Logaritmické rovnice a nerovnice V Možnosti jednotnej štátnej skúšky venovaný matematike problém C3 . Každý študent sa musí naučiť riešiť úlohy C3 z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky, ak chce nadchádzajúcu skúšku zložiť s hodnotením „dobre“ alebo „výborne“. Tento článok predstavuje krátka recenziačasto sa vyskytujúce logaritmické rovnice a nerovnice, ako aj základné metódy ich riešenia.

Poďme sa teda dnes pozrieť na niekoľko príkladov. logaritmické rovnice a nerovnice, ktoré boli ponúkané študentom v Jednotnej štátnej skúške z matematiky predchádzajúcich ročníkov. Ale začne sa krátkym zhrnutím hlavných teoretických bodov, ktoré budeme potrebovať na ich vyriešenie.

Logaritmická funkcia

Definícia

Funkcia formulára

0,\, a\ne 1 \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

volal logaritmická funkcia.

Základné vlastnosti

Základné vlastnosti logaritmickej funkcie r=log a x:

Graf logaritmickej funkcie je logaritmická krivka:


Vlastnosti logaritmov

Logaritmus produktu dve kladné čísla sa rovnajú súčtu logaritmov týchto čísel:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Logaritmus kvocientu dve kladné čísla sa rovnajú rozdielu medzi logaritmami týchto čísel:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ak a A b a≠ 1, potom pre ľubovoľné číslo r rovnosť je pravda:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Rovnosť log a t=log a s, Kde a > 0, a ≠ 1, t > 0, s> 0, platí vtedy a len vtedy t = s.

Ak a, b, c sú kladné čísla a a A c sa líšia od jednoty, potom od rovnosti ( vzorec na prechod na novú logaritmickú základňu):

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Veta 1. Ak f(X) > 0 a g(X) > 0, teda logaritmická rovnica log a f(X) = log a g(X) (Kde a > 0, a≠ 1) je ekvivalentná rovnici f(X) = g(X).

Riešenie logaritmických rovníc a nerovníc

Príklad 1 Vyriešte rovnicu:

Riešenie. Rozsah prijateľných hodnôt zahŕňa iba tie X, pre ktoré je výraz pod logaritmickým znamienkom väčší ako nula. Tieto hodnoty sú určené nasledujúci systém nerovnosti:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Zvažujem to

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

získame interval, ktorý definuje rozsah prípustných hodnôt tejto logaritmickej rovnice:

Na základe vety 1, ktorej všetky podmienky sú tu splnené, pristúpime k nasledujúcej ekvivalentnej kvadratickej rovnici:

Rozsah prijateľných hodnôt zahŕňa iba prvý koreň.

odpoveď: x = 7.

Príklad 2 Vyriešte rovnicu:

Riešenie. Rozsah prijateľných hodnôt rovnice je určený systémom nerovností:

ql-right-eqno">

Riešenie. Rozsah prijateľných hodnôt rovnice sa tu určuje jednoducho: X > 0.

Používame substitúciu:

Rovnica sa stáva:

Obrátená substitúcia:

Obaja odpoveď sú v rozsahu prijateľných hodnôt rovnice, pretože sú to kladné čísla.

Príklad 4. Vyriešte rovnicu:

Riešenie. Začnime riešenie znova určením rozsahu prijateľných hodnôt rovnice. Je určená nasledujúcim systémom nerovností:

ql-right-eqno">

Základy logaritmov sú rovnaké, takže v rozsahu prijateľných hodnôt môžeme pristúpiť k nasledujúcej kvadratickej rovnici:

Prvý koreň nie je v rozsahu prijateľných hodnôt rovnice, ale druhý áno.

odpoveď: X = -1.

Príklad 5. Vyriešte rovnicu:

Riešenie. Budeme hľadať riešenia medzi tým X > 0, X≠1. Transformujme rovnicu na ekvivalentnú:

Obaja odpoveď sú v rozsahu prijateľných hodnôt rovnice.

Príklad 6. Vyriešte rovnicu:

Riešenie. Systém nerovností definujúcich rozsah prípustných hodnôt rovnice má tentokrát tvar:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Pomocou vlastností logaritmu transformujeme rovnicu na rovnicu, ktorá je ekvivalentná v rozsahu prijateľných hodnôt:

Pomocou vzorca na prechod na novú logaritmickú základňu dostaneme:

Rozsah prijateľných hodnôt zahŕňa iba jednu odpoveď: X = 4.

Prejdime teraz k logaritmické nerovnosti . Presne s tým sa budete musieť popasovať na Jednotnej štátnej skúške z matematiky. Na riešenie ďalších príkladov potrebujeme nasledujúcu vetu:

Veta 2. Ak f(X) > 0 a g(X) > 0, potom:
pri a> 1 logaritmická nerovnosť a f(X) > denník a g(X) sa rovná nerovnosti rovnakého významu: f(X) > g(X);
na 0< a < 1 логарифмическое неравенство log a f(X) > denník a g(X) je ekvivalentná nerovnosti s opačným významom: f(X) < g(X).

