Dans cette section, nous examinerons en détail cas particulier systèmes de forces parallèles propres. A savoir, tout corps matériel ou système de points matériels (particules discrètes) situé sur la Terre est soumis à l'action de la gravité terrestre. Par conséquent, chaque particule de tels systèmes mécaniques est affectée par sa gravité. À proprement parler, toutes ces forces sont dirigées vers un point vers le centre de la Terre. Mais puisque les dimensions des corps terrestres sont très petites par rapport au rayon de la Terre (nous supposons que les volumes dans lesquels les particules discrètes sont enfermées sont également petits), alors avec un haut degré de précision ces forces peuvent être considérées comme parallèles. Le paragraphe est consacré à la mise en place de ce système de forces.

Gravité spécifique

Distinguons dans le corps une particule élémentaire dont le volume est si petit que sa position peut être déterminée par un rayon vecteur. Soit le poids de cette particule Valeur

s'appelle la gravité spécifique, et la valeur

Densité corporelle.

Dans le système d'unités SI gravité spécifique a la dimension

et la densité

À cas général la gravité spécifique et la densité sont des fonctions des coordonnées des points du corps. S'ils sont les mêmes pour tous les points, alors le corps est dit homogène.

La résultante de toutes les forces élémentaires de gravité est égale à leur somme et représente le poids du corps. Le centre de ces forces parallèles est appelé centre de gravité du corps.

Évidemment, la position du centre de gravité dans le corps ne dépend pas de l'orientation du corps dans l'espace. Cette affirmation découle de la remarque faite précédemment selon laquelle le centre des forces parallèles ne change pas de position lorsque toutes les forces tournent du même angle autour de leurs points d'application.

Formules définissant les centres de gravité d'un corps et d'un système de particules discrètes

Pour déterminer le centre de gravité du corps, nous le divisons en particules suffisamment petites avec un volume. On applique à chacun d'eux une force de gravité égale à

La résultante de ces forces parallèles est égale au poids du corps, que nous notons

Le rayon vecteur du centre de gravité du corps, que nous désignons par , est déterminé par les formules du paragraphe précédent comme le centre des forces parallèles. Ainsi, nous aurons

Si le centre de gravité d'un système de particules discrètes est déterminé, alors il y aura une gravité spécifique de la particule, V, - son volume - le rayon vecteur qui détermine la position de la particule. La dernière formule détermine dans ce cas le centre de masse du système de particules discrètes.

Si le système mécanique est un corps formé par une collection continue de particules, alors à la limite les sommes des dernières formules se transforment en intégrales et le rayon vecteur du centre de gravité du corps peut être calculé par la formule :

où les intégrales sont réparties sur tout le volume du corps.

Si le corps est homogène, alors la dernière formule a la forme :

où V est le volume du corps entier.

Ainsi, lorsqu'un corps est homogène, la détermination de son centre de gravité se réduit à un problème purement géométrique. Dans ce cas, on parle de centre de gravité du volume.

Centre de masse du corps

Le concept introduit de centre de gravité n'a de sens que pour les corps (petits par rapport aux dimensions de la Terre) situés près de la surface de la Terre. Dans le même temps, la méthode de calcul des coordonnées du centre de gravité permet de l'appliquer pour calculer les coordonnées d'un point caractérisant la répartition de la matière dans le corps. Pour ce faire, il ne faut pas considérer le poids des particules, mais leur masse. Chaque particule d'un corps a une masse

et en remplaçant dans la formule précédemment obtenue par on arrive à l'égalité :

qui définit un point appelé centre de masse ou centre d'inertie du corps.

Si le système est constitué de points matériels dont les masses alors le centre de masse du système se trouve par la formule :

où est la masse du système entier. Le rayon vecteur du centre de masse du corps dépend du choix de l'origine O. Si le centre d'inertie lui-même est choisi comme origine des coordonnées, alors il sera égal à zéro :

La notion de centre de masse peut être introduite indépendamment de la notion de centre de gravité. Pour cette raison, il s'applique à tous les systèmes mécaniques.

Moments statiques

Les expressions sont appelées, respectivement, les moments statiques du poids, du volume et de la masse du corps par rapport au point O. Si le centre de masse du corps est choisi comme point (origine), alors les moments statiques du corps par rapport au centre de masse sera égal à zéro, qui sera utilisé à plusieurs reprises dans ce qui suit.

Méthodes de calcul du centre de masse

En cas de corps forme complexe détermination des coordonnées du centre de masse en fonction de la donnée formules générales implique généralement des calculs minutieux. Dans certains cas, ils peuvent être grandement simplifiés en utilisant les méthodes suivantes.

