Tareas de velocidad media (en lo sucesivo, SK). Ya hemos considerado las tareas para el movimiento rectilíneo. Recomiendo mirar los artículos "" y "". Tareas típicas a una velocidad media, se trata de un grupo de tareas para el movimiento, están incluidas en el examen de matemáticas, y es muy probable que tal tarea esté frente a usted en el momento del examen en sí. Las tareas son sencillas, se resuelven rápidamente.

El punto es este: imagine un objeto en movimiento, por ejemplo, un automóvil. Atraviesa ciertos tramos del camino a diferentes velocidades. Todo el viaje lleva una cierta cantidad de tiempo. Entonces: la velocidad promedio es una velocidad constante con la que el automóvil cubriría el camino dado durante el mismo tiempo, es decir, la fórmula para la velocidad promedio es la siguiente:

Si hubiera dos secciones del camino, entonces

Si son tres, entonces, respectivamente:

* En el denominador resumimos el tiempo, y en el numerador, las distancias recorridas en los intervalos de tiempo correspondientes.

El automóvil condujo el primer tercio de la ruta a una velocidad de 90 km / h, el segundo tercio, a una velocidad de 60 km / h, y el último, a una velocidad de 45 km / h. Encuentra el SK del vehículo en el camino. Dé su respuesta en km / h.

Como ya se mencionó, es necesario dividir todo el recorrido por el tiempo total de movimiento. La condición dice alrededor de tres secciones del camino. Fórmula:

Denotemos el conjunto sea S. Entonces el automóvil condujo el primer tercio del camino:

El coche conducía el segundo tercio del camino:

El coche conducía el último tercio del camino:

Por lo tanto


Decide por ti mismo:

El automóvil condujo el primer tercio de la ruta a una velocidad de 60 km / h, el segundo tercio, a una velocidad de 120 km / h, y el último, a una velocidad de 110 km / h. Encuentra el SK del vehículo en el camino. Dé su respuesta en km / h.

La primera hora, el automóvil condujo a una velocidad de 100 km / h, las siguientes dos horas, a una velocidad de 90 km / h, y luego dos horas, a una velocidad de 80 km / h. Encuentra el SK del vehículo en el camino. Dé su respuesta en km / h.

La condición dice alrededor de tres secciones del camino. Buscaremos SC usando la fórmula:

Las secciones de la ruta no se nos dan, pero las podemos calcular fácilmente:

El primer tramo de la ruta fue 1 ∙ 100 = 100 kilómetros.

El segundo tramo de la ruta fue de 2 ∙ 90 = 180 kilómetros.

El tercer tramo de la ruta fue de 2 ∙ 80 = 160 kilómetros.

Calculamos la velocidad:

Decide por ti mismo:

Las primeras dos horas, el automóvil condujo a una velocidad de 50 km / h, la siguiente hora, a una velocidad de 100 km / h, y luego dos horas, a una velocidad de 75 km / h. Encuentra el SK del vehículo en el camino. Dé su respuesta en km / h.

Los primeros 120 km el automóvil condujo a una velocidad de 60 km / h, los siguientes 120 km, a una velocidad de 80 km / h, y luego 150 km, a una velocidad de 100 km / h. Encuentra el SK del vehículo en el camino. Dé su respuesta en km / h.

Se dice de tres tramos del camino. Fórmula:

Se da la longitud de las secciones. Determinemos el tiempo que el automóvil pasó en cada sección: 120/60 horas en la primera sección, 120/80 horas en la segunda sección, 150/100 horas en la tercera. Calculamos la velocidad:

Decide por ti mismo:

Los primeros 190 km el automóvil condujo a una velocidad de 50 km / h, los siguientes 180 km, a una velocidad de 90 km / h, y luego 170 km, a una velocidad de 100 km / h. Encuentra el SK del vehículo en el camino. Dé su respuesta en km / h.

La mitad del tiempo que pasó en la carretera, el automóvil condujo a una velocidad de 74 km / h, y la segunda mitad del tiempo, a una velocidad de 66 km / h. Encuentra el SK del vehículo en el camino. Dé su respuesta en km / h.

