รูปร่างของวงรีและระดับของความคล้ายคลึงกันของวงกลมนั้นมีลักษณะเป็นอัตราส่วน โดยที่ ค- ระยะทางจากจุดศูนย์กลางของวงรีถึงโฟกัส (ครึ่งหนึ่งของระยะอินเทอร์โฟโฟกัส) NS- กึ่งแกนเอก ปริมาณ อีเรียกว่าความเยื้องศูนย์กลางของวงรี ที่ ค= 0 และ อี= 0 วงรีจะกลายเป็นวงกลม

บทพิสูจน์กฎข้อที่หนึ่งของเคปเลอร์

กฎ ความโน้มถ่วงสากลนิวตันกล่าวว่า "ทุกวัตถุในจักรวาลดึงดูดวัตถุอื่น ๆ ทั้งหมดตามแนวเส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ ตามสัดส่วนมวลของแต่ละวัตถุ และเป็นสัดส่วนผกผันกับกำลังสองของระยะห่างระหว่างวัตถุ" นี่ถือว่าความเร่ง NSมีรูปแบบ

ในรูปแบบพิกัดเราเขียน

แทนค่าเป็นสมการที่สอง จะได้

ที่เข้าใจง่ายขึ้น

หลังจากบูรณาการเราเขียนนิพจน์

สำหรับค่าคงที่ซึ่งเป็นโมเมนตัมเชิงมุมจำเพาะ () Let

สมการการเคลื่อนที่ในทิศทางกลายเป็น

กฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันเชื่อมแรงต่อหน่วยมวลกับระยะทางเป็น

ที่ไหน NSเป็นค่าคงตัวโน้มถ่วงสากลและ NSคือมวลของดาว

ผลที่ตามมา

มัน สมการเชิงอนุพันธ์มีวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

สำหรับค่าคงที่ของการรวมตัวโดยพลการ อีและ θ 0

การเปลี่ยน ยูโดย 1 / NSและใส่ θ 0 = 0 เราจะได้:

เราได้สมการของส่วนรูปกรวยที่มีความเยื้องศูนย์ อีและที่มาของระบบพิกัด ณ จุดใดจุดหนึ่ง ดังนั้น กฎข้อที่หนึ่งของเคปเลอร์จึงเป็นไปตามกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันและกฎข้อที่สองของนิวตันโดยตรง

กฎข้อที่สองของเคปเลอร์ (กฎหมายพื้นที่)

กฎข้อที่สองของเคปเลอร์

ดาวเคราะห์แต่ละดวงเคลื่อนที่ในระนาบที่เคลื่อนผ่านจุดศูนย์กลางของดวงอาทิตย์ และเวกเตอร์รัศมีที่เชื่อมระหว่างดวงอาทิตย์กับดาวเคราะห์จะกวาดพื้นที่ส่วนเท่าๆ กันออกไป

เกี่ยวกับระบบสุริยะของเรา แนวคิดสองประการที่เกี่ยวข้องกับกฎหมายนี้: จุดใกล้จุดสิ้นสุดเป็นจุดโคจรใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด และ aphelion- จุดที่ไกลที่สุดของวงโคจร ดังนั้น จากกฎข้อที่สองของ Keppler ที่ว่าดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ไม่สม่ำเสมอ โดยมีความเร็วเชิงเส้นที่ดวงอาทิตย์ใกล้ดวงอาทิตย์มากกว่าที่จุดสิ้นสุด

ต้นเดือนมกราคมของทุกปี โลกที่เคลื่อนผ่านดวงอาทิตย์จะเคลื่อนที่เร็วขึ้น ดังนั้นการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ตามสุริยุปราคาทางทิศตะวันออกที่เห็นได้ชัดจึงเกิดขึ้นเร็วกว่าค่าเฉลี่ยสำหรับปีเช่นกัน ในช่วงต้นเดือนกรกฎาคม โลกที่ผ่าน aphelion จะเคลื่อนที่ช้ากว่า ดังนั้นการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ตามแนวสุริยุปราคาจึงช้าลง กฎของพื้นที่ระบุว่าแรงที่ควบคุมการเคลื่อนที่ของวงโคจรของดาวเคราะห์มุ่งตรงไปยังดวงอาทิตย์

บทพิสูจน์กฎข้อที่สองของเคปเลอร์

ตามคำจำกัดความ โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคจุดที่มีมวล NSและความเร็วเขียนอยู่ในรูป:

.

โดยที่เวกเตอร์รัศมีของอนุภาคอยู่ที่ไหนและเป็นโมเมนตัมของอนุภาค

A-priory

.

เป็นผลให้เรามี

.

แยกความแตกต่างทั้งสองข้างของสมการในเวลา

ตราบเท่าที่ ข้ามผลิตภัณฑ์เวกเตอร์คู่ขนานเป็นศูนย์ สังเกตว่า NSขนานกันเสมอ NSเนื่องจากแรงเป็นแนวรัศมี และ NSขนานกันเสมอ วี a-priory. ดังนั้นจึงสามารถโต้แย้งได้ว่าเป็นค่าคงที่

กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ (กฎฮาร์มอนิก)

กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์เรียกว่าลูกบาศก์ของกึ่งแกนเอกของวงโคจรของดาวเคราะห์

ที่ไหน NS 1 และ NS 2 - ช่วงเวลาของการปฏิวัติของดาวเคราะห์สองดวงรอบดวงอาทิตย์และ NS 1 และ NS 2 - ความยาวของกึ่งแกนหลักของวงโคจร

นิวตันพบว่าแรงดึงดูดของดาวเคราะห์มวลจำนวนหนึ่งขึ้นอยู่กับระยะห่างจากดาวเคราะห์ดวงนั้นเท่านั้น ไม่ได้ขึ้นกับคุณสมบัติอื่นๆ เช่น องค์ประกอบหรืออุณหภูมิ เขายังแสดงให้เห็นด้วยว่ากฎข้อที่สามของเคปเลอร์นั้นไม่ถูกต้องทั้งหมด - อันที่จริงมันยังรวมถึงมวลของดาวเคราะห์ด้วย: NSคือมวลของดวงอาทิตย์และ NS 1 และ NS 2 - มวลดาวเคราะห์

เนื่องจากการเคลื่อนที่และมวลมีความเกี่ยวข้องกัน การรวมกันของกฎฮาร์โมนิกของเคปเลอร์และกฎความโน้มถ่วงของนิวตันจึงถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดมวลของดาวเคราะห์และดาวเทียม หากทราบวงโคจรและคาบการโคจรของพวกมัน

บทพิสูจน์กฎข้อที่สามของเคปเลอร์

กฎข้อที่สองของเคปเลอร์ระบุว่าเวกเตอร์รัศมีของวัตถุที่หมุนรอบตัวจะกวาดพื้นที่เท่ากันในช่วงเวลาเท่ากัน หากตอนนี้เราใช้เวลาช่วงสั้นๆ ในขณะที่ดาวเคราะห์อยู่ที่จุดต่างๆ NSและ NS(perihelion และ aphelion) จากนั้นเราจะสามารถประมาณพื้นที่ด้วยรูปสามเหลี่ยมที่มีความสูงเท่ากับระยะห่างจากดาวเคราะห์ถึงดวงอาทิตย์และฐานเท่ากับผลคูณของความเร็วและเวลาของดาวเคราะห์

การใช้กฎการอนุรักษ์พลังงานสำหรับพลังงานทั้งหมดของโลกเป็นคะแนน NSและ NS, พวกเราเขียน

ตอนนี้ที่เราได้พบ วี NSเราสามารถหาความเร็วเซกเตอร์ได้ เนื่องจากเป็นค่าคงที่ เราจึงสามารถเลือกจุดใดๆ ของวงรีได้ เช่น สำหรับจุด NSรับ

อย่างไรก็ตาม พื้นที่ทั้งหมดของวงรีคือ (ซึ่งเท่ากับ π NSNS, ตราบเท่าที่ ). เวลาแห่งการปฏิวัติที่สมบูรณ์ก็เป็นเช่นนั้น

สังเกตว่าถ้ามวล NSไม่สำคัญเมื่อเทียบกับ NSแล้วดาวเคราะห์จะโคจรรอบดวงอาทิตย์ด้วยความเร็วเท่ากันและอยู่ในวงโคจรเดียวกับจุดวัตถุที่โคจรรอบมวล NS + NS(ซม.