Príklad 7. Vyriešte nerovnosť:

Riešenie. Začnime definovaním rozsahu prijateľných hodnôt nerovnosti. Výraz pod znamienkom logaritmickej funkcie musí trvať iba kladné hodnoty. To znamená, že požadovaný rozsah prijateľných hodnôt je určený nasledujúcim systémom nerovností:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Keďže základom logaritmu je číslo menšie ako jedna, príslušná logaritmická funkcia bude klesajúca, a preto podľa vety 2 bude prechod na nasledujúcu kvadratickú nerovnosť ekvivalentný:

Nakoniec, ak vezmeme do úvahy rozsah prijateľných hodnôt, získame odpoveď:

Príklad 8. Vyriešte nerovnosť:

Riešenie. Začnime znova definovaním rozsahu prijateľných hodnôt:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Na súbore prípustných hodnôt nerovnosti vykonávame ekvivalentné transformácie:

Po redukcii a prechode na ekvivalent nerovnosti vetou 2 dostaneme:

Ak vezmeme do úvahy rozsah prijateľných hodnôt, získame konečnú hodnotu odpoveď:

Príklad 9. Vyriešte logaritmickú nerovnosť:

Riešenie. Rozsah prijateľných hodnôt nerovnosti je určený nasledujúcim systémom:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Je vidieť, že v rozsahu prijateľných hodnôt je výraz na báze logaritmu vždy väčší ako jedna, a preto podľa vety 2 bude prechod na nasledujúcu nerovnosť ekvivalentný:

Ak vezmeme do úvahy rozsah prijateľných hodnôt, dostaneme konečnú odpoveď:

Príklad 10. Vyriešte nerovnosť:

Riešenie.

Rozsah prijateľných hodnôt nerovnosti je určený systémom nerovností:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Metóda I Použime vzorec na prechod na nový základ logaritmu a prejdime k nerovnosti, ktorá je ekvivalentná v rozsahu prijateľných hodnôt.

Pri riešení logaritmických nerovností využívame vlastnosť monotónnosti logaritmickej funkcie. Používame tiež definíciu logaritmu a základných logaritmických vzorcov.

Pozrime sa, čo sú to logaritmy:

Logaritmus kladné číslo k základu je indikátorom sily, na ktorú sa musí zvýšiť, aby sa dostal.

V čom

Základná logaritmická identita:

Základné vzorce pre logaritmy:

(Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov)

(Logaritmus kvocientu sa rovná rozdielu logaritmov)

(Vzorec pre logaritmus výkonu)

Vzorec na prechod na novú základňu:

Algoritmus na riešenie logaritmických nerovností

Dá sa povedať, že logaritmické nerovnosti sa riešia pomocou špecifického algoritmu. Musíme si zapísať rozsah prijateľných hodnôt (APV) nerovnosti. Znížte nerovnosť na tvar Znamienko tu môže byť čokoľvek: Dôležité je, aby vľavo a vpravo v nerovnosti boli logaritmy k rovnakému základu.

A potom „zahodíme“ logaritmy! Navyše, ak je základom stupeň , znamienko nerovnosti zostáva rovnaké. Ak je základ taký, že znamienko nerovnosti sa mení na opak.

Samozrejme, logaritmy len tak „nezahodíme“. Používame monotónnosť logaritmickej funkcie. Ak je základ logaritmu väčší ako jedna, logaritmická funkcia rastie monotónne a potom vyššiu hodnotu x zodpovedá väčšej hodnote výrazu.

Ak je základ väčší ako nula a menší ako jedna, logaritmická funkcia monotónne klesá. Väčšia hodnota argumentu x bude zodpovedať menšej hodnote

Dôležité upozornenie: riešenie je najlepšie napísať vo forme reťazca ekvivalentných prechodov.

Prejdime k praxi. Ako vždy, začnime s najjednoduchšími nerovnosťami.

1. Uvažujme nerovnosť log 3 x > log 3 5.
Keďže logaritmy sú definované len pre kladné čísla, je potrebné, aby x bolo kladné. Podmienka x > 0 sa nazýva rozsah prípustných hodnôt (APV) tejto nerovnosti. Len pre takéto x má nerovnosť zmysel.

No, táto formulácia znie očarujúco a je ľahko zapamätateľná. Ale prečo to stále môžeme robiť?

Sme ľudia, máme inteligenciu. Naša myseľ je navrhnutá tak, že všetko je logické, zrozumiteľné a má vnútorná štruktúra sa zapamätá a aplikuje oveľa lepšie ako náhodné a nesúvisiace fakty. Preto je dôležité nezapamätávať si pravidlá mechanicky ako cvičený matematický pes, ale konať vedome.

Prečo teda stále „vypúšťame logaritmy“?

Odpoveď je jednoduchá: ak je základ väčší ako jedna (ako v našom prípade), logaritmická funkcia rastie monotónne, čo znamená, že väčšia hodnota x zodpovedá väčšej hodnote y a z nerovnosti log 3 x 1 > log 3 x 2 z toho vyplýva, že x 1 > x 2.


Upozorňujeme, že sme prešli k algebraickej nerovnosti a znamienko nerovnosti zostáva rovnaké.

Takže x > 5.

Nasledujúca logaritmická nerovnosť je tiež jednoduchá.

2. log 5 (15 + 3x) > log 5 2x

Začnime s rozsahom prijateľných hodnôt. Logaritmy sú definované len pre kladné čísla, takže

Vyriešením tohto systému dostaneme: x > 0.

Teraz prejdime od logaritmickej nerovnosti k algebraickej - „zahoďme“ logaritmy. Pretože základ logaritmu je väčší ako jedna, znamienko nerovnosti zostáva rovnaké.

15 + 3x > 2x.

Dostaneme: x > −15.

Odpoveď: x > 0.

Čo sa však stane, ak je základ logaritmu menší ako jedna? Je ľahké uhádnuť, že v tomto prípade sa pri prechode na algebraickú nerovnosť zmení znamienko nerovnosti.

