Las ecuaciones en general, las ecuaciones algebraicas lineales y sus sistemas, así como los métodos para resolverlas, ocupan un lugar especial en las matemáticas, tanto teóricas como aplicadas.

Esto se debe a que la gran mayoría de los problemas físicos, económicos, técnicos e incluso pedagógicos se pueden describir y resolver utilizando una variedad de ecuaciones y sus sistemas. EN Últimamente El modelado matemático se ha vuelto especialmente popular entre investigadores, científicos y profesionales en casi todas las áreas temáticas, lo que se explica por sus evidentes ventajas sobre otros métodos bien conocidos y probados para estudiar objetos de diversa naturaleza, en particular, los llamados sistemas complejos. hay una gran variedad varias definiciones modelo matemático dado por los científicos en tiempos diferentes, pero en nuestra opinión, la más acertada es la siguiente afirmación. Modelo matemático es una idea expresada por una ecuación. Por lo tanto, la capacidad de componer y resolver ecuaciones y sus sistemas es una característica integral de un especialista moderno.

Para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, los métodos más utilizados son: Cramer, Jordan-Gauss y el método matricial.

Método de solución matricial - método de solución usando matriz inversa sistemas de ecuaciones algebraicas lineales con determinante distinto de cero.

Si escribimos los coeficientes para los valores desconocidos xi en la matriz A, recopilamos los valores desconocidos en el vector de la columna X y los términos libres en el vector de la columna B, entonces el sistema de ecuaciones algebraicas lineales se puede escribir en la forma de la siguiente ecuación matricial A X = B, que tiene solución única sólo cuando el determinante de la matriz A no es igual a cero. En este caso, la solución del sistema de ecuaciones se puede encontrar de la siguiente manera X = A-1 · B, Dónde A-1 - matriz inversa.

El método de solución matricial es el siguiente.

Deja que el sistema ecuaciones lineales Con norte desconocido:

Se puede reescribir en forma matricial: HACHA = B, Dónde A- la matriz principal del sistema, B Y X- columnas de miembros libres y soluciones del sistema, respectivamente:

Multiplique esta ecuación matricial de la izquierda por A-1 - matriz inversa a matriz A: A -1 (HACHA) = A -1 B

Porque A -1 A = mi, obtenemos X= un -1 B. El lado derecho de esta ecuación dará una columna de soluciones al sistema original. La condición para la aplicabilidad de este método (así como la existencia general de una solución a un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales con el número de ecuaciones, igual al numero incógnitas) es la no singularidad de la matriz A. Una condición necesaria y suficiente para esto es que el determinante de la matriz A: det A≠ 0.

Para un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, es decir, cuando el vector B = 0 , de hecho la regla opuesta: el sistema HACHA = 0 tiene una solución no trivial (es decir, distinta de cero) solo si det A= 0. Tal conexión entre las soluciones de sistemas homogéneos y no homogéneos de ecuaciones lineales se llama la alternativa de Fredholm.

Ejemplo soluciones de un sistema no homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales.

Asegurémonos de que el determinante de la matriz, compuesta por los coeficientes de las incógnitas del sistema de ecuaciones algebraicas lineales, no sea igual a cero.

El siguiente paso es calcular los complementos algebraicos de los elementos de la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas. Se necesitarán para encontrar la matriz inversa.

Tema 2. SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES.

Conceptos básicos.

Definición 1. sistema metro ecuaciones lineales con norte desconocido es un sistema de la forma:

dónde y - numeros

Definición 2. La solución del sistema (I) es tal conjunto de incógnitas, en el que cada ecuación de este sistema se convierte en una identidad.

Definición 3. El sistema (I) se llama articulación si tiene al menos una solución y incompatible si no tiene soluciones. El sistema de unión se llama cierto si tiene solución única y incierto de lo contrario.

Definición 4. Ecuación tipo

llamado cero, y una ecuación de la forma

llamado incompatible. Obviamente, un sistema de ecuaciones que contiene una ecuación inconsistente es inconsistente.

