ระดับรายการ

การแก้สมการ อสมการ ระบบโดยใช้กราฟฟังก์ชัน คู่มือภาพ (2019)

งานหลายอย่างที่เราใช้ในการคำนวณเชิงพีชคณิตเพียงอย่างเดียวสามารถแก้ไขได้ง่ายกว่าและเร็วกว่ามาก การใช้กราฟฟังก์ชันจะช่วยเราในเรื่องนี้ คุณพูดว่า “เป็นยังไงบ้าง” วาดอะไรบางอย่างและจะวาดอะไร? เชื่อฉันเถอะว่าบางครั้งมันก็สะดวกและง่ายกว่า มาเริ่มกันเลย? เริ่มจากสมการกันก่อน!

การแก้สมการเชิงกราฟิก

ผลเฉลยกราฟิกของสมการเชิงเส้น

อย่างที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่ากำหนดการ สมการเชิงเส้นเป็นเส้นตรงจึงเป็นที่มาของชื่อสัตว์ชนิดนี้ สมการเชิงเส้นค่อนข้างง่ายในการแก้พีชคณิต - เราถ่ายโอนสิ่งที่ไม่ทราบทั้งหมดไปยังด้านหนึ่งของสมการ ทุกสิ่งที่เรารู้ไปยังอีกด้านหนึ่ง และว้าว! เราพบต้นตอแล้ว ตอนนี้ฉันจะแสดงวิธีการทำ แบบกราฟิก

ดังนั้นคุณจะได้สมการ:

จะแก้ปัญหาอย่างไร?
ตัวเลือกที่ 1และสิ่งที่พบบ่อยที่สุดคือการย้ายสิ่งที่ไม่รู้ไปด้านหนึ่งและสิ่งที่รู้ไปอีกด้านหนึ่ง เราจะได้:

ตอนนี้เรามาสร้างกัน คุณได้อะไร?

คุณคิดว่าอะไรคือรากของสมการของเรา? ถูกต้องแล้ว พิกัดของจุดตัดของกราฟคือ:

คำตอบของเราคือ

นั่นคือภูมิปัญญาทั้งหมดของโซลูชันกราฟิก อย่างที่คุณสามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ รากของสมการของเราคือตัวเลข!

อย่างที่ผมบอกไปข้างต้น นี่เป็นตัวเลือกที่พบบ่อยที่สุด ใกล้เคียงกับคำตอบพีชคณิต แต่คุณสามารถแก้มันด้วยวิธีอื่นได้ หากต้องการพิจารณาวิธีแก้อื่น ให้กลับไปที่สมการของเรา:

ครั้งนี้เราจะไม่ย้ายสิ่งใดจากด้านหนึ่งไปอีกด้าน แต่จะสร้างกราฟโดยตรง เนื่องจากมีอยู่ในปัจจุบัน:

สร้าง? มาดูกัน!

แนวทางแก้ไขในครั้งนี้คืออะไร? ถูกต้องแล้ว สิ่งเดียวกัน - พิกัดของจุดตัดของกราฟ:

และอีกครั้งคำตอบของเราคือ

อย่างที่คุณเห็น ด้วยสมการเชิงเส้น ทุกอย่างง่ายมาก ถึงเวลาดูสิ่งที่ซับซ้อนกว่านี้แล้ว... ตัวอย่างเช่น คำตอบกราฟิกของสมการกำลังสอง

คำตอบกราฟิกของสมการกำลังสอง

ทีนี้มาเริ่มแก้สมการกำลังสองกันดีกว่า สมมติว่าคุณต้องค้นหารากของสมการนี้:

แน่นอน ตอนนี้คุณสามารถเริ่มนับแบบแบ่งแยกหรือตามทฤษฎีบทของ Vieta ได้แล้ว แต่หลายๆ คนกลับรู้สึกวิตกกังวลเมื่อคูณหรือยกกำลังสอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากตัวอย่างมีจำนวนจำนวนมาก และอย่างที่คุณทราบ คุณจะชนะ ไม่มีเครื่องคิดเลขในการสอบ... งั้นเราลองผ่อนคลายสักหน่อยแล้ววาดขณะแก้สมการนี้กัน

คุณสามารถหาคำตอบของสมการนี้ได้แบบกราฟิก ในรูปแบบต่างๆ- ลองพิจารณาดู ตัวเลือกต่างๆและคุณสามารถเลือกอันที่คุณชอบที่สุดได้

วิธีที่ 1. โดยตรง

เราเพียงแค่สร้างพาราโบลาโดยใช้สมการนี้:

เพื่อให้ดำเนินการได้รวดเร็ว ฉันจะให้คำแนะนำเล็กๆ น้อยๆ แก่คุณ: สะดวกในการเริ่มการก่อสร้างโดยกำหนดจุดยอดของพาราโบลาสูตรต่อไปนี้จะช่วยกำหนดพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา:

คุณจะพูดว่า “หยุด! สูตรสำหรับนั้นคล้ายกันมากกับสูตรในการค้นหาตัวแบ่งแยก" ใช่แล้ว และนี่คือข้อเสียอย่างมากของการสร้างพาราโบลา "โดยตรง" เพื่อค้นหารากของมัน อย่างไรก็ตาม มานับจนจบกันดีกว่า แล้วฉันจะแสดงให้คุณเห็นว่าต้องทำอย่างไรให้ง่ายขึ้นมาก (มาก!)!

คุณนับไหม? คุณได้พิกัดอะไรสำหรับจุดยอดของพาราโบลา? ลองคิดดูด้วยกัน:

คำตอบเดียวกันเป๊ะเลยเหรอ? ทำได้ดี! และตอนนี้เรารู้พิกัดของจุดยอดแล้ว แต่เพื่อสร้างพาราโบลา เราจำเป็นต้องมี... จุดมากกว่านี้ คุณคิดว่าเราต้องการคะแนนขั้นต่ำกี่คะแนน? ขวา, .

คุณรู้ไหมว่าพาราโบลามีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดยอดของมัน ตัวอย่างเช่น

ดังนั้นเราจึงต้องการอีกสองจุดบนกิ่งซ้ายหรือขวาของพาราโบลา และในอนาคต เราจะสะท้อนจุดเหล่านี้ทางฝั่งตรงข้ามอย่างสมมาตร:

ลองกลับไปที่พาราโบลาของเราอีกครั้ง สำหรับกรณีของเราช่วงเวลา เราต้องการอีกสองแต้ม เพื่อเราจะได้แต้มบวก หรือแต้มลบ? จุดไหนสะดวกสำหรับคุณมากกว่ากัน? มันสะดวกกว่าสำหรับฉันที่จะทำงานกับสิ่งที่เป็นบวก ดังนั้นฉันจะคำนวณที่ และ

ตอนนี้เรามีจุดสามจุดแล้ว เราสามารถสร้างพาราโบลาได้อย่างง่ายดายโดยสะท้อนจุดสองจุดสุดท้ายที่สัมพันธ์กับจุดยอดของมัน:

คุณคิดว่าอะไรคือคำตอบของสมการ? ถูกต้องจุดที่นั่นคือและ เพราะ.

