ฟังก์ชันลอการิทึมของสมการอสมการ อสมการลอการิทึม เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

สมการลอการิทึมและอสมการวี ตัวเลือกการสอบ Unified Stateทุ่มเทให้กับวิชาคณิตศาสตร์ ปัญหา C3 - นักเรียนทุกคนจะต้องเรียนรู้ที่จะแก้งาน C3 จากการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ หากเขาต้องการผ่านการสอบที่กำลังจะมาถึงด้วยคะแนน "ดี" หรือ "ยอดเยี่ยม" บทความนี้นำเสนอ รีวิวสั้น ๆสมการลอการิทึมและอสมการที่พบบ่อยมักพบตลอดจนวิธีการพื้นฐานในการแก้สมการเหล่านี้

วันนี้เรามาดูตัวอย่างกัน สมการลอการิทึมและอสมการซึ่งเปิดสอนให้กับนักเรียนในเวอร์ชันการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ของปีก่อนๆ แต่จะเริ่มต้นด้วยการสรุปประเด็นทางทฤษฎีหลักโดยย่อที่เราจะต้องแก้ไข

ฟังก์ชันลอการิทึม

คำนิยาม

หน้าที่ของแบบฟอร์ม

0,\, a\ne 1 \]" title="Rendered โดย QuickLaTeX.com">!}

เรียกว่า ฟังก์ชันลอการิทึม.

คุณสมบัติพื้นฐาน

คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันลอการิทึม ย=บันทึก เอ็กซ์:

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมคือ เส้นโค้งลอการิทึม:

คุณสมบัติของลอการิทึม

ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์จำนวนบวกสองตัวเท่ากับผลรวมของลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

ลอการิทึมของผลหารจำนวนบวกสองตัวเท่ากับผลต่างระหว่างลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

ถ้า กและ ข ก≠ 1 จากนั้นสำหรับตัวเลขใดๆ ร ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

ความเท่าเทียมกันบันทึก ก ที=บันทึก ก ส, ที่ไหน ก > 0, ก ≠ 1, ที > 0, ส> 0 ใช้ได้ก็ต่อเมื่อเท่านั้น ที = ส.

ถ้า ก, ข, คเป็นจำนวนบวก และ กและ คต่างจากสามัคคีจึงเท่าเทียมกัน ( สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานลอการิทึมใหม่):

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

ทฤษฎีบท 1ถ้า ฉ(x) > 0 และ ก(x) > 0 จากนั้น สมการลอการิทึมบันทึก ฉ(x) = บันทึก ก(x) (ที่ไหน ก > 0, ก≠ 1) เทียบเท่ากับสมการ ฉ(x) = ก(x).

การแก้สมการลอการิทึมและอสมการ

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ:

สารละลาย.ช่วงของค่าที่ยอมรับได้จะรวมเฉพาะค่าเหล่านั้นเท่านั้น xซึ่งนิพจน์ใต้เครื่องหมายลอการิทึมมีค่ามากกว่าศูนย์ ค่าเหล่านี้ถูกกำหนดไว้ ระบบต่อไปนี้ความไม่เท่าเทียมกัน:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

เมื่อพิจารณาแล้วว่า

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

เราได้รับช่วงเวลาที่กำหนดช่วงของค่าที่อนุญาตของสมการลอการิทึมนี้:

จากทฤษฎีบทที่ 1 ซึ่งเงื่อนไขทั้งหมดเป็นไปตามนี้ เราจะดำเนินการสมการกำลังสองที่เทียบเท่าต่อไปนี้:

ช่วงของค่าที่ยอมรับได้จะรวมเฉพาะรูทแรกเท่านั้น

คำตอบ: x = 7.

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ:

สารละลาย.ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของสมการนั้นถูกกำหนดโดยระบบอสมการ:

ql-right-eqno">

สารละลาย.ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของสมการถูกกำหนดที่นี่อย่างง่ายดาย: x > 0.

เราใช้การทดแทน:

สมการจะกลายเป็น:

การทดแทนแบบย้อนกลับ:

ทั้งคู่ คำตอบอยู่ในช่วงค่าสมการที่ยอมรับได้เนื่องจากเป็นจำนวนบวก

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ:

สารละลาย.มาเริ่มวิธีแก้ปัญหาอีกครั้งโดยกำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของสมการ ถูกกำหนดโดยระบบความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

ql-right-eqno">

ฐานของลอการิทึมเท่ากัน ดังนั้นในช่วงของค่าที่ยอมรับได้เราสามารถดำเนินการสมการกำลังสองต่อไปนี้ได้:

รากแรกไม่อยู่ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของสมการ แต่รากที่สองคือ

คำตอบ: x = -1.

ตัวอย่างที่ 5แก้สมการ:

สารละลาย.เราจะมองหาวิธีแก้ปัญหาในระหว่างนั้น x > 0, x≠1. ลองแปลงสมการให้เท่ากัน:

ทั้งคู่ คำตอบอยู่ในช่วงค่าสมการที่ยอมรับได้

ตัวอย่างที่ 6แก้สมการ:

สารละลาย.ระบบความไม่เท่าเทียมกันซึ่งกำหนดช่วงของค่าที่อนุญาตของสมการในครั้งนี้มีรูปแบบ:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

เมื่อใช้คุณสมบัติของลอการิทึม เราจะแปลงสมการให้เป็นสมการที่เทียบเท่าในช่วงของค่าที่ยอมรับได้:

เมื่อใช้สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานลอการิทึมใหม่ เราจะได้:

ช่วงของค่าที่ยอมรับได้มีเพียงค่าเดียวเท่านั้น คำตอบ: x = 4.

ตอนนี้เรามาดูกันดีกว่า อสมการลอการิทึม - นี่คือสิ่งที่คุณจะต้องเผชิญในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ เพื่อแก้ตัวอย่างเพิ่มเติม เราจำเป็นต้องมีทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท 2ถ้า ฉ(x) > 0 และ ก(x) > 0 จากนั้น:
ที่ ก> 1 บันทึกอสมการลอการิทึม ฉ(x) > บันทึก ก(x) เทียบเท่ากับอสมการที่มีความหมายเดียวกัน: ฉ(x) > ก(x);
เวลา 0< ก < 1 логарифмическое неравенство log a ฉ(x) > บันทึก ก(x) เทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกันของความหมายตรงกันข้าม: ฉ(x) < ก(x).

