Tareas para determinar valores en varios sistemas numeros y sus bases

Ejercicio 1. Para codificar los caracteres @, $, &, %, se utilizan números binarios secuenciales de dos dígitos. El primer carácter corresponde al número 00. A partir de estos caracteres se codificó la siguiente secuencia: $%&&@$. Decodifica esta secuencia y convierte el resultado al sistema numérico hexadecimal.

Solución.

1. Comparemos los números binarios con los caracteres que codifican:
00 — @, 01 — $, 10 — &, 11 — %

3. Convierta el número binario al sistema numérico hexadecimal:
0111 1010 0001 = 7A1

Respuesta. 7A1 16.

Tarea 2. El jardín tiene 100 x árboles frutales, de los cuales 33 x son manzanos, 22 x...
– peras, 16 x – ciruelas, 17 x – cerezas. ¿Cuál es la base del sistema numérico (x)?

Solución.

1. Tenga en cuenta que todos los términos son cifras dobles. En cualquier sistema numérico se pueden representar de la siguiente manera:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, donde a y b son los dígitos de los dígitos correspondientes del número.
Para número de tres dígitos será así:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = hacha 2 + bx + c

2. La condición del problema es:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
Sustituyamos los números en las fórmulas:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2

3. Resuelve la ecuación cuadrática:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Raíz cuadrada de D es 11.
Raíces de una ecuación cuadrática:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 o x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Un número negativo no puede ser la base de un sistema numérico. Por lo tanto x sólo puede ser igual a 9.

Respuesta. La base requerida del sistema numérico es 9.

Tarea 3. En un sistema numérico con alguna base, el número decimal 12 se escribe como 110. Encuentra esta base.

Solución.

Primero, escribiremos el número 110 mediante la fórmula para escribir números en sistemas numéricos posicionales para encontrar el valor en el sistema numérico decimal, y luego encontraremos la base por fuerza bruta.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Necesitamos obtener 12. Probemos 2: 2 2 + 2 = 6. Pruebe 3: 3 2 + 3 = 12.

Esto significa que la base del sistema numérico es 3.

Respuesta. La base requerida del sistema numérico es 3.

Sistemas numéricos hexadecimales y octales

Ejercicio 1.¿Qué número en el sistema numérico hexadecimal corresponde al número 11000101?

Solución.

Al convertir un número binario a hexadecimal, el primero se divide en grupos de cuatro dígitos, comenzando desde el final. Si el número de dígitos no es divisible por cuatro, los primeros cuatro van precedidos de ceros. Cada cuatro tiene una correspondencia única con un dígito en el sistema numérico hexadecimal.

11000101 = 1100 0101 = C5 16

No es necesario tener una mesa de correspondencia frente a tus ojos. El conteo binario de los primeros 15 números se puede hacer mentalmente o escribirlo secuencialmente. No hay que olvidar que 10 en el sistema decimal corresponde a A en hexadecimal, 11 - B, 12 - C, 13 - D, 14 - E, 15 - F.

Respuesta. 11000101 = C5 16

Tarea 2. Calcula la suma de los números binarios x e y, con x = 10100 e y = 10101. Expresa los resultados como un número octal.

Solución.

Sumemos dos números. Las reglas de la aritmética binaria y decimal son las mismas:

Al convertir un número binario a octal, el primero se divide en grupos de tres dígitos, comenzando desde el final. Si el número de dígitos no es divisible por tres, los tres primeros van precedidos de ceros:

Respuesta. La suma de los números binarios 10100 y 10101, representados en el sistema numérico octal, es 51.

Conversión al sistema numérico binario

Ejercicio 1.¿Cuál es el número 37 en binario?

Solución.

Puedes convertir dividiendo por 2 y combinando los restos en orden inverso.

Otra forma es descomponer el número en la suma de potencias de dos, comenzando por el mayor, cuyo resultado calculado es menor que el número dado. Al realizar la conversión, las potencias faltantes de un número deben reemplazarse con ceros:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Respuesta. 37 10 = 100101 2 .

Tarea 2.¿Cuántos ceros significativos hay en notación binaria del número decimal 73?

Solución.

Descompongamos el número 73 en la suma de potencias de dos, comenzando por la mayor y posteriormente multiplicando las potencias que faltan por ceros y las existentes por uno:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Respuesta. La representación binaria del número decimal 73 tiene cuatro ceros significativos.

Tarea 3. Calcula la suma de los números x e y para x = D2 16, y = 37 8. Presente el resultado en el sistema numérico binario.

Solución.

Recordemos que cada dígito de un número hexadecimal está formado por cuatro dígitos binarios, cada dígito de un número octal por tres:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Sumemos los números resultantes:

Respuesta. La suma de los números D2 16 e y = 37 8, representados en el sistema numérico binario, es 11110001.

Tarea 4. Dado: a= D7 16, b= 331 8 . Cúal número C, escrito en el sistema numérico binario, cumple la condición a< c < b ?

  1. 11011001
  2. 11011100
  3. 11010111
  4. 11011000

Solución.

Convirtamos los números al sistema numérico binario:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Los primeros cuatro dígitos de todos los números son iguales (1101). Por lo tanto, la comparación se simplifica comparando los cuatro dígitos inferiores.

El primer número de la lista es igual al número b, por tanto, no es adecuado.

El segundo número es mayor que b. El tercer numero es a.

Sólo el cuarto número es adecuado: 0111< 1000 < 1001.

Respuesta. La cuarta opción (11011000) cumple la condición. a< c < b .

Conversión al sistema numérico decimal

Ejercicio 1.¿A qué número corresponde 24 16 en el sistema decimal?

