Resolveré el examen 20 nivel básico. Preparación para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas (nivel de perfil): tareas, soluciones y explicaciones
Examen Estatal Unificado de Matemáticas nivel básico consta de 20 tareas. La tarea 20 evalúa las habilidades de resolución de problemas lógicos. El estudiante debe ser capaz de aplicar sus conocimientos para resolver problemas en la práctica, incluyendo aritmética y progresión geométrica. Aquí podrás aprender cómo resolver la tarea 20 del Examen Estatal Unificado en matemáticas de nivel básico, así como estudiar ejemplos y soluciones basadas en tareas detalladas.
Todas las tareas base USE todas las tareas (263) USE tarea base 1 (5) USE tarea base 2 (6) USE tarea base 3 (45) USE tarea base 4 (33) USE tarea base 5 (2) USE tarea base 6 (44 ) Asignación base del Examen Estatal Unificado 7 (1) Asignación base del Examen Estatal Unificado 8 (12) Asignación base del Examen Estatal Unificado 10 (22) Asignación base del Examen Estatal Unificado 12 (5) Asignación base del Examen Estatal Unificado 13 (20) Base del Examen Estatal Unificado tarea 15 (13) Tarea base del Examen Estatal Unificado 19 (23) Tarea base del Examen Estatal Unificado 20 (32)
Hay dos franjas transversales marcadas en la cinta en lados opuestos del medio.
La cinta tiene dos franjas transversales en diferentes lados del medio: azul y roja. Si cortas la cinta a lo largo de la franja azul, entonces una parte será más larga que la otra en A cm. Si la cortas a lo largo de la franja roja, entonces una parte será más larga que la otra en B cm. Encuentra la distancia desde la rojo a la franja azul.
El problema de la cinta es parte del Examen Estatal Unificado de Matemáticas de nivel básico para el grado 11, número 20.
Los biólogos han descubierto una variedad de amebas.
Los biólogos han descubierto una variedad de amebas, cada una de las cuales se divide en dos exactamente al cabo de un minuto. El biólogo coloca la ameba en un tubo de ensayo y, después de exactamente N horas, el tubo de ensayo está completamente lleno de amebas. ¿Cuántos minutos se necesitarán para llenar todo el tubo de ensayo con amebas, si no se coloca una, sino K amebas en él?
Al demostrar ropa de verano, los outfits de cada modelo.
Al demostrar ropa de verano Los conjuntos de cada modelo se diferencian en al menos uno de tres elementos: blusa, falda y zapatos. En total, el diseñador de moda preparó blusas tipo A, faldas tipo B y zapatos tipo C para demostración. ¿Cuántos conjuntos diferentes se mostrarán en esta demostración?
El problema de la vestimenta forma parte del Examen Estatal Unificado de Matemáticas de nivel básico para el grado 11, número 20.
Un grupo de turistas cruzó un puerto de montaña.
Un grupo de turistas atravesó un paso de montaña. Cubrieron el primer kilómetro de subida en K minutos, y cada kilómetro posterior tardó L minutos más que el anterior. El último kilómetro antes de la cumbre se recorrió en M minutos. Luego de descansar N minutos en la cima, los turistas iniciaron su descenso, el cual fue más gradual. El primer kilómetro después de la cumbre se recorrió en P minutos, y cada kilómetro siguiente fue R minutos más rápido que el anterior. ¿Cuántas horas dedicó el grupo a todo el recorrido si el último kilómetro de descenso lo recorrió en S minutos?
El problema forma parte del Examen Estatal Unificado de Matemáticas de nivel básico para el grado 11, número 20.
El médico le recetó al paciente que tomara el medicamento según este régimen.
El médico le recetó al paciente que tomara el medicamento de acuerdo con el siguiente régimen: el primer día debe tomar gotas K y cada día siguiente, gotas N más que el día anterior. ¿Cuántos frascos de medicamento debe comprar un paciente para todo el tratamiento, si cada frasco contiene M gotas?
El problema forma parte del Examen Estatal Unificado de Matemáticas de nivel básico para el grado 11, número 20.
Según la ley empírica de Moore, el número medio de transistores en los microcircuitos
Según la ley empírica de Moore, el número medio de transistores en los microcircuitos aumenta N veces cada año. Se sabe que en 2005 el número medio de transistores en un microcircuito era de millones de K. Determine cuántos millones de transistores había en promedio en un microcircuito en 2003.
El problema forma parte del Examen Estatal Unificado de Matemáticas de nivel básico para el grado 11, número 20.
Una compañía petrolera está perforando un pozo para extraer petróleo.
Compañia de PETROLEO perfora un pozo para la producción de petróleo que, según datos de exploración geológica, se encuentra a una profundidad de N km. Durante la jornada laboral, los perforadores profundizan L metros de profundidad, pero durante la noche el pozo se vuelve a “llenar de sedimentos”, es decir, se llena de tierra a K metros. ¿Cuántos días hábiles necesitarán los petroleros para perforar un pozo hasta la profundidad del petróleo?
El problema forma parte del Examen Estatal Unificado de Matemáticas de nivel básico para el grado 11, número 20.
En una tienda de electrodomésticos, las ventas de refrigeradores son estacionales.
En la tienda electrodomésticos El volumen de ventas de frigoríficos es estacional. En enero se vendieron refrigeradores K y en los tres meses siguientes se vendieron refrigeradores L. Desde mayo las ventas han aumentado en M unidades respecto al mes anterior. Desde septiembre, el volumen de ventas comenzó a disminuir en N refrigeradores cada mes en relación con el mes anterior. ¿Cuántos refrigeradores vendió la tienda en un año?
El problema forma parte del Examen Estatal Unificado de Matemáticas de nivel básico para el grado 11, número 20.
El entrenador aconsejó a Andrei pasar el primer día de clases en la cinta.
El entrenador aconsejó a Andrey que pasara L minutos en la cinta el primer día de clases y que en cada lección posterior aumentara el tiempo que pasaba en la cinta en M minutos. ¿En cuántas sesiones Andrey pasará un total de N horas K minutos en la cinta si sigue los consejos del entrenador?
El problema forma parte del Examen Estatal Unificado de Matemáticas de nivel básico para el grado 11, número 20.
Cada segundo una bacteria se divide en dos nuevas bacterias
Cada segundo una bacteria se divide en dos nuevas bacterias. Se sabe que las bacterias llenan todo el volumen de un vaso en N horas. ¿En cuántos segundos se llenará el vaso con 1/K parte de bacterias?
El problema forma parte del Examen Estatal Unificado de Matemáticas de nivel básico para el grado 11, número 20.
Hay cuatro gasolineras en la circunvalación: A, B, C y D
Hay cuatro gasolineras en la carretera de circunvalación: A, B, C y D. La distancia entre A y B es K km, entre A y B es L km, entre B y D es M km, entre G y A es N km (todas las distancias medidas a lo largo de la carretera de circunvalación a lo largo del arco más corto). Encuentre la distancia (en kilómetros) entre B y C.
El problema de las gasolineras forma parte del Examen Estatal Unificado de Matemáticas de nivel básico para el grado 11, número 20.
Sasha invitó a Petya a visitarla y le dijo que vivía.
Sasha invitó a Petya a visitarlo y le dijo que vivía en la entrada K del apartamento número M, pero se olvidó de decir el piso. Al acercarse a la casa, Petya descubrió que la casa era de N pisos. ¿En qué piso vive Sasha? (En todos los pisos el número de apartamentos es el mismo; el número de apartamentos en el edificio comienza con uno).
El problema sobre apartamentos y casas forma parte del Examen Estatal Unificado de Matemáticas de nivel básico para el grado 11, número 20.
Yulia Mysikova
El Examen Estatal Unificado de Matemáticas de nivel básico consta de 20 tareas. La tarea 20 evalúa las habilidades de resolución de problemas lógicos. El estudiante debe ser capaz de aplicar sus conocimientos para resolver problemas en la práctica, incluida la progresión aritmética y geométrica. Este trabajo examina en detalle cómo resolver la tarea 20 del Examen Estatal Unificado en matemáticas de nivel básico, así como ejemplos y métodos de solución basados en tareas detalladas.
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Títulos de diapositivas:
Tareas de ingenio del Examen Estatal Unificado en matemáticas de nivel básico. Tareas No. 20 Yulia Aleksandrovna Mysikova, estudiante 11 clase socioeconómica “A” Municipal institución educativa"Promedio escuela comprensiva N° 45"
Caracol en un árbol Solución. Un caracol trepa por un árbol 3 m durante el día y desciende 2 m durante la noche. En total, se mueve 3 – 2 = 1 metro por día. En 7 días subirá 7 metros. Al octavo día trepará otros 3 metros y por primera vez estará a una altura de 7 + 3 = 10 (m), es decir. en la cima del árbol. Respuesta: 8 Un caracol trepa por un árbol 3 m durante el día y desciende 2 m durante la noche. La altura del árbol es 10 m. ¿Cuántos días le tomará al caracol arrastrarse desde la base hasta la cima del árbol? ¿árbol?
Solución gasolineras. Dibujemos un círculo y organicemos los puntos (gasolineras) de modo que las distancias correspondan a la condición. Tenga en cuenta que se conocen todas las distancias entre los puntos A, C y D. CA =20, AD=30, CD=20. Marquemos el punto A. Desde el punto A en el sentido de las agujas del reloj, marquemos el punto C, recordemos que AC = 20. Ahora marcaremos el punto D, que se encuentra de A a una distancia de 30, esta distancia no se puede alejar de A en el sentido de las agujas del reloj, ya que entonces la distancia entre C y D será igual a 10, y según la condición CD = 2 0 . Esto quiere decir que de A a D debemos movernos en sentido antihorario, marcar el punto D. Como CD = 20, la longitud de todo el círculo es 20 + 30 + 20 = 70. Dado que AB = 35, entonces el punto B es diametralmente opuesto al punto A. La distancia de C a B será igual a 35-20 = 15. Respuesta: 15. Hay cuatro gasolineras en la circunvalación: A, B, C y D. La distancia entre A y B es de 35 km, entre A y C es de 20 km, entre C y D es de 20 km, entre D y A es 30 km (todas las distancias se miden a lo largo de la carretera de circunvalación en la dirección más corta). Encuentra la distancia entre B y C. Da tu respuesta en kilómetros.
En la sala de cine Solución. 1 vía. Simplemente contamos cuántos asientos hay en las filas hasta la octava: 1 – 24 2 – 26 3 – 28 4 – 30 5 – 32 6 – 34 7 – 36 8 – 38. Respuesta: 38. Hay 24 asientos en la fila. primera fila del cine, y en cada fila siguiente hay 24 butacas, 2 más que la anterior. ¿Cuántos asientos hay en la octava fila? Método 2. Observamos que el número de lugares en las filas es una progresión aritmética con el primer término 24 y la diferencia 2. Usando la fórmula para el enésimo término de la progresión, encontramos el octavo término a 8 = 24 + (8 – 1)*2 = 38. Respuesta: 38.
Champiñones en cesta Solución. De la condición de que entre 27 hongos haya al menos un hongo, se deduce que el número de hongos no es más de 26. De la segunda condición de que entre 25 hongos haya al menos un hongo, se deduce que el número de champiñones no es más de 24. Como hay 50 champiñones en total, entonces hay 24 níscalos y 26 champiñones. Respuesta: 24. Hay 50 champiñones en la canasta: nísperos y champiñones. Se sabe que entre 27 hongos hay al menos un níscalo de azafrán, y entre 25 hongos hay al menos un champiñón de leche. ¿Cuántas níscalos de leche de azafrán hay en la cesta?
Cubos en fila Solución. Si numeramos todos los cubos del uno al seis (sin tener en cuenta que hay cubos color diferente), luego obtenemos el número total de permutaciones de cubos: P(6)=6*5*4*3*2*1=720 Ahora recuerda que hay 2 cubos rojos y reorganízalos (P(2)=2* 1= 2) no dará un nuevo método, por lo que el producto resultante debe reducirse 2 veces. Del mismo modo, recuerda que tenemos 3 cubos. Color verde, por lo que tendremos que reducir el producto resultante 6 veces (P(3)=3*2*1=6) Entonces, obtenemos el número total de formas de ordenar los cubos 60. Respuesta: 60. ¿De cuántas maneras se pueden ¿Pones dos cubos rojos idénticos en fila, tres cubos verdes idénticos y un cubo azul?
En la cinta de correr El entrenador aconsejó a Andrey que pasara 15 minutos en la cinta de correr el primer día de clases y que en cada lección posterior aumentara el tiempo de permanencia en la cinta de correr en 7 minutos. ¿En cuántas sesiones Andrey pasará un total de 2 horas y 25 minutos en la cinta si sigue los consejos del entrenador? Solución. 1 vía. Observamos que necesitamos encontrar la suma de la progresión aritmética con el primer término 15 y la diferencia igual a 7. Usando la fórmula para la suma de los primeros n términos de la progresión S n =(2a 1 +(n-1 )d)*n/2 tenemos 145=(2*15+ (n–1)*7)*n/2, 290=(30+(n–1)*7)*n, 290=(30+ 7n–7)*n, 290=(23+7n)*n, 290=23n+7n 2, 7n 2 +23n-290=0, n=5. Respuesta: 5. Método 2. Más mano de obra. 15-1-15 22-2-37 29-3-66 4-36-102 5-43-145. Respuesta: 5.
Cambio de monedas Tarea 20. En la oficina de cambio puedes realizar una de dos operaciones: por 2 monedas de oro obtienes 3 de plata y una de cobre; Por 5 monedas de plata obtienes 3 de oro y una de cobre. Nicolás sólo tenía monedas de plata. Después de varias visitas a la oficina de cambio, sus monedas de plata se hicieron más pequeñas, no aparecieron monedas de oro, pero sí 50 monedas de cobre. ¿En cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nicolás? Solución. Dejemos que Nikolai realice primero x operaciones del segundo tipo y luego y operaciones del primer tipo. Entonces tenemos: Entonces había 3y -5x = 90 – 100 = -10 monedas de plata, es decir 10 menos. Respuesta: 10
El propietario acordó una solución. De la condición se desprende claramente que la secuencia de precios para cada metro excavado es una progresión aritmética con el primer término a 1 = 3700 y la diferencia d = 1700. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética se calcula mediante la fórmula S n = 0,5(2a 1 + (n – 1)d)n. Sustituyendo los datos iniciales, obtenemos: S 10 = 0,5(2*3700 + (8 – 1)*1700)*8 = 77200. Así, el propietario tendrá que pagar a los trabajadores 77.200 rublos. Respuesta: 77200. El propietario acordó con los trabajadores que le cavarían un pozo con las siguientes condiciones: por el primer metro les pagaría 3.700 rublos y por cada metro siguiente, 1.700 rublos más que por el anterior. ¿Cuánto dinero tendrá que pagar el propietario a los trabajadores si cavan un pozo de 8 metros de profundidad?
