งานห้องปฏิบัติการหมายเลข 1

"พลวัตของประชากร".

การสร้างแบบจำลองพลวัตของประชากรโดยใช้โปรแกรมการคำนวณ

วัตถุประสงค์ของงาน:ศึกษาแบบจำลองพลศาสตร์ประชากรโดยใช้โปรแกรมการคำนวณ

เคลียร์งานแล้ว

เสร็จสิ้นงาน

ปกป้องงานของฉัน

2010 ช.

1 บทนำทางทฤษฎี

ตามคำจำกัดความของนักนิเวศวิทยาชาวรัสเซียชื่อดัง S.S. Shvarts ประชากรเป็นกลุ่มสิ่งมีชีวิตเบื้องต้นของบางสายพันธุ์ที่มีเงื่อนไขที่จำเป็นทั้งหมดเพื่อรักษาจำนวนไว้เป็นเวลานานในสภาวะแวดล้อมที่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา

ประชากรก็เหมือนกับระบบเปิดทางชีววิทยาอื่นๆ ที่มีลักษณะโครงสร้าง การเจริญเติบโต การพัฒนา และการต้านทานต่อปัจจัยที่ไม่มีชีวิตและปัจจัยทางชีวภาพ

ตัวบ่งชี้ที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับความเป็นอยู่ที่ดีของประชากร (ความยั่งยืน) และบทบาทในการทำงานของระบบนิเวศทางธรรมชาติคือขนาดของมัน

ขนาดประชากรถูกกำหนดโดยปรากฏการณ์สองประการเป็นหลัก ได้แก่ อัตราการเกิดและอัตราการตาย รวมถึงการอพยพ

ภาวะเจริญพันธุ์ - จำนวนบุคคลใหม่ที่ปรากฏต่อหน่วยเวลาอันเป็นผลมาจากการสืบพันธุ์ในระหว่างกระบวนการสืบพันธุ์ จำนวนบุคคลจะเพิ่มขึ้นตามทฤษฎี มันสามารถเติบโตได้ไม่จำกัดจำนวน

มีการเปลี่ยนแปลงจำนวนบุคคลในประชากรหลายประเภทขึ้นอยู่กับเวลา (พลวัตของประชากร) ในกรณีที่ง่ายที่สุด พลศาสตร์ของประชากรสามารถอธิบายได้ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อย่างง่าย ซึ่งทำให้สามารถทำนายการเปลี่ยนแปลงของจำนวนบุคคลได้

1. การเติบโตแบบเลขชี้กำลัง

มีการเสนอแบบจำลองการเติบโตของประชากรที่เก่าแก่ที่สุดรูปแบบหนึ่ง ที. มัลธัสพ.ศ. 2341 อย่างกว้างขวาง งานที่มีชื่อเสียง"ว่าด้วยหลักประชากร". รุ่นนี้เรียกว่า เอ็กซ์โปเนนเชียลการพึ่งพาการเติบโตของประชากร (เส้นโค้งการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล) โมเดลนี้ถือว่า ทรัพยากรธรรมชาติไม่จำกัดจำนวนประชาชนทั่วไปสามารถเข้าถึงได้ และไม่มีปัจจัยจำกัดใดๆเพื่อการเติบโตของประชากร ภายใต้สมมติฐานดังกล่าว จำนวนบุคคลในประชากรจะเพิ่มขึ้นตามกฎหมายว่าด้วยอำนาจ เช่น เร็วมากและ ไม่จำกัด.

ถ้าเราแสดงโดย n 0 จำนวนบุคคลในประชากรและช่วงเวลาเริ่มต้น (ที 0 ), และผ่าน N t จำนวนบุคคล ณ จุดใดจุดหนึ่ง ที (เสื้อ>เสื้อ 0) จากนั้นการเปลี่ยนแปลงของตัวเลข ∆N ในช่วงเวลา ∆ ที. เหล่านั้น. อัตราการเติบโตของประชากรจะเท่ากับ:

(1)

นิพจน์ (1) แสดงอัตราการเติบโตของประชากรโดยเฉลี่ย อย่างไรก็ตาม ในนิเวศวิทยาของประชากร มักจะไม่ใช่อัตราเฉลี่ยสัมบูรณ์ที่ใช้ แต่เป็นอัตราการเติบโตต่อสิ่งมีชีวิต (อัตราเฉพาะ):

(2)

ตัวบ่งชี้นี้ช่วยให้คุณเปรียบเทียบค่าการเปลี่ยนแปลงในจำนวนประชากรที่มีขนาดต่างกัน ในกรณีนี้ ความอุดมสมบูรณ์หมายถึงอัตราการเพิ่มขึ้นโดยบุคคลหนึ่งคนในช่วงเวลาหนึ่ง

ก้าวไปสู่รูปแบบการจำกัดความเร็วในการบันทึกที่
0 และ
และแนะนำสัญกรณ์ใหม่:

(3)

ในการแสดงออก (3) ตัวบ่งชี้ รสามารถกำหนดได้เฉพาะเจาะจงทันที อัตราการเติบโตของประชากร- สำหรับประชากรชนิดเดียวกันที่แตกต่างกัน ตัวบ่งชี้นี้อาจมี ความหมายที่แตกต่างกัน- ค่าที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ทั้งหมด (r สูงสุด) เรียกว่าศักยภาพทางชีวภาพหรือการสืบพันธุ์ของประชากร

เมื่อคำนึงถึงนิพจน์ (3) อัตราการเติบโตของประชากรสามารถอธิบายได้ด้วยนิพจน์ต่อไปนี้

(4)

ด้วยการแสดงออกที่แตกต่าง (4) เราจึงได้สิ่งนั้นมา ณ เวลาใดก็ได้ที่มีให้ ร=คเป็นต้นไป (ค่าคงที่อัตราการเติบโต) จำนวนบุคคลในประชากรจะเท่ากับ:
(5)