1) Méthode de symétrie. Laissez le corps avoir un centre de symétrie matérielle. Cela signifie que chaque particule de masse et de rayon-vecteur tirée de ce centre correspond à une particule de même masse et rayon-vecteur . Dans ce cas, le moment statique de la masse du corps deviendra nul et

Par conséquent, le centre de masse coïncidera dans ce cas avec le centre de symétrie matérielle du corps. Pour les corps homogènes, cela signifie que le centre de masse coïncide avec le centre géométrique du volume du corps. Si le corps a un plan de symétrie matérielle, alors le centre de masse est dans ce plan. Si le corps est symétrique autour d'un axe, alors le centre de masse est sur cet axe.

2) Méthode de partitionnement. Si le corps peut être divisé en un nombre fini de parties, dont les masses et les positions des centres de masse sont connues, alors nous trouverons le centre de masse de tout le corps comme suit : imaginons que les masses de ces parties soient concentrés en leurs centres de masse, alors le corps se réduit à un nombre fini de points matériels. Le centre de masse d'un système de points matériels est simplement calculé à l'aide des formules ci-dessus.

3) Méthode des masses négatives. Supposons qu'un corps de masse homogène ait des trous et que son centre de masse soit déterminé par le rayon vecteur. Si ces trous des corps sont remplis de la substance dont le corps est constitué, ils auront alors certaines masses et certains centres de masse. Les masses de ces trous remplis seront égales et les rayons vecteurs de leurs centres de masse Alors le centre de masse du corps avec les trous remplis sera déterminé par le rayon vecteur

où M est la masse du corps avec les trous remplis. D'ici

Mais par conséquent,

La formule résultante indique la méthode suivante pour déterminer le centre de masse d'un corps avec des trous. Remplissez mentalement les trous avec la substance qui compose le corps. On trouve ensuite la masse et le centre de masse du corps ainsi obtenu, ainsi que les masses et centres de masse de la substance remplissant les trous, et un signe moins est attribué à ces masses. Après cela, le centre de masse du corps considéré peut être calculé en utilisant la méthode de partitionnement.

Tout système mécanique, comme tout corps, a un point aussi merveilleux que le centre de masse. Une personne, une voiture, la Terre, l'Univers, c'est-à-dire n'importe quel objet en possède. Très souvent ce point est confondu avec le centre de gravité. Bien qu'ils coïncident souvent les uns avec les autres, ils présentent certaines différences. On peut dire que le centre de masse Système mécanique est un concept plus large que son centre de gravité. Qu'est-ce que c'est et comment trouver son emplacement dans le système ou dans un seul objet ? C'est exactement ce dont il sera question dans notre article.

Concept et formule de définition

Le centre de masse est un certain point d'intersection de lignes, parallèlement auquel agissent des forces extérieures, provoquant le mouvement de translation de cet objet. Cette affirmation est vraie à la fois pour un seul corps pris et pour un groupe d'éléments qui ont une certaine relation les uns avec les autres. Le centre de masse coïncide toujours avec le centre de gravité et est l'une des caractéristiques géométriques les plus importantes de la distribution de toutes les masses dans le système étudié. Notons m i la masse de chaque point du système (i = 1,…,n). La position de chacun d'eux peut être décrite par trois coordonnées : x i , y i , z i . Alors il est évident que la masse du corps (du système entier) sera égale à la somme des masses de ses particules : М=∑m i . Et le centre de masse (O) lui-même peut être déterminé par les relations suivantes :

X o = ∑m je *x je /M ;

Y o = ∑m je *y je /M ;

Z o = ∑m je *z je /M.

Pourquoi ce point est-il intéressant ? L'un de ses principaux avantages est de caractériser le mouvement d'un objet dans son ensemble. Cette propriété permet d'utiliser le centre de masse dans les cas où le corps a de grandes dimensions ou une forme géométrique irrégulière.

Ce que vous devez savoir pour trouver ce point


Utilisation pratique

Cette notion est largement utilisée dans champs variés mécanique. Habituellement, le centre de masse est utilisé comme centre de gravité. Ce dernier est tel un point, suspendu à un objet, derrière lequel, il sera possible d'observer l'invariance de sa position. Le centre de masse du système est souvent calculé lors de la conception de diverses pièces en génie mécanique. Il joue également un rôle important dans l'équilibrage, qui peut être appliqué, par exemple, dans la création de meubles alternatifs, de véhicules, dans la construction, dans l'entreposage, etc. Sans connaître les principes de base par lesquels le centre de gravité est déterminé, il serait être difficile d'organiser la sécurité du travail avec des charges massives et des objets en général. Nous espérons que notre article a été utile et a répondu à toutes les questions sur ce sujet.

