V geometrii je vektor smerovaný segment alebo usporiadaná dvojica bodov v euklidovskom priestore. Ortom vektor je jednotkový vektor normalizovaného vektorového priestoru alebo vektor, ktorého norma (dĺžka) sa rovná jednej.

Budete potrebovať

  • Znalosť geometrie.

Inštrukcie

Najprv musíte vypočítať dĺžku vektor. Ako je známe, dĺžka (modul) vektor rovná druhej odmocnine súčtu druhých mocnín súradníc. Nech je daný vektor so súradnicami: a(3, 4). Potom je jeho dĺžka |a| = (9 + 16)^1/2 alebo |a|=5.

Ak chcete nájsť ort vektor a, musíte každý rozdeliť jeho dĺžkou. Výsledkom bude vektor nazývaný orth alebo jednotkový vektor. Pre vektor a(3, 4) ort bude vektor a(3/5, 4/5). Vektor a` bude jednotkou pre vektor A.

Ak chcete skontrolovať, či je ort nájdený správne, môžete urobiť nasledovné: nájsť dĺžku výsledného ortu; ak sa rovná jednej, potom bolo všetko nájdené správne; ak nie, do výpočtov sa vkradla chyba. Skontrolujeme, či je ort a` nájdené správne. Dĺžka vektor a` sa rovná: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Dĺžka vektor a` sa rovná jednej, čo znamená, že jednotkový vektor bol nájdený správne.

Zmena súradníc x2 - x1 sa zvyčajne označuje symbolom Δx12 (čítaj „delta x jedna, dva“). Toto zadanie znamená, že počas časového úseku od momentu t1 do momentu t2 je zmena súradnice telesa Δx12 = x2 - x1. Ak sa teda teleso pohybovalo v kladnom smere osi X zvoleného súradnicového systému (x2 > x1), potom Δx12 >

Na obr. 45 je znázornené bodové teleso B, ktoré sa pohybuje v zápornom smere osi X. Za čas od t1 do t2 sa pohybuje z bodu s väčšou súradnicou x1 do bodu s menšou súradnicou x2. V dôsledku toho je zmena súradnice bodu B za uvažované časové obdobie Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) m = -3 m. Vektor posunutia bude v tomto prípade smerovať v zápornom smere os X a jej modul |Δx12| rovná 3 m. Z uvažovaných príkladov možno vyvodiť nasledujúce závery.

V uvažovaných príkladoch (pozri obr. 44 a 45) sa teleso pohybovalo vždy jedným smerom.

Ako nájsť modul posunutia vo fyzike? (Možno existuje nejaký univerzálny vzorec?)

Preto cesta, ktorou sa vydal rovný modulu zmeny súradníc tela a modul posunu: s12 = |Δx12|.

Určme zmenu súradníc a posun telesa za časový úsek od t0 = 0 do t2 = 7 s. V súlade s definíciou zmena súradnice Δx02 = x2 - x0 = 2 m >

Teraz určme dráhu, ktorú teleso prešlo za rovnaký časový úsek od t0 = 0 do t2 = 7 s. Najprv teleso prešlo 8 m v jednom smere (čo zodpovedá modulu zmeny súradníc Δx01) a potom 6 m v opačnom smere (táto hodnota zodpovedá modulu zmeny súradníc Δx12). To znamená, že celé telo prešlo 8 + 6 = 14 (m). Podľa definície dráhy prešlo teleso v časovom intervale od t0 do t2 vzdialenosť s02 = 14 m.

Výsledky

Pohyb bodu v určitom časovom období je riadený úsek priamky, ktorého začiatok sa zhoduje s počiatočnou polohou bodu a koniec s konečnou polohou bodu.

Otázky

Cvičenia

Vektory, akcie s vektormi

Pytagorova veta kosínusová veta

Dĺžku vektora budeme označovať . Modul čísla má podobný zápis a dĺžka vektora sa často nazýva modul vektora.

, kde .

teda .

Pozrime sa na príklad.

:

.

teda vektorová dĺžka .

Vypočítajte dĺžku vektora

, teda,

Začiatok stránky

Pozrime sa na riešenia príkladov.

.

Sťahovanie

:

:

.

.