ตัวอย่างที่ 7แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย.เริ่มต้นด้วยการกำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของความไม่เท่าเทียมกัน นิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันลอการิทึมจะต้องดำเนินการเท่านั้น ค่าบวก- ซึ่งหมายความว่าช่วงที่ต้องการของค่าที่ยอมรับได้ถูกกำหนดโดยระบบความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

เนื่องจากฐานของลอการิทึมเป็นตัวเลขที่น้อยกว่า 1 ฟังก์ชันลอการิทึมที่สอดคล้องกันจะลดลง ดังนั้นตามทฤษฎีบทที่ 2 การเปลี่ยนไปใช้อสมการกำลังสองต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:

ท้ายที่สุด เมื่อคำนึงถึงช่วงของค่าที่ยอมรับได้ เราได้รับ คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 8แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย.มาเริ่มต้นใหม่อีกครั้งโดยกำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

ในชุดค่าที่ยอมรับได้ของความไม่เท่าเทียมกันเราทำการแปลงที่เท่ากัน:

หลังจากการลดและการเปลี่ยนไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันตามทฤษฎีบท 2 เราจะได้:

เมื่อคำนึงถึงช่วงของค่าที่ยอมรับได้ เราจะได้ค่าสุดท้าย คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 9แก้อสมการลอการิทึม:

สารละลาย.ช่วงของค่าอสมการที่ยอมรับได้ถูกกำหนดโดยระบบต่อไปนี้:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

จะเห็นได้ว่าในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ นิพจน์ที่ฐานของลอการิทึมจะมากกว่า 1 เสมอ ดังนั้นตามทฤษฎีบทที่ 2 การเปลี่ยนแปลงไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:

เมื่อคำนึงถึงช่วงของค่าที่ยอมรับได้ เราได้รับคำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 10แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย.

ช่วงของค่าอสมการที่ยอมรับได้ถูกกำหนดโดยระบบอสมการ:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

วิธีที่ 1ให้เราใช้สูตรเพื่อเปลี่ยนเป็นฐานใหม่ของลอการิทึมและไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันซึ่งเทียบเท่ากับช่วงของค่าที่อนุญาต

เมื่อแก้อสมการลอการิทึม เราใช้คุณสมบัติเอกพจน์ของฟังก์ชันลอการิทึม นอกจากนี้เรายังใช้คำจำกัดความของลอการิทึมและสูตรลอการิทึมพื้นฐาน

เรามาทบทวนกันว่าลอการิทึมคืออะไร:

ลอการิทึมจำนวนบวกที่ฐานเป็นตัวบ่งชี้ถึงกำลังที่ต้องยกขึ้นเพื่อให้ได้

โดยที่

ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน:

สูตรพื้นฐานสำหรับลอการิทึม:

(ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึม)

(ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม)

(สูตรลอการิทึมของดีกรี)

สูตรการย้ายฐานใหม่:

อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการลอการิทึม

เราสามารถพูดได้ว่าอสมการลอการิทึมได้รับการแก้ไขโดยใช้อัลกอริธึมเฉพาะ เราจำเป็นต้องเขียนช่วงของค่าที่ยอมรับได้ (APV) ของความไม่เท่าเทียมกัน ลดความไม่เท่าเทียมกันลงในแบบฟอร์ม เครื่องหมายที่นี่สามารถเป็นอะไรก็ได้: สิ่งสำคัญคือลอการิทึมทางด้านซ้ายและด้านขวาในความไม่เท่าเทียมกันจะต้องมีลอการิทึมเป็นฐานเดียวกัน

และหลังจากนั้นเราก็ "ละทิ้ง" ลอการิทึม! นอกจากนี้ หากฐานเป็นระดับ เครื่องหมายอสมการจะยังคงเหมือนเดิม หากฐานเป็นเช่นนั้นสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม

แน่นอนว่าเราไม่เพียงแค่ "ทิ้ง" ลอการิทึมเท่านั้น เราใช้คุณสมบัติ monotonicity ของฟังก์ชันลอการิทึม หากฐานของลอการิทึมมากกว่าหนึ่ง ฟังก์ชันลอการิทึมจะเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน จากนั้นจึงเพิ่ม มูลค่าที่สูงขึ้น x สอดคล้องกับค่าที่มากกว่าของนิพจน์

ถ้าฐานมากกว่าศูนย์และน้อยกว่าหนึ่ง ฟังก์ชันลอการิทึมจะลดลงแบบโมโนโทนิก ค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์ x จะสอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่า

หมายเหตุสำคัญ: วิธีที่ดีที่สุดคือเขียนวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบของลูกโซ่ของการเปลี่ยนภาพที่เทียบเท่ากัน

เรามาฝึกกันต่อ เช่นเคย มาเริ่มด้วยอสมการที่ง่ายที่สุดกันก่อน

1. พิจารณาบันทึกอสมการ 3 x > บันทึก 3 5
เนื่องจากลอการิทึมถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนบวกเท่านั้น จึงจำเป็นที่ x จะต้องเป็นบวก เงื่อนไข x > 0 เรียกว่าช่วงของค่าที่อนุญาต (APV) ของความไม่เท่าเทียมกันนี้ เฉพาะ x เท่านั้นที่อสมการนี้สมเหตุสมผล

สูตรนี้ฟังดูน่าสนใจและจดจำได้ง่าย แต่ทำไมเรายังทำเช่นนี้ได้?

เราเป็นคน เรามีสติปัญญา จิตใจของเราได้รับการออกแบบในลักษณะที่ทุกอย่างมีเหตุผล เข้าใจได้ และมี โครงสร้างภายในถูกจดจำและนำไปใช้ได้ดีกว่าข้อเท็จจริงแบบสุ่มและไม่เกี่ยวข้องกันมาก นั่นเป็นสาเหตุว่าทำไมการไม่จดจำกฎแบบกลไกเหมือนกับสุนัขคณิตที่ได้รับการฝึกฝนมาจึงเป็นเรื่องสำคัญ แต่ต้องกระทำอย่างมีสติ

แล้วทำไมเราถึงยัง “ปล่อยลอการิทึม” อยู่?

คำตอบนั้นง่ายมาก: หากฐานมีค่ามากกว่าหนึ่ง (เช่นในกรณีของเรา) ฟังก์ชันลอการิทึมจะเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน ซึ่งหมายความว่าค่า x ที่มากกว่าจะสอดคล้องกับค่า y ที่มากกว่า และจากบันทึกอสมการ 3 x 1 > log 3 x 2 ตามมาด้วย x 1 > x 2


โปรดทราบว่าเราได้ก้าวไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันทางพีชคณิตแล้ว และเครื่องหมายความไม่เท่าเทียมกันยังคงเหมือนเดิม

งั้น x > 5

อสมการลอการิทึมต่อไปนี้ก็ทำได้ง่ายเช่นกัน

2. บันทึก 5 (15 + 3x) > บันทึก 5 2x

เริ่มจากช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ลอการิทึมถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนบวกเท่านั้น ดังนั้น

เมื่อแก้ระบบนี้ เราจะได้: x > 0

ทีนี้ลองย้ายจากอสมการลอการิทึมไปเป็นพีชคณิต - "ละทิ้ง" ลอการิทึม เนื่องจากฐานของลอการิทึมมีค่ามากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการจึงยังคงเหมือนเดิม

15 + 3x > 2x

เราได้รับ: x > −15

คำตอบ: x > 0

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานของลอการิทึมน้อยกว่าหนึ่ง? เป็นเรื่องง่ายที่จะเดาว่าในกรณีนี้ เมื่อพิจารณาถึงความไม่เท่าเทียมกันทางพีชคณิต สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนไป

ลองยกตัวอย่าง

มาเขียน ODZ กัน นิพจน์ที่ใช้ลอการิทึมต้องเป็นค่าบวก กล่าวคือ

เมื่อแก้ระบบนี้ เราได้: x > 4.5

เนื่องจาก ฟังก์ชันลอการิทึมที่มีฐานจะลดลงแบบซ้ำซาก ซึ่งหมายความว่าค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชันจะสอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของอาร์กิวเมนต์:


และถ้าอย่างนั้น
2x - 9 ≤ x

เราได้ x ≤ 9 นั่น

เมื่อพิจารณาว่า x > 4.5 เราจึงเขียนคำตอบ:

ในปัญหาถัดไป อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลจะลดลงเหลืออสมการกำลังสอง ดังนั้นเราจึงแนะนำให้พูดหัวข้อ "อสมการกำลังสอง" ซ้ำ

ตอนนี้สำหรับความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อนมากขึ้น:

4. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

5. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

ถ้าอย่างนั้น. เราโชคดี! เรารู้ว่าฐานของลอการิทึมนั้นมากกว่าหนึ่งสำหรับค่าทั้งหมดของ x ที่รวมอยู่ใน ODZ

มาทำการเปลี่ยนกันเถอะ

โปรดทราบว่าก่อนอื่นเราแก้อสมการโดยสมบูรณ์ด้วยความเคารพต่อตัวแปรใหม่ t และหลังจากนั้นเราก็กลับคืนสู่ตัวแปร x จำสิ่งนี้ไว้และอย่าทำผิดพลาดในการสอบ!

ขอให้เราจำกฎนี้ไว้: หากสมการหรืออสมการมีราก เศษส่วน หรือลอการิทึม การแก้ปัญหาจะต้องเริ่มต้นจากช่วงของค่าที่ยอมรับได้ เนื่องจากฐานของลอการิทึมต้องเป็นค่าบวกและไม่เท่ากับ 1 เราจึงได้ระบบเงื่อนไข:

มาทำให้ระบบนี้ง่ายขึ้น:

นี่คือช่วงของค่าอสมการที่ยอมรับได้

เราจะเห็นว่าตัวแปรนั้นอยู่ในฐานของลอการิทึม เรามาต่อกันที่ฐานถาวรกันดีกว่า ให้เราเตือนคุณว่า

ในกรณีนี้ไปฐาน 4 ได้สะดวก

มาทำการเปลี่ยนกันเถอะ

มาลดความซับซ้อนของอสมการและแก้ไขโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

ลองกลับมาที่ตัวแปรกัน x:

เราได้เพิ่มเงื่อนไข x> 0 (จาก ODZ)

7. ปัญหาต่อไปนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีช่วงเวลา

และเช่นเคย เราจะเริ่มแก้ไขอสมการลอการิทึมจากช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ในกรณีนี้

ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขนี้และเราจะกลับสู่สภาพนั้น ลองดูความไม่เท่าเทียมกันในตอนนี้ ลองเขียนทางด้านซ้ายเป็นลอการิทึมของฐาน 3:

ทางด้านขวามือยังสามารถเขียนเป็นลอการิทึมของฐาน 3 ได้อีกด้วย แล้วจึงค่อยเขียนต่อไปยังอสมการพีชคณิต:

เราเห็นว่าเงื่อนไข (นั่นคือ ODZ) เสร็จสมบูรณ์โดยอัตโนมัติแล้ว นี่ทำให้การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันง่ายขึ้น

เราแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

คำตอบ:

เกิดขึ้น? มาเพิ่มระดับความยากกันดีกว่า:

8. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ความไม่เท่าเทียมกันเทียบเท่ากับระบบ:

9. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

นิพจน์ 5 - x 2 ถูกทำซ้ำอย่างบีบบังคับในคำชี้แจงปัญหา ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถทำการทดแทนได้:

เพราะว่า ฟังก์ชันเลขชี้กำลังรับเฉพาะค่าบวกเท่านั้น ที> 0 จากนั้น

ความไม่เท่าเทียมกันจะอยู่ในรูปแบบ:

ดีขึ้นแล้ว. มาหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของอสมการกัน เราได้กล่าวไปแล้ว ที> 0 นอกจากนี้ ( ที− 3) (5 9 · ที − 1) > 0

หากตรงตามเงื่อนไขนี้ ผลหารจะเป็นค่าบวก

และนิพจน์ใต้ลอการิทึมทางด้านขวาของอสมการต้องเป็นค่าบวก นั่นคือ (625 ที − 2) 2 .

ซึ่งหมายความว่า 625 ที− 2 ≠ 0 นั่นคือ

มาเขียน ODZ กันอย่างระมัดระวัง

และแก้ระบบผลลัพธ์โดยใช้วิธีช่วงเวลา

ดังนั้น,

การต่อสู้จบลงไปแล้วครึ่งหนึ่ง - เราแยก ODZ ออกไป เราแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเอง ให้เราแสดงผลรวมของลอการิทึมทางด้านซ้ายเป็นลอการิทึมของผลิตภัณฑ์

อสมการลอการิทึม

ในบทเรียนที่แล้ว เราได้ทำความคุ้นเคยกับสมการลอการิทึม และตอนนี้เรารู้แล้วว่าสมการคืออะไรและจะแก้สมการเหล่านี้อย่างไร บทเรียนวันนี้จะเน้นไปที่การศึกษาอสมการลอการิทึม อสมการเหล่านี้คืออะไร และความแตกต่างระหว่างการแก้สมการลอการิทึมกับอสมการคืออะไร?

อสมการลอการิทึมคืออสมการที่มีตัวแปรปรากฏใต้เครื่องหมายลอการิทึมหรือที่ฐาน

หรืออาจกล่าวได้ว่าอสมการลอการิทึมคืออสมการซึ่งค่าที่ไม่ทราบค่าจะปรากฏใต้เครื่องหมายลอการิทึม เช่นเดียวกับในสมการลอการิทึม

อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

โดยที่ f(x) และ g(x) คือนิพจน์บางส่วนที่ขึ้นอยู่กับ x

ลองดูตัวอย่างนี้: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1

การแก้อสมการลอการิทึม

ก่อนที่จะแก้อสมการลอการิทึม เป็นที่น่าสังเกตว่าเมื่อแก้ไขแล้ว พวกมันจะคล้ายกับอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล กล่าวคือ:

ขั้นแรก เมื่อย้ายจากลอการิทึมไปเป็นนิพจน์ใต้เครื่องหมายลอการิทึม เราต้องเปรียบเทียบฐานของลอการิทึมกับฐานหนึ่งด้วย

ประการที่สอง เมื่อแก้อสมการลอการิทึมโดยใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร เราจำเป็นต้องแก้อสมการที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงจนกว่าเราจะได้อสมการที่ง่ายที่สุด

แต่คุณและฉันได้พิจารณาแง่มุมที่คล้ายกันในการแก้ไขอสมการลอการิทึมแล้ว ตอนนี้เรามาดูความแตกต่างที่ค่อนข้างสำคัญกันดีกว่า คุณและฉันรู้ว่าฟังก์ชันลอการิทึมมีขอบเขตคำจำกัดความที่จำกัด ดังนั้นเมื่อย้ายจากลอการิทึมไปเป็นนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม เราจำเป็นต้องคำนึงถึงช่วงของค่าที่อนุญาต (ADV)

