Враща́тельное движе́ние - вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.

Кинетические характеристики:

Вращение твердого тела, как целого характеризуется углом , измеряющегося в угловых градусах или радианах, угловой скоростью (измеряется в рад/с)и угловым ускорением(единица измерения - рад/с²).

При равномерном вращении (T оборотов в секунду):

Частота вращения - число оборотов тела в единицу времени.-

Период вращения - время одного полного оборота. Период вращения T и его частота связаны соотношением.

Линейная скорость точки, находящейся на расстоянии R от оси вращения

Угловая скорость вращения тела

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) - векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы - по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н·м - момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м. Сила приложена к концу рычага и направлена перпендикулярно ему.

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение. Момент импульса замкнутой системы сохраняется

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) - один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

16.Уравнение динамики вращательного движения. Момент инерции.

Основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки - угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции.

М = E*J или E = M/J

Сравнивая полученное выражение со вторым законом Ньютона с поступательным законом, видим, что момент инерции J является мерой инертности тела во вращательном движении. Как и масса величина аддитивная.

Момент инерции - скалярная (в общем случае - тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции - в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

Свойства момента инерции:

1.Момент инерции системы равен сумме момента инерции её частей.

2.Момент инерции тела является величиной, иманентно присущей этому телу.

Момент инерции твердого тела - это велина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Формула момента инерции:

Теорема Штейнера:

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции, сложенной с величиной m*(R*R), где R - расстояние между осями.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) - это величина

.

Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью

Момент относительно оси положителен, если сила стремится вращать плоскость перпендикулярную оси против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси.

Момент силы относительно оси равен 0 в двух случаях:

    Если сила параллельна оси

    Если сила пересекает ось

Если линия действия и ось лежат в одной плоскости, то момент силы относительно оси равен 0.

27. Связь между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки.

Mz(F)=Mo(F)*cosαМомент силы, относительно оси равен прекции вектора момента сил, относительно точки оси на эту ось.

28. Основная теорема статики о приведении системы сил к заданному центру (теорема Пуансо). Главный вектор и главный момент системы сил.

Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, прило­женной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной глав­ному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения.

Главным вектором системы сил называется вектор R , равный векторной сумме этих сил:

R = F 1 + F 2 + ... + F n = F i .

Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L O , равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:

L O = M O (F 1) + M O (F 2) + ... + M O (F n) = M O (F i).

Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор L O при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.

Теорема Пуансо: Произвольную пространственную систему сил можно заменить одной силой главным вектором системы сил и парой сил с главным моментом не нарушая состояния твердого тела. Главный вектор представляет собой геометрическую сумму всех сил действующих на твердое тело и расположен в плоскости действия сил. Главный вектор рассматривается через его проекции на оси координат.

Чтобы привести силы к заданному центру приложенному в некоторой точке твердого тела необходимо: 1) перенести параллельно силу самой себе к заданному центру не изменяя модуля силы; 2) в заданном центре приложить пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту перенесенной силы относительного нового центра, эту пару называют присоединенной парой.

Зависимость главного момента от выбора центра приведения. Главный момент относительно нового центра приведения равен геометрической сумме главного момента относительно старого центра приведения и векторного произведения радиуса-вектора, соединяющего новый центр приведения со старым, на главный вектор.

29 Частные случаи приведения пространственной системы сил

Значения главного вектора и главного момента

Результат приведения

Система сил приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту (главный момент системы сил не зависит от выбора центра приведения О).

Система сил приводится к равнодействующей, равной , проходящей через центр О.

Система сил приводится к равнодействующей , равной главному векторуи параллельной ему и отстоит от него на расстоянии. Положение линии действия равнодействующей должно быть таким, чтобы направление ее момента относительно центра приведения О совпадало с направлениемотносительно центра О.

, причем векторы ине перпендикулярны

Система сил приводится к динаме (силовому винту) – совокупности силы и пары сил, лежащей в плоскости, перпендикулярной к этой силе.

Система сил, приложенных к твердому телу, является уравновешивающейся.