Začiatok stránky


Teda, .


alebo ,
alebo ,

Nemáte čas na to prísť?
Objednajte si riešenie

Začiatok stránky

Doteraz sme uvažovali iba o priamočiarom rovnomernom pohybe. V tomto prípade sa bodové telesá pohybovali vo vybranom referenčnom systéme buď v kladnom alebo zápornom smere osi súradníc X. Zistili sme, že v závislosti od smeru pohybu telesa, napríklad počas časového úseku od okamihu t1 do momentu t2 môže byť zmena súradnice telesa (x2 - x1 ) kladná, záporná alebo rovná nule (ak x2 = x1).

Zmena súradníc x2 - x1 sa zvyčajne označuje symbolom Δx12 (čítaj „delta x jedna, dva“). Toto zadanie znamená, že počas časového úseku od momentu t1 do momentu t2 je zmena súradnice telesa Δx12 = x2 - x1. Ak sa teda teleso pohybovalo v kladnom smere osi X zvoleného súradnicového systému (x2 > x1), potom Δx12 > 0. Ak k pohybu došlo v negatívnom smere osi X (x21), potom Δx12

Výsledok pohybu je vhodné určiť pomocou vektorovej veličiny. Takouto vektorovou veličinou je posunutie.

Pohyb bodu v určitom časovom období je riadený úsek priamky, ktorého začiatok sa zhoduje s počiatočnou polohou bodu a koniec s konečnou polohou bodu.

Ako každá vektorová veličina, posunutie je charakterizované modulom a smerom.

Vektor pohybu bodu za časový úsek od t1 do t2 zaznamenáme takto: Δx12.

Vysvetlíme si to na príklade. Nech sa nejaký bod A (telo bodu) pohne v kladnom smere osi X a za čas od t1 do t2 sa posunie z bodu so súradnicou x1 do bodu s väčšou súradnicou x2 (obr. 44). V tomto prípade je vektor posunutia nasmerovaný v kladnom smere osi X a jeho veľkosť sa rovná zmene súradnice za uvažované časové obdobie: Δx12 = x2 - x1 = (5 - 2) m = 3 m.

Na obr. 45 znázorňuje bodové teleso B, ktoré sa pohybuje v zápornom smere osi X.

V priebehu času od t1 do t2 sa presunie z bodu s väčšou súradnicou x1 do bodu s menšou súradnicou x2. V dôsledku toho je zmena súradnice bodu B za uvažované časové obdobie Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) m = -3 m. Vektor posunutia bude v tomto prípade smerovať v zápornom smere os X a jej modul |Δx12| rovná 3 m. Z uvažovaných príkladov možno vyvodiť nasledujúce závery.

Smer pohybu pri priamy pohyb v jednom smere sa zhoduje so smerom pohybu.

Modul vektora posunu sa rovná modulu zmeny súradníc telesa za uvažované časové obdobie.

IN Každodenný život Na opísanie konečného výsledku pohybu sa používa pojem „cesta“. Zvyčajne je cesta označená symbolom S.

Dráha je celá vzdialenosť, ktorú prejde bodové teleso počas uvažovaného časového obdobia.

Ako každá vzdialenosť, aj cesta je nezáporná veličina. Napríklad dráha prejdená bodom A v uvažovanom príklade (pozri obr. 44) sa rovná trom metrom. Vzdialenosť prejdená bodom B je tiež tri metre.

V uvažovaných príkladoch (pozri obr. 44 a 45) sa teleso pohybovalo vždy jedným smerom. Preto sa dráha, ktorú prejde, rovná modulu zmeny súradníc telesa a modulu posunutia: s12 = |Δx12|.

Ak sa teleso pohybovalo celý čas jedným smerom, potom sa dráha, ktorú prešlo, rovná modulu posunutia a modulu zmeny súradníc.

Situácia sa zmení, ak telo počas posudzovaného obdobia zmení smer pohybu.

Na obr. 46 ukazuje, ako sa bodové teleso pohybovalo od momentu t0 = 0 do momentu t2 = 7 s. Do momentu t1 = 4 s prebiehal pohyb rovnomerne v kladnom smere osi X. Výsledkom bola zmena súradníc Δx01 = x1 - x0 = (11 - 3) m = -8 m. teleso sa začalo pohybovať v zápornom smere osi X až do okamihu t2 = 7 s. V tomto prípade je zmena jeho súradníc Δx12 = x2 - x1 = (5 - 11) m = -6 m. Graf tohto pohybu je na obr. 47.