Definición 5. Los dos sistemas de ecuaciones lineales se llaman equivalente si toda solución de un sistema es solución de otro y, a la inversa, toda solución del segundo sistema es solución del primero.

Notación matricial para un sistema de ecuaciones lineales.

Considere el sistema (I) (ver §1).

Denotar:

Matriz de coeficientes para incógnitas

,

Matrix - columna de miembros libres

Matriz - columna de incógnitas

.

Definición 1. La matriz se llama la matriz principal del sistema(I), y la matriz es la matriz aumentada del sistema (I).

Por la definición de igualdad matricial, el sistema (I) corresponde a la igualdad matricial:

.

El lado derecho de esta igualdad por la definición del producto de matrices ( ver definición 3 § 5 capítulo 1) se puede factorizar:

, es decir.

Igualdad (2) llamado notación matricial del sistema (I).

Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de Cramer.

Dejar entrar sistema (I) (ver §1) m=n, es decir. el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y la matriz principal del sistema no es degenerada, es decir . Entonces el sistema (I) de §1 tiene solución única

donde ∆ = det A llamado el principal determinante del sistema(yo), ∆ i se obtiene del determinante Δ reemplazando i-ésima columna a la columna de miembros libres del sistema (I).

Ejemplo Resolver el sistema por el método de Cramer:

.

Por fórmulas (3) .

Calculamos los determinantes del sistema:

,

,

,

.

Para obtener el determinante, hemos reemplazado la primera columna del determinante con una columna de miembros libres; reemplazando la 2da columna en el determinante con una columna de miembros libres, obtenemos ; de manera similar, reemplazando la 3ra columna en el determinante con una columna de miembros libres, obtenemos . Solución del sistema:

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando una matriz inversa.

Dejar entrar sistema (I) (ver §1) m=n y la matriz principal del sistema es no degenerada. Escribimos el sistema (I) en forma matricial ( ver §2):

porque matriz A es no degenerado, entonces tiene una matriz inversa ( ver Teorema 1 §6 del Capítulo 1). Multiplica ambos lados de la ecuación. (2) a la matriz, entonces

. (3)

Por definición de la matriz inversa. De la igualdad (3) tenemos

Resuelve el sistema usando la matriz inversa

.

Denotar

; ; .

En el ejemplo (§ 3) calculamos el determinante , por lo tanto, la matriz A tiene una matriz inversa. Entonces en vigor (4) , es decir.

. (5)

Encuentre la matriz ( ver §6 capítulo 1)

, , ,

, , ,

, , ,

,

.

método de Gauss.

Sea dado el sistema de ecuaciones lineales:

. (I)

Se requiere encontrar todas las soluciones del sistema (I) o asegurarse de que el sistema sea inconsistente.

Definición 1.Llamemos a la transformación elemental del sistema(I) cualquiera de las tres acciones:

1) eliminación de la ecuación cero;

2) sumando a ambas partes de la ecuación las partes correspondientes de la otra ecuación, multiplicadas por el número l;

3) intercambiar términos en las ecuaciones del sistema para que las incógnitas con los mismos números en todas las ecuaciones ocupen los mismos lugares, es decir si, por ejemplo, en la 1ra ecuación cambiamos los términos 2 y 3, entonces se debe hacer lo mismo en todas las ecuaciones del sistema.

El método de Gauss consiste en que el sistema (I) con la ayuda de transformaciones elementales se reduce a un sistema equivalente, cuya solución se encuentra directamente o se establece su insolubilidad.

Como se describe en §2, el sistema (I) está determinado únicamente por su matriz extendida, y cualquier transformación elemental del sistema (I) corresponde a una transformación elemental de la matriz extendida:

.

La transformación 1) corresponde a eliminar el renglón cero de la matriz, la transformación 2) equivale a sumar al renglón correspondiente de la matriz su otro renglón multiplicado por el número l, la transformación 3) equivale a reorganizar las columnas de la matriz.

Es fácil ver que, por el contrario, cada transformación elemental de la matriz corresponde a una transformación elemental del sistema (I). En vista de lo dicho, en lugar de operaciones con el sistema (I), trabajaremos con la matriz aumentada de este sistema.

