V rovnovážnom stave ostávajú parametre plynu (tlak, objem a teplota) nezmenené, ale mikrostavy - relatívne usporiadanie molekúl, ich rýchlosti - sa plynule menia. Kvôli obrovské množstvo molekuly, je prakticky nemožné určiť hodnoty ich rýchlostí v ktoromkoľvek okamihu, ale je možné, vzhľadom na rýchlosť molekúl ako spojitú náhodnú premennú, naznačiť distribúciu molekúl podľa rýchlosti.

Vyberme samostatnú molekulu. Náhodnosť pohybu umožňuje napríklad premietanie rýchlosti u x molekuly akceptujú zákon normálneho rozdelenia. V tomto prípade, ako ukázal J. C. Maxwell, je hustota pravdepodobnosti zapísaná takto:

podobné pre ostatné osi

Pomocou (2.28) z (2.31) dostaneme:

Všimnite si, že z (2.32) môžeme získať Maxwellovu funkciu rozdelenia pravdepodobnosti hodnôt absolútnej rýchlosti (Maxwellova distribúcia rýchlosti):

(2.36)

Priemernú rýchlosť molekuly (matematické očakávanie) možno nájsť pomocou všeobecné pravidlo[cm. (2,20)]. Keďže sa určuje priemerná hodnota rýchlosti, hranice integrácie sa berú od 0 do ¥ (matematické detaily sú vynechané):

Kde M = to N A- molárna hmota plyn, R = kN A je univerzálna plynová konštanta, N A je Avogadrove číslo.

S rastúcou teplotou sa maximum Maxwellovej krivky posúva smerom k vyšším rýchlostiam a distribúcii molekúl cez u zmeny (obr. 2.6; T 1< Т 2 ). Maxwellova distribúcia umožňuje vypočítať počet molekúl, ktorých rýchlosti ležia v určitom intervale Du. Získame zodpovedajúci vzorec.

Od celkového počtu N molekuly v plyne sú zvyčajne vysoké, potom je pravdepodobnosť d P možno vyjadriť ako podiel čísla d N molekuly, ktorých rýchlosti ležia v určitom rozsahu du k celkovému počtu N molekuly:

alebo graficky vypočítajte plochu zakriveného lichobežníka v rozsahu od ty 1 predtým u 2 (obr. 2.7).

Ak je interval rýchlosti du je dostatočne malý, potom počet molekúl, ktorých rýchlosti zodpovedajú tomuto intervalu, možno vypočítať približne pomocou vzorca (2.38) alebo graficky ako plochu obdĺžnika so základňou du.

Na otázku, koľko molekúl má rýchlosť rovnajúcu sa akejkoľvek konkrétnej hodnote, nasleduje na prvý pohľad zvláštna odpoveď: ak je rýchlosť absolútne presne špecifikovaná, potom je rozsah rýchlosti nula. (du= 0) a z (2.38) dostaneme nulu, t.j. ani jedna molekula nemá rýchlosť presne rovnajúcu sa vopred určenej rýchlosti. To zodpovedá jednému z ustanovení teórie pravdepodobnosti: pre spojité náhodná premenná, aká je rýchlosť, nie je možné úplne presne „uhádnuť“ jej hodnotu, akú má aspoň jedna molekula v plyne.

Rozdelenie molekúl podľa rýchlosti bolo potvrdené rôznymi experimentmi.

Maxwellovu distribúciu možno považovať za distribúciu molekúl nielen podľa rýchlosti, ale aj podľa kinetickej energie (keďže tieto pojmy spolu súvisia).

Boltzmannovo rozdelenie.

Ak sú molekuly v nejakom vonkajšom silovom poli, napríklad v gravitačnom poli Zeme, potom je možné nájsť rozdelenie ich potenciálnych energií, to znamená určiť koncentráciu častíc, ktoré majú určitú hodnotu potenciálnej energie. .

Rozloženie častíc potenciálnymi energiami v silových poliach— gravitačné, elektrické atď.— nazývaná Boltzmannova distribúcia.

Vo vzťahu ku gravitačnému poľu možno toto rozdelenie zapísať ako závislosť koncentrácie P molekula z výšky h nad úrovňou Zeme alebo z potenciálnej energie molekuly mgh:

Výraz (2.40) platí pre častice ideálneho plynu. Graficky je táto exponenciálna závislosť znázornená na obr. 2.8.