Určme zmenu súradníc a posun telesa za časový úsek od t0 = 0 do t2 = 7 s. V súlade s definíciou je zmena súradnice Δx02 = x2 - x0 = 2 m > 0. Preto posunutie Δx02 smeruje v kladnom smere osi X a jeho modul sa rovná 2 m.

Teraz určme dráhu, ktorú teleso prešlo za rovnaký časový úsek od t0 = 0 do t2 = 7 s. Najprv teleso prešlo 8 m v jednom smere (čo zodpovedá modulu zmeny súradníc Δx01) a potom 6 m v opačnom smere (táto hodnota zodpovedá modulu zmeny súradníc Δx12).

Trajektória

To znamená, že celé telo prešlo 8 + 6 = 14 (m). Podľa definície dráhy prešlo teleso v časovom intervale od t0 do t2 vzdialenosť s02 = 14 m.

Analyzovaný príklad nám umožňuje dospieť k záveru:

V prípade, že teleso počas uvažovaného časového úseku zmení smer svojho pohybu, dráha (celá vzdialenosť, ktorú teleso prejde) je väčšia ako modul posunutia telesa a modul zmeny súradníc telo.

Teraz si predstavte, že teleso po čase t2 = 7 s pokračovalo vo svojom pohybe v zápornom smere osi X až do t3 = 8 s v súlade so zákonom znázorneným na obr. 47 bodkovaná čiara. Výsledkom je, že v okamihu času t3 = 8 s sa súradnica telesa rovná x3 = 3 m. Je ľahké určiť, že v tomto prípade pohyb telesa v časovom úseku od t0 do t3 s sa rovná Δx13 = 0.

Je jasné, že ak poznáme iba posun telesa počas jeho pohybu, potom nemôžeme povedať, ako sa teleso počas tohto času pohybovalo. Ak by sa napríklad o telese vedelo len to, že jeho počiatočné a konečné súradnice sú rovnaké, potom by sme povedali, že počas pohybu je posunutie tohto telesa nulové. O charaktere pohybu tohto telesa by sa nedalo povedať nič konkrétnejšie. Za takýchto podmienok by telo mohlo vo všeobecnosti stáť na mieste po celú dobu.

Pohyb telesa za určité časové obdobie závisí len od počiatočných a konečných súradníc telesa a nezávisí od toho, ako sa teleso počas tohto časového úseku pohybovalo.

Výsledky

Pohyb bodu v určitom časovom období je riadený úsek priamky, ktorého začiatok sa zhoduje s počiatočnou polohou bodu a koniec s konečnou polohou bodu.

Pohyb bodového telesa je určený len konečnými a počiatočnými súradnicami telesa a nezávisí od toho, ako sa teleso pohybovalo počas uvažovaného časového úseku.

Dráha je celá vzdialenosť, ktorú prejde bodové teleso počas uvažovaného časového obdobia.

Ak teleso počas pohybu nezmenilo smer pohybu, potom sa dráha, ktorú toto teleso prejde, rovná modulu jeho posunutia.

Ak teleso počas uvažovaného časového obdobia zmenilo smer svojho pohybu, dráha je väčšia ako modul posunutia telesa aj modul zmeny súradníc telesa.

Cesta je vždy nezáporná veličina. Rovná sa nule iba vtedy, ak počas celého posudzovaného obdobia bolo telo v kľude (stále na mieste).

Otázky

  1. čo je pohyb? Od čoho to závisí?
  2. čo je cesta? Od čoho to závisí?
  3. Ako sa dráha líši od pohybu a zmeny súradníc v rovnakom časovom období, počas ktorého sa teleso pohybovalo v priamom smere bez zmeny smeru pohybu?

Cvičenia

  1. Pomocou zákona o pohybe v grafickej podobe, prezentovaného na obr. 47, popisujú charakter pohybu tela (smer, rýchlosť) v rôznych časových intervaloch: od t0 do t1, od t1 do t2, od t2 do t3.
  2. Pes Proton vybehol z domu v čase t0 = 0 a potom sa na príkaz svojho majiteľa v čase t4 = 4 s ponáhľal späť. Vedieť, že Proton bežal po celý čas priamočiaro a jeho rýchlosť |v| = 4 m/s, graficky určte: a) zmenu súradníc a dráhy protónu za časový úsek od t0 = 0 do t6 = 6 s; b) dráha protónu za časový interval od t2 = 2 s do t5 = 5 s.

