Maticová metóda riešenia sústav lineárnych rovníc

Zvážte systém lineárnych rovníc nasledujúceho tvaru:

$\left\(\begin(pole)(c) (a_(11) x_(1) +a_(12) x_(2) +...+a_(1n) x_(n) =b_(1) ) \\ (a_(21) x_(1) +a_(22) x_(2) +...+a_(2n) x_(n) =b_(2) ) \\ (...) \\ (a_ (n1) x_(1) +a_(n2) x_(2) +...+a_(nn) x_(n) =b_(n) ) \end(pole)\vpravo. .$

Čísla $a_(ij) (i=1..n,j=1..n)$ sú koeficienty systému, čísla $b_(i) (i=1..n)$ sú voľné členy .

Definícia 1

V prípade, že všetky voľné členy sú rovné nule, systém sa nazýva homogénny, inak sa nazýva nehomogénny.

Každý SLAE môže byť spojený s niekoľkými maticami a systém môže byť zapísaný v takzvanej maticovej forme.

Definícia 2

Matica systémových koeficientov sa nazýva systémová matica a zvyčajne sa označuje písmenom $A$.

Stĺpec voľných členov tvorí stĺpcový vektor, ktorý sa zvyčajne označuje písmenom $B$ a nazýva sa matica voľných členov.

Neznáme premenné tvoria stĺpcový vektor, ktorý sa zvyčajne označuje písmenom $X$ a nazýva sa matica neznámych.

Vyššie popísané matice majú tvar:

$A=\left(\begin(pole)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & ( a_(22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (...) & (a_(nn) ) \koniec(pole)\vpravo),B=\vľavo(\začiatok(pole)(c) (b_(1) ) \ \ (b_(2) ) \\ (...) \\ (b_(n) ) \koniec(pole)\vpravo),X=\vľavo(\začiatok(pole)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (...) \\ (x_(n) ) \end(pole)\vpravo).$

Pomocou matíc je možné SLAE prepísať ako $A\cdot X=B$. Tento zápis sa často nazýva maticová rovnica.

Všeobecne povedané, každý SLAE môže byť napísaný v maticovej forme.

Príklady riešenia sústavy pomocou inverznej matice

Príklad 1

Dané SLAE: $\left\(\begin(pole)(c) (3x_(1) -2x_(2) +x_(3) -x_(4) =3) \\ (x_(1) -12x_(2) ) -x_(3) -x_(4) =7) \\ (2x_(1) -3x_(2) +x_(3) -3x_(4) =5) \end(pole)\vpravo. $. Napíšte systém v maticovej forme.

Riešenie:

$A=\left(\begin(pole)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1 ) \\ (2) & (-3) & (1) & (-3) \koniec(pole)\vpravo),B=\vľavo(\začiatok(pole)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \koniec(pole)\vpravo),X=\vľavo(\začiatok(pole)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \ koniec(pole)\vpravo).$

$\left(\begin(pole)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) \ \ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(pole)\right)\cdot \left(\begin(pole)(c) (x_(1) ) \\ (x_( 2) ) \\ (x_(3) ) \koniec(pole)\vpravo)=\vľavo(\začiatok(pole)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \koniec(pole)\ vpravo) $

V prípade, že matica systému je štvorcová, možno SLAE vyriešiť pomocou maticovej metódy.

Ak máme maticovú rovnicu $A\cdot X=B$, môžeme z nej vyjadriť $X$ nasledujúcim spôsobom:

$A^(-1) \cdot A\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$A^(-1) \cdot A=E$ (maticová vlastnosť produktu)

$E\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$E\cdot X=X$ (maticová vlastnosť produktu)

$X=A^(-1) \cdot B$

Algoritmus na riešenie systému algebraických rovníc pomocou inverznej matice:

  • napísať systém v maticovom tvare;
  • vypočítať determinant matice systému;
  • ak je determinant systémovej matice odlišný od nuly, nájdeme inverznú maticu;
  • Riešenie sústavy vypočítame pomocou vzorca $X=A^(-1) \cdot B$.

Ak má matica systému determinant, ktorý sa nerovná nule, potom má tento systém jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť pomocou maticovej metódy.

Ak má matica systému determinant rovný nule, potom tento systém nie je možné riešiť maticovou metódou.

