Consideremos una determinada serie.

7 28 112 448 1792...

Está absolutamente claro que el valor de cualquiera de sus elementos es exactamente cuatro veces mayor que el anterior. Esto significa que esta serie es una progresión.

Una progresión geométrica es una secuencia infinita de números. caracteristica principal cual es ese siguiente numero se obtiene del anterior multiplicando por un número determinado. Esto se expresa mediante la siguiente fórmula.

a z +1 =a z ·q, donde z es el número del elemento seleccionado.

En consecuencia, z ∈ norte.

El período en el que se estudia la progresión geométrica en la escuela es el noveno grado. Los ejemplos le ayudarán a comprender el concepto:

0.25 0.125 0.0625...

Con base en esta fórmula, el denominador de la progresión se puede encontrar de la siguiente manera:

Ni q ni bz pueden ser cero. Además, cada uno de los elementos de la progresión no debe ser igual a cero.

En consecuencia, para averiguar el siguiente número de una serie, debes multiplicar el último por q.

Para establecer esta progresión, debes especificar su primer elemento y denominador. Después de esto, es posible encontrar cualquiera de los términos siguientes y su suma.

Variedades

Dependiendo de q y a 1, esta progresión se divide en varios tipos:

  • Si tanto a 1 como q son mayores que uno, entonces dicha secuencia es una progresión geométrica que aumenta con cada elemento posterior. Un ejemplo de esto se presenta a continuación.

Ejemplo: a 1 =3, q=2 - ambos parámetros son mayores que uno.

Entonces la secuencia numérica se puede escribir así:

3 6 12 24 48 ...

  • Si |q| es menor que uno, es decir, la multiplicación por él equivale a la división, entonces una progresión con condiciones similares es una progresión geométrica decreciente. Un ejemplo de esto se presenta a continuación.

Ejemplo: a 1 =6, q=1/3 - a 1 es mayor que uno, q es menor.

Entonces la secuencia numérica se puede escribir de la siguiente manera:

6 2 2/3 ... - cualquier elemento es 3 veces más grande que el elemento que le sigue.

  • Signo alterno. si q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Ejemplo: a 1 = -3, q = -2 - ambos parámetros son menores que cero.

Entonces la secuencia numérica se puede escribir así:

3, 6, -12, 24,...

Fórmulas

Existen muchas fórmulas para un uso conveniente de las progresiones geométricas:

  • Fórmula del término Z. Le permite calcular un elemento bajo un número específico sin calcular números anteriores.

Ejemplo:q = 3, a 1 = 4. Se requiere contar el cuarto elemento de la progresión.

Solución:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

  • La suma de los primeros elementos cuya cantidad es igual a z. Le permite calcular la suma de todos los elementos de una secuencia hastauna zinclusivo.

Desde (1-q) está en el denominador, entonces (1 - q)≠ 0, por lo tanto q no es igual a 1.

Nota: si q=1, entonces la progresión sería una serie de números que se repetirían infinitamente.

Suma de progresión geométrica, ejemplos:a 1 = 2, q= -2. Calcule S5.

Solución:S 5 = 22 - cálculo mediante la fórmula.

  • Importe si |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Ejemplo:a 1 = 2 , q= 0,5. Encuentra la cantidad.

Solución:Talla = 2 · = 4

Talla = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Algunas propiedades:

  • Propiedad característica. Si la siguiente condición funciona para cualquierz, entonces la serie numérica dada es una progresión geométrica:

una z 2 = una z -1 · az+1

  • Además, el cuadrado de cualquier número en una progresión geométrica se encuentra sumando los cuadrados de otros dos números cualesquiera en una serie dada, si están equidistantes de este elemento.

una z 2 = una z - t 2 + una z + t 2 , Dóndet- la distancia entre estos números.

  • Elementosdifieren en quna vez.
  • Los logaritmos de los elementos de una progresión también forman una progresión, pero aritmética, es decir, cada uno de ellos es mayor que el anterior en un número determinado.

Ejemplos de algunos problemas clásicos.

Para comprender mejor qué es una progresión geométrica, pueden ayudar los ejemplos con soluciones para la clase 9.