Uveďme si príklad.

Zapíšeme si ODZ. Výrazy, z ktorých sa preberajú logaritmy, musia byť kladné, to znamená

Vyriešením tejto sústavy dostaneme: x > 4,5.

Od , logaritmická funkcia so základom monotónne klesá. To znamená, že väčšia hodnota funkcie zodpovedá menšej hodnote argumentu:


A ak vtedy
2x − 9 ≤ x.

Dostaneme, že x ≤ 9.

Vzhľadom na to, že x > 4,5 napíšeme odpoveď:

V ďalšom probléme je exponenciálna nerovnosť redukovaná na kvadratickú nerovnosť. Preto odporúčame zopakovať tému „kvadratické nerovnosti“.

Teraz pre zložitejšie nerovnosti:

4. Vyriešte nerovnosť

5. Vyriešte nerovnosť

Ak potom. Mali sme šťastie! Vieme, že základ logaritmu je väčší ako jedna pre všetky hodnoty x zahrnuté v ODZ.

Urobme náhradu

Všimnite si, že najprv úplne vyriešime nerovnosť vzhľadom na novú premennú t. A až potom sa vrátime k premennej x. Pamätajte na to a nerobte chyby na skúške!

Zapamätajme si pravidlo: ak rovnica alebo nerovnica obsahuje odmocniny, zlomky alebo logaritmy, riešenie musí začínať v rozsahu prijateľných hodnôt. Keďže základ logaritmu musí byť kladný a nie rovný jednej, získame systém podmienok:

Zjednodušme tento systém:

Toto je rozsah prijateľných hodnôt nerovnosti.

Vidíme, že premenná je obsiahnutá v základe logaritmu. Prejdime k stálej základni. Pripomeňme si to

V tomto prípade je vhodné prejsť na základňu 4.


Urobme náhradu

Zjednodušme nerovnosť a vyriešme ju pomocou intervalovej metódy:

Vráťme sa k premennej X:


Pridali sme podmienku X> 0 (z ODZ).

7. Nasledovný problém možno vyriešiť aj pomocou intervalovej metódy

Ako vždy začíname riešiť logaritmickú nerovnosť z rozsahu prijateľných hodnôt. V tomto prípade

Táto podmienka musí byť splnená a my sa k nej vrátime. Pozrime sa zatiaľ na samotnú nerovnosť. Napíšme ľavú stranu ako logaritmus so základom 3:

Pravá strana môže byť tiež zapísaná ako logaritmus so základom 3 a potom prejsť na algebraickú nerovnosť:

Vidíme, že podmienka (teda ODZ) je teraz splnená automaticky. No, to uľahčuje riešenie nerovnosti.

Nerovnosť riešime intervalovou metódou:

odpoveď:

Stalo? No, poďme zvýšiť úroveň obtiažnosti:

8. Vyriešte nerovnosť:

Nerovnosť je ekvivalentná systému:

9. Vyriešte nerovnosť:

Výraz 5 - X 2 sa nutkavo opakuje v probléme. To znamená, že môžete vykonať náhradu:

Pretože exponenciálna funkcia berie len kladné hodnoty, t> 0. Potom

Nerovnosť bude mať tvar:

Už lepšie. Nájdite rozsah prijateľných hodnôt nerovnosti. To sme už povedali t> 0. Okrem toho ( t− 3) (5 9 · t − 1) > 0

Ak je táto podmienka splnená, potom bude kvocient kladný.

A výraz pod logaritmom na pravej strane nerovnosti musí byť kladný, to znamená (625 t − 2) 2 .

To znamená, že 625 t− 2 ≠ 0, tj

Pozorne si zapíšme ODZ

a výslednú sústavu riešiť intervalovou metódou.

takže,

Polovica bitky je hotová - vyriešili sme ODZ. Riešime samotnú nerovnosť. Predstavme si súčet logaritmov na ľavej strane ako logaritmus súčinu.

Logaritmické nerovnosti

V predchádzajúcich lekciách sme sa zoznámili s logaritmickými rovnicami a teraz vieme, čo sú a ako ich riešiť. Dnešná lekcia bude venovaná štúdiu logaritmických nerovností. Aké sú tieto nerovnosti a aký je rozdiel medzi riešením logaritmickej rovnice a nerovnicou?

Logaritmické nerovnosti sú nerovnosti, ktoré majú premennú vystupujúcu pod logaritmickým znamienkom alebo na jeho základni.

Alebo môžeme tiež povedať, že logaritmická nerovnosť je nerovnosť, v ktorej sa jej neznáma hodnota, ako v logaritmickej rovnici, objaví pod znamienkom logaritmu.

Najjednoduchšie logaritmické nerovnosti majú nasledujúci tvar:

kde f(x) a g(x) sú nejaké výrazy, ktoré závisia od x.

Pozrime sa na to pomocou tohto príkladu: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Riešenie logaritmických nerovností

Pred riešením logaritmických nerovností stojí za zmienku, že po vyriešení sú podobné exponenciálnym nerovnostiam, konkrétne:

Po prvé, keď prechádzame od logaritmov k výrazom pod logaritmickým znamienkom, musíme tiež porovnať základ logaritmu s jedným;

Po druhé, pri riešení logaritmickej nerovnosti pomocou zmeny premenných musíme riešiť nerovnosti vzhľadom na zmenu, kým nedostaneme najjednoduchšiu nerovnosť.