Solución.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Respuesta. 24 16 = 36 10

Tarea 2. Se sabe que X = 12 4 + 4 5 + 101 2. ¿Cuál es el valor de X en el sistema numérico decimal?

Solución.


12 4 = 1 * 4 1 + 2 * 4 0 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Encuentra el número: X = 6 + 4 + 5 = 15

Respuesta. X = 15 10

Tarea 3. Calcula el valor de la suma 10 2 + 45 8 + 10 16 en notación decimal.

Solución.

Convirtamos cada término al sistema numérico decimal:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
La suma es: 2 + 37 + 16 = 55

Respuesta. 55 10

Operaciones aritméticas en el sistema numérico binario.

Sistemas numéricos

Número de tema:

En el sistema numérico binario, las operaciones aritméticas se realizan de acuerdo con las mismas reglas que en el sistema numérico decimal, porque Ambos son posicionales (junto con octal, hexadecimal, etc.).

Suma

La suma de números binarios de un solo dígito se realiza de acuerdo con las siguientes reglas:

En el último caso, al sumar dos unos, el dígito de orden inferior se desborda y el 1 se transfiere al dígito de orden superior. El desbordamiento ocurre si la suma es igual a la base del sistema numérico (en este caso es el número 2) o mayor que ella (para el sistema numérico binario esto no es relevante).

Por ejemplo, sumemos dos números binarios cualesquiera:

Sustracción

La resta de números binarios de un solo dígito se realiza de acuerdo con las siguientes reglas:

0 - 1 = (préstamo de alto rango) 1

Multiplicación

La multiplicación de números binarios de un solo dígito se realiza de acuerdo con las siguientes reglas:

División

La división se realiza de la misma forma que en el sistema numérico decimal:

Convertir un número de binario a decimal

La conversión de un número del sistema binario al sistema decimal se puede realizar para las partes enteras y fraccionarias del número usando un algoritmo calculando la suma de los productos de un dígito de un número binario por el peso de su familiaridad:

11100011 2 =1*2 7 +1*2 6 +1*2 5 +0*2 4 +0*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 =128+64+32+2+1=227 10

0,10100011 2 =1*2 -1 +0*2 -2 +1*2 -3 +0*2 -4 +0*2 -5 ++0*2 -6 +1*2 -7 +1*2 -8 =0.5+0.125+0.0078+0.0039=0.6367

Convertir un número de decimal a binario

La conversión de un número del sistema decimal al sistema binario se realiza por separado para las partes enteras y fraccionarias del número utilizando los siguientes algoritmos:

a) un número decimal entero se divide uniformemente por la base 2, luego todos los cocientes de la división entera se dividen sucesivamente por 2 hasta que el cociente sea menor que la base. El resultado incluye el último cociente y todos los restos de la división, empezando por el último. Por ejemplo:

convierte el número 227 a forma binaria:

227:2=113 (escribimos el resto de la división 1 como resultado), 113:2=56 (escribimos el resto de la división 1 como resultado), 56:2=28 (escribimos el resto de la división 0 como el resultado), 28:2=14 (escribimos el resto de la división 0 como resultado), 14:2=7 (escribimos el resto de la división 0 como resultado), 7:2=3 (escribimos el resto de la división 1 como resultado), 3:2=1 (escribimos el resto como resultado de la división 1), escribimos el último cociente en el resultado - 1. Total obtenemos: 227 10 = 11100011 2. Comprobemos con una traducción inversa:

1*2 0 +1*2 1 +0*2 2 +0*2 3 +0*2 4 +1*2 5 +1*2 6 +1*2 7 =1+2+32+64+128=227

segundo) decimal se multiplica secuencialmente por base 2, e inmediatamente después de cada operación de multiplicación el resultado Toda una parte se escribe en el resultado y no participa en futuras multiplicaciones (se descarta). El número de operaciones de multiplicación depende de la precisión requerida, por ejemplo:

Convirtamos el número 0,64 a forma binaria:

0,64*2=1,28 (descarta 1 y escribe 1 en el resultado)

0,28*2=0,56 (escribimos 0 como resultado)

0,56*2=1,12 (descarta 1 y escribe 1 en el resultado)

0,12*2=0,24 (escribimos 0 como resultado)

0,24*2=0,48 (escribimos 0 como resultado)

0,48*2=0,96 (escribimos 0 como resultado)

0,96*2=1,82 (escribe 1 como resultado)

Total: 0,64 10 = 0,1010001 2

Comprobemos con una traducción inversa:

1*2 -1 +0*2 -2 +1*2 -3 +0*2 -4 +0*2 -5 +0*2 -6 +1*2 -7 = 0.5*0+0.125+0+0+0+0.0078=0.6328

Representación informática de números negativos.

Hay que tener en cuenta que en la memoria de la computadora los números binarios se almacenan en registros que constan de 8 celdas, es decir. El número binario mínimo que se puede almacenar en la memoria debe ser de ocho bits. En este caso, se escriben ceros en las celdas de registro vacías (en los bits más significativos).

A diferencia del sistema decimal, el sistema numérico binario no tiene símbolos especiales para indicar el signo de un número: positivo (+) o negativo (-), por lo que se utilizan las dos formas siguientes para representar números binarios negativos.

Formulario de valor firmado– el dígito más significativo (izquierdo) está marcado como firmado y contiene información únicamente sobre el signo del número:

1 es un número negativo, 0 es un número positivo.

Los dígitos restantes se asignan al valor absoluto del número.

5 10 = 0000 0101 2 ; -5 10 =1000 0101 2 .

La computadora está diseñada de tal manera que los números negativos se representan en código complemento a dos, ya que esto proporciona un importante ahorro de tiempo a la hora de realizar operaciones aritméticas con ellos.