Toto rozloženie molekúl v gravitačnom poli Zeme možno kvalitatívne vysvetliť v rámci molekulárnych kinetických konceptov tým, že na molekuly pôsobia dva protichodné faktory: gravitačné pole, pod vplyvom ktorého sú všetky molekuly priťahované k Zemi. a molekulárny chaotický pohyb, ktorý má tendenciu rozptyľovať molekuly rovnomerne v celom možnom objeme.

Na záver je užitočné poznamenať niektoré podobnosti medzi exponenciálnymi pojmami v Maxwellovej a Boltzmannovej distribúcii:

V prvom rozdelení, v exponente, pomer kinetickej energie molekuly k kT, v druhom - pomer potenciálnej energie k kT.

Pri štatistickej metóde sa na určenie hlavnej charakteristiky (X je súradnica a hybnosť všetkých častíc systému) používajú určité modely štruktúry predmetného telesa.

Ukazuje sa, že je možné nájsť všeobecné vlastnosti všeobecné štatistické zákony, ktoré nezávisia od štruktúry hmoty a sú univerzálne. Identifikácia takýchto vzorcov je hlavnou úlohou termodynamickej metódy opisu tepelných procesov. Všetky základné pojmy a zákony termodynamiky možno odhaliť na základe štatistickej teórie.

Pre izolovaný (uzavretý) systém alebo systém v konštantnom stave vonkajšie pole stav sa nazýva štatisticky rovnovážny, ak distribučná funkcia nezávisí od času.

Konkrétna forma distribučnej funkcie uvažovaného systému závisí tak od súboru vonkajších parametrov, ako aj od charakteru interakcie s okolitými telesami. Vonkajšími parametrami v tomto prípade rozumieme veličiny určené polohou telies nezaradených do posudzovaného systému. Ide napríklad o objem sústavy V, silu silového poľa a pod. Pozrime sa na dva najdôležitejšie prípady:

1) Uvažovaný systém je energeticky izolovaný. Celková energia častíc E je konštantná. V čom. E môže byť zahrnuté do a, ale jeho zvýraznenie zdôrazňuje osobitnú úlohu E. Podmienku izolácie systému pre dané vonkajšie parametre možno vyjadriť rovnosťou:

2) Systém nie je uzavretý - výmena energie je možná. V tomto prípade sa nedá nájsť, bude to závisieť od zovšeobecnených súradníc a hybnosti častíc okolitých telies. To sa ukáže ako možné, ak energia interakcie posudzovaného systému s okolitými telesami.

Za tejto podmienky závisí distribučná funkcia mikrostavov od priemernej intenzity tepelného pohybu okolitých telies, ktorá je charakterizovaná teplotou T okolitých telies: .

Osobitnú úlohu zohráva aj teplota. Nemá (na rozdiel od a) analóg v mechanike: (nezávisí od T).

V stave štatistickej rovnováhy nezávisí od času a všetky vnútorné parametre sú nezmenené. V termodynamike sa tento stav nazýva stav termodynamickej rovnováhy. Pojmy štatistická a termodynamická rovnováha sú ekvivalentné.

Distribučná funkcia mikroskopického izolovaného systému - mikrokanonické Gibbsovo rozdelenie

Prípad energeticky izolovaného systému. Poďme nájsť formu distribučnej funkcie pre tento prípad.

Významnú úlohu pri hľadaní distribučnej funkcie zohrávajú iba integrály pohybu - energie, - hybnosti sústavy a - momentu hybnosti. Iba oni sú kontrolovaní.

Hamiltonián hrá zvláštnu úlohu v mechanike, pretože Je to hamiltonovská funkcia, ktorá určuje tvar rovnice pohybu častíc. Zachovanie celkovej hybnosti a momentu hybnosti sústavy je dôsledkom pohybových rovníc.

Preto sa rozlišujú práve také riešenia Liouvilleovej rovnice, keď sa závislosť prejavuje iba cez Hamiltonián:

Pretože, .

Zo všetkých možných hodnôt X (množina súradníc a hybnosti všetkých častíc v systéme) sa vyberú tie, ktoré sú kompatibilné s podmienkou. Konštantu C možno nájsť z podmienky normalizácie:

kde je plocha hyperpovrchu vo fázovom priestore, pridelená podmienkou konštantnej energie.

Tie. - mikrokanonické Gibbsovo rozdelenie.

