Método matricial para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Considere un sistema de ecuaciones lineales de la siguiente forma:

$\left\(\begin(array)(c) (a_(11) x_(1) +a_(12) x_(2) +...+a_(1n) x_(n) =b_(1) ) \\ (a_(21) x_(1) +a_(22) x_(2) +...+a_(2n) x_(n) =b_(2) ) \\ (...) \\ (a_ (n1) x_(1) +a_(n2) x_(2) +...+a_(nn) x_(n) =b_(n) ) \end(array)\right .$.

Los números $a_(ij) (i=1..n,j=1..n)$ son los coeficientes del sistema, los números $b_(i) (i=1..n)$ son los términos libres .

Definición 1

En el caso de que todos los términos libres sean iguales a cero, el sistema se llama homogéneo; en caso contrario, se llama no homogéneo.

A cada SLAE se le pueden asociar varias matrices y el sistema se puede escribir en la denominada forma matricial.

Definición 2

La matriz de coeficientes del sistema se llama matriz del sistema y generalmente se denota con la letra $A$.

La columna de términos libres forma un vector de columna, que generalmente se denota con la letra $B$ y se llama matriz de términos libres.

Las variables desconocidas forman un vector columna, que generalmente se denota con la letra $X$ y se llama matriz de incógnitas.

Las matrices descritas anteriormente tienen la forma:

$A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & ( a_(22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (...) & (a_(nn) ) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (b_(1) ) \ \ (b_(2) ) \\ (...) \\ (b_(n) ) \end(array)\right),X=\left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (...) \\ (x_(n) ) \end(array)\right).$

Usando matrices, el SLAE se puede reescribir como $A\cdot X=B$. Esta notación a menudo se denomina ecuación matricial.

En términos generales, cualquier SLAE se puede escribir en forma matricial.

Ejemplos de resolución de un sistema usando una matriz inversa

Ejemplo 1

Dado SLAE: $\left\(\begin(array)(c) (3x_(1) -2x_(2) +x_(3) -x_(4) =3) \\ (x_(1) -12x_(2 ) -x_(3) -x_(4) =7) \\ (2x_(1) -3x_(2) +x_(3) -3x_(4) =5) \end(array)\right $. forma matricial.

Solución:

$A=\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1 ) \\ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(array)\right),X=\left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \ fin(matriz)\derecha).$

$\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) \ \ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_( 2) ) \\ (x_(3) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(array)\ derecha)$

En el caso de que la matriz del sistema sea cuadrada, el SLAE se puede resolver mediante el método matricial.

Teniendo una ecuación matricial $A\cdot X=B$, podemos expresar $X$ a partir de ella de la siguiente manera:

$A^(-1) \cdot A\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$A^(-1) \cdot A=E$ (propiedad del producto matricial)

$E\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$E\cdot X=X$ (propiedad del producto de matriz)

$X=A^(-1) \cdot B$

Algoritmo para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas usando una matriz inversa:

  • escribir el sistema en forma matricial;
  • calcular el determinante de la matriz del sistema;
  • si el determinante de la matriz del sistema es distinto de cero, entonces encontramos la matriz inversa;
  • Calculamos la solución del sistema usando la fórmula $X=A^(-1) \cdot B$.

Si la matriz de un sistema tiene un determinante distinto de cero, entonces este sistema tiene una solución única que se puede encontrar mediante el método matricial.

Si la matriz del sistema tiene un determinante igual a cero, entonces este sistema no se puede resolver usando el método matricial.

Ejemplo 2

Dado SLAE: $\left\(\begin(array)(c) (x_(1) +3x_(3) =26) \\ (-x_(1) +2x_(2) +x_(3) =52) \\ (3x_(1) +2x_(2) =52) \end(array)\right $. Resuelva el SLAE usando el método de matriz inversa, si es posible.

Solución:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & ( 0) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (26) \\ (52) \\ (52) \end(array)\right),X=\left (\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \end(array)\right). $

Encontrar el determinante de la matriz del sistema:

$\begin(array)(l) (\det A=\left|\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & (0) \end(array)\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3 \cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0) \end(array)$ Como el determinante no es igual a cero, la matriz del sistema tiene una matriz inversa y, por tanto, el sistema de ecuaciones se puede resolver mediante el método de la matriz inversa. La solución resultante será única.

Resolvamos el sistema de ecuaciones usando la matriz inversa:

$A_(11) =(-1)^(1+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (2) & (1) \\ (2) & (0) \end(array) \derecha|=0-2=-2; A_(12) =(-1)^(1+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (-1) & (1) \\ (3) & (0) \end(array) \derecha|=-(0-3)=3;$

$A_(13) =(-1)^(1+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (-1) & (2) \\ (3) & (2) \end(array )\derecha|=-2-6=-8; A_(21) =(-1)^(2+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (0) \end(array)\ derecha|=-(0-6)=6; $

$A_(22) =(-1)^(2+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (3) \\ (3) & (0) \end(array) \derecha|=0-9=-9; A_(23) =(-1)^(2+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (0) \\ (3) & (2) \end(array)\ derecha|=-(2-0)=-2;$

$A_(31) =(-1)^(3+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (1) \end(array) \derecha|=0-6=-6; A_(32) =(-1)^(3+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) y (3) \\ (-1) y (1) \end(array) \derecha|=-(1+3)=-4;$

$A_(33) =(-1)^(3+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (0) \\ (-1) & (2) \end(array )\derecha|=2-0=2$

Buscando matriz inversa:

$A^(-1) =\frac(1)(-26) \cdot \left(\begin(array)(ccc) (-2) & (6) & (-6) \\ (3) & ( -9) & (-4) \\ (-8) & (-2) & (2) \end(array)\right)=\frac(1)(26) \cdot \left(\begin(array) (ccc) (2) & (-6) & (6) \\ (-3) & (9) & (4) \\ (8) & (2) & (-2) \end(array)\right )=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(2)(26) ) & (\frac(-6)(26) ) & (\frac(6)(26) ) \\ (\ frac(-3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(4)(26) ) \\ (\frac(8)(26) ) & (\frac(2) (26) ) & (\frac(-2)(26) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\ frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ (-\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2) (13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1)(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(array)\right).$

Busquemos una solución al sistema:

$X=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ ( -\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2)(13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1 )(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (26) \\ (52) \\ (52 ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(c) (\frac(1)(13) \cdot 26-\frac(3)(13) \cdot 52+\frac(3 )(13) \cdot 52) ​​​​\\ (-\frac(3)(26) \cdot 26+\frac(9)(26) \cdot 52+\frac(2)(13) \cdot 52) ​​\\ (\frac(4)(13) \cdot 26+\frac(1)(13) \cdot 52-\frac(1)(13) \cdot 52) ​​​​\end(array)\right )=\left(\ comenzar(matriz)(c) (2-12+12) \\ (-3+18+8) \\ (8+4-4) \end(matriz)\right)=\left (\begin(array) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(array)\right)$

$X=\left(\begin(array)(c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(array)\right)$ es la solución deseada para el sistema de ecuaciones.

método matricial Soluciones SLAU Se aplica a la resolución de sistemas de ecuaciones en los que el número de ecuaciones corresponde al número de incógnitas. El método se utiliza mejor para resolver sistemas de bajo orden. El método matricial para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales se basa en la aplicación de las propiedades de la multiplicación de matrices.

Este método, en otras palabras método de matriz inversa, Se llama así porque la solución se reduce a una ecuación matricial ordinaria, para resolver la cual es necesario encontrar la matriz inversa.