Agua en el pozo Como resultado de la inundación, el pozo se llenó con agua hasta un nivel de 2 metros. La bomba de construcción bombea agua continuamente, bajando su nivel 20 cm por hora. El agua del subsuelo, por el contrario, aumenta el nivel del agua en el pozo en 5 cm por hora. ¿Cuántas horas de funcionamiento de la bomba serán necesarias para que el nivel del agua en el pozo baje a 80 cm? Solución. Como resultado del funcionamiento de la bomba y la inundación con agua del suelo, el nivel del agua en el pozo disminuye 20-5 = 15 centímetros por hora. Para que el nivel baje 200-80=120 centímetros se necesitan 120:15=8 horas. Respuesta: 8.
Tanque con ranura Se vierte un balde lleno de agua con un volumen de 8 litros en un tanque con un volumen de 38 litros cada hora, a partir de las 12 en punto. Pero hay un pequeño espacio en el fondo del tanque, y de él salen 3 litros en una hora. ¿En qué momento (en horas) se llenará completamente el tanque? Solución. Al final de cada hora, el volumen de agua en el tanque aumenta en 8 − 3 = 5 litros. Pasadas las 6 horas, es decir, a las 18 horas, habrá 30 litros de agua en el depósito. A las 19:00, se añadirán 8 litros de agua al tanque y el volumen de agua en el tanque será de 38 litros. Respuesta: 19.
Pozo La compañía petrolera está perforando un pozo para la producción de petróleo que, según datos de exploración geológica, se encuentra a una profundidad de 3 km. Durante la jornada laboral, los perforadores llegan a 300 metros de profundidad, pero durante la noche el pozo se vuelve a "llenar de sedimentos", es decir, se llena de tierra hasta una profundidad de 30 metros. ¿Cuántos días hábiles necesitarán los petroleros para perforar un pozo hasta la profundidad del petróleo? Solución. Teniendo en cuenta la sedimentación del pozo, durante el día pasan 300-30 = 270 metros. Esto significa que en 10 días completos se cubrirán 2700 metros y el día 11 hábil se cubrirán otros 300 metros. Respuesta: 11.
Globo En la superficie del globo, se dibujan 17 paralelos y 24 meridianos con un rotulador. ¿En cuántas partes las líneas dibujadas dividieron la superficie del globo? Solución. Un paralelo divide la superficie del globo en 2 partes. Dos por tres partes. Tres por cuatro partes, etc. 17 paralelas dividen la superficie en 18 partes. Dibujemos un meridiano y obtengamos una superficie completa (no cortada). Dibujemos el segundo meridiano y ya tenemos dos partes, el tercer meridiano dividirá la superficie en tres partes, etc. 24 meridianos dividieron nuestra superficie en 24 partes. Obtenemos 18*24=432. Todas las líneas dividirán la superficie del globo en 432 partes. Respuesta: 432.
El saltamontes salta El saltamontes salta a lo largo de la línea de coordenadas en cualquier dirección durante un segmento unitario por salto. ¿Cuántos puntos diferentes hay en la recta de coordenadas en los que puede llegar el saltamontes después de dar exactamente 8 saltos, empezando desde el origen? Solución: Después de pensarlo un poco, podemos notar que el saltamontes solo puede terminar en puntos con coordenadas pares, ya que el número de saltos que realiza es par. Por ejemplo, si hace cinco saltos en una dirección, entonces reverso hará tres saltos y terminará en los puntos 2 o −2. El saltamontes máximo puede estar en puntos cuyo módulo no exceda de ocho. Así, el saltamontes puede acabar en los puntos: −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6 y 8; sólo 9 puntos. Respuesta: 9.
Nuevas bacterias Cada segundo una bacteria se divide en dos nuevas bacterias. Se sabe que las bacterias llenan todo el volumen de un vaso en 1 hora. ¿Cuántos segundos tardan las bacterias en llenar medio vaso? Solución. Recuerda que 1 hora = 3600 segundos. Cada segundo hay el doble de bacterias. Esto significa que sólo se necesita 1 segundo para convertir medio vaso de bacterias en un vaso lleno. Por lo tanto, el vaso se llenó hasta la mitad en 3600-1=3599 segundos. Respuesta: 3599.
División de números El producto de diez números consecutivos se divide entre 7. ¿A qué puede ser igual el resto? Solución. El problema es sencillo, ya que entre diez números naturales consecutivos al menos uno es divisible por 7. Esto significa que todo el producto será divisible por 7 sin resto. Es decir, el resto es 0. Respuesta: 0.
¿Dónde vive Petya? Problema 1. La casa donde vive Petya tiene una entrada. Hay seis apartamentos en cada piso. Petya vive en el apartamento número 50. ¿En qué piso vive Petya? Solución: Dividimos 50 entre 6, obtenemos el cociente de 8 y el resto es 2. Esto significa que Petya vive en el noveno piso. Respuesta: 9. Problema 2. Todas las entradas de la casa tienen el mismo número de pisos y todos los pisos tienen el mismo número de apartamentos. En este caso, el número de pisos de la casa es mayor que el número de apartamentos en el piso, el número de apartamentos en el piso es mayor que el número de entradas y el número de entradas es más de uno. ¿Cuántos pisos tiene el edificio si hay 455 departamentos en total? Solución: La solución a este problema se deriva de factorizar el número 455 en factores primos. 455 = 13*7*5. Esto significa que la casa tiene 13 pisos, 7 departamentos en cada piso en la entrada, 5 entradas. Respuesta: 13.
Problema 3. Sasha invitó a Petya a visitarlo, diciendo que vivía en la octava entrada del apartamento número 468, pero se olvidó de decir el piso. Al acercarse a la casa, Petya descubrió que la casa tenía doce pisos de altura. ¿En qué piso vive Sasha? (En todos los pisos el número de apartamentos es el mismo, el número de apartamentos en el edificio comienza desde uno). Solución: Petya puede calcular que en un edificio de doce pisos en las primeras siete entradas hay 12 * 7 = 84 sitios. Además, al observar el número posible de apartamentos en un sitio, puede ver que hay menos de seis, ya que 84 * 6 = 504. Esto es más de 468. Esto significa que hay 5 apartamentos en cada sitio, entonces en las primeras siete entradas hay 84*5 = 420 apartamentos. 468 – 420 = 48, es decir, Sasha vive en el apartamento 48 en la octava entrada (si la numeración fuera uno en cada entrada). 48:5 = 9 y quedan 3. Entonces el apartamento de Sasha está en el décimo piso. Respuesta: 10.
Carta del restaurante La carta del restaurante cuenta con 6 tipos de ensaladas, 3 tipos de primeros platos, 5 tipos de segundos platos y 4 tipos de postre. ¿Cuántas opciones de almuerzo entre ensalada, primer plato, segundo plato y postre pueden elegir los visitantes de este restaurante? Solución. Si numeramos cada ensalada, primera, segunda, postre, entonces: con 1 ensalada, 1 primera, 1 segunda, puedes servir uno de 4 postres. 4 opciones. Con el segundo segundo también hay 4 opciones, etc. En total obtenemos 6*3*5*4=360. Respuesta: 360.
Masha y el Oso El oso se comió la mitad del frasco de mermelada 3 veces más rápido que Masha, lo que significa que todavía le queda 3 veces más tiempo para comerse las galletas. Porque El oso come galletas 3 veces más rápido que Masha y todavía le queda 3 veces más tiempo (se comió su medio frasco de mermelada 3 veces más rápido), luego come 3⋅3=9 veces más galletas que Masha (9 El oso come las galletas, mientras que Masha come sólo 1 galleta). Resulta que en una proporción de 9:1, Bear y Masha comen galletas. Hay 10 acciones en total, lo que significa que 1 acción es igual a 160:10=16. Como resultado, el Oso comió 16⋅9=144 galletas. Respuesta: 144 Masha y el Oso comieron 160 galletas y un tarro de mermelada, empezando y terminando al mismo tiempo. Al principio, Masha comía mermelada y Bear, galletas, pero en algún momento cambiaron. El oso se come a ambos tres veces más rápido que Masha. ¿Cuántas galletas se comió el Oso si comieron la mermelada en partes iguales?
Palos y líneas El palo está marcado con líneas transversales de color rojo, amarillo y verde. Si cortas un palo a lo largo de las líneas rojas, obtendrás 15 piezas, si lo cortas a lo largo de las líneas amarillas, 5 piezas y si lo cortas a lo largo de las líneas verdes, 7 piezas. ¿Cuántas piezas obtendrás si cortas un palo siguiendo las líneas de los tres colores? Solución. Si cortas un palo por las líneas rojas, obtendrás 15 piezas, por lo tanto, habrá 14 líneas. Si cortas el palo por las líneas amarillas, obtendrás 5 piezas, por lo tanto, habrá 4 líneas. Si cortas el palo por las líneas amarillas, obtendrás 5 piezas, por lo tanto, habrá 4 líneas. Si lo recorre a lo largo de las líneas verdes, obtendrá 7 piezas, por lo tanto, habrá 6 líneas. Total de líneas: 14+ 4+6 = 24 líneas, por lo tanto, habrá 25 piezas. Respuesta: 25
El médico le recetó El médico le recetó al paciente que tomara el medicamento de acuerdo con el siguiente régimen: el primer día debe tomar 3 gotas y cada día siguiente, 3 gotas más que el día anterior. Después de tomar 30 gotas, bebe 30 gotas del medicamento durante otros 3 días y luego reduce la ingesta en 3 gotas diarias. ¿Cuántos frascos de medicamento debe comprar un paciente para todo el tratamiento, si cada frasco contiene 20 ml de medicamento (que son 250 gotas)? Solución En la primera etapa de la toma de gotas, el número de gotas tomadas por día es una progresión aritmética creciente con el primer término igual a 3, la diferencia igual a 3 y el último término igual a 30. Por lo tanto: Entonces 3 + 3(n -1) = 30; 3+ 3 norte -3=30; 3n = 30; norte =10, es decir Han pasado 10 días según el esquema de aumentar a 30 gotas. Conocemos la fórmula para la suma de arits. progresión: Calculemos S10:
Durante los próximos 3 días - 30 gotas: 30 · 3 = 90 (gotas) En la última etapa de administración: es decir. 30-3(n-1) =0; 30-3n+3=0; -3norte=-33; n=11 es decir Durante 11 días se redujo la ingesta de medicación. Encontremos la suma de la aritmética. progresión 4) Entonces, 165 + 90 + 165 = 420 gotas en total 5) Luego 420: 250 = 42/25 = 1 (17/25) botellas Respuesta: necesitas comprar 2 botellas
Tienda de electrodomésticos En una tienda de electrodomésticos, el volumen de ventas de frigoríficos es estacional. En enero se vendieron 10 refrigeradores y en los siguientes tres meses se vendieron 10 refrigeradores. Desde mayo, las ventas han aumentado en 15 unidades respecto al mes anterior. Desde septiembre, el volumen de ventas comenzó a disminuir en 15 refrigeradores por mes con respecto al mes anterior. ¿Cuántos refrigeradores vendió la tienda en un año? Solución. Calculemos secuencialmente cuántos refrigeradores se vendieron cada mes y resumamos los resultados: 10 4+(10+15)+(25+15)+(40+15)+(55+15)+(70-15)+ (55- 15)+(40-15)+ (25-15)= = 40+25+40+55+70+55+40+25+10=120+110+130=360 Respuesta: 360.
Cajas En un almacén se apilan cajas de dos tipos, del mismo ancho y alto, en una fila de 43 m de largo, una al lado de la otra en ancho. Un tipo de caja mide 2 m de largo y el otro 5 m de largo. ¿Cuál es la menor cantidad de cuadros necesarios para llenar toda la fila sin crear espacios vacíos? Solución porque Necesitamos encontrar el menor número de cajas, entonces => necesitamos tomar mayor numero cajas grandes. Entonces 5 · 7 = 35; 43 – 35 = 8 y 8:2 = 4; 4+7=11 Entonces solo hay 11 casillas. Respuesta: 11.
Tabla Una tabla tiene tres columnas y varias filas. Se colocó un número natural en cada celda de la tabla de modo que la suma de todos los números en la primera columna sea 119, en la segunda - 125, en la tercera - 133 y la suma de los números en cada fila sea más de 15. , pero menos de 18. ¿Cuántas líneas hay en la columna? Solución. Suma total en todas las columnas = 119 + 125 + 133 = 377 Los números 18 y 15 no están incluidos en el límite, lo que significa: 1) si la suma en la fila = 17, entonces el número de filas es 377: 17= =22.2 2) si la suma en línea = 16, entonces el número de líneas es 377: 16= =23.5 Entonces número de líneas = 23 (ya que debería estar entre 22.2 y 23.5) Respuesta: 23
Prueba y tareas La lista de tareas de la prueba constaba de 36 preguntas. Por cada respuesta correcta, el alumno recibió 5 puntos, por una respuesta incorrecta se le descontaron 11 puntos y por no responder se le otorgaron 0 puntos. ¿Cuántas respuestas correctas dio un alumno que obtuvo 75 puntos, si se sabe que se equivocó al menos una vez? Solución. Método 1: Sea X el número de respuestas correctas y sea X el número de respuestas incorrectas. Luego creamos la ecuación 5x -11y = 75, donde 0
Un grupo de turistas Un grupo de turistas atravesó un puerto de montaña. Recorrieron el primer kilómetro de subida en 50 minutos y cada kilómetro siguiente les llevó 15 minutos más que el anterior. El último kilómetro antes de la cumbre se recorrió en 95 minutos. Luego de un descanso de diez minutos en la cima, los turistas iniciaron su descenso, que fue más gradual. El primer kilómetro después de la cumbre se recorrió en una hora y cada kilómetro siguiente fue 10 minutos más rápido que el anterior. ¿Cuántas horas empleó el grupo en todo el recorrido si el último kilómetro de descenso lo recorrió en 10 minutos? Solución. El grupo pasó 290 minutos subiendo la montaña, 10 minutos descansando y 210 minutos bajando la montaña. En total, los turistas dedicaron 510 minutos a todo el recorrido. Convirtamos 510 minutos en horas y encontremos que en 8,5 horas los turistas recorrieron todo el recorrido. Respuesta: 8.5
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Tarea 20 Básica Nivel del examen estatal unificado
1) Un caracol trepa por un árbol 4 m en un día y se desliza 1 m por un árbol durante la noche. La altura del árbol es 13 m. ¿Cuántos días le tomará al caracol trepar hasta la cima del árbol? árbol por primera vez? (4-1 = 3, la mañana del 4to día estará a una altura de 9m, y en un día se arrastrará 4m.Respuesta: 4 )
2) Un caracol trepa por un árbol 4 m en un día y se desliza 3 m por un árbol durante la noche. La altura del árbol es 10 m. ¿Cuántos días le tomará al caracol trepar hasta la cima del árbol? árbol por primera vez? Respuesta: 7
3) Un caracol sube a un árbol 3 m durante el día y desciende 2 m durante la noche. La altura del árbol es 10 m ¿Cuántos días tardará el caracol en subir a la copa del árbol? Respuesta:8
4) El palo está marcado con líneas transversales de color rojo, amarillo y verde. Si cortas un palo a lo largo de las líneas rojas, obtendrás 15 piezas, si lo cortas a lo largo de las líneas amarillas, 5 piezas y si lo cortas a lo largo de las líneas verdes, 7 piezas. ¿Cuántas piezas obtendrás si cortas un palo siguiendo las líneas de los tres colores? ? (Si cortas un palo por las líneas rojas, obtendrás 15 piezas, por lo tanto, habrá 14 líneas. Si cortas el palo por las líneas amarillas, obtendrás 5 piezas, por lo tanto, habrá 4 líneas. Si cortas el palo por las líneas amarillas, obtendrás 5 piezas, por lo tanto, habrá 4 líneas. Si lo sigues por las líneas verdes, obtendrás 7 piezas, por lo tanto, habrá 6 líneas. Total de líneas: 14 + 4 + 6 = 24 líneas. Respuesta:25 )
5) El palo está marcado con líneas transversales de color rojo, amarillo y verde. Si cortas un palo por las líneas rojas, obtendrás 5 piezas, si lo haces por las líneas amarillas, 7 piezas y si lo haces por las líneas verdes, 11 piezas. ¿Cuántas piezas obtendrás si cortas un palo siguiendo las líneas de los tres colores? Respuesta : 21
6) El palo está marcado con líneas transversales de color rojo, amarillo y verde. Si corta un palo a lo largo de las líneas rojas, obtendrá 10 piezas, si lo hace a lo largo de las líneas amarillas, 8 piezas, si lo hace a lo largo de las verdes, 8 piezas. ¿Cuántas piezas obtendrás si cortas un palo siguiendo las líneas de los tres colores? Respuesta : 24
7) En la oficina de cambio podrás realizar una de dos operaciones:
Por 2 monedas de oro obtienes 3 de plata y una de cobre;
Por 5 monedas de plata obtienes 3 de oro y una de cobre.