La forma del código de complemento inverso, cuya traducción se realiza mediante al siguiente algoritmo:

1) Descartar el bit de signo;

2) invertir todos los dígitos de un número;

3) agregue uno al código resultante;

4) restaurar uno en el bit de signo.
Por ejemplo:

Convirtiendo el número -5 10

Lo escribimos en forma binaria: 1000 0101; descartar el bit de signo: 000 0101; invertir todos los dígitos: 111 1010; suma uno: 111 1010 + 1 = 111 1011; Restauramos uno en el bit de signo: 1111 1011. El total -5 10 en código de complemento inverso se escribe como 1111 1011.

Reglas para realizar operaciones aritméticas en el sistema binario.

Suma. La operación de suma se realiza de la misma forma que en el sistema decimal. Desbordarse un poco da como resultado que aparezca uno en el siguiente bit:

0+0=0, 0+1=1, 1+1=10;

+ 111011

Sustracción. Dado que la mayoría de las computadoras modernas tienen solo un sumador de hardware, que se utiliza para implementar todas las operaciones aritméticas, la resta se reduce a una suma con un número negativo:

Reglas para la resta en el sistema binario. Algoritmo para la operación de resta mediante suma de códigos complementarios:

1) convertir un número negativo de forma con signo a complemento a dos;

2) realizar la operación de suma binaria en todos los dígitos,
incluyendo firmado, ignorando la unidad de transporte desde más alto
descargar;

3) cuando el dígito de signo de la suma es igual a uno, lo que significa
recibir un resultado negativo en forma de código adicional,
es necesario convertir el resultado a forma con signo (utilizando un algoritmo para convertir a forma inversa).

Por ejemplo, realicemos la acción 13-15=13+(-15)

1. Convierta -15 en formato de código adicional:

1000 1111 –> 000 1111 -> 111 0000 -> 111 0000 +1=111 0001 -> 1111 0001

2. Suma 13 y -15:

+11110001

3. Convierta a formato binario regular:

1111 1110 -> 111 1110 ->000 0001 -> 000 0001+1=000 0010 -> 1000 0010 = -2 10

Por lo tanto, al realizar operaciones de suma y resta, la unidad lógica aritmética del procesador tiene que realizar sumas bit a bit con acarreo, inversión y verificación de signos de números binarios.

En los casos en que es necesario realizar operaciones aritméticas con números mayores a 127, no se colocan en uno, sino en dos o más bytes.

Por ejemplo, realicemos la acción: 15-13=15+(-13)

1. Traduzca -13 a un código adicional:

1000 1101 –> 000 1101 -> 111 0010 -> 111 0010 +1=111 0011 -> 1111 0011

2. Suma 15 y -13:

+11110011

3. El bit de signo es 0, no se requiere traducción inversa, es decir, el resultado es 0000 0010 = 2 10

Multiplicación. Si, junto con las operaciones enumeradas, se realizan operaciones de desplazamiento, con la ayuda del sumador también se pueden realizar multiplicaciones, que se reducen a una serie de sumas repetidas. Si el dígito en la posición cero del multiplicador es 1, entonces el multiplicando se reescribe debajo de los dígitos correspondientes; la multiplicación por los siguientes conduce a un desplazamiento del sumando una posición hacia la izquierda. Si el dígito del multiplicador es 0, entonces el siguiente término se desplaza dos posiciones hacia la izquierda.

Por ejemplo, multiplica 6 (0000 0110) por 5 (0000 0101):

*00000101

(multiplicar por 1) +00000110

(multiplicar por 0) 1

(multiplicar por 1) + 0000011011

Comprobemos: 0001 1110=0*2 0 +1*2 1 +1*2 2 +1*2 3 +1*2 4 =2+4+8=16=30

Por ejemplo, multiplica 15 (0000 1111) por 13 (0000 1101):

*00001101

(multiplicar por 1) +00001111

(multiplicar por 0) 1

(multiplicar por 1) +0000111111

(multiplicar por 1) + 00001111111

Comprobemos: 1100 0011=1*2 7 +1*2 6 +0*2 5 +0*2 4 +0*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 =1+2+ 64 +128=195

División. Al realizar una operación de división, se realiza una operación de resta varias veces. Por lo tanto, primero debes encontrar un código divisor adicional. La división se logra mediante restas y desplazamientos repetidos. Por ejemplo, dividamos el número 195 (1100 0011) entre 15 (0000 1111). Código adicional del número 0000 1111 -> 11110001. Dado que según las reglas de división, cada dividendo intermedio debe ser mayor que el divisor, elegimos el número 11000 como primer dividendo, es decir los primeros cinco dígitos y agregue tres ceros a la izquierda, completando el dividendo a 8 dígitos. Luego lo sumamos con el código adicional del dividendo e ingresamos uno en el resultado. Si el siguiente dividendo después de la demolición del siguiente dígito es menor que divisor, luego se ingresa cero en el resultado y se agrega otro dígito del dividendo original al dividendo.

