ แล้วทำไมเราต้องมีแทนเจนต์ด้วย?
โปรดทราบว่าดังนั้น หากไม่ชัดเจนทั้งหมดให้ดูค่าไซน์ใน ตารางตรีโกณมิติ- ดังนั้นเราจึงกำจัดตัวคูณทันที นอกจากนี้เรายังได้รับความไม่แน่นอนที่คุ้นเคยมากขึ้นที่ 0:0 คงจะดีไม่น้อยหากขีดจำกัดของเรามีแนวโน้มเป็นศูนย์
มาแทนที่:
ถ้าอย่างนั้น
ภายใต้โคไซน์ เรามี "x" ซึ่งต้องแสดงผ่าน "te" ด้วย
จากการแทนที่เราแสดง: .
เราดำเนินการแก้ไขปัญหาให้เสร็จสิ้น: 
(1) เราดำเนินการเปลี่ยนตัว
(2) เปิดวงเล็บใต้โคไซน์
(4) เพื่อจัดระเบียบ ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์ครั้งแรกคูณตัวเศษด้วยและจำนวนส่วนกลับแบบเทียม
งานสำหรับโซลูชันอิสระ:
ตัวอย่างที่ 17
ค้นหาขีดจำกัด
เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน
นี่เป็นงานง่ายๆ ในชั้นเรียน ในทางปฏิบัติทุกอย่างอาจแย่ลงได้และยิ่งไปกว่านั้น สูตรลดคุณจะต้องใช้ความหลากหลาย สูตรตรีโกณมิติรวมถึงลูกเล่นอื่นๆ ในบทความ Complex Limits ฉันดูตัวอย่างจริงสองสามตัวอย่าง =)
ในช่วงก่อนวันหยุด เราจะชี้แจงสถานการณ์ให้ชัดเจนพร้อมกับความไม่แน่นอนทั่วไปอีกประการหนึ่ง:
ขจัดความไม่แน่นอน “หนึ่งเดียว สู่พลังแห่งความไม่สิ้นสุด”
ความไม่แน่นอนนี้ถูก "ทำหน้าที่" ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมที่สองและในส่วนที่สองของบทเรียนนั้น เราได้ดูรายละเอียดตัวอย่างมาตรฐานของโซลูชันที่พบในภาคปฏิบัติในกรณีส่วนใหญ่ ตอนนี้รูปภาพที่มีเลขชี้กำลังจะเสร็จสมบูรณ์ นอกจากนี้งานสุดท้ายของบทเรียนจะทุ่มเทให้กับขีด จำกัด "ปลอม" ซึ่งดูเหมือนว่าจำเป็นต้องใช้ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมที่ 2 แม้ว่านี่จะไม่ใช่เลยก็ตาม กรณี.
ข้อเสียของสูตรการทำงานทั้งสองสูตรสำหรับขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่ 2 คือ อาร์กิวเมนต์ต้องมีแนวโน้มที่จะ "บวกอนันต์" หรือเป็นศูนย์ แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าการโต้แย้งมีแนวโน้มที่จะเป็นจำนวนอื่น?
เข้ามาช่วยเหลือ สูตรสากล(ซึ่งจริงๆ แล้วเป็นผลมาจากขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง):
ความไม่แน่นอนสามารถกำจัดได้โดยใช้สูตร:
ฉันคิดว่าฉันอธิบายไปแล้วว่าวงเล็บเหลี่ยมหมายถึงอะไร ไม่มีอะไรพิเศษ วงเล็บเป็นเพียงวงเล็บเท่านั้น มักใช้เพื่อเน้นสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ให้ชัดเจนยิ่งขึ้น
ให้เราเน้นประเด็นสำคัญของสูตร:
1) มันเกี่ยวกับ เกี่ยวกับความไม่แน่นอนเท่านั้นและไม่มีอะไรอื่นอีก.
2) อาร์กิวเมนต์ "x" สามารถมีแนวโน้มได้ ค่าที่กำหนดเอง(และไม่ใช่แค่เป็นศูนย์หรือ) โดยเฉพาะ "ลบอนันต์" หรือเป็น ใครก็ได้จำนวนจำกัด
การใช้สูตรนี้ทำให้คุณสามารถแก้ตัวอย่างทั้งหมดในบทเรียนได้ ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์ซึ่งอยู่ในขอบเขตที่น่าทึ่งลำดับที่ 2 ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณขีดจำกัด:
ในกรณีนี้ 
และตามสูตร 
:
จริงอยู่ที่ฉันไม่แนะนำให้ทำเช่นนี้ ประเพณีคือยังคงใช้การออกแบบโซลูชัน "ปกติ" หากสามารถนำมาใช้ได้ อย่างไรก็ตาม ใช้สูตรตรวจสอบได้สะดวกมากตัวอย่าง "คลาสสิก" ถึงขีด จำกัด ที่น่าทึ่งที่ 2
ค้นหา
เราสามารถแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับบทความใหม่