Článok je venovaný analýze úloh 15 z profil Jednotná štátna skúška v matematike za rok 2017. V tejto úlohe sú žiaci požiadaní o riešenie nerovností, najčastejšie logaritmických. Aj keď môžu existovať orientačné. Tento článok poskytuje analýzu príkladov logaritmické nerovnosti vrátane tých, ktoré obsahujú premennú na báze logaritmu. Všetky príklady sú prevzaté z otvorená bankaúlohy Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (profil), takže takéto nerovnosti sa s veľkou pravdepodobnosťou vyskytnú pri skúške ako úloha 15. Ideálne pre tých, ktorí sa chcú naučiť riešiť úlohu 15 z druhej časti profilu Jednotná štátna skúška z matematiky v krátkom časovom úseku s cieľom získať viac bodov na skúške.

Rozbor úloh 15 z profilu Jednotná štátna skúška z matematiky

V úlohách 15 Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (profil) sa často vyskytujú logaritmické nerovnosti. Riešenie logaritmických nerovností začína určením rozsahu prijateľných hodnôt. V tomto prípade nie je žiadna premenná v základe oboch logaritmov, je tam len číslo 11, čo značne zjednodušuje problém. Takže jediné obmedzenie, ktoré tu máme, je, že oba výrazy pod logaritmickým znakom sú kladné:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Prvá nerovnosť v systéme je kvadratická nerovnosť. Aby sme to vyriešili, naozaj by sme chceli faktorizovať ľavú stranu. Myslím, že to poznáte ktokoľvek kvadratická trojčlenka milý je faktorizovaný takto:

kde a sú korene rovnice. V tomto prípade je koeficient 1 (toto je číselný koeficient pred ). Koeficient sa tiež rovná 1 a koeficient je fiktívny výraz, rovná sa -20. Korene trojčlenky sa najľahšie určujú pomocou Vietovej vety. Rovnica, ktorú sme uviedli, znamená, že súčet koreňov sa bude rovnať koeficientu s opačným znamienkom, teda -1, a súčin týchto koreňov sa bude rovnať koeficientu, teda -20. Je ľahké uhádnuť, že korene budú -5 a 4.

Teraz môže byť ľavá strana nerovnosti faktorizovaná: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X v bodoch -5 a 4. To znamená, že požadovaným riešením nerovnosti je interval . Pre tých, ktorí nerozumejú tomu, čo sa tu píše, si od tohto momentu môžete pozrieť podrobnosti vo videu. Tam nájdete podrobné vysvetlenie, ako sa rieši druhá nerovnosť systému. Rieši sa to. Navyše, odpoveď je úplne rovnaká ako pri prvej nerovnosti systému. To znamená, že vyššie napísaná množina je oblasťou prípustných hodnôt nerovnosti.

Takže, ak vezmeme do úvahy faktorizáciu, pôvodná nerovnosť má tvar:

Pomocou vzorca pridáme 11 k mocnine výrazu pod znamienkom prvého logaritmu a presunieme druhý logaritmus na ľavú stranu nerovnosti, pričom jeho znamienko zmeníme na opačné:

Po redukcii dostaneme:

Posledná nerovnosť v dôsledku zvýšenia funkcie je ekvivalentná nerovnosti , ktorého riešením je interval . Zostáva len preťať ju s oblasťou prijateľných hodnôt nerovnosti, a to bude odpoveďou na celú úlohu.

Požadovaná odpoveď na úlohu teda vyzerá takto:

Touto úlohou sme sa zaoberali, teraz prejdeme k ďalšiemu príkladu úlohy 15 Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (profil).

Riešenie začíname určením rozsahu prijateľných hodnôt tejto nerovnosti. Na základe každého logaritmu musí byť kladné číslo, ktoré sa nerovná 1. Všetky výrazy pod znamienkom logaritmu musia byť kladné. Menovateľ zlomku nesmie obsahovať nulu. Posledná podmienka je ekvivalentná tomu, že , pretože inak oba logaritmy v menovateli zmiznú. Všetky tieto podmienky určujú rozsah prípustných hodnôt tejto nerovnosti, daný nasledujúci systém nerovnosti:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

V rozsahu prijateľných hodnôt môžeme použiť logaritmické prevodné vzorce na zjednodušenie ľavej strany nerovnosti. Pomocou vzorca zbavíme sa menovateľa:

Teraz máme len logaritmy so základňou. Toto je už pohodlnejšie. Ďalej použijeme vzorec a tiež vzorec, aby sme výraz, ktorý stojí za slávu, dostali do nasledujúcej podoby:

Pri výpočtoch sme použili to, čo je v rozmedzí prijateľných hodnôt. Pomocou substitúcie dospejeme k výrazu:

Použime ešte jednu náhradu: . V dôsledku toho dospejeme k nasledujúcemu výsledku:

Postupne sa teda vraciame k pôvodným premenným. Najprv k premennej:

Jednotná štátna skúška z matematiky úroveň profilu

Práca pozostáva z 19 úloh.
Časť 1:
8 úloh s krátkou odpoveďou základnej úrovne obtiažnosti.
Časť 2:
4 úlohy s krátkou odpoveďou
7 úloh s podrobnými odpoveďami vysoký stupeňťažkosti.