30. Приведение к динаме. Динамой в механике называют такую совокупность силыи пары сил () действующих на твердое тело, у которой сила перпендикулярна плоскости действия пары сил. Используя векторный моментпары сил, можно также определить динаму как совокупность силы и пары, у которы сила параллельна векторному моменту пары сил.

Уравнение центральной винтовой оси Предположим, что в центре приведения, принятом за начало координат, получены главный вектор с проекциями на оси координат и главный момент с проекциями При приведении системы сил к центру приведения О 1 (рис. 30) получается динама с главным вектором и главным моментом , Векторы и как образующие линаму. параллельны и поэтому могут отличаться только скалярным множителем k 0. Имеем, так как .Главные моменты и , удовлетворяют соотношению

Когда решают задачи на перемещение объектов, то в ряде случаев пренебрегают их пространственными размерами, вводя понятие материальной точки. Для другого типа задач, в которых рассматриваются покоящиеся или вращающиеся тела, важно знать их параметры и точки приложения внешних сил. В этом случае речь идет о моменте сил относительно оси вращения. Рассмотрим этот вопрос в статье.

Понятие о моменте силы

Перед тем как приводить относительно оси вращения неподвижной, необходимо пояснить, о каком явлении пойдет речь. Ниже дан рисунок, на котором изображен гаечный ключ длиной d, к концу его приложена сила F. Нетрудно представить, что результатом ее воздействия будет вращение ключа против часовой стрелки и откручивание гайки.

Согласно определению, момент силы относительно оси вращения представляет собой произведение плеча (d в данном случае) на силу (F), то есть можно записать следующее выражение: M = d*F. Сразу же следует оговориться, что приведенная формула записана в скалярном виде, то есть она позволяет рассчитать абсолютное значение момента M. Как видно из формулы, единицей измерения рассматриваемой величины являются ньютоны на метр (Н*м).

- векторная величина

Как выше было оговорено, момент M в действительности представляет собой вектор. Для пояснения этого утверждения рассмотрим другой рисунок.

Здесь мы видим рычаг длиной L, который закреплен на оси (показано стрелкой). К его концу приложена сила F под углом Φ. Нетрудно себе представить, что эта сила будет вызывать подъем рычага. Формула для момента в векторной форме в этом случае запишется так: M¯ = L¯*F¯, здесь черта над символом означает, что рассматриваемая величина - это вектор. Следует пояснить, что L¯ направлен от к точке приложения силы F¯.

Приведенное выражение является векторным произведением. Его результирующий вектор (M¯) будет направлен перпендикулярно плоскости, образованной L¯ и F¯. Для определения направления момента M¯ существуют несколько правил (правой руки, буравчика). Чтобы не заучивать их и не путаться в порядке умножения векторов L¯ и F¯ (от него зависит направление M¯), следует запомнить одну простую вещь: момент силы будет направлен таким образом, что если смотреть с конца его вектора, то воздействующая сила F¯ будет вращать рычаг против часовой стрелки. Это направление момента условно принято за положительное. Если же система совершает вращение по часовой стрелки, значит, результирующий момент сил имеет отрицательное значение.

Таким образом, в рассматриваемом случае с рычагом L величина M¯ направлена вверх (от рисунка к читателю).

В скалярной форме формула для момента запишется в виде: M = L*F*sin(180-Φ) или M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)). Согласно определению синуса, можно записать равенство: M = d*F, где d = L*sin(Φ) (см. рисунок и соответствующий прямоугольный треугольник). Последняя формула является аналогичной той, которая была приведена в предыдущем пункте.

Проведенные выше вычисления демонстрируют, как работать с векторными и скалярными величинами моментов сил, чтобы не допустить ошибок.

Физический смысл величины M¯

Поскольку два рассмотренных в предыдущих пунктах случая связаны с вращательным движением, то можно догадаться, какой смысл несет момент силы. Если сила, действующая на материальную точку, является мерой увеличения скорости линейного перемещения последней, то момент силы - это мера ее вращательной способности применительно к рассматриваемой системе.

Приведем наглядный пример. Любой человек открывает дверь, взявшись за ее ручку. Также это можно сделать, если толкнуть дверь в зоне ручки. Почему никто не открывает ее, толкая в области петель? Очень просто: чем ближе к петлям приложена сила, тем труднее открыть дверь, и наоборот. Вывод предыдущего предложения следует из формулы для момента (M = d*F), откуда видно, что при M = const величины d и F находятся в обратной зависимости.