* Hay un problema con un viajero que cruzó el mar. Los chicos tienen problemas con la solución. Si no lo ve, ¡regístrese en el sitio! El botón de registro (inicio de sesión) se encuentra en el MENÚ PRINCIPAL del sitio. Después de registrarse, ingrese al sitio y actualice esta página.

El viajero nadó por el mar en un yate con velocidad media 17 kilómetros por hora Voló de regreso en un avión deportivo a una velocidad de 323 km / h. Calcula la velocidad promedio del viajero en el camino. Dé su respuesta en km / h.

Atentamente, Alejandro.

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¡Muy simple! Es necesario dividir todo el camino por el tiempo que el objeto en movimiento estuvo en camino. En otras palabras, puede definir la velocidad promedio como el promedio aritmético de todas las velocidades del objeto. Pero hay algunos matices en la resolución de problemas en esta área.

Por ejemplo, para calcular la velocidad media, se da la siguiente variante del problema: el viajero caminó primero a una velocidad de 4 km por hora durante una hora. Luego, un automóvil que pasaba lo "recogió" y condujo el resto del camino en 15 minutos. Además, el coche iba a una velocidad de 60 km por hora. ¿Cómo determinar la velocidad media de viaje de un viajero?

No debes simplemente sumar 4 km y 60 y dividirlos por la mitad, ¡será una decisión equivocada! Al fin y al cabo, desconocemos los caminos recorridos a pie y en coche. Entonces, primero necesitas calcular la ruta completa.

La primera parte del camino es fácil de encontrar: 4 km por hora X 1 hora = 4 km

Hay problemas menores con la segunda parte del viaje: la velocidad se expresa en horas y el tiempo de viaje en minutos. Este matiz a menudo interfiere con la búsqueda de la respuesta correcta cuando se plantean preguntas, cómo encontrar la velocidad, la ruta o el tiempo promedio.

Expresemos 15 minutos en horas. Para hacer esto, 15 minutos: 60 minutos = 0.25 horas. Ahora calculemos qué camino hizo el viajero en el camino.

60 km / h X 0,25h = 15 km

Ahora no será difícil encontrar todo el camino recorrido por el viajero: 15 km + 4 km = 19 km.

Los tiempos de viaje también son bastante fáciles de calcular. Esto es 1 hora + 0,25 horas = 1,25 horas.

Y ahora ya está claro cómo encontrar la velocidad media: hay que dividir todo el camino por el tiempo que el viajero dedicó a superarlo. Es decir, 19 km: 1,25 horas = 15,2 km / h.

Hay tal anécdota en el tema. Un hombre con prisa le pregunta al dueño del campo: “¿Puedo ir a la estación a través de su sitio? Llego un poco tarde y me gustaría acortar mi camino yendo directamente. ¡Entonces definitivamente estaré a tiempo para el tren, que sale a las 4:45 pm! " “¡Por ​​supuesto que puedes tomar un atajo caminando por mi prado! Y si mi toro te ve allí, incluso estarás a tiempo para el tren que sale a las 4:15 pm ".

Esta situación cómica, mientras tanto, está directamente relacionada con un concepto matemático como la velocidad media de movimiento. Después de todo, un pasajero potencial está tratando de acortar su camino por la sencilla razón de que conoce la velocidad promedio de su movimiento, por ejemplo, 5 km por hora. Y un peatón, sabiendo que el desvío en una carretera asfaltada es de 7,5 km, mentalmente cálculos simples, entiende que necesitará una hora y media en este camino (7,5 km: 5 km / h = 1,5 horas).

Él, habiendo salido demasiado tarde de la casa, está limitado en el tiempo y, por tanto, decide acortar su camino.

Y aquí nos encontramos ante la primera regla que nos dicta cómo encontrar la velocidad media de movimiento: teniendo en cuenta la distancia directa entre los puntos extremos del camino, o calculando con precisión. De lo anterior, queda claro para todos: debemos realizar el cálculo, teniendo en cuenta la trayectoria del camino.