Dĺžka trvania - 3 hodiny 55 minút.

Príklady úloh jednotnej štátnej skúšky

Riešenie úloh jednotnej štátnej skúšky z matematiky.

Aby ste to vyriešili sami:

1 kilowatthodina elektriny stojí 1 rubeľ 80 kopejok.
Elektromer ukazoval 1. novembra 12 625 kilowatthodín a 1. decembra 12 802 kilowatthodín.
Koľko mám zaplatiť za elektrinu za november?
Uveďte svoju odpoveď v rubľoch.

V zmenárni stojí 1 hrivna 3 ruble 70 kopejok.
Rekreanti vymenili ruble za hrivny a kúpili 3 kg paradajok za cenu 4 hrivny za 1 kg.
Koľko rubľov ich tento nákup stál? Svoju odpoveď zaokrúhlite na celé číslo.

Masha posielala SMS správy s novoročnými pozdravmi svojim 16 priateľom.
Cena jednej SMS správy je 1 rubeľ 30 kopejok. Pred odoslaním správy mala Masha na účte 30 rubľov.
Koľko rubľov zostane Máši po odoslaní všetkých správ?

Škola má stany pre tri osoby.
Ktoré najmenšie číslo Potrebujete si vziať stany na túru pre 20 ľudí?

Vlak Novosibirsk-Krasnojarsk odchádza o 15:20 a prichádza o 4:20 nasledujúceho dňa (moskovského času).
Koľko hodín ide vlak?

Vieš čo?

Spomedzi všetkých figúrok s rovnakým obvodom bude mať kruh najväčšiu plochu. Naopak, spomedzi všetkých tvarov s rovnakou plochou bude mať kruh najmenší obvod.

Leonardo da Vinci odvodil pravidlo, podľa ktorého sa druhá mocnina priemeru kmeňa stromu rovná súčtu druhých mocnín priemerov konárov odobratých v spoločnej pevnej výške. Neskoršie štúdie to potvrdili len s jedným rozdielom - stupeň vo vzorci sa nemusí nevyhnutne rovnať 2, ale leží v rozmedzí od 1,8 do 2,3. Tradične sa verilo, že tento vzor sa vysvetľuje skutočnosťou, že strom s takouto štruktúrou má optimálny mechanizmus na zásobovanie vetvami. živiny. V roku 2010 však americký fyzik Christophe Alloy našiel jednoduchšie mechanické vysvetlenie tohto javu: ak považujeme strom za fraktál, potom Leonardov zákon minimalizuje pravdepodobnosť lámania konárov pod vplyvom vetra.

Laboratórne štúdie ukázali, že včely si dokážu vybrať optimálnu cestu. Po lokalizácii umiestnený v rôzne miesta Včela lieta okolo kvetov a vracia sa späť tak, aby sa konečná cesta ukázala ako najkratšia. Tento hmyz si teda efektívne poradí s klasickým „problémom predavača na cestách“ z informatiky, ktorého riešením môžu moderné počítače v závislosti od počtu bodov stráviť viac ako jeden deň.

Jedna priateľka požiadala Einsteina, aby jej zavolal, ale varovala ho, že jej telefónne číslo je veľmi ťažké zapamätať: - 24-361. Pamätáš si? Opakujte! Prekvapený Einstein odpovedal: "Samozrejme, že si pamätám!" Dva tucty a 19 štvorcových.

Stephen Hawking je jeden z popredných teoretických fyzikov a popularizátor vedy. Hawking vo svojom príbehu o sebe spomenul, že sa stal profesorom matematiky bez toho, aby získal akékoľvek matematické vzdelanie od r. stredná škola. Keď Hawking začal vyučovať matematiku na Oxforde, prečítal učebnicu dva týždne pred svojimi študentmi.

Maximálny počet, ktorý je možné zapísať rímskymi číslicami bez porušenia Shvartsmanových pravidiel (pravidlá pre písanie rímskych číslic) je 3999 (MMMCMXCIX) – nemôžete zapísať viac ako tri číslice za sebou.