Момент силы - аддитивная величина

Во всех рассмотренных выше случаях имела место лишь одна действующая сила. При решении же реальных задач дело обстоит гораздо сложнее. Обычно на системы, которые вращаются или находятся в равновесии, действуют несколько сил кручения, каждая из которых создает свой момент. В этом случае решение задач сводится к нахождению суммарного момента сил относительно оси вращения.

Суммарный момент находится путем обычной суммы отдельных моментов для каждой силы, однако, следует не забывать использовать правильный знак для каждого из них.

Пример решения задачи

Для закрепления полученных знаний предлагается решить следующую задачу: необходимо вычислить суммарный момент силы для системы, изображенной на рисунке ниже.

Мы видим, что на рычаг длиной 7 м действуют три силы (F1, F2, F3), причем они имеют разные точки приложения относительно оси вращения. Поскольку направление сил перпендикулярно рычагу, то нет необходимости применять векторное выражение для момента кручения. Можно рассчитать суммарный момент M, используя скалярную формулу и не забывая о постановке нужного знака. Поскольку силы F1 и F3 стремятся повернуть рычаг против часовой стрелки, а F2 - по часовой стрелке, то момент вращения для первых будет положительным, а для второй - отрицательным. Имеем: M = F1*7-F2*5+F3*3 = 140-50+75 = 165 Н*м. То есть суммарный момент является положительным и направлен вверх (на читателя).

Самое лучшее определение вращательного момента – это тенденция силы вращать предмет вокруг оси, точки опоры или точки вращения. Вращательный момент можно рассчитать с помощью силы и плеча момента (перпендикулярное расстояние от оси до линии действия силы), или используя момент инерции и угловое ускорение.

Шаги

Использование силы и плеча момента

  1. Определите силы, действующие на тело и соответствующие им моменты. Если сила не перпендикулярна рассматриваемому плечу момента (т.е. она действует под углом), то вам может понадобиться найти ее составляющие с использованием тригонометрических функций, таких как синус или косинус.

    • Рассматриваемая составляющая силы будет зависеть от эквивалента перпендикулярной силы.
    • Представьте себе горизонтальный стержень, к которому нужно приложить силу 10 Н под углом 30° над горизонтальной плоскостью, чтобы вращать его вокруг центра.
    • Поскольку вам нужно использовать силу, не перпендикулярную плечу момента, то для вращения стержня вам необходима вертикальная составляющая силы.
    • Следовательно, нужно рассматривать y-составляющую, или использовать F = 10sin30° Н.

  2. Воспользуйтесь уравнением момента, τ = Fr, и просто замените переменные заданными или полученными данными.

    • Простой пример: Представьте себе ребенка массой 30 кг, сидящего на одном конце качели-доски. Длина одной стороны качели составляет 1,5 м.
    • Поскольку ось вращения качели находится в центре, вам не нужно умножать длину.
    • Вам необходимо определить силу, прилагаемую ребенком, с помощью массы и ускорения.
    • Поскольку дана масса, вам нужно умножить ее на ускорение свободного падения, g, равное 9,81 м/с 2 . Следовательно:
    • Теперь у вас есть все необходимые данные для использования уравнения момента:

  3. Воспользуйтесь знаками (плюс или минус), чтобы показать направление момента. Если сила вращает тело по часовой стрелке, то момент отрицательный. Если же сила вращает тело против часовой стрелки, то момент положительный.