และถ้าเราพูดอย่างนั้นก็หมายความว่ามันจะต้องเท่ากันด้วยหรือ.

แค่? เราแก้สมการกับคุณในรูปแบบกราฟิกที่ซับซ้อนเสร็จแล้วหรือจะมีมากกว่านี้!

แน่นอน คุณสามารถตรวจสอบคำตอบของเราในเชิงพีชคณิตได้ โดยคุณสามารถคำนวณรากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta หรือ Discriminant คุณได้อะไร? เหมือนกันเหรอ? คุณเห็นไหม! ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหากราฟิกง่ายๆ กัน ฉันแน่ใจว่าคุณจะต้องชอบมันมาก!

วิธีที่ 2. แบ่งออกเป็นหลายฟังก์ชั่น

ลองใช้สมการเดียวกัน: แต่เราจะเขียนให้แตกต่างออกไปเล็กน้อย กล่าวคือ:

เราเขียนแบบนี้ได้ไหม? เราทำได้ เนื่องจากการแปลงเทียบเท่ากัน มาดูกันต่อ

มาสร้างสองฟังก์ชันแยกกัน:

1. - กราฟเป็นพาราโบลาธรรมดา ซึ่งคุณสามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยไม่ต้องกำหนดจุดยอดโดยใช้สูตรและวาดตารางเพื่อกำหนดจุดอื่นๆ
2. - กราฟเป็นเส้นตรงซึ่งคุณสามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยการประมาณค่าในหัวของคุณโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

สร้าง? มาเปรียบเทียบกับสิ่งที่ฉันได้รับ:

คุณคิดว่ารากของสมการในกรณีนี้คืออะไร? ขวา! พิกัดที่ได้รับจากจุดตัดของกราฟทั้งสองและนั่นคือ:

ดังนั้นคำตอบของสมการนี้คือ:

คุณพูดอะไร? เห็นด้วยวิธีการแก้ปัญหานี้ง่ายกว่าวิธีก่อนหน้ามากและง่ายกว่าการค้นหารากผ่านการแยกแยะ! หากเป็นเช่นนั้น ให้ลองแก้สมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีนี้:

คุณได้อะไร? ลองเปรียบเทียบกราฟของเรา:

กราฟแสดงว่าคำตอบคือ:

คุณจัดการหรือไม่? ทำได้ดี! ทีนี้มาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้อีกหน่อยนั่นคือการแก้สมการผสมนั่นคือสมการที่มีฟังก์ชันประเภทต่างๆ

ผลเฉลยกราฟิกของสมการผสม

ตอนนี้เรามาลองแก้ปัญหาต่อไปนี้:

แน่นอน คุณสามารถนำทุกอย่างมาเป็นตัวส่วนร่วม ค้นหารากของสมการผลลัพธ์ได้ โดยไม่ลืมคำนึงถึง ODZ แต่อีกครั้ง เราจะพยายามแก้มันแบบกราฟิกเหมือนที่เราทำในกรณีก่อนหน้านี้ทั้งหมด

คราวนี้เรามาสร้างกราฟ 2 อันต่อไปนี้:

1. - กราฟเป็นไฮเปอร์โบลา
2. - กราฟเป็นเส้นตรงซึ่งคุณสามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยการประมาณค่าในหัวของคุณโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

เข้าใจไหม? ตอนนี้เริ่มสร้าง

นี่คือสิ่งที่ฉันได้รับ:

มองภาพนี้ บอกฉันหน่อยว่ารากของสมการของเราคืออะไร?

ถูกต้องและ. นี่คือการยืนยัน:

ลองแทนรากของเราเข้ากับสมการ มันได้ผลเหรอ?

ถูกต้อง! เห็นด้วยการแก้สมการดังกล่าวแบบกราฟิกเป็นเรื่องที่น่ายินดี!

ลองแก้สมการแบบกราฟิกด้วยตัวเอง:

ฉันจะให้คำแนะนำแก่คุณ: ย้ายส่วนหนึ่งของสมการไปที่ ด้านขวาเพื่อให้ทั้งสองด้านมีฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการสร้าง คุณได้รับคำใบ้หรือไม่? ดำเนินการ!

ตอนนี้เรามาดูสิ่งที่คุณได้รับ:

ตามลำดับ:

1. - ลูกบาศก์พาราโบลา
2. - เส้นตรงธรรมดา

มาสร้างกันดีกว่า:

ดังที่คุณเขียนไว้นานแล้ว รากของสมการนี้คือ -

ตัดสินใจเรื่องนี้แล้ว จำนวนมากตัวอย่าง ฉันแน่ใจว่าคุณรู้แล้วว่าคุณสามารถแก้สมการแบบกราฟิกได้ง่ายและรวดเร็วเพียงใด ถึงเวลาหาวิธีแก้ปัญหาระบบด้วยวิธีนี้

โซลูชั่นกราฟิกของระบบ

ระบบการแก้แบบกราฟิกโดยพื้นฐานแล้วไม่แตกต่างจากการแก้สมการแบบกราฟิก เราจะสร้างกราฟขึ้นมาสองกราฟด้วย และจุดตัดกันของพวกมันจะเป็นรากของระบบนี้ กราฟหนึ่งคือสมการหนึ่ง กราฟที่สองคืออีกสมการหนึ่ง ทุกอย่างง่ายมาก!

เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุด - การแก้ระบบสมการเชิงเส้น

การแก้ระบบสมการเชิงเส้น

สมมติว่าเรามีระบบดังต่อไปนี้:

ก่อนอื่นเรามาแปลงมันเพื่อให้ทุกสิ่งที่เชื่อมโยงอยู่ทางด้านซ้ายและทางขวา - ทุกสิ่งที่เชื่อมต่อด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลองเขียนสมการเหล่านี้เป็นฟังก์ชันในรูปแบบปกติของเรา:

ตอนนี้เราแค่สร้างเส้นตรงสองเส้น วิธีแก้ปัญหาในกรณีของเราคืออะไร? ขวา! จุดตัดของพวกเขา! และที่นี่คุณต้องระวังให้มาก! ลองคิดดูว่าทำไม? ผมขอบอกใบ้หน่อยนะครับ เรากำลังจัดการกับระบบ ในระบบก็มีทั้งสองอย่าง และ... รู้คำใบ้ไหม?

ถูกต้อง! เมื่อแก้ระบบ เราต้องดูทั้งสองพิกัด ไม่ใช่แค่แก้สมการเท่านั้น! อื่น จุดสำคัญ- เขียนให้ถูกต้องและไม่สับสนว่าเรามีความหมายตรงไหนและความหมายอยู่ที่ไหน! คุณเขียนมันลงไปหรือเปล่า? ทีนี้ลองเปรียบเทียบทุกอย่างตามลำดับ:

และคำตอบ: และ. ทำการตรวจสอบ - แทนที่รูทที่พบลงในระบบและตรวจสอบให้แน่ใจว่าเราแก้ไขมันถูกต้องแบบกราฟิกหรือไม่?

การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้น

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรามี แทนที่จะเป็นเส้นตรงเส้นเดียว สมการกำลังสอง- ใช้ได้! คุณแค่สร้างพาราโบลาแทนที่จะเป็นเส้นตรง! ไม่เชื่อฉันเหรอ? ลองแก้ไขระบบต่อไปนี้:

ขั้นตอนต่อไปของเราคืออะไร? ถูกต้อง จดบันทึกไว้เพื่อให้เราสร้างกราฟได้สะดวก:

และตอนนี้มันเป็นเรื่องเล็กๆ น้อยๆ - สร้างมันขึ้นมาอย่างรวดเร็วและนี่คือวิธีแก้ปัญหาของคุณ! เรากำลังสร้าง:

กราฟออกมาเหมือนเดิมหรือเปล่า? ตอนนี้ทำเครื่องหมายวิธีแก้ปัญหาของระบบในรูปและจดคำตอบที่ระบุให้ถูกต้อง!

คุณทำทุกอย่างแล้วหรือยัง? เปรียบเทียบกับบันทึกย่อของฉัน:

ทุกอย่างถูกต้องหรือไม่? ทำได้ดี! คุณกำลังแคร็กงานประเภทนี้เหมือนถั่วอยู่แล้ว! ถ้าเป็นเช่นนั้น เราจะให้ระบบที่ซับซ้อนกว่านี้แก่คุณ:

เรากำลังทำอะไรอยู่? ขวา! เราเขียนระบบเพื่อให้สะดวกในการสร้าง:

ฉันจะให้คำแนะนำเล็กน้อย เนื่องจากระบบดูซับซ้อนมาก! เมื่อสร้างกราฟ ให้สร้างกราฟให้ “มากขึ้น” และที่สำคัญที่สุด อย่าแปลกใจกับจำนวนจุดตัดกัน

ไปกันเลย! หายใจออกเหรอ? ตอนนี้เริ่มสร้าง!

แล้วยังไงล่ะ? สวย? คุณได้จุดตัดกี่จุด? ฉันมีสาม! ลองเปรียบเทียบกราฟของเรา:

อีกด้วย? ตอนนี้เขียนโซลูชันทั้งหมดของระบบของเราอย่างระมัดระวัง:

ตอนนี้ดูที่ระบบอีกครั้ง:

คุณนึกภาพออกไหมว่าคุณแก้ไขปัญหานี้ได้ภายในเวลาเพียง 15 นาที? เห็นด้วย คณิตศาสตร์ยังคงง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อดูสำนวน คุณไม่กลัวที่จะทำผิด แต่เพียงแค่รับมันและแก้ไขมัน! คุณเก่งมาก!

คำตอบแบบกราฟิกของอสมการ

คำตอบเชิงกราฟิกของอสมการเชิงเส้น

หลังจากตัวอย่างที่แล้วจะทำอะไรก็ได้! ตอนนี้หายใจออก - เมื่อเทียบกับส่วนก่อน ๆ ส่วนนี้จะง่ายมาก!

เราจะเริ่มตามปกติด้วยวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการเชิงเส้น ตัวอย่างเช่นอันนี้:

ขั้นแรก เรามาดำเนินการแปลงที่ง่ายที่สุด - เปิดวงเล็บของกำลังสองสมบูรณ์แล้วนำเสนอคำที่คล้ายกัน:

อสมการไม่ได้เข้มงวด ดังนั้นจึงไม่รวมไว้ในช่วงเวลา และคำตอบจะเป็นจุดทั้งหมดที่อยู่ทางขวา เนื่องจากมากขึ้น มากขึ้น และอื่นๆ:

คำตอบ:

แค่นั้นแหละ! อย่างง่ายดาย? มาแก้อสมการง่ายๆ ด้วยตัวแปรสองตัวกัน:

ลองวาดฟังก์ชันในระบบพิกัดกัน

คุณได้รับกำหนดการดังกล่าวหรือไม่? ทีนี้เรามาดูอย่างละเอียดกันดีกว่าว่าเรามีความไม่เท่าเทียมกันอะไรบ้าง? น้อย? ซึ่งหมายความว่าเราทาสีทับทุกสิ่งที่อยู่ทางด้านซ้ายของเส้นตรง ถ้ามีมากกว่านี้ล่ะ? ถูกต้อง จากนั้นเราจะทาสีทับทุกสิ่งที่อยู่ทางด้านขวาของเส้นตรง มันง่ายมาก

แนวทางแก้ไขทั้งหมดสำหรับความไม่เท่าเทียมกันนี้ถูก “ปกปิด” ส้ม- เพียงเท่านี้ความไม่เท่าเทียมกันของตัวแปรสองตัวก็ได้รับการแก้ไขแล้ว ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดใดๆ จากพื้นที่แรเงาคือคำตอบ

คำตอบแบบกราฟิกของอสมการกำลังสอง

ตอนนี้เราจะเข้าใจวิธีการแก้อสมการกำลังสองแบบกราฟิก

แต่ก่อนที่เราจะพูดถึงเรื่องนั้น เรามาทบทวนเนื้อหาเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสองกันก่อน

ผู้เลือกปฏิบัติต้องรับผิดชอบอะไร? ถูกต้องแล้ว สำหรับตำแหน่งของกราฟที่สัมพันธ์กับแกน (หากคุณจำสิ่งนี้ไม่ได้ ให้อ่านทฤษฎีเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสองอย่างแน่นอน)

ไม่ว่าในกรณีใด ต่อไปนี้เป็นคำเตือนเล็กๆ น้อยๆ สำหรับคุณ:

ตอนนี้เราได้รีเฟรชเนื้อหาทั้งหมดในหน่วยความจำของเราแล้ว มาเริ่มธุรกิจกันดีกว่า - แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก

ฉันจะบอกคุณทันทีว่ามีสองทางเลือกในการแก้ปัญหา

ตัวเลือกที่ 1

เราเขียนพาราโบลาของเราเป็นฟังก์ชัน:

เมื่อใช้สูตรเราจะกำหนดพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา (เหมือนกับเมื่อแก้สมการกำลังสอง):

คุณนับไหม? คุณได้อะไร?

ทีนี้ลองหาจุดที่แตกต่างกันอีกสองจุดแล้วคำนวณหามัน:

มาเริ่มสร้างพาราโบลาสาขาหนึ่งกันดีกว่า:

เราสะท้อนจุดของเราอย่างสมมาตรไปยังกิ่งอื่นของพาราโบลา:

ทีนี้ กลับมาที่อสมการของเรากัน.