“เขาอยู่ในยุคที่ยังไม่มีความแน่นอนของการมีอยู่ของบางอย่าง แบบทั่วไปสำหรับปรากฏการณ์ทางธรรมชาติทั้งหมด ...

เขามีศรัทธาอย่างลึกซึ้งในรูปแบบดังกล่าวหากทำงานคนเดียวไม่มีใครสนับสนุนและเข้าใจเขาเป็นเวลาหลายทศวรรษที่เขาดึงพลังจากมันมาเพื่อความยากลำบากและอุตสาหะ การวิจัยเชิงประจักษ์การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์และกฎทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่นี้!

วันนี้เมื่อการกระทำทางวิทยาศาสตร์นี้เกิดขึ้นแล้ว ไม่มีใครสามารถชื่นชมความเฉลียวฉลาดได้อย่างเต็มที่ ทำงานหนักและอดทนเพียงใดเพื่อค้นหากฎเหล่านี้และแสดงออกอย่างแม่นยำ” (Albert Einstein บน Kepler)

Johannes Kepler เป็นคนแรกที่ค้นพบกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ ระบบสุริยะ. แต่เขาทำสิ่งนี้โดยอาศัยการวิเคราะห์การสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์โดย Tycho Brahe ดังนั้นเรามาพูดถึงเรื่องนี้กันก่อน

ไทโค บราเฮ (1546-1601)

ไทโค บราเฮ -นักดาราศาสตร์ นักโหราศาสตร์ และนักเล่นแร่แปรธาตุชาวเดนมาร์กแห่งยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา เขาเป็นคนแรกในยุโรปที่เริ่มดำเนินการสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์อย่างเป็นระบบและมีความแม่นยำสูง โดยอาศัยหลักการที่เคปเลอร์ได้รับกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์

เขาเริ่มสนใจดาราศาสตร์ตั้งแต่ยังเป็นเด็ก ทำการสังเกตการณ์อย่างอิสระ สร้างเครื่องมือทางดาราศาสตร์บางอย่าง ครั้งหนึ่ง (11 พฤศจิกายน ค.ศ. 1572) กลับบ้านจากห้องทดลองเคมี เขาสังเกตเห็นกลุ่มดาวแคสสิโอเปียอย่างผิดปกติ ดวงดาวที่สดใสที่ไม่เคยมีมาก่อน เขารู้ทันทีว่านี่ไม่ใช่ดาวเคราะห์ และรีบไปวัดพิกัดของมัน ดาวส่องแสงอยู่บนท้องฟ้าอีก 17 เดือน; ตอนแรกมองเห็นได้แม้ในเวลากลางวัน แต่ความแวววาวของมันค่อยๆ จางลง นี่เป็นการระเบิดซุปเปอร์โนวาครั้งแรกในกาแลคซีของเราในรอบ 500 ปี เหตุการณ์นี้ทำให้คนทั้งยุโรปตื่นเต้น มีการตีความ "เครื่องหมายสวรรค์" มากมาย - พวกเขาทำนายภัยพิบัติ สงคราม โรคระบาด และแม้แต่จุดจบของโลก บทความทางวิทยาศาสตร์ยังปรากฏว่ามีข้อความที่ผิดพลาดว่าเป็นดาวหางหรือ ปรากฏการณ์บรรยากาศ... ในปี ค.ศ. 1573 หนังสือเล่มแรกของเขาเรื่อง On a New Star ได้รับการตีพิมพ์ ในนั้น Brahe รายงานว่าไม่พบพารัลแลกซ์ (การเปลี่ยนแปลงในตำแหน่งที่ชัดเจนของวัตถุที่สัมพันธ์กับพื้นหลังที่ห่างไกล ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของผู้สังเกต) ในวัตถุนี้ และสิ่งนี้พิสูจน์ได้อย่างน่าเชื่อถือว่าดาวดวงใหม่เป็นดาวฤกษ์ และไม่ได้อยู่ใกล้โลก แต่อย่างน้อยก็อยู่ห่างจากดาวเคราะห์ ด้วยการปรากฏตัวของหนังสือเล่มนี้ Tycho Brahe ได้รับการยอมรับว่าเป็นนักดาราศาสตร์คนแรกในเดนมาร์ก ในปี ค.ศ. 1576 โดยพระราชกฤษฎีกาของกษัตริย์เดนมาร์ก - นอร์เวย์เฟรเดอริกที่ 2 Tycho Brahe ได้รับเกาะ Ven ( ฮเวน) ซึ่งอยู่ห่างจากโคเปนเฮเกน 20 กม. และมีการจัดสรรเงินจำนวนมากสำหรับการก่อสร้างหอดูดาวและการบำรุงรักษา เป็นอาคารหลังแรกในยุโรปที่สร้างขึ้นเป็นพิเศษสำหรับการสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์ Tycho Brahe ตั้งชื่อหอดูดาวของเขาว่า "Uraniborg" เพื่อเป็นเกียรติแก่ท่วงทำนองของดาราศาสตร์ Urania (บางครั้งชื่อนี้แปลว่า "Sky Castle") ตัวอาคารได้รับการออกแบบโดย Tycho Brahe เอง ในปี ค.ศ. 1584 มีการสร้างหอสังเกตการณ์ปราสาทอีกแห่งใกล้ Uraniborg: Stjerneborg (แปลจากภาษาเดนมาร์กว่า "Star Castle") ในไม่ช้า Uraniborg ก็กลายเป็นศูนย์กลางทางดาราศาสตร์ที่ดีที่สุดในโลก ผสมผสานการสังเกต การฝึกอบรมนักเรียน และการตีพิมพ์เอกสารทางวิทยาศาสตร์ แต่ต่อมาเกี่ยวเนื่องกับการเปลี่ยนแปลงของกษัตริย์ Tycho Brahe สูญเสียการสนับสนุนทางการเงิน จากนั้นการห้ามศึกษาดาราศาสตร์และการเล่นแร่แปรธาตุบนเกาะก็ตามมา นักดาราศาสตร์ออกจากเดนมาร์กและพักอยู่ที่กรุงปราก

ในไม่ช้า Uraniborg และสิ่งปลูกสร้างทั้งหมดที่เกี่ยวข้องก็ถูกทำลายอย่างสมบูรณ์ (ในสมัยของเราพวกเขาได้รับการบูรณะบางส่วน)

ในช่วงเวลาตึงเครียดนี้ Brahe ได้ข้อสรุปว่าเขาต้องการผู้ช่วยนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ที่มีพรสวรรค์ในการประมวลผลข้อมูลที่สะสมมากว่า 20 ปี เมื่อได้เรียนรู้เกี่ยวกับการกดขี่ข่มเหงของ Johannes Kepler ซึ่งเขามีความสามารถทางคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นซึ่งเขาชื่นชมจากการติดต่อสื่อสารของพวกเขาแล้ว Tycho เชิญเขาไปที่ตำแหน่งของเขา นักวิทยาศาสตร์มีหน้าที่: อนุมานจากการสังเกต ระบบใหม่โลกซึ่งควรแทนที่ทั้งปโตเลมีและโคเปอร์นิกัน เขามอบหมายให้เคปเลอร์กับดาวดวงสำคัญ: ดาวอังคารซึ่งการเคลื่อนไหวอย่างเด็ดขาดไม่พอดีกับแผนของปโตเลมีเท่านั้น แต่ยังอยู่ในแบบจำลองของบราเฮด้วย (ตามการคำนวณของเขา โคจรของดาวอังคารและดวงอาทิตย์ข้าม)

ในปี ค.ศ. 1601 Tycho Brahe และ Kepler เริ่มทำงานกับโต๊ะดาราศาสตร์แบบใหม่ที่ได้รับการขัดเกลาซึ่งได้รับการตั้งชื่อว่า "รูดอล์ฟ" เพื่อเป็นเกียรติแก่จักรพรรดิ สร้างเสร็จในปี ค.ศ. 1627 และรับใช้นักดาราศาสตร์และกะลาสีจนถึง ต้นXIXศตวรรษ. แต่ Tycho Brahe ทำได้เพียงตั้งชื่อตารางเท่านั้น ในเดือนตุลาคม เขาล้มป่วยและเสียชีวิตโดยไม่ทราบสาเหตุ

หลังจากศึกษาข้อมูลของ Tycho Brahe อย่างรอบคอบแล้ว Kepler ได้ค้นพบกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์