    • В случае нескольких приложенных сил, просто сложите все моменты в теле.
    • Поскольку каждая сила стремится вызвать различные направления вращения, важно использовать знак поворота для того, чтобы следить за направлением действия каждой силы.
    • Например, к ободу колеса, имеющего диаметр 0,050 м, были приложены две силы, F 1 = 10,0 Н, направленная по часовой стрелке, и F 2 = 9,0 Н, направленная против часовой стрелки.
    • Поскольку данное тело – круг, фиксированная ось является его центром. Вам нужно разделить диаметр и получить радиус. Размер радиуса будет служить плечом момента. Следовательно, радиус равен 0,025 м.
    • Для ясности мы можем решить отдельные уравнения для каждого из моментов, возникающих от соответствующей силы.
    • Для силы 1 действие направлено по часовой стрелке, следовательно, создаваемый ею момент отрицательный:
    • Для силы 2 действие направлено против часовой стрелки, следовательно, создаваемый ею момент положительный:
    • Теперь мы можем сложить все моменты, чтобы получить результирующий вращательный момент:

    Использование момента инерции и углового ускорения

    1. Чтобы начать решать задачу, разберитесь в том, как действует момент инерции тела. Момент инерции тела – это сопротивление тела вращательному движению. Момент инерции зависит как от массы, так и от характера ее распределения.

      • Чтобы четко понимать это, представьте себе два цилиндра одинакового диаметра, но разной массы.
      • Представьте себе, что вам нужно повернуть оба цилиндра вокруг их центральной оси.
      • Очевидно, что цилиндр с большей массой будет сложнее повернуть, чем другой цилиндр, поскольку он “тяжелее”.
      • А теперь представьте себе два цилиндра различных диаметров, но одинаковой массы. Чтобы выглядеть цилиндрическими и иметь разную массу, но в то же время иметь разные диаметры, форма, или распределение массы обоих цилиндров должна отличаться.
      • Цилиндр с большим диаметром будет выглядеть как плоская закругленная пластина, тогда как меньший цилиндр будет выглядеть как цельная трубка из ткани.
      • Цилиндр с большим диаметром будет сложнее вращать, поскольку вам нужно приложить большую силу, чтобы преодолеть более длинное плечо момента.

    2. Выберите уравнение, которое вы будете использовать для расчета момента инерции. Есть несколько уравнений, которые можно использовать для этого.

      • Первое уравнение – самое простое: суммирование масс и плечей моментов всех частиц.
      • Это уравнение используется для материальных точек, или частиц. Идеальная частица – это тело, имеющее массу, но не занимающее пространства.
      • Другими словами, единственной значимой характеристикой этого тела является масса; вам не нужно знать его размер, форму или строение.
      • Идея материальной частицы широко используется в физике с целью упрощения расчетов и использования идеальных и теоретических схем.
      • Теперь представьте себе объект вроде полого цилиндра или сплошной равномерной сферы. Эти предметы имеют четкую и определенную форму, размер и строение.
      • Следовательно, вы не можете рассматривать их как материальную точку.
      • К счастью, можно использовать формулы, применимые к некоторым распространенным объектам:

    3. Найдите момент инерции. Чтобы начать рассчитывать вращательный момент, нужно найти момент инерции. Воспользуйтесь следующим примером как руководством:

      • Два небольших “груза” массой 5,0 кг и 7,0 кг установлены на расстоянии 4,0 м друг от друга на легком стержне (массой которого можно пренебречь). Ось вращения находится в середине стержня. Стержень раскручивается из состояния покоя до угловой скорости 30,0 рад/с за 3,00 с. Рассчитайте производимый вращательный момент.
      • Поскольку ось вращения находится в середине стержня, то плечо момента обоих грузов равно половине его длины, т.е. 2,0 м.
      • Поскольку форма, размер и строение “грузов” не оговаривается, мы можем предположить, что грузы являются материальными частицами.
      • Момент инерции можно вычислить следующим образом:

    4. Найдите угловое ускорение, α. Для расчета углового ускорения можно воспользоваться формулой α= at/r.