Príklad 2

Dané SLAE: $\left\(\begin(pole)(c) (x_(1) +3x_(3) =26) \\ (-x_(1) +2x_(2) +x_(3) =52) \\ (3x_(1) +2x_(2) =52) \end(pole)\vpravo. $. Ak je to možné, vyriešte SLAE pomocou metódy inverznej matice.

Riešenie:

$A=\left(\begin(pole)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & ( 0) \koniec(pole)\vpravo),B=\vľavo(\začiatok(pole)(c) (26) \\ (52) \\ (52) \koniec(pole)\vpravo),X=\vľavo (\začiatok(pole)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \end(pole)\vpravo). $

Nájdenie determinantu matice systému:

$\begin(pole)(l) (\det A=\left|\begin(pole)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & (0) \end(pole)\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3 \cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0) \end(pole)$ Keďže determinant sa nerovná nule, matica systému má inverznú maticu, a preto je možné sústavu rovníc riešiť metódou inverznej matice. Výsledné riešenie bude jedinečné.

Vyriešme sústavu rovníc pomocou inverznej matice:

$A_(11) =(-1)^(1+1) \cdot \left|\begin(pole)(cc) (2) & (1) \\ (2) & (0) \end(pole) \right|=0-2=-2; A_(12) =(-1)^(1+2) \cdot \left|\begin(pole)(cc) (-1) & (1) \\ (3) & (0) \end(pole) \right|=-(0-3)=3;$

$A_(13) =(-1)^(1+3) \cdot \left|\begin(pole)(cc) (-1) & (2) \\ (3) & (2) \end(pole )\vpravo|=-2-6=-8; A_(21) =(-1)^(2+1) \cdot \left|\begin(pole)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (0) \end(pole)\ vpravo|=-(0-6)=6; $

$A_(22) =(-1)^(2+2) \cdot \left|\begin(pole)(cc) (1) & (3) \\ (3) & (0) \end(pole) \right|=0-9=-9; A_(23) =(-1)^(2+3) \cdot \left|\begin(pole)(cc) (1) & (0) \\ (3) & (2) \end(pole)\ vpravo|=-(2-0)=-2;$

$A_(31) =(-1)^(3+1) \cdot \left|\begin(pole)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (1) \end(pole) \right|=0-6=-6; A_(32) =(-1)^(3+2) \cdot \left|\begin(pole)(cc) (1) & (3) \\ (-1) & (1) \end(pole) \right|=-(1+3)=-4;$

$A_(33) =(-1)^(3+3) \cdot \left|\begin(pole)(cc) (1) & (0) \\ (-1) & (2) \end(pole )\vpravo|=2-0=2$

Hľadám inverzná matica:

$A^(-1) =\frac(1)(-26) \cdot \left(\begin(pole)(ccc) (-2) & (6) & (-6) \\ (3) & ( -9) & (-4) \\ (-8) & (-2) & (2) \end(pole)\vpravo)=\frac(1)(26) \cdot \left(\začiatok(pole) (ccc) (2) & (-6) & (6) \\ (-3) & (9) & (4) \\ (8) & (2) & (-2) \end(pole)\vpravo )=\left(\begin(pole)(ccc) (\frac(2)(26) ) & (\frac(-6)(26) ) & (\frac(6)(26) ) \\ (\ frac(-3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(4)(26) ) \\ (\frac(8)(26) ) & (\frac(2) (26) ) & (\frac(-2)(26) ) \koniec(pole)\vpravo)=\vľavo(\začiatok(pole)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\ frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) \\ (-\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2) (13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1)(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(pole)\vpravo).$

Poďme nájsť riešenie systému:

$X=\left(\begin(pole)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ ( -\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2)(13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1 )(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(pole)\vpravo)\cdot \left(\začiatok(pole)(c) (26) \\ (52) \\ (52 ) \end(pole)\right)=\left(\begin(pole)(c) (\frac(1)(13) \cdot 26-\frac(3)(13) \cdot 52+\frac(3 )(13) \cdot 52) ​​​​\\ (-\frac(3)(26) \cdot 26+\frac(9)(26) \cdot 52+\frac(2)(13) \cdot 52) ​​\\ (\frac(4)(13) \cdot 26+\frac(1)(13) \cdot 52-\frac(1)(13) \cdot 52) ​​​​\end(pole)\vpravo )=\left(\ begin(pole)(c) (2-12+12) \\ (-3+18+8) \\ (8+4-4) \end(pole)\right)=\left (\začiatok(pole) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \koniec(pole)\vpravo)$

$X=\vľavo(\začiatok(pole)(c) (2) \\ (23) \\ (8) \koniec(pole)\vpravo)$ je požadované riešenie sústavy rovníc.