  • Condiciones:a 1 = 3, a 3 = 48. Encuentraq.

Solución: cada uno siguiente elemento mas que el anteriorq una vez.Es necesario expresar unos elementos en términos de otros mediante un denominador.

Por eso,a 3 = q 2 · a 1

Al sustituirq= 4

  • Condiciones:a 2 = 6, a 3 = 12. Calcular S 6.

Solución:Para hacer esto, simplemente encuentre q, el primer elemento, y sustitúyalo en la fórmula.

a 3 = q· a 2 , por eso,q= 2

un 2 = q · un 1 ,Es por eso un 1 = 3

S 6 = 189

  • · a 1 = 10, q= -2. Encuentra el cuarto elemento de la progresión.

Solución: para ello basta con expresar el cuarto elemento por el primero y por el denominador.

un 4 = q 3· un 1 = -80

Ejemplo de aplicación:

  • Un cliente del banco hizo un depósito por valor de 10.000 rublos, según las condiciones del cual cada año al cliente se le añadirá el 6% del importe principal. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de 4 años?

Solución: la cantidad inicial es de 10 mil rublos. Esto significa que un año después de la inversión la cuenta tendrá un monto igual a 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

En consecuencia, el importe en la cuenta después de otro año se expresará de la siguiente manera:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Es decir, cada año el monto aumenta 1,06 veces. Esto significa que para encontrar la cantidad de fondos en la cuenta después de 4 años, basta con encontrar el cuarto elemento de la progresión, que viene dado por el primer elemento igual a 10 mil y el denominador igual a 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Ejemplos de problemas que implican calcular sumas:

La progresión geométrica se utiliza en varios problemas. Un ejemplo para encontrar la suma se puede dar de la siguiente manera:

a 1 = 4, q= 2, calcularT 5.

Solución: se conocen todos los datos necesarios para el cálculo, solo hay que sustituirlos en la fórmula.

S 5 = 124

  • a 2 = 6, a 3 = 18. Calcula la suma de los primeros seis elementos.

Solución:

En geom. progresión, cada elemento siguiente es q veces mayor que el anterior, es decir, para calcular la suma necesitas conocer el elementoa 1 y denominadorq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Del mismo modo, es necesario encontrara 1 , sabiendoa 2 Yq.

a 1 · q = a 2

un 1 =2

S 6 = 728.

22.09.2018 22:00

La progresión geométrica, junto con la progresión aritmética, es una serie numérica importante que se estudia en el curso de álgebra escolar en el noveno grado. En este artículo veremos el denominador de una progresión geométrica y cómo su valor afecta sus propiedades.

Definición de progresión geométrica

Primero, definamos esto serie de números. Una progresión geométrica es una serie de números racionales que se forma multiplicando secuencialmente su primer elemento por un número constante llamado denominador.

Por ejemplo, los números de la serie 3, 6, 12, 24,... son una progresión geométrica, porque si multiplicas 3 (el primer elemento) por 2, obtienes 6. Si multiplicas 6 por 2, obtienes 12, y así sucesivamente.

Los miembros de la secuencia considerada generalmente se indican con el símbolo ai, donde i es un número entero que indica el número del elemento de la serie.

La definición anterior de progresión se puede escribir en lenguaje matemático de la siguiente manera: an = bn-1 * a1, donde b es el denominador. Es fácil comprobar esta fórmula: si n = 1, entonces b1-1 = 1, y obtenemos a1 = a1. Si n = 2, entonces an = b * a1, y llegamos nuevamente a la definición de la serie de números en cuestión. Se puede continuar con un razonamiento similar para valores grandes de n.

Denominador de progresión geométrica


El número b determina completamente qué carácter tendrá toda la serie numérica. El denominador b puede ser positivo, negativo o mayor o menor que uno. Todas las opciones anteriores conducen a diferentes secuencias:

  • b > 1. Hay una serie creciente de números racionales. Por ejemplo, 1, 2, 4, 8, ... Si el elemento a1 es negativo, entonces toda la secuencia aumentará solo en valor absoluto, pero disminuirá según el signo de los números.
  • b = 1. A menudo, este caso no se llama progresión, ya que existe una serie ordinaria de números racionales idénticos. Por ejemplo, -4, -4, -4.