สูตร (5) อธิบายแบบจำลองเอ็กซ์โปเนนเชียลของการเติบโตของประชากร ซึ่งในรูปแบบกราฟิกจะมีรูปร่างเป็นเส้นโค้ง (รูปที่ 1) โมเดลการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลตรงตามเงื่อนไข การเติบโตไม่ จำกัดจำนวนบุคคลในประชากร

ข้าว. 1. กราฟการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลของจำนวนบุคคลในประชากร

1. รูปแบบการเติบโตของลอจิสติกส์

ขนาดประชากรสูงสุดที่ระบบนิเวศสามารถรักษาไว้ได้ไม่จำกัดภายใต้สภาพธรรมชาติที่คงที่เรียกว่า ความจุของระบบนิเวศสำหรับประเภทนี้

การเปลี่ยนแปลงของประชากรคือความสัมพันธ์ระหว่างศักยภาพทางชีวภาพ (การเพิ่มของบุคคล) และการต้านทานต่อสิ่งแวดล้อม (การเสียชีวิตของบุคคล การตาย) ปัจจัยต้านทานต่อสิ่งแวดล้อมส่งผลให้อัตราการเสียชีวิตเพิ่มขึ้น และเส้นโค้งของประชากรถึงที่ราบสูงหรือแม้กระทั่งลดลงหากการระเบิดของประชากรทำให้ทรัพยากรระบบนิเวศที่สำคัญหมดสิ้น เส้นการเติบโตของประชากรที่มีการต้านทานต่อสิ่งแวดล้อมจะกลายเป็น ส-เป็นรูปเป็นร่าง มุมมอง (รูปที่ 2)

ข้าว. 2 . แบบจำลองการเติบโตของประชากรรูปตัว S

ดังนั้นภายใต้สภาวะทางธรรมชาติ การเติบโตอย่างไม่จำกัดจึงเป็นไปไม่ได้และไม่ช้าก็เร็ว ประชากรจะถึงขีดจำกัดซึ่งกำหนดไว้แล้ว ความจุปานกลาง(อวกาศ อาหาร ฯลฯ) หากเราแสดงค่าที่แน่นอนด้วยจำนวนบุคคลสูงสุดที่เป็นไปได้ในประชากรหนึ่งๆ K (ความจุปานกลาง) และแนะนำตัวบ่งชี้การแก้ไขที่คำนึงถึง "ความต้านทาน"สภาพแวดล้อมสำหรับการเติบโตของประชากรในรูปแบบของอัตราส่วน:

,

แล้วสมการสำหรับกรณีดังกล่าวจะเขียนเป็น รูปร่าง:

(7)

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์นี้จะมีรูปแบบ

(8)

ที่ไหน เอ -ค่าคงที่ของการรวมที่กำหนดตำแหน่งของฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด สามารถพบได้จากนิพจน์ (ระบุ ร= ค่าคงที่).

(9)

สำนวน (8) อธิบายถึงสิ่งที่เรียกว่า เส้นการเติบโตของโลจิสติกส์(รูปที่ 2) นี่เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดอันดับสองของพลวัตของประชากร โดยขึ้นอยู่กับขีดจำกัดบนของขนาดประชากรและความต้านทานต่อสิ่งแวดล้อมต่อการเติบโตของประชากร ตามรุ่นนี้ ขนาดประชากรในช่วงแรกระยะเติบโตค่อนข้างเร็ว แต่แล้วอัตราการเติบโตของประชากรก็ช้าลงและกลายเป็นสิ่งไม่มีค่าใกล้กับค่าถึง (เส้นโค้งโลจิสติกเข้าใกล้แนวเส้นกำกับแนวนอน ถึง).

วิชา: ยางหน้าหนาว. ภูมิภาค: ยูเครน ขอบ: 13%. ช่วงโปรโมชั่น: 1.09 - 31.12 ปี 2555 กับ 1.09 - 31.12 ปี 2556 การใช้จ่าย: 42,389 UAH เทียบกับ 131,341 UAH (รวมค่าธรรมเนียมตัวแทนแล้ว)

แม้ว่าฉันจะไม่ใช่นักคณิตศาสตร์จากการฝึกฝน แต่ฉันมีความหลงใหลในวิทยาศาสตร์นี้ ดังนั้นบทความนี้จะใช้คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนบางคำเมื่อมองแวบแรก

จุดประสงค์ของบทความนี้คือเพื่อพูดคุยเกี่ยวกับปรากฏการณ์ที่น่าสงสัยอย่างหนึ่ง: ด้วยการเพิ่มงบประมาณการโฆษณาของคุณเป็นสองเท่า คุณจะเริ่มมีรายได้ไม่มากเป็นสองเท่า แต่เป็น 2.5, 3 เป็นต้น มากขึ้นครั้ง แน่นอนมาก่อน จุดใดจุดหนึ่ง- ปรากฏการณ์ทางคณิตศาสตร์นี้เรียกว่าการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล ตัวอย่างของการเติบโตแบบทวีคูณคือการเพิ่มจำนวนแบคทีเรียในอาณานิคมก่อนที่ทรัพยากรจะถูกจำกัด

พวกคุณที่เคยเจอดอกเบี้ยทบต้น เช่น เมื่อคำนวณรายได้จากเงินฝาก จะเข้าใจทันทีว่าเรากำลังพูดถึงอะไร เนื่องจากดอกเบี้ยทบต้นเป็นเพียงอีกตัวอย่างหนึ่งของการเติบโตแบบทวีคูณ หากคุณไม่ถอนเงินสะสมออกจากเงินฝาก การเติบโตของรายได้จะไม่เป็นเชิงเส้นแต่เป็นทวีคูณ เช่นเดียวกับการเติบโตของรายได้จากการขาย: ด้วยงบประมาณการโฆษณาที่เพิ่มขึ้น รายได้ก็เติบโตแบบทวีคูณ ภายในกรอบของบทความนี้ ผมอยากจะอธิบายปรากฏการณ์อีกอย่างหนึ่ง เป็นเพราะปรากฏการณ์นี้ที่แผนกโฆษณาตามบริบทไม่ได้ถูกเรียกอย่างนั้นอีกต่อไป แต่ถูกเรียกว่าแผนกจราจรแบบชำระเงิน มันเกี่ยวกับเกี่ยวกับผลการทำงานร่วมกัน