Al acortar el camino, pero sin cambiar su velocidad media, un objeto en la persona de un peatón gana tiempo. El granjero, por otro lado, asumiendo la velocidad promedio del "velocista" que huye del toro enojado, también hace cálculos simples y da su resultado.

Los automovilistas suelen utilizar la segunda regla importante para calcular la velocidad media, que se refiere al tiempo de viaje. Se trata de la cuestión de cómo encontrar la velocidad media en caso de que el objeto se detenga durante el trayecto.

En esta versión, por lo general, si no hay aclaraciones adicionales, para el cálculo se toman tiempo completo incluidas las paradas. Por tanto, el conductor del coche puede decir que su velocidad media por la mañana en vía libre es muy superior a la velocidad media en hora punta, aunque el velocímetro muestra la misma cifra en ambas versiones.

Conociendo estos números, un chofer experimentado nunca llegará tarde a ninguna parte, habiendo asumido de antemano cuál será su velocidad promedio de movimiento en la ciudad. diferente tiempo dias.

En la escuela, cada uno de nosotros se encontró con un problema similar al siguiente. Si el automóvil se movió parte del camino a una velocidad y la siguiente sección de la carretera a otra, ¿cómo calcula la velocidad promedio?

¿Cuál es este valor y por qué es necesario? Intentemos resolverlo.

La velocidad en física es una cantidad que describe la cantidad de camino recorrido por unidad de tiempo. Es decir, cuando dicen que la velocidad de un peatón es de 5 km / h, esto quiere decir que recorre una distancia de 5 km en 1 hora.

La fórmula para encontrar la velocidad se ve así:
V = S / t, donde S es la distancia recorrida, t es el tiempo.

No hay una dimensión uniforme en esta fórmula, ya que se utiliza para describir tanto procesos extremadamente lentos como muy rápidos.

Por ejemplo, Satélite artificial La Tierra supera unos 8 km en 1 segundo, y placas tectonicas, en los que se encuentran los continentes, según las mediciones de los científicos, divergen solo unos pocos milímetros por año. Por lo tanto, las dimensiones de la velocidad pueden ser diferentes: km / h, m / s, mm / s, etc.

El principio es que la distancia se divide por el tiempo que se tarda en recorrer el camino. No se olvide de la dimensión si se están realizando cálculos complejos.

Para no confundirse y no equivocarse en la respuesta, todos los valores se dan en las mismas unidades de medida. Si la longitud del camino se indica en kilómetros, y parte de ella está en centímetros, entonces, hasta que obtengamos la unidad en dimensión, no sabremos la respuesta correcta.

Velocidad constante

Descripción de la fórmula.

El caso más simple de la física es el movimiento uniforme. La velocidad es constante, no cambia durante todo el trayecto. Incluso hay constantes de velocidad tabuladas, valores invariables. Por ejemplo, el sonido viaja por el aire a una velocidad de 340,3 m / s.

Y la luz es un campeón absoluto en este sentido, tiene la velocidad más alta de nuestro Universo: 300.000 km / s. Estos valores no cambian desde el punto de inicio del movimiento hasta el final. Dependen únicamente del medio en el que se mueven (aire, vacío, agua, etc.).

El movimiento uniforme a menudo se nos ocurre en La vida cotidiana... Así funciona una cinta transportadora en una fábrica o una fábrica, un funicular en rutas de montaña, un ascensor (salvo en periodos muy cortos de arranque y parada).

La gráfica de este movimiento es muy simple y es una línea recta. 1 segundo - 1 m, 2 segundos - 2 m, 100 segundos - 100 m Todos los puntos están en una línea recta.

Velocidad desigual

Desafortunadamente, esto es extremadamente raro en la vida y en la física. Muchos procesos pasan con velocidad desigual, luego acelerando, luego desacelerando.