Fórmula para la cantidad

Antes de pasar a considerar problemas específicos utilizando el denominador del tipo de progresión considerado, conviene dar una fórmula importante para la suma de sus primeros n elementos. La fórmula es así: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Puedes obtener esta expresión tú mismo si consideras la secuencia recursiva de términos de la progresión. Tenga en cuenta también que en la fórmula anterior basta con conocer sólo el primer elemento y el denominador para encontrar la suma cualquier número miembros.

Secuencia infinitamente decreciente


Más arriba se dio una explicación de qué es. Ahora, conociendo la fórmula de Sn, apliquémosla a esta serie numérica. Dado que cualquier número cuyo módulo no exceda de 1 tiende a cero cuando se eleva a potencias grandes, es decir, b∞ => 0 si -1

Dado que la diferencia (1 - b) siempre será positiva, independientemente del valor del denominador, el signo de la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente S∞ está determinado únicamente por el signo de su primer elemento a1.

Ahora veamos varios problemas donde mostraremos cómo aplicar los conocimientos adquiridos en números específicos.

Tarea No. 1. Cálculo de elementos desconocidos de progresión y suma.

Dada una progresión geométrica, el denominador de la progresión es 2 y su primer elemento es 3. ¿A qué serán iguales sus términos séptimo y décimo y cuál es la suma de sus siete elementos iniciales?

La condición del problema es bastante simple e implica el uso directo de las fórmulas anteriores. Entonces, para calcular el elemento número n, usamos la expresión an = bn-1 * a1. Para el séptimo elemento tenemos: a7 = b6 * a1, sustituyendo los datos conocidos, obtenemos: a7 = 26 * 3 = 192. Hacemos lo mismo para el décimo término: a10 = 29 * 3 = 1536.

Usemos la conocida fórmula para la suma y determinemos este valor para los primeros 7 elementos de la serie. Tenemos: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problema número 2. Determinar la suma de elementos arbitrarios de una progresión

Sea -2 igual al denominador de la progresión geométrica bn-1 * 4, donde n es un número entero. Es necesario determinar la suma del elemento 5 al 10 de esta serie, inclusive.

El problema planteado no se puede resolver directamente utilizando fórmulas conocidas. Se puede solucionar de 2 maneras varios métodos. Para completar la presentación del tema, presentamos ambos.

Método 1. La idea es simple: necesitas calcular las dos sumas correspondientes de los primeros términos y luego restar el otro de uno. Calculamos la cantidad menor: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Ahora calculamos la suma mayor: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Tenga en cuenta que en la última expresión solo se sumaron 4 términos, ya que el quinto ya está incluido en la cantidad que debe calcularse según las condiciones del problema. Finalmente tomamos la diferencia: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Método 2. Antes de sustituir números y contar, puedes obtener una fórmula para la suma entre los términos myn de la serie en cuestión. Hacemos exactamente lo mismo que en el método 1, solo que primero trabajamos con la representación simbólica de la cantidad. Tenemos: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Puedes sustituir números conocidos en la expresión resultante y calcular el resultado final: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Problema No. 3. ¿Cuál es el denominador?


Sea a1 = 2, encuentre el denominador de la progresión geométrica, siempre que su suma infinita sea 3, y se sepa que se trata de una serie de números decrecientes.

Según las condiciones del problema, no es difícil adivinar qué fórmula se debe utilizar para resolverlo. Por supuesto, para la suma de la progresión es infinitamente decreciente. Tenemos: S∞ = a1 / (1 - b). De donde expresamos el denominador: b = 1 - a1 / S∞. Queda por sustituir los valores conocidos y obtener el número requerido: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 o -0,333(3). Podemos comprobar cualitativamente este resultado si recordamos que para este tipo de sucesiones el módulo b no debe ir más allá de 1. Como se puede observar, |-1 / 3|

Tarea número 4. Restaurar una serie de números

Sean dados 2 elementos de una serie numérica, por ejemplo, el 5º es igual a 30 y el 10º es igual a 60. Es necesario reconstruir toda la serie a partir de estos datos, sabiendo que satisface las propiedades de una progresión geométrica.