Nicolás sólo tenía monedas de plata. Después de varias visitas a la oficina de cambio, sus monedas de plata se hicieron más pequeñas, no aparecieron monedas de oro, pero sí 50 monedas de cobre. ¿En cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nicolás? Respuesta: 10
8) En la oficina de cambio podrás realizar una de dos operaciones:
· por 2 monedas de oro obtienes 3 de plata y una de cobre;
· por 5 monedas de plata obtienes 3 de oro y una de cobre.
Nicolás sólo tenía monedas de plata. Después de varias visitas a la oficina de cambio, sus monedas de plata se hicieron más pequeñas, no aparecieron monedas de oro, pero aparecieron 100 monedas de cobre. ¿Cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nicolás?? Respuesta: 20
9) En la oficina de cambio podrás realizar una de dos operaciones:
1) por 3 monedas de oro, obtén 4 de plata y una de cobre;
2) por 6 monedas de plata obtienes 4 de oro y una de cobre.
Nikola sólo tenía monedas de plata. Después de visitar la oficina de cambio, sus monedas de plata se hicieron más pequeñas, no aparecieron monedas de oro, pero aparecieron 35 monedas de cobre. ¿En cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nikola? Respuesta: 10
10) En la oficina de cambio podrás realizar una de dos operaciones:
1) por 3 monedas de oro, obtén 4 de plata y una de cobre;
2) por 7 monedas de plata obtienes 4 de oro y una de cobre.
Nikola sólo tenía monedas de plata. Después de visitar la oficina de cambio, sus monedas de plata se hicieron más pequeñas, no aparecieron monedas de oro, pero aparecieron 42 monedas de cobre. ¿En cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nikola? Respuesta: 30
11) En la oficina de cambio podrás realizar una de dos operaciones:
1) por 4 monedas de oro, obtén 5 de plata y una de cobre;
2) por 8 monedas de plata obtienes 5 de oro y una de cobre.
Nicolás sólo tenía monedas de plata. Después de varias visitas a la oficina de cambio, sus monedas de plata se hicieron más pequeñas, no aparecieron monedas de oro, pero aparecieron 45 monedas de cobre. ¿En cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nicolás? Respuesta: 35
12) Hay 50 setas en la cesta: níscalos y setas con leche. Se sabe que entre 28 hongos hay al menos un níscalo de azafrán, y entre 24 hongos hay al menos un champiñón de leche. ¿Cuántas setas con leche hay en la canasta? ( (50-28)+1=23 - Debe haber nísperos de leche de azafrán. (50-24)+1=27 - Debe haber setas con leche. Respuesta: champiñones con leche en una cesta. 27 .)
13) Hay 40 setas en la cesta: níscalos y setas con leche. Se sabe que entre 17 hongos hay al menos un níscalo de azafrán, y entre 25 hongos hay al menos un champiñón de leche. ¿Cuántas níscalos de leche de azafrán hay en la cesta? ( Según las condiciones del problema: (40-17)+1=24 - Debe haber nísperos de leche de azafrán. (40-25)+1=16 24 .)
14) hay 30 setas en la cesta: níscalos y setas con leche. Se sabe que entre 12 hongos hay al menos un níscalo de azafrán, y entre 20 hongos hay al menos un champiñón de leche. ¿Cuántas níscalos de leche de azafrán hay en la cesta? (Según el planteamiento del problema: (30-12)+1=19 - Debe haber nísperos de leche de azafrán. (30-20)+1=11 - Debe haber setas con leche. Respuesta: níscalos de leche de azafrán en una cesta 19 .)
15) Hay 45 setas en la cesta: nísperos y setas con leche. Se sabe que entre 23 hongos hay al menos un níscalo de azafrán, y entre 24 hongos hay al menos un champiñón de leche. ¿Cuántas níscalos de leche de azafrán hay en la cesta? ( Según las condiciones del problema: (45-23)+1=23 - Debe haber nísperos de leche de azafrán. (45-24)+1=22 - Debe haber setas con leche. Respuesta: níscalos de leche de azafrán en una cesta 23 .)
16) Hay 25 setas en la cesta: nísperos y setas con leche. Se sabe que entre 11 hongos hay al menos un níscalo de azafrán, y entre 16 hongos hay al menos un champiñón de leche. ¿Cuántas níscalos de leche de azafrán hay en la cesta? ( Como entre 11 hongos al menos uno es un hongo, entonces no hay más de 10 hongos con leche. Como entre 16 hongos al menos uno es un hongo con leche, entonces no hay más de 15 hongos. Y como hay 25 hongos en total en la cesta, entonces hay exactamente 10 setas de leche y níscalos de azafrán exactamenteRespuesta: 15.
17) El propietario acordó con los trabajadores que le cavarían un pozo con las siguientes condiciones: por el primer metro les pagaría 4.200 rublos y por cada metro siguiente, 1.300 rublos más que por el anterior. ¿Cuánto dinero tendrá que pagar el propietario a los trabajadores si cavan un pozo de 11 metros de profundidad? ?(Respuesta: 117700)
18) El propietario acordó con los trabajadores que le cavarían un pozo con las siguientes condiciones: por el primer metro les pagaría 3.700 rublos, y por cada metro siguiente, 1.700 rublos más que por el anterior. ¿Cuánto dinero tendrá que pagar el propietario a los trabajadores si cavan un pozo de 8 metros de profundidad? ( 77200 )
19) El propietario acordó con los trabajadores que cavarían un pozo con las siguientes condiciones: por el primer metro les pagaría 3.500 rublos y por cada metro siguiente, 1.600 rublos más que por el anterior. ¿Cuánto dinero tendrá que pagar el propietario a los trabajadores si cavan un pozo de 9 metros de profundidad? ( 89100 )
20) El propietario acordó con los trabajadores que le cavarían un pozo con las siguientes condiciones: por el primer metro les pagaría 3.900 rublos, y por cada metro siguiente les pagaría 1.200 rublos más que por el anterior. ¿Cuántos rublos tendrá que pagar el propietario a los trabajadores si cavan un pozo de 6 metros de profundidad? (41400)
21) El entrenador aconsejó a Andrey que pasara 15 minutos en la cinta el primer día de clases y que en cada lección posterior aumentara el tiempo de permanencia en la cinta en 7 minutos. ¿En cuántas sesiones Andrey pasará un total de 2 horas y 25 minutos en la cinta si sigue los consejos del entrenador? ( 5 )
22) El entrenador aconsejó a Andrey que pasara 22 minutos en la cinta el primer día de clases, y en cada lección posterior aumentara el tiempo de permanencia en la cinta en 4 minutos hasta llegar a 60 minutos, y luego continuara entrenando durante 60 minutos. cada día. ¿En cuántas sesiones, empezando por la primera, Andrey pasará un total de 4 horas y 48 minutos en la cinta? ( 8 )
23) Hay 24 asientos en la primera fila del cine, y en cada fila siguiente hay 2 más que en la anterior. ¿Cuántos asientos hay en la octava fila? ( 38 )
24) El médico le recetó al paciente que tomara el medicamento de acuerdo con el siguiente régimen: el primer día debe tomar 3 gotas y cada día posterior, 3 gotas más que el día anterior. Después de tomar 30 gotas, bebe 30 gotas del medicamento durante otros 3 días y luego reduce la ingesta en 3 gotas diarias. ¿Cuántos frascos de medicamento debe comprar un paciente para todo el tratamiento, si cada frasco contiene 20 ml de medicamento (que son 250 gotas)? (2) la suma de una progresión aritmética con el primer término igual a 3, la diferencia igual a 3 y el último término igual a 30.; 165 + 90 + 135 = 390 gotas; 3+ 3(norte-1)=30; norte=10 y 27- 3(norte-1)=3; norte=9
25) El médico le recetó al paciente que tomara el medicamento de acuerdo con el siguiente régimen: el primer día debe tomar 20 gotas y cada día siguiente, 3 gotas más que el anterior. Después de 15 días de uso, el paciente toma un descanso de 3 días y continúa tomando el medicamento de acuerdo con el esquema inverso: el día 19 toma la misma cantidad de gotas que el día 15 y luego reduce diariamente la dosis en 3 gotas hasta que la dosis sea inferior a 3 gotas por día. ¿Cuántos frascos de medicamento debe comprar un paciente para todo el tratamiento, si cada frasco contiene 200 gotas? ( 7 ) beberá 615 + 615 + 55 = 1285 ;1285: 200 = 6,4
26) En una tienda de electrodomésticos, el volumen de ventas de frigoríficos es estacional. En enero se vendieron 10 refrigeradores y en los siguientes tres meses se vendieron 10 refrigeradores. Desde mayo, las ventas han aumentado en 15 unidades respecto al mes anterior. Desde septiembre, el volumen de ventas comenzó a disminuir en 15 refrigeradores por mes con respecto al mes anterior. ¿Cuántos refrigeradores vendió la tienda en un año? (360) (5*10+2*25+2*40+2*55+70=360
27) En la superficie del globo se dibujan 12 paralelos y 22 meridianos con un rotulador. ¿En cuántas partes las líneas dibujadas dividieron la superficie del globo?
Un meridiano es un arco de círculo que conecta los polos norte y sur. Un paralelo es un círculo que se encuentra en un plano paralelo al plano del ecuador. (13 22=286)
28) En la superficie del globo se dibujaron 17 paralelos y 24 meridianos con un rotulador. ¿En cuántas partes las líneas dibujadas dividieron la superficie del globo? Un meridiano es un arco de círculo que conecta los polos norte y sur. Un paralelo es un círculo que se encuentra en un plano paralelo al plano del ecuador. (18 24 =432)
29) ¿Cuál es el menor número de números consecutivos que se deben tomar para que su producto sea divisible por 7? (2) Si el enunciado del problema sonara así: “¿Cuál es el menor número de números consecutivos que se deben tomar para que su producto garantizado era divisible por 7? Entonces necesitarías tomar siete números consecutivos.
30) ¿Cuál es el menor número de números consecutivos que se deben tomar para que su producto sea divisible por 9? (2)
31) El producto de diez números consecutivos se divide por 7. ¿A qué puede ser igual el resto? (0) Entre 10 números consecutivos, uno de ellos definitivamente será divisible por 7, por lo que el producto de estos números es múltiplo de siete. Por lo tanto, el resto al dividirlo por 7 es cero.
32) Un saltamontes salta a lo largo de una línea de coordenadas en cualquier dirección durante un segmento unitario por salto. ¿Cuántos puntos diferentes hay en la recta de coordenadas en los que puede llegar el saltamontes después de dar exactamente 6 saltos, empezando desde el origen? ( el saltamontes puede acabar en los puntos: −6, −4, −2, 0, 2, 4 y 6; sólo 7 puntos.)
33) Un saltamontes salta a lo largo de una línea de coordenadas en cualquier dirección durante un segmento unitario por salto. ¿Cuántos puntos diferentes hay en la línea de coordenadas en los que puede terminar el saltamontes después de realizar exactamente 12 saltos, comenzando desde el origen? ( el saltamontes puede estar en los puntos: −12, −10, −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 y 12; sólo 13 puntos.)
34) Un saltamontes salta a lo largo de una línea de coordenadas en cualquier dirección durante un segmento unitario por salto. ¿Cuántos puntos diferentes hay en la línea de coordenadas en los que puede terminar el saltamontes después de realizar exactamente 11 saltos, comenzando desde el origen? (puede aparecer en los puntos: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 y 11; 12 puntos en total).
35) El saltamontes salta a lo largo de la línea de coordenadas en cualquier dirección durante un segmento unitario por salto. ¿Cuántos puntos diferentes hay en la recta de coordenadas en los que puede llegar el saltamontes después de dar exactamente 8 saltos, empezando desde el origen?
Tenga en cuenta que el saltamontes sólo puede terminar en puntos con coordenadas pares, ya que el número de saltos que realiza es par. El saltamontes máximo puede estar en puntos cuyo módulo no exceda de ocho. Por lo tanto, el saltamontes puede terminar en los puntos: −8, −6,-2 ; −4, 0,2, 4, 6, 8 para un total de 9 puntos.
Consideremos un plan de este tipo de problemas. Contamos con las siguientes condiciones:
Cantidad total:norte
De las piezas A hay al menos 1 de otro tipo, y de las piezas B hay al menos 1 del primer tipo
Entonces: (A-1) – cantidad minima del primer tipo, y (B-1) - del segundo.
Después comprobamos: (A-1)+(B-1)=norte.