Imaginemos el movimiento de un autobús interurbano regular. Al comienzo del viaje, acelera, disminuye la velocidad en los semáforos o incluso se detiene por completo. Luego conduce más rápido fuera de la ciudad, pero más lento en los ascensos, y vuelve a acelerar en los descensos.

Si representa este proceso en forma de gráfico, obtendrá una línea muy intrincada. Es posible determinar la velocidad de acuerdo con el gráfico solo para un punto específico, y principio general no.

Necesitará un conjunto completo de fórmulas, cada una de las cuales es adecuada solo para su propia sección del dibujo. Pero no hay nada terrible. El valor medio se utiliza para describir el movimiento del autobús.

Puedes encontrar la velocidad promedio de movimiento usando la misma fórmula. De hecho, conocemos la distancia entre las estaciones de autobuses, medido el tiempo de viaje. Dividiendo uno por otro, encuentre el valor deseado.

¿Para qué sirve?

Tales cálculos son útiles para todos. Planificamos nuestro día y viajamos todo el tiempo. Al tener una casa de campo fuera de la ciudad, tiene sentido averiguar la velocidad promedio sobre el suelo cuando se viaja allí.

Esto facilitará la planificación de su fin de semana. Habiendo aprendido a encontrar este valor, podremos ser más puntuales, dejaremos de llegar tarde.

Volvamos al ejemplo propuesto al principio, cuando el automóvil recorría parte del camino a una velocidad y la otra a diferente velocidad. Este tipo de tarea se utiliza con mucha frecuencia en currículum escolar... Por lo tanto, cuando su hijo le pida que lo ayude con una solución a tal pregunta, será fácil para usted hacerlo.

Al sumar las longitudes de las secciones del camino, obtienes la distancia total. Dividiendo sus valores por las velocidades indicadas en los datos iniciales, es posible determinar el tiempo dedicado a cada uno de los tramos. Si los sumamos, obtenemos el tiempo invertido en todo el viaje.

Recuerde que la velocidad viene dada por un valor numérico y una dirección. La velocidad describe la velocidad a la que cambia la posición de un cuerpo, así como la dirección en la que se mueve el cuerpo. Por ejemplo, 100 m / s (sur).

  • Encuentre el desplazamiento total, es decir, la distancia y la dirección entre los puntos inicial y final del camino. Como ejemplo, considere un cuerpo que se mueve a una velocidad constante en una dirección.

    • Por ejemplo, el cohete se lanzó en dirección norte y se movió durante 5 minutos a una velocidad constante de 120 metros por minuto. Para calcular el desplazamiento total, use la fórmula s = vt: (5 minutos) (120 m / min) = 600 m (norte).
    • Si el problema tiene una aceleración constante, use la fórmula s = vt + ½at 2 (la siguiente sección describe una forma simplificada de trabajar con aceleración constante).

  • Calcula el tiempo total de viaje. En nuestro ejemplo, el cohete viaja durante 5 minutos. La velocidad media se puede expresar en cualquier unidad de medida, pero en el sistema internacional las unidades de velocidad se miden en metros por segundo (m / s). Convertir minutos a segundos: (5 minutos) x (60 segundos / minuto) = 300 segundos.

    • Incluso si en un problema científico el tiempo se da en horas u otras unidades de medida, es mejor calcular primero la velocidad y luego convertirla a m / s.

  • Calcula la velocidad media. Si conoce el valor del desplazamiento y el tiempo total de viaje, puede calcular la velocidad promedio usando la fórmula v cf = Δs / Δt. En nuestro ejemplo, la velocidad media del cohete es 600 m (norte) / (300 segundos) = 2 m / s (norte).

    • No olvide indicar la dirección de viaje (por ejemplo, "adelante" o "norte").
    • En la formula v cf = Δs / Δt el símbolo "delta" (Δ) significa "cambio de valor", es decir, Δs / Δt significa "cambio de posición para cambiar en el tiempo".
    • La velocidad media se puede escribir como v avg ov con una barra horizontal en la parte superior.