ผลการทำงานร่วมกันคืออะไร? ลองจินตนาการถึงสถานการณ์ในอุดมคติ: มีร้านค้าออนไลน์สำหรับการโปรโมตในเดือนแรกมีการใช้เฉพาะการโฆษณาตามบริบทซึ่งนำมาซึ่งยอดขาย 20 ครั้งและในเดือนที่สองมีการใช้การโปรโมต SEO เท่านั้นซึ่งนำมาซึ่งยอดขาย 20 ครั้งด้วย ในเดือนที่สามมีการใช้ทั้งการโฆษณาตามบริบทและ SEO ซึ่งท้ายที่สุดไม่ได้ให้ยอดขาย 40 ครั้ง แต่ได้ 50 ครั้ง นี่คือผลการทำงานร่วมกัน: สถานการณ์ที่การโต้ตอบของปัจจัยสองตัวขึ้นไปทำให้ผลลัพธ์เพิ่มขึ้นมากกว่าแต่ละปัจจัยเหล่านี้ สามารถผลิตแยกกันได้

การใช้ช่องทางการโฆษณาตั้งแต่ 2 ช่องทางขึ้นไปพร้อมกันทำให้เราได้รับผลตอบแทนที่มากขึ้น เมื่อทราบโดยตรงเกี่ยวกับผลการทำงานร่วมกัน นักการตลาดอินเทอร์เน็ตของเราจึงมุ่งมั่นที่จะใช้ช่องทางการโฆษณาให้ได้มากที่สุด เราขอแนะนำให้จดเคล็ดลับเล็กๆ น้อยๆ นี้ไว้ :) ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างเฉพาะที่จะอธิบายทั้งหมดข้างต้น - กรณีของบริการ "จราจรแบบชำระเงิน" ในหัวข้อเรื่องยาง

ฉันจะแนบภาพหน้าจอใหม่จาก Google Analytics ทันที เนื่องจากฉันรู้ว่าผู้อ่านกรณีนี้ชื่นชอบพวกเขามาก:

กรณีนี้สะท้อนถึงผลลัพธ์เพิ่มเติมของงานในโครงการซึ่งกรณีที่ฉันโพสต์เมื่อปีที่แล้ว ลองเปรียบเทียบสองปีนี้ดู เริ่มต้นด้วยการเปรียบเทียบค่าใช้จ่ายของแต่ละฤดูกาล - ปี 2555 และ 2556 (โดยฤดูกาลฉันหมายถึงช่วงเวลาตั้งแต่วันที่ 1 กันยายนถึง 31 ธันวาคม):

• การโฆษณาในบริษัทรวบรวมราคา
• การโฆษณาตามบริบท

ในฤดูกาล 2012 มีการใช้โฆษณาใน Google Ads และจัดวางในรายการราคาสองรายการ: Yandex.Market และ Hotline.ua ในฤดูกาลที่คล้ายกันของปี 2013 โฆษณาได้ถูกนำมาใช้แล้วใน Google Ads, Yandex.Direct และผู้รวบรวมราคา 10 ราย การใช้ช่องทางโฆษณาเพิ่มเติมทำให้ต้นทุนเพิ่มขึ้นเกือบ 310% ตอนนี้เรามาดูกันว่ารายได้ของโครงการเพิ่มขึ้นอย่างไรโดยค่าโฆษณาเพิ่มขึ้น 310%:

ดังนั้นเราจะเห็นว่าการเพิ่มต้นทุนการโฆษณา 310% ไม่ได้ทำให้รายได้ของลูกค้าเพิ่มขึ้น 310% แต่เพิ่มขึ้น 573% มหัศจรรย์ใช่มั้ยล่ะ! นั่นคือการเติบโตของรายได้เมื่อเปรียบเทียบกับการใช้จ่ายนั้นไม่ได้เกิดขึ้นเป็นเส้นตรง แต่เป็นแบบทวีคูณ

แน่นอนว่าการได้รับผลลัพธ์ดังกล่าวมีผลการทำงานร่วมกัน

ลองดูการเติบโตของกำไรขั้นต้น:

ให้เราแสดงให้เห็นว่าจำนวนธุรกรรมเพิ่มขึ้นอย่างไร:

ภาพหน้าจอนี้ช่วยให้เราสามารถสรุปเกี่ยวกับสถานการณ์ด้วยเช็คโดยเฉลี่ยได้ หากรายได้เพิ่มขึ้น 573% และจำนวนยอดขายเพิ่มขึ้น 557% ก็ชัดเจนว่าเช็คเฉลี่ยเพิ่มขึ้นเล็กน้อย

มีข้อมูลเกี่ยวกับรายได้จาก Google Analytics ค่าใช้จ่ายและส่วนต่าง มาคำนวณตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพที่สำคัญที่สุด - ROMI (ผลตอบแทนจากการลงทุนทางการตลาด) โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ROMI = ((รายได้ × มาร์จิ้น) - ค่าใช้จ่ายลูกค้า) / ค่าใช้จ่ายลูกค้า

ดังนั้น เรามาเปรียบเทียบผลลัพธ์ ROMI ของทั้งสองฤดูกาลกัน:

สิ่งสำคัญที่ควรทราบคือเมื่อคำนวณ ROMI เราคำนึงถึงเฉพาะรายได้ที่ Google Analytics แสดงซึ่งหมายความว่าเราไม่ได้คำนึงถึงอีก 80% ของยอดขายที่ทำทางโทรศัพท์นั่นคือเราคำนึงถึงเท่านั้น 20% ของรายได้ลูกค้าที่ได้รับ - นี่เป็นเพียงส่วนที่ 5