IN kvantová teória rovnovážnom stave existuje aj mikrokanonické Gibbsovo rozdelenie. Uveďme si nasledujúci zápis: - úplný súbor kvantových čísel charakterizujúcich mikrostav časticového systému, - zodpovedajúce hodnoty prípustnej energie. Možno ich nájsť riešením stacionárnej rovnice pre vlnovú funkciu uvažovaného systému.

Funkcia rozdelenia mikrostavov bude v tomto prípade predstavovať pravdepodobnosť, že systém bude v určitom stave: .

Kvantové mikrokanonické Gibbsovo rozdelenie možno zapísať ako:

kde je symbol Kronecker, - z normalizácie: - počet mikrostavov s danou energetickou hodnotou (ako aj). Nazýva sa to štatistická váha.

Z definície vyplýva, že všetky stavy spĺňajúce podmienku majú rovnakú pravdepodobnosť, rovnakú. Kvantové mikrokanonické Gibbsovo rozdelenie je teda založené na princípe rovnakých predchádzajúcich pravdepodobností.

Distribučná funkcia mikrostavov systému v termostate je kanonická Gibbsova distribúcia.

Uvažujme teraz o systéme, ktorý si vymieňa energiu s okolitými telesami. Z termodynamického hľadiska tento prístup zodpovedá systému obklopenému veľmi veľkým termostatom s teplotou T. Pre veľký systém (náš systém + termostat) je možné použiť mikrokanonické rozdelenie, keďže takýto systém možno považovať za izolovaný. Budeme predpokladať, že uvažovaný systém predstavuje malú, ale makroskopickú časť väčší systém s teplotou T a počtom častíc v nej. To znamená, že rovnosť (>>) je splnená.

Premenné nášho systému budeme označovať X a premenné termostatu X1.

Potom pre celý systém zapíšeme mikrokanonické rozdelenie:

Nás bude zaujímať pravdepodobnosť stavu sústavy N častíc pre prípadné stavy termostatu. Túto pravdepodobnosť možno nájsť integráciou tejto rovnice cez stavy termostatu

Hamiltonovu funkciu systému a termostatu možno znázorniť ako

Energiu interakcie medzi systémom a termostatom v porovnaní s energiou systému aj s energiou termostatu zanedbáme. Dá sa to urobiť, pretože interakčná energia pre makrosystém je úmerná jeho ploche, zatiaľ čo energia systému je úmerná jeho objemu. Zanedbanie interakčnej energie v porovnaní s energiou systému však neznamená, že sa rovná nule, inak formulácia problému stráca zmysel.

Rozdelenie pravdepodobnosti pre uvažovaný systém teda možno znázorniť ako

Prejdime k integrácii cez energiu termostatu

Preto pomocou vlastnosti -funkcie

Neskôr prejdeme k obmedzujúcemu prípadu, keď je termostat veľmi veľký. Uvažujme špeciálny prípad, kedy termostat je ideálny plyn s časticami N1 s hmotnosťou m každej.

Nájdite množstvo, ktoré predstavuje množstvo

kde je objem fázového priestoru obsiahnutý v hyperpovrchu. Potom predstavuje objem vrstvy hypersféry (porovnaj s výrazom pre trojrozmerný priestor

Pre ideálny plyn je integračná oblasť daná podmienkou

V dôsledku integrácie v rámci uvedených hraníc získame objem 3N1-rozmernej gule s polomerom, ktorý sa bude rovnať. Takto máme

Odkiaľ to máme?

Teda pre rozdelenie pravdepodobnosti máme

Prejdime teraz k limitu N1, avšak za predpokladu, že pomer zostane konštantný (tzv. termodynamický limit). Potom dostaneme

Berúc do úvahy to

Potom môže byť distribučná funkcia systému v termostate napísaná ako

kde C sa nachádza z podmienky normalizácie:

Funkcia sa nazýva klasický štatistický integrál. Distribučná funkcia systému v termostate môže byť teda reprezentovaná ako:

Toto je kanonická Gibbsova distribúcia (1901).

V tomto rozdelení T charakterizuje priemernú intenzitu tepelného pohybu - absolútna teplotačastice životného prostredia.

Iná forma písania Gibbsovej distribúcie

V definícii boli mikroskopické stavy považované za odlišné, líšiace sa len preskupením jednotlivých častíc. To znamená, že sme schopní sledovať každú časticu. Takýto predpoklad však vedie k paradoxu.