นั่นคือควรคำนึงว่าเมื่อแก้สมการลอการิทึม คุณและฉันสามารถหารากของสมการได้ก่อนแล้วจึงตรวจสอบวิธีแก้ปัญหานี้ แต่การแก้ไขอสมการลอการิทึมจะไม่ทำงานในลักษณะนี้ เนื่องจากการย้ายจากลอการิทึมไปเป็นนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม จึงจำเป็นต้องเขียน ODZ ของอสมการนั้น

นอกจากนี้ ควรจำไว้ว่าทฤษฎีอสมการประกอบด้วยจำนวนจริงซึ่งเป็นจำนวนบวกและลบรวมถึงเลข 0

ตัวอย่างเช่น เมื่อตัวเลข “a” เป็นบวก คุณจะต้องใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้: a >0 ในกรณีนี้ ทั้งผลรวมและผลคูณของตัวเลขเหล่านี้จะเป็นบวกเช่นกัน

หลักการสำคัญในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันคือการแทนที่ด้วยความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายกว่า แต่สิ่งสำคัญคือมันเทียบเท่ากับค่าที่กำหนด นอกจากนี้เรายังได้รับความไม่เท่าเทียมกันและแทนที่ด้วยอันที่มีรูปแบบที่เรียบง่ายกว่าอีกครั้ง ฯลฯ

เมื่อแก้อสมการด้วยตัวแปร คุณต้องหาคำตอบทั้งหมดของตัวแปรนั้น หากอสมการสองตัวมีตัวแปร x เท่ากัน แสดงว่าอสมการนั้นเท่ากัน โดยมีเงื่อนไขว่าผลเฉลยตรงกัน

เมื่อดำเนินการแก้ไขอสมการลอการิทึม คุณต้องจำไว้ว่าเมื่อ a > 1 ฟังก์ชันลอการิทึมจะเพิ่มขึ้น และเมื่อ 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

วิธีการแก้อสมการลอการิทึม

ตอนนี้เรามาดูวิธีการบางอย่างที่เกิดขึ้นเมื่อแก้อสมการลอการิทึม เพื่อความเข้าใจและการดูดซึมที่ดีขึ้น เราจะพยายามทำความเข้าใจโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

เราทุกคนรู้ดีว่าอสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

ในความไม่เท่าเทียมกันนี้ V – เป็นหนึ่งในสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้:<,>, ≤ หรือ ≥

เมื่อฐานของลอการิทึมที่กำหนดมากกว่าหนึ่ง (a>1) ทำให้การเปลี่ยนจากลอการิทึมเป็นนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม ดังนั้นในเวอร์ชันนี้ เครื่องหมายอสมการจะคงอยู่ และอสมการจะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

ซึ่งเทียบเท่ากับระบบนี้:

ในกรณีที่ฐานของลอการิทึมมากกว่าศูนย์และน้อยกว่าหนึ่ง (0

นี่เทียบเท่ากับระบบนี้:

ลองดูตัวอย่างเพิ่มเติมของการแก้อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดตามที่แสดงในภาพด้านล่าง:

ตัวอย่างการแก้

ออกกำลังกาย.ลองแก้อสมการนี้:

การแก้ช่วงของค่าที่ยอมรับได้

ทีนี้ลองคูณด้านขวาด้วย:

มาดูกันว่าเราจะได้อะไรมาบ้าง:

ทีนี้ มาดูการแปลงนิพจน์ย่อยลอการิทึมกันดีกว่า เนื่องจากฐานของลอการิทึมเป็น 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

และจากนี้จึงเป็นไปตามว่าช่วงเวลาที่เราได้รับเป็นของ ODZ ทั้งหมดและเป็นวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว

นี่คือคำตอบที่เราได้รับ:

สิ่งที่จำเป็นในการแก้ไขอสมการลอการิทึม?

ทีนี้ลองวิเคราะห์สิ่งที่เราต้องแก้อสมการลอการิทึมให้สำเร็จ?

ขั้นแรก ให้มุ่งความสนใจทั้งหมดของคุณและพยายามอย่าทำผิดพลาดเมื่อทำการเปลี่ยนแปลงที่ได้รับจากความไม่เท่าเทียมกันนี้ นอกจากนี้ควรจำไว้ว่าเมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมดังกล่าวมีความจำเป็นต้องหลีกเลี่ยงการขยายและการหดตัวของความไม่เท่าเทียมกันซึ่งอาจนำไปสู่การสูญเสียหรือได้มาซึ่งวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เกี่ยวข้อง

ประการที่สอง เมื่อแก้ไขอสมการลอการิทึม คุณต้องเรียนรู้ที่จะคิดอย่างมีเหตุผลและเข้าใจความแตกต่างระหว่างแนวคิดต่างๆ เช่น ระบบความไม่เท่าเทียมกันและชุดของอสมการ เพื่อให้คุณสามารถเลือกวิธีแก้ปัญหาสำหรับอสมการได้อย่างง่ายดาย ในขณะที่ได้รับคำแนะนำจาก DL

ประการที่สาม เพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมดังกล่าวได้สำเร็จ คุณแต่ละคนจะต้องรู้คุณสมบัติทั้งหมดอย่างถ่องแท้ ฟังก์ชั่นเบื้องต้นและเข้าใจความหมายได้ชัดเจน ฟังก์ชันดังกล่าวไม่เพียงแต่รวมถึงลอการิทึมเท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงเหตุผล กำลัง ตรีโกณมิติ ฯลฯ ทั้งหมดนี้เป็นเพียงคำเดียวที่คุณได้ศึกษามาตลอด การเรียนพีชคณิต.

อย่างที่คุณเห็นเมื่อศึกษาหัวข้อความไม่เท่าเทียมกันของลอการิทึมแล้วไม่มีอะไรยากในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้โดยมีเงื่อนไขว่าคุณต้องระมัดระวังและพากเพียรในการบรรลุเป้าหมาย เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันคุณต้องฝึกฝนให้มากที่สุดเพื่อแก้ไข งานต่างๆและในขณะเดียวกันก็จำวิธีการพื้นฐานในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันและระบบของพวกเขา หากคุณล้มเหลวในการแก้ไขอสมการลอการิทึม คุณควรวิเคราะห์ข้อผิดพลาดอย่างรอบคอบเพื่อไม่ให้กลับมาแก้ไขอีกในอนาคต

การบ้าน

เพื่อให้เข้าใจหัวข้อได้ดีขึ้นและรวมเนื้อหาที่ครอบคลุม ให้แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้:

โดยมีลอการิทึมอยู่ภายใน

ตัวอย่าง:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

วิธีแก้อสมการลอการิทึม:

เราควรพยายามลดอสมการลอการิทึมให้อยู่ในรูปแบบ \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (สัญลักษณ์ \(˅\) หมายถึงค่าใดๆ ของ ) ประเภทนี้ช่วยให้คุณกำจัดลอการิทึมและฐานของพวกมัน ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันของนิพจน์ภายใต้ลอการิทึม ซึ่งก็คือ เป็นรูปแบบ \(f(x) ˅ g(x)\)