Ejemplo 1. Encuentra X si Para transformar el lado izquierdo de la igualdad utilizamos sucesivamente la ley de De Morgan para la suma lógica y la ley de la doble negación: Según la ley distributiva para la suma lógica: Según la ley de exclusión del tercero y la ley de exclusión de constantes: Igualamos el lado izquierdo resultante al derecho: X = B Finalmente, obtenemos: X = B. Ejemplo 2. Simplifique la expresión lógica utilizando las tablas de verdad del original. y expresión lógica resultante. Según la ley de inversión general para la suma lógica (primera ley de de Morgan) y la ley de la doble negación: Según la ley distributiva para la suma lógica: Según la ley de contradicción: Según la ley de idempotencia Sustituimos los valores ​​y, usando la ley conmutativa y agrupando los términos, obtenemos: Según la ley de exclusión (pegado) Sustituimos los valores y obtenemos: Según la ley de exclusión de constantes para la suma lógica y la ley de idempotencia: Sustituimos los valores y obtener: Según la ley distributiva para la multiplicación lógica: Según la ley de exclusión del tercero: Sustituir los valores y finalmente obtener: 2 Fundamentos lógicos de una computadora Un conversor discreto, que, después de procesar los Las señales binarias de entrada, producen una señal de salida que es el valor de una de las operaciones lógicas, se llama elemento lógico. Debajo están simbolos(circuitos) de elementos lógicos básicos que implementan multiplicación lógica (conjuntor), suma lógica (disyuntor) y negación (inversor). Arroz. 3.1. Conjuntor, disyuntor e inversor Los dispositivos informáticos (sumadores en el procesador, celdas de memoria en la RAM, etc.) se construyen sobre la base de elementos lógicos básicos. Ejemplo 3. Para una función lógica dada F(A, B) = =B&АÚB&A, construya un circuito lógico. La construcción debe comenzar con operación lógica, que debe ejecutarse en último lugar. En este caso, tal operación es una suma lógica, por lo tanto, debe haber un disyuntor en la salida del circuito lógico. Las señales se suministran desde dos conectores, que a su vez reciben una señal de entrada normal y otra invertida (de inversores). Ejemplo 4. Un circuito lógico tiene dos entradas X e Y. Determine las funciones lógicas F1(X,Y) y F2(X,Y), que se implementan en sus dos salidas. La función F1(X,Y) se implementa en la salida del primer conjuntor, es decir, F1(X,Y) = X&Y. Al mismo tiempo, la señal del conector se envía a la entrada del inversor, en cuya salida se realiza la señal X&Y, que, a su vez, se envía a una de las entradas del segundo conector. La señal Xv Y del disyuntor se suministra a la otra entrada del segundo conjuntor, por lo tanto, la función F2(X,Y) = X&Y&,(XvY). Consideremos un esquema para sumar dos números binarios de n bits. Al sumar los dígitos del dígito i-ro, se agregan ai y bi, así como Pi-1, la transferencia del dígito i-1. El resultado será st - la suma y Pi - la transferencia al dígito más significativo. Por tanto, un sumador binario de un bit es un dispositivo con tres entradas y dos salidas. Ejemplo 3.15. Construya una tabla de verdad para un sumador binario de un bit usando la tabla para sumar números binarios. Desencadenar. Los disparadores se utilizan para almacenar información en la RAM de la computadora, así como en los registros internos del procesador. El gatillo se puede ubicar de dos maneras. estados estacionarios, que le permite recordar, almacenar y leer 1 bit de información. El disparador más simple es el disparador .RS. Consta de dos puertas NOR que implementan la función lógica F9 (ver Tabla 3.1). Las entradas y salidas de los elementos están conectadas mediante un anillo: la salida del primero está conectada a la entrada del segundo y la salida del segundo está conectada a la entrada del primero. El disparador tiene dos entradas S (del set inglés - instalación) y I (del inglés reset - reset) y dos salidas Q (directa) y Q (inversa). Arroz. 2 Circuito lógico de un flip-flop RS Ejemplo 3.16. Construya una tabla que describa el estado de las entradas y salidas del flip-flop RS. Si las entradas reciben señales R = 0 y S = 0, entonces el flip-flop está en modo de almacenamiento, los valores previamente establecidos se almacenan en las salidas Q y Q; Si la entrada de ajuste S se suministra a un tiempo corto la señal es 1, entonces el flip-flop pasa al estado 1 y después de que la señal en la entrada S se vuelve 0, el flip-flop mantendrá este estado, es decir, almacenará 1. Cuando se aplica 1 a la entrada R, el flip-flop -flop irá al estado 0. Aplicar la lógica S y R a ambas entradas puede generar resultados ambiguos, por lo que esta combinación de señales de entrada está prohibida. Tareas para realización independiente 1. Hay 16 funciones lógicas de dos variables (ver tabla 3.1). Construya sus circuitos lógicos utilizando puertas lógicas básicas: conjuntor, disyuntor e inversor. 2. Demuestre que el circuito lógico considerado en el ejemplo 3.10 es un semisumador binario de un bit (no se tiene en cuenta el acarreo desde el bit de orden inferior). 3. Demuestre construyendo una tabla de verdad que la función lógica P = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) determina la transferencia al dígito más significativo al sumar números binarios (A y B son términos, Po es una transferencia desde el dígito menos significativo). 4. Demuestre construyendo una tabla de verdad que la función lógica S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) determina la suma al sumar números binarios (A y B son términos, Po es un remanente del dígito de orden inferior). 