Aby bolo možné kvantitatívne porovnávať udalosti medzi sebou podľa stupňa ich možnosti, samozrejme, je potrebné priradiť ku každej udalosti určité číslo, ktoré je väčšie, čím je udalosť možnejšia. Toto číslo nazveme pravdepodobnosťou udalosti. teda pravdepodobnosť udalosti je číselnou mierou miery objektívnej možnosti tejto udalosti.

Za prvú definíciu pravdepodobnosti treba považovať tú klasickú, ktorá vzišla z analýzy hazardných hier a bola spočiatku aplikovaná intuitívne.

Klasická metóda určovania pravdepodobnosti je založená na koncepte rovnako možných a nezlučiteľných udalostí, ktoré sú výsledkom danej skúsenosti a tvoria ucelenú skupinu nezlučiteľných udalostí.

Väčšina jednoduchý príklad rovnako možnými a nezlučiteľnými udalosťami, ktoré tvoria ucelenú skupinu, je vzhľad jednej alebo druhej loptičky z urny obsahujúcej niekoľko loptičiek rovnakej veľkosti, hmotnosti a iných hmatateľných vlastností, líšiacich sa iba farbou, dôkladne premiešaných pred vybratím.

Preto sa o teste, ktorého výsledky tvoria kompletnú skupinu nekompatibilných a rovnako možných udalostí, hovorí, že je redukovateľný na vzor urien alebo vzor prípadov, alebo zapadá do klasického vzoru.

Rovnako možné a nezlučiteľné udalosti, ktoré tvoria ucelenú skupinu, sa budú nazývať jednoducho prípady alebo šance. Navyše v každom experimente spolu s prípadmi môžu nastať zložitejšie udalosti.

Príklad: Pri hode kockou spolu s prípadmi A i - strata i-bodov na hornej strane môžeme považovať také udalosti ako B - strata párneho počtu bodov, C - strata určitého počtu bodov. bodov, ktoré sú násobkom troch...

Vo vzťahu ku každej udalosti, ktorá môže nastať počas experimentu, sa prípady delia na priaznivý, v ktorom k tejto udalosti dôjde, a nepriaznivá, v ktorej k udalosti nedochádza. V predchádzajúcom príklade je udalosť B uprednostňovaná prípadmi A 2, A 4, A 6; udalosť C - prípady A 3, A 6.

Klasická pravdepodobnosť výskyt určitej udalosti sa nazýva pomer počtu prípadov priaznivých pre výskyt tejto udalosti k celkovému počtu rovnako možných, nezlučiteľných prípadov, ktoré tvoria úplnú skupinu v danom experimente:

Kde P(A)- pravdepodobnosť výskytu udalosti A; m- počet prípadov priaznivých pre udalosť A; n- celkový počet prípadov.

Príklady:

1) (pozri príklad vyššie) P(B)= , P(C) =.

2) Urna obsahuje 9 červených a 6 modrých loptičiek. Nájdite pravdepodobnosť, že jedna alebo dve náhodne vytiahnuté loptičky sa ukážu ako červené.

A- náhodne vylosovaná červená guľa:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- dve náhodné červené gule:

Z klasickej definície pravdepodobnosti vyplývajú nasledujúce vlastnosti (ukážte sa):


1) Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je 0;

2) Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti je 1;

3) Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti leží medzi 0 a 1;

4) Pravdepodobnosť udalosti opačnej k udalosti A,

Klasická definícia pravdepodobnosti predpokladá, že počet výsledkov pokusu je konečný. V praxi sú testy veľmi bežné, počet možné prípady ktoré sú nekonečné. okrem toho slabá stránka Klasická definícia hovorí, že veľmi často nie je možné znázorniť výsledok testu vo forme súboru elementárnych udalostí. Je ešte ťažšie uviesť dôvody, prečo sa elementárne výsledky testu považujú za rovnako možné. Zvyčajne sa ekvimožnosť základných výsledkov testu vyvodzuje z úvah o symetrii. Takéto úlohy sú však v praxi veľmi zriedkavé. Z týchto dôvodov sa popri klasickej definícii pravdepodobnosti používajú aj iné definície pravdepodobnosti.

Štatistická pravdepodobnosť udalosť A je relatívna frekvencia výskytu tejto udalosti v vykonaných testoch:

kde je pravdepodobnosť výskytu udalosti A;

Relatívna frekvencia výskytu udalosti A;

Počet pokusov, v ktorých sa objavila udalosť A;

Celkový počet pokusov.

Na rozdiel od klasickej pravdepodobnosti je štatistická pravdepodobnosť experimentálna charakteristika.

Príklad: Na kontrolu kvality výrobkov zo šarže bolo náhodne vybraných 100 výrobkov, z ktorých sa 3 výrobky ukázali ako chybné. Určte pravdepodobnosť manželstva.

Štatistická metóda určovania pravdepodobnosti je použiteľná len pre tie udalosti, ktoré majú nasledujúce vlastnosti:

Uvažované udalosti by mali byť výsledkom iba tých testov, ktoré je možné reprodukovať neobmedzene veľakrát za rovnakých podmienok.

Udalosti musia mať štatistickú stabilitu (alebo stabilitu relatívnych frekvencií). To znamená, že v rôznych sériách testov sa relatívna frekvencia udalosti mení len málo.

Počet pokusov vedúcich k udalosti A musí byť dosť veľký.

Je ľahké overiť, že vlastnosti pravdepodobnosti vyplývajúce z klasickej definície sú zachované aj v štatistickej definícii pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť výskytu udalosti A je číslo rovné pomeru počtu prípadov priaznivých pre udalosť A k celkovému počtu prípadov (výsledky, šance alebo elementárne udalosti).

Pravdepodobnosť ( R)

Kde n - celkový počet prípadov, m - počet prípadov priaznivých pre udalosť A.

Pravdepodobnosť nemožnej udalosti:

Pravdepodobnosť určitej udalosti:

Pravdepodobnosť akejkoľvek náhodnej udalosti:

0 ≤ P (A ) ≤ 1

Štatistická definícia pravdepodobnosti

Štatistická pravdepodobnosť diania A volal relatívna frekvencia výskyt udalosti v n - vykonané testy.

Skúsená (experimentálna) pravdepodobnosť:

V dôsledku toho existuje zlomok skutočne vykonaných testov, pri ktorých sa event A objavil. o , P(A) ≈ (A)

Príklad 1

Krabička obsahuje 7 modrých, 8 červených a 5 zelených loptičiek.

Riešenie:

Udalosť A- zelená guľa;

Príklad 2

Krabička obsahuje 100 elektrických lámp, z ktorých 5 je chybných.

Riešenie:

Udalosť A- našťastie vybrané 2 elektrické lampy fungujú správne.

Príklad 3

V krabici je 10 loptičiek: 6 bielych a 4 čierne.

Nájsť:

Pravdepodobnosť, že z piatich náhodne vybratých loptičiek budú 4 biele.

Riešenie:

Poďme zistiť počet priaznivých výsledkov: počet spôsobov, ktorými môžete vziať 4 biele gule zo 6 dostupných gúľ, sa rovná:

Celkový počet výsledkov je určený počtom kombinácií 10 až 5:

Požadovaná pravdepodobnosť P = 15/252 ≈ 0,06.

Geometrická pravdepodobnosť, teda pravdepodobnosť pádu bodu do určitej oblasti, segmentu, časti roviny.

Geometrická pravdepodobnosť diania A nazývaný pomer miery oblasti priaznivej k výskytu udalosti A, v rozsahu celého kraja.

Kde mes- miera (dĺžka, plocha, objem regiónu).

4. Algebra udalostí. Operácie s náhodnými udalosťami.

Definícia 1. Súčet dvoch udalostí A A B s názvom udalosť C, spočívajúcej v realizácii aspoň jednej z akcií A alebo B.

Existujú dva možné prípady:

1. Ak A A B sú teda nezlučiteľné A+B znamená čo sa stane resp A, alebo IN.

2. Ak A A B kĺb teda A+B znamená čo sa stane resp A, alebo B, alebo A A B súčasne.

Definícia 2. Produkt dvoch udalostí A A B s názvom udalosť C, spočívajúci v súčasnom výskyte udalostí A A B.

Príklad 1 Jedna karta bola náhodne vytiahnutá z balíčka kariet.

Udalosť A- Kráľovná karta.

Udalosť B- piková farba.

Potom A + B‒ vytiahnutá karta alebo dáma, alebo karta pikovej farby, alebo piková dáma.