สถานการณ์ที่น่าสนใจมากเกิดขึ้นเมื่อเราคำนวณ ROMI โดยคำนึงถึง 80% ของคำสั่งซื้อทางโทรศัพท์ ในการทำเช่นนี้ ให้คูณรายได้ของเราด้วย 5 แล้วนับตามปกติ:

การเติบโตของ ROMI ตามรายได้ที่ใกล้เคียงกับความเป็นจริงดูน่าสนใจยิ่งขึ้น อย่างไรก็ตาม มันไม่ได้เป็นเพียงเรื่องของ ROMI เท่านั้น แต่ยังเป็นมูลค่าการซื้อขายที่เพิ่มขึ้นอีกด้วย ลูกค้าเพิ่มขึ้นอย่างมาก -> ยอดขายเพิ่มขึ้นอย่างมาก

อีกครั้งกับผลงานของฤดูกาล 2013

ค่าใช้จ่ายลูกค้า: 131,341 อูเอห์ (รวมค่านายหน้าแล้ว) ขอบ: 13%. จำนวนธุรกรรม: 880. รายได้จาก Google Analytics: 1,317,166.2 UAH กำไรขั้นต้น (รวมคำสั่งซื้อทางโทรศัพท์): 856,158 UAH ROMI ตามกำไรขั้นต้น (รวมถึงการสั่งซื้อทางโทรศัพท์) : 551,86%.

แน่นอนว่าผลลัพธ์ที่ได้นั้นยังห่างไกลจากขีดจำกัด: มีพื้นที่สำหรับเพิ่มงบประมาณการโฆษณา > มีพื้นที่สำหรับรายได้ของลูกค้าที่จะเติบโต ฤดูกาลหน้าเราจะใช้ช่องทางโฆษณาเพิ่มเติมแน่นอน (จำนวนคงไม่มีสิ้นสุด)

หนึ่งในคุณสมบัติที่ต้องมีของฤดูกาลใหม่คือการใช้เครื่องมือติดตามคำสั่งซื้อทางโทรศัพท์ ifTheyCall นี่เป็นผลิตภัณฑ์ใหม่จาก Netpeak ซึ่งเราไม่มีเวลาใช้ในช่วงเดือนกันยายน-ธันวาคม 2556 เครื่องมือนี้จะช่วยให้คุณประเมินผลกระทบของแต่ละช่องทางการโฆษณาได้แม่นยำยิ่งขึ้น กระจายงบประมาณของคุณใหม่ และมีประสิทธิภาพมากยิ่งขึ้น

ฉันจะนำเสนอผลลัพธ์ในรูปแบบรูปภาพ

ดังที่คุณเห็นจากกราฟ จุดคุ้มทุนอยู่ด้านล่าง จนถึงจุดนี้ การลงทุนในการโฆษณาจะไม่ได้รับผลตอบแทน ตัวอย่างเช่น หากคุณใช้จ่าย 100 UAH เพื่อให้ได้ 100 คลิก - ความน่าจะเป็นในการขายที่จะชดใช้การลงทุนเหล่านี้นั้นแทบจะเท่ากับ 0 จุดที่สองบนกราฟคือจุดที่เหมาะสมที่สุด (ลองเรียกมันว่า) - นี่คือเมื่อคุณลงทุนจำนวนเงินสูงสุดใน โฆษณาและรับรายได้สูงสุด หลังจากจุดนี้มีการเปลี่ยนแปลงไปสู่ความอิ่มตัวคือตลาดอิ่มตัวทุกคนถูกโฆษณาปกคลุม ผู้ซื้อที่มีศักยภาพการลงทุนโฆษณาที่เพิ่มขึ้นไม่ได้ทำให้รายได้เพิ่มขึ้นอีกต่อไป หากงบประมาณการโฆษณาของคุณต่ำกว่าจุดคุ้มทุน การลงทุนในการโฆษณาเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า รายได้ของคุณจะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณจนกว่าคุณจะถึงจุดที่เหมาะสม

• การทำงานร่วมกันจากการใช้ช่องทางโฆษณาตั้งแต่ 2 ช่องทางขึ้นไปพร้อมกัน:

สิ่งที่ยังต้องเพิ่มลงในภาพประกอบนี้คือลองใช้ช่องทางการโฆษณาใหม่ๆ :)

ตามที่เน้นไว้ในส่วนที่แล้ว โดยหลักการแล้วประชากรใดๆ ก็ตามสามารถเพิ่มขนาดได้อย่างทวีคูณ และนี่คือเหตุผลว่าทำไมจึงใช้แบบจำลองเอ็กซ์โพเนนเชียลเพื่อประเมินศักยภาพการเติบโตของประชากร อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี แบบจำลองเอ็กซ์โพเนนเชียลกลับกลายเป็นว่าเหมาะสมสำหรับการอธิบายกระบวนการที่สังเกตได้จริง เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้เป็นไปได้เมื่อเป็นเวลานานพอสมควร (สัมพันธ์กับระยะเวลาของการสร้าง) ไม่มีอะไรจำกัดการเติบโตของประชากรและด้วยเหตุนี้ตัวบ่งชี้อัตราเฉพาะของมัน ( ร) คงค่าบวกไว้คงที่