แต่เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงนี้ มีรายละเอียดปลีกย่อยที่สำคัญอย่างหนึ่ง:
\(-\) ถ้าเป็นตัวเลขและมากกว่า 1 เครื่องหมายอสมการจะยังคงเหมือนเดิมระหว่างการเปลี่ยนผ่าน
\(-\) ถ้าฐานเป็นตัวเลขที่มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 (อยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง) เครื่องหมายอสมการควรเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม กล่าวคือ

ตัวอย่าง:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(x<8\) สารละลาย: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) คำตอบ: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ 1))\) ODZ: \(\begin(กรณี)2x-4>0\\x+1 > 0\end(กรณี)\) \(\begin(กรณี)2x>4\\x > -1\end(กรณี)\) \(\ลูกศรซ้าย\) \(\begin(กรณี)x>2\\x > -1\end(กรณี) \) \(\ลูกศรซ้าย\) \(x\in(2;\infty)\) สารละลาย: \(2x-4\)\(≤\) \(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) คำตอบ: \((2;5]\)

สำคัญมาก!ในความไม่เท่าเทียมกันใดๆ การเปลี่ยนจากรูปแบบ \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) ไปเป็นการเปรียบเทียบนิพจน์ภายใต้ลอการิทึมสามารถทำได้ก็ต่อเมื่อ:

ตัวอย่าง - แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: \(\log\)\(≤-1\)

สารละลาย:

\(\บันทึก\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	มาเขียน ODZ กัน
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	เราเปิดวงเล็บแล้วนำมา .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	เราคูณอสมการด้วย \(-1\) โดยไม่ลืมกลับเครื่องหมายการเปรียบเทียบ
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	มาสร้างเส้นจำนวนและทำเครื่องหมายจุด \(\frac(7)(3)\) และ \(\frac(3)(2)\) บนเส้นนั้น โปรดทราบว่าจุดจะถูกลบออกจากตัวส่วน แม้ว่าอสมการจะไม่เข้มงวดก็ตาม ความจริงก็คือประเด็นนี้ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา เนื่องจากเมื่อแทนค่าอสมการแล้ว จะนำเราไปสู่การหารด้วยศูนย์
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	ตอนนี้เราพล็อต ODZ บนแกนตัวเลขเดียวกันและเขียนลงเพื่อตอบสนองต่อช่วงเวลาที่ตกอยู่ใน ODZ
	เราเขียนคำตอบสุดท้าย

คำตอบ: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

ตัวอย่าง - แก้อสมการ: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

สารละลาย:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	มาเขียน ODZ กัน
ODZ: \(x>0\)	มาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า
วิธีแก้ไข: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	ตรงนี้เรามีอสมการกำลังสองลอการิทึมทั่วไป มาทำกัน.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	เราขยายด้านซ้ายของอสมการเป็น
\(ง=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	ตอนนี้เราต้องกลับไปสู่ตัวแปรเดิม - x เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ไปที่ ซึ่งมีวิธีแก้ปัญหาเหมือนกัน และทำการทดแทนแบบย้อนกลับ
\(\left[ \begin(รวบรวม) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	แปลง \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\)
\(\left[ \begin(รวบรวม) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	มาดูการเปรียบเทียบข้อโต้แย้งกันดีกว่า ฐานของลอการิทึมมีค่ามากกว่า \(1\) ดังนั้นเครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกันจึงไม่เปลี่ยนแปลง
\(\left[ \begin(รวบรวม) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	ให้เรารวมวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันและ ODZ ไว้ในรูปเดียว
	มาเขียนคำตอบกัน

คำตอบ: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

อสมการลอการิทึมในการใช้งาน

เซชิน มิคาอิล อเล็กซานโดรวิช

สถาบันวิทยาศาสตร์ขนาดเล็กสำหรับนักศึกษาสาธารณรัฐคาซัคสถาน “อิสคาเทล”

MBOU "โรงเรียนมัธยม Sovetskaya หมายเลข 1" ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 เมือง เขตโซเวตสกี้ เขตโซเวตสกี้

Gunko Lyudmila Dmitrievna ครูของสถาบันการศึกษางบประมาณเทศบาล "โรงเรียนมัธยม Sovetskaya หมายเลข 1"

เขตโซเวตสกี้

เป้าหมายของงาน:ศึกษากลไกการแก้อสมการลอการิทึม C3 โดยใช้วิธีที่ไม่ได้มาตรฐาน ระบุข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับลอการิทึม

หัวข้อการศึกษา:

3) เรียนรู้การแก้อสมการลอการิทึมเฉพาะ C3 โดยใช้วิธีที่ไม่ได้มาตรฐาน

ผลลัพธ์:

เนื้อหา

บทนำ…………………………………………………………………….4

บทที่ 1 ประวัติความเป็นมาของปัญหา…………………………………………...5

บทที่ 2 การรวบรวมอสมการลอการิทึม ………………… 7

2.1. การเปลี่ยนผ่านที่เท่ากันและวิธีการทั่วไปของช่วงเวลา…… 7

2.2. วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง…………………………………………………………… 15

2.3. การทดแทนที่ไม่ได้มาตรฐาน………………........................................ ............ ..... 22

2.4. งานที่มีกับดัก……………………………………………27

สรุป…………………………………………………………………… 30

วรรณกรรม……………………………………………………………………. 31

การแนะนำ

ฉันอยู่เกรด 11 และวางแผนที่จะเข้ามหาวิทยาลัยที่วิชาหลักคือคณิตศาสตร์ นั่นเป็นเหตุผลที่ฉันทำงานมากกับปัญหาในส่วน C ในงาน C3 ฉันจำเป็นต้องแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ได้มาตรฐานหรือระบบความไม่เท่าเทียมกัน ซึ่งมักจะเกี่ยวข้องกับลอการิทึม เมื่อเตรียมตัวสอบฉันประสบปัญหาการขาดแคลนวิธีการและเทคนิคในการแก้ไขอสมการลอการิทึมของการสอบที่นำเสนอใน C3 วิธีการที่ศึกษาในหลักสูตรของโรงเรียนในหัวข้อนี้ไม่ได้ให้พื้นฐานสำหรับการแก้ไขงาน C3 ครูคณิตศาสตร์แนะนำให้ฉันทำงานมอบหมาย C3 อย่างอิสระภายใต้คำแนะนำของเธอ นอกจากนี้ ฉันยังสนใจคำถามที่ว่า ชีวิตเราเจอลอการิทึมหรือไม่?