      • Первая формула, α= at/r, может использоваться в том случае, если дано тангенциальное ускорение и радиус.
      • Тангенциальное ускорение – это ускорение, направленное по касательной к направлению движения.
      • Представьте себе объект, двигающийся по криволинейному пути. Тангенциальное ускорение – это попросту его линейное ускорение на любой из точек всего пути.
      • В случае второй формулы, легче всего проиллюстрировать ее, связав с понятиями из кинематики: смещением, линейной скоростью и линейным ускорением.
      • Смещение – это расстояние, пройденное объектом (единица СИ – метры, м); линейная скорость – это показатель изменения смещения за единицу времени (единица СИ – м/с); линейное ускорение – это показатель изменения линейной скорости за единицу времени (единица СИ – м/с 2).
      • Теперь давайте рассмотрим аналоги этих величин при вращательном движении: угловое смещение, θ – угол поворота определенной точки или отрезка (единица СИ – рад); угловая скорость, ω – изменение углового смещения за единицу времени (единица СИ – рад/с); и угловое ускорение, α – изменение угловой скорости за единицу времени (единица СИ – рад/с 2).
      • Возвращаясь к нашему примеру – нам были даны данные для углового момента и время. Поскольку вращение начиналось из состояния покоя, то начальная угловая скорость равна 0. Мы можем воспользоваться уравнением, чтобы найти:

    5. Воспользуйтесь уравнением, τ = Iα, чтобы найти вращательный момент. Просто замените переменные ответами, полученными на предыдущих шагах.

      • Вы можете заметить, что единица "рад" не подходит к нашим единицам измерения, поскольку считается безразмерной величиной.
      • Это значит, что вы можете пренебречь ею и продолжить ваши расчеты.
      • Для анализа единиц измерения мы можем выразить угловое ускорение в с -2 .
    • В первом методе, если тело является кругом и ось его вращения находится в центре, то рассчитывать составляющие силы не нужно (при условии, что сила не приложена под наклоном), поскольку сила лежит на касательной к окружности, т.е. перпендикулярно плечу момента.
    • Если вам сложно представить, как происходит вращение, то возьмите ручку и попробуйте воссоздать задачу. Для более точного воспроизведения не забудьте скопировать положение оси вращения и направление приложенной силы.

Момент пары сил

Моментом силы относительно какой-либо точки (центра) называется вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т.е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии действия силы, и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через выбранную точку и линию действия силы в ту сторону, откуда "вращение", совершаемое силой вокруг точки, представляется происходящим против хода часовой стрелки. Момент силы характеризует ее вращательное действие.

Если О – точка, относительно которой находится момент силы F , то момент силы обозначается символом М о (F) . Покажем, что если точка приложения силыF определяется радиус-вектором r , то справедливо соотношение

М о (F)=r×F . (3.6)

Согласно этому соотношению момент силы равен векторному произведению вектора r на вектор F .

В самом деле, модуль векторного произведения равен

М о (F )=rF sin=Fh , (3.7)

где h – плечо силы. Заметим также, что вектор М о (F) направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы r и F , в ту сторону, откуда кратчайший поворот вектора r к направлению вектора F представляется происходящим против хода часовой стрелки. Таким образом, формула (3.6) полностью определяет модуль и направление момента силы F .

Иногда формулу (3.7) полезно записывать в виде

М о (F )=2S , (3.8)

где S – площадь треугольника ОАВ .

Пусть x , y , z – координаты точки приложения силы, а F x , F y , F z – проекции силы на координатные оси. Тогда, если точка О находится в начале координат, момент силы выражается следующим образом:

Отсюда следует, что проекции момента силы на координатные оси определяются формулами:

M Ox (F )= yF z -zF y ,

M Oy (F )= zF x -xF z ,

M Oy (F )= xF y -yF x . (3.10)

Введем теперь понятие проекции силы на плоскость.

Пусть даны сила F и некоторая плоскость. Опустим из начала и конца вектора силы перпендикуляры на эту плоскость.

Проекцией силы на плоскость называется вектор , начало и конец которого совпадают с проекцией начала и проекцией конца силы на эту плоскость.

Если в качестве рассматриваемой плоскости принять плоскость хОу , то проекцией силы F на этуплоскость будет вектор F ху .



Момент силы F ху относительно точки О (точки пересечения оси z с плоскостью хОу ) может быть вычислен по формуле (3.9), если в ней принять z =0, F z =0. Получим

M O (F ху )=(xF y -yF x )k .