Método de solución matricial Un SLAE con un determinante mayor o menor que cero es el siguiente:

Supongamos que hay un SLE (sistema de ecuaciones lineales) con norte desconocido (sobre un campo arbitrario):

Esto significa que se puede convertir fácilmente en forma matricial:

HACHA=B, Dónde A— la matriz principal del sistema, B Y X— columnas de términos libres y soluciones del sistema, respectivamente:

Multipliquemos esta ecuación matricial de la izquierda por A-1- matriz inversa a matriz A: A −1 (AX)=A −1 B.

Porque A −1 A=E, Medio, X=A −1 B. El lado derecho de la ecuación da la columna de solución del sistema inicial. La condición para la aplicabilidad del método matricial es la no degeneración de la matriz. A. Una condición necesaria y suficiente para ello es que el determinante de la matriz no sea igual a cero A:

detA≠0.

Para sistema homogéneo de ecuaciones lineales, es decir. si vector B=0, se cumple la regla opuesta: el sistema HACHA=0 hay una solución no trivial (es decir, no igual a cero) sólo cuando detA=0. Esta conexión entre soluciones de sistemas homogéneos y no homogéneos de ecuaciones lineales se llama Alternativa a Fredholm.

Así, la solución del SLAE mediante el método matricial se realiza según la fórmula . O bien, la solución al SLAE se encuentra usando matriz inversa A-1.

Se sabe que para una matriz cuadrada A orden norte en norte hay una matriz inversa A-1 sólo si su determinante es distinto de cero. Así, el sistema norte ecuaciones algebraicas lineales con norte Resolvemos incógnitas utilizando el método matricial solo si el determinante de la matriz principal del sistema no es igual a cero.

A pesar de que existen limitaciones a la posibilidad de utilizar dicho método y existen dificultades de cálculo cuando valores grandes coeficientes y sistemas de alto orden, el método se puede implementar fácilmente en una computadora.

Un ejemplo de resolución de un SLAE no homogéneo.

Primero, comprobemos si el determinante de la matriz de coeficientes de SLAE desconocidos no es igual a cero.

ahora encontramos matriz de unión, transpóngalo y sustitúyalo en la fórmula para determinar la matriz inversa.

Sustituye las variables en la fórmula:

Ahora encontramos las incógnitas multiplicando la matriz inversa y la columna de términos libres.

Entonces, x=2; y=1; z=4.

Al pasar de la forma habitual de SLAE a la forma matricial, tenga cuidado con el orden de las variables desconocidas en las ecuaciones del sistema. Por ejemplo:

NO SE PUEDE escribir como:

Es necesario, primero, ordenar las variables desconocidas en cada ecuación del sistema y solo después proceder a la notación matricial:

Además, hay que tener cuidado con la designación de variables desconocidas, en lugar de x1, x 2 ,…, x norte puede haber otras letras. P.ej:

en forma matricial lo escribimos así:

El método matricial es mejor para resolver sistemas de ecuaciones lineales en los que el número de ecuaciones coincide con el número de variables desconocidas y el determinante de la matriz principal del sistema no es igual a cero. Cuando hay más de 3 ecuaciones en el sistema, encontrar la matriz inversa requerirá un mayor esfuerzo computacional, por lo que, en este caso, es recomendable utilizar el método gaussiano para resolver.

En este artículo hablaremos sobre el método matricial para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, encontraremos su definición y daremos ejemplos de soluciones.

Definición 1

Método de matriz inversa es un método utilizado para resolver SLAE si el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones.

Ejemplo 1

Encuentre una solución a un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas:

un 11 x 1 + un 12 x 2 + . . . + una 1 norte x norte = b 1 una norte 1 x 1 + una norte 2 x 2 + . . . + un norte norte x norte = segundo norte

Tipo de grabación matricial : A × X = B

donde A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n es la matriz del sistema.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - columna de incógnitas,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - columna de coeficientes libres.

De la ecuación que recibimos, es necesario expresar X. Para hacer esto, debes multiplicar ambos lados de la ecuación matricial de la izquierda por A - 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B.

Dado que A - 1 × A = E, entonces E × X = A - 1 × B o X = A - 1 × B.

