อนุพันธ์และคุณสมบัติของมัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

เรานำเสนอตารางสรุปเพื่อความสะดวกและชัดเจนในการศึกษาหัวข้อ

คงที่ย = ค

ฟังก์ชันกำลัง y = x p

(x พี) " = พี x พี - 1

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังย = ขวาน

(ก x) " = ก x ln ก

โดยเฉพาะเมื่อก = อีเรามี y = อีเอ็กซ์

(อี x) " = อีเอ็กซ์

ฟังก์ชันลอการิทึม

(บันทึก a x) " = 1 x ln a

โดยเฉพาะเมื่อก = อีเรามี y = บันทึก x

(lnx) " = 1 x

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

(บาป x) " = cos x (cos x) " = - บาป x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 บาป 2 x

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 วินาที h 2 x

ให้เราวิเคราะห์ว่าได้สูตรของตารางที่ระบุมาอย่างไรหรืออีกนัยหนึ่งเราจะพิสูจน์ที่มาของสูตรอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันแต่ละประเภท

อนุพันธ์ของค่าคงที่

หลักฐานที่ 1

เพื่อที่จะถอนตัว สูตรนี้ให้เราพิจารณาคำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งเป็นพื้นฐาน เราใช้ x 0 = x โดยที่ xรับค่าของจำนวนจริงใดๆ หรืออีกนัยหนึ่ง xคือตัวเลขใดๆ จากโดเมนของฟังก์ชัน f (x) = C ลองเขียนขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เป็น ∆ x → 0:

ลิม ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = ลิม ∆ x → 0 C - C ∆ x = ลิม ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

โปรดทราบว่านิพจน์ 0 ∆ x อยู่ภายใต้เครื่องหมายจำกัด ไม่ใช่ค่าความไม่แน่นอน “ศูนย์หารด้วยศูนย์” เนื่องจากตัวเศษไม่มีค่าที่น้อยที่สุด แต่เป็นศูนย์อย่างแม่นยำ กล่าวอีกนัยหนึ่งการเพิ่มขึ้น ฟังก์ชั่นคงที่มีศูนย์เสมอ

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ f (x) = C เท่ากับศูนย์ตลอดทั้งโดเมนของคำจำกัดความ

ตัวอย่างที่ 1

ฟังก์ชันคงที่จะได้รับ:

ฉ 1 (x) = 3, ฉ 2 (x) = ก, ก ∈ R, ฉ 3 (x) = 4 13 7 22 , ฉ 4 (x) = 0 , ฉ 5 (x) = - 8 7

สารละลาย

ให้เราอธิบายเงื่อนไขที่กำหนด ในฟังก์ชันแรก เราเห็นอนุพันธ์ของจำนวนธรรมชาติ 3 ในตัวอย่างต่อไปนี้ คุณต้องหาอนุพันธ์ของ ก, ที่ไหน ก- จำนวนจริงใดๆ ตัวอย่างที่สามให้ค่าอนุพันธ์ของจำนวนอตรรกยะ 4 แก่เรา 13 7 22 ตัวที่สี่คืออนุพันธ์ของศูนย์ (ศูนย์คือจำนวนเต็ม) ในที่สุด ในกรณีที่ห้า เรามีอนุพันธ์ของเศษส่วนตรรกยะ - 8 7

คำตอบ:อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดจะเป็นศูนย์สำหรับจำนวนจริงใดๆ x(ครอบคลุมพื้นที่คำจำกัดความทั้งหมด)

ฉ 1 " (x) = (3) " = 0 , ฉ 2 " (x) = (ก) " = 0 , ก ∈ R , ฉ 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , ฉ 4 " (x) = 0 " = 0 , ฉ 5 " (x) = - 8 7 " = 0

อนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลัง

เรามาต่อกันที่ ฟังก์ชั่นพลังงานและสูตรของอนุพันธ์ซึ่งมีรูปแบบ: (x p) " = p x p - 1 โดยที่เลขชี้กำลัง พีคือจำนวนจริงใดๆ

หลักฐานที่ 2

นี่คือข้อพิสูจน์ของสูตรเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ: พี = 1, 2, 3, …

เราพึ่งพาคำจำกัดความของอนุพันธ์อีกครั้ง ลองเขียนขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันกำลังต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์:

(x p) " = ลิม ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = ลิม ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

เพื่อให้นิพจน์ในตัวเศษง่ายขึ้น เราใช้สูตรทวินามของนิวตัน:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + - - + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . - - + C หน้า p - 1 x (∆ x) p - 1 + C หน้า p (∆ x) p

ดังนั้น:

(x p) " = ลิม ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = ลิม ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = ลิม ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = ลิม ∆ x → 0 ( C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + .

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ

หลักฐานที่ 3

เพื่อให้เป็นพยานหลักฐานในคดีเมื่อ พี-จำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ เราใช้อนุพันธ์ลอการิทึม (ในที่นี้เราควรเข้าใจความแตกต่างจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม) เพื่อให้มีความเข้าใจที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น ขอแนะนำให้ศึกษาอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมและทำความเข้าใจเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยและอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ลองพิจารณาสองกรณี: เมื่อใด xเชิงบวกและเมื่อใด xเชิงลบ.

งั้น x > 0 จากนั้น: xp > 0 . ขอให้เราลอการิทึมความเท่าเทียมกัน y = x p ไปยังฐาน e และใช้คุณสมบัติของลอการิทึม:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

ในขั้นตอนนี้ เราได้รับฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย มานิยามอนุพันธ์ของมันกัน:

(ln y) " = (p · ln x) 1 ปี · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

ตอนนี้เราพิจารณากรณีที่เมื่อ เอ็กซ์ –จำนวนลบ

ถ้าเป็นตัวบ่งชี้ พีเป็นเลขคู่ ดังนั้นฟังก์ชันยกกำลังจึงถูกกำหนดไว้สำหรับ x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

แล้วก็ x พี< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

ถ้า พีเป็นเลขคี่ จากนั้นฟังก์ชันยกกำลังถูกกำหนดให้กับ x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) พี - 1 = พี x พี - 1

การเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุดเป็นไปได้เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าถ้า พีเป็นเลขคี่แล้ว พี - 1เป็นเลขคู่หรือศูนย์ (สำหรับ p = 1) ดังนั้นสำหรับค่าลบ xความเท่าเทียมกัน (- x) p - 1 = x p - 1 เป็นจริง

เราได้พิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสำหรับ p จริงใดๆ แล้ว

ตัวอย่างที่ 2

ฟังก์ชั่นที่กำหนด:

ฉ 1 (x) = 1 x 2 3 , ฉ 2 (x) = x 2 - 1 4 , ฉ 3 (x) = 1 x บันทึก 7 12

กำหนดอนุพันธ์ของพวกเขา

สารละลาย

เราแปลงฟังก์ชันที่กำหนดบางส่วนให้เป็นรูปแบบตาราง y = x p ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของดีกรี จากนั้นใช้สูตร:

ฉ 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ ฉ 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x บันทึก 7 12 = x - บันทึก 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - บันทึก 7 12 x - บันทึก 7 12 - 1 = - บันทึก 7 12 x - บันทึก 7 12 - บันทึก 7 7 = - บันทึก 7 12 x - บันทึก 7 84

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

หลักฐาน 4

ขอให้เราได้สูตรอนุพันธ์โดยใช้คำจำกัดความเป็นพื้นฐาน:

(a x) " = ลิม ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

เราได้รับความไม่แน่นอน หากต้องการขยาย ให้เขียนตัวแปรใหม่ z = a ∆ x - 1 (z → 0 เป็น ∆ x → 0) ในกรณีนี้ a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a สำหรับการเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุด จะใช้สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานลอการิทึมใหม่

ให้เราแทนที่ขีดจำกัดเดิม:

(a x) " = a x · ลิม ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln ลิม ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

เรามาจำวินาทีกัน ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมแล้วเราก็ได้สูตรอนุพันธ์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

ตัวอย่างที่ 3

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะได้รับ:

ฉ 1 (x) = 2 3 x , ฉ 2 (x) = 5 3 x , ฉ 3 (x) = 1 (จ) x

มีความจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของพวกเขา

สารละลาย

เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและคุณสมบัติของลอการิทึม:

ฉ 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) ฉ 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 ฉ 3 " (x) = 1 (จ) x " = 1 อี x " = 1 อี x ln 1 อี = 1 อี x ln อี - 1 = - 1 อี x

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

หลักฐานที่ 5

ให้เราพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมสำหรับค่าใดๆ กัน xในขอบเขตของคำจำกัดความและค่าที่อนุญาตของฐาน a ของลอการิทึม ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์เราได้รับ:

(บันทึก a x) " = lim ∆ x → 0 บันทึก a (x + ∆ x) - บันทึก a x ∆ x = lim ∆ x → 0 บันทึก a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x บันทึก a 1 + ∆ x x = ลิม ∆ x → 0 บันทึก a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 บันทึก a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · บันทึก a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · บันทึก lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · บันทึก a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

จากห่วงโซ่ความเท่าเทียมกันที่ระบุ เป็นที่ชัดเจนว่าการแปลงขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของลอการิทึม ความเท่าเทียมกัน lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e เป็นจริงตามขีดจำกัดที่น่าทึ่งตัวที่สอง

ตัวอย่างที่ 4

ฟังก์ชันลอการิทึมจะได้รับ:

f 1 (x) = บันทึก ln 3 x , f 2 (x) = ln x

มีความจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ของพวกเขา

สารละลาย

ลองใช้สูตรที่ได้รับ:

f 1 " (x) = (บันทึก ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; ฉ 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln อี = 1 x

ดังนั้นอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติคือ 1 หารด้วย x.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หลักฐาน 6

ลองใช้สูตรตรีโกณมิติและค่าลิมิตแรกที่ยอดเยี่ยมเพื่อหาสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติกัน

ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์เราจะได้:

(บาป x) " = ลิม ∆ x → 0 บาป (x + ∆ x) - บาป x ∆ x

สูตรสำหรับผลต่างของไซน์จะช่วยให้เราดำเนินการต่อไปนี้:

(บาป x) " = ลิม ∆ x → 0 บาป (x + ∆ x) - บาป x ∆ x = = ลิม ∆ x → 0 2 บาป x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = ลิม ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · ลิม ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 ∆ x 2

ในที่สุด เราใช้ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์อันแรก:

บาป " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชัน บาป xจะ เพราะ x.

เราจะพิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของโคไซน์ด้วย:

cos " x = ลิม ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 บาป x + ∆ x - x 2 บาป x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - ลิม ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 บาป x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - บาป x + 0 2 ลิม ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 ∆ x 2 = - บาป x

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน cos x จะเป็น – บาป x.

เราได้รับสูตรอนุพันธ์ของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ตามกฎของการสร้างความแตกต่าง:

t g " x = บาป x cos x " = บาป " x · cos x - บาป x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - บาป x · (- บาป x) cos 2 x = บาป 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · บาป x - cos x · บาป " x บาป 2 x = = - บาป x · บาป x - cos x · cos x บาป 2 x = - บาป 2 x + cos 2 x บาป 2 x = - 1 บาป 2 x

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

หัวข้ออนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันให้ข้อมูลที่ครอบคลุมเกี่ยวกับการพิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์ ดังนั้น เราจะไม่คัดลอกเนื้อหาที่นี่

อนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

หลักฐานที่ 7

เราสามารถหาสูตรอนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ได้โดยใช้กฎการหาอนุพันธ์และสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = ch x ch " x = e x + e - x 2 " = 1 2 อี x " + อี - x " = = 1 2 อี x + - อี - x = อี x - อี - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 วินาที h 2 x

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ตัดสินใจ งานทางกายภาพหรือตัวอย่างทางคณิตศาสตร์เป็นไปไม่ได้เลยหากไม่มีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความของวันนี้ให้กับหัวข้อพื้นฐานนี้ อนุพันธ์คืออะไร ความหมายทางกายภาพและเรขาคณิตคืออะไร วิธีคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน? คำถามทั้งหมดเหล่านี้สามารถรวมเป็นหนึ่งเดียว: จะเข้าใจอนุพันธ์ได้อย่างไร?

ความหมายทางเรขาคณิตและฟิสิกส์ของอนุพันธ์

ให้มีฟังก์ชัน ฉ(x) ระบุไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง (ก ข) - คะแนน x และ x0 อยู่ในช่วงนี้ เมื่อ x เปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไปด้วย การเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ - ความแตกต่างในค่าของมัน x-x0 - ความแตกต่างนี้เขียนเป็น เดลต้า x และเรียกว่าการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ การเปลี่ยนแปลงหรือการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุดสองจุด คำจำกัดความของอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์

มิฉะนั้นจะเขียนได้ดังนี้:

จุดประสงค์ของการค้นหาขีด จำกัด ดังกล่าวคืออะไร? และนี่คือสิ่งที่:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน OX และแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด

ความหมายทางกายภาพอนุพันธ์: อนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลาเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