ตัวอย่างเช่นในปี 1937 ไก่ฟ้าตัวผู้ 2 ตัวและตัวเมีย 6 ตัวถูกนำไปที่เกาะเล็ก ๆ ของโพรเทคชิ (นอกชายฝั่งตะวันตกเฉียงเหนือของสหรัฐอเมริกาใกล้กับรัฐวอชิงตัน) (ฟาซาเนียส โคลชิคัส ทอร์ควาลัส),เมื่อก่อนไม่เคยพบบนเกาะนี้ ในปีเดียวกันนั้นเอง ไก่ฟ้าเริ่มผสมพันธุ์ และอีก 6 ปีต่อมา จำนวนประชากรซึ่งเริ่มด้วยนก 8 ตัว มีจำนวนรวมกันแล้ว 1,898 ตัว ดังต่อไปนี้จากรูป 28 เอ,อย่างน้อยในช่วง 3-4 ปีแรก การเพิ่มขึ้นของจำนวนไก่ฟ้าได้รับการอธิบายอย่างดีจากความสัมพันธ์แบบเอกซ์โพเนนเชียล (เส้นตรงในระดับพิกัดลอการิทึม) น่าเสียดาย ต่อมา เนื่องจากการปะทุของสงคราม กองทหารจึงถูกส่งไปประจำการบนเกาะ การนับประจำปีหยุดลง และประชากรไก่ฟ้าเองก็ถูกกำจัดไปเป็นส่วนใหญ่

อื่น กรณีที่มีชื่อเสียงการเติบโตของประชากรแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล - การเพิ่มขนาดของประชากรนกพิราบล้อมรอบ (สเตรปโทเปเลีย เดคาออคโต)ในเกาะอังกฤษในช่วงปลายทศวรรษ 1950 และต้นทศวรรษ 1960 (รูปที่ 28, ข). การเติบโตนี้หยุดลงหลังจากผ่านไป 8 ปีเท่านั้น หลังจากที่แหล่งที่อยู่อาศัยที่เหมาะสมทั้งหมดถูกประชากรอาศัยอยู่

รายการตัวอย่างการเติบโตของประชากรแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสามารถดำเนินการต่อได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวเลขที่เพิ่มขึ้นแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลหลายครั้ง (หรืออย่างน้อยก็ใกล้กับเอ็กซ์โปเนนเชียล) กวางเรนเดียร์ (เรนจิเฟอร์ ทารันดัส)สังเกตได้ในระหว่างการแนะนำเกาะต่างๆ ดังนั้น จากบุคคล 25 คน (ชาย 4 คนและหญิง 21 คน) ถูกพาไปยังเกาะเซนต์พอลในปี พ.ศ. 2454 (ส่วนหนึ่งของหมู่เกาะไพรบิลอฟในทะเลแบริ่ง) จึงมีประชากรจำนวนหนึ่งซึ่งมีขนาดในปี พ.ศ. 2481 เท่ากับ มีประชากรถึง 2,000 คน แต่หลังจากนั้นก็ลดลงอย่างรวดเร็วและในปี 1950 มีเพียงกวาง 8 ตัวเท่านั้นที่ยังคงอยู่บนเกาะ ภาพที่คล้ายกันถูกพบบนเกาะเซนต์แมทธิว (ตั้งอยู่ในทะเลแบริ่ง): บุคคล 29 คน (ชาย 5 คนและหญิง 24 คน) ได้รับการแนะนำให้รู้จักกับเกาะในปี พ.ศ. 2487 ทำให้มีประชากรเพิ่มขึ้น 1,350 คนในปี พ.ศ. 2500 และในปี พ.ศ. 2506 - ประมาณ 6,000 คน (พื้นที่ของเกาะนี้คือ 332 กม. 2 ซึ่งประมาณสามเท่าของพื้นที่เกาะเซนต์พอล) อย่างไรก็ตาม ในปีต่อๆ มา มีจำนวนกวางลดลงอย่างน่าหายนะ ภายในปี 1966 เหลือเพียง 42 ตัวเท่านั้น ในทั้งสองกรณีข้างต้น ลดลงอย่างรวดเร็วมีจำนวนไม่เพียงพอ เวลาฤดูหนาวอาหารที่ประกอบด้วยไลเคนเกือบทั้งหมด

ในห้องปฏิบัติการ เป็นไปได้ที่จะสร้างเงื่อนไขสำหรับการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลหากสิ่งมีชีวิตที่เพาะปลูกได้รับทรัพยากรที่มากเกินไป ซึ่งมักจะจำกัดการพัฒนาของพวกมัน และโดยการรักษาคุณค่าของพารามิเตอร์เคมีกายภาพทั้งหมดของสภาพแวดล้อมให้อยู่ภายในขีดจำกัดความอดทนของที่กำหนด สายพันธุ์. บ่อยครั้ง เพื่อรักษาการเติบโตแบบทวีคูณ จำเป็นต้องกำจัดผลิตภัณฑ์จากการเผาผลาญของสิ่งมีชีวิต (เช่น การใช้ระบบการไหลเมื่อเพาะเลี้ยงสัตว์น้ำและพืชต่างๆ) หรือแยกบุคคลที่เพิ่งเกิดใหม่ออกจากกันเพื่อหลีกเลี่ยงการแออัด (นี่เป็นสิ่งสำคัญสำหรับ เช่นเมื่อเลี้ยงสัตว์ฟันแทะและสัตว์อื่น ๆ เป็นจำนวนมากอย่างเพียงพอ พฤติกรรมที่ยากลำบาก- ในทางปฏิบัติ การทดลองได้กราฟการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสำหรับสิ่งมีชีวิตขนาดเล็กมากเท่านั้น (ยีสต์ โปรโตซัว สาหร่ายเซลล์เดียว ฯลฯ) ไม่ใช่เรื่องยาก สิ่งมีชีวิตขนาดใหญ่ปลูกฝังใน ปริมาณมากยากด้วยเหตุผลทางเทคนิคล้วนๆ นอกจากนี้ยังต้องใช้เวลามาก