Comentario

La matriz inversa a la matriz A tiene derecho a existir sólo si se cumple la condición d e t A no es igual a cero. Por lo tanto, al resolver SLAE utilizando el método de matriz inversa, en primer lugar, se encuentra d e t A.

En el caso de que d e t A no sea igual a cero, el sistema sólo tiene una opción de solución: utilizar el método de la matriz inversa. Si d e t A = 0, entonces el sistema no se puede resolver con este método.

Un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales usando el método de matriz inversa

Ejemplo 2

Resolvemos el SLAE mediante el método de matriz inversa:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

¿Cómo resolver?

  • Escribimos el sistema en forma de ecuación matricial A X = B, donde

A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.

  • Expresamos X a partir de esta ecuación:
  • Encuentre el determinante de la matriz A:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t A no es igual a 0, por lo tanto el método de solución matricial inversa es adecuado para este sistema.

  • Encontramos la matriz inversa A - 1 usando la matriz aliada. Calculamos los complementos algebraicos A i j a los elementos correspondientes de la matriz A:

Un 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,

Un 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7,

Un 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5,

Un 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17,

Un 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,

A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10,

A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,

A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5,

A 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.

  • Anotamos la matriz aliada A*, que está compuesta por complementos algebraicos de la matriz A:

Un * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

  • Escribimos la matriz inversa según la fórmula:

A - 1 = 1 d mi t A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,

  • Multiplicamos la matriz inversa A - 1 por la columna de términos libres B y obtenemos una solución al sistema:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Respuesta : x 1 = - 1 ; x2 = 0; x3 = 1

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Método de matriz inversa no es dificil si sabes principios generales trabajar con ecuaciones matriciales y, por supuesto, ser capaz de realizar operaciones algebraicas elementales.

Resolver un sistema de ecuaciones mediante el método de la matriz inversa. Ejemplo.

Es más conveniente comprender el método de la matriz inversa usando ejemplo claro. Tomemos un sistema de ecuaciones:

El primer paso para resolver este sistema de ecuaciones es encontrar el determinante. Por tanto, transformamos nuestro sistema de ecuaciones en la siguiente matriz:

Y encontramos el determinante necesario:

Fórmula utilizada para resolver ecuaciones matriciales, como sigue:

Por tanto, para calcular X, necesitamos determinar el valor de la matriz A-1 y multiplicarlo por b. Otra fórmula nos ayudará con esto:

En este caso será matriz transpuesta- es decir, el mismo original, pero escrito no en filas, sino en columnas.

No debemos olvidar que método de matriz inversa, al igual que el método de Cramer, sólo es adecuado para sistemas en los que el determinante es mayor o menor que cero. Si el determinante es igual a cero, es necesario utilizar el método gaussiano.

El siguiente paso es elaborar una matriz de menores, la cual es el siguiente esquema:

Como resultado, obtuvimos tres matrices: menores, adiciones algebraicas y una matriz transpuesta de adiciones algebraicas. Ahora puedes proceder a la compilación real de la matriz inversa. Ya conocemos la fórmula. Para nuestro ejemplo se verá así.

Consideremos sistema de ecuaciones algebraicas lineales(SLAU) relativamente norte desconocido X 1 , X 2 , ..., X norte :

Este sistema en forma "colapsada" se puede escribir de la siguiente manera:

S norte yo=1 a yo X j = segundo i , i=1,2, ..., norte.

De acuerdo con la regla de multiplicación de matrices, el sistema considerado de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial hacha=b, Dónde

Matriz A, cuyas columnas son los coeficientes de las incógnitas correspondientes y las filas son los coeficientes de las incógnitas en la ecuación correspondiente se llama matriz del sistema. Matriz de columnas b, cuyos elementos son los lados derechos de las ecuaciones del sistema, se llama matriz del lado derecho o simplemente lado derecho del sistema. Matriz de columnas X , cuyos elementos son las incógnitas, se llama solución del sistema.

Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales escrito en la forma hacha=b, es ecuación matricial.

Si la matriz del sistema no degenerado, entonces tiene una matriz inversa y luego la solución del sistema es hacha=b viene dada por la fórmula:

x=A -1 b.

Ejemplo resolver el sistema método matricial.

Solución Encontremos la matriz inversa para la matriz de coeficientes del sistema.

Calculemos el determinante expandiendo a lo largo de la primera línea:

Porque el Δ ≠ 0 , Eso A -1 existe.

La matriz inversa se encontró correctamente.

Busquemos una solución al sistema.

Por eso, X 1 = 1,x 2 = 2,x 3 = 3 .

Examen:

7. El teorema de Kronecker-Capelli sobre la compatibilidad de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

Sistema de ecuaciones lineales. tiene la forma:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Aquí se dan a i j y b i (i = ; j = ), y x j son números reales desconocidos. Usando el concepto de producto de matrices, podemos reescribir el sistema (5.1) en la forma:

donde A = (a i j) es una matriz que consta de coeficientes para las incógnitas del sistema (5.1), que se denomina matriz del sistema, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m ) T son vectores columna compuestos respectivamente de incógnitas x j y términos libres b i .

recogida ordenada norte los números reales (c 1 , c 2 ,..., c n) se llaman solución del sistema(5.1), si como resultado de sustituir estos números en lugar de las variables correspondientes x 1, x 2,..., x n, cada ecuación del sistema se convierte en una identidad aritmética; es decir, si existe un vector C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T tal que AC  B.

El sistema (5.1) se llama articulación, o soluble, si tiene al menos una solución. El sistema se llama incompatible, o Sin solución, si no tiene soluciones.

,

formado asignando una columna de términos libres al lado derecho de la matriz A se llama matriz extendida del sistema.

La cuestión de la compatibilidad del sistema (5.1) se resuelve mediante el siguiente teorema.

Teorema de Kronecker-Capelli . Un sistema de ecuaciones lineales es consistente si y sólo si los rangos de las matrices A yA coinciden, es decir r(A) = r(A) = r.

Para el conjunto M de soluciones del sistema (5.1) existen tres posibilidades:

1) M =  (en este caso el sistema es inconsistente);

2) M consta de un elemento, es decir el sistema tiene una solución única (en este caso el sistema se llama cierto);

3) M consta de más de un elemento (entonces el sistema se llama incierto). En el tercer caso, el sistema (5.1) tiene un número infinito de soluciones.

El sistema tiene solución única sólo si r(A) = n. En este caso, el número de ecuaciones no es menos numero incógnitas (mn); si m>n, entonces m-n ecuaciones son consecuencias de los demás. Si 0

Para resolver un sistema arbitrario de ecuaciones lineales, es necesario poder resolver sistemas en los que el número de ecuaciones sea igual al número de incógnitas: el llamado Sistemas tipo Cramer:

un 11 x 1 + un 12 x 2 +... + un 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

un n1 x 1 + un n1 x 2 +... + un nn x n = b n .

Los sistemas (5.3) se resuelven de una de las siguientes formas: 1) el método de Gauss, o el método de eliminación de incógnitas; 2) según las fórmulas de Cramer; 3) método matricial.

Ejemplo 2.12. Explora el sistema de ecuaciones y resuélvelo si es consistente:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x1 - 3x2 - 6x3 + 5x4 = 0.

Solución. Escribimos la matriz extendida del sistema:

.

Calculemos el rango de la matriz principal del sistema. Es obvio que, por ejemplo, el menor de segundo orden en la esquina superior izquierda = 7  0; los menores de tercer orden que lo contienen son iguales a cero:

En consecuencia, el rango de la matriz principal del sistema es 2, es decir r(A) = 2. Para calcular el rango de la matriz extendida A, considere el menor limítrofe

esto significa que el rango de la matriz extendida r(A) = 3. Dado que r(A)  r(A), el sistema es inconsistente.