  • Solución más tareas difíciles, por ejemplo, si el cuerpo está girando o la aceleración no es constante. En estos casos, la velocidad media todavía se calcula como la relación entre el viaje total y el tiempo total. No importa lo que le ocurra al cuerpo entre los puntos inicial y final del camino. A continuación, se muestran algunos ejemplos de tareas con el mismo recorrido total y el mismo tiempo total (y, por lo tanto, la misma velocidad media).

    • Anna camina hacia el oeste a 1 m / s durante 2 segundos, luego acelera instantáneamente a 3 m / sy continúa hacia el oeste durante 2 segundos. Su movimiento total es (1 m / s) (2 s) + (3 m / s) (2 s) = 8 m (hacia el oeste). Tiempo Total en camino: 2 s + 2 s = 4 s. Su velocidad media: 8 m / 4 s = 2 m / s (oeste).
    • Boris camina hacia el oeste a 5 m / s durante 3 segundos, luego se da la vuelta y camina hacia el este a 7 m / s durante 1 segundo. Podemos considerar el movimiento hacia el este como un "movimiento negativo" hacia el oeste, por lo que el movimiento total es (5 m / s) (3 s) + (-7 m / s) (1 s) = 8 metros. El tiempo total es de 4 s. La velocidad media es de 8 m (oeste) / 4 s = 2 m / s (oeste).
    • Julia camina 1 metro hacia el norte, luego camina 8 metros hacia el oeste y luego camina 1 metro hacia el sur. El tiempo total de viaje es de 4 segundos. Dibuja un diagrama de este movimiento en un papel y verás que termina a 8 metros al oeste del punto de partida, es decir, el movimiento total es de 8 metros, el tiempo total de viaje fue de 4 segundos. La velocidad media es de 8 m (oeste) / 4 s = 2 m / s (oeste).

    • Hay promedios, cuya definición incorrecta se incluye en una broma o una parábola. Cualquier cálculo incorrecto se comenta con una referencia común y comprensible a un resultado tan deliberadamente absurdo. Por ejemplo, la frase "temperatura promedio en el hospital" provocará una sonrisa sarcástica de comprensión en todos. Sin embargo, los mismos expertos a menudo, sin dudarlo, suman las velocidades en secciones separadas del camino y dividen la suma calculada por el número de estas secciones para obtener una respuesta igualmente sin sentido. Recuerdo del curso de mecánica escuela secundaria cómo encontrar la velocidad media de forma correcta, no absurda.

    Análogo de "temperatura media" en mecánica

    ¿En qué casos las condiciones problemáticas formuladas en forma engañosa nos empujan a una respuesta apresurada e irreflexiva? Si se habla de "partes" del camino, pero no se indica su longitud, esto alarma incluso a una persona que no tiene mucha experiencia en resolver este tipo de ejemplos. Pero si la tarea indica directamente intervalos iguales, por ejemplo, "el tren siguió la primera mitad del camino a una velocidad ...", o "el primer tercio del camino, el peatón caminó a una velocidad ...", y luego detalla cómo se movió el objeto en las áreas iguales restantes, es decir, la relación S 1 = S 2 = ... = S n y valores exactos velocidades v 1, v 2, ... v norte, nuestro pensamiento a menudo produce una falla imperdonable. Se considera la media aritmética de las velocidades, es decir, todos los valores conocidos v sumar y dividir en norte... Como resultado, la respuesta es incorrecta.

    "Fórmulas" simples para calcular valores para un movimiento uniforme

    Y para toda la distancia recorrida, y para sus tramos individuales en el caso de promediar la velocidad, son válidas las relaciones escritas para el movimiento uniforme:

    • S = vt(1), ruta de "fórmula";
    • t = S / v(2), "fórmula" para calcular el tiempo de movimiento ;
    • v = S / t(3), "fórmula" para determinar la velocidad media en la ruta S pasado en el tiempo t.

    Es decir, para encontrar el valor requerido v usando la relación (3), necesitamos saber exactamente los otros dos. Es al decidir cómo encontrar la velocidad promedio de movimiento que primero tenemos que determinar cuál es la distancia total recorrida. S y cual es todo el tiempo de movimiento t.