5. Construya un circuito lógico de un sumador binario de un bit. ¿Cuántas puertas lógicas básicas se necesitan para implementar un sumador de números binarios de 64 bits? 6. ¿Cuántos elementos lógicos básicos se forman? RAM¿Computadora moderna con una capacidad de 64 MB? 1. Escribe los números en forma desarrollada: a) A8=143511; d)A10=143,511; 6)A2=100111; e)A8=0,143511; c)A16=143511; e)A1e=1AZ,5C1. 2. Escriba los siguientes números en forma colapsada: a) A10=9-101+1*10+5"10-1+3-10~2; b)A16=A-161+1-16°+7- 16" 1+5-16~2. 3. ¿Están los números escritos correctamente en los sistemas numéricos correspondientes: a) A10 = A, 234; c) A16=456,46; b)A8=-5678; d)A2=22,2? 4. ¿Qué base mínima tiene el sistema numérico si en él están escritos los números 127, 222, 111? Determina el equivalente decimal de estos números en el sistema numérico encontrado. 5. ¿Cuál es el equivalente decimal de los números 101012, 101018 1010116? 6. Un número decimal de tres dígitos termina con el dígito 3. Si este dígito se mueve dos dígitos hacia la izquierda, es decir, el registro de un nuevo número comienza con él, entonces este nuevo número será uno más del triple del original. número. Encuentra el número original. 2.22. Un número decimal de seis dígitos comienza a la izquierda con el dígito 1. Si este dígito se mueve desde el primer lugar de la izquierda al último lugar de la derecha, entonces el valor numero educado Será tres veces más grande que el original. Encuentra el número original. 2.23 ¿Cuál de los números 1100112, 1114, 358 y 1B16 es: a) el mayor; b) el más pequeño? 2.27. ¿Existe un triángulo cuyas longitudes de lados estén expresadas por los números 12g, 1116 y 110112? 2.28.¿Cuál es el número decimal más grande que se puede escribir con tres dígitos en sistemas numéricos binario, octal y hexadecimal? 2.29. Preguntas “frívolas”. ¿Cuando 2x2=100? ¿Cuando 6x6=44? ¿Cuando 4x4=20? 2.30. Anotar los números decimales enteros pertenecientes a los siguientes intervalos numéricos: a) ; b) ; V). 2.31. Hay 11.112 niñas y 11.002 niños en la clase. ¿Cuántos estudiantes hay en la clase? 2.32. Hay 36 estudiantes en la clase, de los cuales 21 son niñas y 15 son niños. ¿En qué sistema numérico se contaron los estudiantes? 2.33. En el jardín hay 100q árboles frutales, de los cuales 33q manzanos, 22q perales, 16q ciruelos y 5q cerezos. ¿En qué sistema numérico se cuentan los árboles? 2.34. Había 100 q de manzanas. Después de cortar cada uno de ellos por la mitad, quedaron mitades de 1000q. En el sistema numérico, ¿con qué base se contaban? 2.35.Tengo 100 hermanos. El más joven tiene 1000 años y el mayor 1111 años. El mayor está en la clase 1001. ¿Podría ser esto posible? 2.36. Había una vez un estanque en cuyo centro crecía una hoja de nenúfar. Cada día se duplicaba el número de estas hojas, y al décimo día toda la superficie del estanque ya estaba llena de hojas de lirio. ¿Cuántos días se necesitaron para llenar la mitad del estanque con hojas? ¿Cuántas hojas había después del noveno día? 2.37.Al seleccionar las potencias del número 2, que suman un número dado, convierta los siguientes números al sistema numérico binario: a) 5; a las 12; mi) 32; segundo) 7; d) 25; f) 33. Verificar la exactitud de la traducción utilizando el programa Advanced Converter. 2.3. Conversión de números de un sistema numérico a otro 2.3.1. Traducir números enteros de un sistema numérico a otro Puede formular un algoritmo para convertir números enteros de un sistema con base p a un sistema con base q: 1. Exprese la base del nuevo sistema numérico en dígitos del sistema numérico original y realice todos los siguientes acciones en el sistema numérico original. 2. Divide consistentemente el número dado y los cocientes enteros resultantes por la base del nuevo sistema numérico hasta que obtengamos un cociente que sea menor que el divisor. 3. Los restos resultantes, que son dígitos del número en el nuevo sistema numérico, se adaptan al alfabeto del nuevo sistema numérico. 4. Componga el número en cálculo, anotándolo a partir del último resto. Ejemplo 2.12 Convierte el número decimal 17310 al sistema numérico octal: ■ Obtenemos: 17310=2558. Ejemplo 2.13. Convertir el número decimal 17310 al sistema numérico hexadecimal: - Obtenemos: 17310=AD16. Ejemplo 2.14. Convertir el número decimal 1110 al sistema numérico binario. Obtenemos: 111O=10112. Ejemplo 2.15 A veces es más conveniente escribir el algoritmo de traducción en forma de tabla. Convirtamos el número decimal 36310 a binario. 2.3.2. Conversión de números fraccionarios de un sistema numérico a otro Puede formular un algoritmo para convertir una fracción propia con base p en una fracción con base q: 1. Exprese la base del nuevo sistema numérico en dígitos del sistema numérico original y realice todos los siguientes acciones en el sistema numérico original. 2. Multiplique consistentemente el número dado y las partes fraccionarias resultantes de los productos por la base del nuevo sistema hasta que la parte fraccionaria del producto sea igual a cero o se logre la precisión requerida de la representación numérica. 3. Las partes enteras resultantes de los productos, que son dígitos del número en el nuevo sistema numérico, se adaptan al alfabeto del nuevo sistema numérico. 