สถานการณ์ที่เงื่อนไขสำหรับการเติบโตแบบทวีคูณเกิดขึ้นได้เช่นกันในธรรมชาติ และไม่เพียงแต่สำหรับประชากรเกาะเท่านั้น ตัวอย่างเช่นในทะเลสาบ ละติจูดพอสมควรในฤดูใบไม้ผลิ หลังจากที่น้ำแข็งละลาย จะมีชั้นผิวอยู่ด้วย จำนวนมากองค์ประกอบทางชีวภาพ (ฟอสฟอรัส ไนโตรเจน ซิลิคอน) มักจะไม่เพียงพอต่อสาหร่ายแพลงก์ตอน ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่ทันทีที่น้ำอุ่นขึ้น จำนวนไดอะตอมหรือสาหร่ายสีเขียวจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว (ใกล้เคียงกับเลขชี้กำลัง) โดยจะหยุดเฉพาะเมื่อองค์ประกอบที่บกพร่องทั้งหมดถูกผูกมัดในเซลล์สาหร่าย หรือเมื่อการผลิตของประชากรมีความสมดุลโดยการบริโภคของสัตว์ที่มีเซลล์พืชหลายชนิด

แม้ว่าจะมีตัวอย่างอื่นๆ ของการเพิ่มขึ้นของตัวเลขแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลที่สังเกตได้จริง แต่ก็ไม่สามารถกล่าวได้ว่ามีจำนวนมากมายนัก แน่นอนว่าหากขนาดประชากรเพิ่มขึ้นตามกฎหมายเอ็กซ์โพเนนเชียลจะเกิดขึ้นก็จะเพิ่มขึ้นอย่างมากเท่านั้น เวลาอันสั้นตามมาด้วยการลดลงหรือถึงที่ราบสูง (= ระดับคงที่) โดยหลักการแล้ว มีหลายทางเลือกที่เป็นไปได้ในการหยุดการเติบโตของประชากรแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล ตัวเลือกแรกคือการสลับช่วงเวลาของการเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลในตัวเลขที่มีช่วงเวลาที่ลดลงอย่างรวดเร็ว (หายนะ) จนถึงมาก ค่าต่ำ- กฎระเบียบดังกล่าว (และโดยการควบคุมประชากร เราจะหมายถึงการกระทำของกลไกใดๆ ที่นำไปสู่การจำกัดการเติบโตของประชากร) มีแนวโน้มมากที่สุดในสิ่งมีชีวิตที่มีระยะเวลาสั้น วงจรชีวิตอาศัยอยู่ในสถานที่ที่มีปัจจัยจำกัดหลักผันผวนอย่างเด่นชัด เช่น ในหมู่แมลงที่อาศัยอยู่ในละติจูดสูง เห็นได้ชัดว่าสิ่งมีชีวิตดังกล่าวต้องมีระยะสงบที่ช่วยให้สามารถอยู่รอดได้ในฤดูกาลที่ไม่เอื้ออำนวย ตัวเลือกที่สองคือการหยุดการเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลอย่างกะทันหัน และรักษาจำนวนประชากรให้อยู่ในระดับคงที่ (=คงที่) ซึ่งอาจเกิดความผันผวนต่างๆ ได้ ตัวเลือกที่สามคือทางออกที่ราบรื่นไปยังที่ราบสูง ผลที่ได้ รูปร่างตัวเอสเส้นโค้งบ่งชี้ว่าเมื่อขนาดประชากรเพิ่มขึ้น อัตราการเติบโตของประชากรจะไม่คงที่แต่จะลดลง การเติบโตของประชากรรูปตัว S นั้นสังเกตได้บ่อยมากทั้งในการทดลองในห้องปฏิบัติการและเมื่อมีการนำสายพันธุ์เข้าสู่แหล่งที่อยู่อาศัยใหม่

ผู้คนไม่ใช่ผู้ทำนายอนาคตที่ดีนัก ในประวัติศาสตร์ส่วนใหญ่ ประสบการณ์ของเราเป็นแบบ "ท้องถิ่นและเป็นเส้นตรง" เราใช้เครื่องมือแบบเดียวกัน กินอาหารแบบเดียวกัน อาศัยอยู่ใน สถานที่บางแห่ง- ด้วยเหตุนี้ ความสามารถในการคาดการณ์ของเราจึงขึ้นอยู่กับสัญชาตญาณและประสบการณ์ในอดีต มันเหมือนกับบันได: หลังจากเดินขึ้นไม่กี่ก้าว เราก็เข้าใจว่าเส้นทางที่เหลือตามบันไดนี้จะเป็นอย่างไร ขณะที่เราดำเนินชีวิต เราคาดหวังให้แต่ละวันใหม่มีความคล้ายคลึงกับวันก่อนหน้า อย่างไรก็ตามตอนนี้ทุกอย่างกำลังเปลี่ยนแปลง

Raymond Kurzweil นักประดิษฐ์และนักอนาคตชาวอเมริกันผู้โด่งดังในหนังสือของเขาเรื่อง "The Singularity Is Near" เขียนว่าการก้าวกระโดดของการพัฒนาทางเทคโนโลยีที่เราได้เห็นในทศวรรษที่ผ่านมาได้ก่อให้เกิดความก้าวหน้าอย่างรวดเร็วในด้านต่างๆ มากมาย สิ่งนี้ได้นำไปสู่เทคโนโลยีที่ไม่คาดคิดและ การเปลี่ยนแปลงทางสังคมที่เกิดขึ้นไม่เพียงแต่ระหว่างรุ่นเท่านั้น แต่ยังเกิดขึ้นภายในพวกเขาด้วย ตอนนี้วิธีการทำนายอนาคตที่ใช้งานง่ายไม่ได้ผล อนาคตไม่ได้ถูกเปิดเผยเป็นเส้นตรงอีกต่อไป แต่เป็นแบบทวีคูณ: เป็นการยากมากขึ้นเรื่อยๆ ในการคาดเดาว่าจะเกิดอะไรขึ้นต่อไปและจะเกิดขึ้นเมื่อใด ความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีทำให้เราประหลาดใจอยู่เสมอ และเพื่อที่จะตามให้ทันและเรียนรู้ที่จะทำนายอนาคต เราต้องเรียนรู้ที่จะคิดแบบทวีคูณก่อน

การเติบโตแบบทวีคูณคืออะไร?