En la matriz, la primera columna consta de coeficientes en x1, 2ª columna - de los coeficientes en x2 etc. En el caso de reorganización de columnas, se debe tener en cuenta que se viola esta condición. Por ejemplo, si intercambiamos las columnas 1 y 2, ahora en la columna 1 habrá coeficientes en x2, y en la segunda columna - coeficientes en x1.

Resolveremos el sistema (I) por el método de Gauss.

1. Tache todas las filas de cero en la matriz, si las hay (es decir, tache todas las ecuaciones de cero en el sistema (I).

2. Verifique si hay una fila entre las filas de la matriz en la que todos los elementos, excepto el último, son iguales a cero (llamemos a esa fila inconsistente). Obviamente, tal línea corresponde a una ecuación inconsistente en el sistema (I), por lo tanto, el sistema (I) no tiene soluciones, y aquí es donde termina el proceso.

3. Que la matriz no contenga filas inconsistentes (el sistema (I) no contiene ecuaciones inconsistentes). Si un 11 =0, luego encontramos en la 1ra fila algún elemento (excepto el último) que es diferente de cero y reorganizamos las columnas para que no haya cero en la 1ra fila en el 1er lugar. Ahora asumimos que (es decir, intercambiamos los términos correspondientes en las ecuaciones del sistema (I)).

4. Multiplique la 1.ª fila por y sume el resultado a la 2.ª fila, luego multiplique la 1.ª fila por y sume el resultado a la 3.ª fila, etc. Obviamente, este proceso es equivalente a eliminar la incógnita x1 de todas las ecuaciones del sistema (I), excepto la 1ra. En la nueva matriz, obtenemos ceros en la primera columna debajo del elemento un 11:

.

5. Tache todas las filas cero en la matriz, si las hay, verifique si hay una fila inconsistente (si la hay, entonces el sistema es inconsistente y la solución termina allí). vamos a comprobar si un 22 / =0, en caso afirmativo, buscamos un elemento en la segunda fila que sea diferente de cero y reorganizamos las columnas para que . A continuación, multiplicamos los elementos de la segunda fila por y agregue con los elementos correspondientes de la 3ra fila, luego - los elementos de la 2da fila en y sumamos con los elementos correspondientes de la 4ª fila, etc., hasta obtener ceros debajo un 22 /

.

Las acciones realizadas equivalen a la eliminación de lo desconocido x2 de todas las ecuaciones del sistema (I), excepto la 1ª y la 2ª. Dado que el número de filas es finito, por lo tanto, después de un número finito de pasos, obtendremos que el sistema es inconsistente o llegaremos a una matriz escalonada ( ver definición 2 §7 capítulo 1) :

,

Escribamos el sistema de ecuaciones correspondiente a la matriz. Este sistema es equivalente al sistema (I)

.

De la última ecuación expresamos ; sustituimos en la ecuación anterior, encontramos, etc., hasta obtener .

Observación 1. Así, al resolver el sistema (I) por el método de Gauss, llegamos a uno de los siguientes casos.

1. El sistema (I) es inconsistente.

2. El sistema (I) tiene solución única si el número de filas en la matriz es igual al número de incógnitas ().

3. El sistema (I) tiene un número infinito de soluciones si el número de filas en la matriz menos que número desconocido().

Por lo tanto, se cumple el siguiente teorema.

Teorema. El sistema de ecuaciones lineales es inconsistente o tiene una solución única o hay un conjunto infinito de soluciones.

Ejemplos. Resolver el sistema de ecuaciones por el método de Gauss o probar su inconsistencia:

A) ;

b) ;

V) .

a) reescribir para este sistema como:

.

Intercambiamos las ecuaciones 1 y 2 del sistema original para simplificar los cálculos (en lugar de fracciones, operaremos solo con números enteros usando esa permutación).

Componemos una matriz expandida:

.