Výraz pre kvantovú kanonickú Gibbsovu distribúciu možno napísať analogicky s klasickým:

Štatistický súčet: .

Je to bezrozmerná analógia štatistického integrálu. Potom môže byť voľná energia reprezentovaná ako:

Uvažujme teraz o systéme umiestnenom v termostate a schopnom vymieňať si energiu a častice s okolím. Odvodenie Gibbsovej distribučnej funkcie pre tento prípad je v mnohom podobné odvodeniu kanonického rozdelenia. Pre kvantový prípad má rozdelenie tvar:

Táto distribúcia sa nazýva Grand Canonical Gibbs Distribution. Tu je m chemický potenciál systému, ktorý charakterizuje zmenu termodynamických potenciálov, keď sa počet častíc v systéme zmení o jednu.

Z - z normalizačnej podmienky:

Tu sa sumarizuje nielen cez štvorcové čísla, ale aj cez všetky možné hodnoty počtu častíc.

Iná forma zápisu: zavedieme funkciu, ale keďže bola predtým získaná z termodynamiky, kde je veľký termodynamický potenciál. V dôsledku toho dostaneme

Tu je priemerný počet častíc.

Klasická distribúcia je podobná.

Maxwellovo a Boltzmannovo rozdelenie

Kanonická Gibbsova distribúcia stanovuje (danú) explicitnú formu distribučnej funkcie pre hodnoty všetkých súradníc a hybností častíc (6N-premenné). Takáto funkcia je však veľmi zložitá. Často stačia jednoduchšie funkcie.

Maxwellova distribúcia pre ideálny monatomický plyn. Každú molekulu plynu môžeme považovať za „uvažovaný systém“, ktorý patrí k termostatu. Pravdepodobnosť, že ktorákoľvek molekula bude mať impulzy v daných intervaloch, je teda daná kanonickou Gibbsovou distribúciou: .

Nahradením impulzov rýchlosťami a použitím normalizačných podmienok získame

Funkcia Maxwellovho rozdelenia pre zložky rýchlosti. Je ľahké získať modul distribúcie.

V každom systéme, ktorého energia sa rovná súčtu energií jednotlivých častíc, dochádza k výrazu podobnému Maxwellovmu. Toto je Maxwell-Boltzmannovo rozdelenie. Opäť budeme predpokladať, že „systém“ je jedna častica, zatiaľ čo zvyšok hrá úlohu termostatu. Potom je pravdepodobnosť stavu tejto vybranej častice pre ľubovoľný stav ostatných daná kanonickým rozdelením: , . Pre iné množstvá... integrované

Maxwellovo a Boltzmannovo rozdelenie. Prenosové javy

Osnova prednášky:

1. Maxwellov zákon o rozdelení molekúl podľa rýchlosti. Charakteristické rýchlosti molekúl.

2. Boltzmannovo rozdelenie.

3. Priemerná voľná dráha molekúl.

4. Prenosové javy:

a).difúzia;

b).vnútorné trenie (viskozita);

c).tepelná vodivosť.

1. Maxwellov zákon o rozdelení molekúl podľa rýchlosti. Charakteristické rýchlosti molekúl.

Molekuly plynu sa pohybujú chaoticky a v dôsledku zrážok sa ich rýchlosti menia čo do veľkosti a smeru; V plyne sú molekuly s veľmi vysokou aj veľmi nízkou rýchlosťou. Možno si položiť otázku o počte molekúl, ktorých rýchlosti ležia v intervale od a pre plyn v stave termodynamickej rovnováhy v neprítomnosti vonkajších silových polí. V tomto prípade je stanovená určitá stacionárna distribúcia rýchlosti molekúl, ktorá sa nemení s časom, čo sa riadi štatistickým zákonom teoreticky odvodeným Maxwellom.

Čím väčší je celkový počet molekúl N, tým väčší počet molekúl DN bude mať rýchlosti v intervale oty, čím väčší bude interval rýchlostí , tým väčší bude počet molekúl mať rýchlosti v špecifikovanom intervale.

Zavedieme koeficient proporcionality f(u).

, (1)

kde f(u) sa nazýva distribučná funkcia, ktorá závisí od rýchlosti molekúl a charakterizuje distribúciu molekúl rýchlosťou.