    Detección matemática de error latente

    En el ejemplo que estamos resolviendo, el camino recorrido por el cuerpo (tren o peatón) será igual al producto nS n(desde que nosotros norte una vez que agregamos secciones iguales de la ruta, en los ejemplos dados - mitades, n = 2, o un tercero, n = 3). No sabemos nada sobre el tiempo total de movimiento. ¿Cómo determinar la velocidad promedio si el denominador de la fracción (3) no se establece explícitamente? Usamos la relación (2), para cada sección de la pista definimos t n = S n: v n. La suma de los intervalos de tiempo calculados de esta manera, escribimos debajo de la línea de la fracción (3). Está claro que para deshacerse de los signos "+", debe traer todos S n: v n a un denominador común. El resultado es un "plano de dos pisos". A continuación, usamos la regla: el denominador del denominador va al numerador. Como resultado, para el problema con un tren después de la reducción por S n tenemos v cf = nv 1 v 2: v 1 + v 2, n = 2 (4) . Para un peatón, la cuestión de cómo encontrar la velocidad media es aún más difícil: v cf = nv 1 v 2 v 3: v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1,n = 3(5).

    Confirmación explícita de error "en números"

    Para "con los dedos" confirmar que la definición de la media aritmética es una forma errónea de calcular vcasarse, concreticemos el ejemplo reemplazando letras abstractas con números. Tomemos la velocidad del tren 40 km / h y 60 km / h(la respuesta incorrecta es 50 km / h). Para un peatón - 5 , 6 y 4 km / h(promedio - 5 km / h). Es fácil asegurarse, sustituyendo los valores en las relaciones (4) y (5), que las respuestas correctas serán para la locomotora. 48 kilómetros por hora y para una persona - 4, (864) kilómetros por hora(periódico decimal, el resultado no es muy bueno matemáticamente).

    Cuando la media aritmética "no falla"

    Si el problema se formula de la siguiente manera: "Para intervalos iguales de tiempo, el cuerpo se movió primero con la velocidad v 1, luego v 2, v 3 y así sucesivamente ", una respuesta rápida a la pregunta de cómo encontrar la velocidad promedio se puede encontrar de manera incorrecta. Deje que el lector verifique esto por sí mismo sumando intervalos de tiempo iguales en el denominador y usando v cf relación (1). Este es quizás el único caso en el que un método incorrecto conduce a un resultado correcto. Pero para garantizar cálculos precisos, debe utilizar el único algoritmo correcto, refiriéndose invariablemente a la fracción v cf = S: t.

    Algoritmo para todas las ocasiones.

    Para evitar con seguridad un error, a la hora de decidir cómo encontrar la velocidad media, basta con recordar y seguir una sencilla secuencia de acciones:

    • determinar el camino completo sumando las longitudes de sus secciones individuales;
    • establecer todo el tiempo de viaje;
    • divide el primer resultado en el segundo, las cantidades desconocidas no especificadas en el problema (siempre que las condiciones estén correctamente formuladas) se cancelan.

    El artículo trata de los casos más simples cuando los datos iniciales se dan para partes iguales de tiempo o secciones iguales de la ruta. V caso general la proporción de intervalos cronológicos o distancias recorridas por el cuerpo puede ser la más arbitraria (pero al mismo tiempo determinada matemáticamente, expresada por un entero o fracción específica). Regla de referencia a la razón v cf = S: t absolutamente universal y nunca falla, no importa cuán complicadas a primera vista puedan tener que realizarse transformaciones algebraicas.

    Finalmente, notamos: para los lectores observadores no pasó desapercibido significado práctico utilizando el algoritmo correcto. La velocidad media calculada correctamente en los ejemplos dados resultó ser ligeramente inferior " temperatura media"en la carretera. Por lo tanto, un algoritmo falso para sistemas que registran exceso de velocidad significaría un mayor número de regulaciones policiales de tránsito erróneas enviadas en" cartas de felicidad "a los conductores.