อันที่จริงตั้งแต่สมัยเรียนทุกคนก็รู้ดีว่าความเร็วเป็นเส้นทางเฉพาะ x=ฉ(เสื้อ) และเวลา ที . ความเร็วเฉลี่ยในช่วงระยะเวลาหนึ่ง:

เพื่อค้นหาความเร็วของการเคลื่อนไหวในขณะนั้น t0 คุณต้องคำนวณขีดจำกัด:

กฎข้อที่หนึ่ง: ตั้งค่าคงที่

ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้ ยิ่งกว่านั้นจะต้องทำสิ่งนี้ เมื่อแก้ตัวอย่างทางคณิตศาสตร์ ให้ถือเป็นกฎ - หากคุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ได้ อย่าลืมทำให้ง่ายขึ้นด้วย .

ตัวอย่าง. มาคำนวณอนุพันธ์กัน:

กฎข้อที่สอง: อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลรวมของสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชัน

เราจะไม่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่จะพิจารณาตัวอย่างเชิงปฏิบัติแทน

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

กฎข้อที่สาม: อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์สองฟังก์ชันคำนวณโดยสูตร:

ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

สารละลาย:

สิ่งสำคัญคือต้องพูดถึงการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่นี่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ

ในตัวอย่างข้างต้น เราเจอนิพจน์:

ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ 8x ยกกำลังห้า ในการคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์นั้น ขั้นแรกเราจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์ตัวกลาง จากนั้นจึงคูณด้วยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางด้วยความเคารพต่อตัวแปรอิสระ

กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน

สูตรหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน:

เราพยายามพูดคุยเกี่ยวกับอนุพันธ์สำหรับหุ่นจำลองตั้งแต่เริ่มต้น หัวข้อนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิด ดังนั้นโปรดระวัง: มักจะมีข้อผิดพลาดในตัวอย่าง ดังนั้นควรระมัดระวังในการคำนวณอนุพันธ์

หากมีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่นๆ คุณสามารถติดต่อฝ่ายบริการนักศึกษาได้ ด้านหลัง ช่วงเวลาสั้น ๆเราจะช่วยคุณแก้การทดสอบที่ยากที่สุดและแก้ปัญหา แม้ว่าคุณจะไม่เคยคำนวณอนุพันธ์มาก่อนก็ตาม

การแก้ปัญหาทางกายภาพหรือตัวอย่างในคณิตศาสตร์เป็นไปไม่ได้เลยหากไม่มีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความของวันนี้ให้กับหัวข้อพื้นฐานนี้ อนุพันธ์คืออะไร ความหมายทางกายภาพและเรขาคณิตคืออะไร วิธีคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน? คำถามทั้งหมดเหล่านี้สามารถรวมเป็นหนึ่งเดียว: จะเข้าใจอนุพันธ์ได้อย่างไร?

ความหมายทางเรขาคณิตและฟิสิกส์ของอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์

มิฉะนั้นจะเขียนได้ดังนี้:

จุดประสงค์ของการค้นหาขีด จำกัด ดังกล่าวคืออะไร? และนี่คือสิ่งที่:

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์: อนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลาเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

อันที่จริงตั้งแต่สมัยเรียนทุกคนก็รู้ดีว่าความเร็วเป็นเส้นทางเฉพาะ x=ฉ(เสื้อ) และเวลา ที - ความเร็วเฉลี่ยในช่วงระยะเวลาหนึ่ง:

เพื่อค้นหาความเร็วของการเคลื่อนไหวในขณะนั้น t0 คุณต้องคำนวณขีดจำกัด:

กฎข้อที่หนึ่ง: ตั้งค่าคงที่

ตัวอย่าง. มาคำนวณอนุพันธ์กัน:

กฎข้อที่สอง: อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน

เราจะไม่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่จะพิจารณาตัวอย่างเชิงปฏิบัติแทน

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

กฎข้อที่สาม: อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์สองฟังก์ชันคำนวณโดยสูตร:

ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

สารละลาย:

ในตัวอย่างข้างต้น เราเจอนิพจน์:

กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน

สูตรหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน:

หากมีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่นๆ คุณสามารถติดต่อฝ่ายบริการนักศึกษาได้ ในระยะเวลาอันสั้น เราจะช่วยคุณแก้การทดสอบที่ยากที่สุดและเข้าใจงานต่างๆ แม้ว่าคุณจะไม่เคยคำนวณอนุพันธ์มาก่อนก็ตาม