No hay líneas nulas; sin líneas incompatibles, ; excluimos la primera incógnita de todas las ecuaciones del sistema, excepto la primera. Para ello, multiplicamos los elementos de la 1ª fila de la matriz por "-2" y los sumamos a los elementos correspondientes de la 2ª fila, lo que equivale a multiplicar la 1ª ecuación por "-2" y sumarla a la 2da ecuación. Luego multiplicamos los elementos de la primera fila por "-3" y los agregamos a los elementos correspondientes de la tercera fila, es decir multiplique la segunda ecuación del sistema dado por "-3" y súmela a la tercera ecuación. Conseguir

.

La matriz corresponde al sistema de ecuaciones

método de matriz inversa no es dificil si sabes principios generales trabajar con ecuaciones matriciales y, por supuesto, ser capaz de realizar operaciones algebraicas elementales.

Resolver el sistema de ecuaciones por el método de la matriz inversa. Ejemplo.

Es más conveniente comprender el método de la matriz inversa en buen ejemplo. Tomemos un sistema de ecuaciones:

El primer paso que se debe dar para resolver este sistema de ecuaciones es encontrar el determinante. Por lo tanto, transformamos nuestro sistema de ecuaciones en la siguiente matriz:

Y encuentre el determinante deseado:

La fórmula utilizada para resolver ecuaciones matriciales es la siguiente:

Así, para calcular X, necesitamos determinar el valor de la matriz A-1 y multiplicarlo por b. Otra fórmula nos ayudará con esto:

En este caso será matriz transpuesta- es decir, lo mismo, original, pero escrito no en filas, sino en columnas.

No se debe olvidar que método de matriz inversa, al igual que el método de Cramer, solo es adecuado para sistemas en los que el determinante es mayor o menor que cero. Si el determinante es igual a cero, se debe utilizar el método de Gauss.

El siguiente paso es compilar la matriz de menores, que es el siguiente esquema:

Como resultado, obtuvimos tres matrices: menores, complementos algebraicos y una matriz transpuesta de complementos algebraicos. Ahora puede proceder a la compilación real de la matriz inversa. Ya conocemos la fórmula. Para nuestro ejemplo, se verá así.

En la primera parte, vimos algunos material teorico, el método de sustitución y el método de suma término por término de ecuaciones del sistema. A todos los que llegaron al sitio a través de esta página, les recomiendo que lean la primera parte. Tal vez, algunos visitantes encontrarán el material demasiado simple, pero en el curso de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, hice una serie de comentarios y conclusiones muy importantes con respecto a la solución. problemas de matematicas generalmente.

Y ahora analizaremos la regla de Cramer, así como la solución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando la matriz inversa (método matricial). Todos los materiales se presentan de manera simple, detallada y clara, casi todos los lectores podrán aprender cómo resolver sistemas utilizando los métodos anteriores.

Primero consideramos la regla de Cramer en detalle para un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. ¿Para qué? “Después de todo, el sistema más simple puede resolverse con el método de la escuela, ¡mediante la suma término por término!

El hecho es que aunque a veces, pero existe tal tarea: resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas usando las fórmulas de Cramer. En segundo lugar, un ejemplo más simple lo ayudará a comprender cómo usar la regla de Cramer para un caso más complejo: un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Además, existen sistemas de ecuaciones lineales con dos variables, que es recomendable resolver exactamente ¡según la regla de Cramer!

Considere el sistema de ecuaciones

En el primer paso, calculamos el determinante , se llama el principal determinante del sistema.

método de Gauss.

Si , entonces el sistema tiene solución única, y para encontrar las raíces, debemos calcular dos determinantes más:
Y

En la práctica, los determinantes anteriores también se pueden denotar letra latina.

Las raíces de la ecuación se encuentran mediante las fórmulas:
,

Ejemplo 7

Resolver un sistema de ecuaciones lineales

Solución: Vemos que los coeficientes de la ecuación son bastante grandes, en el lado derecho hay decimales con una coma La coma es un invitado bastante raro en tareas practicas en matemáticas, tomé este sistema de un problema econométrico.