Para resolver el problema, primero debes escribir la expresión correspondiente a cada término conocido. Tenemos: a5 = b4 * a1 y a10 = b9 * a1. Ahora dividimos la segunda expresión por la primera, obtenemos: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. A partir de aquí determinamos el denominador sacando la raíz quinta de la razón de los términos conocidos del enunciado del problema, b = 1,148698. Sustituimos el número resultante en una de las expresiones para el elemento conocido, obtenemos: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Así, encontramos el denominador de la progresión bn y la progresión geométrica bn-1 * 17,2304966 = an, donde b = 1,148698.

¿Dónde se utilizan las progresiones geométricas?


Si no existiera una aplicación práctica de esta serie numérica, su estudio quedaría reducido a un interés puramente teórico. Pero tal aplicación existe.


A continuación se muestran los 3 ejemplos más famosos:

  • La paradoja de Zenón, en la que el ágil Aquiles no puede alcanzar a la lenta tortuga, se resuelve utilizando el concepto de una secuencia de números infinitamente decreciente.
  • Si coloca granos de trigo en cada cuadrado del tablero de ajedrez de modo que en el primer cuadrado coloque 1 grano, en el segundo - 2, en el tercero - 3, y así sucesivamente, para llenar todos los cuadrados del tablero necesitará 18446744073709551615 granos!
  • En el juego "Torre de Hanoi", para mover discos de una varilla a otra, es necesario realizar 2n - 1 operaciones, es decir, su número crece exponencialmente con el número n de discos utilizados.

Calle Kievyan, 16 0016 Armenia, Ereván +374 11 233 255

Por ejemplo, secuencia \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)... es una progresión geométrica, porque cada elemento siguiente difiere del anterior en un factor de dos (en otras palabras, se puede obtener del anterior multiplicándolo por dos):

Como cualquier secuencia, una progresión geométrica se indica con una letra latina minúscula. Los números que forman una progresión se llaman. miembros(o elementos). Se denotan con la misma letra que la progresión geométrica, pero con un índice numérico igual al número del elemento en orden.

Por ejemplo, la progresión geométrica \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) consta de los elementos \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) y así sucesivamente. En otras palabras:

Si comprende la información anterior, ya podrá resolver la mayoría de los problemas sobre este tema.

Ejemplo (OGE):
Solución:

Respuesta : \(-686\).

Ejemplo (OGE): Se dan los primeros tres términos de la progresión \(324\); \(-108\); \(36\)…. Encuentra \(b_5\).
Solución:


Para continuar la secuencia, necesitamos conocer el denominador. Encontrémoslo a partir de dos elementos vecinos: ¿por qué necesitamos multiplicar \(324\) para obtener \(-108\)?

\(324·q=-108\)

Desde aquí podemos calcular fácilmente el denominador.

\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)

Ahora podremos encontrar fácilmente el elemento que necesitamos.


La respuesta está lista.

Respuesta : \(4\).

Ejemplo: La progresión está especificada por la condición \(b_n=0.8·5^n\). ¿Qué número es miembro de esta progresión?

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0.8\) ?

Solución: Por la redacción de la tarea se desprende claramente que uno de estos números está definitivamente en nuestra progresión. Por lo tanto, podemos simplemente calcular sus términos uno por uno hasta encontrar el valor que necesitamos. Como nuestra progresión viene dada por la fórmula, calculamos los valores de los elementos sustituyendo diferentes \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0.8·5^1=0.8·5=4\) – no existe tal número en la lista. Continuemos.
\(n=2\); \(b_2=0.8·5^2=0.8·25=20\) - y esto tampoco está ahí.
\(n=3\); \(b_3=0.8·5^3=0.8·125=100\) – ¡y aquí está nuestro campeón!

Respuesta: \(100\).

Ejemplo (OGE): Se dan varios términos consecutivos de la progresión geométrica...\(8\); \(X\); \(50\); \(-125\)…. Encuentra el valor del elemento etiquetado \(x\).