เราต้องการให้มีค่าน้อยกว่าศูนย์ ตามลำดับ:

เนื่องจากในความไม่เท่าเทียมกันของเราเครื่องหมายจึงน้อยกว่าอย่างเคร่งครัดเราจึงแยกจุดสิ้นสุดออก - "การเจาะออก"

คำตอบ:

ทางยาวใช่ไหม? ตอนนี้ ฉันจะแสดงเวอร์ชันที่เรียบง่ายของโซลูชันกราฟิกให้คุณดูโดยใช้ตัวอย่างความไม่เท่าเทียมกันแบบเดียวกัน:

ตัวเลือกที่ 2

เรากลับไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันและทำเครื่องหมายช่วงเวลาที่เราต้องการ:

เห็นด้วยมันเร็วกว่ามาก

ตอนนี้ให้เราเขียนคำตอบ:

ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาอื่นที่ทำให้ส่วนพีชคณิตง่ายขึ้น แต่สิ่งสำคัญคืออย่าสับสน

คูณด้านซ้ายและขวาด้วย:

พยายามแก้อสมการกำลังสองต่อไปนี้ด้วยตัวเองด้วยวิธีใดก็ได้:

คุณจัดการหรือไม่?

ดูว่ากราฟของฉันเป็นอย่างไร:

คำตอบ: .

คำตอบแบบกราฟิกของอสมการแบบผสม

ทีนี้เรามาดูอสมการที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า!

คุณชอบสิ่งนี้อย่างไร:

มันน่าขนลุกใช่มั้ย? จริงๆ แล้ว ฉันไม่รู้ว่าจะแก้พีชคณิตนี้อย่างไร... แต่ก็ไม่จำเป็น กราฟิกไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับเรื่องนี้! ตากลัวแต่มือทำ!

สิ่งแรกที่เราจะเริ่มต้นด้วยการสร้างกราฟสองอัน:

ฉันจะไม่เขียนตารางสำหรับแต่ละคน - ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถทำได้อย่างสมบูรณ์แบบด้วยตัวเอง (ว้าว มีตัวอย่างมากมายให้แก้!)

คุณทาสีมันเหรอ? ตอนนี้สร้างกราฟสองอัน

มาเปรียบเทียบภาพวาดของเรากัน?

มันเหมือนกันกับคุณหรือเปล่า? ยอดเยี่ยม! ตอนนี้เรามาจัดเรียงจุดตัดกันและใช้สีเพื่อกำหนดว่ากราฟใดที่เราควรมีให้ใหญ่กว่าในทางทฤษฎี นั่นก็คือ ดูสิ่งที่เกิดขึ้นในท้ายที่สุด:

ตอนนี้เรามาดูกันว่ากราฟที่เราเลือกอยู่ตรงไหนสูงกว่ากราฟ? อย่าลังเลที่จะใช้ดินสอและทาสีบริเวณนี้! เธอจะเป็นทางออกของความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อนของเรา!

เราอยู่สูงกว่าช่วงใดของแกน? ขวา, . นี่คือคำตอบ!

ตอนนี้คุณสามารถจัดการกับสมการ ระบบใดก็ได้ และยิ่งกว่านั้น อสมการใดๆ ก็ตาม!

สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการโดยใช้กราฟฟังก์ชัน:

1. มาแสดงออกผ่าน
2. มากำหนดประเภทของฟังก์ชันกันดีกว่า
3. มาสร้างกราฟของฟังก์ชันผลลัพธ์กัน
4. ลองหาจุดตัดกันของกราฟกัน
5. มาเขียนคำตอบให้ถูกต้อง (โดยคำนึงถึง ODZ และสัญญาณอสมการ)
6. ลองตรวจสอบคำตอบกัน (แทนรากลงในสมการหรือระบบ)

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการสร้างกราฟฟังก์ชัน โปรดดูหัวข้อ “”

กราฟของอสมการเชิงเส้นหรือกำลังสองถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกับกราฟของฟังก์ชันใดๆ (สมการ) ข้อแตกต่างก็คืออสมการหมายถึงคำตอบหลายแบบ ดังนั้นกราฟของอสมการจึงไม่ใช่แค่จุดบนเส้นจำนวนหรือเส้นบนระนาบพิกัด การใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์และเครื่องหมายอสมการ ทำให้คุณสามารถระบุวิธีแก้ปัญหาอสมการได้มากมาย

ขั้นตอน

การแสดงอสมการเชิงเส้นแบบกราฟิกบนเส้นจำนวน

1. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แยกตัวแปรโดยใช้เทคนิคพีชคณิตแบบเดียวกับที่คุณใช้ในการแก้สมการใดๆ จำไว้ว่าเมื่อคูณหรือหารอสมการด้วยจำนวนลบ (หรือเทอม) ให้กลับเครื่องหมายของอสมการนั้น

   • เช่น เมื่อพิจารณาถึงความไม่เท่าเทียมกัน 3 ปี + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)- หากต้องการแยกตัวแปร ให้ลบ 9 จากทั้งสองด้านของอสมการ แล้วหารทั้งสองข้างด้วย 3:
     3 ปี + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 ปี + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 ปี > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 ปี 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • อสมการจะต้องมีตัวแปรเพียงตัวเดียว หากความไม่เท่าเทียมกันมีตัวแปรสองตัว ควรพล็อตกราฟบนระนาบพิกัดจะดีกว่า

2. วาดเส้นจำนวนบนเส้นจำนวน ให้ทำเครื่องหมายค่าที่คุณพบ (ตัวแปรสามารถมีค่าน้อยกว่า มากกว่า หรือเท่ากับค่านี้) วาดเส้นจำนวนตามความยาวที่เหมาะสม (ยาวหรือสั้น)

   • เช่น ถ้าคุณคำนวณสิ่งนั้น y > 1 (\displaystyle y>1)ให้ทำเครื่องหมายค่า 1 บนเส้นจำนวน

3. วาดวงกลมแทนค่าที่พบหากตัวแปรมีค่าน้อยกว่า ( < {\displaystyle <} ) หรือมากกว่า ( > (\displaystyle >)) ของค่านี้ วงกลมจะไม่ถูกเติมเข้าไปเนื่องจากชุดโซลูชันไม่ได้รวมค่านี้ไว้ หากตัวแปรมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ ( ≤ (\displaystyle \leq )) หรือมากกว่าหรือเท่ากับ ( ≥ (\displaystyle \geq )) วงกลมจะถูกเติมให้กับค่านี้เนื่องจากชุดโซลูชันรวมค่านี้ไว้ด้วย

   • y > 1 (\displaystyle y>1)บนเส้นจำนวน ให้วาดวงกลมเปิดที่จุดที่ 1 เนื่องจาก 1 ไม่อยู่ในเซตคำตอบ

4. บนเส้นจำนวน ให้แรเงาบริเวณที่กำหนดชุดวิธีแก้ปัญหาหากตัวแปรมากกว่าค่าที่พบ ให้แรเงาพื้นที่ทางด้านขวา เนื่องจากชุดโซลูชันจะรวมค่าทั้งหมดที่มากกว่าค่าที่พบ หากตัวแปรน้อยกว่าค่าที่พบ ให้แรเงาพื้นที่ทางด้านซ้าย เนื่องจากชุดโซลูชันจะรวมค่าทั้งหมดที่น้อยกว่าค่าที่พบ

   • เช่น ถ้าพิจารณาถึงความไม่เท่าเทียมกัน y > 1 (\displaystyle y>1)บนเส้นจำนวนให้แรเงาพื้นที่ทางด้านขวาของ 1 เนื่องจากชุดโซลูชันมีค่าทั้งหมดที่มากกว่า 1