อนุพันธ์แรก

(อนุพันธ์อันดับหนึ่ง)อัตราที่ค่าของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นเมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นที่จุดใดๆ ถ้ามีการกำหนดฟังก์ชันเองที่จุดนั้น บนกราฟ อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันแสดงความชัน ถ้า y=ฉ(x)อนุพันธ์อันดับหนึ่ง ณ จุดนั้น x0คือขีดจำกัดที่มันมีแนวโน้ม ฉ(x0+а)–f(x0)/аเช่น กมีแนวโน้มจะมีมูลค่าไม่สิ้นสุด อนุพันธ์อันดับหนึ่งสามารถแทนได้ ดี/ดีเอ็กซ์หรือ ใช่'(x)การทำงาน ใช่(x)มีค่าคงที่ ณ จุดหนึ่ง x0,ถ้า ดี/ดีเอ็กซ์ตรงจุด x0เท่ากับศูนย์ จำเป็นต้องมีอนุพันธ์อันดับหนึ่งเท่ากับศูนย์ แต่ สภาพไม่เพียงพอเพื่อให้ฟังก์ชันไปถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ณ จุดที่กำหนด

เศรษฐกิจ. พจนานุกรม- - อ.: "INFRA-M" สำนักพิมพ์ "Ves Mir" เจ. แบล็ค. ฉบับทั่วไป: เศรษฐศาสตร์ดุษฎีบัณฑิต โอสัจจายา ไอ.เอ็ม.. 2000 .

พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์. 2000 .

ดูว่า "FIRST DERIVATIVE" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

- (อนุพันธ์) อัตราที่ค่าของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นเมื่อมีการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ที่จุดใดๆ หากมีการกำหนดฟังก์ชันเอง ณ จุดนี้ บนกราฟ อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันแสดงความชัน ถ้า y=f(x) อนุพันธ์อันดับแรกที่จุด... ... พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์

คำนี้มีความหมายอื่น ดูอนุพันธ์ ภาพประกอบแนวคิดของอนุพันธ์อนุพันธ์ ... Wikipedia

อนุพันธ์เป็นแนวคิดพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ซึ่งระบุลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน กำหนดเป็นขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เนื่องจากการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ หากขีดจำกัดดังกล่าว... ... Wikipedia

ปัญหาค่าขอบเขต ชนิดพิเศษ- ประกอบด้วยการหาคำตอบในโดเมนของตัวแปรตัวแปร x=(x1,..., xn) สมการเชิงอนุพันธ์(1) ของลำดับคู่ 2m สำหรับค่าที่กำหนดของอนุพันธ์ทั้งหมดของลำดับที่ไม่สูงกว่า m บนขอบเขต S ของภูมิภาค D (หรือบางส่วน) ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

- (อนุพันธ์อันดับสอง) อนุพันธ์อันดับหนึ่งของอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน อนุพันธ์ตัวแรกวัดความชันของฟังก์ชัน อนุพันธ์อันดับสองจะวัดว่าความชันเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น อนุพันธ์อันดับสองของ y = f(x)… … พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์

บทความหรือส่วนนี้จำเป็นต้องแก้ไข โปรดปรับปรุงบทความให้สอดคล้องกับหลักเกณฑ์การเขียนบทความ เศษส่วนเกี่ยวกับ ... Wikipedia

- (อนุพันธ์ข้ามบางส่วน) ผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันจากตัวแปรสองตัวขึ้นไปต่ออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดซึ่งสัมพันธ์กับอาร์กิวเมนต์อื่น ถ้า y=f(x,z) แล้วอนุพันธ์ของมัน หรืออนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน y เทียบกับอาร์กิวเมนต์ x จะเท่ากับ... ... พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์

อะนาล็อกของความเร็วจุด- อนุพันธ์อันดับหนึ่งของการเคลื่อนที่ของจุดตามพิกัดทั่วไปของกลไก...