Таким образом, момент направлен вдоль оси z , а его проекция на ось z в точности совпадает с проекцией на ту же ось момента силы F относительно точки О . Другими словами,

M Oz (F )=M Oz (F ху )= xF y -yF x . (3.11)

Очевидно, тот же результат можно получить, если спроектировать силуF на любую другую плоскость, параллельную хОу . При этом точка пересечения оси z с плоскостью будет уже иной (обозначим новую точку пересечения через О 1). Однако все входящие в правую часть равенства (3.11) величины х , у , F х , F у останутся неизменными, и, следовательно, можно записать

M Oz (F )=M O 1 z (F ху ).

Другими словами, проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, не зависит от выбора точки на оси . Поэтому в дальнейшем вместо символа M Oz (F ) будем применять символ M z (F ). Эта проекция момента называется моментом силы относительно оси z . Вычисление момента силы относительно оси часто бывает удобнее производить посредством проектирования силы F на плоскость, перпендикулярную оси, и вычисления величины M z (F ху ).

В соответствии с формулой (3.7) и учитывая знак проекции, получим:

M z (F )=M z (F ху )=± F ху ·h* . (3.12)

Здесь h* – плечо силы F ху относительно точки О . Если наблюдатель видит со стороны положительного направления оси z, что сила F ху стремится повернуть тело вокруг оси z против хода часовой стрелки, то берется знак "+", и в противном случае – знак "–".

Формула (3.12) дает возможность сформулировать следующее правило для вычисления момента силы относительно оси. Для этого нужно:

· выбрать на оси произвольную точку и построить плоскость, перпендикулярную оси;

· спроектировать на эту плоскость силу;

· определить плечо проекции силы h*.

Момент силы относительно оси равен произведению модуля проекции силы на ее плечо, взятому с соответствующим знаком (см. изложенное выше правило).

Из формулы (3.12) следует, что момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:

· когда проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю, т.е. когда сила и ось параллельны ;

· когда плечо проекции h* равно нулю, т.е. когдалиния действия пересекает ось .

Оба эти случая можно объединить в один: момент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда, когда линия действия силы и ось находятся в одной плоскости .

Задача 3.1. Вычислить относительно точки О момент силы F , приложеннойк точке А и направленной по диагонали грани куба со стороной а .

При решении подобных задач целесообразно сначала вычислить моменты силы F относительно координатных осей x , y , z . Координаты точки А приложения силы F будут

Проекции силы F на координатные оси:

Подставляя эти значения в равенства (3.10), найдем

Эти же выражения для моментов силы F относительно координатных осей можно получить, пользуясь формулой (3.12). Для этого спроектируем силу F на плоскости, перпендикулярные оси х и у . Очевидно, что . Применяя изложенное выше правило, получим, как и следовало ожидать, те же выражения:

, , .

Модуль момента определится равенством

.

Введем теперь понятие момента пары. Найдем сначала, чему равна сумма моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки. Пусть О – произвольная точка пространства, а F и F" – силы, составляющие пару.

Тогда М о (F)=ОА ×F , М о (F")=ОВ ×F" ,

М о (F)+ М о (F")= ОА ×F + ОВ ×F" ,

но так как F= -F" , то

М о (F)+ М о (F")= ОА ×F - ОВ ×F =(ОА -ОВ )× F .

Принимая во внимание равенство ОА-ОВ=ВА , окончательно находим:

М о (F)+ М о (F")= ВА ×F .

Следовательно, сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от положения точки, относительно которой берутся моменты .

Векторное произведение ВА ×F и называется моментом пары . Обозначается момент пары символом М(F, F") , причем

М(F, F") = ВА ×F= АВ ×F" ,

или, короче,

М = ВА ×F= АВ ×F" . (3.13)

Рассматривая правую часть этого равенства, замечаем, что момент пары представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости пары, равный по модулю произведению модуля одной сил пары на плечо пары (т.е. на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару) и направленный в ту сторону, откуда "вращение" пары видно происходящим против хода часовой стрелки . Если h – плечо пары, то М(F, F") =h×F .

Из самого определения видно, что момент пары сил представляет собой свободный вектор, линия действия которого не определена (дополнительное обоснование этого замечания следует из теорем 2 и 3 этой главы).