4. Componga la parte fraccionaria del número en el nuevo sistema numérico, comenzando desde la parte entera del primer producto. Ejemplo 2.16. Convierte el número 0,6562510 al sistema numérico octal. Ejemplo 2.17. Convierta el número 0.6562510 al sistema numérico hexadecimal. Ejemplo 2.18. Traducir decimal 0,562510 en sistema numérico binario. Ejemplo 2.19. Convierta la fracción decimal 0,710 al sistema numérico binario. Evidentemente, este proceso puede continuar indefinidamente, dando cada vez más signos nuevos en la imagen del equivalente binario del número 0,710. Entonces, en cuatro pasos obtenemos el número 0,10112, y en siete pasos el número 0,10110012, que es una representación más precisa del número 0,710 en binario, y así sucesivamente. Este proceso interminable finaliza en un determinado paso, cuando se considera que se ha obtenido la precisión requerida en la representación numérica. 2.3.3. Traducción de números arbitrarios La traducción de números arbitrarios, es decir, números que contienen partes enteras y fraccionarias, se realiza en dos etapas. La parte entera se traduce por separado y la parte fraccionaria por separado. En la grabación final del número resultante, la parte entera se separa de la parte fraccionaria. Ejemplo 2.20. Convierta el número 17.2510 al sistema numérico binario. Traduciendo la parte entera: Traduciendo la parte fraccionaria: Ejemplo 2.21. Convierte el número 124,2510 a octal. 2.3.4. Convertir números de un sistema numérico con base 2 a un sistema numérico con base 2n y viceversa. Convertir números enteros: si la base del sistema numérico q-ario es una potencia de 2, entonces convertir números del sistema numérico q-ario a binario y volver se puede realizar utilizando reglas de métodos más simples Para escribir un número binario entero en el sistema numérico con base q = 2", necesitas: 1. Dividir el número binario de derecha a izquierda en grupos de n dígitos cada uno. 2. Si el último grupo de la izquierda tiene menos n dígitos, luego se deben agregar ceros a la izquierda al número requerido de dígitos 3. Considere cada grupo como un número binario de n bits y escríbalo con el dígito correspondiente en el sistema numérico con la base q = 2p. Convertimos el número 1011000010001100102 al sistema numérico octal. Dividimos el número de derecha a izquierda en tríadas y debajo de cada una de ellas escribimos el dígito octal correspondiente: Obtenemos la representación octal del número original: 5410628. Ejemplo 2.23. Convertimos el número 10000000001111100001112 al sistema numérico hexadecimal. Dividimos el número de derecha a izquierda en tétradas y debajo de cada una de ellas escribimos el dígito hexadecimal correspondiente: Obtenemos la representación hexadecimal del número original: 200F8716. Para escribir un número binario fraccionario en un sistema numérico con base q = 2", necesitas: 1. Dividir el número binario de izquierda a derecha en grupos de n dígitos cada uno. 2. Si el último grupo de la derecha contiene menos de n dígitos, debe complementarse a la derecha con ceros hasta el número requerido de dígitos. 3. Considere cada grupo como un número binario de n bits y escríbalo con el dígito correspondiente en el sistema numérico con base q = 2n. Ejemplo 2.24. Convirtamos el número 0.101100012 al sistema numérico octal. Dividimos el número de izquierda a derecha en tríadas y debajo de cada una de ellas escribimos el dígito octal correspondiente: Obtenemos la representación octal del número original: 0,5428. Ejemplo 2.25. Convirtamos el número 0.1000000000112 al sistema numérico hexadecimal. Dividimos el número de izquierda a derecha en tétradas y debajo de cada una de ellas escribimos el dígito hexadecimal correspondiente: Obtenemos la representación hexadecimal del número original: 0,80316. Traducción de números arbitrarios. Para escribir un número binario arbitrario en el sistema numérico con base q - 2n, necesita: [ 1. Dividir la parte entera de un número binario dado de derecha a izquierda y la parte fraccionaria de izquierda a derecha en grupos de n dígitos cada uno. 2. Si los últimos grupos izquierdo y/o derecho contienen menos de n dígitos, entonces se deben complementar a la izquierda y/o derecha con ceros hasta el número requerido de dígitos. 3. Considere cada grupo como un número binario de n bits y escríbalo con el dígito correspondiente en el sistema numérico con base q = 2n. Ejemplo 2.26. Convirtamos el número 111100101.01112 al sistema numérico octal. Dividimos las partes entera y fraccionaria del número en tríadas y debajo de cada una de ellas escribimos el dígito octal correspondiente: Obtenemos la representación octal del número original: 745.34S. Ejemplo 2.27. Convirtamos el número 11101001000.110100102 al sistema numérico hexadecimal. Dividimos las partes entera y fraccionaria del número en tétradas y debajo de cada una de ellas escribimos el dígito hexadecimal correspondiente: Obtenemos una representación hexadecimal del número original: 748,D216. Conversión de números de sistemas numéricos con base q = 2 al sistema binario para. número arbitrario, escrito en el sistema numérico con base q = 2, se convierte al sistema numérico binario, es necesario reemplazar cada dígito de este número con su equivalente de n dígitos en el sistema numérico binario. Ejemplo 2.28. Convirtamos el número hexadecimal 4AC351b al sistema numérico binario. De acuerdo con el algoritmo: i Obtenemos: 10010101100001101012. Tareas para realización independiente 2.38. Complete la tabla, en cada fila de la cual se debe escribir el mismo número entero en diferentes sistemas numéricos. 2.39. Complete la tabla, en cada fila de la cual se debe escribir el mismo número fraccionario en diferentes sistemas numéricos. 2.40. Complete la tabla, en cada fila de la cual se debe escribir el mismo número arbitrario (el número puede contener tanto un número entero como una parte fraccionaria) en diferentes sistemas numéricos. 2.4. Operaciones aritméticas en sistemas numéricos posicionales.