Maticová metóda riešenia SLAU aplikovaný na riešenie sústav rovníc, v ktorých počet rovníc zodpovedá počtu neznámych. Metóda sa najlepšie používa na riešenie systémov nízkeho rádu. Maticová metóda na riešenie sústav lineárnych rovníc je založená na aplikácii vlastností násobenia matíc.

Inými slovami, táto metóda metóda inverznej matice, nazýva sa to preto, lebo riešenie sa redukuje na obyčajnú maticovú rovnicu, na vyriešenie ktorej potrebujete nájsť inverznú maticu.

Maticová metóda riešenia SLAE s determinantom, ktorý je väčší alebo menší ako nula, je nasledujúci:

Predpokladajme, že existuje SLE (systém lineárnych rovníc) s n neznáme (na ľubovoľnom poli):

To znamená, že sa dá ľahko previesť do maticovej formy:

AX=B, Kde A— hlavná matica systému, B A X— stĺpce voľných výrazov a riešení systému, v tomto poradí:

Vynásobme túto maticovú rovnicu zľava A-1— inverzná matica k matici A: A −1 (AX)=A −1 B.

Pretože A −1 A=E, znamená, X = A -1 B. Pravá strana rovnice udáva stĺpec riešenia počiatočného systému. Podmienkou použiteľnosti matricovej metódy je nedegenerácia matrice A. Nevyhnutnou a dostatočnou podmienkou na to je, že determinant matice sa nerovná nule A:

detA≠0.

Pre homogénna sústava lineárnych rovníc, t.j. ak je vektor B = 0, platí opačné pravidlo: systém AX = 0 existuje netriviálne (t. j. nerovná sa nule) riešenie len vtedy, keď detA=0. Toto spojenie medzi riešeniami homogénnych a nehomogénnych systémov lineárnych rovníc sa nazýva Fredholmská alternatíva.

Takže riešenie SLAE pomocou matricovej metódy sa uskutočňuje podľa vzorca . Alebo sa riešenie SLAE nájde pomocou inverzná matica A-1.

Je známe, že pre štvorcovú maticu A objednať n na n existuje inverzná matica A-1 iba ak je jeho determinant nenulový. Teda systém n lineárne algebraické rovnice s n Neznáme maticovou metódou riešime len vtedy, ak determinant hlavnej matice systému nie je rovný nule.

Napriek tomu, že existujú obmedzenia možnosti použitia takejto metódy a existujú ťažkosti s výpočtom, kedy veľké hodnoty koeficienty a systémy vysokého rádu, metóda sa dá jednoducho implementovať na počítači.

Príklad riešenia nehomogénneho SLAE.

Najprv skontrolujme, či sa determinant matice koeficientov neznámych SLAE nerovná nule.

Teraz nájdeme zväzová matica, transponujte ho a dosaďte do vzorca na určenie inverznej matice.

Dosaďte premenné do vzorca:

Teraz nájdeme neznáme vynásobením inverznej matice a stĺpca voľných členov.

takže, x = 2; y = 1; z = 4.

Pri prechode z bežnej formy SLAE na maticovú formu buďte opatrní s poradím neznámych premenných v rovniciach systému. Napríklad:

NEDÁ sa to napísať takto:

Najprv je potrebné zoradiť neznáme premenné v každej rovnici systému a až potom prejsť na maticový zápis:

Okrem toho musíte byť opatrní pri označovaní neznámych premenných x 1, x 2, …, x n môžu tam byť aj iné písmená. Napr:

v maticovom tvare to zapíšeme takto:

Maticová metóda je lepšia na riešenie sústav lineárnych rovníc, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych premenných a determinant hlavnej matice sústavy sa nerovná nule. Ak sú v systéme viac ako 3 rovnice, nájdenie inverznej matice bude vyžadovať viac výpočtového úsilia, preto je v tomto prípade vhodné použiť na riešenie Gaussovu metódu.

V tomto článku si povieme o maticovej metóde riešenia sústavy lineárnych algebraických rovníc, nájdeme jej definíciu a uvedieme príklady riešení.