Для того, чтобы пара сил составляла уравновешенную систему (систему сил, эквивалентную нулю), необходимо и достаточно, чтобы момент пары равнялся нулю. Действительно, если момент пары равен нулю, М =h×F , то либо F =0, т.е. нет сил, либо плечо пары h равно нулю. Но в этом случае силы пары будут действовать по одной прямой; так как они равны по модулю и направлены в противоположные стороны, то на основании аксиомы 1 они составят уравновешенную систему. Обратно, если две силы F 1 иF 2 , составляющие пару, уравновешены, то на основании той же аксиомы 1 они действуют по одной прямой. Но в этом случае плечо пары h равно нулю и, следовательно, М =h×F =0.

Теоремы о парах

Докажем три теоремы, с помощью которых становятся возможными эквивалентные преобразования пар. При всех рассмотрениях следует помнить, что они относятся к парам, действующим на какое-либо одно твердое тело.

Теорема 1. Две пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости, с моментом, равным сумме моментов данных двух пар.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим две пары (F 1 ,F" 1 ) и (F 2 ,F" 2 ) и перенесем точки приложения всех сил вдоль линий их действия в точки А и В соответственно. Складывая силы по аксиоме 3, получим

R=F 1 +F 2 и R"=F" 1 +F" 2 ,

но F 1 =-F" 1 и F 2 =-F" 2 .

Следовательно, R=- R" , т.е. силы R и R" образуют пару. Найдем момент этой пары, воспользовавшись формулой (3.13):

М=М (R , R" )=ВА× R=ВА× (F 1 +F 2 )=ВА× F 1 +ВА× F 2 . (3.14)

При переносе сил, составляющих пару, вдоль линий их действия ни плечо, ни направление вращения пар не меняются, следовательно, не меняется и момент пары. Значит,

ВА×F 1 =М (F 1 ,F" 1 )=М 1 , ВА× F 2 = М (F 2 ,F" 2 )=М 2

и формула (3.14) примет вид

М=М 1 +М 2 , (3.15)

что и доказывает справедливость сформулированной выше теоремы.

Сделаем два замечания к этой теореме.

1. Линии действия сил, составляющих пары, могут оказаться параллельными. Теорема остается справедливой и в этом случае, но для ее доказательства следует воспользоваться правилом сложения параллельных сил.

2. После сложения может получиться, что М (R , R" )=0; на основании сделанного ранее замечания из этого следует, что совокупность двух пар (F 1 ,F" 1 , F 2 ,F" 2 )=0.

Теорема 2. Две пары, имеющие геометрически равные моменты, эквивалентны.

Пусть на тело в плоскости I действует пара (F 1 ,F" 1 ) с моментом М 1 . Покажем, что эту пару можно заменить другой с парой (F 2 ,F" 2 ), расположенной в плоскости II , если только ее момент М 2 равен М 1 (согласно определению (см. 1.1) это и будет означать, что пары (F 1 ,F" 1 ) и (F 2 ,F" 2 ) эквивалентны). Прежде всего заметим, что плоскости I и II должны быть параллельны, в частности они могут совпадать. Действительно, из параллельности моментов М 1 и М 2 (в нашем случае М 1 =М 2 ) следует, что плоскости действия пар, перпендикулярные моментам, также параллельны.

Введем в рассмотрение новую пару (F 3 ,F" 3 ) и приложим ее вместе с парой (F 2 ,F" 2 ) к телу, расположив обе пары в плоскости II . Для этого, согласно аксиоме 2 нужно подобрать пару (F 3 ,F" 3 ) с моментом М 3 так, чтобы приложенная система сил (F 2 ,F" 2 , F 3 ,F" 3 ) была уравновешена. Это можно сделать, например, следующим образом: положим F 3 =-F" 1 и F" 3 = -F 1 и совместим точки приложения этих сил с проекциями А 1 и В 1 точек А и В на плоскость II . В соответствии с построением будем иметь: М 3 = -М 1 или, учитывая, что М 1 = М 2 ,

М 2 +М 3 = 0.