AB‒ Vytiahnutá karta Pikovej dámy.

Pravidlo pre produkciu udalostí.

Ak nejaký predmet A si môže vybrať m- spôsobmi a po každej takejto voľbe iný predmet B si môže vybrať k – spôsoby, potom dvojice predmetov“ A A B súčasne“ si môžete vybrať mk- spôsobmi.

Príklad 2

V lotérii 50 tiketov je 8 výherných tiketov.

Zistite pravdepodobnosť, že medzi prvými 5 náhodne vybranými tiketmi vyhrajú 2.

Riešenie:

50 - 8 = 42 - nevýherných tiketov.

Udalosť A- medzi prvými 5 tiketmi vyhrávajú 2.

Príklad 3

Krabička obsahuje 10 štandardných a 5 neštandardných dielov.

Aká je pravdepodobnosť, že medzi 6 náhodne vybratými časťami budú 4 štandardné a 2 neštandardné?

Riešenie:

Celkový počet výsledkov je

Počet priaznivých výsledkov je určený produktom

kde prvý faktor zodpovedá počtu možností vybratia 4 štandardných dielov z 10 z krabice a druhý faktor zodpovedá počtu možností vybratia 2 neštandardných dielov z piatich z krabice. Z toho vyplýva, že požadovaná pravdepodobnosť sa rovná

Klasická definícia pravdepodobnosti predpokladá, že všetky elementárne výsledky rovnako možné. Rovnosť výsledkov experimentu je uzavretá vďaka úvahám o symetrii (ako v prípade mince alebo kocky). Problémy, pri ktorých možno použiť úvahy o symetrii, sú v praxi zriedkavé. V mnohých prípadoch je ťažké poskytnúť dôvody na presvedčenie, že všetky základné výsledky sú rovnako možné. V tejto súvislosti vyvstalo nevyhnutné zaviesť ďalšiu definíciu pravdepodobnosti, tzv štatistické. Aby sme dali túto definíciu, najprv je predstavený koncept relatívnej frekvencie udalosti.

Relatívna frekvencia udalosti, alebo frekvencia, je pomer počtu experimentov, v ktorých k tejto udalosti došlo, k počtu všetkých vykonaných experimentov. Označme frekvenciu udalosti pomocou , potom podľa definície

(1.4.1)
kde je počet experimentov, v ktorých sa udalosť vyskytla, a je počet všetkých vykonaných experimentov.

Frekvencia udalostí má nasledujúce vlastnosti.

Pozorovania umožnili zistiť, že relatívna frekvencia má vlastnosti štatistickej stability: v rôznych sériách polynómových testov (v každom z nich sa táto udalosť môže alebo nemusí objaviť) nadobúda hodnoty veľmi blízke nejakej konštante. Táto konštanta, ktorá je objektívnou číselnou charakteristikou javu, sa považuje za pravdepodobnosť danej udalosti.

Pravdepodobnosť udalosť je číslo, okolo ktorého sú hodnoty frekvencie danej udalosti zoskupené v rôznych sériách veľkého počtu testov.

Táto definícia pravdepodobnosti sa nazýva štatistické.

V prípade štatistickej definície má pravdepodobnosť tieto vlastnosti:
1) pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej;
2) pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová;
3) pravdepodobnosť náhodnej udalosti leží medzi nulou a jednou;
4) pravdepodobnosť súčtu dvoch nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí.

Príklad 1 Z 500 náhodne odobratých dielov bolo 8 chybných. Zistite frekvenciu chybných častí.

Riešenie. Pretože v tomto prípade = 8, = 500, potom v súlade so vzorcom (1.4.1) zistíme

Príklad 2. Kocka je hodená 60-krát, pričom šesť sa objavil 10 krát. Aká je frekvencia výskytu šestky?

Riešenie. Z podmienok úlohy vyplýva, že = 60, = 10, teda

Príklad 3 Medzi 1000 novorodencami bolo 515 chlapcov Aká je pôrodnosť chlapcov?
Riešenie. Keďže v tomto prípade, , teda .

Príklad 4. Výsledkom 20 výstrelov na cieľ bolo 15 zásahov. Aká je miera zásahov?

Riešenie. Pretože = 20, = 15, teda

Príklad 5. Pri streľbe na terč je miera zásahov = 0,75. Nájdite počet zásahov pri 40 výstreloch.