EJEMPLO
EN
SOLUCIÓN
Entonces: tenemos 35 peces en total (perca y cucaracha)
Consideremos las condiciones: entre 21 peces hay al menos una cucaracha, lo que significa que hay al menos 1 cucaracha en condición dada, por lo tanto (21-1)=20 es la posición mínima. Entre 16 peces cualesquiera hay al menos una perca, razonando de manera similar, (16-1) = 15 es el mínimo de cucarachas. Ahora comprobamos: 20+15=35, es decir, tenemos total pescado, lo que significa 20 percas y 15 cucarachas.
RESPUESTA: 15 cucarachas
Cuestionario y número de respuestas correctas.
La lista de tareas del cuestionario constaba de preguntas A. Por cada respuesta correcta, el estudiante recibió un punto, por una respuesta incorrecta, se le descontó.bpuntos, y si no había respuesta se otorgaban 0 puntos. ¿Cuántas respuestas correctas dio el estudiante?nortepuntos si se sabe que se equivocó al menos una vez?
Sabemos cuántos puntos ganó, sabemos el costo de una respuesta correcta e incorrecta. Basado en el hecho de que se dio al menos una respuesta incorrecta, el número de puntos por las respuestas correctas debe exceder el número de puntos de penalización ennortepuntos. Sea x respuestas correctas y x respuestas incorrectas, entonces:
A*X= norte+ b* y
x=(norte+ b* y)/A
De esta igualdad se desprende claramente que el número entre paréntesis debe ser múltiplo de a. Teniendo esto en cuenta, podemos estimar y (también es un número entero). Se debe tener en cuenta que el número de respuestas correctas e incorrectas no debe exceder numero total preguntas.
EJEMPLO
SOLUCIÓN:
Introducimos la notación (por conveniencia) x - correcta, y - incorrecta, luego
5*x=75+11*y
X=(75+11*y)/5
Como 75 es divisible por cinco, entonces 11*y también debe ser divisible por cinco. Por tanto, y puede tomar valores que sean múltiplos de cinco (5, 10, 15, etc.). tome el primer valor y=5 luego x=(75+11*5)/5=26 preguntas en total 26+5=31
Y=10 x=(75+11*10)=37 respuestas totales 37+10= 47 (más que preguntas) no es adecuado.
Entonces en total hubo: 26 respuestas correctas y 5 incorrectas.
RESPUESTA: 26 respuestas correctas
¿En qué piso?
Sasha invitó a Petya a visitarla y le dijo que vivía en el apartamento núm.norte, pero se me olvidó decir la palabra. Al acercarse a la casa, Petya descubrió que la casay-piso ¿En qué piso vive Sasha? (En todos los pisos el número de apartamentos es el mismo; el número de apartamentos en el edificio comienza con uno).
SOLUCIÓN
Según las condiciones del problema, conocemos el número de apartamento, la entrada y el número de pisos de la casa. A partir de estos datos, se puede hacer una estimación del número de apartamentos en el piso. Sea x el número de apartamentos en el piso, entonces se debe cumplir la siguiente condición:
A*y*x debe ser mayor o igual anorte
A partir de esta desigualdad estimamos x
Primero, tomamos el valor entero mínimo de x, lo hacemos igual a c y verificamos: (a-1)*y*c es menornorte, y a*y*s es mayor o igual anorte.
Habiendo elegido el valor x que necesitamos, podemos calcular fácilmente el suelo (b): b = (norte-( a-1)* C)/ C, y en es un número entero y al recibir un valor fraccionario, tomamos el número entero más cercano (hacia arriba)
EJEMPLO
SOLUCIÓN
Estimemos el número de apartamentos en el piso: 7*7*x es mayor o igual a 462, por lo tanto x es mayor o igual a 462/(7*7)=9.42 significa el mínimo x=10. Comprobamos: 6*7*10=420 y 7*7*10=490, al final conseguimos que el número de apartamento entra en este rango. Ahora busquemos el piso: (462-6*7*10)/10=4.2 lo que significa que el niño vive en el quinto piso.
RESPUESTA: 5to piso
Apartamentos, pisos, entradas.
Todas las entradas de la casa tienen el mismo número de pisos y todos los pisos tienen el mismo número de apartamentos. En este caso, el número de pisos de la casa es mayor que el número de apartamentos en el piso, el número de apartamentos en el piso es mayor que el número de entradas y el número de entradas es más de uno. ¿Cuantos pisos tiene una casa si en total hay X departamentos?
Este tipo de problema se basa en la siguiente condición: si la casa tiene E - pisos, P - entradas y K - apartamentos en el piso, entonces el número total de apartamentos en la casa debe ser igual a E * P * K = X . Esto significa que debemos representar X como un producto de tres números distintos de 1 (según las condiciones del problema). Para hacer esto, descompongamos el número X en factores primos. Habiendo realizado la descomposición y teniendo en cuenta las condiciones del problema, seleccionamos la correspondencia entre los números y las condiciones especificadas en el problema.
EJEMPLO
SOLUCIÓN
Representemos el número 105 como producto de factores primos.
105 = 5*7*3, ahora volvamos a la condición del problema: dado que el número de pisos es el mayor, es igual a 7, el número de apartamentos en el piso es 5 y el número de entradas es 3 .
RESPUESTA: entradas - 7, apartamentos en el piso - 5, entradas - 3.
Intercambio
EN
Puedes obtener monedas de plata y cobre por monedas de oro;
Por x monedas de plata obtienes 1 moneda de oro y 1 moneda de cobre.
Nicolás sólo tenía monedas de plata. Después de la oficina de cambio, tenía menos monedas de plata, no aparecieron monedas de oro, pero aparecieron monedas de cobre. ¿En cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nicolás?
Hay dos esquemas de intercambio en el intercambio punukta:
EJEMPLO
EN En la oficina de cambio podrás realizar una de dos operaciones:
SOLUCIÓN
5 de oro = 4 de plata + 1 de cobre
10 plata=7 oro+1 cobre
Como no aparecieron monedas de oro, necesitamos un esquema de intercambio sin monedas de oro. Por tanto, el número de monedas de oro debe ser igual en ambos casos. Necesitamos encontrar el mínimo común múltiplo de los números 5 y 7, y llevarle nuestro oro en ambos casos:
35 oro=28 plata+7 cobre
50 plata=35 oro+5 cobre
al final conseguimos
50 plata=28 plata+12 cobre
Hemos encontrado un esquema de intercambio sin pasar por monedas de oro, ahora necesitamos, conociendo la cantidad de monedas de cobre, encontrar cuántas veces se realizó dicha operación.
norte=60/12=5
Como resultado obtenemos
250 plata=140 plata+60 cobre
Sustituyendo y obteniendo el intercambio final, encontraremos cuánta plata se intercambió. Esto significa que la cantidad disminuyó en 250-140=110
RESPUESTA a 110 monedas
6. GLOBO
En la superficie del globo, los paralelos x y el meridiano y se dibujan con un marcador. ¿En cuántas partes las líneas dibujadas dividieron la superficie del globo? (el meridiano es un arco de círculo que conecta el norte y polos sur, y un paralelo es el límite de la sección del globo por un plano paralelo al plano ecuatorial).
SOLUCIÓN:
Dado que un paralelo es el límite de la sección de un globo por un plano, entonces se dividirá el globo en 2 partes, dos en tres partes, x en x+1 partes
Un meridiano es un arco de círculo (más precisamente, un semicírculo) y la superficie de los meridianos se divide en y partes, por lo que el resultado total es (x + 1) * y partes.
EJEMPLO
Realizando un razonamiento similar obtenemos:
(30+1)*24=744 (partes)
RESPUESTA: 744 partes
7. CORTES
El palo está marcado con líneas transversales de color rojo, amarillo y verde. Si cortas un palo a lo largo de las líneas rojas, obtienes piezas A, si lo cortas a lo largo de las líneas amarillas, obtienes piezas B, y si lo cortas a lo largo de las líneas verdes, obtienes piezas C. ¿Cuántas piezas obtendrás si cortas un palo siguiendo las líneas de los tres colores?
SOLUCIÓN
Para resolver tenemos en cuenta que el número de piezas por 1 mas cantidad cortes. Ahora necesitas encontrar cuántas líneas están marcadas en el palo. Obtenemos rojo (A-1), amarillo - (B-1), verde - (C-1). Hallando el número de líneas de cada color y sumándolas, obtenemos el número total de líneas: (A-1)+(B-1)+(C-1). Al número resultante le sumamos uno (ya que el número de piezas es uno más que el número de cortes) y obtenemos el número de piezas si cortamos por todas las líneas.
EJEMPLO
El palo está marcado con líneas transversales de color rojo, amarillo y verde. Si cortas un palo a lo largo de las líneas rojas, obtendrás 7 piezas, si lo cortas a lo largo de las líneas amarillas, 13 piezas y si lo cortas a lo largo de las líneas verdes, 5 piezas. ¿Cuántas piezas obtendrás si cortas un palo siguiendo las líneas de los tres colores?
SOLUCIÓN
Encontrar el número de líneas
Rojo: 7-1=6
Amarillo: 13-1=12
Verde: 5-1=4
Número total de líneas: 6+12+4=22
Entonces el número de piezas: 22+1=23
RESPUESTA: 23 piezas
8. COLUMNA Y FILAS
EN cada celda de la tabla se colocó de acuerdo con un número natural de modo que la suma de todos los números en la primera columna sea C1, en la segunda - C2, en la tercera - C3, y la suma de los números en cada fila sea mayor que Y1, pero menor que Y2. ¿Cuántas filas hay en la tabla?
SOLUCIÓN
Dado que los números en las celdas de la tabla no cambian, la suma de todos los números en la tabla es igual a: C=C1+C2+C3.
Ahora prestemos atención al hecho de que la tabla consta de números naturales, lo que significa que la suma de los números en las filas debe ser entera y estar en el rango de (U1+1) a (U2-1) (ya que la suma de las filas es estrictamente limitado). Ahora podemos estimar el número de filas:
C/(U1+1) – cantidad máxima
C/(U2-1) – cantidad mínima
EJEMPLO
EN La tabla tiene tres columnas y varias filas. EN
SOLUCIÓN
Encuentra la suma de la tabla.
С=85+77+71=233
Determinemos los límites de la suma de filas.
12+1=13 – mínimo
15-1=14 – máximo
Estimemos el número de filas de la tabla.
233/13=17,92 máximo
233/14=16,64 mínimo
Dentro de estos límites solo hay un número entero: 17
RESPUESTA: 17
9. repostar combustible en la carretera de circunvalación
y G. La distancia entre A y B - 35 km, entre A y B - 20 km, entre B y G - 20 km, entre G y A y V.
SOLUCIÓN
Habiendo leído atentamente el problema, notaremos que prácticamente la circunferencia está dividida en tres arcos AB, VG y AG. En base a esto, encontraremos la longitud de todo el círculo (anillo). Para este problema es igual a 20+20+30=70 (km).
Ahora, después de haber colocado todos los puntos en el círculo y haber firmado las longitudes de los arcos correspondientes, es fácil determinar la distancia requerida. En este problema, BV = AB-AB, es decir, BV = 35-20 = 15
RESPUESTA: 15 km
10. COMBINACIONES
SOLUCIÓN
Para resolver este tipo de problemas debes recordar qué es factorial
factorial de un numeronorte! es el producto de números consecutivos del 1 alnorte, es decir, 4!=1*2*3*4.
Ahora volvamos a la tarea. Encontremos el número total de cubos: 3+1+1=5. Como tenemos tres cubos del mismo color, el número total de cubos se puede encontrar usando la fórmula 5!/3! Obtenemos (5*4*3*2*1)/(1*2*3)=5*4=20
RESPUESTA: 20 formas de arreglo
11 . POZOS
El propietario acordó con los trabajadores que le cavarían un pozo con las siguientes condiciones: por el primer metro les pagaría X rublos y por cada metro siguiente, Y rublos más que por el anterior. ¿Cuántos rublos tendrá que pagar el propietario a los trabajadores si cavan un pozo profundo?nortemetros?
SOLUCIÓN:
Como el propietario aumenta el precio de cada metro, pagará (X+Y) por el segundo, (X+2Y) por el tercero, (X+3Y) por el cuarto, etc. No es difícil ver eso este sistema El pago se asemeja a una progresión aritmética, donde a1=X,d= Y, norte= norte. Entonces
La remuneración por el trabajo no es más que la suma de esta progresión:
S= ( (2a₁ +d(n-1))/2)n
EJEMPLO:
SOLUCIÓN
Con base en lo anterior obtenemosa1=4200
d=1300
n=11
Sustituyendo estos datos en nuestra fórmula obtenemos
S=((2*4200+1300(11-1)/2)*11=((8400+13000)/2)*11=10700*11=117700
RESPUESTA: 117700
12 . POSTES Y ALAMBRES
Los pilares X están conectados entre sí mediante cables, de modo que exactamente los cables Y se extienden desde cada uno de ellos. ¿Cuántos cables hay entre los polos?
SOLUCIÓN
Encontremos cuántos espacios hay entre los pilares. Hay un espacio entre dos, dos entre tres, 3 entre cuatro y (X-1) entre X.
En cada espacio hay cables Y, entonces (X-1)*Y es el número total de cables entre los postes.
EJEMPLO
Diez pilares están conectados entre sí mediante cables, de modo que de cada uno salen exactamente 6 cables. ¿Cuántos cables hay entre los polos?
SOLUCIÓN
Volviendo a la notación anterior obtenemos:
X=9 Y=6
Entonces obtenemos (9-1)*6=8*6=48
RESPUESTA: 48
13. TABLAS DE ASERRADO Y TRONCOS
Había varios registros. Hicimos X número de cortes y resultaron ser Y bloques de madera. ¿Cuántos troncos cortaste?
SOLUCIÓN
A la hora de resolver haremos una nota: algunos problemas no siempre tienen solución matemática.
Ahora a la tarea. Al resolver hay que tener en cuenta que hay más de un tronco y al cortar cada tronco el resultado es = 1 pieza.
Este tipo Es más conveniente resolver problemas utilizando el método de selección:
Sean dos troncos y las piezas serán 13+2=15.
Tomamos tres y obtenemos 13+3=16
Y aquí se puede ver la dependencia de que el número de cortes y piezas aumenta por igual, es decir, el número de troncos que se deben cortar es igual a Y-X.
EJEMPLO
Había varios registros. Hicimos 13 cortes y obtuvimos 20 chubachkas. ¿Cuántos troncos cortaste?
SOLUCIÓN
Volviendo a nuestro razonamiento, podemos seleccionar, o podemos simplemente 20-13 = 7 significa solo 7 registros
Respuesta 7
14 . PÁGINAS CAÍDAS
Del libro se cayeron varias páginas seguidas. La primera de las páginas caídas tiene el número X, y el número de la última está escrito con los mismos números en algún otro orden. ¿Cuántas páginas se cayeron del libro?