ด้วยเหตุนี้จึงเลือกหัวข้อ:

“อสมการลอการิทึมในการสอบ Unified State”

เป้าหมายของงาน:ศึกษากลไกในการแก้ปัญหา C3 โดยใช้วิธีที่ไม่ได้มาตรฐาน ระบุข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับลอการิทึม

หัวข้อการศึกษา:

1) ค้นหาข้อมูลที่จำเป็นเกี่ยวกับวิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานในการแก้ไขอสมการลอการิทึม

2) ค้นหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับลอการิทึม

3) เรียนรู้การแก้ปัญหา C3 เฉพาะโดยใช้วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐาน

ผลลัพธ์:

ความสำคัญในทางปฏิบัติอยู่ที่การขยายอุปกรณ์สำหรับการแก้ปัญหา C3 สื่อนี้สามารถใช้ได้กับบางบทเรียน สำหรับชมรม และวิชาเลือกในวิชาคณิตศาสตร์

ผลิตภัณฑ์ของโครงการจะเป็นคอลเลกชัน “C3 Logarithmic Inequalities with Solutions”

บทที่ 1 ความเป็นมา

ตลอดศตวรรษที่ 16 จำนวนการคำนวณโดยประมาณเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว โดยหลักๆ ในทางดาราศาสตร์ การปรับปรุงเครื่องมือ ศึกษาการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ และงานอื่นๆ ต้องใช้การคำนวณจำนวนมหาศาล ซึ่งบางครั้งต้องใช้เวลาหลายปี ดาราศาสตร์ตกอยู่ในอันตรายอย่างแท้จริงจากการจมน้ำในการคำนวณที่ไม่บรรลุผล ความยากลำบากเกิดขึ้นในด้านอื่น ๆ เช่น ในธุรกิจประกันภัย จำเป็นต้องมีตารางดอกเบี้ยทบต้นสำหรับอัตราดอกเบี้ยต่างๆ ปัญหาหลักคือการคูณและการหารตัวเลขหลายหลัก โดยเฉพาะปริมาณตรีโกณมิติ

การค้นพบลอการิทึมขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของความก้าวหน้าซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีในช่วงปลายศตวรรษที่ 16 อาร์คิมิดีสพูดถึงความเชื่อมโยงระหว่างเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต q, q2, q3, ... กับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของเลขชี้กำลัง 1, 2, 3,... ในบทสดุดี ข้อกำหนดเบื้องต้นอีกประการหนึ่งคือการขยายแนวคิดเรื่องดีกรีเป็นลบและเลขชี้กำลังเศษส่วน ผู้เขียนหลายคนได้ชี้ให้เห็นว่าการคูณ การหาร การยกกำลัง และการแยกรากในความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นสอดคล้องกันในเลขคณิต - ในลำดับเดียวกัน - การบวก การลบ การคูณ และการหาร

นี่คือแนวคิดของลอการิทึมที่เป็นเลขชี้กำลัง

ในประวัติศาสตร์ของการพัฒนาหลักคำสอนลอการิทึมหลายขั้นตอนผ่านไปแล้ว

ขั้นที่ 1

ลอการิทึมถูกประดิษฐ์ขึ้นภายในปี 1594 โดยอิสระโดยบารอนเนเปียร์ชาวสก็อต (1550-1617) และอีก 10 ปีต่อมาโดยช่างเครื่องชาวสวิส Bürgi (1552-1632) ทั้งสองต้องการเสนอวิธีการคำนวณทางคณิตศาสตร์แบบใหม่ที่สะดวก แม้ว่าพวกเขาจะแก้ไขปัญหานี้ด้วยวิธีที่ต่างกันก็ตาม เนเพียร์แสดงฟังก์ชันลอการิทึมทางจลน์ศาสตร์และเข้าสู่ทฤษฎีฟังก์ชันสาขาใหม่ Bürgiยังคงอยู่บนพื้นฐานของการพิจารณาความก้าวหน้าที่ไม่ต่อเนื่อง อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความของลอการิทึมสำหรับทั้งสองนั้นไม่เหมือนกับค่าลอการิทึมสมัยใหม่ คำว่า "ลอการิทึม" (ลอการิทึม) เป็นของเนเปียร์ มันเกิดขึ้นจากการรวมกันของคำภาษากรีก: โลโก้ - "ความสัมพันธ์" และ ariqmo - "หมายเลข" ซึ่งหมายถึง "จำนวนความสัมพันธ์" ในขั้นต้น Napier ใช้คำอื่น: numeri Artificiales - "ตัวเลขเทียม" ซึ่งตรงข้ามกับ numeri naturalt - "ตัวเลขธรรมชาติ"

ในปี ค.ศ. 1615 ในการสนทนากับเฮนรี บริกส์ (ค.ศ. 1561-1631) ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ที่วิทยาลัยเกรชในลอนดอน เนเปียร์เสนอให้นำศูนย์เป็นลอการิทึมของ 1 และ 100 เป็นลอการิทึมของ 10 หรือจำนวนเท่าใดที่เท่ากัน เพียง 1 นี่คือวิธีการพิมพ์ลอการิทึมทศนิยมและตารางลอการิทึมแรก ต่อมา โต๊ะของบริกส์ได้รับการเสริมโดยผู้ขายหนังสือชาวดัตช์และผู้ชื่นชอบคณิตศาสตร์ Adrian Flaccus (1600-1667) แม้ว่าเนเปียร์และบริกส์จะรู้จักลอการิทึมเร็วกว่าคนอื่นๆ แต่ก็เผยแพร่ตารางของพวกเขาช้ากว่าคนอื่นๆ ในปี 1620 บันทึกสัญญาณและบันทึกถูกนำมาใช้ในปี 1624 โดย I. Kepler คำว่า “ลอการิทึมธรรมชาติ” ถูกนำมาใช้โดย Mengoli ในปี 1659 และตามด้วย N. Mercator ในปี 1668 และ John Speidel อาจารย์ชาวลอนดอนได้ตีพิมพ์ตารางลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 1,000 ภายใต้ชื่อ “New Logarithms”

ตารางลอการิทึมชุดแรกได้รับการตีพิมพ์เป็นภาษารัสเซียในปี 1703 แต่ในตารางลอการิทึมทั้งหมดมีข้อผิดพลาดในการคำนวณ ตารางไร้ข้อผิดพลาดชุดแรกได้รับการตีพิมพ์ในปี 1857 ในกรุงเบอร์ลิน ประมวลผลโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน K. Bremiker (1804-1877)

ขั้นที่ 2

การพัฒนาทฤษฎีลอการิทึมเพิ่มเติมนั้นสัมพันธ์กับการประยุกต์ใช้เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์และแคลคูลัสขนาดเล็กในวงกว้าง เมื่อถึงเวลานั้น การเชื่อมโยงระหว่างการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของไฮเปอร์โบลาด้านเท่ากับลอการิทึมธรรมชาติได้ถูกสร้างขึ้นแล้ว ทฤษฎีลอการิทึมในช่วงเวลานี้มีความเกี่ยวข้องกับชื่อของนักคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่ง

นักคณิตศาสตร์ นักดาราศาสตร์ และวิศวกรชาวเยอรมัน Nikolaus Mercator ในเรียงความ

"Logarithmotechnics" (1668) เป็นอนุกรมที่ให้การขยายตัวของ ln(x+1) ใน

พลังของ x:

สำนวนนี้สอดคล้องกับแนวความคิดของเขาทุกประการแม้ว่าแน่นอนว่าเขาจะไม่ได้ใช้เครื่องหมาย d, ... แต่เป็นสัญลักษณ์ที่ยุ่งยากกว่า ด้วยการค้นพบอนุกรมลอการิทึม เทคนิคในการคำนวณลอการิทึมเปลี่ยนไป: เริ่มถูกกำหนดโดยใช้อนุกรมอนันต์ ในการบรรยายของเขาเรื่อง “คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาจากมุมมองที่สูงขึ้น” ซึ่งให้ไว้ในปี 1907-1908 เอฟ. ไคลน์เสนอให้ใช้สูตรนี้เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการสร้างทฤษฎีลอการิทึม