¿Cómo resolver tal sistema? Puede tratar de expresar una variable en términos de otra, pero en este caso seguramente obtendrá fracciones terriblemente sofisticadas, con las que es extremadamente inconveniente trabajar, y el diseño de la solución se verá horrible. Puedes multiplicar la segunda ecuación por 6 y restar término por término, pero aquí aparecerán las mismas fracciones.

¿Qué hacer? En tales casos, las fórmulas de Cramer vienen al rescate.

;

;

Respuesta: ,

Ambas raíces tienen colas infinitas y se encuentran aproximadamente, lo cual es bastante aceptable (e incluso común) para problemas econométricos.

No se necesitan comentarios aquí, ya que la tarea se resuelve de acuerdo con fórmulas preparadas, sin embargo, hay una advertencia. Al utilizar este método, obligatorio El fragmento de la asignación es el siguiente fragmento: "entonces el sistema tiene una solución única". De lo contrario, el revisor puede castigarlo por no respetar el teorema de Cramer.

No estará de más verificar, lo cual es conveniente realizar en una calculadora: sustituimos los valores aproximados en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema. Como resultado, con un pequeño error, se deben obtener números que están en el lado derecho.

Ejemplo 8

Exprese su respuesta en fracciones impropias ordinarias. Haz un cheque.

Este es un ejemplo de una solución independiente (ejemplo de diseño fino y respuesta al final de la lección).

Pasamos a la consideración de la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Encontramos el principal determinante del sistema:

Si , entonces el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente (no tiene soluciones). En este caso, la regla de Cramer no ayudará, debe usar el método de Gauss.

Si , entonces el sistema tiene solución única, y para encontrar las raíces, debemos calcular tres determinantes más:
, ,

Y finalmente, la respuesta se calcula mediante las fórmulas:

Como puede ver, el caso "tres por tres" no es fundamentalmente diferente del caso "dos por dos", la columna de términos libres "camina" secuencialmente de izquierda a derecha a lo largo de las columnas del determinante principal.

Ejemplo 9

Resuelve el sistema usando las fórmulas de Cramer.

Solución: Resolvamos el sistema usando las fórmulas de Cramer.

, por lo que el sistema tiene solución única.

Respuesta: .

En realidad, no hay nada especial que comentar aquí nuevamente, en vista del hecho de que la decisión se toma de acuerdo con fórmulas prefabricadas. Pero hay un par de notas.

Sucede que como resultado de los cálculos, se obtienen fracciones irreducibles "malas", por ejemplo: .
recomiendo siguiente algoritmo"tratamiento". Si no hay una computadora a la mano, hacemos esto:

1) Puede haber un error en los cálculos. Tan pronto como encuentre un tiro "malo", debe verificar inmediatamente si es la condición reescrita correctamente. Si la condición se vuelve a escribir sin errores, entonces debe volver a calcular los determinantes usando la expansión en otra fila (columna).

2) Si no se encontraron errores como resultado de la verificación, lo más probable es que se haya cometido un error tipográfico en la condición de la asignación. En este caso, resuelva la tarea con calma y CUIDADOSAMENTE hasta el final, y luego asegúrese de comprobar y redactarlo en copia limpia después de la decisión. Por supuesto, verificar una respuesta fraccionaria es una tarea desagradable, pero será un argumento convincente para el maestro, a quien, bueno, realmente le gusta poner un menos por cualquier cosa mala. La forma de tratar con fracciones se detalla en la respuesta del Ejemplo 8.

Si tiene una computadora a mano, use un programa automatizado para verificarla, que se puede descargar de forma gratuita al comienzo de la lección. Por cierto, es más ventajoso usar el programa de inmediato (incluso antes de comenzar la solución), ¡verá inmediatamente el paso intermedio en el que cometió un error! La misma calculadora calcula automáticamente la solución del sistema utilizando el método matricial.

Segunda observación. De vez en cuando hay sistemas en cuyas ecuaciones faltan algunas variables, por ejemplo:

Aquí en la primera ecuación no hay variable, en la segunda no hay variable. En tales casos, es muy importante escribir correctamente y CUIDADOSAMENTE el determinante principal:
– se colocan ceros en lugar de las variables que faltan.
Por cierto, es racional abrir determinantes con ceros según la fila (columna) en la que se encuentra el cero, ya que hay notablemente menos cálculos.

Ejemplo 10

Resuelve el sistema usando las fórmulas de Cramer.

Este es un ejemplo de autodecisión (muestra final y respuesta al final de la lección).

Para el caso de un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, las fórmulas de Cramer se escriben según principios similares. Puede ver un ejemplo en vivo en la lección Propiedades de los determinantes. Reduciendo el orden del determinante - cinco determinantes de cuarto orden son bastante solucionables. Aunque la tarea ya recuerda mucho al zapato de un profesor en el pecho de un estudiante afortunado.

Solución del sistema usando la matriz inversa

El método de la matriz inversa es esencialmente caso especial ecuación matricial(Ver Ejemplo No. 3 de la lección especificada).

Para estudiar esta sección, debe poder expandir los determinantes, encontrar la matriz inversa y realizar la multiplicación de matrices. Se proporcionarán enlaces relevantes a medida que avance la explicación.

Ejemplo 11

Resolver el sistema con el método matricial

Solución: Escribimos el sistema en forma matricial:
, Dónde

Por favor mire el sistema de ecuaciones y las matrices. Por qué principio escribimos elementos en matrices, creo que todos lo entienden. El único comentario: si faltaran algunas variables en las ecuaciones, habría que poner ceros en los lugares correspondientes de la matriz.

Encontramos la matriz inversa por la fórmula:
, donde es la matriz traspuesta de complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz .

Primero, tratemos con el determinante:

Aquí el determinante se expande por la primera línea.

¡Atención! Si , entonces la matriz inversa no existe y es imposible resolver el sistema por el método matricial. En este caso, el sistema se resuelve mediante la eliminación de incógnitas (método de Gauss).

Ahora necesitas calcular 9 menores y escribirlos en la matriz de menores

Referencia: Es útil saber el significado de los subíndices dobles en álgebra lineal. El primer dígito es el número de línea en el que se encuentra el elemento. El segundo dígito es el número de la columna en la que se encuentra el elemento:

Es decir, un subíndice doble indica que el elemento está en la primera fila, tercera columna, mientras que, por ejemplo, el elemento está en la 3ra fila, 2da columna

Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas llamado sistema de la forma

Dónde aij Y b yo (i=1,…,metro; b=1,…,norte) son algunos números conocidos, y x 1 ,…,x n- desconocido. En la notación de los coeficientes aij primer índice i denota el número de la ecuación, y el segundo j es el número de la incógnita en la que se encuentra este coeficiente.

Los coeficientes de las incógnitas se escribirán en forma de matriz , que llamaremos matriz del sistema.

Los números en el lado derecho de las ecuaciones. b 1 ,…,b m llamado miembros libres.

Agregar norte números c 1 ,…, c n llamado decisión de este sistema, si cada ecuación del sistema se convierte en una igualdad después de sustituir números en ella c 1 ,…, c n en lugar de las correspondientes incógnitas x 1 ,…,x n.

Nuestra tarea será encontrar soluciones al sistema. En este caso se pueden dar tres situaciones:

Un sistema de ecuaciones lineales que tiene al menos una solución se llama articulación. De lo contrario, es decir si el sistema no tiene soluciones, entonces se llama incompatible.

Considere formas de encontrar soluciones para el sistema.


METODO MATRICIAL PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Las matrices permiten escribir brevemente un sistema de ecuaciones lineales. Sea dado un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas:

Considere la matriz del sistema y columnas de matriz de miembros desconocidos y libres

Busquemos el producto

aquellos. como resultado del producto, obtenemos los lados izquierdos de las ecuaciones de este sistema. Entonces, usando la definición de igualdad matricial, este sistema se puede escribir como

o más corto A∙X=B.

Aquí matrices A Y B son conocidos, y la matriz X desconocido. Ella necesita ser encontrada, porque. sus elementos son la solución de este sistema. Esta ecuación se llama ecuación matricial.