Operaciones aritméticas en el sistema numérico binario.


Ejemplo 2.29. Veamos algunos ejemplos de suma de números binarios:

Sustracción. Al realizar una operación de resta, siempre se resta el número menor del número mayor en valor absoluto y se coloca el signo correspondiente. En la tabla de resta, un 1 con una barra significa un préstamo en el rango más alto.


Ejemplo 2.31. Veamos algunos ejemplos de multiplicación de números binarios:

Verás que la multiplicación se reduce a cambios del multiplicando y sumas.

División. La operación de división se realiza utilizando un algoritmo similar al algoritmo para realizar la operación de división en el sistema numérico decimal.


Suma en otros sistemas numéricos. A continuación se muestra una tabla de suma en el sistema numérico octal:

2.42. Ordenar los signos de las operaciones aritméticas para que sean correctos. las siguientes igualdades en sistema binario:

Escribe la respuesta para cada número en los sistemas numéricos indicados y decimales. 2.44. ¿Qué número precede a cada uno de los siguientes?

2.45. Escribe los números enteros pertenecientes a los siguientes intervalos numéricos:

a) en el sistema binario;

b) en el sistema octal;

c) en sistema hexadecimal.

Escribe la respuesta para cada número en los sistemas numéricos indicados y decimales.



2.47. Encuentra la media aritmética los siguientes números:

2.48. La suma de números octales 17 8 + 1700 8 + 170000 3 + 17000000 8 +
+ 1700000000 8 convertido al sistema numérico hexadecimal.
Encuentra el quinto dígito desde la izquierda en el número igual a esta cantidad.


Recupera los números desconocidos indicados por el signo de interrogación en
los siguientes ejemplos de suma y resta, habiendo determinado primero
Le, en qué sistema se representan los números.
  1. Ubicación de la lección: noveno grado - tercera lección de la sección en estudio
  2. Tema de la lección: Operaciones aritméticas en el sistema numérico binario.

Tipo de lección: conferencia, conversación, trabajo independiente.

Objetivos de la lección:

Didáctico: introducir las reglas para realizar operaciones aritméticas (suma, multiplicación, resta) en el sistema numérico binario.

Educativo: inculcar habilidades de independencia en el trabajo, inculcar precisión y disciplina.

De desarrollo: desarrollo de la atención, memoria de los estudiantes, desarrollo de la capacidad de comparar la información recibida.

Conexiones interdisciplinarias: Matemáticas:

Clases de equipos (equipos) de entrenamiento:proyector, mesa, tarjetas de tareas.

Soporte metodológico de la lección:Presentación de Powerpoint.

Plan de estudios

  1. Momento organizacional (2 min).
  2. Repetición (10)
  3. Explicación de material nuevo (15 min)
  4. Consolidación del material cubierto (10 min)
  5. asignación de tareas
  6. Reflexión (2 min)
  7. Resumiendo (2 min)

durante las clases

  1. Organizar el tiempo
  2. Actualización de conocimientos.Continuamos estudiando el tema del sistema numérico y el objetivo de nuestra lección de hoy será aprender cómo realizar operaciones aritméticas en el sistema numérico binario, es decir, veremos la regla para realizar operaciones como suma, resta y multiplicación. , división.
  3. verificación de conocimientos (encuesta frontal).

Recordemos:

  1. ¿Cómo se llama un sistema numérico?
  2. ¿Cuál es la base de un sistema numérico?
  3. ¿Qué base tiene el sistema numérico binario?
  4. Indica qué números están escritos con errores y justifica tu respuesta:
    123     8, 3006 2, 12AAS09 20, 13476 10,
  5. ¿Qué base mínima debe tener un sistema numérico si en él se pueden escribir los números: 10, 21, 201, 1201?
  6. ¿Qué dígito termina en un número binario par?
    ¿Qué dígito termina en un número binario impar?

4 . El estudio de material nuevo va acompañado de una presentación.

/ Anexo 1/

el maestro explica nuevo tema A partir de las diapositivas de la presentación, los estudiantes toman notas y completan las tareas sugeridas por el profesor en sus cuadernos.

De todos los sistemas posicionales, el sistema numérico binario es especialmente simple. Veamos cómo realizar operaciones aritméticas básicas con números binarios.

Todos los sistemas numéricos posicionales son “iguales”, es decir, en todos ellos las operaciones aritméticas se realizan según las mismas reglas:

1 . son válidas las mismas leyes de la aritmética: conmutativa, asociativa, distributiva;

2. las reglas de suma, resta y multiplicación en una columna son justas;

3. Las reglas para realizar operaciones aritméticas se basan en tablas de suma y multiplicación.

Suma

Veamos ejemplos de suma.

Al sumar dos dígitos en una columna de derecha a izquierda en el sistema numérico binario, como en cualquier sistema posicional, solo uno puede pasar al siguiente dígito.

El resultado de sumar dos números positivos tiene o el mismo número de dígitos que el máximo de los dos términos, o un dígito más, pero este dígito solo puede ser uno.

1011022+111112=?

1110112+110112=?

Sustracción

Trabajo independiente de los alumnos en un cuaderno para consolidar el material.

101101 2 -11111 2 =?

110011 2 -10101 2 =?
Multiplicación
Veamos ejemplos de multiplicación.

La operación de multiplicación se realiza utilizando una tabla de multiplicar según el esquema habitual (utilizado en el sistema numérico decimal) con multiplicación secuencial del multiplicando por el siguiente dígito del multiplicador.
Veamos ejemplos de multiplicación.
Al realizar la multiplicación en el ejemplo 2, se suman tres unidades 1+1+1=11 en el dígito correspondiente, se escribe 1 y la otra unidad se transfiere al dígito más significativo.
En el sistema numérico binario, la operación de multiplicación se reduce a desplazamientos del multiplicando y suma de resultados intermedios.
División

La operación de división se realiza utilizando un algoritmo similar al algoritmo para realizar la operación de división en el sistema numérico decimal.

Veamos un ejemplo de división.