Solución:

Respuesta: \(-20\).

Ejemplo (OGE): La progresión está especificada por las condiciones \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Encuentra la suma de los primeros \(4\) términos de esta progresión.

Solución:

Respuesta: \(105\).

Ejemplo (OGE): Se sabe que en progresión geométrica \(b_6=-11\), \(b_9=704\). Encuentra el denominador \(q\).

Solución:


En el diagrama de la izquierda puedes ver que para “llegar” de \(b_6\) a \(b_9\) damos tres “pasos”, es decir, multiplicamos \(b_6\) tres veces por el denominador de la progresión. En otras palabras, \(b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3\).

\(b_9=b_6·q^3\)

Sustituyamos los valores que conocemos.

\(704=(-11)q^3\)

Démosle la vuelta a la ecuación y divídala por \((-11)\).

\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)

¿Qué número elevado al cubo da \(-64\)?
¡Por supuesto, \(-4\)!

Se ha encontrado la respuesta. Se puede comprobar restaurando la cadena de números de \(-11\) a \(704\).


Todo salió bien: la respuesta es correcta.

Respuesta: \(-4\).

Las fórmulas más importantes.

Como puede ver, la mayoría de los problemas de progresión geométrica se pueden resolver utilizando lógica pura, simplemente entendiendo la esencia (esto es generalmente típico de las matemáticas). Pero a veces el conocimiento de determinadas fórmulas y patrones acelera y facilita significativamente la solución. Estudiaremos dos de esas fórmulas.

Fórmula del \(n\)ésimo término: \(b_n=b_1·q^(n-1)\), donde \(b_1\) es el primer término de la progresión; \(n\) – número del elemento requerido; \(q\) – denominador de progresión; \(b_n\) – término de la progresión con el número \(n\).

Con esta fórmula, puede, por ejemplo, resolver el problema desde el primer ejemplo literalmente en una sola acción.

Ejemplo (OGE): La progresión geométrica está especificada por las condiciones \(b_1=-2\); \(q=7\). Encuentra \(b_4\).
Solución:

Respuesta: \(-686\).

Este ejemplo era simple, por lo que la fórmula no nos facilitó mucho los cálculos. Veamos el problema un poco más complicado.

Ejemplo: La progresión geométrica está especificada por las condiciones \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). Encuentre \(b_(12)\).
Solución:

Respuesta: \(10\).

Por supuesto, elevar \(\frac(1)(2)\) a la \(11\)ésima potencia no es muy divertido, pero sigue siendo más fácil que \(11\) dividir \(20480\) por dos.

Suma \(n\) de los primeros términos: \(S_n=\)\(\frac(b_1·(q^n-1))(q-1)\) , donde \(b_1\) es el primer término de la progresión; \(n\) – número de elementos sumados; \(q\) – denominador de progresión; \(S_n\) – la suma de \(n\) primeros términos de la progresión.

Ejemplo (OGE): Dada una progresión geométrica \(b_n\), cuyo denominador es \(5\), y el primer término es \(b_1=\frac(2)(5)\). Encuentra la suma de los primeros seis términos de esta progresión.
Solución:

Respuesta: \(1562,4\).

Y nuevamente, podríamos resolver el problema de frente: encontrar los seis elementos uno por uno y luego sumar los resultados. Sin embargo, el número de cálculos y, por tanto, la posibilidad de error aleatorio aumentaría considerablemente.

Para la progresión geométrica, existen varias fórmulas más que no consideramos aquí debido a su escaso uso práctico. Puedes encontrar estas fórmulas.

Progresiones geométricas crecientes y decrecientes.

Para la progresión \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48...\)\) considerada al principio del artículo, el denominador \(q\) es mayor que uno y por lo tanto cada término siguiente es mayor que el anterior. Estas progresiones se llaman creciente.

Si \(q\) es menor que uno, pero es positivo (es decir, está en el rango de cero a uno), entonces cada elemento siguiente será menor que el anterior. Por ejemplo, en la progresión \(4\); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0.25\)... el denominador de \(q\) es igual a \(\frac(1)(2)\).