Riešenie. Zo vzorca (1.4.1) vyplýva, že . Pretože = 0,75, = 40, potom . Takto bolo prijatých 30 prístupov.

Príklad 6. www.. Z zasiatych semien vyklíčilo 970 semien.

Riešenie. Zo vzorca (1.4.1) vyplýva, že . Odvtedy . Tak sa zasialo 1000 semien.

Príklad 7. Na segmente prirodzeného radu od 1 do 20 nájdite frekvenciu základné čísla.

Riešenie. Na označenom segmente prirodzeného radu čísel sú tieto prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; je ich celkovo 8 Keďže = 20, = 8, potom požadovaná frekvencia

.

Príklad 8. Uskutočnili sa tri série viacnásobných hodov symetrickou mincou, vypočítal sa počet výskytov erbu: 1) = 4040, = 2048, 2) = 12 000, = 6019; 3) = 24000, = 12012. Nájdite frekvenciu výskytu erbu v každej sérii testov.

Riešenie. Podľa vzorca (1.4.1) zistíme:

Komentujte. Tieto príklady naznačujú, že pri opakovaných pokusoch sa frekvencia udalosti len málo líši od jej pravdepodobnosti. Pravdepodobnosť, že sa pri hode mincou objaví erb, je p = 1/2 = 0,5, keďže v tomto prípade n = 2, m = 1.

Príklad 9. Medzi 300 dielmi vyrobenými na automatickom stroji bolo 15, ktoré nespĺňali normu. Zistite frekvenciu výskytu neštandardných častí.

Riešenie. V tomto prípade n = 300, m = 15, takže

Príklad 10. Inšpektor pri kontrole kvality 400 výrobkov zistil, že 20 z nich patrí do druhej triedy a zvyšok do prvej triedy. Nájdite frekvenciu výrobkov prvého stupňa, frekvenciu výrobkov druhého stupňa.

Riešenie. Najprv nájdime počet výrobkov prvého stupňa: 400 - 20 = 380. Keďže n = 400, = 380, potom frekvencia výrobkov prvého stupňa

Podobne zistíme frekvenciu výrobkov druhého stupňa:

Úlohy

  1. oddelenie technická kontrola objavil 10 neštandardných produktov v dávke 1000 produktov. Zistite frekvenciu výroby chybných produktov.
  2. Na zistenie kvality semien bolo vybratých 100 semien a zasiatych v laboratórnych podmienkach. 95 semien normálne vyklíčilo. Aká je frekvencia normálneho klíčenia semien?
  3. Nájdite frekvenciu výskytu prvočísel v nasledujúcich segmentoch prirodzeného radu: a) od 21 do 40; b) od 41 do 50; c) od 51 do 70.
  4. Nájdite frekvenciu výskytu číslice v 100 hodoch symetrickej mince. (Vykonajte experiment sami).
  5. Nájdite frekvenciu šestky na 90 hodov kockou.
  6. Pomocou prieskumu všetkých študentov vo vašom kurze určite frekvenciu narodenín, ktoré pripadajú na jednotlivé mesiace v roku.
  7. Nájdite frekvenciu päťpísmenových slov v akomkoľvek novinovom texte.

Odpovede

  1. 0,01. 2,0,95; 0,05. 3. a) 0,2; b) 0,3; c) 0,2.

Otázky

  1. Aká je frekvencia udalostí?
  2. Aká je frekvencia spoľahlivej udalosti?
  3. Aká je frekvencia nemožnej udalosti?
  4. Aké sú hranice frekvencie náhodnej udalosti?
  5. Aká je frekvencia súčtu dvoch nezlučiteľných udalostí?
  6. Aká definícia pravdepodobnosti sa nazýva štatistická?
  7. Aké vlastnosti má štatistická pravdepodobnosť?

Lístky teórie pravdepodobnosti.

Teória pravdepodobnosti- odvetvie matematiky, ktoré študuje vzorce náhodných javov: náhodné udalosti, náhodné premenné, ich vlastnosti a operácie na nich

Teória pravdepodobnostištuduje náhodné javy náhodné javy, ktoré sa vyskytujú v agregátoch väčšieho počtu rovnakých alebo takmer rovnakých objektov a sú determinované hromadným charakterom javu.