อะนาล็อกของความเร็วเชิงมุมของลิงค์- อนุพันธ์อันดับหนึ่งของมุมการหมุนของลิงก์เทียบกับพิกัดทั่วไปของกลไก... พจนานุกรมอธิบายคำศัพท์สารพัดช่าง

ความเร็วทั่วไปของกลไก- อนุพันธ์อันดับหนึ่งของพิกัดทั่วไปของกลไกเทียบกับเวลา... พจนานุกรมอธิบายคำศัพท์สารพัดช่าง

หนังสือ

การรวบรวมปัญหาเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และโทโพโลยี Mishchenko A.S. การรวบรวมปัญหานี้มีจุดมุ่งหมายเพื่อสะท้อนให้มากที่สุด ข้อกำหนดที่มีอยู่ไปจนถึงหลักสูตรเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และโทโพโลยี ทั้งจากโปรแกรมใหม่และจากหลักสูตรอื่น...
บทความทางวิทยาศาสตร์ของฉัน เล่มที่ 3 วิธีเมทริกซ์ความหนาแน่นในทฤษฎีควอนตัมของเลเซอร์ซึ่งเป็นอะตอมตามอำเภอใจ Bondarev Boris Vladimirovich บทวิจารณ์หนังสือเล่มนี้ตีพิมพ์ บทความวิทยาศาสตร์ซึ่งวิธีเมทริกซ์ความหนาแน่นกำหนดวิธีใหม่ ทฤษฎีควอนตัมเลเซอร์ อะตอมตามอำเภอใจ และออสซิลเลเตอร์ควอนตัมพร้อมระบบหน่วง...

จำง่ายมาก

อย่าเพิ่งไปไกล ลองพิจารณาฟังก์ชันผกผันทันที ฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลอการิทึม:

ในกรณีของเรา ฐานคือตัวเลข:

ลอการิทึมดังกล่าว (นั่นคือลอการิทึมที่มีฐาน) เรียกว่า "ธรรมชาติ" และเราใช้สัญลักษณ์พิเศษสำหรับมัน: เราเขียนแทน

มันเท่ากับอะไร? แน่นอน, .

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาตินั้นง่ายมาก:

ตัวอย่าง:

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออะไร?

คำตอบ: ลอการิทึมเลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันง่ายๆ ที่ไม่เหมือนใครจากมุมมองของอนุพันธ์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึมกับฐานอื่นจะมีอนุพันธ์ที่แตกต่างกัน ซึ่งเราจะวิเคราะห์ในภายหลังหลังจากที่เราผ่านกฎการสร้างความแตกต่างแล้ว

กฎของความแตกต่าง

กฎของอะไร? ศัพท์ใหม่อีกแล้วเหรอ?!...

ความแตกต่างเป็นกระบวนการหาอนุพันธ์

นั่นคือทั้งหมดที่ คุณสามารถเรียกกระบวนการนี้ว่าอะไรอีกในคำเดียว? ไม่ใช่อนุพันธ์... นักคณิตศาสตร์เรียกอนุพันธ์ว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่เท่ากัน คำนี้มาจากภาษาละตินว่า differentia - ความแตกต่าง ที่นี่.

เมื่อได้รับกฎเหล่านี้ทั้งหมด เราจะใช้สองฟังก์ชัน เช่น และ นอกจากนี้เรายังต้องมีสูตรสำหรับการเพิ่ม:

มีกฎทั้งหมด 5 ข้อ

ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์

ถ้า - จำนวนคงที่ (คงที่) ดังนั้น

แน่นอนว่ากฎนี้ยังใช้ได้กับความแตกต่าง:

มาพิสูจน์กัน ปล่อยให้มันเป็นไปหรือง่ายกว่านั้น

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ณ จุดหนึ่ง;
ณ จุดหนึ่ง;
ณ จุดหนึ่ง;
ตรงจุด

โซลูชั่น:

(อนุพันธ์จะเท่ากันทุกจุดเนื่องจากอันนี้ ฟังก์ชันเชิงเส้น, จดจำ?);

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

ทุกอย่างคล้ายกันที่นี่: เข้ามาเลย คุณลักษณะใหม่และหาส่วนเพิ่ม:

อนุพันธ์:

ตัวอย่าง:

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและ;
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง

โซลูชั่น:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ตอนนี้ความรู้ของคุณก็เพียงพอแล้วที่จะเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล ไม่ใช่แค่เลขยกกำลัง (คุณลืมไปแล้วหรือว่ามันคืออะไร?)

แล้วเลขไหนล่ะ..

เรารู้อนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้ว ลองลดฟังก์ชันของเราให้เป็นฐานใหม่:

ในการดำเนินการนี้ เราจะใช้กฎง่ายๆ: . แล้ว:

มันได้ผล ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ และอย่าลืมว่าฟังก์ชันนี้ซับซ้อน

เกิดขึ้น?