ด่าน 3

นิยามของฟังก์ชันลอการิทึมที่เป็นฟังก์ชันผกผัน

เอ็กซ์โปเนนเชียล ลอการิทึมเป็นเลขชี้กำลังของฐานที่กำหนด

ไม่ได้กำหนดขึ้นทันที เรียงความโดย Leonhard Euler (1707-1783)

"An Introduction to the Analysis of Infinitesimals" (1748) ทำหน้าที่เพิ่มเติม

การพัฒนาทฤษฎีฟังก์ชันลอการิทึม ดังนั้น,

134 ปีผ่านไปนับตั้งแต่มีการนำลอการิทึมมาใช้เป็นครั้งแรก

(นับตั้งแต่ปี ค.ศ. 1614) ก่อนที่นักคณิตศาสตร์จะมานิยาม

แนวคิดเรื่องลอการิทึมซึ่งปัจจุบันเป็นพื้นฐานของหลักสูตรของโรงเรียน

บทที่ 2 การรวบรวมอสมการลอการิทึม

2.1. การเปลี่ยนผ่านที่เท่ากันและวิธีการทั่วไปของช่วงเวลา

การเปลี่ยนผ่านที่เท่าเทียมกัน

, ถ้า a > 1

ถ้า 0 < а < 1

วิธีช่วงเวลาทั่วไป

วิธีการนี้เป็นสากลมากที่สุดเมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันในเกือบทุกประเภท แผนภาพโซลูชันมีลักษณะดังนี้:

1. นำความไม่เท่าเทียมกันมาสู่รูปแบบที่มีฟังก์ชันทางด้านซ้ายอยู่
และทางด้านขวา 0

2. ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน
.

3. ค้นหาศูนย์ของฟังก์ชัน
นั่นคือแก้สมการ
(และการแก้สมการมักจะง่ายกว่าการแก้อสมการ)

4. วาดโดเมนของคำจำกัดความและศูนย์ของฟังก์ชันบนเส้นจำนวน

5. กำหนดสัญญาณของฟังก์ชัน
ตามระยะเวลาที่ได้รับ

6. เลือกช่วงเวลาที่ฟังก์ชันรับค่าที่ต้องการและจดคำตอบ

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย:

ลองใช้วิธีช่วงเวลากัน

ที่ไหน

สำหรับค่าเหล่านี้ นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมจะเป็นค่าบวก

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2

สารละลาย:

ที่ 1 ทาง . ADL ถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน x> 3. การหาลอการิทึมเพื่อสิ่งนั้น xในฐาน 10 เราได้

ความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายสามารถแก้ไขได้โดยใช้กฎการขยาย เช่น เปรียบเทียบปัจจัยกับศูนย์ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ เป็นเรื่องง่ายที่จะกำหนดช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน

ดังนั้นจึงสามารถใช้วิธีช่วงเวลาได้

การทำงาน ฉ(x) = 2x(x- 3.5)ล้วง x- 3Ā มีความต่อเนื่องที่ x> 3 และหายไปตามจุด x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4 ดังนั้นเราจึงกำหนดช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน ฉ(x):

คำตอบ:

วิธีที่ 2 . ขอให้เราใช้แนวคิดของวิธีช่วงเวลากับอสมการดั้งเดิมโดยตรง

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ให้จำไว้ว่าสำนวน กข- กค และ ( ก - 1)(ข- 1) มีป้ายเดียว แล้วความไม่เท่าเทียมกันของเราที่ x> 3 เท่ากับอสมการ

หรือ

อสมการสุดท้ายได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีช่วงเวลา

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 3

สารละลาย:

ลองใช้วิธีช่วงเวลากัน

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4

สารละลาย:

ตั้งแต่ 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 สำหรับของจริงทั้งหมด x, ที่

เพื่อแก้อสมการที่สอง เราใช้วิธีช่วงเวลา

ในความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรก เราจะทำการทดแทน

แล้วเราก็มาถึงความไม่เท่าเทียมกัน 2y 2 - ย - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те ยซึ่งเป็นไปตามค่าอสมการ -0.5< ย < 1.

จากที่ไหนตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

เราได้รับความไม่เท่าเทียมกัน

ซึ่งจะดำเนินการเมื่อใด xซึ่ง 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

ตอนนี้เมื่อคำนึงถึงวิธีแก้ปัญหาอสมการที่สองของระบบแล้ว ในที่สุดเราก็ได้มันมา

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 5

สารละลาย:

ความไม่เท่าเทียมกันเทียบเท่ากับการสะสมของระบบ

หรือ

ลองใช้วิธีช่วงเวลาหรือ

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 6

สารละลาย:

ความไม่เท่าเทียมกันเท่ากับระบบ

อนุญาต

แล้ว ย > 0,

และความไม่เท่าเทียมกันประการแรก

ระบบใช้แบบฟอร์ม

หรือแฉ

ตรีโกณมิติกำลังสองตามปัจจัย

การใช้วิธีการช่วงเวลากับอสมการสุดท้าย

เราเห็นว่าคำตอบของมันเป็นไปตามเงื่อนไข ย> 0 จะเป็นทั้งหมด ย > 4.

ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมจึงเทียบเท่ากับระบบ:

ดังนั้นทางแก้ของความไม่เท่าเทียมกันจึงมีทั้งหมด

2.2. วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง

วิธีการก่อนหน้านี้การหาเหตุผลเข้าข้างตนเองของความไม่เท่าเทียมกันไม่ได้รับการแก้ไข แต่ก็ไม่ทราบ นี่คือ "สมัยใหม่" วิธีการที่มีประสิทธิภาพคำตอบสำหรับอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม" (อ้างอิงจากหนังสือของ S.I. Kolesnikova)
แม้ว่าครูจะรู้จักเขา แต่ก็ยังมีความกลัว - ผู้เชี่ยวชาญการสอบ Unified State รู้จักเขาหรือไม่ แล้วทำไมพวกเขาถึงไม่ให้เขาที่โรงเรียน? มีบางสถานการณ์ที่ครูพูดกับนักเรียน:“ คุณไปเอามาจากไหน? นั่งลง - 2”
ขณะนี้วิธีการนี้กำลังได้รับการส่งเสริมไปทุกที่ และสำหรับผู้เชี่ยวชาญ มีแนวทางที่เกี่ยวข้องกับวิธีนี้ และใน "ตัวเลือกมาตรฐานรุ่นที่สมบูรณ์ที่สุด..." ในโซลูชัน C3 ก็ใช้วิธีนี้
วิธีการที่ยอดเยี่ยม!

"โต๊ะวิเศษ"

ในแหล่งอื่นๆ

ถ้า a >1 และ b >1 จากนั้นบันทึก a b >0 และ (a -1)(b -1)>0;

ถ้า ก >1 และ 0

ถ้า 0<ก<1 и b >1 จากนั้นให้บันทึก a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

ถ้า 0<ก<1 и 00 และ (a -1)(b -1)>0

การให้เหตุผลที่ดำเนินการนั้นง่าย แต่ช่วยลดความยุ่งยากในการแก้อสมการลอการิทึมได้อย่างมาก

ตัวอย่างที่ 4

บันทึก x (x 2 -3)<0

สารละลาย:

ตัวอย่างที่ 5

บันทึก 2 x (2x 2 -4x +6)≤บันทึก 2 x (x 2 +x )

สารละลาย:

คำตอบ- (0; 0.5)อ.