Ak je známy tvar funkcie, môžete nájsť počet molekúl, ktorých rýchlosti ležia v rozsahu od do.

Pomocou metód teórie pravdepodobnosti a zákonov štatistiky Maxwell v roku 1860. teoreticky získal vzorec, ktorý určuje počet molekúl s rýchlosťami v rozsahu od do.

, (2)

- Maxwellovo rozdelenie ukazuje, aký podiel z celkového počtu molekúl daného plynu má rýchlosti v rozsahu od do.

Z rovníc (1) a (2) vyplýva tvar funkcie:

- (3)

funkcia distribúcie rýchlosti molekúl ideálneho plynu.

Z (3) je zrejmé, že konkrétny typ funkcie závisí od typu plynu (od hmotnosti molekuly m 0) a teplotu.

Najčastejšie zákon o rozdelení molekúl podľa rýchlosti sú zapísané v tvare:

Graf funkcie je asymetrický (obr. 1). Poloha maxima charakterizuje najčastejšie sa vyskytujúcu rýchlosť, ktorá sa nazýva najpravdepodobnejšia. Prekračujúce rýchlosti si v, sú bežnejšie ako nižšie rýchlosti.

- podiel z celkového počtu molekúl s rýchlosťami v tomto rozsahu.

S celkom = 1.

S rastúcou teplotou sa maximum distribúcie posúva smerom k vyšším otáčkam a krivka sa stáva plochejšou, ale plocha pod krivkou sa nemení, pretože S celkom = 1.

Najpravdepodobnejšia rýchlosť je rýchlosť, pri ktorej sa blíži rýchlosť väčšiny molekúl daného plynu.

Aby sme ho určili, maximálne ho skúmame.

4 ,

, .

Predtým sa to ukázalo

, ,

=> .

MKT tiež používa koncept aritmetickej priemernej rýchlosti pohyb vpred ideálne molekuly plynu.

- rovný pomeru súčtu rýchlostných modulov všetkých molekúl k

počet molekúl.

Z porovnania je zrejmé (obr. 2), že najmenší je si v.

2. Boltzmannovo rozdelenie.

Dva faktory – tepelný pohyb molekúl a prítomnosť gravitačného poľa Zeme vedú plyn do stavu, v ktorom s výškou klesá jeho koncentrácia a tlak.

Ak by nedošlo k tepelnému pohybu molekúl atmosférického vzduchu, potom by sa všetky sústredili na povrchu Zeme. Ak by neexistovala gravitácia, častice atmosféry by boli rozptýlené po celom vesmíre. Nájdite zákon zmeny tlaku s výškou.

Tlak v stĺpci plynu je určený vzorcom.

Keďže tlak klesá so zvyšujúcou sa nadmorskou výškou,

Kde r hustota plynu vo výške h.

nájdeme p z Mendelejevovej-Clapeyronovej rovnice

alebo.

Urobme výpočet pre izotermickú atmosféru za predpokladu, že Т=konšt(nezávisí od výšky).

pri h = 0 , , ,

, , ,

Barometrický vzorec, určuje tlak plynu v akejkoľvek nadmorskej výške.

Získame vyjadrenie koncentrácie molekúl v akejkoľvek výške.

kde je potenciálna energia molekuly vo výške h.

Boltzmannovo rozdelenie vo vonkajšom potenciálnom poli.

V dôsledku toho je distribúcia molekúl podľa výšky ich distribúciou energie. Boltzmann dokázal, že toto rozloženie platí nielen v prípade potenciálneho poľa gravitačných síl, ale aj v akomkoľvek potenciálnom poli síl pre súbor akýchkoľvek identických častíc v stave chaotického tepelného pohybu.

Z Boltzmannovho rozdelenia vyplýva, že molekuly sa nachádzajú vo väčšej koncentrácii, kde je ich potenciálna energia nižšia.

Boltzmannovo rozdelenie je rozloženie častíc v potenciálnom silovom poli.

3. Priemerná voľná dráha molekúl.

V dôsledku chaotického tepelného pohybu sa molekuly plynu neustále navzájom zrážajú a cestujú zložitou kľukatou dráhou. Medzi 2 zrážkami sa molekuly pohybujú rovnomerne po priamke.

M minimálna vzdialenosť, na ktorú sa stredy 2 molekúl pri zrážke k sebe priblížia, sa nazýva efektívny priemer molekuly d(obr. 4).