   การแสดงภาพกราฟิกของอสมการเชิงเส้นบนระนาบพิกัด

   1. แก้อสมการ (หาค่า y (\displaystyle y)). เพื่อให้ได้สมการเชิงเส้น ให้แยกตัวแปรทางด้านซ้ายมือโดยใช้เทคนิคพีชคณิตที่คุ้นเคย ควรมีตัวแปรทางด้านขวา x (\รูปแบบการแสดงผล x)และบางทีก็คงที่บ้าง

      • เช่น เมื่อพิจารณาถึงความไม่เท่าเทียมกัน 3 ปี + 9 > 9 x (\รูปแบบการแสดงผล 3y+9>9x)- เพื่อแยกตัวแปร y (\displaystyle y)ลบ 9 จากทั้งสองข้างของอสมการ แล้วหารทั้งสองข้างด้วย 3:
        3 ปี + 9 > 9 x (\รูปแบบการแสดงผล 3y+9>9x)
        3 ปี + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 ปี > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. วาดกราฟของสมการเชิงเส้นบนระนาบพิกัดวาดกราฟเหมือนกับที่คุณวาดกราฟของสมการเชิงเส้นใดๆ พล็อตจุดตัดแกน Y จากนั้นใช้ความชันเพื่อพล็อตจุดอื่นๆ

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)สร้างกราฟสมการ y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3)- จุดตัดกับแกน Y มีพิกัด และความชันคือ 3 (หรือ 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))- ก่อนอื่นให้พล็อตจุดด้วยพิกัดก่อน (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3))- จุดเหนือจุดตัดแกน y มีพิกัด (1 , 0) (\displaystyle (1,0))- จุดใต้จุดตัดแกน Y มีพิกัด (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. วาดเส้นตรงหากความไม่เท่าเทียมกันเข้มงวด (รวมถึงเครื่องหมาย < {\displaystyle <} หรือ > (\displaystyle >)) ให้ลากเส้นประเนื่องจากชุดโซลูชันไม่รวมค่าในเส้น หากความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด (รวมถึงเครื่องหมาย ≤ (\displaystyle \leq )หรือ ≥ (\displaystyle \geq )) ให้ลากเส้นทึบเนื่องจากชุดโซลูชันมีค่าที่อยู่บนเส้น

      • เช่น ในกรณีความไม่เท่าเทียมกัน y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)ลากเส้นประเพราะชุดโซลูชันไม่รวมค่าบนเส้น

   4. แรเงาบริเวณที่เหมาะสมหากความไม่เท่าเทียมกันเป็นรูปเป็นร่าง y > mx + b (\displaystyle y>mx+b)แรเงาพื้นที่เหนือเส้น หากความไม่เท่าเทียมกันเป็นรูปเป็นร่าง ย< m x + b {\displaystyle y,แรเงาบริเวณใต้เส้น

      • เช่น ในกรณีความไม่เท่าเทียมกัน y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)แรเงาพื้นที่เหนือเส้น

   การแสดงกราฟิกของอสมการกำลังสองบนระนาบพิกัด

   1. พิจารณาว่าอสมการนี้เป็นกำลังสองอสมการกำลังสองมีรูปแบบ a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)- บางครั้งความไม่เท่าเทียมกันไม่มีตัวแปรลำดับที่หนึ่ง ( x (\รูปแบบการแสดงผล x)) และ/หรือพจน์อิสระ (ค่าคงที่) แต่จำเป็นต้องมีตัวแปรลำดับที่สองด้วย ( x 2 (\รูปแบบการแสดงผล x^(2))- ตัวแปร x (\รูปแบบการแสดงผล x)และ y (\displaystyle y)จะต้องแยกออกจากด้านต่าง ๆ ของความไม่เท่าเทียมกัน

      • ตัวอย่างเช่น คุณต้องพล็อตความไม่เท่าเทียมกัน ย< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. วาดกราฟบนระนาบพิกัดเมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้แปลงอสมการให้เป็นสมการและสร้างกราฟเหมือนที่คุณสร้างกราฟสมการกำลังสองใดๆ จำไว้ว่ากราฟของสมการกำลังสองคือพาราโบลา

      • เช่น ในกรณีความไม่เท่าเทียมกัน ย< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle yสร้างกราฟสมการกำลังสอง y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16)- จุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่จุดนั้น (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9))และพาราโบลาตัดแกน X ที่จุดต่างๆ (2 , 0) (\displaystyle (2,0))และ (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

อนุญาต ฉ(x,y)และ ก.(x, ย)- สองนิพจน์พร้อมตัวแปร เอ็กซ์และ ที่และขอบเขต เอ็กซ์- แล้วความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม ฉ(x, ย) > ก.(x, ย)หรือ ฉ(x, ย) < ก.(x, ย)เรียกว่า อสมการที่มีตัวแปรสองตัว .

ความหมายของตัวแปร เอ็กซ์, ยจากหลาย ๆ คน เอ็กซ์ซึ่งอสมการกลายเป็นอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริงเรียกว่า การตัดสินใจ และถูกกำหนดไว้ (x, ย). แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน - นี่หมายถึงการค้นหาคู่ดังกล่าวมากมาย

ถ้าแต่ละคู่มีเลข (x, ย)จากชุดการแก้ปัญหาไปจนถึงความไม่เท่าเทียมกันให้ตรงประเด็น ม(x, ย)เราได้เซตของคะแนนบนระนาบที่กำหนดโดยอสมการนี้ พวกเขาเรียกเขาว่า กราฟของความไม่เท่าเทียมกันนี้ - กราฟของความไม่เท่าเทียมกันมักเป็นพื้นที่บนระนาบ

เพื่อพรรณนาชุดวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ฉ(x, ย) > ก.(x, ย)ให้ดำเนินการดังนี้ ขั้นแรก ให้แทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายเท่ากับแล้วหาเส้นตรงที่มีสมการ ฉ(x,y) = ก.(x,ย)- เส้นนี้แบ่งเครื่องบินออกเป็นหลายส่วน หลังจากนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะหยิบจุดหนึ่งในแต่ละส่วนและตรวจสอบว่าจุดนี้เป็นที่พอใจหรือไม่ ฉ(x, ย) > ก.(x, ย)- หากดำเนินการ ณ จุดนี้ ก็จะถูกดำเนินการในส่วนทั้งหมดที่จุดนี้อยู่ เมื่อรวมส่วนต่างๆ ดังกล่าวเข้าด้วยกัน ทำให้เราพบวิธีแก้ปัญหามากมาย

งาน. ย > x.

สารละลาย.ขั้นแรก แทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายเท่ากับแล้วสร้างเข้าไป ระบบสี่เหลี่ยมเส้นพิกัดที่มีสมการ ย = x.

เส้นนี้แบ่งเครื่องบินออกเป็นสองส่วน หลังจากนี้ให้หยิบจุดหนึ่งในแต่ละส่วนและตรวจสอบว่าตรงจุดนี้หรือไม่ ย > x.