Existuje mnoho podobenstiev o tom, ako jeden človek pozýva druhého, aby mu zaplatil za nejakú službu, a to takto: na prvé pole šachovnice položí jedno zrnko ryže, na druhé dve atď.: na každé nasledujúce pole dvakrát toľko ako v predchádzajúcom. Tým pádom ten, kto takto platí, určite skrachuje. To nie je prekvapujúce: odhaduje sa, že celková hmotnosť ryže bude viac ako 460 miliárd ton.

V mnohých zdrojoch sa nachádza tvrdenie, že Einstein v škole prepadol z matematiky alebo sa navyše vo všeobecnosti učil veľmi zle vo všetkých predmetoch. V skutočnosti nebolo všetko tak: Albert bol stále vnútri nízky vek začal prejavovať talent v matematike a poznal ju ďaleko za hranicami školských osnov.

Jednotná štátna skúška 2020 z matematickej úlohy 15 s riešením

Demo Možnosť jednotnej štátnej skúšky 2020 v matematike

Jednotná štátna skúška z matematiky 2020 vo formáte pdf Základná úroveň | Úroveň profilu

Úlohy na prípravu na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky: základná a odborná úroveň s odpoveďami a riešeniami.

Matematika: Základy | profil 1-12 | | | | | | | | Domov

Jednotná štátna skúška 2020 z matematiky úloha 15

Jednotná štátna skúška 2020 z úlohy 15 na úrovni profilu matematiky s riešením

Jednotná štátna skúška z matematiky úloha 15

podmienka:

Vyriešte nerovnosť:
log 2 ((7 -x 2 - 3) (7 -x 2 +16 -1)) + log 2 ((7 -x 2 -3)/(7 -x 2 +16 - 1)) > log 2 ( 7 7-x 2-2) 2

Riešenie:

Poďme sa zaoberať ODZ:
1. Výraz pod prvým znamienkom logaritmu musí byť väčší ako nula:
(7 (-(x 2))-3) (7 (-(x 2) + 16) -1) > 0

X 2 je vždy menšie alebo rovné nule, preto,
7 (-x 2)< = 1, следовательно,
7 (-x 2) - 3< = -2 < 0

To znamená, že pre splnenie prvej podmienky na ODZ je potrebné, aby
7 (-(x 2)+16) - 1< 0
7 (-(x 2)+16)< 1 = 7 0
-(x 2)+16< 0
x 2 > 16
x patrí do (-nekonečno; -4) U (4, +nekonečno)

2. Výraz pod druhým znamienkom logaritmu musí byť väčší ako nula. Ale tam bude výsledok rovnaký ako v prvom odseku, pretože rovnaké výrazy sú v zátvorkách.

3. Výraz pod tretím znamienkom logaritmu musí byť väčší ako nula.
(7 (7-x 2)-2)2 > 0
Táto nerovnosť je vždy pravdivá, okrem prípadov
7 (7-x 2)-2 = 0
7 (7-x 2) = 7 (log_7(2))
7-x 2 = log_7(2)
x 2 = 7 - log_7(2)
x = (+-)sqrt(7-log_7(x))

Odhadnime, čomu sa približne rovná sqrt(7-log_7(x)).
1/3 = log_8(2)< log_7(2) < log_4(2) = 1/2
2 = sqrt(4)< sqrt(7-1/2) < sqrt(7-log_7(2)) < sqrt(7-1/3) < sqrt(9) = 3

To znamená, že podmienka x sa nerovná (+-)sqrt(7-log_7(x)) je už nadbytočná, keďže v odseku (1) sme už interval zahŕňajúci tieto body z ODZ vylúčili.

Takže ešte raz ODZ:
x patrí do (- nekonečno; -4) U (4, + nekonečno)

4. Teraz pomocou vlastností logaritmu možno pôvodnú nerovnosť transformovať takto:
log_2((7 (-x 2) - 3) 2) > log_2((7 (7 - x 2) - 2) 2)

Log_2(x) je rastúca funkcia, takže sa zbavíme logaritmu bez zmeny znamienka:
(7 (-x 2) -3) 2 > (7 (7-x 2) -2) 2

Odhadujme výrazy zhora a zdola (7 (-x 2) -3) 2 A (7 (7-x 2)-2) 2 s prihliadnutím na ODZ:

X 2< -16
0 < 7 (-x 2) < 1
-3 < 7 (-x 2) -3 < -2
4 < (7 (-x 2) -3) 2 < 9

X 2< -16
0 < 7 (7-x 2) < 1
-2 < 7 (-x 2) -2 < -1
1 < (7 (-x 2) -3) 2 < 4

To znamená, že nerovnosť platí pre ľubovoľné x patriace do ODZ.