Ale vy a ja sme zvažovali podobné aspekty riešenia logaritmických nerovností. Teraz sa pozrime na pomerne významný rozdiel. Vy a ja vieme, že logaritmická funkcia má obmedzenú oblasť definície, preto pri prechode od logaritmov k výrazom pod logaritmickým znakom musíme vziať do úvahy rozsah povolených hodnôt (ADV).

To znamená, že by sa malo vziať do úvahy, že pri riešení logaritmickej rovnice môžeme vy a ja najprv nájsť korene rovnice a potom toto riešenie skontrolovať. Riešenie logaritmickej nerovnosti však nebude fungovať týmto spôsobom, pretože pri prechode od logaritmov k výrazom pod logaritmickým znamienkom bude potrebné zapísať ODZ nerovnosti.

Okrem toho je potrebné pripomenúť, že teória nerovností pozostáva z reálnych čísel, čo sú kladné a záporné čísla, ako aj číslo 0.

Napríklad, keď je číslo „a“ kladné, musíte použiť nasledujúci zápis: a >0. V tomto prípade bude súčet aj súčin týchto čísel kladné.

Hlavným princípom riešenia nerovnosti je nahradiť ju jednoduchšou nerovnicou, ale hlavné je, že je ekvivalentná danej. Ďalej sme tiež získali nerovnosť a opäť sme ju nahradili nerovnosťou, ktorá má jednoduchší tvar atď.

Pri riešení nerovností s premennou je potrebné nájsť všetky jej riešenia. Ak majú dve nerovnosti rovnakú premennú x, potom sú takéto nerovnosti ekvivalentné za predpokladu, že sa ich riešenia zhodujú.

Pri vykonávaní úloh na riešenie logaritmických nerovností si musíte pamätať, že keď a > 1, potom sa logaritmická funkcia zvýši a keď 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metódy riešenia logaritmických nerovností

Teraz sa pozrime na niektoré metódy, ktoré sa používajú pri riešení logaritmických nerovností. Pre lepšie pochopenie a asimiláciu sa ich pokúsime pochopiť na konkrétnych príkladoch.

Všetci vieme, že najjednoduchšia logaritmická nerovnosť má nasledujúci tvar:

V tejto nerovnosti je V – jedným z nasledujúcich znakov nerovnosti:<,>, ≤ alebo ≥.

Keď je základ daného logaritmu väčší ako jedna (a>1), pri prechode z logaritmov na výrazy pod znamienkom logaritmu sa v tejto verzii znamienko nerovnosti zachová a nerovnosť bude mať nasledujúci tvar:

ktorý je ekvivalentný tomuto systému:


V prípade, že základ logaritmu je väčší ako nula a menší ako jedna (0

Toto je ekvivalentné tomuto systému:


Pozrime sa na ďalšie príklady riešenia najjednoduchších logaritmických nerovností znázornených na obrázku nižšie:



Príklady riešenia

Cvičenie. Skúsme vyriešiť túto nerovnosť:


Riešenie rozsahu prijateľných hodnôt.


Teraz skúsme vynásobiť jeho pravú stranu:

Pozrime sa, čo môžeme vymyslieť:



Teraz prejdime ku konverzii sublogaritmických výrazov. Vzhľadom k tomu, že základ logaritmu je 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

A z toho vyplýva, že interval, ktorý sme získali úplne patrí do ODZ a je riešením takejto nerovnosti.

Tu je odpoveď, ktorú sme dostali:


Čo je potrebné na riešenie logaritmických nerovností?

Teraz sa pokúsme analyzovať, čo potrebujeme na úspešné vyriešenie logaritmických nerovností?

Najprv sústreďte všetku svoju pozornosť a snažte sa nerobiť chyby pri vykonávaní transformácií, ktoré sú dané v tejto nerovnosti. Treba tiež pamätať na to, že pri riešení takýchto nerovností je potrebné vyhnúť sa rozširovaniu a zmršťovaniu nerovností, čo môže viesť k strate alebo získaniu cudzích riešení.

Po druhé, pri riešení logaritmických nerovností sa musíte naučiť myslieť logicky a pochopiť rozdiel medzi pojmami, ako je systém nerovností a množina nerovností, aby ste mohli ľahko vyberať riešenia nerovnosti, pričom sa riadite jej DL.

Po tretie, na úspešné vyriešenie takýchto nerovností musí každý z vás dokonale poznať všetky vlastnosti elementárne funkcie a jasne pochopiť ich význam. Medzi takéto funkcie patria nielen logaritmické, ale aj racionálne, mocenské, trigonometrické atď., jedným slovom, všetky tie, ktoré ste študovali. školstvo algebra.

Ako vidíte, po preštudovaní témy logaritmických nerovností nie je pri riešení týchto nerovností nič ťažké, za predpokladu, že ste opatrní a vytrvalí pri dosahovaní svojich cieľov. Aby ste sa vyhli akýmkoľvek problémom pri riešení nerovností, musíte čo najviac trénovať, riešenie rôzne úlohy a zároveň si zapamätať základné metódy riešenia takýchto nerovností a ich sústavy. Ak sa vám nepodarí vyriešiť logaritmické nerovnosti, mali by ste svoje chyby dôkladne analyzovať, aby ste sa k nim v budúcnosti nevrátili.

Domáca úloha

Ak chcete lepšie porozumieť téme a konsolidovať preberaný materiál, vyriešte nasledujúce nerovnosti:


S nimi sú vnútorné logaritmy.