Teória pravdepodobnosti– odráža vzorce vlastné náhodným udalostiam masového charakteru a táto teória je založená na základných konceptoch.

Udalosti a ich klasifikácia.

Schopnosť určiť udalosť je charakterizovaná pravdepodobnosťou udalosti.

Kde je počet zaujímavých udalostí, je počet pozorovaných udalostí.

Spoľahlivé podujatie, ak je pravdepodobnosť jeho výskytu 1.

Neplatná udalosť volá sa, ak je pravdepodobnosť 0.

Nekompatibilné udalosti– udalosti, v ktorých sa 2 z nich nemôžu objaviť v danom experimente.

Rovnako možné udalosti– udalosti, pri ktorých v danej skúsenosti nie je objektívne možná ani jedna z nich.

Opačné udalosti– podujatia, ktoré tvoria ucelenú skupinu 2 podujatí.

Nezávislé udalosti– tie, v ktorých je každá z 2 udalostí nezávislá (korelácia nie je závislosť)

Spoločné akcie– také udalosti, pri ktorých výskyt 1 z nich nevylučuje výskyt ďalšej v tom istom experimente.

Klasické a štatistické definície pravdepodobnosti udalosti

Každý z rovnako možných výsledkov testov (experimentov) sa nazýva elementárny výsledok. Zvyčajne sú označené písmenami. Napríklad sa hádže kockou. Na základe počtu bodov na stranách môže byť celkovo šesť základných výsledkov.

Z elementárnych výsledkov môžete vytvoriť komplexnejšiu udalosť. Udalosť s párnym počtom bodov je teda určená tromi výsledkami: 2, 4, 6.

Kvantitatívnym meradlom možnosti výskytu predmetnej udalosti je pravdepodobnosť.

Najpoužívanejšie definície pravdepodobnosti udalosti sú: klasický A štatistické.

Klasická definícia pravdepodobnosti je spojená s pojmom priaznivý výsledok.

Výsledok je tzv priaznivý k danej udalosti, ak jej výskyt znamená výskyt tejto udalosti.

Vo vyššie uvedenom príklade má daná udalosť – párny počet bodov na hodenej strane – tri priaznivé výsledky. V tomto prípade generál
počet možných výsledkov. To znamená, že tu možno použiť klasickú definíciu pravdepodobnosti udalosti.

Klasická definícia. Pravdepodobnosť udalosti sa rovná pomeru počtu priaznivých výsledkov k celkovému počtu možných výsledkov

kde je pravdepodobnosť udalosti, je počet výsledkov priaznivých pre udalosť, je celkový počet možných výsledkov.

V uvažovanom príklade

Štatistická definícia pravdepodobnosti je spojená s pojmom relatívnej frekvencie výskytu udalosti v experimentoch.

Relatívna frekvencia výskytu udalosti sa vypočíta pomocou vzorca

kde je počet výskytov udalosti v sérii experimentov (testov).

Štatistická definícia. Pravdepodobnosť udalosti je číslo, okolo ktorého sa relatívna frekvencia ustáli (nastaví) s neobmedzeným nárastom počtu experimentov.

V praktických problémoch sa pravdepodobnosť udalosti považuje za relatívnu frekvenciu pre dostatočne veľký počet pokusov.

Z týchto definícií pravdepodobnosti udalosti je zrejmé, že nerovnosť je vždy splnená

Na určenie pravdepodobnosti udalosti na základe vzorca (1.1) sa často používajú kombinatorikové vzorce, ktoré sa používajú na zistenie počtu priaznivých výsledkov a celkového počtu možných výsledkov.

Príklad. Je známe, že v prichádzajúcej dávke 30 šijacích strojov má 10 vnútornú chybu. Určte pravdepodobnosť, že zo série 5 náhodne odobratých áut budú 3 bez závad.

Riešenie. Na vyriešenie tohto problému zavedieme nejaký zápis. Nech je celkový počet strojov, - počet bezchybných strojov, - počet strojov vybraných v dávke, - počet bezchybných strojov vo vybranej dávke.

Celkový počet kombinácií áut, t.j. celkový počet možných výsledkov sa bude rovnať počtu kombinácií prvkov o , t.j. . Každá vybraná kombinácia však musí obsahovať tri bezporuchové autá. Počet takýchto kombinácií sa rovná počtu kombinácií prvkov o , t.j. .