งาน.แก้อสมการแบบกราฟิก
เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 25 ปอนด์

ข้าว. 18.

สารละลาย.ขั้นแรก ให้แทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายเท่ากับแล้วลากเส้น เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 = 25 นี่คือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและมีรัศมี 5 วงกลมที่ได้จะแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน การตรวจสอบความพึงพอใจของความไม่เท่าเทียมกัน เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 ปอนด์ ในแต่ละส่วน เราพบว่ากราฟเป็นเซตของจุดบนวงกลมและส่วนของระนาบภายในวงกลม

ปล่อยให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันสองประการ ฉ 1(x, ย) > ก 1(x, ย)และ ฉ 2(x, ย) > ก 2(x, ย).

ระบบเซตอสมการที่มีตัวแปรสองตัว

ระบบความไม่เท่าเทียมกัน แสดงถึง ตัวคุณเอง การรวมกันของความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ โซลูชั่นระบบ คือทุกความหมาย (x, ย)ซึ่งเปลี่ยนอสมการแต่ละรายการให้เป็นอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริง โซลูชั่นมากมาย ระบบ อสมการคือจุดตัดของชุดวิธีแก้ปัญหาอสมการที่สร้างระบบที่กำหนด

ชุดของความไม่เท่าเทียมกัน แสดงถึง ตัวคุณเอง การแตกแยกของสิ่งเหล่านี้ ความไม่เท่าเทียมกัน ตั้งค่าโซลูชัน คือทุกความหมาย (x, ย)ซึ่งเปลี่ยนอย่างน้อยหนึ่งในอสมการของเซตให้เป็นอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริง โซลูชั่นมากมาย จำนวนทั้งสิ้น คือการรวมกันของเซตของคำตอบสำหรับอสมการที่ก่อตัวเป็นเซต

งาน.แก้ระบบอสมการแบบกราฟิก

สารละลาย. ย = xและ เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 = 25 เราแก้อสมการของระบบแต่ละข้อ

กราฟของระบบจะเป็นเซตของจุดบนระนาบที่เป็นจุดตัด (ฟักคู่) ของเซตของคำตอบของอสมการที่หนึ่งและสอง

งาน.แก้ชุดอสมการแบบกราฟิก

สารละลาย.ขั้นแรก เราแทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายเท่ากับแล้วลากเส้นในระบบพิกัดเดียว ย = x+4 และ เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 = 16. แก้ความไม่เท่าเทียมกันของประชากรแต่ละอย่าง กราฟของประชากรจะเป็นเซตของจุดบนระนาบซึ่งเป็นการรวมกันของเซตของคำตอบของอสมการที่หนึ่งและสอง

แบบฝึกหัดสำหรับงานอิสระ

1. แก้ความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก: ก) ที่> 2x- ข) ที่< 2x + 3;

วี) x 2+ ย 2 > 9; ช) x 2+ ย 2 4 ปอนด์

2. แก้ระบบอสมการแบบกราฟิก:

ก) ข)

§ 1 อัลกอริทึมสำหรับการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นแบบโมดูลาร์โดยใช้กราฟ

ในบทนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีสร้างกราฟแบบโมดูลาร์ ฟังก์ชันเชิงเส้นเรามาทำความคุ้นเคยกับอัลกอริทึมสำหรับการแก้ไขอสมการเชิงเส้นแบบแยกส่วนโดยใช้กราฟและวิเคราะห์ตัวอย่างการแก้อสมการเชิงเส้นแบบแยกส่วนแบบกราฟิก

ขอให้เรานึกถึงคำจำกัดความเชิงวิเคราะห์ของโมดูลัส: โมดูลัสของตัวเลข a คือตัวเลข a เองหากไม่เป็นลบ และตรงกันข้ามกับตัวเลข a หากเป็นลบ

ดังนั้น ฟังก์ชันโมดูลาร์ y = |x| จะเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแยกส่วน เนื่องจากส่วนประกอบของมันคือฟังก์ชันเชิงเส้นสองฟังก์ชัน y = x และ y = -x ซึ่งกำหนดบน x ≥ 0 และ x< 0 соответственно. Графиком этой функции являются два луча, образующие угол с вершиной в начале координат, проходящие через точки (-1; 1) и (1; 1).

พิจารณาอสมการเชิงเส้นโมดูลาร์ | x- p | > ถาม

อสมการนี้ไม่เพียงแต่จะมีเครื่องหมายมากกว่าเท่านั้น แต่ยังมีเครื่องหมายน้อยกว่าด้วย ไม่มากหรือน้อยไปกว่านี้ด้วย

ลองแก้อสมการนี้แบบกราฟิกกัน ในการทำเช่นนี้คุณต้องมี:

1. ในระบบพิกัดเดียว ให้สร้างกราฟของฟังก์ชัน y = |x - p| และ y = q กราฟ y = |x- p| เป็นมุมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (p; 0) และด้าน y = x - p และ y = -x + p ชี้ขึ้น เนื่องจากด้านหน้าโมดูลไม่มีเครื่องหมายซึ่งหมายถึง “+” เครื่องหมายเป็นนัย หากมีเครื่องหมาย "-" ที่ด้านหน้าโมดูล ควรหันด้านข้างของมุมลง

2. เลือกส่วนของกราฟที่สอดคล้องกับเครื่องหมายอสมการ: ในอสมการ

|x-p| > เครื่องหมาย q มีค่ามากกว่า เราต้องเข้าใจว่าจุดของกราฟของฟังก์ชันโมดูลาร์ y = |x- p| ต้องอยู่เหนือกราฟ y = q ในกรณีนี้และในความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวดทั้งหมด จุดตัดกันของกราฟจะไม่รวมอยู่ในโดเมนของโซลูชัน สัญญาณความไม่เท่าเทียมกันแบบหลวม ๆ บ่งบอกถึงการรวมจุดตัดกันของกราฟไว้ในโดเมนของการแก้อสมการโมดูลาร์

3. วิธีแก้ความไม่เท่าเทียมกันของโมดูลาร์ดั้งเดิมคือค่าขาดทั้งหมดของจุดนั่นคือค่า x ของพื้นที่ที่เลือกของกราฟ

§ 2 ตัวอย่างของการแก้อสมการเชิงเส้นแบบแยกส่วนแบบกราฟิก

ลองดูตัวอย่างการแก้อสมการเชิงเส้นแบบโมดูลาร์โดยใช้กราฟ

ตัวอย่าง 1. แก้อสมการ |x + 3| ≤ 5 โดยใช้กราฟ

ขั้นตอนที่ 1 ในระบบพิกัดเดียว เราจะสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = |x + 3| และ y = 5 กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบโมดูลาร์คือมุมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (-3;0) และด้าน y = x + 3 และ y = -x - 3 กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นคงที่ y = 5 เป็นเส้นตรงขนานกับแกน x วัว และผ่านจุด (0; 5)