Príklady:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Ako vyriešiť logaritmické nerovnosti:

Mali by sme sa snažiť zredukovať akúkoľvek logaritmickú nerovnosť na tvar \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (symbol \(˅\) znamená ktorýkoľvek z ). Tento typ vám umožňuje zbaviť sa logaritmov a ich základov, čím sa dosiahne prechod na nerovnosť výrazov pod logaritmami, teda do tvaru \(f(x) ˅ g(x)\).

Ale pri tomto prechode je tu jedna veľmi dôležitá jemnosť:
\(-\) ak je číslo a je väčšie ako 1, znamienko nerovnosti zostáva počas prechodu rovnaké,
\(-\) ak je základom číslo väčšie ako 0, ale menšie ako 1 (leží medzi nulou a jednotkou), potom by sa znamienko nerovnosti malo zmeniť na opačné, t.j.

Príklady:

\(\log_2⁡((8-x))<1\)
ODZ: \(8-x>0\)
\(-x>-8\)
\(X<8\)

Riešenie:
\(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\)
\(8-x\)\(<\) \(2\)
\(8-2\(x>6\)
Odpoveď: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ 1))\)
ODZ: \(\začiatok(prípady)2x-4>0\\x+1 > 0\koniec(prípady)\)
\(\začiatok(prípady)2x>4\\x > -1\koniec (prípady)\) \(\šípka doľava doprava\) \(\začiatok(prípady)x>2\\x > -1\koniec (prípady) \) \(\Šípka doľava\) \(x\in(2;\infty)\)

Riešenie:
\(2x-4\)\(≤\) \(x+1\)
\(2x-x≤4+1\)
\(x≤5\)
Odpoveď: \((2;5]\)

Veľmi dôležité! Pri akejkoľvek nerovnosti sa prechod z tvaru \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) k porovnávaniu výrazov pod logaritmami môže uskutočniť iba vtedy, ak:


Príklad . Vyriešte nerovnosť: \(\log\)\(≤-1\)

Riešenie:

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)

Vypíšeme ODZ.

ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)

\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)

Otvárame zátvorky a prinášame .

\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)

Nerovnosť vynásobíme \(-1\), pričom nezabudneme obrátiť znamienko porovnania.

\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)

\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)

Zostrojme číselnú os a označme na nej body \(\frac(7)(3)\) a \(\frac(3)(2)\). Upozorňujeme, že bodka je odstránená z menovateľa, napriek tomu, že nerovnosť nie je striktná. Faktom je, že tento bod nebude riešením, pretože pri dosadení do nerovnosti nás privedie k deleniu nulou.


\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Teraz nakreslíme ODZ na rovnakú číselnú os a ako odpoveď zapíšeme interval, ktorý spadá do ODZ.


Konečnú odpoveď zapíšeme.

odpoveď: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Príklad . Vyriešte nerovnosť: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Riešenie:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Vypíšeme ODZ.

ODZ: \(x>0\)

Poďme k riešeniu.

Riešenie: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Tu máme typickú štvorcovo-logaritmickú nerovnosť. Poďme na to.

\(t=\log_3⁡x\)
\(t^2-t-2>0\)

Rozšírime ľavú stranu nerovnosti na .

\(D=1+8=9\)
\(t_1= \frac(1+3)(2)=2\)
\(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\)
\((t+1)(t-2)>0\)

Teraz sa musíme vrátiť k pôvodnej premennej - x. Ak to chcete urobiť, prejdite na , ktorý má rovnaké riešenie, a urobte opačnú substitúciu.

\(\left[ \začiatok(zhromaždené) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)

Transformujte \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).

\(\left[ \začiatok(zhromaždené) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

Prejdime k porovnávaniu argumentov. Základy logaritmov sú väčšie ako \(1\), takže znamienko nerovností sa nemení.

\(\left[ \začiatok(zhromaždené) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

Spojme riešenie nerovnosti a ODZ v jednom obrázku.


Zapíšme si odpoveď.

odpoveď: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

LOGARITMICKÉ NEROVNOSTI V POUŽÍVANÍ

Sečin Michail Alexandrovič

Malá akadémia vied pre študentov Kazašskej republiky „Iskatel“

MBOU "Sovetskaya Stredná škola č. 1", 11. ročník, mesto. Sovetsky Sovetsky okres

Gunko Lyudmila Dmitrievna, učiteľka Mestskej rozpočtovej vzdelávacej inštitúcie „Sovetskaja stredná škola č. 1“

Sovetský okres

Cieľ práce:štúdium mechanizmu riešenia logaritmických nerovností C3 pomocou neštandardných metód, zisťovanie zaujímavých faktov o logaritme.

Predmet štúdia:

3) Naučte sa riešiť špecifické logaritmické nerovnosti C3 pomocou neštandardných metód.

Výsledky:

Obsah

Úvod ………………………………………………………………………………………………. 4

Kapitola 1. História problému………………………………………………………...5

Kapitola 2. Zbierka logaritmických nerovností ………………………… 7

2.1. Ekvivalentné prechody a zovšeobecnená metóda intervalov…………… 7

2.2. Spôsob racionalizácie ……………………………………………………………… 15

2.3. Neštandardná substitúcia ........................................................................ ............... 22

2.4. Úlohy s pascami…………………………………………………………27

Záver……………………………………………………………………………… 30

Literatúra …………………………………………………………………………. 31

Úvod

Som v 11. ročníku a plánujem vstúpiť na univerzitu, kde je hlavným predmetom matematika. Preto veľa pracujem s problémami v časti C. V úlohe C3 potrebujem vyriešiť neštandardnú nerovnosť alebo systém nerovníc, zvyčajne súvisiaci s logaritmami. Pri príprave na skúšku som sa stretol s problémom nedostatku metód a techník na riešenie logaritmických nerovností skúšky ponúkaných v C3. Metódy, ktoré sa na túto tému študujú v školských osnovách, nedávajú základ pre riešenie úloh C3. Učiteľka matematiky mi navrhla, aby som pod jej vedením pracovala na úlohách C3 samostatne. Okrem toho ma zaujala otázka: stretávame sa v živote s logaritmami?