Imaginez deux charges avec des masses et reliées par une tige lumineuse de sorte que la distance entre elles soit égale (Fig. 1). De telles charges ne peuvent plus se comporter indépendamment - elles forment système unique. Si vous appliquez une force externe à la charge, la charge accélérera également, et vice versa. Quelle est la meilleure façon de décrire le mouvement d'un tel système ?

Il s'avère qu'il existe un point singulier qui se déplace comme si toute la masse du système y était concentrée et que toutes les forces externes y étaient appliquées ( Forces internes peut être ignoré, car leur somme vectorielle, selon la troisième loi de Newton, est égale à zéro). Si, par exemple, des poids sont lancés dans le champ de gravité, ils tomberont, mais un point du système se déplacera, comme prévu, le long d'une parabole. Ce point est appelé centre de masse. N'importe quel système, même le plus complexe, l'a.

Comment trouver la position du centre de masse ? Si vous accrochez une tige avec des poids, alors avec un certain choix du point de suspension, la tige restera en équilibre en position horizontale. Pour cela, la condition doit être satisfaite - pour que les moments de gravité par rapport au point de suspension soient égaux. D'autre part, puisque, par définition, on peut supposer que toute la masse du système est concentrée dans le centre de masse, la résultante de gravité doit également passer par le centre de masse (on l'appelle donc aussi centre de masse). gravité du système). Par conséquent, à l'équilibre, lorsqu'il n'y a pas de rotation, le centre de masse doit coïncider avec le point de suspension. Bien sûr, la position du centre de masse n'a pas à être trouvée expérimentalement. Il peut être calculé à l'aide de la formule ci-dessus : le centre de masse est sur la ligne reliant les poids à distance de la charge ou à distance de la charge. S'il y a beaucoup de poids, alors en divisant séquentiellement le système en paires, vous pouvez trouver la position du centre de masse de l'ensemble du système.

Ainsi, le centre de masse permet de décrire le mouvement à grande échelle du système sous l'action de forces externes, détournant l'attention des détails du mouvement interne. En particulier, si les forces extérieures n'agissent pas sur le corps (ou si leur somme vectorielle est égale à zéro), alors le centre de masse doit se déplacer à une vitesse constante. S'il était initialement au repos, alors son déplacement sera nul. Le centre de masse du système isolé reste en place. C'est pourquoi il est impossible de se disperser sur de la glace très glissante, de s'envoler sur une fusée sans renvoyer de carburant, etc. Cette propriété reflète une loi de la nature très importante - la loi de conservation de la quantité de mouvement.

En revanche, si l'on s'intéresse aux processus internes au système, alors, pour faire abstraction de son mouvement dans son ensemble, on peut passer à un référentiel associé au centre de masse (le centre de système de masse) . Pour un système isolé, le centre de masse se déplace à une vitesse constante, et un tel système sera inertiel.

On sait, par exemple, que les quanta peuvent produire des paires de particules : un électron et un positron. Mais il s'avère que ce processus ne peut pas se produire avec un quantum. Pour vérifier cela, nous utilisons le système du centre de masse. Dans ce système, la quantité de mouvement totale de l'électron et du positron est égale à zéro (puisque les masses des particules sont les mêmes, le centre de masse est toujours au milieu, et par rapport à lui, les particules s'envolent avec les mêmes vitesses dans des directions différentes). Dans le même temps, la quantité de mouvement du -quantum, à partir de laquelle les particules sont nées, était différente de zéro, car dans n'importe quel cadre de référence, il se déplace à la vitesse de la lumière. Par conséquent, la loi de conservation de la quantité de mouvement interdit un tel processus. Cela peut se produire, par exemple, lorsque deux photons entrent en collision ou lorsqu'il existe d'autres particules auxquelles une quantité de mouvement supplémentaire est transférée. De même, l'annihilation produit deux -quanta (Fig. 2). Comme on peut le voir, il est pratique d'étudier les processus d'interaction des particules dans le système du centre de masse, et un tel système est souvent utilisé en physique nucléaire et en physique des particules élémentaires.

Reprenons le même système de points matériels. Construisons le rayon vecteur selon la règle suivante :

où est le rayon vecteur de ce point matériel du système, et est sa masse.

Le rayon vecteur détermine la position dans l'espace centre d'inertie (centre de masse) systèmes.

Il n'est pas du tout nécessaire qu'un point matériel soit au centre de masse du système.

Exemple. Trouvons le centre de masse d'un système composé de deux petites boules - des points matériels reliés par une tige en apesanteur (Fig. 3.29). Ce système de corps s'appelle des haltères.