ขั้นตอนที่ 2 ในความไม่เท่าเทียมกันไม่มีสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันอีกต่อไปซึ่งหมายความว่าบนกราฟจำเป็นต้องเน้นจุดตัดกันของกราฟและส่วนของมุมที่อยู่ต่ำกว่าเส้นตรง

ขั้นตอนที่ 3 ให้เราพิจารณาวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ในการทำเช่นนี้เราจะพบจุดหักล้างทั้งหมดของจุดในพื้นที่ที่เลือกของกราฟ เราพบว่าวิธีแก้อสมการจะเป็นค่า x ทั้งหมดที่อยู่ในเซ็กเมนต์ตั้งแต่ -8 ถึง 2 รวมอยู่ด้วย คำตอบ: -8 ≤ x ≤ 2

ตัวอย่าง 2. แก้สมการ |5 - 2x| > - 3 โดยใช้กราฟ

ให้เราลดความไม่เท่าเทียมกันให้อยู่ในรูปแบบ |x - p| > ถาม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารทั้งสองด้านของอสมการด้วยโมดูลัสของตัวเลข -2 เราได้อสมการ |x - 2.5| > -1.5. ตอนนี้ เรามาดำเนินการตามขั้นตอนของอัลกอริธึมเพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของโมดูลาร์แบบกราฟิกทีละขั้นตอน

1 ขั้นตอน ในระบบพิกัดหนึ่ง เราจะสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = |x - 2.5| และ y = -1.5 กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบโมดูลาร์คือมุมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (2.5; 0) และด้าน y = x - 2.5 และ y = 2.5 - x ชี้ขึ้นด้านบน กราฟ y = - 1.5 เป็นเส้นตรงขนานกับแกน x วัว แล้วผ่านจุด (0; - 1.5)

ขั้นตอนที่ 2 ในความไม่เท่าเทียมกันมีสัญญาณที่ใหญ่กว่าซึ่งหมายความว่าบนกราฟจำเป็นต้องเน้นส่วนของมุมที่อยู่เหนือเส้นตรงโดยไม่รวมจุดตัดกันของกราฟ

ขั้นตอนที่ 3 ภาพวาดแสดงให้เห็นว่าไม่มีจุดตัดกันของกราฟ และกราฟทั้งหมดของฟังก์ชันโมดูลาร์จะอยู่เหนือเส้นตรง ซึ่งหมายความว่าทุกจุดของมุมจะรวมอยู่ในพื้นที่ที่เลือกเพื่อแก้ไขอสมการ ดังนั้นคำตอบของอสมการคือจำนวนจริงใดๆ ในทางคณิตศาสตร์ ข้อความนี้จำลองในรูปแบบสัญลักษณ์: x เป็นของ R คำตอบ: x∊ R

ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการ -|5x -10|< - 17 с помощью графиков.

ความไม่เท่าเทียมกันนี้สามารถแก้ไขได้สองวิธี เคล็ดลับแรก: คูณอสมการทั้งสองข้างด้วย -1 โดยไม่ลืมเปลี่ยนเครื่องหมายน้อยกว่าของอสมการให้เป็นเครื่องหมายยิ่งใหญ่ตรงข้าม แล้วจึงได้ผลลัพธ์อสมการ |5x - 10| > 17 แก้ตามตัวอย่างที่กล่าวไว้ข้างต้น เทคนิคที่สอง: หารทั้งสองด้านของอสมการด้วยโมดูลัสของหมายเลข 5 และใช้อัลกอริทึมสำหรับแก้ไขอสมการเชิงเส้นแบบโมดูลาร์ในรูปแบบ |x - p| กับอสมการที่ได้รับใหม่< q. Решим неравенства вторым приёмом. Поделив обе части исходного неравенства на |5|, имеем -|x - 2| < - 3,4. Теперь выполним первый шаг алгоритма решения.

1 ขั้นตอน ในระบบพิกัดหนึ่ง เราจะสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = -|x - 2| และ y = - 3.4 กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบโมดูลาร์ y = -|x- 2| คือมุมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (2; 0) และด้าน y = x - 2 และ y = 2 - x ชี้ลง เนื่องจากโมดูลมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นคงที่คือเส้นตรง y = - 3.4

ขั้นตอนที่ 2 ให้เราเน้นกราฟว่าส่วนหนึ่งของมุมที่อยู่ใต้เส้นตรงไม่รวมจุดตัดกันของกราฟเนื่องจากอสมการมีเครื่องหมายน้อยกว่า

ขั้นตอนที่ 3 ให้เราพิจารณา abscissa ของจุดของส่วนที่เลือกของกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบโมดูลาร์ ดังนั้น วิธีแก้ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมคือรังสีเปิดสองเส้นที่น้อยกว่า -1.4 และมากกว่า 5.4 คำตอบ: x ∊ (-∞;-1.4) ∪ (5.4; +∞)

ในบทเรียนนี้ เราได้รู้จักกับอัลกอริทึมสำหรับการแก้ไขอสมการเชิงเส้นแบบแยกส่วนโดยใช้กราฟ และดูตัวอย่างการแก้ไขอสมการเชิงเส้นแบบแยกส่วนแบบกราฟิก

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้:

1. เอ.จี. มอร์ดโควิช, พี.วี. เซเมนอฟ พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ใน 2 ส่วน. ส่วนที่ 1 หนังสือเรียน (FSES) ฉบับที่ 16 แก้ไขแล้ว - อ.: นีโมซิน, 2013.
2. เอ.จี. มอร์ดโควิช, พี.วี. เซเมนอฟ พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ใน 2 ส่วน. ส่วนที่ 1 หนังสือปัญหา ฉบับที่ 16, แก้ไขเพิ่มเติม. - อ.: นีโมซิน, 2013.
3. เอ.จี. มอร์ดโควิช, พี.วี. เซเมนอฟ พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 คู่มือระเบียบวิธีสำหรับครู อ.: Mnemosyne, 2013.
4. เอ.จี. Mordkovich, N.P. Nikolaev. พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ใน 2 ส่วน. ส่วนที่ 1 - บทช่วยสอน (FSES) หนังสือเรียนรายวิชาด้วย การศึกษาเชิงลึกคณิตศาสตร์. - อ.: นีโมซิน, 2014.
5. เอ.จี. มอร์ดโควิช. การสอนพีชคณิต คู่มือระเบียบวิธีสำหรับครู เกรด 8-9 - อ.: นีโมซิน, 2014.