S každou takouto kombináciou vo vybranej dávke tvoria aj zostávajúce chybné prvky súbor kombinácií, ktorých počet sa rovná počtu kombinácií prvkov o , t.j. .

To znamená, že celkový počet priaznivých výsledkov je určený produktom. Odkiaľ to máme?

Pojem pravdepodobnosti udalosti sa vzťahuje na základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Pravdepodobnosť je kvantitatívna miera možnosti výskytu náhodného javu A. Označuje sa P(A) a má nasledujúce vlastnosti.

Pravdepodobnosť je kladné číslo v rozsahu od nuly do jednej:

Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová

Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej

Klasická definícia pravdepodobnosti. Nech = (1, 2,…, n) je priestor elementárnych udalostí, ktoré popisujú všetky možné elementárne výsledky a tvoria ucelenú skupinu nezlučiteľných a rovnako možných udalostí. Nech udalosť A zodpovedá podmnožine m elementárnych výsledkov

tieto výsledky sa nazývajú priaznivé pre udalosť A. V klasickej definícii pravdepodobnosti sa verí, že pravdepodobnosť akéhokoľvek elementárneho výsledku

a pravdepodobnosť udalosti A v prospech m výsledkov sa rovná

Preto definícia:

Pravdepodobnosť udalosti A je pomer počtu výsledkov priaznivých pre túto udalosť k celkovému počtu všetkých rovnako možných nekompatibilných elementárnych výsledkov, ktoré tvoria kompletnú skupinu. Pravdepodobnosť je daná vzorcom

kde m je počet základných výsledkov priaznivých pre udalosť A a je počet všetkých možných základných výsledkov testu.

Klasická definícia pravdepodobnosti umožňuje v niektorých problémoch analyticky vypočítať pravdepodobnosť udalosti.

Nech sa vykoná experiment, v dôsledku ktorého môžu nastať určité udalosti. Ak tieto udalosti tvoria úplnú skupinu párovo nekompatibilných a rovnako možných udalostí, potom sa hovorí, že skúsenosť má symetriu možných výsledkov a redukuje sa na „schému prípadov“. Pre experimenty, ktoré sú redukované na prípadovú schému, je použiteľný klasický vzorec pravdepodobnosti.

Príklad 1.13. V lotérii sa žrebuje 1000 tiketov vrátane 5 výherných. Určte pravdepodobnosť, že pri kúpe jedného tiketu lotérie získate výhru

Základnou udalosťou tohto zážitku je kúpa vstupenky. Každý žreb je jedinečný, keďže má svoje číslo a zakúpený tiket sa nevracia. Udalosťou A je zakúpenie výherného tiketu. Pri kúpe jedného z 1000 tiketov budú všetky možné výsledky tohto experimentu = 1000, výsledky tvoria kompletnú skupinu nekompatibilných udalostí. Počet výsledkov priaznivých pre udalosť A bude rovný = 5. Potom sa pravdepodobnosť výhry kúpou jedného tiketu rovná

P(A) = = 0,005

Na priamy výpočet pravdepodobností je vhodné použiť kombinatorické vzorce. Ukážme si to na príklade problému kontroly vzorkovania.

Príklad 1.14 Nech existuje šarža výrobkov, z ktorých niektoré sú chybné. Časť produktov sa vyberie na kontrolu. Aká je pravdepodobnosť, že medzi vybranými výrobkami budú práve chybné?

Základnou udalosťou v tomto experimente je výber elementárnej podmnožiny z pôvodnej elementárnej množiny. Výber ktorejkoľvek časti produktov zo série produktov možno považovať za rovnako možné udalosti, takže táto skúsenosť je zredukovaná na schému prípadov. Na výpočet pravdepodobnosti udalosti A = (medzi chybnými výrobkami, ak boli vybrané zo série chybných výrobkov), môžete použiť klasický vzorec pravdepodobnosti. Počet všetkých možných výsledkov experimentu je počet spôsobov, ktorými je možné vybrať produkty zo šarže, rovná sa počtu kombinácií prvkov podľa: . Udalosť priaznivá pre udalosť A pozostáva zo súčinu dvoch základných udalostí: (z chybných produktov sa vyberú _ (z _ sa vyberú štandardné produkty _). Počet takýchto udalostí v súlade s pravidlom násobenia kombinatoriky bude