Estas progresiones se llaman decreciente. Tenga en cuenta que ninguno de los elementos de dicha progresión será negativo, simplemente se vuelven cada vez más pequeños con cada paso. Es decir, nos acercaremos gradualmente a cero, pero nunca lo alcanzaremos ni lo superaremos. En tales casos, los matemáticos dicen "tienden a cero".

Tenga en cuenta que con un denominador negativo, los elementos de la progresión geométrica necesariamente cambiarán de signo. Por ejemplo, y progresión \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)... el denominador de \(q\) es \(-3\), y debido a esto, los signos de los elementos “parpadean”.

Este número se llama denominador de una progresión geométrica, es decir, cada término difiere del anterior en q veces. (Asumiremos que q ≠ 1, de lo contrario todo es demasiado trivial). No es difícil ver eso formula general enésimo término de la progresión geométrica b n = b 1 q n – 1 ; Los términos con números b n y b m difieren en q n – m veces.

Ya estoy en eso Antiguo Egipto No sólo conocía la aritmética, sino también la progresión geométrica. He aquí, por ejemplo, un problema del papiro de Rhind: “Siete caras tienen siete gatos; Cada gato come siete ratones, cada ratón come siete mazorcas de maíz y cada mazorca de cebada puede producir siete medidas de cebada. ¿Qué tan grandes son los números de esta serie y su suma?

Arroz. 1. Problema de progresión geométrica del Antiguo Egipto

Esta tarea se repitió muchas veces con distintas variaciones entre otros pueblos en otras épocas. Por ejemplo, escrito en el siglo XIII. “El Libro del Ábaco” de Leonardo de Pisa (Fibonacci) tiene un problema en el que aparecen 7 ancianas camino a Roma (obviamente peregrinas), cada una de las cuales tiene 7 mulas, cada una de las cuales tiene 7 bolsas, cada una de las cuales Contiene 7 panes, cada uno de los cuales tiene 7 cuchillos, cada uno de los cuales tiene 7 vainas. El problema pregunta cuántos objetos hay.

La suma de los primeros n términos de la progresión geométrica S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Esta fórmula se puede demostrar, por ejemplo, así: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Suma el número b 1 q n a S n y obtienes:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + segundo 1 q 3 + ... + segundo 1 q norte –1) q = segundo 1 + S norte q .

De aquí S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), obtenemos la fórmula necesaria.

Ya en una de las tablillas de arcilla de la antigua Babilonia, que data del siglo VI. antes de Cristo e., contiene la suma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Es cierto que, como en muchos otros casos, no sabemos cómo los babilonios conocieron este hecho. .

El rápido aumento de la progresión geométrica en varias culturas, en particular en la India, se utiliza repetidamente como símbolo visual de la inmensidad del universo. En la famosa leyenda sobre la aparición del ajedrez, el gobernante le da a su inventor la oportunidad de elegir él mismo la recompensa, y le pregunta el número de granos de trigo que se obtendrán si se coloca uno en la primera casilla del tablero de ajedrez, dos en el segundo, cuatro en el tercero, ocho en el cuarto, y etc., cada vez que el número se duplica. Vladyka pensó que estamos hablando acerca de, como mucho, unas cuantas bolsas, pero calculó mal. Es fácil ver que por las 64 casillas del tablero de ajedrez el inventor tendría que recibir (2 · 64 - 1) granos, lo que se expresa como un número de 20 dígitos; incluso si se siembra toda la superficie de la Tierra, se necesitarían al menos 8 años para recolectar cantidad requerida granos A veces se interpreta que esta leyenda indica las posibilidades prácticamente ilimitadas que se esconden en el juego de ajedrez.

Es fácil ver que este número en realidad tiene 20 dígitos:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (un cálculo más preciso da 1,84∙10 19). Pero me pregunto si puedes averiguar con qué dígito termina este número.

Una progresión geométrica puede ser creciente si el denominador es mayor que 1 o decreciente si es menor que uno. En el último caso, el número q n para n suficientemente grande puede volverse arbitrariamente pequeño. Mientras que la progresión geométrica creciente aumenta inesperadamente rápidamente, la progresión geométrica decreciente disminuye con la misma rapidez.