S ohľadom na to bola zvolená téma:

„Logaritmické nerovnosti v jednotnej štátnej skúške“

Cieľ práce:štúdium mechanizmu riešenia problémov C3 pomocou neštandardných metód, zisťovanie zaujímavých faktov o logaritme.

Predmet štúdia:

1) Nájdite potrebné informácie o neštandardných metódach riešenia logaritmických nerovností.

2) Nájdite ďalšie informácie o logaritmoch.

3) Naučte sa riešiť špecifické problémy C3 pomocou neštandardných metód.

Výsledky:

Praktický význam spočíva v rozšírení aparátu na riešenie úloh C3. Tento materiál možno použiť na niektorých hodinách, v krúžkoch a na voliteľných hodinách matematiky.

Produktom projektu bude kolekcia „C3 Logaritmické nerovnosti s riešeniami“.

Kapitola 1. Pozadie

Počas 16. storočia sa počet približných výpočtov rýchlo zvýšil, predovšetkým v astronómii. Zdokonaľovanie prístrojov, štúdium pohybov planét a iné práce si vyžadovali kolosálne, niekedy aj viacročné výpočty. Astronómii reálne hrozilo, že sa utopí v nenaplnených výpočtoch. Ťažkosti nastali v iných oblastiach, napríklad v poisťovníctve boli potrebné zložené úrokové tabuľky pre rôzne úrokové sadzby. Hlavnou ťažkosťou bolo násobenie a delenie viacciferných čísel, najmä goniometrických veličín.

Objav logaritmov bol založený na vlastnostiach priebehu, ktoré boli dobre známe koncom 16. storočia. Archimedes hovoril o súvislosti medzi členmi geometrickej postupnosti q, q2, q3, ... a aritmetickou postupnosťou ich exponentov 1, 2, 3,... v žalme. Ďalším predpokladom bolo rozšírenie pojmu stupňa na záporné a zlomkové exponenty. Mnohí autori poukázali na to, že násobenie, delenie, umocňovanie a odmocňovanie v geometrickej postupnosti korešpondujú v aritmetike - v rovnakom poradí - sčítaní, odčítaní, násobení a delení.

Tu bola myšlienka logaritmu ako exponentu.

V histórii vývoja doktríny logaritmov prešlo niekoľko etáp.

1. fáza

Logaritmy vynašiel najneskôr v roku 1594 nezávisle škótsky barón Napier (1550-1617) a o desať rokov neskôr švajčiarsky mechanik Bürgi (1552-1632). Obaja chceli poskytnúť nový, pohodlný spôsob aritmetických výpočtov, hoci k tomuto problému pristupovali rôznymi spôsobmi. Napier kinematicky vyjadril logaritmickú funkciu a vstúpil tak do novej oblasti teórie funkcií. Bürgi zostal na základe zvažovania diskrétnych postupov. Definícia logaritmu pre obe však nie je podobná tej modernej. Termín "logaritmus" (logaritmus) patrí Napierovi. Vznikol z kombinácie gréckych slov: logos - „vzťah“ a ariqmo – „číslo“, čo znamenalo „počet vzťahov“. Spočiatku Napier používal iný termín: numeri artificiales – „umelé čísla“, na rozdiel od numeri naturalts – „prirodzené čísla“.

V roku 1615, v rozhovore s Henrym Briggsom (1561-1631), profesorom matematiky na Gresh College v Londýne, Napier navrhol brať nulu ako logaritmus jednotky a 100 ako logaritmus desiatich, čiže to isté. vec, len 1. Takto boli vytlačené desiatkové logaritmy a prvé logaritmické tabuľky. Neskôr Briggsove tabuľky doplnil holandský kníhkupec a nadšenec matematiky Adrian Flaccus (1600-1667). Napier a Briggs, hoci prišli k logaritmom skôr ako všetci ostatní, publikovali svoje tabuľky neskôr ako ostatní - v roku 1620. Znaky log a Log zaviedol v roku 1624 I. Kepler. Termín „prirodzený logaritmus“ zaviedol Mengoli v roku 1659 a nasledoval ho N. Mercator v roku 1668 a londýnsky učiteľ John Speidel publikoval tabuľky prirodzených logaritmov čísel od 1 do 1000 pod názvom „New Logaritmy“.

Prvé logaritmické tabuľky boli publikované v ruštine v roku 1703. Ale vo všetkých logaritmických tabuľkách boli chyby vo výpočtoch. Prvé bezchybné tabuľky vyšli v roku 1857 v Berlíne, spracoval ich nemecký matematik K. Bremiker (1804-1877).

2. fáza

Ďalší rozvoj teórie logaritmov je spojený so širšou aplikáciou analytickej geometrie a infinitezimálneho počtu. V tom čase už bolo vytvorené spojenie medzi kvadratúrou rovnostrannej hyperboly a prirodzeným logaritmom. Teória logaritmov tohto obdobia je spojená s menami mnohých matematikov.