SOLUCIÓN
La numeración de las páginas que se sortean comienza con un número impar y debe terminar con un número par. Por tanto, sabiendo que el número del último sorteado está escrito con los mismos dígitos que el primero, conocemos su último dígito. Reordenando los dígitos restantes y teniendo en cuenta que la numeración de páginas debe ser mayor que la primera extraída, obtenemos su número. Conociendo los números de página, puede contar cuántas de ellas se cayeron, teniendo en cuenta que la página X también se cayó. Esto significa que al número resultante debemos restarle el número (X-1)
EJEMPLO
Del libro se cayeron varias páginas seguidas. La primera de las páginas caídas tiene el número 387, y el número de la última está escrito con los mismos números en algún otro orden. ¿Cuántas páginas se cayeron del libro?
SOLUCIÓN
Según nuestro razonamiento, encontramos que el número de la última página caída debe terminar en el número 8. Esto significa que solo tenemos dos opciones para los números: 378 y 738. 378 no nos conviene porque es menor que el número de la primera página eliminada, lo que significa que la última página eliminada es 738.
738-(387-1)=352
RESPUESTA: 352
Cabe agregar lo siguiente: a veces se les pide que indiquen el número de hojas, luego se debe dividir el número de páginas por la mitad.
15. NOTA FINAL
Al final del trimestre, Vovochka anotó sus marcas de canto actuales en una fila y puso un signo de multiplicación entre algunas de ellas. Los productos de los números resultantes resultaron ser iguales a X. ¿Qué nota obtiene Vovochka en el cuarto en canto?
SOLUCIÓN
Al resolver este tipo de problemas, es necesario tener en cuenta que sus estimaciones deben ser 2,3,4 y 5. Por lo tanto, debemos descomponer el número X en factores de 2,3,4 y 5. Además, el El resto de la descomposición también debe constar de estos números.
EJEMPLO 1
Al final del trimestre, Vovochka anotó sus marcas de canto actuales en una fila y puso un signo de multiplicación entre algunas de ellas. El producto de los números resultantes resultó ser igual a 2007. ¿Qué puntuación obtiene Vovochka en el trimestre en canto?
SOLUCIÓN
Factoricemos el número 2007.
Obtenemos 2007=3*3*223
Esto significa sus calificaciones: 3 3 2 2 3 ahora encontremos la media aritmética de sus calificaciones para este conjunto es 2.6, por lo tanto su calificación es tres (más de 2.5)
RESPUESTA 3
EJEMPLO 2
Al final del trimestre, Vovochka anotó todas sus notas en una de las materias, eran 5, y entre algunas puso signos de multiplicación. El producto de los números resultantes resultó ser igual a 690. ¿Qué nota obtiene Vovochka en un trimestre en esta materia si el profesor solo da las notas 2, 3, 4 y 5 y la nota final en un trimestre es la media aritmética de ¿Todas las notas actuales, redondeadas según las reglas de redondeo? (Por ejemplo: 2,4 se redondea a dos; 3,5 se redondea a 4; y 4,8 se redondea a 5).
SOLUCIÓN
Factoricemos 690 para que el resto de la descomposición esté formado por los números 2 3 4 5
690=3*5*2*23
Por lo tanto sus puntuaciones son: 3 5 2 2 3
Encontremos la media aritmética de estos números: (3+5+2+2+3)/5=3
Esta será su valoración
RESPUESTA: 3
16 . MENÚ
La carta del restaurante tiene X tipos de ensaladas, Y tipo de primeros platos, A tipo de segundos platos y B tipo de postre. ¿Cuántas opciones de almuerzo entre ensalada, primer plato, segundo plato y postre pueden elegir los visitantes de este restaurante?
SOLUCIÓN
A la hora de decidir, reduzcamos un poco el menú: que solo haya ensalada y luego las primeras opciones pasarán a ser (X*Y). Ahora agreguemos un segundo plato, el número de opciones aumenta A veces y se convierte en (X*U*A). Bueno, ahora agreguemos el postre. El número de opciones aumentará en un factor de
Ahora obtenemos la respuesta final:
norte=X*U*A*V
EJEMPLO
SOLUCIÓN
Con base en lo anterior obtenemos:
N=6*3*5*4=360
RESPUESTA: 360
17 . DIVIDIMOS SIN RESIDENCIA
En esta sección, consideraremos las tareas usando un ejemplo específico, para mayor claridad.
Como tenemos un producto de números consecutivos y hay más de 7, al menos uno debe ser divisible por 7. Esto significa que tenemos un producto, uno de cuyos factores es divisible por 7, por lo tanto, el producto completo también es divisible por siete, lo que significa que el resto de la división será igual a cero, o para el segundo problema el número de factores debe ser igual al divisor.
18. TURISTAS
También consideraremos este tipo de tarea usando un ejemplo específico.
Primero, determinemos qué necesitamos encontrar: tiempo de ruta = ascenso + descanso + descenso
Sabemos descansar, ahora necesitamos encontrar el tiempo para subir y bajar.
Leyendo el problema vemos que en ambos casos (ascenso y descenso) el tiempo depende como una progresión aritmética, pero aún no sabemos qué altura fue el ascenso, aunque no es difícil de encontrar:
h=(95-50)15+1=4
Hemos encontrado la altura de ascenso, ahora encontraremos el tiempo de ascenso como la suma de una progresión aritmética: Tascent = ((2*50+15*(4-1))*4)/2=290 minutos
Lo encontramos de manera similar, teniendo en cuenta que ahora la diferencia de progresión es igual a -10. Obtenemos Trelease=((2*60-10(4-1))*4)/2= 180 minutos.
Conociendo todos los componentes, puedes calcular. Tiempo Total ruta:
Trucha = 290 + 180 + 10 = 480 minutos o convirtiendo a horas (dividido por 60) obtenemos 8 horas.
RESPUESTA: 8 horas
19. RECTÁNGULOS
Hay dos tipos de problemas con rectángulos: perímetros y áreas.
Para resolver tal plan de problemas, no es difícil demostrar que al dividir cualquier rectángulo con dos cortes rectilíneos, obtendremos cuatro rectángulos para los cuales siempre se cumplirán las siguientes relaciones:
P1+P2=P3+P4
S1*S2=S3*S4,
Dónde R – perímetro , S - cuadrado
Con base en estas relaciones, podemos resolver fácilmente los siguientes problemas
19.1.Perímetros
SOLUCIÓN
Con base en lo anterior obtenemos
24+16=28+X
X=(24+16)-28=12
RESPUESTA: 12
19.2 ÁREA
El rectángulo se divide en cuatro pequeños rectángulos mediante dos cortes rectos. Las áreas de tres de ellos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 18, 12 y 20. Calcula el área del cuarto rectángulo.
SOLUCIÓN
Para los rectángulos resultantes se debe hacer lo siguiente:
18*20=12*X
Entonces X=(18*20)/12=30
RESPUESTA: 30
20. AQUÍ Y AQUÍ
Durante el día, un caracol trepa por un árbol A m, y durante la noche se desliza hacia B m. La altura del árbol es C m. ¿Cuántos días le tomará al caracol arrastrarse hasta la cima del árbol? árbol por primera vez?
SOLUCIÓN
En un día, un caracol puede alcanzar una altura de (A-B) metros. Como puede ascender a la altura A en un día, antes del último ascenso necesita superar la altura (C-A). Con base en esto, encontramos que aumentará (C-A)\(A-B)+1 (sumamos uno ya que sube a la altura A en un día).
EJEMPLO
SOLUCIÓN
Volviendo a nuestro razonamiento, obtenemos
(10-4)/(4-3)+1=7
RESPONDER dentro de 7 días
Cabe señalar que de esta manera se pueden solucionar los problemas de llenado de algo, cuando algo entra y algo sale.
21. SALTAR EN RECTA
El saltamontes salta a lo largo de la línea de coordenadas en cualquier dirección durante un segmento unitario por salto. ¿Cuántos puntos diferentes hay en la recta de coordenadas en los que puede terminar el saltamontes después de realizar X saltos, partiendo del origen?
SOLUCIÓN
Supongamos que el saltamontes realiza todos sus saltos en una dirección, luego llegará al punto con la coordenada X. Ahora salta hacia adelante dando (X-1) saltos y uno hacia atrás: llega al punto con la coordenada (X-2). Considerando todos sus saltos de esta forma, se puede ver que estará en puntos con coordenadas X, (X-2), (X-4), etc. Esta dependencia no es más que una progresión aritmética con la diferenciad=-2 y a1=X, aun=- X. Entonces el número de términos de esta progresión es el número de puntos en los que puede aparecer. vamos a encontrarlos
an=a1+d(n-1)
X=X+d(n-1)
2X=-2(n-1)
norte=X+1
EJEMPLO
SOLUCIÓN
Con base en las conclusiones anteriores, obtenemos
10+1=11
RESPUESTA 11 puntos
TAREAS PARA SOLUCIÓN INDEPENDIENTE:
1. Cada segundo una bacteria se divide en dos nuevas bacterias. Se sabe que las bacterias llenan todo el volumen de un vaso en 1 hora. ¿En cuántos segundos el vaso estará lleno de bacterias hasta la mitad?
2. El palo está marcado con líneas transversales de color rojo, amarillo y verde. Si cortas un palo a lo largo de las líneas rojas, obtendrás 15 piezas, si lo cortas a lo largo de las líneas amarillas, 5 piezas y si lo cortas a lo largo de las líneas verdes, 7 piezas. ¿Cuántas piezas obtendrás si cortas un palo siguiendo las líneas de los tres colores?
3. El saltamontes salta a lo largo de una línea de coordenadas en cualquier dirección un segmento unitario en un solo salto. El saltamontes empieza a saltar desde el origen. ¿Cuántos puntos diferentes hay en la línea de coordenadas en los que puede terminar el saltamontes después de realizar exactamente 11 saltos?
4. En la cesta hay 40 setas: nísperos y setas con leche. Se sabe que entre 17 hongos hay al menos un níscalo de azafrán, y entre 25 hongos hay al menos un champiñón de leche. ¿Cuántas níscalos de leche de azafrán hay en la cesta?
5. Sasha invitó a Petya a visitarlo y le dijo que vivía en la séptima entrada del apartamento número 462, pero se olvidó de decir el piso. Al acercarse a la casa, Petya descubrió que la casa tenía siete pisos de altura. ¿En qué piso vive Sasha? (En todos los pisos el número de apartamentos es el mismo; el número de apartamentos en el edificio comienza con uno).
6. Sasha invitó a Petya a visitarlo y le dijo que vivía en la octava entrada del apartamento número 468, pero se olvidó de decir el piso. Al acercarse a la casa, Petya descubrió que la casa tenía doce pisos de altura. ¿En qué piso vive Sasha? (En todos los pisos el número de apartamentos es el mismo; el número de apartamentos en el edificio comienza con uno).
7. Sasha invitó a Petya a visitarlo y le dijo que vivía en la duodécima entrada del apartamento número 465, pero se olvidó de decir el piso. Al acercarse a la casa, Petya descubrió que la casa tenía cinco pisos de altura. ¿En qué piso vive Sasha? (En todos los pisos el número de apartamentos es el mismo; el número de apartamentos en el edificio comienza con uno).
8. Sasha invitó a Petya a visitarlo y le dijo que vivía en la décima entrada del apartamento número 333, pero se olvidó de decir el piso. Al acercarse a la casa, Petya descubrió que la casa tenía nueve pisos de altura. ¿En qué piso vive Sasha? (En todos los pisos el número de apartamentos es el mismo; el número de apartamentos en el edificio comienza con uno).
9. El entrenador aconsejó a Andrey que pasara 15 minutos en la cinta el primer día de clases y que en cada lección posterior aumentara el tiempo de permanencia en la cinta en 7 minutos. ¿En cuántas sesiones Andrey pasará un total de 2 horas y 25 minutos en la cinta si sigue los consejos del entrenador?
10. El médico le recetó al paciente que tomara el medicamento de acuerdo con el siguiente régimen: el primer día debe tomar 3 gotas y cada día siguiente, 3 gotas más que el día anterior. Después de tomar 30 gotas, bebe 30 gotas del medicamento durante otros 3 días y luego reduce la ingesta en 3 gotas diarias. ¿Cuántos frascos de medicamento debe comprar un paciente para todo el tratamiento, si cada frasco contiene 20 ml de medicamento (que son 250 gotas)?
11. El médico le recetó al paciente que tomara el medicamento de acuerdo con el siguiente régimen: el primer día debe tomar 20 gotas y cada día siguiente, 3 gotas más que el anterior. Después de 15 días de uso, el paciente toma un descanso de 3 días y continúa tomando el medicamento de acuerdo con el esquema inverso: el día 19 toma la misma cantidad de gotas que el día 15 y luego reduce diariamente la dosis en 3 gotas hasta que la dosis sea inferior a 3 gotas por día. ¿Cuántos frascos de medicamento debe comprar un paciente para todo el tratamiento, si cada frasco contiene 200 gotas?
12. El producto de diez números consecutivos se divide por 7. ¿A qué puede ser igual el resto?
13. ¿De cuántas maneras se pueden colocar en fila dos cubos rojos idénticos, tres cubos verdes idénticos y un cubo azul?
14. Se vierte un balde lleno de agua con un volumen de 8 litros en un tanque con un volumen de 38 litros cada hora, a partir de las 12 en punto. Pero hay un pequeño espacio en el fondo del tanque, y de él salen 3 litros en una hora. ¿En qué momento (en horas) se llenará completamente el tanque?
15. ¿Cuál es el menor número de números consecutivos que se deben tomar para que su producto sea divisible por 7?
16. Como resultado de la inundación, el pozo se llenó de agua hasta un nivel de 2 metros. La bomba de construcción bombea agua continuamente, bajando su nivel 20 cm por hora. El agua del subsuelo, por el contrario, aumenta el nivel del agua en el pozo en 5 cm por hora. ¿Cuántas horas de funcionamiento de la bomba serán necesarias para que el nivel del agua en el pozo baje a 80 cm?
17. La carta del restaurante cuenta con 6 tipos de ensaladas, 3 tipos de primeros platos, 5 tipos de segundos platos y 4 tipos de postre. ¿Cuántas opciones de almuerzo entre ensalada, primer plato, segundo plato y postre pueden elegir los visitantes de este restaurante?
18. Una compañía petrolera está perforando un pozo para la producción de petróleo que, según datos de exploración geológica, se encuentra a una profundidad de 3 km. Durante la jornada laboral, los perforadores llegan a 300 metros de profundidad, pero durante la noche el pozo se vuelve a "llenar de sedimentos", es decir, se llena de tierra hasta una profundidad de 30 metros. ¿Cuántos días hábiles necesitarán los petroleros para perforar un pozo hasta la profundidad del petróleo?