Definícia 1

Metóda inverznej matice je metóda používaná na riešenie SLAE, ak sa počet neznámych rovná počtu rovníc.

Príklad 1

Nájdite riešenie sústavy n lineárnych rovníc s n neznámymi:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +. . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 +. . . + a n n x n = b n

Typ maticového záznamu : A × X = B

kde A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n je matica systému.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - stĺpec neznámych,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - stĺpec voľných koeficientov.

Z rovnice, ktorú sme dostali, je potrebné vyjadriť X. Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť obe strany maticovej rovnice vľavo A - 1:

A – 1 × A × X = A – 1 × B.

Pretože A - 1 × A = E, potom E × X = A - 1 × B alebo X = A - 1 × B.

Komentujte

Inverzná matica k matici A má právo existovať len vtedy, ak je splnená podmienka d e t A nerovná sa nule. Preto pri riešení SLAE metódou inverznej matice sa najskôr zistí d e t A.

V prípade, že sa d e t A nerovná nule, systém má len jednu možnosť riešenia: pomocou metódy inverznej matice. Ak d e t A = 0, potom systém nie je možné vyriešiť touto metódou.

Príklad riešenia sústavy lineárnych rovníc metódou inverznej matice

Príklad 2

SLAE riešime metódou inverznej matice:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Ako vyriešiť?

  • Sústavu zapíšeme v tvare maticovej rovnice A X = B, kde

A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.

  • X vyjadríme z tejto rovnice:
  • Nájdite determinant matice A:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t A sa nerovná 0, preto je pre túto sústavu vhodná metóda riešenia inverznej matrice.

  • Inverznú maticu A - 1 nájdeme pomocou spojeneckej matice. K príslušným prvkom matice A vypočítame algebraické doplnky A i j:

A 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,

A 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7,

A 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5,

A 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17,

A 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,

A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10,

A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,

A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5,

A33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.

  • Zapíšeme spojenú maticu A *, ktorá sa skladá z algebraických doplnkov matice A:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

  • Inverznú maticu napíšeme podľa vzorca:

A - 1 = 1 d e t A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

  • Inverznú maticu A - 1 vynásobíme stĺpcom voľných členov B a získame riešenie sústavy:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Odpoveď : x 1 = - 1; x2 = 0; x 3 = 1

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Metóda inverznej matice nie je ťažké, ak viete všeobecné zásady pracovať s maticovými rovnicami a samozrejme vedieť vykonávať elementárne algebraické operácie.

Riešenie sústavy rovníc metódou inverznej matice. Príklad.

Najpohodlnejšie je pochopiť metódu inverznej matice pomocou jasný príklad. Zoberme si sústavu rovníc:

Prvým krokom k vyriešeniu tohto systému rovníc je nájsť determinant. Preto transformujme náš systém rovníc do nasledujúcej matice:

A nájdeme potrebný determinant:

Vzorec používaný na riešenie maticové rovnice, nasledovne:

Na výpočet X teda potrebujeme určiť hodnotu matice A-1 a vynásobiť ju b. Pomôže nám s tým ďalší vzorec:

V tomto prípade bude transponovaná matica- teda ten istý pôvodný, ale písaný nie v riadkoch, ale v stĺpcoch.

Na to by sme nemali zabúdať metóda inverznej matice, podobne ako Cramerova metóda, je vhodná len pre systémy, v ktorých je determinant väčší alebo menší ako nula. Ak sa determinant rovná nule, musíte použiť Gaussovu metódu.

Ďalším krokom je zostavenie matice maloletých, čo je nasledujúca schéma:

V dôsledku toho sme dostali tri matice - vedľajšie, algebraické sčítania a transponovanú maticu algebraických sčítaní. Teraz môžete pristúpiť k samotnému zostaveniu inverznej matice. Vzorec už poznáme. V našom príklade to bude vyzerať takto.

Uvažujme sústava lineárnych algebraických rovníc(SLAU) relatívne n neznámy X 1 , X 2 , ..., X n :

Tento systém v „zbalenej“ forme možno napísať takto:

S n i=1 a ij X j = b i , i=1,2, ..., n.