Cuanto mayor es n, más débil se diferencia el número q n de cero y más se acerca la suma de n términos de la progresión geométrica S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) al número S = b 1 / ( 1-q). (Por ejemplo, F. Viet razonó de esta manera). El número S se llama suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente. Sin embargo, durante muchos siglos la cuestión de cuál es el significado de sumar TODA la progresión geométrica, con su número infinito de términos, no fue lo suficientemente clara para los matemáticos.

Se puede ver una progresión geométrica decreciente, por ejemplo, en las aporías de Zenón “Media división” y “Aquiles y la tortuga”. En el primer caso, se muestra claramente que todo el camino (suponiendo una longitud 1) es la suma de un número infinito de segmentos 1/2, 1/4, 1/8, etc. Este es, por supuesto, el caso de el punto de vista de las ideas sobre una progresión geométrica infinita de suma finita. Y, sin embargo, ¿cómo puede ser esto?

Arroz. 2. Progresión con un coeficiente de 1/2

En la aporía sobre Aquiles la situación es un poco más complicada, porque aquí el denominador de la progresión no es 1/2, sino algún otro número. Supongamos, por ejemplo, que Aquiles corre con velocidad v, la tortuga se mueve con velocidad u y la distancia inicial entre ellos es l. Aquiles cubrirá esta distancia en el tiempo l/v, y durante este tiempo la tortuga se moverá una distancia lu/v. Cuando Aquiles recorre este segmento, la distancia entre él y la tortuga será igual a l (u /v) 2, etc. Resulta que alcanzar a la tortuga significa encontrar la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente con la primera término l y el denominador u /v. Esta suma, el segmento que Aquiles finalmente recorrerá hasta el lugar de encuentro con la tortuga, es igual a l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Pero, de nuevo, ¿cómo debería interpretarse este resultado y por qué tiene algún sentido? por mucho tiempo no estaba muy claro.

Arroz. 3. Progresión geométrica con un coeficiente de 2/3

Arquímedes utilizó la suma de una progresión geométrica para determinar el área de un segmento de parábola. Sea este segmento de la parábola delimitado por la cuerda AB y sea la tangente en el punto D de la parábola paralela a AB. Sea C el punto medio de AB, E el punto medio de AC, F el punto medio de CB. Dibujemos líneas paralelas a DC que pasen por los puntos A, E, F, B; Sea la tangente trazada en el punto D que interseque estas rectas en los puntos K, L, M, N. Dibujemos también los segmentos AD y DB. Dejemos que la recta EL corte a la recta AD en el punto G y a la parábola en el punto H; La recta FM corta a la recta DB en el punto Q y a la parábola en el punto R. Según la teoría general de las secciones cónicas, DC es el diámetro de una parábola (es decir, un segmento paralelo a su eje); él y la tangente en el punto D pueden servir como ejes de coordenadas x e y, en los que la ecuación de la parábola se escribe como y 2 = 2px (x es la distancia desde D a cualquier punto de un diámetro dado, y es la longitud de un segmento paralelo a una tangente dada desde este punto de diámetro hasta algún punto de la propia parábola).

En virtud de la ecuación de la parábola, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, y como DK = 2DL, entonces KA = 4LH. Porque KA = 2LG, LH = HG. El área del segmento ADB de una parábola es igual al área del triángulo ΔADB y las áreas de los segmentos AHD y DRB combinados. A su vez, el área del segmento AHD es igualmente igual al área del triángulo AHD y los segmentos restantes AH y HD, con cada uno de los cuales se puede realizar la misma operación: dividir en un triángulo (Δ) y los dos segmentos restantes (), etc.:

El área del triángulo ΔAHD es igual a la mitad del área del triángulo ΔALD (tienen una base común AD y las alturas difieren 2 veces), que, a su vez, es igual a la mitad del área de ​​el triángulo ΔAKD, y por tanto la mitad del área del triángulo ΔACD. Por tanto, el área del triángulo ΔAHD es igual a un cuarto del área del triángulo ΔACD. Asimismo, el área del triángulo ΔDRB es igual a un cuarto del área del triángulo ΔDFB. Entonces, las áreas de los triángulos ΔAHD y ΔDRB, tomadas en conjunto, son iguales a un cuarto del área del triángulo ΔADB. Al repetir esta operación cuando se aplica a los segmentos AH, HD, DR y RB, se seleccionarán triángulos de ellos, cuyo área, en conjunto, será 4 veces menor que el área de los triángulos ΔAHD y ΔDRB, en conjunto, y por tanto 16 veces menor, que el área del triángulo ΔADB. Etcétera:

Así, Arquímedes demostró que “todo segmento comprendido entre una recta y una parábola constituye los cuatro tercios de un triángulo que tiene la misma base y la misma altura”.

Ejemplo de progresión geométrica: 2, 6, 18, 54, 162.

Aquí, cada término después del primero es 3 veces mayor que el anterior. Es decir, cada término posterior es el resultado de multiplicar el término anterior por 3:

2 · 3 = 6

6 3 = 18

18 3 = 54

54 3 = 162 .

En nuestro ejemplo, al dividir el segundo término por el primero, el tercero por el segundo, etc. obtenemos 3. El número 3 es el denominador de esta progresión geométrica.


Ejemplo:

Volvamos a nuestra progresión geométrica 2, 6, 18, 54, 162. Tomemos el cuarto término y lo elevamos al cuadrado:
54 2 = 2916.

Ahora multipliquemos los términos a la izquierda y a la derecha del número 54:

18 162 = 2916.

Como podemos ver, el cuadrado del tercer término es igual al producto de los términos adyacentes segundo y cuarto.

Ejemplo 1: Tomemos una determinada progresión geométrica en la que el primer término es igual a 2 y el denominador de la progresión geométrica es igual a 1,5. Necesitamos encontrar el cuarto término de esta progresión.

Dado:
b 1 = 2

q = 1,5
norte = 4

————
b 4 - ?

Solución.

Aplicar la fórmula bn= segundo 1 · q norte- 1 , insertando en él los valores apropiados:
b 4 = 2 1,5 4 - 1 = 2 1,5 3 = 2 3,375 = 6,75.

Respuesta: El cuarto término de una progresión geométrica dada es el número 6,75.

Ejemplo 2: Encuentra el quinto término de una progresión geométrica si el primer y tercer término son iguales a 12 y 192, respectivamente.

Dado:
b 1 = 12
b 3 = 192
————
b 5 - ?

Solución.

1) Primero necesitamos encontrar el denominador de la progresión geométrica, sin el cual es imposible resolver el problema. Como primer paso, usando nuestra fórmula, derivamos la fórmula para b 3:

b 3 = segundo 1 q 3 - 1 = segundo 1 q 2

Ahora podemos encontrar el denominador de la progresión geométrica:

b 3 192
q 2 = —— = —— = 16
b 1 12

q= √16 = 4 o -4.

2) Queda por encontrar el valor. b 5 .
Si q= 4, entonces

b 5 = b 1 q 5-1 = 12 4 4 = 12 256 = 3072.

En q= -4 el resultado será el mismo. Por tanto, el problema tiene una solución.

Respuesta: El quinto término de la progresión geométrica dada es el número 3072.


Ejemplo: Encuentra la suma de los primeros cinco términos de la progresión geométrica ( bn), en el que el primer término es 2 y el denominador de la progresión geométrica es 3.

Dado:

b 1 = 2

q = 3

norte = 5
————
S 5 - ?

Solución.

Aplicamos la segunda fórmula de las dos anteriores:

b 1 (q 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 (243 - 1) 484
S 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
q - 1 3 - 1 2 2

Respuesta: La suma de los primeros cinco términos de una progresión geométrica dada es 242.

Suma de una progresión geométrica infinita.

Es necesario distinguir entre los conceptos “suma de una progresión geométrica infinita” y “suma norte miembros de una progresión geométrica." El segundo concepto se aplica a cualquier progresión geométrica, y el primero, solo a aquella en la que el denominador es menor que 1 en valor absoluto.