กฎการเคลื่อนที่ของเคปเลอร์

ในขั้นต้น เคปเลอร์วางแผนที่จะเป็นนักบวชโปรเตสแตนต์ แต่ต้องขอบคุณความสามารถทางคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นของเขา เขาได้รับเชิญในปี ค.ศ. 1594 ให้บรรยายวิชาคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยกราซ (ปัจจุบันคือออสเตรีย) เคปเลอร์ใช้เวลา 6 ปีในกราซ ที่นี่ในปี 1596 หนังสือเล่มแรกของเขา The Mystery of the World ได้รับการตีพิมพ์ ในนั้นเคปเลอร์พยายามค้นหาความลับของความสามัคคีของจักรวาลซึ่งเขาเปรียบเทียบวงโคจรของดาวเคราะห์ทั้งห้าที่รู้จัก (เขาแยกทรงกลมของโลก) "ร่างพลาโตนิก" ต่างๆ (รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ) เขานำเสนอวงโคจรของดาวเสาร์เป็นวงกลม (ยังไม่เป็นวงรี) บนพื้นผิวของลูกบอล ซึ่งอธิบายไว้รอบๆ ลูกบาศก์ ในทางกลับกัน ลูกบอลถูกจารึกไว้ในลูกบาศก์ซึ่งควรจะเป็นตัวแทนของวงโคจรของดาวพฤหัสบดี ในลูกบอลนี้ถูกจารึกเป็นรูปจัตุรมุขซึ่งอธิบายไว้รอบ ๆ ลูกบอลที่แสดงถึงวงโคจรของดาวอังคาร ฯลฯ งานนี้หลังจากการค้นพบเคปเลอร์เพิ่มเติมได้สูญเสียความหมายเดิม (ถ้าเพียงเพราะวงโคจรของดาวเคราะห์ไม่ใช่วงกลม); อย่างไรก็ตาม เคปเลอร์เชื่อในการปรากฏตัวของความกลมกลืนทางคณิตศาสตร์ที่ซ่อนอยู่ในจักรวาลจนกระทั่งสิ้นสุดชีวิตของเขา และในปี ค.ศ. 1621 เขาได้ตีพิมพ์ The Secret of the World ซ้ำ โดยทำการเปลี่ยนแปลงและเพิ่มเติมอีกมากมาย

ด้วยการเป็นผู้สังเกตการณ์ที่ยอดเยี่ยม Tycho Brahe ได้รวบรวมงานจำนวนมากมาเป็นเวลาหลายปีในการสังเกตการณ์ดาวเคราะห์และดาวฤกษ์หลายร้อยดวง และความแม่นยำในการวัดของเขานั้นสูงกว่ารุ่นก่อนๆ ทั้งหมดอย่างมีนัยสำคัญ เพื่อปรับปรุงความแม่นยำ Brahe ใช้ทั้งการปรับปรุงทางเทคนิคและเทคนิคพิเศษในการขจัดข้อผิดพลาดจากการสังเกต การวัดอย่างเป็นระบบมีค่าอย่างยิ่ง

เป็นเวลาหลายปีที่ Kepler ศึกษาข้อมูลของ Brahe อย่างถี่ถ้วนและจากการวิเคราะห์อย่างรอบคอบก็ได้ข้อสรุปว่า วิถีโคจรของดาวอังคารไม่ใช่วงกลม แต่เป็นวงรี หนึ่งในจุดโฟกัสคือดวงอาทิตย์ ซึ่งเป็นตำแหน่งที่รู้จักกันในปัจจุบันว่า กฎข้อที่หนึ่งของเคปเลอร์.

กฎข้อที่หนึ่งของเคปเลอร์ (กฎวงรี)

ดาวเคราะห์แต่ละดวงในระบบสุริยะโคจรรอบวงรี หนึ่งในจุดสนใจคือดวงอาทิตย์

รูปร่างของวงรีและระดับของความคล้ายคลึงกันของวงกลมนั้นถูกกำหนดโดยอัตราส่วน โดยที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของวงรีถึงโฟกัส (ครึ่งหนึ่งของระยะอินเตอร์โฟคอล) คือครึ่งแกนหลัก ค่านี้เรียกว่าความเยื้องศูนย์กลางของวงรี เมื่อใดและดังนั้น วงรีจึงกลายเป็นวงกลม

การวิเคราะห์เพิ่มเติมนำไปสู่กฎข้อที่สอง เวกเตอร์รัศมีที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ใน เวลาเท่ากันอธิบายพื้นที่ที่เท่าเทียมกัน ซึ่งหมายความว่ายิ่งดาวเคราะห์ดวงหนึ่งอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์มากเท่าไหร่ก็ยิ่งเคลื่อนที่ช้าลงเท่านั้น

กฎข้อที่สองของเคปเลอร์ (กฎหมายพื้นที่)

ดาวเคราะห์แต่ละดวงเคลื่อนที่ในระนาบที่เคลื่อนผ่านศูนย์กลางของดวงอาทิตย์ และเวกเตอร์รัศมีที่เชื่อมระหว่างดวงอาทิตย์กับดาวเคราะห์ในช่วงเวลาเท่ากันนั้นอธิบายพื้นที่เท่ากัน

มีสองแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับกฎหมายนี้: จุดใกล้จุดสิ้นสุดเป็นจุดโคจรใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด และ aphelion- จุดที่ไกลที่สุดของวงโคจร ดังนั้น จากกฎข้อที่สองของเคปเลอร์จึงเป็นไปตามที่ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ไม่สม่ำเสมอ โดยมีความเร็วเชิงเส้นที่ดวงอาทิตย์ใกล้ดวงอาทิตย์มากกว่าที่จุดสิ้นสุด

ต้นเดือนมกราคมของทุกปี โลกที่เคลื่อนผ่านดวงอาทิตย์จะเคลื่อนที่เร็วขึ้น ดังนั้นการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ตามสุริยุปราคาทางทิศตะวันออกที่เห็นได้ชัดจึงเกิดขึ้นเร็วกว่าค่าเฉลี่ยสำหรับปีเช่นกัน ในช่วงต้นเดือนกรกฎาคม โลกที่ผ่าน aphelion จะเคลื่อนที่ช้ากว่า ดังนั้นการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ตามแนวสุริยุปราคาจึงช้าลง กฎของพื้นที่ระบุว่าแรงที่ควบคุมการเคลื่อนที่ของวงโคจรของดาวเคราะห์มุ่งตรงไปยังดวงอาทิตย์

กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ (กฎฮาร์โมนิก)

กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์เรียกว่าลูกบาศก์ของกึ่งแกนเอกของวงโคจรของดาวเคราะห์ นี่เป็นความจริงไม่เพียง แต่สำหรับดาวเคราะห์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงดาวเทียมด้วย

ที่ไหนและเป็นช่วงเวลาของการปฏิวัติของดาวเคราะห์สองดวงรอบดวงอาทิตย์และเป็นความยาวของกึ่งแกนเอกของวงโคจรของพวกมัน

นิวตันพบว่ากฎข้อที่สามของเคปเลอร์ไม่ถูกต้องทั้งหมด แต่ยังรวมถึงมวลของดาวเคราะห์ด้วย: มวลของดวงอาทิตย์อยู่ที่ไหน และมวลของดาวเคราะห์อยู่ที่ไหน

เนื่องจากการเคลื่อนที่และมวลมีความเกี่ยวข้องกัน การรวมกันของกฎฮาร์โมนิกของเคปเลอร์และกฎความโน้มถ่วงของนิวตันจึงถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดมวลของดาวเคราะห์และดาวเทียม หากทราบวงโคจรและคาบการโคจรของพวกมัน

ความสำคัญของการค้นพบของเคปเลอร์ในด้านดาราศาสตร์

ค้นพบโดย Kepler กฎสามข้อของการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์อธิบายความไม่สม่ำเสมอที่ชัดเจนของการเคลื่อนไหวเหล่านี้อย่างเต็มที่และถูกต้อง แทนที่จะใช้ epicycles ที่ประดิษฐ์ขึ้นจำนวนมาก แบบจำลองของ Kepler มีเส้นโค้งเพียงเส้นเดียว - วงรี กฎข้อที่สองกำหนดว่าความเร็วของดาวเคราะห์เปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเคลื่อนที่ออกไปหรือเข้าใกล้ดวงอาทิตย์ และกฎข้อที่สามช่วยให้คุณสามารถคำนวณความเร็วนี้และระยะเวลาของการปฏิวัติรอบดวงอาทิตย์ได้