ต่างจากการเติบโตเชิงเส้นซึ่งเป็นผลมาจากการเพิ่มค่าคงที่ซ้ำๆ การเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลเป็นผลมาจากการคูณซ้ำๆ หากการเติบโตเชิงเส้นเป็นเส้นตรงที่มั่นคงเมื่อเวลาผ่านไป เส้นการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลจะคล้ายกับการบินขึ้น ยังไง มูลค่าที่สูงขึ้นรับค่า ยิ่งเติบโตเร็วเท่าไร

ลองนึกภาพว่าคุณกำลังเดินไปตามถนน และแต่ละก้าวที่คุณเดินจะยาวหนึ่งเมตร คุณก้าวไปหกก้าว และตอนนี้คุณได้ขยับไปหกเมตรแล้ว หลังจากที่คุณก้าวไปอีก 24 ก้าว คุณจะอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น 30 เมตร นี่คือการเติบโตเชิงเส้น

ทีนี้ลองจินตนาการ (ถึงแม้ร่างกายของคุณจะทำสิ่งนี้ไม่ได้ ลองจินตนาการดู) ว่าแต่ละครั้งที่ก้าวของคุณยาวขึ้นเป็นสองเท่า นั่นคือขั้นแรกให้คุณก้าวหนึ่งเมตร จากนั้นสอง สี่ แปด และต่อๆ ไป ในหกขั้นตอนดังกล่าว คุณจะครอบคลุมระยะทาง 32 เมตร ซึ่งมากกว่าหกขั้นตอนจากหนึ่งเมตรมาก มันยากที่จะเชื่อ แต่ถ้าคุณก้าวต่อไปในก้าวเดิม หลังจากขั้นตอนที่ 30 คุณจะพบว่าตัวเองอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นหนึ่งพันล้านเมตร นั่นคือการเดินทางรอบโลก 26 ครั้ง และนี่คือการเติบโตแบบก้าวกระโดด

เป็นเรื่องที่น่าสนใจกันทุกคน ก้าวใหม่ด้วยการเติบโตเช่นนั้น มันคือผลรวมของการเติบโตก่อนหน้านี้ทั้งหมด นั่นคือหลังจาก 29 ขั้นตอน คุณได้ครอบคลุม 500 ล้านเมตร และคุณครอบคลุมจำนวนเดียวกันในขั้นตอนถัดไปที่สามสิบ ซึ่งหมายความว่าขั้นตอนใดๆ ก่อนหน้านี้ของคุณมีขนาดเล็กอย่างไม่มีใครเทียบได้เมื่อเทียบกับขั้นตอนถัดไปของการเติบโตอย่างรวดเร็ว และส่วนใหญ่เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่ค่อนข้างสั้น หากคุณคิดว่าการเติบโตนี้เป็นการย้ายจากจุด A ไปยังจุด B ความก้าวหน้าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในการเคลื่อนไหวจะเกิดขึ้นในระยะสุดท้าย

เรามักจะพลาดแนวโน้มที่สำคัญใน ระยะแรกเนื่องจากอัตราการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลเริ่มต้นนั้นช้าและค่อยเป็นค่อยไป จึงเป็นการยากที่จะแยกแยะความแตกต่างจากการเติบโตเชิงเส้น นอกจากนี้ บ่อยครั้งการคาดการณ์บนสมมติฐานที่ว่าปรากฏการณ์บางอย่างจะพัฒนาแบบทวีคูณอาจดูเหลือเชื่อ และเราปฏิเสธมัน

“เมื่อการสแกนจีโนมมนุษย์เริ่มขึ้นในปี 1990 นักวิจารณ์ตั้งข้อสังเกตว่า เมื่อพิจารณาจากความรวดเร็วของกระบวนการในขั้นแรก การสแกนจีโนมจึงต้องใช้เวลาหลายพันปี อย่างไรก็ตามโครงการนี้แล้วเสร็จในปี พ.ศ. 2546”- เรย์มอนด์ เคิร์ซไวล์ ยกตัวอย่าง

ใน เมื่อเร็วๆ นี้การพัฒนาเทคโนโลยีเป็นแบบทวีคูณ: ทุก ๆ ทศวรรษและทุกปีเราสามารถทำอะไรได้มากกว่าเดิมอย่างไม่มีใครเทียบได้

การเติบโตแบบก้าวกระโดดสามารถสิ้นสุดได้หรือไม่?

ในทางปฏิบัติ แนวโน้มแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลไม่ได้คงอยู่ตลอดไป อย่างไรก็ตาม บางชนิดสามารถดำเนินต่อไปได้เป็นระยะเวลานานหากเงื่อนไขเหมาะสมสำหรับการพัฒนาแบบระเบิด

โดยทั่วไปแล้ว แนวโน้มแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลประกอบด้วยชุดของวงจรชีวิตทางเทคโนโลยีรูปตัว S ที่ต่อเนื่องกันหรือเส้นโค้งรูปตัว S แต่ละเส้นโค้งดูเหมือนตัวอักษร "S" เนื่องจากมีการเติบโตสามขั้นตอน: การเติบโตช้าในช่วงแรก การเติบโตแบบระเบิด และการปรับระดับเมื่อเทคโนโลยีเติบโตเต็มที่ เส้นโค้ง S เหล่านี้ตัดกัน และเมื่อเทคโนโลยีหนึ่งช้าลง เทคโนโลยีใหม่ก็จะเริ่มเพิ่มขึ้น ในแต่ละรอบการพัฒนารูปตัว S ใหม่ ระยะเวลาที่ต้องใช้ในการบรรลุผลมากขึ้น ระดับสูงผลผลิตจะน้อยลง