Sea el determinante de la matriz diferente de cero | A| ≠ 0. Entonces la ecuación matricial se resuelve de la siguiente manera. Multiplica ambos lados de la ecuación de la izquierda por la matriz A-1, la inversa de la matriz A: . Porque el A -1 A = E Y mi∙X=X, entonces obtenemos la solución de la ecuación matricial en la forma X = A -1B .

Tenga en cuenta que dado que la matriz inversa solo se puede encontrar para matrices cuadradas, el método de la matriz solo puede resolver aquellos sistemas en los que el numero de ecuaciones es igual al numero de incognitas. Sin embargo, la notación matricial del sistema también es posible en el caso de que el número de ecuaciones no sea igual al número de incógnitas, entonces la matriz A no es cuadrado y por lo tanto es imposible encontrar una solución al sistema en la forma X = A -1B.

Ejemplos. Resolver sistemas de ecuaciones.

REGLA DE CRAMER

Considere un sistema de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas:

Determinante de tercer orden correspondiente a la matriz del sistema, es decir compuesto de coeficientes en incógnitas,

llamado determinante del sistema.

Componemos tres determinantes más de la siguiente manera: reemplazamos sucesivamente 1, 2 y 3 columnas en el determinante D con una columna de miembros libres

Entonces podemos demostrar el siguiente resultado.

Teorema (regla de Cramer). Si el determinante del sistema es Δ ≠ 0, entonces el sistema en consideración tiene una y sólo una solución, y

Prueba. Entonces, considere un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas. Multiplica la 1ra ecuación del sistema por el complemento algebraico un 11 elemento un 11, segunda ecuación - en A21 y 3º - en Un 31:

Sumemos estas ecuaciones:

Considere cada uno de los corchetes y el lado derecho de esta ecuación. Por el teorema de la expansión del determinante en función de los elementos de la 1ª columna

De manera similar, se puede demostrar que y .

Finalmente, es fácil ver que

Así, obtenemos la igualdad: .

Por eso, .

Las igualdades y se derivan análogamente, de donde se sigue la afirmación del teorema.

Así, notamos que si el determinante del sistema es Δ ≠ 0, entonces el sistema tiene solución única y viceversa. Si el determinante del sistema es igual a cero, entonces el sistema tiene un conjunto infinito de soluciones o no tiene soluciones, es decir incompatible.

Ejemplos. Resolver un sistema de ecuaciones


MÉTODO DE GAUSS

Los métodos considerados anteriormente pueden usarse para resolver solo aquellos sistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas, y el determinante del sistema debe ser diferente de cero. El método de Gauss es más universal y es adecuado para sistemas con cualquier número de ecuaciones. Consiste en la eliminación sucesiva de incógnitas de las ecuaciones del sistema.

Considere nuevamente un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

.

Dejamos la primera ecuación sin cambios, y de la 2 y 3 excluimos los términos que contienen x1. Para hacer esto, dividimos la segunda ecuación por A 21 y multiplicar por - A 11 y luego sumar con la primera ecuación. De manera similar, dividimos la tercera ecuación en A 31 y multiplicar por - A 11 y luego añádelo al primero. Como resultado, el sistema original tomará la forma:

Ahora, de la última ecuación, eliminamos el término que contiene x2. Para ello, divide la tercera ecuación por , multiplícala por y súmala a la segunda. Entonces tendremos un sistema de ecuaciones:

Por lo tanto, a partir de la última ecuación es fácil encontrar x3, entonces de la segunda ecuación x2 y finalmente desde el 1 - x1.

Cuando se utiliza el método gaussiano, las ecuaciones se pueden intercambiar si es necesario.

A menudo, en lugar de escribir nuevo sistema Las ecuaciones se limitan a escribir la matriz extendida del sistema:

y luego llevarlo a una forma triangular o diagonal usando transformaciones elementales.

A transformaciones elementales Las matrices incluyen las siguientes transformaciones:

  1. permutación de filas o columnas;
  2. multiplicar una cadena por un número distinto de cero;
  3. añadiendo a una línea otras líneas.

Ejemplos: Resolver sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss.


Por lo tanto, el sistema tiene un número infinito de soluciones.