แม้ว่าในอดีตระบบ Keplerian ของโลกจะใช้แบบจำลอง Copernican แต่ในความเป็นจริงพวกมันมีความเหมือนกันเพียงเล็กน้อยเท่านั้น (มีเพียงการหมุนรอบโลกในแต่ละวันเท่านั้น) การเคลื่อนที่เป็นวงกลมของทรงกลมที่ถือดาวเคราะห์หายไป แนวความคิดของการโคจรของดาวเคราะห์ก็ปรากฏขึ้น ในระบบ Copernican โลกยังคงครอบครองตำแหน่งที่ค่อนข้างพิเศษ เนื่องจากมีเพียงมันเท่านั้นที่ไม่มีอีปิกไซเคิล โลกของเคปเลอร์เป็นดาวเคราะห์ธรรมดา การเคลื่อนที่อยู่ภายใต้กฎทั่วไปสามข้อ วงโคจรทั้งหมด เทห์ฟากฟ้า- วงรี จุดสนใจร่วมของวงโคจรคือดวงอาทิตย์

เคปเลอร์ยังได้รับ "สมการเคปเลอร์" ที่ใช้ในดาราศาสตร์เพื่อกำหนดตำแหน่งของเทห์ฟากฟ้า

กฎของเคปเลอร์ใช้นิวตันในภายหลัง พื้นฐานสำหรับการสร้างทฤษฎีความโน้มถ่วง นิวตันพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ว่ากฎของเคปเลอร์ทั้งหมดเป็นผลมาจากกฎความโน้มถ่วง

แต่เคปเลอร์ไม่เชื่อในความไม่มีที่สิ้นสุดของจักรวาลและเสนอเป็นข้อโต้แย้ง ความขัดแย้งทางแสง(ชื่อนี้เกิดขึ้นภายหลัง): หากจำนวนดาวไม่มีที่สิ้นสุด เมื่อนั้นการจ้องมองก็จะสะดุดกับดาวดวงหนึ่ง และไม่มีพื้นที่มืดบนท้องฟ้าในทุกทิศทาง เคปเลอร์เช่นเดียวกับพีทาโกรัสถือว่าโลกนี้เป็นการตระหนักรู้ถึงความกลมกลืนเชิงตัวเลขบางอย่าง ทั้งทางเรขาคณิตและทางดนตรี การเปิดเผยโครงสร้างของความสามัคคีนี้จะให้คำตอบสำหรับคำถามที่ลึกที่สุด

ความสำเร็จอื่นๆ ของเคปเลอร์

ในวิชาคณิตศาสตร์เขาพบวิธีที่จะกำหนดปริมาตรของวัตถุแห่งการปฏิวัติต่างๆ เสนอองค์ประกอบแรกของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ วิเคราะห์รายละเอียดสมมาตรของเกล็ดหิมะ ผลงานของเคปเลอร์ในด้านสมมาตรซึ่งพบในภายหลังในทฤษฎีผลึกศาสตร์และการเข้ารหัส เขารวบรวมหนึ่งในตารางแรกของลอการิทึมซึ่งเป็นครั้งแรกที่แนะนำแนวคิดที่สำคัญที่สุด จุดที่ห่างไกลอย่างไม่มีที่สิ้นสุดแนะนำแนวคิด จุดเน้นของส่วนทรงกรวยและที่พิจารณา การแปลงโปรเจ็กต์ของส่วนรูปกรวยรวมถึงส่วนที่เปลี่ยนประเภท

ในวิชาฟิสิกส์บัญญัติศัพท์ความเฉื่อยเป็นคุณสมบัติโดยกำเนิดของร่างกายที่จะต่อต้านการนำไปใช้ แรงภายนอกเข้าใกล้การค้นพบกฎความโน้มถ่วง ถึงแม้ว่าเขาจะไม่ได้พยายามอธิบายมันทางคณิตศาสตร์ อย่างแรก ซึ่งเร็วกว่านิวตันเกือบร้อยปีได้เสนอสมมติฐานว่าสาเหตุของกระแสน้ำคืออิทธิพลของดวงจันทร์ ชั้นบนของมหาสมุทร

ในเลนส์: ทัศนศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์เริ่มต้นด้วยผลงานของเขา อธิบายการหักเหของแสง การหักเห และแนวคิด ภาพแสงทฤษฎีทั่วไปของเลนส์และระบบของเลนส์ เคปเลอร์ค้นพบบทบาทของเลนส์อธิบายสาเหตุของสายตาสั้นและสายตายาวอย่างถูกต้อง

ถึง โหราศาสตร์เคปเลอร์มีทัศนคติที่คลุมเครือ มีถ้อยแถลงของเขาสองเรื่องเกี่ยวกับเรื่องนี้ อันดับแรก: " แน่นอน โหราศาสตร์นี้เป็นลูกสาวที่โง่เขลา แต่พระเจ้า แม่ของเธอนักดาราศาสตร์ที่ฉลาดมากจะไปไหน ถ้าเธอไม่มีลูกสาวที่โง่เขลา! ท้ายที่สุด โลกนี้ช่างโง่เขลาและโง่เขลามากเสียจนเพื่อประโยชน์ของแม่แก่ที่ฉลาดคนนี้ ลูกสาวที่โง่เขลาจึงต้องพูดและโกหก และเงินเดือนของนักคณิตศาสตร์ก็น้อยมากจนแม่อาจจะอดตายถ้าลูกสาวไม่ได้รับอะไรเลย". และอย่างที่สอง: " คนคิดผิดว่าจาก ร่างกายสวรรค์กิจการทางโลกขึ้นอยู่กับ". แต่อย่างไรก็ตาม Kepler ได้ทำนายดวงชะตาสำหรับตัวเขาเองและคนที่เขารัก

กฎการเคลื่อนที่สามข้อของดาวเคราะห์ที่สัมพันธ์กับดวงอาทิตย์ถูกอนุมานโดยนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมัน Johannes Kepler เมื่อต้นศตวรรษที่ 17 สิ่งนี้เกิดขึ้นได้ด้วยการสังเกตการณ์เป็นเวลาหลายปีโดย Tycho Brahe นักดาราศาสตร์ชาวเดนมาร์ก

กฎข้อที่หนึ่งของเคปเลอร์ ดาวเคราะห์แต่ละดวงเคลื่อนที่ไปตามวงรี จุดโฟกัสจุดใดจุดหนึ่งคือดวงอาทิตย์

กฎข้อที่สองของเคปเลอร์ (กฎของพื้นที่เท่ากัน) เวกเตอร์รัศมีของดาวเคราะห์ในช่วงเวลาเท่ากัน อธิบายพื้นที่เท่ากัน กฎข้อนี้อีกประการหนึ่ง: ความเร็วเซกเตอร์ของดาวเคราะห์นั้นคงที่

กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์เป็นสัดส่วนกับลูกบาศก์ของกึ่งแกนเอกของวงโคจรวงรีของพวกมัน

สูตรสมัยใหม่ของกฎข้อแรกได้รับการเสริมดังนี้: ในการเคลื่อนไหวที่ไม่รบกวน วงโคจรของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่จะเป็นเส้นโค้งของลำดับที่สอง - วงรี พาราโบลาหรือไฮเปอร์โบลา กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ไม่เหมือนกับสองข้อแรกที่ใช้กับวงโคจรวงรีเท่านั้น ความเร็วของดาวเคราะห์ใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด:

โดยที่ vc คือความเร็วเฉลี่ยหรือความเร็ววงกลมของดาวเคราะห์ที่ r = a ความเร็วของการเคลื่อนที่ใน aphelion: Kepler ค้นพบกฎของเขาโดยสังเกตุ นิวตันได้กฎของเคปเลอร์มาจากกฎความโน้มถ่วงสากล เพื่อกำหนดมวลของเทห์ฟากฟ้า จำเป็นมีการสรุปกฎข้อที่สามของเคปเลอร์ของนิวตันต่อระบบวัตถุหมุนเวียนใดๆ

กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ ความเร็วของดาวเคราะห์ที่อยู่ใกล้ดวงอาทิตย์นั้นสูงกว่าความเร็วของดาวเคราะห์ที่อยู่ห่างไกลมาก คำอธิบายสำหรับตัวเลขทางด้านขวา - ความเร็วของดาวเคราะห์ใกล้กับดวงอาทิตย์นั้นสูงกว่าความเร็วของดาวเคราะห์ที่อยู่ห่างไกลมาก โดยทั่วไป กฎข้อนี้มักจะกำหนดไว้ดังนี้ กำลังสองของคาบ T1 และ T2 ของการปฏิวัติของวัตถุสองชิ้นรอบดวงอาทิตย์ คูณด้วยผลรวมของมวลของแต่ละวัตถุ (M1 และ M2 ตามลำดับ) และดวงอาทิตย์ (M) สัมพันธ์กันในฐานะลูกบาศก์ของครึ่งแกนหลัก a1 และ a2 ของวงโคจร: สิ่งนี้ไม่คำนึงถึงปฏิสัมพันธ์ระหว่างวัตถุ M1 และ M2 หากเราละเลยมวลของวัตถุเหล่านี้เมื่อเปรียบเทียบกับมวลของดวงอาทิตย์ (เช่น M1<< М, M2 << М), то получится формулировка третьего закона, данная самим Кеплером:

กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ยังสามารถแสดงเป็นความสัมพันธ์ระหว่างคาบการโคจร T ของร่างกายที่มีมวล M และกึ่งแกนเอกของวงโคจร a (G คือค่าคงตัวโน้มถ่วง):

ข้อสังเกตต่อไปนี้ควรจะทำที่นี่ เพื่อความง่าย มักกล่าวกันว่าร่างหนึ่งหมุนรอบอีกวัตถุหนึ่ง แต่นี่เป็นความจริงเฉพาะในกรณีที่มวลของวัตถุที่หนึ่งไม่สำคัญเมื่อเปรียบเทียบกับมวลของวัตถุที่สอง (ศูนย์กลางการดึงดูด) หากมวลเปรียบเทียบกันได้ ก็ควรคำนึงถึงอิทธิพลของวัตถุที่มีมวลน้อยกว่าที่มีต่อมวลที่ใหญ่กว่าด้วย ในระบบพิกัดที่มีจุดกำเนิดที่จุดศูนย์กลางมวล โคจรของวัตถุทั้งสองจะเป็นส่วนรูปกรวยที่วางอยู่ในระนาบเดียวกันและมีจุดโฟกัสที่จุดศูนย์กลางมวล โดยมีความเยื้องศูนย์เท่ากัน ความแตกต่างจะอยู่ในมิติเชิงเส้นของวงโคจรเท่านั้น (หากวัตถุมีมวลต่างกัน) ในช่วงเวลาใดๆ จุดศูนย์กลางมวลจะอยู่บนเส้นตรงที่เชื่อมจุดศูนย์กลางของวัตถุ และระยะห่างจากจุดศูนย์กลางมวล r1 และ r2 ของวัตถุที่มีมวล M1 และ M2 ตามลำดับ มีความสัมพันธ์กันโดยอัตราส่วนต่อไปนี้: r1 / r2 = M2 / M1 เส้นรอบวงและศูนย์กลางของวงโคจร (ถ้าการเคลื่อนไหวมีขอบเขตจำกัด) ของร่างกายก็จะผ่านไปพร้อมกัน กฎข้อที่สามของเคปเลอร์สามารถใช้กำหนดมวลของดาวคู่ได้

วงรีถูกกำหนดให้เป็นโลคัสของจุดที่ผลรวมของระยะทางจากจุดที่กำหนดสองจุด (foci F1 และ F2) เป็นค่าคงที่เท่ากับความยาวของแกนหลัก: r1 + r2 = | AA´ | = 2ก. ระดับการยืดตัวของวงรีมีลักษณะความเยื้องศูนย์กลาง e. ความเยื้องศูนย์กลาง e = ОF / OA เมื่อโฟกัสตรงกับจุดศูนย์กลาง e = 0 และวงรีจะกลายเป็นวงกลม กึ่งแกนเอก a คือระยะทางเฉลี่ยจากจุดโฟกัส (ของดาวเคราะห์จากดวงอาทิตย์): a = (AF1 + F1A ") / 2 เนื่องจากพลังงานทั้งหมดเป็นลบเมื่อเคลื่อนที่ไปตามวงรี แกนกึ่งเอก มากกว่าศูนย์ ความยาวของแกนกึ่งรอง b ขึ้นกับความเร็วเซกเตอร์ของวัตถุ ( คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่ที่ถูกกวาดโดยเวกเตอร์รัศมี) วงโคจรเป็นวงกลมคือกรณีของวงรีที่เสื่อมลง เขียนเป็นวินาทีของนิวตัน กฎหมาย เราได้รับว่าพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของร่างกายในวงโคจรวงกลมมีความสัมพันธ์กันโดยอัตราส่วน: 2K = –U การใช้กฎการอนุรักษ์พลังงานนั้นง่ายที่จะได้รับ K = –E ดังนั้นใน การเคลื่อนที่เป็นวงกลม ผลรวมของพลังงานทั้งหมดและพลังงานจลน์จะเป็นศูนย์เสมอ องค์ประกอบของวงโคจร แสดงถึงรูปร่าง ขนาด และทิศทางในอวกาศของวงโคจรของวัตถุท้องฟ้า เช่นเดียวกับตำแหน่งของร่างกายในวงโคจรนี้ องค์ประกอบของ Osculatory คือ ใช้กันอย่างแพร่หลายเพื่ออธิบายตำแหน่งของดาวเคราะห์หรือดาวเทียม

จุดและเส้นที่สำคัญที่สุดของวงรี

วงรีถูกกำหนดให้เป็นโลคัสของจุดที่ผลรวมของระยะทางจากจุดที่กำหนดสองจุด (foci F1 และ F2) เป็นค่าคงที่เท่ากับความยาวของแกนหลัก: r1 + r2 = | AA´ | = 2ก. ระดับการยืดตัวของวงรีมีลักษณะความเยื้องศูนย์กลาง e. ความเยื้องศูนย์กลาง e = ОF / OA เมื่อโฟกัสตรงกับจุดศูนย์กลาง e = 0 และวงรีจะกลายเป็นวงกลม กึ่งแกนเอก a คือระยะเฉลี่ยจากจุดโฟกัส (ของดาวเคราะห์จากดวงอาทิตย์): a = (AF1 + F1A ") / 2 ซึ่งสัมพันธ์กับพลังงานกลของร่างกายดังนี้

เนื่องจากพลังงานทั้งหมดเป็นลบเมื่อเคลื่อนที่ไปตามวงรี แกนกึ่งเอกจะมากกว่าศูนย์ ความยาวของครึ่งแกนรอง b ขึ้นอยู่กับความเร็วของเซกเตอร์ของวัตถุ (กล่าวคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่ที่ถูกกวาดโดยเวกเตอร์รัศมี): วงโคจรเป็นวงกลมเป็นกรณีของวงรีที่เสื่อมโทรม จากการเขียนกฎข้อที่สองของนิวตัน เราพบว่าพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของวัตถุในวงโคจรเป็นวงกลมสัมพันธ์กันด้วยอัตราส่วน: 2K = –U เมื่อนำกฎการอนุรักษ์พลังงานมาประยุกต์ใช้ จะพบว่า K = –E ที่. ในการเคลื่อนที่แบบวงกลม ผลรวมของพลังงานทั้งหมดและพลังงานจลน์จะเป็นศูนย์เสมอ องค์ประกอบของวงโคจรแสดงถึงรูปร่าง ขนาด และการวางแนวในอวกาศของวงโคจรของเทห์ฟากฟ้า เช่นเดียวกับตำแหน่งของร่างกายในวงโคจรนี้ ในปัจจุบัน มีการใช้องค์ประกอบการสั่นเพื่ออธิบายตำแหน่งของดาวเคราะห์หรือดาวเทียมอย่างกว้างขวาง จุดโคจรของร่างกายใกล้กับจุดดึงดูดที่สุด (จุดโฟกัส) โดยทั่วไปเรียกว่าจุดศูนย์กลาง และจุดที่ไกลที่สุด (เฉพาะที่วงรี) เรียกว่าจุดศูนย์กลาง ถ้าโลกเป็นศูนย์กลางของแรงดึงดูด จุดเหล่านี้จะเรียกว่าเพอริจีและจุดสุดยอดตามลำดับ จุดที่ใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดเรียกว่าดวงอาทิตย์ใกล้ดวงอาทิตย์ จุดที่ไกลที่สุดคือเอเฟลีออน สำหรับดวงจันทร์ จุดเหล่านี้จะเป็น perilune (perilune) และ apolunium (aposet) สำหรับดาวโดยพลการ - periastron และ apoastron เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างเพอริแอซิสกับจุดโฟกัส (แกนหลักของวงรี แกนของพาราโบลา หรือแกนจริงของไฮเพอร์โบลา) เรียกว่าเส้นของแอปส์ ระยะทางจากจุดศูนย์กลางดึงดูดไปยังศูนย์กลางคือ AF1 = a (1 - e) ถึงศูนย์กลางจุดศูนย์กลาง - F1A "= a (1 + e) ​​ระยะทางเฉลี่ยจากจุดศูนย์กลางดึงดูดไปยังวัตถุที่เคลื่อนที่ไปรอบ ๆ เป็นวงรีคือ เท่ากับความยาวของกึ่งแกนเอก

ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ในวงโคจรเป็นวงรียาว โดยดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสจุดใดจุดหนึ่งจากสองจุดของวงรี

ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดวงอาทิตย์กับดาวเคราะห์จะตัดพื้นที่เท่ากันในช่วงเวลาเท่ากัน

กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์เรียกว่าลูกบาศก์ของกึ่งแกนเอกของวงโคจร

Johannes Kepler มีความรู้สึกงดงาม ตลอดชีวิตในวัยผู้ใหญ่ของเขา เขาพยายามพิสูจน์ว่าระบบสุริยะเป็นงานศิลปะลึกลับชนิดหนึ่ง ตอนแรกเขาพยายามจับคู่อุปกรณ์ของเธอกับห้าเครื่อง รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเรขาคณิตกรีกโบราณคลาสสิก (รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปสามมิติ ใบหน้าทุกหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากัน) ในช่วงเวลาของเคปเลอร์ ดาวเคราะห์หกดวงเป็นที่รู้จัก ซึ่งควรจะวางไว้บน "คริสตัลทรงกลม" ที่หมุนได้ เคปเลอร์แย้งว่าทรงกลมเหล่านี้ตั้งอยู่ในลักษณะที่รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติพอดีพอดีระหว่างทรงกลมที่อยู่ติดกัน ระหว่างทรงกลมชั้นนอกทั้งสอง - ดาวเสาร์และดาวพฤหัสบดี - เขาวางลูกบาศก์ที่จารึกไว้ในทรงกลมด้านนอกซึ่งในทางกลับกันทรงกลมด้านในก็ถูกจารึกไว้ ระหว่างทรงกลมของดาวพฤหัสบดีและดาวอังคาร - จัตุรมุข (จัตุรมุขปกติ) ฯลฯ * หกทรงกลมของดาวเคราะห์, รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าอันที่จารึกไว้ระหว่างพวกเขา - ดูเหมือนจะสมบูรณ์แบบ?

อนิจจาเมื่อเปรียบเทียบแบบจำลองของเขากับวงโคจรที่สังเกตได้ของดาวเคราะห์ เคปเลอร์ถูกบังคับให้ยอมรับว่าพฤติกรรมที่แท้จริงของเทห์ฟากฟ้าไม่เข้ากับกรอบที่เรียวยาวที่เขาร่างไว้ ตามที่นักชีววิทยาชาวอังกฤษสมัยใหม่ J.B.S. Haldane กล่าวอย่างเหมาะสมว่า "แนวคิดเรื่องจักรวาลในฐานะงานศิลปะที่สมบูรณ์แบบทางเรขาคณิตกลายเป็นอีกสมมติฐานที่สวยงามที่ถูกทำลายโดยข้อเท็จจริงที่น่าเกลียด" ผลลัพธ์เพียงอย่างเดียวของแรงกระตุ้นที่อ่อนเยาว์ของเคปเลอร์ที่รอดชีวิตมาได้หลายศตวรรษคือแบบจำลองของระบบสุริยะที่สร้างขึ้นโดยนักวิทยาศาสตร์เอง และนำเสนอเป็นของขวัญแก่ดยุค เฟรเดอริก ฟอน เวิร์ทเทมเบิร์กผู้อุปถัมภ์ของเขา ในสิ่งประดิษฐ์โลหะที่สวยงามนี้ ทรงกลมทั้งหมดของดาวเคราะห์และรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้นั้นเป็นภาชนะกลวงที่ไม่สื่อสารกัน ซึ่งควรจะเต็มไปด้วยเครื่องดื่มต่าง ๆ ในวันหยุดเพื่อปฏิบัติต่อแขกของดยุค .

หลังจากย้ายไปปรากและกลายเป็นผู้ช่วยของนักดาราศาสตร์ชาวเดนมาร์กชื่อ Tycho Brahe (1546-1601) เคปเลอร์ก็พบแนวคิดที่ทำให้ชื่อของเขาเป็นอมตะอย่างแท้จริงในบันทึกประวัติศาสตร์ของวิทยาศาสตร์ Tycho Brahe รวบรวมการสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์มาตลอดชีวิตและรวบรวมข้อมูลจำนวนมหาศาลเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ หลังจากที่เขาเสียชีวิต เคปเลอร์ก็เข้ายึดครอง อย่างไรก็ตาม บันทึกเหล่านี้มีมูลค่าทางการค้ามหาศาลในขณะนั้น เนื่องจากสามารถนำมาใช้เพื่อรวบรวมคำทำนายดวงชะตาทางโหราศาสตร์ที่ละเอียดถี่ถ้วนได้

ขณะประมวลผลผลการสังเกตของ Tycho Brahe เคปเลอร์ประสบปัญหาที่แม้ในคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ อาจดูเหมือนยากสำหรับใครบางคน และเคปเลอร์ไม่มีทางเลือกอื่นนอกจากต้องดำเนินการคำนวณทั้งหมดด้วยตนเอง แน่นอน เช่นเดียวกับนักดาราศาสตร์ส่วนใหญ่ในสมัยของเขา เคปเลอร์คุ้นเคยกับ 'ระบบเฮลิโอเซนตริก' ของโคเปอร์นิคัสอยู่แล้ว (ดูหลักการของโคเปอร์นิคัส) และรู้ว่าโลกโคจรรอบดวงอาทิตย์ตามหลักฐานจากแบบจำลองข้างต้นของระบบสุริยะ แต่โลกและดาวเคราะห์ดวงอื่นหมุนอย่างไรกันแน่? ลองนึกภาพปัญหาดังต่อไปนี้: คุณอยู่บนดาวเคราะห์ดวงแรกซึ่งหมุนรอบแกนของมัน และประการที่สอง โคจรรอบดวงอาทิตย์ในวงโคจรที่คุณไม่รู้จัก เมื่อมองขึ้นไปบนท้องฟ้า เราเห็นดาวเคราะห์ดวงอื่นซึ่งเคลื่อนที่ในวงโคจรที่เราไม่รู้จัก งานของเราคือกำหนดเรขาคณิตของวงโคจรและความเร็วของการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ดวงอื่นจากข้อมูลการสังเกตการณ์ที่เกิดขึ้นบนโลกของเราที่หมุนรอบแกนของมันรอบดวงอาทิตย์ นี่คือสิ่งที่เคปเลอร์สามารถทำได้ในที่สุด หลังจากที่บนพื้นฐานของผลลัพธ์ที่ได้ เขาได้รับกฎสามข้อของเขา!