Consolidación (el trabajo independiente de los estudiantes utilizando tarjetas se realiza en un cuaderno) /Anexo 2/

Para estudiantes que han completado Trabajo independiente en un corto período de tiempo, se ofrece una tarea adicional.

5. Tarea

2. Aprenda las reglas para realizar operaciones aritméticas en el sistema numérico binario, aprenda las tablas de suma, resta y multiplicación.

3. Sigue estos pasos:

110010+111,01

11110000111-110110001

10101,101*111

6 Reflexión

Hoy en clase lo más educativo para mí fue...

Me sorprendió que...

Puedo aplicar los conocimientos que aprendí hoy en clase...

7. Resumen de la lección

Hoy aprendimos cómo realizar operaciones aritméticas en el sistema numérico binario (calificación de la lección).

Títulos de diapositivas:

Tema de la lección: “Operaciones aritméticas en sistemas numéricos posicionales” Marina Valentinovna Fedorchenko, profesora de informática en la escuela secundaria MOU Berezovskaya del distrito de Berezovka Taishet, región de Irkutsk Recordemos: ¿Qué se llama un sistema numérico? ¿Cómo se llama la base de un sistema numérico? tiene el sistema numérico binario Indique cuáles son los números que están escritos con errores y justifique la respuesta: 1238, 30062, 12ААС0920, 1347610 , ¿Qué base mínima debe tener un sistema numérico si en él se pueden escribir los números: 10, 21, 201, 1201? ¿Qué dígito termina en un número binario par? ¿Qué dígito termina en un número binario impar?
Laplace escribió sobre su actitud hacia el sistema numérico binario del gran matemático Leibniz: “En su aritmética binaria, Leibniz vio un prototipo de la creación. Le parecía que uno representa el principio divino, y el cero representa la inexistencia, y que el Ser Supremo crea todo a partir de la inexistencia exactamente de la misma manera que el uno y el cero en su sistema expresan todos los números”. Estas palabras resaltan la versatilidad del alfabeto de dos caracteres. Todos los sistemas numéricos posicionales son “iguales”, es decir, en todos ellos las operaciones aritméticas se realizan según las mismas reglas:
son válidas las mismas leyes de la aritmética: --conmutativa (conmutativa) m + n = n + m m · n = n · m asociativa (combinativa) (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k (m n) k = m (n k) = m n k distributivo (m + n) k = m k + n k
son válidas las reglas de suma, resta y multiplicación en una columna;
Las reglas para realizar operaciones aritméticas se basan en tablas de suma y multiplicación.
Suma en sistemas numéricos posicionales De todos los sistemas posicionales, el sistema numérico binario es especialmente sencillo. Veamos cómo realizar operaciones aritméticas básicas con números binarios. Todos los sistemas numéricos posicionales son “iguales”, es decir, en todos ellos las operaciones aritméticas se realizan según las mismas reglas: son válidas las mismas: conmutativa, asociativa, distributiva son válidas las reglas de suma, resta y multiplicación por columna; ; las reglas para realizar operaciones aritméticas se basan en tablas de suma y multiplicación.
Al sumar dos dígitos en una columna de derecha a izquierda en el sistema numérico binario, como en cualquier sistema posicional, solo uno puede pasar al siguiente dígito. El resultado de sumar dos números positivos tiene o el mismo número de dígitos que el máximo de los dos términos, o un dígito más, pero este dígito solo puede ser uno. Veamos los ejemplos. Resuelva los ejemplos usted mismo:
1011012 + 111112
1110112 + 110112
1001100
1010110
Al realizar una operación de resta, el número menor siempre se resta del número mayor en valor absoluto y al resultado se le da el signo correspondiente.
Resta Veamos ejemplos Ejemplos:
1011012– 111112
1100112– 101012
1110
11110
Multiplicación en sistemas numéricos posicionales La operación de multiplicación se realiza utilizando una tabla de multiplicar según el esquema habitual (utilizado en el sistema numérico decimal) con multiplicación secuencial del multiplicando por el siguiente dígito del multiplicador. Veamos ejemplos Veamos un ejemplo de división
Resolvamos ejemplos:
11012 1112

111102:1102=
1011011
101
Tarea 1.&3.1.22. Aprender las reglas para realizar operaciones aritméticas en el sistema numérico binario, aprender las tablas de suma, resta, multiplicación.3. Sigue los pasos:110010+111,0111110000111-11011000110101,101*111 Reflexión Hoy en la lección lo más informativo para mí fue...Me sorprendió que...puedo aplicar los conocimientos adquiridos hoy en la lección...

Operaciones aritméticas en sistemas numéricos posicionales.

Echemos un vistazo más de cerca a las operaciones aritméticas en el sistema numérico binario. La aritmética del sistema numérico binario se basa en el uso de tablas para sumar, restar y multiplicar dígitos. Los operandos aritméticos se encuentran en la fila superior y la primera columna de las tablas, y los resultados se encuentran en la intersección de columnas y filas:

Veamos cada operación en detalle.

Suma. La tabla de suma binaria es extremadamente simple. Sólo en un caso cuando se realiza la suma 1+1, hay una transferencia al dígito más significativo. ,

Sustracción. Al realizar una operación de resta, siempre se resta el número menor del número mayor en valor absoluto y se coloca el signo correspondiente. En la tabla de resta, un 1 con una barra significa un préstamo en el rango más alto.

Multiplicación. La operación de multiplicación se realiza utilizando una tabla de multiplicar de acuerdo con el esquema habitual utilizado en el sistema numérico decimal con multiplicación secuencial del multiplicando por el siguiente dígito del multiplicador.

División. La operación de división se realiza utilizando un algoritmo similar al algoritmo para realizar la operación de división en el sistema numérico decimal.