Nemecký matematik, astronóm a inžinier Nikolaus Mercator v eseji

"Logarithmotechnics" (1668) uvádza sériu s expanziou ln(x+1) v

mocniny x:

Tento výraz presne zodpovedá jeho myšlienkovému pochodu, aj keď, samozrejme, nepoužil znaky d, ..., ale ťažkopádnejšiu symboliku. S objavom logaritmických radov sa zmenila technika výpočtu logaritmov: začali sa určovať pomocou nekonečných radov. F. Klein vo svojich prednáškach „Elementárna matematika z vyššieho hľadiska“ v rokoch 1907-1908 navrhol použiť vzorec ako východiskový bod pre konštrukciu teórie logaritmov.

3. fáza

Definícia logaritmickej funkcie ako inverznej funkcie

exponenciálny, logaritmus ako exponent daného základu

nebola formulovaná okamžite. Esej Leonharda Eulera (1707-1783)

"Úvod do analýzy infinitezimál" (1748) slúžil na ďalšie

vývoj teórie logaritmických funkcií. teda

Od prvého zavedenia logaritmov uplynulo 134 rokov

(počítajúc od roku 1614), než matematici dospeli k definícii

koncept logaritmu, ktorý je teraz základom školského kurzu.

Kapitola 2. Zbierka logaritmických nerovností

2.1. Ekvivalentné prechody a zovšeobecnená metóda intervalov.

Ekvivalentné prechody

, ak a > 1

, ak 0 < а < 1

Zovšeobecnená intervalová metóda

Táto metóda najuniverzálnejšie pri riešení nerovností takmer akéhokoľvek typu. Schéma riešenia vyzerá takto:

1. Preveďte nerovnosť do tvaru, kde je funkcia na ľavej strane
a vpravo 0.

2. Nájdite doménu funkcie
.

3. Nájdite nuly funkcie
, teda vyriešiť rovnicu
(a riešenie rovnice je zvyčajne jednoduchšie ako riešenie nerovnice).

4. Nakreslite na číselnú os definičný obor a nuly funkcie.

5. Určte znamienka funkcie
na získaných intervaloch.

6. Vyberte intervaly, v ktorých funkcia nadobúda požadované hodnoty a zapíšte si odpoveď.

Príklad 1

Riešenie:

Aplikujme intervalovú metódu

kde

Pre tieto hodnoty sú všetky výrazy pod logaritmickými znamienkami kladné.

odpoveď:

Príklad 2

Riešenie:

1 spôsobom . ADL je určená nerovnosťou X> 3. Logaritmy X v základe 10 dostaneme

Posledná nerovnosť by sa dala vyriešiť aplikáciou pravidiel rozšírenia, t.j. porovnanie faktorov s nulou. V tomto prípade je však ľahké určiť intervaly konštantného znamienka funkcie

preto je možné použiť intervalovú metódu.

Funkcia f(X) = 2X(X- 3,5) lgǀ X- 3ǀ je súvislá pri X> 3 a v bodoch mizne X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Určíme teda intervaly konštantného znamienka funkcie f(X):

odpoveď:

2. spôsob . Aplikujme myšlienky intervalovej metódy priamo na pôvodnú nerovnicu.

Ak to chcete urobiť, nezabudnite, že výrazy a b- a c a ( a - 1)(b- 1) mať jedno znamenie. Potom naša nerovnosť pri X> 3 sa rovná nerovnosti

alebo

Posledná nerovnosť sa rieši pomocou intervalovej metódy

odpoveď:

Príklad 3

Riešenie:

Aplikujme intervalovú metódu

odpoveď:

Príklad 4.

Riešenie:

Od 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 pre všetky skutočné X, To

Na vyriešenie druhej nerovnice použijeme intervalovú metódu

V prvej nerovnosti vykonáme náhradu

potom sa dostaneme k nerovnosti 2y 2 - r - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те r, ktoré spĺňajú nerovnosť -0,5< r < 1.

Odkiaľ, pretože

dostaneme nerovnosť

ktorá sa vykonáva, keď X, za čo 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Teraz, keď vezmeme do úvahy riešenie druhej nerovnosti systému, konečne získame

odpoveď:

Príklad 5.

Riešenie:

Nerovnosť je ekvivalentom súboru systémov

alebo

Využime intervalovú metódu resp

Odpoveď:

Príklad 6.

Riešenie:

Nerovnosť rovná sa systém

Nechaj

Potom r > 0,

a prvá nerovnosť

systém má formu

alebo, odvíjanie

kvadratická trojčlenka podľa faktorov,

Aplikácia intervalovej metódy na poslednú nerovnosť,

vidíme, že jeho riešenia spĺňajú podmienku r> 0 bude všetko r > 4.

Pôvodná nerovnosť je teda ekvivalentná systému:

Takže riešenia nerovnosti sú všetky

2.2. Racionalizačná metóda.

Predtým metóda racionalizácia nerovnosti sa neriešila, nevedela. Toto je "nová moderna" efektívna metóda riešenia exponenciálnych a logaritmických nerovností“ (citát z knihy S.I. Kolesnikovej)
A aj keby ho učiteľ poznal, bol tu strach - pozná ho odborník na jednotnú štátnu skúšku a prečo ho nedávajú v škole? Boli situácie, keď učiteľ povedal študentovi: "Kde to máš? Sadni si - 2."
Teraz sa metóda všade propaguje. A pre odborníkov sú k tejto metóde priradené pokyny a v „Najkompletnejších vydaniach štandardných možností...“ v riešení C3 sa táto metóda používa.
NÁDHERNÁ METÓDA!