ที่นี่ตรวจสอบตัวเอง:

สูตรนี้ดูคล้ายกับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลังมาก เหมือนเดิม มันยังคงเหมือนเดิม มีเพียงตัวประกอบเท่านั้นที่ปรากฏ ซึ่งเป็นเพียงตัวเลข แต่ไม่ใช่ตัวแปร

ตัวอย่าง:
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

คำตอบ:

นี่เป็นเพียงตัวเลขที่ไม่สามารถคำนวณได้หากไม่มีเครื่องคิดเลขนั่นคือไม่สามารถเขียนลงไปได้อีก ในรูปแบบที่เรียบง่าย- ดังนั้นเราจึงทิ้งคำตอบไว้ในรูปแบบนี้

โปรดทราบว่านี่คือผลหารของฟังก์ชันทั้งสอง ดังนั้นเราจึงใช้กฎการหาอนุพันธ์ที่สอดคล้องกัน:

ในตัวอย่างนี้ ผลคูณของสองฟังก์ชัน:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

มันคล้ายกันตรงนี้: คุณรู้อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติแล้ว:

ดังนั้น หากต้องการค้นหาลอการิทึมตามอำเภอใจที่มีฐานต่างกัน เช่น

เราจำเป็นต้องลดลอการิทึมนี้ลงเหลือฐาน คุณจะเปลี่ยนฐานของลอการิทึมได้อย่างไร? ฉันหวังว่าคุณจะจำสูตรนี้:

ตอนนี้เราจะเขียนแทน:

ตัวส่วนเป็นเพียงค่าคงที่ (จำนวนคงที่โดยไม่มีตัวแปร) อนุพันธ์ได้มาง่ายมาก:

อนุพันธ์ของเลขชี้กำลังและ ฟังก์ชันลอการิทึมแทบไม่เคยปรากฏในการสอบ Unified State แต่การรู้จักพวกเขาก็ไม่เสียหาย

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

"ฟังก์ชันที่ซับซ้อน" คืออะไร? ไม่ นี่ไม่ใช่ลอการิทึม และไม่ใช่อาร์กแทนเจนต์ ฟังก์ชันเหล่านี้อาจเข้าใจได้ยาก (แม้ว่าคุณจะพบว่าลอการิทึมยาก ลองอ่านหัวข้อ "ลอการิทึม" แล้วคุณจะโอเค) แต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ คำว่า "ซับซ้อน" ไม่ได้หมายความว่า "ยาก"

ลองนึกภาพสายพานลำเลียงขนาดเล็ก: คนสองคนกำลังนั่งและทำอะไรบางอย่างกับวัตถุบางอย่าง ตัวอย่างเช่น อันแรกห่อแท่งช็อกโกแลตด้วยกระดาษห่อ และอันที่สองผูกด้วยริบบิ้น ผลลัพธ์ที่ได้คือวัตถุที่ประกอบขึ้นเป็นแท่งช็อกโกแลตที่พันและผูกด้วยริบบิ้น หากต้องการกินช็อกโกแลตแท่ง คุณต้องทำตามขั้นตอนย้อนกลับ

มาสร้างไปป์ไลน์ทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกันกัน: ก่อนอื่นเราจะหาโคไซน์ของตัวเลขแล้วยกกำลังสองของจำนวนผลลัพธ์ ดังนั้นเราจึงได้รับตัวเลข (ช็อคโกแลต) ฉันหาโคไซน์ของมัน (กระดาษห่อ) แล้วคุณก็ยกกำลังสองสิ่งที่ฉันได้ (ผูกมันด้วยริบบิ้น) เกิดอะไรขึ้น การทำงาน. นี่คือตัวอย่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อเราต้องการหาค่าของมัน เราจะดำเนินการแรกกับตัวแปรโดยตรง จากนั้นจึงดำเนินการที่สองกับผลลัพธ์จากฟังก์ชันแรก

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันที่ซับซ้อนคือฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชันอื่น: .

สำหรับตัวอย่างของเรา .

เราสามารถทำขั้นตอนเดียวกันในลำดับย้อนกลับได้ง่ายๆ ขั้นแรกให้คุณยกกำลังสอง จากนั้นฉันจะหาโคไซน์ของตัวเลขผลลัพธ์: เป็นเรื่องง่ายที่จะคาดเดาว่าผลลัพธ์จะแตกต่างออกไปเกือบตลอดเวลา คุณสมบัติที่สำคัญฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อลำดับของการกระทำเปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไป

ตัวอย่างที่สอง: (สิ่งเดียวกัน) -

การกระทำที่เราทำครั้งสุดท้ายจะถูกเรียกว่า ฟังก์ชั่น "ภายนอก"และการกระทำนั้นเกิดขึ้นก่อน - ตามนั้น ฟังก์ชั่น "ภายใน"(ชื่อเหล่านี้เป็นชื่อที่ไม่เป็นทางการ ฉันใช้เพื่ออธิบายเนื้อหาเป็นภาษาง่ายๆ เท่านั้น)

ลองพิจารณาด้วยตัวเองว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันใดภายใน:

คำตอบ:การแยกฟังก์ชันภายในและภายนอกจะคล้ายกันมากกับการเปลี่ยนแปลงตัวแปร ตัวอย่างเช่น ในฟังก์ชัน

เราจะดำเนินการใดก่อน? ก่อนอื่น มาคำนวณไซน์ก่อน แล้วค่อยยกกำลังสามเท่านั้น ซึ่งหมายความว่ามันเป็นฟังก์ชันภายใน แต่เป็นฟังก์ชันภายนอก
ก ฟังก์ชั่นดั้งเดิมคือองค์ประกอบของพวกเขา: .
ภายใน: ; ภายนอก: .
การตรวจสอบ: .
ภายใน: ; ภายนอก: .
การตรวจสอบ: .
ภายใน: ; ภายนอก: .
การตรวจสอบ: .
ภายใน: ; ภายนอก: .
การตรวจสอบ: .

เราเปลี่ยนตัวแปรและรับฟังก์ชัน

ทีนี้ เราจะแยกแท่งช็อกโกแลตออกมาแล้วมองหาอนุพันธ์ ขั้นตอนจะกลับกันเสมอ ขั้นแรกเรามองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก จากนั้นจึงคูณผลลัพธ์ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน สัมพันธ์กับตัวอย่างดั้งเดิม ดูเหมือนว่า:

ตัวอย่างอื่น:

ในที่สุดเรามากำหนดกฎอย่างเป็นทางการกัน:

อัลกอริทึมในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

ดูเหมือนง่ายใช่มั้ย?

ลองตรวจสอบด้วยตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

1) ภายใน: ;

ภายนอก: ;

2) ภายใน: ;

(อย่าเพิ่งพยายามตัดมันออกตอนนี้! ไม่มีอะไรออกมาจากใต้โคไซน์จำได้ไหม?)

3) ภายใน: ;

ภายนอก: ;

ชัดเจนทันทีว่านี่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนสามระดับ: ท้ายที่สุดแล้วนี่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนในตัวเองอยู่แล้วและเรายังแยกรากออกจากมันด้วยนั่นคือเราทำการกระทำที่สาม (ใส่ช็อคโกแลตลงในกระดาษห่อ และมีริบบิ้นอยู่ในกระเป๋าเอกสาร) แต่ไม่มีเหตุผลที่ต้องกลัว: เราจะยังคง "แกะ" ฟังก์ชันนี้ในลำดับเดิมเหมือนปกติ: จากจุดสิ้นสุด

นั่นคือ ขั้นแรกเราแยกความแตกต่างของราก จากนั้นจึงแยกโคไซน์ และเฉพาะนิพจน์ในวงเล็บเท่านั้น แล้วเราก็คูณมันทั้งหมด.

ในกรณีเช่นนี้ จะสะดวกในการนับจำนวนการกระทำ นั่นคือลองจินตนาการถึงสิ่งที่เรารู้ เราจะดำเนินการตามลำดับใดเพื่อคำนวณค่าของนิพจน์นี้ ลองดูตัวอย่าง:

ยิ่งดำเนินการในภายหลังฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องก็จะยิ่งมี "ภายนอก" มากขึ้นเท่านั้น ลำดับของการกระทำเหมือนกับเมื่อก่อน:

โดยทั่วไปการทำรังจะมี 4 ระดับ เรามากำหนดแนวทางการดำเนินการกัน

1. การแสดงออกที่รุนแรง -

2. รูท -

3. ไซน์. -

4. สี่เหลี่ยม. -

5. นำทั้งหมดมารวมกัน:

อนุพันธ์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน- อัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์สำหรับการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เพียงเล็กน้อย:

อนุพันธ์พื้นฐาน:

กฎของความแตกต่าง:

ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของผลรวม:

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์:

อนุพันธ์ของผลหาร:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

อัลกอริทึมในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายใน" และค้นหาอนุพันธ์ของมัน
เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายนอก" และค้นหาอนุพันธ์ของมัน
เราคูณผลลัพธ์ของจุดที่หนึ่งและที่สอง