ตัวอย่างที่ 6

เพื่อแก้อสมการนี้ แทนที่จะเขียนตัวส่วน เราเขียน (x-1-1)(x-1) และเขียนผลคูณ (x-1)(x-3-9 + x) แทนตัวเศษ

คำตอบ : (3;6)

ตัวอย่างที่ 7

ตัวอย่างที่ 8

2.3. การทดแทนที่ไม่ได้มาตรฐาน

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างที่ 3

ตัวอย่างที่ 4

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

ตัวอย่างที่ 7

บันทึก 4 (3 x -1)บันทึก 0.25

มาแทนที่ y=3 x -1; แล้วความไม่เท่าเทียมกันนี้ก็จะเกิดขึ้น

บันทึก 4 บันทึก 0.25
.

เพราะ บันทึก 0.25 = -บันทึก 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y จากนั้นเราจะเขียนอสมการสุดท้ายใหม่เป็น 2log 4 y -log 4 2 y ≤

ให้เราทำการแทนที่ t =log 4 y และรับความไม่เท่าเทียมกัน t 2 -2t +≥0 ซึ่งวิธีแก้ปัญหาคือช่วงเวลา - .

ดังนั้นเพื่อค้นหาค่าของ y เรามีชุดของอสมการง่ายๆ สองชุด
คำตอบของเซตนี้คือช่วง 0<у≤2 и 8≤у<+.

ดังนั้น อสมการดั้งเดิมจึงเทียบเท่ากับเซตของอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลสองตัว
นั่นคือมวลรวม

วิธีแก้ของอสมการแรกของเซตนี้คือช่วง 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+- ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมจึงเป็นไปตามค่า x ทั้งหมดจากช่วง 0<х≤1 и 2≤х<+.

ตัวอย่างที่ 8

สารละลาย:

ความไม่เท่าเทียมกันเท่ากับระบบ

วิธีแก้อสมการที่สองที่กำหนด ODZ จะเป็นเซตของอสมการเหล่านั้น x,

ซึ่ง x > 0.

เพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันประการแรก เราจึงทำการทดแทน

แล้วเราจะได้ความไม่เท่าเทียมกัน

หรือ

ชุดของการแก้ปัญหาสำหรับอสมการสุดท้ายพบได้โดยวิธีการ

ช่วงเวลา: -1< ที < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, เราได้รับ

หรือ

มากมายเหล่านั้น xซึ่งสนองความไม่เท่าเทียมกันครั้งสุดท้าย

เป็นของ ODZ ( x> 0) จึงเป็นคำตอบของระบบ

และด้วยเหตุนี้ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม

คำตอบ:

2.4. งานที่มีกับดัก

ตัวอย่างที่ 1

.

สารละลาย. ODZ ของอสมการคือ x เป็นไปตามเงื่อนไข 0 ทั้งหมด - ดังนั้น x ทั้งหมดมาจากช่วง 0

ตัวอย่างที่ 2

บันทึก 2 (2 x +1-x 2)>บันทึก 2 (2 x-1 +1-x)+1- - ประเด็นก็คือตัวเลขตัวที่สองมากกว่าอย่างเห็นได้ชัด

บทสรุป

ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะหาวิธีเฉพาะในการแก้ปัญหา C3 จากแหล่งการศึกษาต่างๆ มากมาย ในระหว่างงานที่ทำเสร็จ ฉันสามารถศึกษาวิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานในการแก้ปัญหาอสมการลอการิทึมที่ซับซ้อนได้ สิ่งเหล่านี้คือ: การเปลี่ยนผ่านที่เท่ากันและวิธีการทั่วไปของช่วงเวลา วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง , การทดแทนที่ไม่ได้มาตรฐาน , งานที่มีกับดักบน ODZ วิธีการเหล่านี้ไม่รวมอยู่ในหลักสูตรของโรงเรียน

ฉันแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน 27 ข้อที่เสนอในการสอบ Unified State ในส่วน C โดยใช้วิธีต่างๆ ได้แก่ C3 ความไม่เท่าเทียมกันกับวิธีแก้ปัญหาโดยวิธีต่างๆ เหล่านี้ก่อให้เกิดพื้นฐานของคอลเลกชัน “ความไม่เท่าเทียมกันลอการิทึม C3 กับโซลูชัน” ซึ่งกลายมาเป็นผลงานโครงการของกิจกรรมของฉัน สมมติฐานที่ฉันตั้งไว้ในตอนต้นของโครงการได้รับการยืนยันแล้ว: ปัญหา C3 สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพหากคุณทราบวิธีการเหล่านี้

นอกจากนี้ ฉันยังค้นพบข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับลอการิทึมอีกด้วย มันน่าสนใจสำหรับฉันที่จะทำเช่นนี้ ผลงานโครงการของฉันจะมีประโยชน์สำหรับทั้งนักเรียนและครู

ข้อสรุป:

ดังนั้นโครงการจึงบรรลุเป้าหมายและปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว และฉันได้รับประสบการณ์กิจกรรมโครงการที่สมบูรณ์และหลากหลายที่สุดในทุกขั้นตอนของการทำงาน ในขณะที่ทำงานในโครงการนี้ ผลกระทบจากการพัฒนาหลักของฉันคือความสามารถทางจิต กิจกรรมที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทางจิตเชิงตรรกะ การพัฒนาความสามารถเชิงสร้างสรรค์ ความคิดริเริ่มส่วนบุคคล ความรับผิดชอบ ความอุตสาหะ และกิจกรรม

รับประกันความสำเร็จเมื่อสร้างโครงการวิจัยเพื่อ ฉันได้รับ: ประสบการณ์ที่สำคัญในโรงเรียน ความสามารถในการรับข้อมูลจากแหล่งต่างๆ ตรวจสอบความน่าเชื่อถือ และจัดอันดับตามความสำคัญ

นอกเหนือจากความรู้โดยตรงในวิชาคณิตศาสตร์แล้ว ฉันยังขยายทักษะภาคปฏิบัติในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ได้รับความรู้และประสบการณ์ใหม่ในด้านจิตวิทยา สร้างการติดต่อกับเพื่อนร่วมชั้น และเรียนรู้ที่จะร่วมมือกับผู้ใหญ่ ในระหว่างกิจกรรมโครงการ ได้มีการพัฒนาทักษะการศึกษาทั่วไปด้านองค์กร สติปัญญา และการสื่อสาร

วรรณกรรม

1. Koryanov A. G. , Prokofiev A. A. ระบบความไม่เท่าเทียมกันพร้อมตัวแปรเดียว (งานมาตรฐาน C3)

2. Malkova A. G. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์

3. Samarova S. S. การแก้อสมการลอการิทึม

4. คณิตศาสตร์ รวมผลงานการอบรม เรียบเรียงโดย A.L. Semenov และ I.V. ยาชเชนโก. -ม.: MTsNMO, 2552. - 72 น.-