Množstvo sa nazýva efektívny prierez molekuly.

Nájdite priemerný počet zrážok homogénnej molekuly plynu za jednotku času. Zrážka nastane, ak sa stredy molekúl priblížia na vzdialenosť menšiu alebo rovnú d. Predpokladáme, že molekula sa pohybuje rýchlosťou a ostatné molekuly sú v pokoji. Potom je počet zrážok určený počtom molekúl, ktorých stredy sa nachádzajú v objeme, ktorý je valcom so základňou a výškou rovnajúcou sa dráhe, ktorú prejde molekula za 1 s, t.j. .

Maxwellovo a Boltzmannovo rozdelenie. Prenosové javy

Osnova prednášky:

Maxwellov zákon o rozdelení molekúl podľa rýchlosti. Charakteristické rýchlosti molekúl.

Boltzmannovo rozdelenie.

Priemerná voľná dráha molekúl.

Prenosové javy:

a).difúzia;

b).vnútorné trenie (viskozita);

c).tepelná vodivosť.

Maxwellov zákon o rozdelení molekúl podľa rýchlosti. Charakteristické rýchlosti molekúl.

Molekuly plynu sa pohybujú chaoticky a v dôsledku zrážok sa ich rýchlosti menia čo do veľkosti a smeru, plyn obsahuje molekuly s veľmi vysokou aj veľmi nízkou rýchlosťou. Možno si položiť otázku o počte molekúl, ktorých rýchlosti ležia v intervale od a pre plyn v stave termodynamickej rovnováhy v neprítomnosti vonkajších silových polí. V tomto prípade je stanovená určitá stacionárna distribúcia rýchlosti molekúl, ktorá sa nemení s časom, čo sa riadi štatistickým zákonom teoreticky odvodeným Maxwellom.

Čím väčší je celkový počet molekúl N, tým väčší počet molekúl N bude mať rýchlosti v intervale od a; čím väčší bude interval rýchlostí, tým väčší bude počet molekúl mať rýchlosti v určenom intervale.

Zavedieme koeficient proporcionality f( .

, 

kde f( sa nazýva distribučná funkcia, ktorá závisí od rýchlosti molekúl a charakterizuje distribúciu molekúl rýchlosťou.

Ak je známy tvar funkcie, môžete nájsť počet molekúl, ktorých rýchlosti ležia v rozsahu od do.

Pomocou metód teórie pravdepodobnosti a zákonov štatistiky Maxwell v roku 1860. teoreticky získal vzorec, ktorý určuje počet molekúl s rýchlosťami v rozsahu od do.

, (2)

- Maxwellovo rozdelenie ukazuje, aký podiel z celkového počtu molekúl daného plynu má rýchlosti v rozsahu od do.

Z rovníc  a  vyplýva tvar funkcie 

- (3)

funkcia distribúcie rýchlosti molekúl ideálneho plynu.

Z (3) je zrejmé, že konkrétny typ funkcie závisí od typu plynu (od hmotnosti molekuly m 0 ) a teplotu.

Najčastejšie je zákon o distribúcii rýchlosti molekúl napísaný v tvare:

Graf funkcie je asymetrický (obr. 1). Poloha maxima charakterizuje najčastejšie sa vyskytujúcu rýchlosť, ktorá sa nazýva najpravdepodobnejšia. Prekračujúce rýchlosti  V, sú bežnejšie ako nižšie rýchlosti.

- podiel z celkového počtu molekúl s rýchlosťami v tomto rozsahu.

S Celkom = 1.

S rastúcou teplotou sa maximum distribúcie posúva smerom k vyšším otáčkam a krivka sa stáva plochejšou, ale plocha pod krivkou sa nemení, pretože S Celkom = 1 .

Najpravdepodobnejšia rýchlosť je rýchlosť, pri ktorej sa blíži rýchlosť väčšiny molekúl daného plynu.

Aby sme ho určili, maximálne ho skúmame.

Predtým sa to ukázalo

, ,

 .

MCT tiež používa koncept aritmetickej strednej rýchlosti translačného pohybu molekúl ideálneho plynu.

- rovný pomeru súčtu rýchlostných modulov všetkých molekúl k

počet molekúl.

Z porovnania je zrejmé (obr. 2), že najmenší je  V .

Boltzmannovo rozdelenie.