ตัวอย่างเช่น เมื่อพูดถึงการพัฒนาเทคโนโลยีในศตวรรษที่ผ่านมา Kurzweil ได้แสดงรายการกระบวนทัศน์การคำนวณ 5 แบบ ได้แก่ ระบบเครื่องกลไฟฟ้า รีเลย์ หลอดสุญญากาศ ทรานซิสเตอร์แยก และวงจรรวม เมื่อเทคโนโลยีหนึ่งใช้ศักยภาพจนหมด เทคโนโลยีถัดไปก็เริ่มก้าวหน้า และทำได้รวดเร็วกว่ารุ่นก่อนๆ

การวางแผนสำหรับอนาคตแบบก้าวกระโดด

ในสภาวะของการพัฒนาแบบก้าวกระโดด เป็นการยากมากที่จะคาดเดาสิ่งที่รอเราอยู่ในอนาคต สร้างกราฟตาม ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต- นี่เป็นสิ่งหนึ่ง แต่การประมาณว่าชีวิตจะเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรในสิบถึงยี่สิบปีนั้นแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง แต่กฎง่ายๆ ที่ควรปฏิบัติตามคือ คาดหวังว่าชีวิตจะทำให้คุณประหลาดใจอย่างมาก และวางแผนรับมือกับเรื่องประหลาดใจที่คุณคาดหวัง กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณสามารถรับผลลัพธ์ที่น่าเหลือเชื่อที่สุดและเตรียมพร้อมรับมันราวกับว่ามันเกิดขึ้นแน่นอน

“อนาคตจะน่าอัศจรรย์เกินกว่าที่คนส่วนใหญ่จะจินตนาการได้ มีเพียงไม่กี่คนที่เข้าใจความจริงที่ว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงกำลังเร่งตัวขึ้น"- เรย์มอนด์ เคิร์ซไวล์ เขียน

ชีวิตเราจะเป็นอย่างไรในอีก 5 ปีข้างหน้า? วิธีหนึ่งในการคาดการณ์คือการดูห้าปีที่ผ่านมาและนำประสบการณ์นั้นไปใช้ในอีกห้าปีข้างหน้า แต่นี่เป็นการคิดแบบ "เชิงเส้น" ซึ่งตามที่เราพบมานั้นไม่ได้ผลเสมอไป ก้าวของการเปลี่ยนแปลงกำลังเปลี่ยนแปลง ดังนั้นความก้าวหน้าที่เกิดขึ้นในช่วงห้าปีที่ผ่านมาจะใช้เวลานานกว่านี้ในอนาคต มีแนวโน้มว่าการเปลี่ยนแปลงที่คุณคาดหวังในอีกห้าปีจะเกิดขึ้นจริงในสามหรือสองปี ด้วยการฝึกฝนเพียงเล็กน้อย เราจะสามารถคาดการณ์ได้ดีขึ้นว่าชีวิตจะเป็นอย่างไร เรียนรู้ที่จะเห็นโอกาสในการเติบโตแบบก้าวกระโดด และสามารถวางแผนสำหรับอนาคตของเราเองได้ดีขึ้น

มันไม่ใช่แค่แนวคิดที่น่าสนใจ ความคิดของเราซึ่งมักมุ่งไปสู่การพัฒนาเชิงเส้น อาจนำเราไปสู่ทางตันได้ เป็นการคิดเชิงเส้นที่ทำให้นักธุรกิจและนักการเมืองบางคนต่อต้านการเปลี่ยนแปลง พวกเขาเพียงแต่ไม่เข้าใจว่าการพัฒนาเกิดขึ้นอย่างทวีคูณ และพวกเขากังวลว่าการควบคุมอนาคตจะยากขึ้นเรื่อยๆ แต่นี่เป็นสนามสำหรับการแข่งขันอย่างแน่นอน เพื่อให้ทันกับการเปลี่ยนแปลงนี้ คุณจะต้องก้าวไปข้างหน้าเสมอและอย่าทำสิ่งที่เกี่ยวข้องในปัจจุบัน แต่ทำสิ่งที่เกี่ยวข้องและเป็นที่ต้องการในอนาคต โดยคำนึงว่าการพัฒนานั้นไม่ได้เกิดขึ้นเป็นเส้นตรง แต่เกิดขึ้นแบบทวีคูณ

การคิดแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลช่วยลดความเครียดในการทำลายล้างที่เกิดจากความกลัวในอนาคตและเปิดโอกาสใหม่ๆ หากเราสามารถวางแผนสำหรับอนาคตของเราได้ดีขึ้นและสามารถคิดแบบทวีคูณได้ เราก็จะอำนวยความสะดวกในการเปลี่ยนจากกระบวนทัศน์หนึ่งไปสู่อีกกระบวนทัศน์หนึ่ง และเผชิญกับอนาคตอย่างสงบ

สวัสดี! วันนี้เราจะพยายามทำความเข้าใจว่าการเติบโตแบบทวีคูณคืออะไร การเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลคือการเพิ่มมูลค่าในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ปริมาณเติบโตในอัตราที่แปรผันตามมูลค่าของมันซึ่งหมายความว่าสำหรับปริมาณที่เพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ ยิ่งมูลค่าที่ได้รับมากเท่าไรก็ยิ่งเติบโตเร็วขึ้นเท่านั้น ลองดูตัวอย่างนี้ด้วย คุณอาจจำได้จากชีววิทยาว่าแบคทีเรียแพร่พันธุ์ได้เร็วมาก การเติบโตของประชากรแบคทีเรียมีความคล้ายคลึงกับการเติบโตของดอกเบี้ยสะสมอย่างต่อเนื่อง e กำลัง kt โดยที่ k คือการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลประเภทหนึ่ง เรามีฟังก์ชันและ t=3 ดังนั้นเราจึงสามารถหาจำนวนแบคทีเรียได้หลังจากผ่านไป 3 ชั่วโมง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าฉันยก e ยกกำลัง x ฉันจะได้ x นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะพูด เพราะในเครื่องคิดเลขคุณจะพบลอการิทึมตามฐาน e หรือ 10 เท่านั้น คุณจะหาลอการิทึมจากตัวเลขอื่นได้อย่างไร