19. ¿Cuál es el menor número de números consecutivos que se deben tomar para que su producto sea divisible por 9?
20.
por 2 monedas de oro obtienes 3 de plata y una de cobre;
Por 5 monedas de plata obtienes 3 de oro y una de cobre.
21. En la superficie del globo se dibujan 12 paralelos y 22 meridianos con un rotulador. ¿En cuántas partes las líneas dibujadas dividieron la superficie del globo?
Un meridiano es un arco de círculo que conecta los polos norte y sur. Un paralelo es un círculo que se encuentra en un plano paralelo al plano del ecuador.
22. En la cesta hay 50 setas: nísperos y setas con leche. Se sabe que entre 28 hongos hay al menos un níscalo de azafrán, y entre 24 hongos hay al menos un champiñón de leche. ¿Cuántas setas con leche hay en la canasta?
23. Un grupo de turistas atravesó un paso de montaña. Recorrieron el primer kilómetro de subida en 50 minutos y cada kilómetro siguiente les llevó 15 minutos más que el anterior. El último kilómetro antes de la cumbre se recorrió en 95 minutos. Luego de un descanso de diez minutos en la cima, los turistas iniciaron su descenso, que fue más gradual. El primer kilómetro después de la cumbre se recorrió en una hora y cada kilómetro siguiente fue 10 minutos más rápido que el anterior. ¿Cuántas horas empleó el grupo en todo el recorrido si el último kilómetro de descenso lo recorrió en 10 minutos?
24. Hay cuatro gasolineras en la carretera de circunvalación: A, B, C y D. La distancia entre A y B es de 35 km, entre A y C es de 20 km, entre C y D es de 20 km, entre D y A es de 30 km (todas las distancias medidas a lo largo de la carretera de circunvalación en la dirección más corta). Encuentra la distancia entre B y C. Da tu respuesta en kilómetros.
25. Hay cuatro gasolineras en la carretera de circunvalación: A, B, C y D. La distancia entre A y B es de 50 km, entre A y C es de 40 km, entre C y D es de 25 km, entre D y A es de 35 km (todas las distancias medidas a lo largo de la carretera de circunvalación en la dirección más corta). Encuentra la distancia entre B y C.
26. Hay 25 estudiantes en la clase. Varios de ellos fueron al cine, 18 personas fueron al teatro y 12 personas fueron tanto al cine como al teatro. Se sabe que los tres no fueron al cine ni al teatro. ¿Cuántas personas de la clase fueron al cine?
27. Según la ley empírica de Moore, el número medio de transistores en los microcircuitos se duplica cada año. Se sabe que en 2005 el número medio de transistores en un microcircuito era de 520 millones. Determine cuántos millones de transistores había en promedio en un microcircuito en 2003.
28. Hay 24 asientos en la primera fila del cine y cada fila siguiente tiene 2 asientos más que la anterior. ¿Cuántos asientos hay en la octava fila?
29. El palo está marcado con líneas transversales de color rojo, amarillo y verde. Si cortas un palo a lo largo de las líneas rojas, obtendrás 5 piezas, si lo cortas a lo largo de las líneas amarillas, 7 piezas y si lo cortas a lo largo de las líneas verdes, 11 piezas. ¿Cuántas piezas obtendrás si cortas un palo siguiendo las líneas de los tres colores?
30. En una tienda de electrodomésticos, las ventas de refrigeradores son estacionales. En enero se vendieron 10 refrigeradores y en los siguientes tres meses se vendieron 10 refrigeradores. Desde mayo, las ventas han aumentado en 15 unidades respecto al mes anterior. Desde septiembre, el volumen de ventas comenzó a disminuir en 15 refrigeradores por mes con respecto al mes anterior. ¿Cuántos refrigeradores vendió la tienda en un año?
31. En la oficina de cambio podrás realizar una de dos operaciones:
1) por 3 monedas de oro, obtén 4 de plata y una de cobre;
2) por 6 monedas de plata obtienes 4 de oro y una de cobre.
Nikola sólo tenía monedas de plata. Después de visitar la oficina de cambio, sus monedas de plata se hicieron más pequeñas, no aparecieron monedas de oro, pero aparecieron 35 monedas de cobre. ¿En cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nikola?
32. Sasha invitó a Petya a visitarlo y le dijo que vivía en la séptima entrada del apartamento número 462, pero se olvidó de decir el piso. Al acercarse a la casa, Petya descubrió que la casa tenía siete pisos de altura. ¿En qué piso vive Sasha? (En cada piso el número de apartamentos es el mismo; los números de apartamentos en el edificio comienzan con uno).
33. Todas las entradas de la casa tienen el mismo número de pisos y cada piso tiene el mismo número de apartamentos. En este caso, el número de pisos de la casa es mayor que el número de apartamentos en el piso, el número de apartamentos en el piso es mayor que el número de entradas y el número de entradas es más de uno. ¿Cuantos pisos tiene el edificio si hay 110 departamentos en total?
34. El saltamontes salta a lo largo de la línea de coordenadas en cualquier dirección durante un segmento unitario por salto. ¿Cuántos puntos diferentes hay en la recta de coordenadas en los que puede llegar el saltamontes después de dar exactamente 6 saltos, empezando desde el origen?
35. En la cesta hay 40 setas: nísperos y setas con leche. Se sabe que entre 17 hongos hay al menos un níscalo de azafrán, y entre 25 hongos hay al menos un champiñón de leche. ¿Cuántas níscalos de leche de azafrán hay en la cesta?
36. En la cesta hay 25 setas: nísperos y setas con leche. Se sabe que entre 11 hongos hay al menos un níscalo de azafrán, y entre 16 hongos hay al menos un champiñón de leche. ¿Cuántas níscalos de leche de azafrán hay en la cesta?
37. Hay 30 setas en la cesta: nísperos y setas con leche. Se sabe que entre 12 hongos hay al menos un níscalo de azafrán, y entre 20 hongos hay al menos un champiñón de leche. ¿Cuántas níscalos de leche de azafrán hay en la cesta?
38. En el mundo, se dibujaron con un rotulador 17 paralelos (incluido el ecuador) y 24 meridianos. ¿En cuántas partes las líneas dibujadas dividen la superficie del globo?
39. Un caracol trepa por un árbol 4 m en un día y se desliza 3 m por un árbol durante la noche. La altura del árbol es 10 m. ¿Cuántos días le tomará al caracol trepar hasta la cima del árbol durante ¿la primera vez?
40. Un caracol trepa por un árbol 4 m en un día y se desliza 1 m por un árbol durante la noche. La altura del árbol es 13 m. ¿Cuántos días le tomará al caracol trepar hasta la cima del árbol durante ¿la primera vez?
41. El propietario acordó con los trabajadores que le cavarían un pozo con las siguientes condiciones: por el primer metro les pagaría 4.200 rublos y por cada metro siguiente, 1.300 rublos más que por el anterior. ¿Cuánto dinero tendrá que pagar el propietario a los trabajadores si cavan un pozo de 11 metros de profundidad?
42. El propietario acordó con los trabajadores que cavarían un pozo con las siguientes condiciones: por el primer metro les pagaría 3.500 rublos y por cada metro siguiente, 1.600 rublos más que por el anterior. ¿Cuánto dinero tendrá que pagar el propietario a los trabajadores si cavan un pozo de 9 metros de profundidad?
43. En la cesta hay 45 setas: nísperos y setas con leche. Se sabe que entre 23 hongos hay al menos un níscalo de azafrán, y entre 24 hongos hay al menos un champiñón de leche. ¿Cuántas níscalos de leche de azafrán hay en la cesta?
44. En la cesta hay 25 setas: nísperos y setas con leche. Se sabe que entre 11 hongos hay al menos un níscalo de azafrán, y entre 16 hongos hay al menos un champiñón de leche. ¿Cuántas níscalos de leche de azafrán hay en la cesta?
45. La lista de tareas del cuestionario constaba de 25 preguntas. Por cada respuesta correcta, el alumno recibió 7 puntos, por una respuesta incorrecta se le descontaron 10 puntos y por no responder se le otorgaron 0 puntos. ¿Cuántas respuestas correctas dio un estudiante que obtuvo 42 puntos si se sabe que se equivocó al menos una vez?
46. El palo está marcado con líneas transversales de color rojo, amarillo y verde. Si cortas un palo por las líneas rojas, obtendrás 5 piezas, si lo haces por las líneas amarillas, 7 piezas y si lo haces por las líneas verdes, 11 piezas. ¿Cuántas piezas obtendrás si cortas un palo siguiendo las líneas de los tres colores?
47. Un caracol trepa por un árbol 2 m en un día y se desliza 1 m por un árbol durante la noche. La altura del árbol es 11 m. ¿Cuántos días le tomará al caracol arrastrarse desde la base hasta la cima del árbol? ¿árbol?
48. Un caracol trepa por un árbol 4 m en un día y se desliza 2 m por un árbol durante la noche. La altura del árbol es 14 m. ¿Cuántos días le tomará al caracol arrastrarse desde la base hasta la cima del árbol? ¿árbol?
49. El rectángulo se divide en cuatro rectángulos más pequeños mediante dos cortes rectos. Los perímetros de tres de ellos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 24, 28 y 16. Calcula el perímetro del cuarto rectángulo.
50. En la oficina de cambio podrás realizar una de dos operaciones:
1) por 2 monedas de oro, obtén 3 de plata y una de cobre;
2) por 5 monedas de plata obtienes 3 de oro y una de cobre.
Nicolás sólo tenía monedas de plata. Después de varias visitas a la oficina de cambio, sus monedas de plata se hicieron más pequeñas, no aparecieron monedas de oro, pero sí 50 monedas de cobre. ¿En cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nicolás?
51. El rectángulo se divide en cuatro rectángulos más pequeños mediante dos cortes rectos. Los perímetros de tres de ellos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 24, 28 y 16. Calcula el perímetro del cuarto rectángulo.
52. En la oficina de cambio podrás realizar una de dos operaciones:
1) por 4 monedas de oro, obtén 5 de plata y una de cobre;
2) por 7 monedas de plata obtienes 5 de oro y una de cobre.
Nicolás sólo tenía monedas de plata. Después de varias visitas a la oficina de cambio, sus monedas de plata se hicieron más pequeñas, no aparecieron monedas de oro, pero aparecieron 90 monedas de cobre. ¿En cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nicolás?
53. Todas las entradas de la casa tienen el mismo número de pisos y cada piso tiene el mismo número de apartamentos. En este caso, el número de entradas de la casa es menor que el número de apartamentos en el piso, el número de apartamentos en el piso es menor que el número de pisos, el número de entradas es más de uno y el número de los pisos no son más de 24. ¿Cuántos pisos hay en la casa si solo hay 156 departamentos?
54. EN Hay 26 estudiantes en la clase. Varios de ellos escuchan rock, 14 personas escuchan rap y sólo tres escuchan rock y rap a la vez. Se sabe que los cuatro no escuchan rock ni rap. ¿Cuántas personas en la clase escuchan música rock?
55. EN Hay 35 peces en la jaula: perca y cucaracha. Se sabe que entre 21 peces hay al menos una cucaracha y entre 16 peces hay al menos una perca. ¿Cuántas cucarachas hay en la jaula?
56. Hay 30 paralelos y 24 meridianos dibujados en la superficie del globo con un rotulador. ¿En cuántas partes las líneas dibujadas dividieron la superficie del globo? (un meridiano es un arco de círculo que conecta los polos norte y sur, y un paralelo es el límite de la sección del globo por un plano paralelo al plano del ecuador).
57.
EN
En una casa de cambio prehistórica se podía realizar una de dos operaciones:
- para 2 pieles león de las cavernas consigue 5 pieles de tigre y 1 piel de jabalí;
- Por 7 pieles de tigre, obtienes 2 pieles de león cavernario y 1 piel de jabalí.
Un, hijo del Toro, sólo tenía pieles de tigre. Después de varias visitas a la oficina de cambio, no tenía más pieles de tigre, ni pieles de león cavernario, pero aparecieron 80 pieles de jabalí. ¿En cuánto disminuyó finalmente el número de pieles de tigre para Un, el hijo del Toro?
58. EN La unidad militar 32103 tiene 3 tipos de ensalada, 2 tipos de primer plato, 3 tipos de segundo plato y opción de compota o té. ¿Cuántas opciones de almuerzo, compuesto por una ensalada, un primer plato, un segundo plato y una bebida, puede elegir el personal militar de esta unidad militar?
59. Un caracol trepa por un árbol 5 metros durante el día y se desliza hacia abajo 3 metros durante la noche. La altura del árbol es de 17 metros. ¿Qué día subirá el caracol por primera vez a la copa del árbol?
60. ¿De cuántas maneras se pueden colocar en fila tres cubos amarillos idénticos, un cubo azul y un cubo verde?
61. El producto de dieciséis números naturales consecutivos se divide por 11. ¿Cuál es el resto de la división?
62. Cada minuto una bacteria se divide en dos nuevas bacterias. Se sabe que las bacterias llenan todo el volumen de un frasco de tres litros en 4 horas. ¿Cuántos segundos tardan las bacterias en llenar un cuarto de un frasco?
63. La lista de tareas del cuestionario constaba de 36 preguntas. Por cada respuesta correcta, el alumno recibió 5 puntos, por una respuesta incorrecta se le descontaron 11 puntos y por no responder se le otorgaron 0 puntos. ¿Cuántas respuestas correctas dio un alumno que obtuvo 75 puntos, si se sabe que se equivocó al menos una vez?
64. Un saltamontes salta por un camino recto, la longitud de un salto es de 1 cm, primero salta 11 saltos hacia adelante, luego 3 hacia atrás, luego nuevamente 11 saltos y luego 3 saltos hacia atrás, y así sucesivamente, ¿cuántos saltos dará? el momento en que se encuentra por primera vez a una distancia de 100 cm del inicio.
65. El palo está marcado con líneas transversales de color rojo, amarillo y verde. Si cortas un palo a lo largo de las líneas rojas, obtendrás 7 piezas, si lo cortas a lo largo de las líneas amarillas, 13 piezas y si lo cortas a lo largo de las líneas verdes, 5 piezas. ¿Cuántas piezas obtendrás si cortas un palo siguiendo las líneas de los tres colores?
66.
EN
En la oficina de cambio podrás realizar una de dos operaciones:
por 2 monedas de oro obtienes 3 de plata y una de cobre;
Por 5 monedas de plata obtienes 3 de oro y una de cobre.
Nicolás sólo tenía monedas de plata. Después de varias visitas a la oficina de cambio, sus monedas de plata se hicieron más pequeñas, no aparecieron monedas de oro, pero sí 50 monedas de cobre. ¿En cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nicolás?
67.
El rectángulo se divide en cuatro rectángulos más pequeños mediante dos cortes rectos.
Los perímetros de tres de ellos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 24, 28 y 16. Calcula el perímetro del cuarto rectángulo. 