Принимая во внимание второе замечание к предыдущей теореме, получим (F 2 ,F" 2 , F 3 ,F" 3 )=0. Таким образом, пары (F 2 ,F" 2 ) и (F 3 ,F" 3 ) взаимно уравновешены и присоединение их к телу не нарушает его состояния (аксиома 2), так, что

(F 1 ,F" 1 )= (F 1 ,F" 1 , F 2 ,F" 2 , F 3 ,F" 3 ). (3.16)

С другой стороны, силы F 1 и F 3 , а также F" 1 и F" 3 можно сложить по правилу сложения параллельных сил, направленных в одну сторону. По модулю все эти силы равны друг другу, поэтому их равнодействующие R и R" должны быть приложены в точке пересечения диагоналей прямоугольника АВВ 1 А 1 ; кроме того, они равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Это означает, что они составляют систему, эквивалентную нулю. Итак,

(F 1 ,F" 1 , F 3 ,F" 3 )=(R , R" )=0.

Теперь мы можем записать

(F 1 ,F" 1 , F 2 ,F" 2 , F 3 ,F" 3 )=(F 3 ,F" 3 ). (3.17)

Сравнивая соотношения (3.16) и (3.17), получим (F 1 ,F" 1 )=(F 2 ,F" 2 ), что и требовалось доказать.

Из этой теоремы следует, что пару сил можно перемещать в плоскости ее действия, переносить в параллельную плоскость; наконец, в паре можно менять одновременно силы и плечо, сохраняя лишь направление вращения пары и модуль ее момента (F 1 h 1 = F 2 h 2).

В дальнейшем мы будем широко пользоваться такими эквивалентными преобразованиями пары.

Теорема 3. Две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар.

Пусть пары (F 1 ,F" 1 ) и (F 2 ,F" 2 ) расположены в пересекающихся плоскостях I и II соответственно. Пользуясь следствием теоремы 2, приведем обе пары к плечу АВ , расположенному на линии пересечения плоскостей I и II . Обозначим трансформированные пары через (Q 1 ,Q" 1 ) и (Q 2 ,Q" 2 ). При этом должны выполняться равенства

М 1 =М (Q 1 ,Q" 1 )=М (F 1 ,F" 1 ) и М 2 =М (Q 2 ,Q" 2 )=М (F 2 ,F" 2 ).

Сложим по аксиоме 3 силы, приложенные в точках А и В соответственно. Тогда получим R=Q 1 +Q 2 и R"= Q" 1 +Q" 2 . Учитывая, что Q" 1 =-Q 1 и Q" 2 =-Q 2 , получим R=-R" . Таким образом, мы доказали, что система двух пар эквивалентна одной паре (R ,R" ).

Найдем момент М этой пары. На основании формулы (3.13) имеем

М (R ,R" )=ВА× (Q 1 +Q 2 )=ВА× Q 1 +ВА× Q 2 =

=М (Q 1 ,Q" 1 )+М (Q 2 ,Q" 2 )=М (F 1 ,F" 1 )+М (F 2 ,F" 2 )

М=М 1 +М 2 ,

т.е. теорема доказана.

Заметим, что полученный результат справедлив и для пар, лежащих в параллельных плоскостях. По теореме 2 такие пары можно привести к одной плоскости, а по теореме 1 их можно заменить одной парой, момент которой равен сумме моментов составляющих пар.

Доказанные выше теоремы о парах позволяют сделать важный вывод: момент пары является свободным вектором и полностью определяет действие пары на абсолютно твердое тело . В самом деле, мы уже доказали, что если две пары имеют одинаковые моменты (следовательно, лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях), то они друг другу эквивалентны (теорема 2). С другой стороны, две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, не могут быть эквивалентны, ибо это означало бы, что одна из них и пара, противоположная другой, эквивалентны нулю, что невозможно, так как сумма моментов таких пар отлична от нуля.

Таким образом, введенное понятие момента пары чрезвычайно полезно, так как оно полностью отражает механическое действие пары на тело. В этом смысле можно сказать, что момент исчерпывающим образом представляет действие пары на твердое тело.

Для деформируемых тел изложенная выше теория пар неприменима. Две противоположные пары, действующие, например, по торцам стержня, с точки зрения статики твердого тела эквивалентны нулю. Между тем их действие на деформируемый стержень вызывает его кручение, и тем большее, чем больше модули моментов.

Перейдем к решению первой и второй задач статики, когда на тело действуют только пары сил.