V súlade s pravidlom násobenia matice je možné zapísať uvažovaný systém lineárnych rovníc matricový formulár Ax=b, Kde

Matrix A, ktorého stĺpce sú koeficienty pre zodpovedajúce neznáme a riadky sú koeficienty pre neznáme v príslušnej rovnici sa nazýva matice systému. Matica stĺpcov b, ktorej prvky sú pravými stranami rovníc systému, sa nazýva matica pravej strany alebo jednoducho pravej strane systému. Matica stĺpcov X , ktorého prvky sú neznáme neznáme, sa nazýva systémové riešenie.

Systém lineárnych algebraických rovníc zapísaných vo forme Ax=b, je maticová rovnica.

Ak systémová matica nedegenerované, potom má inverznú maticu a potom riešenie systému je Ax=b je daný vzorcom:

x=A -1 b.

Príklad Vyriešte systém maticová metóda.

Riešenie nájdime inverznú maticu pre maticu koeficientov systému

Vypočítajme determinant rozšírením pozdĺž prvého riadku:

Pretože Δ ≠ 0 , To A -1 existuje.

Inverzná matica bola nájdená správne.

Poďme nájsť riešenie systému

teda X 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Vyšetrenie:

7. Kronecker-Capelliho veta o kompatibilite sústavy lineárnych algebraických rovníc.

Systém lineárnych rovníc má tvar:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Tu sú uvedené a i j a b i (i = ; j = ) a x j sú neznáme reálne čísla. Pomocou konceptu súčinu matíc môžeme prepísať systém (5.1) do tvaru:

kde A = (a i j) je matica pozostávajúca z koeficientov pre neznáme sústavy (5.1), ktorá je tzv. matice systému, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T sú stĺpcové vektory zložené z neznámych x j a voľných členov b i.

Objednaný odber n nazývame reálne čísla (c 1, c 2,..., c n). systémové riešenie(5.1), ak sa v dôsledku dosadenia týchto čísel namiesto zodpovedajúcich premenných x 1, x 2,..., x n zmení každá rovnica systému na aritmetickú identitu; inými slovami, ak existuje vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T taký, že AC  B.

Zavolá sa systém (5.1). kĺb, alebo riešiteľný, ak má aspoň jedno riešenie. Systém je tzv nezlučiteľné, alebo neriešiteľný, ak nemá žiadne riešenia.

,

vytvorený priradením stĺpca voľných členov na pravú stranu matice A je tzv rozšírená matica systému.

Otázku kompatibility systému (5.1) rieši nasledujúca veta.

Kronecker-Capelliho veta . Systém lineárnych rovníc je konzistentný vtedy a len vtedy, ak sa rady matíc A aA zhodujú, t.j. r(A) = r(A) = r.

Pre množinu M riešení sústavy (5.1) existujú tri možnosti:

1) M =  (v tomto prípade je systém nekonzistentný);

2) M pozostáva z jedného prvku, t.j. systém má jedinečné riešenie (v tomto prípade je systém tzv istý);

3) M pozostáva z viac ako jedného prvku (potom sa systém nazýva neistý). V treťom prípade má systém (5.1) nekonečný počet riešení.

Systém má jednoznačné riešenie len vtedy, ak r(A) = n. V tomto prípade počet rovníc nie je menšie číslo neznáme (mn); ak m>n, tak m-n rovníc sú dôsledky tých druhých. Ak 0

Na riešenie ľubovoľnej sústavy lineárnych rovníc potrebujete vedieť riešiť sústavy, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych – tzv. Systémy typu Cramer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Systémy (5.3) sa riešia jedným z nasledujúcich spôsobov: 1) Gaussova metóda alebo metóda eliminácie neznámych; 2) podľa Cramerových vzorcov; 3) maticová metóda.

Príklad 2.12. Preskúmajte systém rovníc a vyriešte ho, ak je konzistentný:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 – 3 x 2 – 6 x 3 + 5 x 4 = 0.

Riešenie. Vypíšeme rozšírenú maticu systému:

.

Vypočítajme hodnosť hlavnej matice systému. Je zrejmé, že napríklad vedľajší druh druhého rádu v ľavom hornom rohu = 7  0; maloletí tretieho rádu, ktorí ho obsahujú, sa rovnajú nule:

V dôsledku toho je poradie hlavnej matice systému 2, t.j. r(A) = 2. Na výpočet poradia rozšírenej matice A zvážte hraničnú vedľajšiu

to znamená, že poradie rozšírenej matice r(A) = 3. Keďže r(A)  r(A), systém je nekonzistentný.