68.
EN
En la oficina de cambio podrás realizar una de dos operaciones:
1) por 4 monedas de oro, obtén 5 de plata y una de cobre;
2) por 7 monedas de plata obtienes 5 de oro y una de cobre.
Nikola sólo tenía monedas de plata. Después de visitar la oficina de cambio, sus monedas de plata se hicieron más pequeñas, no aparecieron monedas de oro, pero aparecieron 90 monedas de cobre. ¿Cuánto ha disminuido la cantidad de monedas de plata?
69. Un caracol trepa por un árbol 4 m en un día y se desliza 2 m por un árbol durante la noche. La altura del árbol es de 12 m. ¿Cuántos días le tomará al caracol arrastrarse desde la base hasta la cima del árbol? ¿árbol?
70.
La lista de tareas del cuestionario constaba de 32 preguntas. Por cada respuesta correcta el alumno recibe 5 puntos. Por una respuesta incorrecta se descontaban 9 puntos, si no había respuesta se otorgaban 0 puntos.
¿Cuántas respuestas correctas dio un estudiante que obtuvo 75 puntos si cometió al menos dos errores?
71. La lista de tareas del cuestionario constaba de 25 preguntas. Por cada respuesta correcta, el alumno recibió 7 puntos, por una respuesta incorrecta se le descontaron 10 puntos y por no responder se le otorgaron 0 puntos. ¿Cuántas respuestas correctas dio un estudiante que obtuvo 42 puntos si se sabe que se equivocó al menos una vez?
72. El propietario acordó con los trabajadores que le cavarían un pozo con las siguientes condiciones: por el primer metro les pagaría 4.200 rublos y por cada metro siguiente, 1.300 rublos más que por el anterior. ¿Cuántos rublos tendrá que pagar el propietario a los trabajadores si cavan un pozo de 11 metros de profundidad?
73.
El rectángulo se divide en cuatro pequeños rectángulos mediante dos cortes rectos. Las áreas de tres de ellos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 18, 12 y 20. Calcula el área del cuarto rectángulo. 
74.
El rectángulo se divide en cuatro pequeños rectángulos mediante dos cortes rectos. Las áreas de tres de ellos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 12, 18 y 30. Calcula el área del cuarto rectángulo. 
75. EN La tabla tiene tres columnas y varias filas. EN cada celda de la tabla se colocó de acuerdo con un número natural de modo que la suma de todos los números en la primera columna sea 85, en la segunda - 77, en la tercera - 71, y la suma de los números en cada fila sea mayor que 12, pero menos de 15. ¿Cuántas filas hay en la tabla?
76. El saltamontes salta a lo largo de la línea de coordenadas en cualquier dirección durante un segmento unitario por salto. ¿Cuántos puntos diferentes hay en la recta de coordenadas en los que puede llegar el saltamontes después de dar 10 saltos, empezando desde el origen?
77. Sasha invitó a Petya a visitarlo y le dijo que vivía en la séptima entrada del apartamento número 462, pero se olvidó de decir el piso. Al acercarse a la casa, Petya descubrió que la casa tenía siete pisos de altura. ¿En qué piso vive Sasha? (En todos los pisos el número de apartamentos es el mismo; el número de apartamentos en el edificio comienza con uno).
78.
EN
En la oficina de cambio podrás realizar una de dos operaciones:
por 2 monedas de oro obtienes 3 de plata y una de cobre;
Por 7 monedas de plata obtienes 3 de oro y una de cobre.
Nicolás sólo tenía monedas de plata. Después de la casa de cambio, no tenía monedas de oro, pero aparecieron 20 de cobre. ¿En cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nicolás?
79.
El saltamontes salta a lo largo de la línea de coordenadas en cualquier dirección durante un segmento unitario por salto. ¿Cuántos puntos diferentes hay en la recta de coordenadas en los que puede llegar el saltamontes después de realizar 11 saltos, partiendo del origen?
80. Hay cuatro gasolineras en la circunvalación: A, B, C y G. La distancia entre A y B - 35 km, entre A y B - 20 km, entre B y G - 20 km, entre G y A - 30 km (todas las distancias se miden a lo largo de la carretera de circunvalación por el arco más corto). Encuentre la distancia (en kilómetros) entre B y V.
81.
EN
En la oficina de cambio podrás realizar una de dos operaciones:
por 4 monedas de oro obtienes 5 de plata y una de cobre;
Por 7 monedas de plata obtienes 5 de oro y una de cobre.
Nicolás sólo tenía monedas de plata. Después de la oficina de cambio, tenía menos monedas de plata, no aparecieron monedas de oro, pero aparecieron 90 monedas de cobre. ¿Cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nicolás?
82. Un saltamontes salta a lo largo de una línea de coordenadas en cualquier dirección durante un segmento unitario por salto. ¿Cuántos puntos hay en la recta de coordenadas donde puede terminar el saltamontes después de realizar exactamente 8 saltos, comenzando desde el origen?
83.
EN
En la oficina de cambio podrás realizar una de dos operaciones:
por 5 monedas de oro obtienes 4 de plata y una de cobre;
Por 10 monedas de plata obtienes 7 de oro y una de cobre.
Nicolás sólo tenía monedas de plata. Después de la oficina de cambio, tenía menos monedas de plata, no aparecieron monedas de oro, pero aparecieron 60 monedas de cobre. ¿En cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nicolás?
84.
EN
En la oficina de cambio podrás realizar una de dos operaciones:
por 5 monedas de oro obtienes 6 de plata y una de cobre;
Por 8 monedas de plata obtienes 6 de oro y una de cobre.
Nicolás sólo tenía monedas de plata. Después de la oficina de cambio, tenía menos monedas de plata, no aparecieron monedas de oro, pero aparecieron 55 monedas de cobre. ¿En cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nicolás?
85.
Todas las entradas de la casa tienen el mismo número de pisos y todos los pisos tienen el mismo número de apartamentos. En este caso, el número de pisos de la casa es mayor que el número de apartamentos en el piso, el número de apartamentos en el piso es mayor que el número de entradas y el número de entradas es más de uno. ¿Cuantos pisos tiene el edificio si hay 105 departamentos en total?
86.
EN
En la oficina de cambio podrás realizar una de dos operaciones:
1) por 3 monedas de oro, obtén 4 de plata y una de cobre;
2) por 7 monedas de plata obtienes 4 de oro y una de cobre.
Nikola sólo tenía monedas de plata. Después de visitar la oficina de cambio, sus monedas de plata se hicieron más pequeñas, no aparecieron monedas de oro, pero aparecieron 42 monedas de cobre. ¿En cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nikola?
RESPUESTAS
La tarea número 20 del Examen Estatal Unificado de Matemáticas contiene una tarea de inteligencia. Las tareas de esta sección son más intuitivas que las de la tarea 19 del Examen Estatal Unificado, pero, sin embargo, son bastante complejas para un estudiante normal. Entonces, pasemos a considerar opciones típicas.
Análisis de opciones típicas para las tareas No. 20 del Examen Estatal Unificado en matemáticas de nivel básico
Primera versión de la tarea (versión demo 2018)
- por 2 monedas de oro obtienes 3 de plata y una de cobre;
- Por 5 monedas de plata obtienes 3 de oro y una de cobre.
Nicolás sólo tenía monedas de plata. Después de varias visitas a la oficina de cambio, sus monedas de plata se hicieron más pequeñas, no aparecieron monedas de oro, pero sí 50 monedas de cobre. ¿En cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nicolás?
Algoritmo de ejecución:
- Introduzca símbolos.
- Registre los datos de la tarea usando simbolos.
- Determinar la incógnita mediante razonamiento lógico.
Solución:
Según la condición, no aparecieron monedas de oro, lo que significa que Nikolai intercambió todas las monedas de oro recibidas después de la segunda operación utilizando la primera operación. Las monedas de oro sólo se pueden cambiar en 2 piezas, por lo que hubo un número par de segundas transacciones.
Introduzcamos la notación, sean operaciones de 2n segundos (el número siempre es par).
Si aplicamos la segunda operación obtenemos:
Todas las monedas de oro se cambiaron en la primera transacción. En una operación, puedes intercambiar 2 monedas de oro a la vez, lo que significa que el número total de operaciones será (3 · 2n)/2 = 3 n. Eso es
Se cambiaron 3 · 2n de oro por 3 · 3n de plata + 3n de cobre.
O después de la conversión:
Comparemos los resultados de la primera y la segunda operación:
Se cambiaron 5 · 2n de plata por 3 · 2n de oro + 2n de cobre.
3 · 2n oro cambiado por 9n plata + 3n cobre
5 · Plata 2n cambiada por plata 9n + cobre 3n+cobre 2n
Plata 10n cambiada por plata 9n + cobre 5n
Si, después de intercambiar 10n monedas de plata, obtenemos 9n monedas de plata, entonces el número de monedas de plata de Nicolás ha disminuido en n. De la última expresión se desprende claramente que Nikolai recibió 5n monedas de cobre y, según la condición, aparecieron 50 monedas de cobre, es decir, 5n = 50.
Segunda versión de la tarea.
Masha y el Oso se comieron 100 galletas y un tarro de mermelada, empezando y terminando al mismo tiempo. Al principio, Masha comía mermelada y Bear, galletas, pero en algún momento cambiaron. El oso se come a ambos tres veces más rápido que Masha. ¿Cuántas galletas se comió el Oso si comieron la misma cantidad de mermelada?
Algoritmo de ejecución:
- Compara los resultados.
- Encuentra lo desconocido.
Solución:
- Dado que tanto Masha como el Oso comieron mermelada por igual, y el Oso se comió la mermelada 3 veces más rápido, entonces Masha se comió la mermelada (su mitad) 3 veces más que el Oso (la misma mitad).
- Luego resulta que el Oso comió galletas 3 veces más que Masha y también las comió 3 veces más rápido, es decir, por una galleta que se comió Masha, el Oso se comió 3∙3=9 galletas.
- El total de estas cookies es 1+9=10 y hay exactamente 100:10 = 10 de esas cantidades en 100 cookies.
- Esto significa que Masha comió 10 galletas y Bear comió 9∙10=90.
Tercera versión de la tarea.
Masha y el Oso comieron 51 galletas y un tarro de mermelada, empezando y terminando al mismo tiempo. Al principio, Masha comía mermelada y Bear, galletas, pero en algún momento cambiaron. El oso se come ambos cuatro veces más rápido que Masha. ¿Cuántas galletas se comió el Oso si comieron la misma cantidad de mermelada?
Algoritmo de ejecución:
- Determina quién se comió las galletas y durante cuántas veces más.
- Determina quién se comió la mermelada y durante cuántas veces más.
- Compara los resultados.
- Encuentra lo desconocido.
Solución:
- Dado que tanto Masha como el Oso comieron mermelada por igual, y al mismo tiempo el Oso se comió la mermelada 4 veces más rápido, entonces Masha se comió la mermelada (su mitad) 4 veces más que el Oso (la misma mitad).
- Entonces resulta que el Oso comió galletas 4 veces más que Masha y también las comió 4 veces más rápido, es decir, por una galleta que se comió Masha, hubo 4∙4 = 16 galletas que se comió el Oso.
- El total de estas cookies es 1+16=17 y hay exactamente 51:17 = 3 sumas de este tipo en 51 cookies.
- Esto significa que Masha comió 3 galletas y Bear comió 3∙16=48.
Cuarta versión de la tarea.
Si cada uno de los dos factores aumentara en 1, su producto aumentaría en 11. De hecho, cada uno de los dos factores aumentaría en 2. ¿Cuánto aumentó el producto?
Algoritmo de ejecución:
- Introduzca símbolos.
- Convierte la expresión resultante.
- Encuentra lo desconocido.
Solución:
Cuando estos factores aumentan en 1, su producto aumenta en 11, es decir,
Ahora calculemos de manera similar cuánto aumentará el producto si los factores se incrementan en 2 y sustituyamos lo que ya sabemos a + b = 10:
Quinta versión de la tarea.
Si cada uno de los dos factores aumentara en 1, su producto aumentaría en 3. De hecho, cada uno de los dos factores aumentaría en 5. ¿Cuánto aumentó el producto?
Algoritmo de ejecución:
- Introduzca símbolos.
- Escribe la primera condición usando símbolos.
- Convierte la expresión resultante.
- Escribe la segunda condición usando símbolos.
- Convierte la expresión resultante.
- Encuentra lo desconocido.
Solución:
Sea el primer factor igual a a y el segundo factor igual a b, su producto es igual a ab.
Cuando estos factores aumentan en 1, su producto aumenta en 3, es decir,
Muevamos el producto ab hacia el lado izquierdo con el signo opuesto y abramos los corchetes multiplicando.
Ahora calculemos de manera similar cuánto aumentará el producto si los factores se incrementan en 5 y sustituyamos lo que ya sabemos a + b = 2:
Opción para la vigésima tarea 2017.
El rectángulo está dividido en cuatro rectángulos más pequeños por dos segmentos de línea recta. Los perímetros de tres de ellos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 24, 28 y 16. Calcula el perímetro del cuarto rectángulo.
Volvamos a dibujar el rectángulo en una forma que nos resulte conveniente:
Ahora creemos ecuaciones usando la fórmula para el perímetro de un rectángulo:
Opción para la vigésima tarea de 2019 (1)
La lista de tareas del cuestionario constaba de 25 preguntas. Por cada respuesta correcta, el alumno recibió 7 puntos, por una respuesta incorrecta se le descontaron 10 puntos y por no responder se le otorgaron 0 puntos. ¿Cuántas respuestas correctas dio un estudiante que obtuvo 42 puntos si se sabe que se equivocó al menos una vez?
Algoritmo de ejecución
- Hacemos combinaciones de respuestas correctas e incorrectas y determinamos el número de puntos en ellas, por ejemplo: 1) 1 correcto + 1 incorrecto = 7–10 = –3 puntos; 2) 2 correctos + 1 incorrecto = 2 7–10 = 4 puntos, etc.
- De los puntos por las respuestas correctas y los puntos por sus combinaciones, “obtuvimos” 42 puntos. Contamos el número de preguntas que se hicieron.
- La diferencia restante entre el número de preguntas recibidas y las 25 preguntas dadas se define como aquellas que no fueron respondidas.
- Comprobamos el resultado obtenido.
Solución:
Introduzcamos las siguientes notaciones: respuesta correcta – 1P, respuesta incorrecta – 1H.
Configuramos las combinaciones y determinamos la cantidad de puntos que se otorgarán:
1P=7 puntos
1P+1N=7–10=–3 segundo.
2P+1N=2·7–10=4 b.
3P+1N=3·7–10=11 b.