"Magický stôl"


V iných zdrojoch

Ak a >1 a b >1, potom log ab >0 a (a-1)(b-1)>0;

Ak a >1 a 0

ak 0<a<1 и b >1, potom log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

ak 0<a<1 и 00 a (a-1)(b-1)>0.

Prevedená úvaha je jednoduchá, ale výrazne zjednodušuje riešenie logaritmických nerovností.

Príklad 4.

log x (x 2 -3)<0

Riešenie:

Príklad 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤ log 2x (x 2 +x )

Riešenie:

Odpoveď. (0; 0,5) U.

Príklad 6.

Aby sme túto nerovnosť vyriešili, namiesto menovateľa napíšeme (x-1-1)(x-1) a namiesto čitateľa napíšeme súčin (x-1)(x-3-9 + x).


Odpoveď : (3;6)

Príklad 7.

Príklad 8.

2.3. Neštandardná substitúcia.

Príklad 1

Príklad 2

Príklad 3

Príklad 4.

Príklad 5.

Príklad 6.

Príklad 7.

log 4 (3 x -1) log 0,25

Urobme náhradu y=3 x -1; potom táto nerovnosť nadobudne podobu

Log 4 log 0,25
.

Pretože log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , potom poslednú nerovnosť prepíšeme ako 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Urobme náhradu t =log 4 y a získajme nerovnosť t 2 -2t +≥0, ktorej riešením sú intervaly - .

Aby sme teda našli hodnoty y, máme množinu dvoch jednoduchých nerovností
Riešením tejto množiny sú intervaly 0<у≤2 и 8≤у<+.

Pôvodná nerovnosť je teda ekvivalentná množine dvoch exponenciálnych nerovností,
teda agregáty

Riešením prvej nerovnosti tejto množiny je interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Pôvodná nerovnosť je teda splnená pre všetky hodnoty x z intervalov 0<х≤1 и 2≤х<+.

Príklad 8.

Riešenie:

Nerovnosť rovná sa systém

Riešením druhej nerovnosti definujúcej ODZ bude množina tých X,

pre ktoré X > 0.

Aby sme vyriešili prvú nerovnosť, vykonáme substitúciu

Potom dostaneme nerovnosť

alebo

Množina riešení poslednej nerovnosti sa nájde metódou

intervaly: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, dostaneme

alebo

Tých je veľa X, ktoré vyhovujú poslednej nerovnosti

patrí ODZ ( X> 0), preto je riešením systému,

a teda pôvodná nerovnosť.

odpoveď:

2.4. Úlohy s pascami.

Príklad 1

.

Riešenie. ODZ nerovnosti je všetky x spĺňajúce podmienku 0 . Preto všetky x sú z intervalu 0

Príklad 2

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Ide o to, že druhé číslo je zjavne väčšie ako

Záver

Nebolo ľahké nájsť konkrétne metódy na riešenie úloh C3 z veľkého množstva rôznych vzdelávacích zdrojov. V priebehu práce som mal možnosť študovať neštandardné metódy riešenia zložitých logaritmických nerovníc. Sú to: ekvivalentné prechody a zovšeobecnená metóda intervalov, metóda racionalizácie , neštandardná substitúcia , úlohy s pascami na ODZ. Tieto metódy nie sú zahrnuté v školských osnovách.

Pomocou rôznych metód som vyriešil 27 nerovností navrhnutých na Jednotnej štátnej skúške v časti C, konkrétne C3. Tieto nerovnosti s riešeniami metódami tvorili základ zbierky „C3 Logaritmické nerovnosti s riešeniami“, ktorá sa stala projektovým produktom mojej činnosti. Potvrdila sa hypotéza, ktorú som si stanovil na začiatku projektu: Problémy C3 sa dajú efektívne vyriešiť, ak poznáte tieto metódy.

Okrem toho som objavil zaujímavé fakty o logaritmoch. Bolo pre mňa zaujímavé to urobiť. Moje projektové produkty budú užitočné pre študentov aj učiteľov.

Závery:

Cieľ projektu bol teda dosiahnutý a problém vyriešený. A získal som najkompletnejšie a najrozmanitejšie skúsenosti s projektovými aktivitami vo všetkých fázach práce. Pri práci na projekte som mal hlavný vývojový vplyv na mentálnu kompetenciu, činnosti súvisiace s logickými mentálnymi operáciami, rozvoj tvorivej kompetencie, osobnej iniciatívy, zodpovednosti, vytrvalosti a aktivity.

Záruka úspechu pri tvorbe výskumného projektu pre Získal som: významné školské skúsenosti, schopnosť získavať informácie z rôznych zdrojov, kontrolovať ich spoľahlivosť, zoraďovať ich podľa dôležitosti.

Okrem priamych predmetových vedomostí z matematiky som si rozšírila praktické zručnosti v oblasti informatiky, získala nové poznatky a skúsenosti z oblasti psychológie, nadviazala kontakty so spolužiakmi, naučila sa spolupracovať s dospelými. Počas aktivít projektu sa rozvíjali organizačné, intelektuálne a komunikatívne všeobecnovzdelávacie schopnosti.

Literatúra

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Systémy nerovností s jednou premennou (štandardné úlohy C3).

2. Malkova A. G. Príprava na jednotnú štátnu skúšku z matematiky.

3. Samarova S. S. Riešenie logaritmických nerovností.

4. Matematika. Zbierka tréningových prác spracovaná A.L. Semenov a I.V. Jaščenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-