ดูเพิ่มเติมที่ การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นแบบกราฟิก รูปแบบ Canonical ของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

ระบบข้อจำกัดสำหรับปัญหาดังกล่าวประกอบด้วยความไม่เท่าเทียมกันในตัวแปรสองตัว:
และฟังก์ชันวัตถุประสงค์มีรูปแบบ เอฟ = ค 1 x + ค 2 ยซึ่งจำเป็นต้องขยายให้ใหญ่สุด

มาตอบคำถามกัน: ตัวเลขคู่ใด ( x; ย) เป็นวิธีการแก้ปัญหาของระบบความไม่เท่าเทียมกัน กล่าวคือ พวกมันตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันแต่ละอย่างไปพร้อมๆ กันหรือไม่? กล่าวอีกนัยหนึ่ง การแก้ปัญหาระบบแบบกราฟิกหมายความว่าอย่างไร
ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่าอะไรคือคำตอบของอสมการเชิงเส้นตัวหนึ่งกับค่าไม่ทราบสองตัว
การแก้อสมการเชิงเส้นโดยไม่ทราบค่าสองตัวหมายถึงการกำหนดค่าที่ไม่ทราบค่าคู่ทั้งหมดซึ่งมีความไม่เท่าเทียมกันอยู่
ตัวอย่างเช่น ความไม่เท่าเทียมกัน 3 x – 5ย≥ 42 คู่ที่ตอบสนอง ( x , ย) : (100, 2); (3, –10) ฯลฯ ภารกิจคือค้นหาคู่ดังกล่าวทั้งหมด
ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันสองประการ: ขวาน + โดย≤ ค, ขวาน + โดย≥ ค- ตรง ขวาน + โดย = คแบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่งเพื่อให้พิกัดของจุดหนึ่งในนั้นเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน ขวาน + โดย >คและความไม่เท่าเทียมกันอื่นๆ ขวาน + +โดย <ค.
จริงๆ เรามาจับประเด็นเรื่องการประสานงานกันดีกว่า x = x 0 ; แล้วมีจุดนอนอยู่บนเส้นและมีฝี x 0 มีลำดับ

ปล่อยให้มั่นใจ ก< 0, ข>0, ค>0. ทุกจุดมีแอบซิสซ่า x 0 นอนอยู่เหนือ ป(เช่น จุด ม), มี คุณเอ็ม>ย 0 และทุกจุดที่อยู่ต่ำกว่าจุด ป, กับแอบซิสซา x 0 มี ใช่<ย 0 . เนื่องจาก x 0 เป็นจุดใดก็ได้ โดยจะมีจุดอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นตรงเสมอ ขวาน+ โดย > คก่อตัวเป็นระนาบครึ่งและอีกด้านหนึ่ง - ชี้ไปที่ ขวาน + โดย< ค.

รูปที่ 1

เครื่องหมายอสมการในครึ่งระนาบขึ้นอยู่กับตัวเลข ก, ข , ค.
นี่แสดงถึงวิธีการต่อไปนี้สำหรับการแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นแบบกราฟิกในตัวแปรสองตัว ในการแก้ปัญหาระบบที่คุณต้องการ:

1. สำหรับอสมการแต่ละอย่าง ให้เขียนสมการที่สอดคล้องกับอสมการนี้
2. สร้างเส้นตรงที่เป็นกราฟของฟังก์ชันที่ระบุโดยสมการ
3. สำหรับแต่ละบรรทัด ให้กำหนดครึ่งระนาบซึ่งกำหนดโดยอสมการ ในการทำเช่นนี้ ให้ใช้จุดใดก็ได้ที่ไม่อยู่บนเส้นและแทนที่พิกัดของมันให้เป็นอสมการ ถ้าความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง แล้วครึ่งหนึ่งของระนาบที่มีจุดที่เลือกจะเป็นวิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม หากอสมการเป็นเท็จ แสดงว่าครึ่งระนาบที่อยู่อีกด้านหนึ่งของเส้นคือเซตของคำตอบสำหรับอสมการนี้
4. ในการแก้ปัญหาระบบอสมการนั้นจำเป็นต้องหาพื้นที่ตัดกันของระนาบครึ่งระนาบทั้งหมดซึ่งเป็นคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันแต่ละระบบ

พื้นที่นี้อาจกลายเป็นพื้นที่ว่างเปล่า จากนั้น ระบบความไม่เท่าเทียมก็ไม่มีวิธีแก้ปัญหาและไม่สอดคล้องกัน มิฉะนั้นจะบอกว่าระบบมีความสม่ำเสมอ
อาจมีคำตอบจำนวนจำกัดหรือจำนวนอนันต์ก็ได้ พื้นที่อาจเป็นรูปหลายเหลี่ยมปิดหรือไม่มีขอบเขตก็ได้

ลองดูตัวอย่างที่เกี่ยวข้องสามตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1 แก้ระบบแบบกราฟิก:
x + คุณ – 1 ≤ 0;
–2เอ็กซ์ – 2ย + 5 ≤ 0.

• พิจารณาสมการ x+y–1=0 และ –2x–2y+5=0 ที่สอดคล้องกับอสมการ
• มาสร้างเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการเหล่านี้กัน

รูปที่ 2

ให้เรานิยามระนาบครึ่งที่กำหนดโดยอสมการ ลองใช้จุดใดก็ได้, ให้ (0; 0) ลองพิจารณาดู x+ ย– 1 0 แทนจุด (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0 ซึ่งหมายความว่าในระนาบครึ่งระนาบที่จุด (0; 0) อยู่ x + ย – 1 ≤ 0 เช่น ระนาบครึ่งหนึ่งที่อยู่ต่ำกว่าเส้นคือวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันประการแรก แทนที่จุดนี้ (0; 0) ลงในวินาทีเราจะได้: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0 เช่น ในระนาบครึ่งระนาบซึ่งมีจุด (0; 0) อยู่ –2 x – 2ย+ 5≥ 0 และเราถูกถามว่าอยู่ที่ไหน –2 x – 2ยดังนั้น + 5 ≤ 0 ดังนั้นในอีกครึ่งระนาบ - ในระนาบที่อยู่เหนือเส้นตรง
ลองหาจุดตัดของระนาบครึ่งระนาบทั้งสองนี้กัน เส้นขนานกัน ดังนั้นระนาบจึงไม่ตัดกันที่ใดเลย ซึ่งหมายความว่าระบบของความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหาและไม่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกสำหรับระบบอสมการ:

รูปที่ 3
1. เขียนสมการที่สอดคล้องกับอสมการและสร้างเส้นตรง
x + 2ย– 2 = 0

x	2	0
ย	0	1

ย – x – 1 = 0

x	0	2
ย	1	3

ย + 2 = 0;
ย = –2.
2. เมื่อเลือกจุด (0; 0) เราจะกำหนดสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันในระนาบครึ่ง:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0 เช่น x + 2ย– 2 ≤ 0 ในระนาบครึ่งระนาบใต้เส้นตรง
0 – 0 – 1 ≤ 0 เช่น ย –x– 1 ≤ 0 ในระนาบครึ่งระนาบใต้เส้นตรง
0 + 2 =2 ≥ 0 เช่น ย+ 2 ≥ 0 ในระนาบครึ่งระนาบเหนือเส้นตรง
3. จุดตัดของระนาบครึ่งทั้งสามนี้จะเป็นพื้นที่ที่เป็นรูปสามเหลี่ยม การค้นหาจุดยอดของภูมิภาคเป็นจุดตัดของเส้นที่เกี่ยวข้องนั้นไม่ใช่เรื่องยาก


ดังนั้น, ก(–3; –2), ใน(0; 1), กับ(6; –2).

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งซึ่งไม่จำกัดโดเมนโซลูชันผลลัพธ์ของระบบ