Vektory, akcie s vektormi

Hľadanie dĺžky vektora, príklady a riešenia.

Podľa definície je vektor smerovaný segment a dĺžka tohto segmentu v danej mierke je dĺžkou vektora. Úloha nájsť dĺžku vektora v rovine a v priestore je teda zredukovaná na nájdenie dĺžky zodpovedajúceho segmentu. Na vyriešenie tohto problému máme k dispozícii všetky prostriedky geometrie, aj keď vo väčšine prípadov postačujú Pytagorova veta. S jeho pomocou môžete získať vzorec na výpočet dĺžky vektora z jeho súradníc v pravouhlom súradnicovom systéme, ako aj vzorec na zistenie dĺžky vektora zo súradníc jeho počiatočného a koncového bodu. Keď je vektor stranou trojuholníka, jeho dĺžku možno nájsť podľa kosínusová veta, ak sú známe dĺžky ďalších dvoch strán a uhol medzi nimi.

Zistenie dĺžky vektora zo súradníc.

Dĺžku vektora budeme označovať .

fyzikálny slovník (kinematika)

Modul čísla má podobný zápis a dĺžka vektora sa často nazýva modul vektora.

Začnime zistením dĺžky vektora v rovine pomocou súradníc.

Predstavme si pravouhlý karteziánsky súradnicový systém Oxy v rovine. Nech je v ňom zadaný vektor a má súradnice . Získame vzorec, ktorý nám umožňuje nájsť dĺžku vektora pomocou súradníc a .

Nakreslíme vektor z počiatku (z bodu O). Označme priemety bodu A na súradnicové osi ako resp. a uvažujme obdĺžnik s uhlopriečkou OA.

Na základe Pytagorovej vety je rovnosť , kde . Z definície vektorových súradníc v pravouhlom súradnicovom systéme môžeme konštatovať, že a , a podľa konštrukcie sa dĺžka OA rovná dĺžke vektora, teda, .

teda vzorec na zistenie dĺžky vektora podľa svojich súradníc na rovine má tvar .

Ak je vektor reprezentovaný ako rozklad v súradnicových vektoroch , potom sa jeho dĺžka vypočíta pomocou rovnakého vzorca , keďže v tomto prípade sú koeficienty a súradnice vektora v danom súradnicovom systéme.

Pozrime sa na príklad.

Nájdite dĺžku vektora uvedeného v karteziánskom súradnicovom systéme.

Okamžite aplikujeme vzorec na zistenie dĺžky vektora zo súradníc :

Teraz dostaneme vzorec na zistenie dĺžky vektora podľa jeho súradníc v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz v priestore.

Vynesme vektor z počiatku a označme priemet bodu A na súradnicové osi ako a . Potom môžeme po stranách postaviť pravouhlý rovnobežnosten, v ktorom bude OA uhlopriečkou.

V tomto prípade (keďže OA je uhlopriečka pravouhlého rovnobežnostena), odkiaľ . Určenie súradníc vektora nám umožňuje písať rovnosti a dĺžka OA sa rovná požadovanej dĺžke vektora, preto .

teda vektorová dĺžka v priestore sa rovná druhej odmocnine súčtu druhých mocnín jeho súradníc, teda nájdené podľa vzorca .

Vypočítajte dĺžku vektora , kde sú jednotkové vektory pravouhlý systém súradnice

Je nám daný vektorový rozklad na súradnicové vektory tvaru , teda, . Potom pomocou vzorca na zistenie dĺžky vektora zo súradníc máme .

Začiatok stránky

Dĺžka vektora cez súradnice jeho počiatočného a koncového bodu.

Ako zistiť dĺžku vektora, ak sú uvedené súradnice jeho začiatku a konca?

V predchádzajúcom odseku sme získali vzorce na zistenie dĺžky vektora z jeho súradníc v rovine a v trojrozmernom priestore. Potom ich môžeme použiť, ak súradnice vektora zistíme zo súradníc bodov jeho začiatku a konca.

Ak teda body a sú dané v rovine, potom má vektor súradnice a jeho dĺžka sa vypočíta podľa vzorca , a vzorec na zistenie dĺžky vektora zo súradníc bodov a trojrozmerný priestor má tvar .