กฎข้อที่หนึ่ง** อธิบายเรขาคณิตของวิถีโคจรของวงโคจรของดาวเคราะห์ คุณอาจจำจากวิชาเรขาคณิตของโรงเรียนว่าวงรีคือชุดของจุดบนระนาบ ผลรวมของระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังจุดคงที่สองจุด - เคล็ดลับ- เท่ากับค่าคงที่ หากสิ่งนี้ยากเกินไปสำหรับคุณ มีคำจำกัดความอื่น: ลองนึกภาพส่วนของพื้นผิวด้านข้างของกรวยโดยระนาบที่มุมหนึ่งไปยังฐานของมัน ไม่ผ่านฐาน - นี่เป็นวงรีเช่นกัน กฎข้อแรกของเคปเลอร์อ้างว่าวงโคจรของดาวเคราะห์เป็นวงรี ซึ่งอยู่ในจุดโฟกัสที่ดวงอาทิตย์ตั้งอยู่ ความเยื้องศูนย์(ระดับการยืดตัว) ของวงโคจรและระยะห่างจากดวงอาทิตย์ใน จุดใกล้จุดสิ้นสุด(จุดที่ใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด) และ อัครสาวก(จุดที่ไกลที่สุด) ดาวเคราะห์ทุกดวงต่างกัน แต่วงโคจรวงรีทั้งหมดมีสิ่งหนึ่งที่เหมือนกัน - ดวงอาทิตย์ตั้งอยู่ในหนึ่งในสองจุดโฟกัสของวงรี หลังจากวิเคราะห์ข้อมูลเชิงสังเกตของ Tycho Brahe เคปเลอร์สรุปว่าวงโคจรของดาวเคราะห์เป็นชุดของวงรีที่ซ้อนกัน ก่อนหน้าเขา มันไม่ได้เกิดขึ้นกับนักดาราศาสตร์คนใดเลย

ความสำคัญทางประวัติศาสตร์ของกฎข้อที่หนึ่งของเคปเลอร์แทบจะประเมินค่าสูงไปไม่ได้ ก่อนหน้าเขา นักดาราศาสตร์เชื่อว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่เป็นวงโคจรเป็นวงกลมเพียงอย่างเดียว และหากสิ่งนี้ไม่เข้ากับกรอบของการสังเกต การเคลื่อนที่แบบวงกลมหลักก็เสริมด้วยวงกลมเล็กๆ ที่ดาวเคราะห์อธิบายไว้รอบจุดของวงโคจรวงกลมหลัก ฉันจะบอกว่านี่คือจุดยืนเชิงปรัชญา ข้อเท็จจริงที่ไม่เปลี่ยนรูปแบบซึ่งไม่อยู่ภายใต้ความสงสัยและการตรวจสอบ นักปรัชญาแย้งว่าโครงสร้างสวรรค์ตรงกันข้ามกับโลกมีความกลมกลืนกันอย่างสมบูรณ์และเนื่องจากรูปทรงเรขาคณิตที่สมบูรณ์แบบที่สุดคือวงกลมและทรงกลมก็หมายความว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่เป็นวงกลม (และฉันยังมีความเข้าใจผิดนี้อยู่ เพื่อปัดเป่าในหมู่นักเรียนของฉันในวันนี้) สิ่งสำคัญคือ เมื่อเข้าถึงข้อมูลเชิงสังเกตที่กว้างขวางของ Tycho Brahe แล้ว โยฮันเนส เคปเลอร์ก็สามารถก้าวข้ามอคติเชิงปรัชญานี้ได้ โดยเห็นว่าไม่สอดคล้องกับข้อเท็จจริง เช่นเดียวกับที่โคเปอร์นิคัสกล้าที่จะขจัดโลกออกจากศูนย์กลาง ของจักรวาลที่ต้องเผชิญกับข้อโต้แย้งที่ขัดแย้งกับแนวคิด geocentric แบบถาวร นอกจากนี้ยังประกอบด้วย "พฤติกรรมที่ผิด" ของดาวเคราะห์ในวงโคจร

แบบจำลองทางเรขาคณิตของจักรวาลในยุคแรกของเคปเลอร์: ดาวเคราะห์ทรงกลมโคจร 6 ดวงและรูปหลายเหลี่ยมธรรมดาที่จารึกไว้ห้ารูป

กฎข้อที่สองอธิบายการเปลี่ยนแปลงความเร็วของการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ ในรูปแบบที่เป็นทางการ ฉันได้อ้างถึงสูตรของมันแล้ว และเพื่อให้เข้าใจความหมายทางกายภาพของมันมากขึ้น โปรดจำวัยเด็กของคุณ อาจเป็นไปได้ว่าคุณมีโอกาสได้ผ่อนคลายรอบเสาในสนามเด็กเล่นโดยคว้ามันไว้ด้วยมือของคุณ อันที่จริง ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ในลักษณะเดียวกัน ยิ่งวงโคจรรูปวงรีอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์มากเท่าไรก็ยิ่งเคลื่อนตัวช้าลง ดาวเคราะห์ก็ยิ่งเคลื่อนที่เร็วขึ้นเท่านั้น ทีนี้ลองนึกภาพส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมตำแหน่งของดาวเคราะห์สองดวงในวงโคจรกับจุดโฟกัสของวงรีที่ดวงอาทิตย์ตั้งอยู่ เมื่อรวมกับส่วนของวงรีที่วางอยู่ระหว่างพวกเขาพวกเขาสร้างเซกเตอร์ซึ่งเป็นพื้นที่เดียวกันกับ "พื้นที่ที่ถูกตัดด้วยส่วนของเส้นตรง" อย่างแม่นยำ กฎข้อที่สองเกี่ยวกับเธอ ยิ่งดาวเคราะห์อยู่ใกล้ดวงอาทิตย์มากเท่าใด แต่ในกรณีนี้ เพื่อให้เซกเตอร์ครอบคลุมพื้นที่เท่าๆ กันในเวลาเท่ากัน ดาวเคราะห์ต้องเดินทางในระยะทางที่ไกลกว่าในวงโคจรของมัน ซึ่งหมายความว่าความเร็วของการเคลื่อนที่ของมันจะเพิ่มขึ้น

กฎสองข้อแรกเกี่ยวข้องกับลักษณะเฉพาะของโคจรโคจรของดาวเคราะห์ดวงเดียว กฎข้อที่สามเคปเลอร์ช่วยให้คุณเปรียบเทียบวงโคจรของดาวเคราะห์แต่ละดวงได้ มันบอกว่ายิ่งดาวเคราะห์อยู่ห่างจากดวงอาทิตย์มากเท่าไรก็ยิ่งใช้เวลานานในการปฏิวัติอย่างเต็มที่เมื่อเคลื่อนที่ในวงโคจรและยิ่งนานขึ้น "ปี" ที่อยู่บนดาวเคราะห์ดวงนี้ เรารู้ว่าวันนี้เกิดจากสองปัจจัย ประการแรก ยิ่งดาวเคราะห์อยู่ห่างจากดวงอาทิตย์มากเท่าใด เส้นรอบวงของวงโคจรก็ยิ่งยาวขึ้นเท่านั้น ประการที่สอง เมื่อระยะห่างจากดวงอาทิตย์เพิ่มขึ้น ความเร็วเชิงเส้นของการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ก็ลดลงเช่นกัน

ในกฎหมายของเขา เคปเลอร์เพียงระบุข้อเท็จจริงโดยศึกษาและสรุปผลจากการสังเกต ถ้าคุณถามเขาว่าอะไรทำให้เกิดวงรีของวงโคจรหรือความเท่าเทียมกันของพื้นที่ของเซกเตอร์ เขาคงไม่ตอบคุณ ตามมาจากการวิเคราะห์ของเขา หากคุณถามเขาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ในวงโคจรของดาวเคราะห์ในระบบดาวอื่นๆ เขาจะไม่พบคำตอบสำหรับคุณเช่นกัน เขาจะต้องเริ่มต้นใหม่ทั้งหมด - เพื่อรวบรวมข้อมูลจากการสังเกต จากนั้นวิเคราะห์และพยายามระบุรูปแบบ นั่นคือเขาไม่มีเหตุผลที่จะเชื่อว่าระบบดาวเคราะห์ดวงอื่นปฏิบัติตามกฎหมายเดียวกันกับระบบสุริยะ

ชัยชนะที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของกลศาสตร์คลาสสิกของนิวตันอยู่ที่ความจริงที่ว่ามันเป็นพื้นฐานพื้นฐานสำหรับกฎของเคปเลอร์และยืนยันความเป็นสากล ปรากฎว่ากฎของเคปเลอร์สามารถได้มาจากกฎกลศาสตร์ของนิวตัน กฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน และการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมด้วยการคำนวณทางคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวด ถ้าเป็นเช่นนั้น เราสามารถมั่นใจได้ว่ากฎของเคปเลอร์ใช้ได้กับระบบดาวเคราะห์ทุกแห่งในจักรวาลอย่างเท่าเทียมกัน นักดาราศาสตร์กำลังมองหาระบบดาวเคราะห์ใหม่ในอวกาศโลก (และมีผู้ค้นพบบางส่วนแล้ว) ซ้ำแล้วซ้ำเล่า ใช้สมการของเคปเลอร์ในการคำนวณค่าพารามิเตอร์ของวงโคจรของดาวเคราะห์ที่อยู่ห่างไกลออกไป แม้ว่าจะไม่สามารถทำได้ สังเกตพวกเขาโดยตรง

กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ได้เล่นและยังคงมีบทบาทสำคัญในจักรวาลวิทยาสมัยใหม่ นักดาราศาสตร์ฟิสิกส์ได้บันทึกสัญญาณจางๆ ที่ปล่อยออกมาจากอะตอมไฮโดรเจนที่โคจรอยู่ไกลจากใจกลางดาราจักรมาก เมื่อสังเกตกาแล็กซีที่อยู่ห่างไกลออกไป ซึ่งไกลกว่าดาวฤกษ์ทั่วไปมาก จากปรากฏการณ์ดอปเปลอร์ในสเปกตรัมของรังสีนี้ นักวิทยาศาสตร์สามารถกำหนดความเร็วการหมุนของขอบไฮโดรเจนของจานดาราจักร และจากนั้นความเร็วเชิงมุมของดาราจักรโดยรวม (ดู สสารมืด) ฉันดีใจที่ผลงานของนักวิทยาศาสตร์ที่วางเราอย่างมั่นคงบนเส้นทางของความเข้าใจที่ถูกต้องเกี่ยวกับโครงสร้างของระบบสุริยะของเรา และวันนี้ หลายศตวรรษหลังจากการตายของเขา มีบทบาทสำคัญในการศึกษาโครงสร้างของจักรวาลอันยิ่งใหญ่ .