Potom požadovaná pravdepodobnosť

Napríklad, nech =100, =10, =10, =1. Potom sa rovná pravdepodobnosť, že medzi vybranými 10 výrobkami bude práve jeden chybný výrobok

Štatistická definícia pravdepodobnosti. Pre uplatnenie klasickej definície pravdepodobnosti v podmienkach daného experimentu je potrebné, aby experiment zodpovedal vzoru prípadov a pre väčšinu reálnych problémov je prakticky nemožné tieto požiadavky splniť. Pravdepodobnosť udalosti je však objektívna realita, ktorá existuje bez ohľadu na to, či je klasická definícia použiteľná alebo nie. Existuje potreba inej definície pravdepodobnosti, ktorá by sa dala použiť, keď skúsenosť nezodpovedá vzoru prípadov.

Nech experiment pozostáva z vykonania série testov opakujúcich rovnaký experiment a nech sa udalosť A vyskytne raz v sérii experimentov. Relatívna frekvencia udalosti W(A) je pomer počtu experimentov, v ktorých došlo k udalosti A, k počtu všetkých vykonaných experimentov.

Experimentálne sa dokázalo, že frekvencia má vlastnosť stability: ak je počet experimentov v sérii dostatočne veľký, potom sa relatívne frekvencie javu A v rôznych sériách toho istého experimentu navzájom málo líšia.

Štatistická pravdepodobnosť udalosti je číslo, ku ktorému smerujú relatívne frekvencie, ak sa počet experimentov zvýši bez obmedzenia.

Na rozdiel od apriórnej (vypočítanej pred experimentom) klasickej pravdepodobnosti je štatistická pravdepodobnosť a posteriori (získaná po experimente).

Príklad 1.15 Meteorologické pozorovania počas 10 rokov v určitej oblasti ukázali, že počet daždivých dní v júli bol rôzne roky rovná sa: 2; 4; 3; 2; 4; 3; 2; 3; 5; 3. Určte pravdepodobnosť, že niektorý konkrétny deň v júli bude daždivý

Udalosťou A je, že určitý deň v júli, napríklad 10. júla, bude pršať. Uvedené štatistiky neobsahujú informácie o tom, ktoré konkrétne dni v júli pršalo, takže môžeme predpokladať, že všetky dni sú pre túto udalosť rovnako možné. Nech je jeden rok jedna séria testov s 31 dňami. Celkovo existuje 10 sérií Relatívne frekvencie sérií sú:

Frekvencie sú rôzne, ale pozoruje sa, že sa zoskupujú okolo čísla 0,1. Toto číslo môžeme brať ako pravdepodobnosť udalosti A. Ak vezmeme všetky júlové dni po dobu desiatich rokov ako jednu sériu testov, potom sa štatistická pravdepodobnosť udalosti A bude rovnať

Geometrická definícia pravdepodobnosti. Táto definícia pravdepodobnosti zovšeobecňuje klasickú definíciu na prípad, keď priestor elementárnych výsledkov obsahuje nespočetné množstvo elementárnych udalostí a výskyt každej z nich je rovnako možný. Geometrická pravdepodobnosť udalosti A je pomer miery (A) regiónu priaznivého pre výskyt udalosti k miere () celého regiónu.

Ak plochy predstavujú a) dĺžky segmentov, b) plochy obrazcov, c) objemy priestorových obrazcov, potom sú geometrické pravdepodobnosti rovnaké

Príklad 1.16. Reklamy zavesené v intervaloch 10 metrov pozdĺž nákupného radu. Niektorí zákazníci majú šírku pohľadu 3 metre. Aká je pravdepodobnosť, že si reklamu nevšimne, ak sa pohybuje kolmo na nákupný rad a môže cez rad v ktoromkoľvek bode prejsť?

Úsek nákupného radu, ktorý sa nachádza medzi dvoma inzerátmi, možno znázorniť ako rovný segment AB (obr. 1.6). Potom, aby si kupujúci všimol inzeráty, musí prejsť rovnými segmentmi AC alebo DV rovnými 3 m. Ak prejde cez nákupný rad na jednom z bodov segmentu SD, ktorého dĺžka je 4 m, reklamu si nevšimne. Pravdepodobnosť tejto udalosti bude