Pozrime sa na riešenia príkladov.

Nájdite dĺžku vektora, ak je v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme .

Okamžite môžete použiť vzorec na zistenie dĺžky vektora zo súradníc začiatočného a koncového bodu v rovine :

Druhým riešením je určiť súradnice vektora prostredníctvom súradníc bodov a použiť vzorec :

.

Určte, pri akých hodnotách sa dĺžka vektora rovná, ak .

Dĺžku vektora zo súradníc začiatočného a koncového bodu možno zistiť ako

Prirovnaním výslednej hodnoty dĺžky vektora k , vypočítame požadované:

Začiatok stránky

Nájdenie dĺžky vektora pomocou kosínusovej vety.

Väčšina problémov týkajúcich sa hľadania dĺžky vektora sa rieši v súradniciach. Keď však súradnice vektora nie sú známe, musíme hľadať iné riešenia.

Nech sú známe dĺžky dvoch vektorov a uhol medzi nimi (alebo kosínus uhla) a musíte nájsť dĺžku vektora alebo . V tomto prípade pomocou kosínusovej vety v trojuholníku ABC môžete vypočítať dĺžku strany BC, ktorá sa rovná požadovanej dĺžke vektora.

Poďme analyzovať riešenie príkladu, aby sme objasnili, čo bolo povedané.

Dĺžky vektorov a sú rovné 3 a 7 a uhol medzi nimi je rovný . Vypočítajte dĺžku vektora.

Dĺžka vektora sa rovná dĺžke strany BC v trojuholníku ABC. Z podmienky poznáme dĺžky strán AB a AC tohto trojuholníka (rovnajú sa dĺžkam zodpovedajúcich vektorov), ako aj uhol medzi nimi, takže máme dostatok údajov na aplikáciu kosínusovej vety:

Teda, .

Na zistenie dĺžky vektora zo súradníc teda použijeme vzorce
alebo ,
podľa súradníc začiatočného a koncového bodu vektora -
alebo ,
v niektorých prípadoch vedie k výsledku kosínusová veta.

Nemáte čas na to prísť?
Objednajte si riešenie

Začiatok stránky

  • Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Vyššia matematika. Prvý diel: prvky lineárnej algebry a analytickej geometrie.
  • Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. 7. – 9. ročník: učebnica pre inštitúcie všeobecného vzdelávania.
  • Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Učebnica pre 10-11 ročníkov strednej školy.

Hľadať prednášky

Skalárny štvorcový vektor

Čo sa stane, ak sa vektor vynásobí sám od seba?

Číslo sa volá skalárny štvorec vektor a sú označené ako .

teda skalárny štvorcový vektorrovná druhej mocnine dĺžky daného vektora:

    Alebo jednotkový vektor (jednotkový vektor normalizovaného vektorového priestoru) je vektor, ktorého norma (dĺžka) sa rovná jednej. Jednotkový vektor ... Wikipedia

    - (ort) vektor, ktorého dĺžka sa rovná jednotke zvolenej mierky... Veľký encyklopedický slovník

    - (ort), vektor, ktorého dĺžka sa rovná jednotke zvolenej mierky. * * * UNIT VECTOR UNIT VECTOR (ort), vektor, ktorého dĺžka sa rovná jednotke zvolenej mierky... encyklopedický slovník

    Ort, vektor, ktorého dĺžka sa rovná jednotke zvolenej mierky. Akýkoľvek vektor a možno získať z nejakej E.v., ktorá je k nemu kolineárna. e vynásobením číslom (skalárnym) λ, teda a = λe. Pozri tiež vektorový počet... Veľký Sovietska encyklopédia

    - (ort), vektor, ktorého dĺžka sa rovná jednotke zvolenej mierky... Prírodná veda. encyklopedický slovník

    Orth: Wikislovník obsahuje článok „orth“ Orth alebo Orth, dvojhlavý pes, potomok Typhona a Echidny, brata Cerbera. Ort ... Wikipedia

    A; m. [nemčina] Ort] 1. Horn. Horizontálny podzemný banský otvor, ktorý nemá priamy prístup na povrch. 2. Matematika. Vektor, ktorého dĺžka sa rovná jednej. * * * jednotkový vektor I (z gréckeho orthós rovný), rovnaký ako jednotkový vektor. II (nemčina ... ... encyklopedický slovník