Resumamos los puntos que puedes obtener: 7+ (–3)+4+11=19. Está claro que esto no es suficiente. Y tienes la garantía de agregar 11 más: 19+11=30. Para “llegar” a 42 puntos, es necesario sumar 12 puntos más, que se obtienen mediante la entrada triple de 4 puntos. En general obtenemos:
7+(–3)+4+11+11+3·4=42.
Escribamos la combinación de términos resultante en forma de respuestas:
1P+(1P+1N)+(2P+1N)+(3P+1N)+(3P+1N)+3 (2P+1N)=1P+1P+1N+2P+1N+3P+1N+3P+ 1N+6P +3N=16P+7N (respuestas).
16+7=23 respuestas. 25–23=2 respuestas por las que se recibieron 0 puntos, es decir estas son preguntas sin respuesta.
Entonces, según nuestros cálculos, se dieron 16 respuestas correctas.
Comprobemos esto:
16 respuestas, 7 puntos cada una. + 7 respuestas para (–10) b. + 2 respuestas 0 puntos cada una. = 16·7–7·10+2·0=112–70+0=42 (puntos).
Opción para la vigésima tarea de 2019 (2)
La tabla tiene tres columnas y varias filas. Se escribió un número natural en cada celda de la tabla de modo que la suma de todos los números en la primera columna sea 103, en la segunda – 97, en la tercera – 93 y la suma de los números en cada fila sea mayor que 21. , pero menos de 24. ¿Cuántas filas hay en la tabla?
Algoritmo de ejecución
- Encuentre la suma total de todos los números en la tabla (sumando las sumas de cada una de las 3 columnas).
- Determinamos el rango de valores aceptables para las sumas de números en cada línea.
- Al dividir la cantidad total primero por la suma más pequeña de números en cada línea y luego por la más grande, obtenemos el número requerido de líneas.
Solución:
La suma total de los números de la tabla es: 103+97+93=293.
Dado que por condición la suma de los números en cada línea es >21, pero<24, то кол-во строк X может быть равным меньше, чем 293:21≈13,95, и больше, чем 293:24≈12,21. Т.е.: 12,21 < X < 13,95. Единственное целое число в полученном диапазоне – 13. Значит, искомое кол-во строк равно 13.
Opción para la vigésima tarea de 2019 (3)
En la casa sólo hay dieciocho apartamentos con números del 1 al 18. Cada apartamento está habitado por al menos una y no más de tres personas. En los apartamentos del 1 al 13 inclusive viven un total de 15 personas y en los apartamentos del 11 al 18 inclusive viven un total de 20 personas. ¿Cuántas personas viven en esta casa?
Algoritmo de ejecución
- Determinamos el número máximo de personas que viven en los apartamentos 11 a 13, utilizando datos sobre cuántas personas viven en los apartamentos 1 a 13.
- Encontramos el número mínimo de residentes de los apartamentos 11 a 13, teniendo en cuenta los datos sobre quienes viven en los apartamentos 11 a 18.
- Al comparar los datos obtenidos en los párrafos 1 a 2, obtenemos el número exacto de residentes de estos apartamentos No. 11 a 13.
- Calculamos el número de personas que viven en los apartamentos 1 a 10 y 14 a 18.
- Calculamos el número total de habitantes de la casa.
Solución:
Los primeros 13 apartamentos (del 1 al 13) albergan a 15 personas. Esto significa que 1 persona vive en 11 apartamentos, más 2 personas viven en 2 apartamentos (11·1+2·2=15). En consecuencia, en los apartamentos 11 a 13 (es decir, 3) viven al menos 3 y no más de 5 (1+2+2) personas.
Los segundos 8 apartamentos (del 11 al 18) albergan a 20 personas. Además, entre los apartamentos 14 y 18 (es decir, 5 apartamentos) no pueden vivir más de 5,3 = 15 personas. Por lo tanto, en los apartamentos 11-13 viven al menos 20-15 = 5 personas.
Aquellos. por un lado, en los apartamentos 11-13 no deben vivir más de 5 personas, y por el otro, al menos 5. Conclusión: en estos apartamentos viven exactamente 5 personas, porque No existen otros valores válidos para ambos casos.
Entonces obtenemos: 15–5=10 personas viven en los apartamentos 1–10, 20–5=15 personas viven en los apartamentos 14–18. Número total de personas que viven en la casa: 10+5+15=30 personas.
Opción para la vigésima tarea de 2019 (4)
En la oficina de cambio podrás realizar una de dos operaciones:
- por 4 monedas de oro obtienes 5 de plata y una de cobre;
- Por 7 monedas de plata obtienes 5 de oro y una de cobre.
Nicolás sólo tenía monedas de plata. Después de varias visitas a la oficina de cambio, sus monedas de plata se hicieron más pequeñas, no aparecieron monedas de oro, pero aparecieron 45 monedas de cobre. ¿En cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nicolás?
Algoritmo de ejecución
- Determinamos la cantidad de monedas de plata que Nikolay necesita para realizar un doble intercambio para que no le queden monedas de oro. Un doble intercambio es el intercambio de primero monedas de plata por oro y cobre, y luego de oro por plata y cobre.
- Determinamos la cantidad de monedas diferentes que tendrá Nikolai como resultado de 1 doble intercambio.
- Calculamos el número de intercambios dobles que se deben realizar para que aparezcan 45 monedas de cobre.
- Hallamos la cantidad de monedas de plata que Nikolai debería haber tenido inicialmente para realizar el número requerido de intercambios, y que recibió como resultado de todos los intercambios.
- Determinamos la diferencia deseada.
Solución:
Nikolay debe realizar el primer cambio según el segundo esquema, porque solo tiene monedas de plata. Para que termine sin monedas de oro, necesita encontrar el múltiplo mínimo de las 5 monedas de oro que recibirá y las 4 monedas de oro que puede aceptar en su totalidad (sin resto) a la vez. Este es el número 20.
En consecuencia, para recibir 20 monedas de oro, Nicolás debe tener 20:5 = 4 juegos de monedas de plata de 7 piezas. Esto significa que inicialmente debería tener 4·7=28. Y al mismo tiempo, Nikolai también recibe 1·4=4 monedas de cobre.
Al realizar el intercambio, Nikolai da 20:4 = 5 juegos de medallas de oro. A cambio, recibe 5,5=25 monedas de plata y 1,5=5 monedas de cobre.
Así, como resultado de un intercambio, Nikolai tendrá 25 monedas de plata y 4+5=9 monedas de cobre. Dado que Nicolás terminó con 45 monedas de cobre, significa que se realizaron 45:9 = 5 intercambios dobles.
Si como resultado de 1 doble intercambio Nikolai obtuvo 25 monedas de plata, luego de 5 intercambios tendrá 25,5=125 piezas. Para ello necesitaba inicialmente 28,5 = 140 monedas de plata. En consecuencia, su número en Nikolai disminuyó entre 140 y 125 = 15 piezas.
Opción para la vigésima tarea de 2019 (5)
Todas las entradas de la casa tienen el mismo número de pisos y todos los pisos tienen el mismo número de apartamentos. En este caso, el número de pisos de la casa es mayor que el número de apartamentos en el piso, el número de apartamentos en el piso es mayor que el número de entradas y el número de entradas es más de uno. ¿Cuántos pisos tiene el edificio si hay 357 departamentos en total?
Algoritmo de ejecución
- Definimos una ecuación para determinar la cantidad de apartamentos en un edificio utilizando los parámetros establecidos en las condiciones (es decir, a través de la cantidad de apartamentos en el piso, etc.).
- Factoricemos 357.
- Encontramos la correspondencia de los multiplicadores resultantes con parámetros específicos, en función de la condición de cuál de los parámetros es mayor o menor que los demás.
Solución:
Porque en todos los pisos hay el mismo número de apartamentos (X), en todas las entradas hay el mismo número de pisos (Y), luego, denotando el número de entradas con Z, podemos escribir: 357 = X·Y·Z.
Factoricemos 357 en factores primos. Obtenemos: 357=3·7·17·1. Además, esta es la única opción de diseño. Porque Y>X>Z>1, entonces no tomamos en cuenta la unidad en el diseño y determinamos que Z=3, X=7, Y=17.
Dado que el número de pisos fue designado por Y, el número requerido es 17.
Opción para la vigésima tarea de 2019 (6)
De los diez países, siete firmaron un tratado de amistad con exactamente tres países, y cada uno de los tres restantes firmó un tratado de amistad con exactamente siete. ¿Cuántos contratos se firmaron?
Algoritmo de ejecución
- Contamos el número de acuerdos firmados por 7 países.
- Determinamos el número de acuerdos firmados por los 3 países restantes.
- Encontramos el número total de contratos firmados. Lo dividimos por 2, porque acuerdos bilaterales.
Solución:
Los primeros 7 países firmaron acuerdos con 3 países, es decir. Estos contratos tienen 7·3=21 firmas. Asimismo, los 3 países restantes, al redactar acuerdos con 7 países, pusieron 3·7=21 firmas. Esto significa que hay 21+21=42 firmas en total.
Porque Todos los contratos son bilaterales, lo que significa que cada uno de ellos tiene 2 firmas. En consecuencia, hay la mitad de contratos que firmas, es decir, 42:2=21 acuerdos.
Opción para la vigésima tarea de 2019 (7)
En la superficie del globo se dibujaron 13 paralelos y 25 meridianos con un rotulador. ¿En cuántas partes las líneas dibujadas dividieron la superficie del globo?
Un meridiano es un arco de círculo que conecta los polos norte y sur. Un paralelo es un círculo que se encuentra en un plano paralelo al plano del ecuador.
Algoritmo de ejecución
- Probamos que los paralelos dividen el globo en 13+1 partes.
- Probamos que los meridianos dividen el globo en 25 partes.
- Determinamos el número de partes en las que se divide el globo en su conjunto, como producto de los números encontrados.
Solución:
Si todo paralelo es un círculo, entonces es una recta cerrada. Esto significa que el primer paralelo divide el globo en 2 partes. Además, el segundo paralelo proporciona la división en 3 partes, el tercero en 4, etc. Como resultado, 13 paralelos dividirán el globo en 13+1=14 partes.
Un meridiano es un arco de círculo que conecta los polos, es decir No es una línea cerrada y no divide el globo en partes. Pero ya se están separando 2 meridianos, es decir. 2 meridianos proporcionan división en 2 partes, luego el tercer meridiano agrega la tercera parte, el cuarto – la quinta parte, etc. Esto significa que, en última instancia, 25 meridianos crean 25 partes del globo.
El número total de partes del globo es: 14·25=350 partes.
Opción para la vigésima tarea de 2019 (8)
Hay 30 setas en la cesta: nísperos y setas con leche. Se sabe que entre 12 hongos hay al menos un níscalo de azafrán, y entre 20 hongos hay al menos un champiñón de leche. ¿Cuántas níscalos de leche de azafrán hay en la cesta?
Algoritmo de ejecución
- Determinamos el número de setas de leche entre 12 setas y de nísperos de azafrán entre 20 setas.
- Demostramos que sólo hay un número correcto que representa el número de níscalos de leche de azafrán. Lo registramos en la respuesta.
Solución:
Si entre 12 setas hay al menos 1 seta de leche, entonces no hay más de 11 setas. Si entre 20 setas hay al menos 1 seta de leche, entonces no hay más de 19 setas.
Esto significa que si no puede haber más de 11 setas con leche, entonces no puede haber menos de 30 – 11 = 19 setas. Aquellos. no hay más de 19 níscalos de un lado y no menos de 19 del otro, por lo que sólo puede haber exactamente 19 níscalos.
Opción para la vigésima tarea de 2019 (9)
Si cada uno de los dos factores aumentara en 1, entonces su producto aumentaría en 3. ¿Cuánto aumentaría el producto de estos factores si cada uno de ellos aumentara en 5?
Algoritmo de ejecución
- Introducimos la notación para los factores. Esto nos permitirá expresar el producto original (antes de aumentar los factores).
- Redactamos una ecuación para la situación en la que los factores se incrementan en 1. Realizamos las transformaciones. Obtenemos una nueva expresión que muestra la relación entre los factores originales.
- Creamos una ecuación para la situación en la que los factores se incrementan en 5. Realizamos las transformaciones. Ingresamos la expresión obtenida en el paso 2 en la ecuación y encontramos la diferencia deseada.
Solución:
Sea el primer factor igual a x y el segundo a y. Entonces su producto es xy.
Después de aumentar los multiplicadores en 1, obtenemos:
(x+1)(y+1)=xy+3
xy +y+x+1= xy +3
Después de aumentar los multiplicadores por 5 tenemos:
(x+5)(y+5)=xy+N, donde N es la diferencia deseada en productos.
Realizamos las transformaciones:
xy+5y+5x+25=xy+N
norte= xy +5y+5x+25– xy
Porque Ya se ha determinado anteriormente que x + y = 2, entonces obtenemos:
Opción para la vigésima tarea de 2019 (10)
Sasha invitó a Petya a visitarlo y le dijo que vivía en la séptima entrada del apartamento número 462, pero se olvidó de decir el piso. Al acercarse a la casa, Petya descubrió que la casa tenía siete pisos de altura. ¿En qué piso vive Sasha? (En todos los pisos el número de apartamentos es el mismo; la numeración de apartamentos en el edificio comienza desde uno).
Algoritmo de ejecución
- Utilizando el método de selección, determinamos la cantidad de apartamentos en el sitio. Este número debe ser tal que el número de apartamentos sea mayor que el número de apartamentos en 6 entradas, pero menor que el número de apartamentos en 7.
- Determinamos el número de apartamentos en 6 entradas. Restamos este número de 462 y lo dividimos por el número de apartamentos en el sitio. De esta manera averiguamos el número de piso requerido. Nota: 1) si se recibe un número entero, entonces el número de piso deseado es 1 mayor que el valor calculado; 2) Si se recibe un número fraccionario, el resultado redondeado será el número del piso.
Solución:
Buscamos el número de apartamentos en el sitio, verificando número por número.
Supongamos que este número es 3. Entonces obtenemos que en 7 entradas en 6 pisos hay 7 6 3 = 126 apartamentos,
y en 7 entradas en 7 plantas hay 7·7·3=147 apartamentos.
El apartamento nº 462 definitivamente no entra en el grupo de apartamentos nº 126–147.
Del mismo modo, comprobando los números 4, 5, etc., llegamos al número 10. Demostremos que es exactamente el correcto:
en 7 entradas en 6 plantas hay 7 6 10 = 420 apartamentos,
en 7 entradas en 7 plantas: 7·7·10=490 apartamentos. Desde 420<462<490, то условие задания выполнено.
Para llegar al apartamento nº 462, hay que pasar por 462–420 = 42 apartamentos. Porque En cada sitio hay 10 apartamentos, entonces es necesario superar 42:10 = 4,2 pisos. 4.2 significa que debes atravesar 4 pisos por completo y subir al quinto. Así, el piso requerido es el 5º.
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