Dva faktory – tepelný pohyb molekúl a prítomnosť gravitačného poľa Zeme vedú plyn do stavu, v ktorom s výškou klesá jeho koncentrácia a tlak.

Tlak v stĺpci plynu je určený vzorcom.

Keďže tlak klesá so zvyšujúcou sa nadmorskou výškou,

Kde  hustota plynu vo výške h.

nájdeme p z Mendelejevovej-Clapeyronovej rovnice

alebo.

Urobme výpočet pre izotermickú atmosféru za predpokladu, že T=konšt(nezávisí od výšky).

pri h = 0 , , ,

, , ,

Barometrický vzorec určuje tlak plynu v akejkoľvek nadmorskej výške.

Získame vyjadrenie koncentrácie molekúl v akejkoľvek výške.

kde je potenciálna energia molekuly vo výške h.

Boltzmannovo rozdelenie vo vonkajšom potenciálnom poli.

Z Boltzmannovho rozdelenia vyplýva, že molekuly sa nachádzajú vo väčšej koncentrácii, kde je ich potenciálna energia nižšia.

Boltzmannovo rozdelenie je rozloženie častíc v potenciálnom silovom poli.

Priemerná voľná dráha molekúl.

V dôsledku chaotického tepelného pohybu sa molekuly plynu neustále navzájom zrážajú a cestujú zložitou kľukatou dráhou. Medzi 2 zrážkami sa molekuly pohybujú rovnomerne po priamke.

M minimálna vzdialenosť, na ktorú sa stredy 2 molekúl pri zrážke k sebe priblížia, sa nazýva efektívny priemer molekuly d(obr. 4).

Množstvo sa nazýva efektívny prierez molekuly.

IN V skutočnosti sa všetky molekuly pohybujú a možnosť kolízie 2 molekúl určuje ich relatívnu rýchlosť. Dá sa ukázať, že ak je Maxwellova distribúcia prijatá pre rýchlosti molekúl, .

Pre väčšinu plynov za normálnych podmienok

Priemerná voľná cesta je priemerná vzdialenosť, ktorú molekula prejde medzi dvoma po sebe nasledujúcimi zrážkami. Rovná sa pomeru prejdenej vzdialenosti v čase  t cestu k počtu kolízií počas tejto doby.

Maxwellova distribúcia (distribúcia molekúl plynupodľa rýchlosti). V rovnovážnom stave zostávajú parametre plynu (tlak, objem a teplota) nezmenené, ale mikrostavy - relatívne usporiadanie molekúl, ich rýchlosti - sa plynule menia. Vzhľadom na obrovský počet molekúl je prakticky nemožné určiť hodnoty ich rýchlostí v každom okamihu, ale je možné, vzhľadom na rýchlosť molekúl ako spojitú náhodnú premennú, naznačiť rozdelenie molekúl podľa rýchlosti. .

Vyberme samostatnú molekulu. Náhodnosť pohybu umožňuje napríklad premietanie rýchlosti  X molekuly akceptujú zákon normálneho rozdelenia. V tomto prípade, ako ukázal J. C. Maxwell, je hustota pravdepodobnosti zapísaná takto:

Kde T 0 - hmotnosť molekuly, T- termodynamická teplota plynu, k - Boltzmannova konštanta.

Podobné výrazy možno získať pre f( pri ) A f( z ).

Na základe vzorca (2.15) môžeme zapísať pravdepodobnosť, že molekula má projekciu rýchlosti ležiacu v rozmedzí od  X predtým  X + d X :

podobné pre ostatné osi

Každá z podmienok (2.29) a (2.30) odráža nezávislú udalosť. Preto pravdepodobnosť, že molekula má rýchlosť, ktorej projekcie súčasne spĺňajú všetky podmienky, možno nájsť pomocou vety o násobení pravdepodobnosti [pozri (2.6)]:

Pomocou (2.28) z (2.31) dostaneme:

Všimnite si, že z (2.32) môžeme získať Maxwellovu funkciu rozdelenia pravdepodobnosti hodnôt absolútnej rýchlosti (Maxwellova distribúcia rýchlosti):

(2.33)

a pravdepodobnosť, že rýchlosť molekuly je medzi  predtým  + d :

Graf funkcie (2.33) je znázornený na obrázku 2.5. rýchlosť,zodpovedajúca maximu Maxwellovej krivky sa nazývapravdepodobne V. Dá sa určiť pomocou podmienky maximálnej funkcie:

alebo

Priemernú rýchlosť molekuly (matematické očakávanie) možno nájsť podľa všeobecného pravidla [pozri. (2,20)]. Keďže sa určuje priemerná hodnota rýchlosti, hranice integrácie sa berú od 0 do  (matematické detaily sú vynechané):

Kde M = t 0 N A je molárna hmotnosť plynu, R = k N A - univerzálna plynová konštanta, N A je Avogadrove číslo.