* ระหว่างทรงกลมของดาวอังคารกับโลก - สิบสองหน้า (สิบสองหน้า); ระหว่างทรงกลมของโลกและดาวศุกร์ - icosahedron (ยี่สิบด้าน); ระหว่างทรงกลมของดาวศุกร์และดาวพุธ - รูปแปดด้าน (octahedron) ผลลัพธ์ที่ได้นั้นถูกนำเสนอโดย Kepler ในส่วนของการวาดภาพเชิงปริมาตรอย่างละเอียด (ดูรูป) ในเอกสารชุดแรกของเขา "Cosmographic Mystery" (Mysteria Cosmographica, 1596) - บันทึกของนักแปล

** ในอดีต กฎของเคปเลอร์ (เช่น หลักการของเทอร์โมไดนามิกส์) ไม่ได้ถูกนับตามลำดับเวลาของการค้นพบ แต่เรียงตามลำดับความเข้าใจในแวดวงวิทยาศาสตร์ ในความเป็นจริง กฎข้อแรกถูกค้นพบในปี 1605 (เผยแพร่ในปี 1609) กฎหมายที่สองในปี 1602 (เผยแพร่ในปี 1609) กฎหมายที่สามในปี 1618 (เผยแพร่ในปี 1619) - บันทึกของนักแปล

สูตรของเคปเลอร์:

ดาวเคราะห์เคลื่อนที่ไปตามวงรีซึ่งอยู่ในจุดโฟกัสที่ดวงอาทิตย์ตั้งอยู่

นิวตันสรุป: ประการแรก ระบบดาว-ดาว (ดาวคู่) ดาวเคราะห์-ดาวเทียมสามารถพิจารณาได้ ประการที่สอง ร่างกายที่เล็กกว่าสามารถเคลื่อนที่ไปตามพาราโบลาหรือไฮเปอร์โบลาได้ (รูปที่ 33)

ถ้อยคำที่ทันสมัย:

ในระบบแรงโน้มถ่วงของร่างกาย NSเคลื่อนที่เป็นวงรี โดยเน้นที่ร่างกาย NS... ความเยื้องศูนย์กลางของวงรีถูกกำหนดโดยค่าตัวเลขของพลังงานทั้งหมดของระบบ ในระบบที่ไม่มีแรงโน้มถ่วง ร่างกาย B จะเคลื่อนที่ไปตามพาราโบลา ( อี= 0) หรืออติพจน์ ( อี> 0) เน้นที่ร่างกาย NS.

วงรี

วงรี (รูปที่ 33) เป็นวงกลมยาวที่มีคุณสมบัติที่มีจุดสองจุด (จุดโฟกัสของวงรี F 1และ F 2ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข: ผลรวมของระยะทางของจุดโฟกัสจากจุดใดๆ ของวงรีเป็นค่าคงที่ ( F 1ค + F 2ค = F 1อี + F 2อี= const) เช่น ไม่ขึ้นกับจุดที่เลือกบนวงรี)

ส่วน ABเรียกว่า แกนเอก ตามลำดับ ส่วน AO = OB- กึ่งแกนหลัก (ยอมรับการกำหนด NS) ส่วนต่างๆ ซีดีและ OC- เพลารองและกึ่งเพลา NS... ขนาดของวงรีถูกกำหนดโดยกึ่งแกนหลัก รูปร่างถูกกำหนดโดยความเยื้องศูนย์กลาง e = √ (1 - NS 2 / NS 2). ที่ อี= 0 วงรีเสื่อมสภาพเป็นวงกลม for อี= 1 - ในพาราโบลา, สำหรับ อี> 1 - เป็นไฮเปอร์โบลา ซึ่งแสดงเป็นกราฟของฟังก์ชันได้ดีกว่า y = 1 / NS,หมุน 45 ° วงรีมีครึ่งแกนหลัก NS> 0 พาราโบลามี NS= ∞ ไฮเปอร์โบลา NS < 0, что, конечно, только математиче-ская абстракция.

เวกเตอร์รัศมีของดาวเคราะห์ในช่วงเวลาเท่ากันจะอธิบายพื้นที่เท่ากัน (รูปที่ 34)

ข้อความนี้คล้ายกับข้อเท็จจริงที่ว่าความเร็วของการเคลื่อนที่ลดลงตามระยะห่างจากดวงอาทิตย์ หรือมากกว่านั้นเป็นกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

หากเรานับจำนวนวันจากวันวิษุวัต (21 มีนาคม) ถึงวันฤดูใบไม้ร่วง (23 กันยายน) และจาก 23 กันยายนถึง 21 มีนาคมของปีถัดไป ปรากฎว่าช่วงแรกคือ 7 วัน นานกว่าวินาที กล่าวอีกนัยหนึ่ง โลกในฤดูหนาวเคลื่อนที่เร็วกว่าในฤดูร้อน ดังนั้นจึงอยู่ใกล้ดวงอาทิตย์มากขึ้นในฤดูหนาว จุดที่โคจรใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด - perihelion - โลกผ่านไปในวันที่ 6 มกราคม

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

โมเมนต์ของแรงกระตุ้น ( K = mvr) เป็นปริมาณทางกายภาพที่สะดวกต่อการอธิบายการเคลื่อนที่ของจุดในวงกลมหรือวงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา ตลอดจนการอธิบายการหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมโมเมนตัม(เช่นเดียวกับกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงาน) เป็นหนึ่งในสามกฎพื้นฐานของธรรมชาติ ตามทฤษฎีบทของ Noether กฎนี้เป็นผลมาจากไอโซโทรปี (ความเท่าเทียมกันของทุกทิศทาง) ของจักรวาล

อัตราส่วนของลูกบาศก์ของกึ่งแกนเอกของวงโคจรของดาวเคราะห์ต่อลูกบาศก์ของระยะเวลาที่ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เท่ากับผลรวมของมวลของดวงอาทิตย์และดาวเคราะห์ (ในสูตรของนิวตัน):

NS 3 / NS 2 = (NS/ 4π 2). ( NS + NS),วัสดุจากเว็บไซต์

ที่ไหน NSและ NS- มวลของร่างกายของระบบ NSและ NS- กึ่งแกนเอกและคาบการโคจรของวัตถุที่เล็กกว่า (ดาวเคราะห์, ดาวเทียม) NS- ค่าคงตัวโน้มถ่วง

จำเป็นต้องใส่ใจกับปัจจัยคงที่ทางด้านขวามือ ในสูตรมีให้ในหน่วย SI แต่ในทางดาราศาสตร์จะใช้หน่วยความยาวทางดาราศาสตร์ (แทนที่จะเป็นเมตร) ปี (แทนที่จะเป็นวินาที) และมวลของดวงอาทิตย์ (แทนที่จะเป็นกิโลกรัม) . จากนั้น เนื่องจากเป็นเรื่องง่ายที่จะเชื่อ ถ้าเราละเลยมวลของดาวเคราะห์ที่สัมพันธ์กับมวลของดวงอาทิตย์ ปัจจัยคงที่ในสูตรนี้จะเท่ากับหนึ่ง

กฎข้อที่สามของเคปเลอร์เป็นวิธีเดียวที่จะกำหนดมวลของเทห์ฟากฟ้าได้โดยตรง (เช่น