Riz. 3.29. Haltère centre de masse

De la fig. il est clair que

En substituant à ces égalités l'expression du rayon vecteur du centre de masse

Il s'ensuit que le centre de masse se trouve sur une droite passant par les centres des boules. Distances je 1 et je 2 entre les boules et le centre de masse sont égaux respectivement

Le centre de masse est plus proche de la boule, dont la masse est plus grande, comme on peut le voir par la relation :

Déterminons la vitesse à laquelle se déplace le centre d'inertie du système. Distinguons les deux parties par rapport au temps :

Le numérateur de l'expression résultante du côté droit contient la somme des impulsions de tous les points, c'est-à-dire l'impulsion du système. Le dénominateur est la masse totale du système

Nous avons trouvé que la vitesse du centre d'inertie est liée à la quantité de mouvement du système et à sa masse totale par la même relation qui est valable pour un point matériel :

Vidéo 3.11. Le mouvement du centre de masse de deux chariots identiques reliés par un ressort.

Le centre de masse d'un système fermé se déplace toujours à une vitesse constante, puisque la quantité de mouvement d'un tel système est conservée.

Si nous différencions maintenant l'expression de la quantité de mouvement du système par rapport au temps et tenons compte du fait que la dérivée de la quantité de mouvement du système est la résultante des forces externes, alors nous obtenons équation du mouvement du centre de masse du système en général:

Il est clair que

Le centre de masse du système se déplace exactement de la même manière qu'un point matériel avec masse se déplacerait, égale à la masse de toutes les particules du système, sous l'action de la somme vectorielle de toutes les forces extérieures appliquées au système.

S'il existe un système de points matériels dont la localisation interne et le mouvement ne nous intéressent pas, nous sommes en droit de le considérer comme un point matériel ayant pour coordonnées le rayon vecteur du centre d'inertie et une masse égale à la somme des masses des points matériels du système.

Si l'on associe au centre de masse d'un système fermé de points matériels (particules) un système de référence (on l'appelle système de centre de gravité), alors la quantité de mouvement totale de toutes les particules d'un tel système sera égale à zéro. Ainsi, dans le système du centre de masse, le système fermé de particules dans son ensemble est au repos, et il n'y a que le mouvement des particules par rapport au centre de masse. Par conséquent, les propriétés des processus internes se produisant dans un système fermé sont clairement révélées.

Dans le cas où le système est un corps avec une distribution de masse continue, la définition du centre de masse reste essentiellement la même. Nous entourons un point arbitraire de notre corps avec un petit volume. La masse contenue dans ce volume est égale à , où est la densité de la substance du corps, qui peut ne pas être constante sur son volume. La somme sur toutes ces masses élémentaires est maintenant remplacée par une intégrale sur tout le volume du corps, de sorte que pour la position du centre de masse du corps, l'expression est obtenue

Si la substance du corps est homogène, sa densité est constante et elle peut être retirée du signe intégral, de sorte qu'elle sera réduite au numérateur et au dénominateur. Alors l'expression du rayon vecteur du centre de masse du corps prend la forme

où est le volume du corps.

Et dans le cas d'une distribution de masse continue, l'affirmation est vraie que

Le centre de masse d'un corps rigide se déplace de la même manière qu'un point matériel de masse égale à la masse du corps se déplacerait sous l'action de la somme vectorielle de toutes les forces extérieures appliquées au corps.

Exemple. Si le projectile explose à un moment donné de sa trajectoire parabolique, les fragments volent le long de diverses trajectoires, mais son centre de masse continue de se déplacer le long de la parabole.

Le terme "centre de masse" est utilisé non seulement en mécanique et dans les calculs de mouvement, mais aussi dans la vie quotidienne. C'est juste que les gens ne pensent pas toujours aux lois de la nature qui se manifestent dans une situation donnée. Par exemple, les patineurs artistiques en patinage en couple utilisent activement le centre de masse du système lorsqu'ils tournent en se tenant la main.

Le concept de centre de masse est également utilisé dans la conception des navires. Il est nécessaire de prendre en compte non seulement deux corps, mais un grand nombre d'entre eux et de tout ramener à un dénominateur commun. Des erreurs de calcul signifient un manque de stabilité du navire : dans un cas, il sera excessivement immergé dans l'eau, risquant de sombrer à la moindre vague ; et dans l'autre, il est trop élevé au-dessus du niveau de la mer, créant le danger d'un coup d'État de son côté. Soit dit en passant, c'est pourquoi chaque chose à bord devrait être à sa place, prévue par les calculs : le plus massif tout en bas.

Le centre de masse est utilisé non seulement par rapport à corps célestes et la conception de mécanismes, mais aussi dans l'étude du "comportement" des particules du micromonde. Par exemple, beaucoup d'entre eux naissent par paires (électron-positon). Possédant une rotation initiale et obéissant aux lois d'attraction/répulsion, ils peuvent être considérés comme un système avec un centre de masse commun.