S rastúcou teplotou sa maximum Maxwellovej krivky posúva smerom k vyšším rýchlostiam a distribúcii molekúl  zmeny (obr. 2.6; T 1 < Т 2 ). Maxwellovo rozdelenie umožňuje vypočítať počet molekúl, ktorých rýchlosti ležia v určitom intervale . Získame zodpovedajúci vzorec.

Od celkového počtu N molekuly v plyne sú zvyčajne vysoké, potom je pravdepodobnosť d P možno vyjadriť ako podiel čísla d N molekuly, ktorých rýchlosti ležia v určitom rozsahu d , k celkovému počtu N molekuly:

Z (2,34) a (2,37) vyplýva, že

Vzorec (2.38) nám umožňuje určiť počet molekúl, ktorých rýchlosti ležia v rozmedzí od a: do i> 2. Ak to chcete urobiť, musíte integrovať (2.38):

alebo graficky vypočítajte plochu zakriveného lichobežníka v rozsahu od  1 predtým  2 (obr. 2.7).

Ak je interval rýchlosti d je dostatočne malý, potom počet molekúl, ktorých rýchlosti zodpovedajú tomuto intervalu, možno vypočítať približne pomocou vzorca (2.38) alebo graficky ako plochu obdĺžnika so základňou d .

Na otázku, koľko molekúl má rýchlosť rovnajúcu sa akejkoľvek konkrétnej hodnote, nasleduje na prvý pohľad zvláštna odpoveď: ak je rýchlosť absolútne presne špecifikovaná, potom je interval rýchlosti nula. (d = 0) a z (2.38) dostaneme nulu, t.j. ani jedna molekula nemá rýchlosť presne rovnajúcu sa vopred určenej rýchlosti. To zodpovedá jednému z ustanovení teórie pravdepodobnosti: pre spojitú náhodnú premennú, akou je rýchlosť, nie je možné absolútne presne „uhádnuť“ jej hodnotu, akú má aspoň jedna molekula v plyne.

Rozdelenie molekúl podľa rýchlosti bolo potvrdené rôznymi experimentmi.

Maxwellovu distribúciu možno považovať za distribúciu molekúl nielen podľa rýchlosti, ale aj podľa kinetickej energie (keďže tieto pojmy spolu súvisia).

Boltzmannovo rozdelenie. Ak sú molekuly v nejakom vonkajšom silovom poli, napríklad v gravitačnom poli Zeme, potom je možné nájsť rozdelenie ich potenciálnych energií, to znamená určiť koncentráciu častíc s určitou špecifickou hodnotou potenciálnej energie. .

Rozloženie častíc podľa potenciálnych energií v sirybárske polia-gravitačné, elektrické atď.-nazývaná Boltzmannova distribúcia.

Vo vzťahu ku gravitačnému poľu možno toto rozdelenie zapísať ako závislosť koncentrácie P molekuly z výšky h nad úrovňou Zeme alebo z potenciálnej energie molekuly mgh:

Výraz (2.40) platí pre častice ideálneho plynu. Graficky je táto exponenciálna závislosť znázornená na obr. 2.8.

Toto rozloženie molekúl v gravitačnom poli Zeme možno kvalitatívne vysvetliť v rámci molekulárnych kinetických konceptov tým, že na molekuly pôsobia dva protichodné faktory: gravitačné pole, pod vplyvom ktorého sú všetky molekuly priťahované k Zemi. a molekulárno-chaotický pohyb, ktorý má tendenciu rozptyľovať molekuly rovnomerne v maximálnej možnej miere.

Na záver je užitočné poznamenať niektoré podobnosti medzi exponenciálnymi pojmami v Maxwellovej a Boltzmannovej distribúcii:

V prvom rozdelení, v exponente, pomer kinetickej energie molekuly k kT, v druhom - pomer potenciálnej energie k kT.