We begrijpen wat een cirkel en een cirkel zijn. Formule voor de oppervlakte van een cirkel en de omtrek van een cirkel.

Elke dag komen we veel voorwerpen tegen die een cirkel vormen of juist een cirkel. Soms rijst de vraag, wat is een cirkel en hoe verschilt deze van een cirkel. Natuurlijk hebben we allemaal meetkundelessen gevolgd, maar soms kan het geen kwaad om onze kennis op te frissen met heel eenvoudige uitleg.

Wat is de omtrek en oppervlakte van een cirkel: definitie

Een cirkel is dus een gesloten gebogen lijn die een cirkel begrenst of juist vormt. Een voorwaarde voor een cirkel is dat deze een middelpunt heeft en dat alle punten er op gelijke afstand van liggen. Simpel gezegd, een cirkel is een gymnastiekring (of zoals het vaak een hoelahoep wordt genoemd) op een plat oppervlak.

De omtrek is de totale lengte van dezelfde kromme die de cirkel vormt. Zoals u weet, is de verhouding tussen diameter en lengte, ongeacht de grootte van de cirkel, gelijk aan het getal π = 3,141592653589793238462643.

Hieruit volgt dat π = L / D, waarbij L de omtrek is en D de diameter van de cirkel.

Als je de diameter weet, dan kun je de lengte vinden met een simpele formule: L = π * D

Als de straal bekend is: L = 2 πR

We hebben ontdekt wat een cirkel is en kunnen verder gaan met het definiëren van een cirkel.

De cirkel is geometrische figuur die is omgeven door een cirkel. Of, een cirkel is een figuur waarvan de rand bestaat uit een groot aantal punten op gelijke afstand van het midden van de figuur. Het hele gebied dat zich binnen een cirkel bevindt, inclusief het middelpunt, wordt een cirkel genoemd.

Het is vermeldenswaard dat een cirkel en een cirkel die erin zit dezelfde waarden voor straal en diameter hebben. En de diameter is op zijn beurt twee keer zo groot als de straal.

Een cirkel heeft een oppervlakte op een vlak, die kan worden gevonden met behulp van een eenvoudige formule:

Waarbij S de oppervlakte van de cirkel is en R de straal van de gegeven cirkel.

Hoe een cirkel verschilt van een cirkel: een uitleg

Het belangrijkste verschil tussen een cirkel en een cirkel is dat een cirkel een geometrische figuur is en een cirkel een gesloten kromme. Let ook op de verschillen tussen een cirkel en een cirkel:

  • Een cirkel is een gesloten lijn en een cirkel is het gebied binnen deze cirkel;
  • Een cirkel is een gebogen lijn op een vlak, en een cirkel is een ruimte die in een ring wordt afgesloten door een cirkel;
  • Overeenkomsten tussen cirkel en cirkel: straal en diameter;
  • De cirkel en de cirkel hebben één middelpunt;
  • Als de ruimte binnen de cirkel gearceerd is, verandert deze in een cirkel;
  • Een cirkel heeft een lengte, maar een cirkel niet, en omgekeerd heeft een cirkel een oppervlakte die een cirkel niet heeft.

Cirkel en cirkel: voorbeelden, foto's

Voor de duidelijkheid raden we aan een foto te overwegen waarin links een cirkel en rechts een cirkel wordt weergegeven.

Formule voor omtrek en oppervlakte van een cirkel: vergelijking

Formule voor de omtrek van een cirkel L = 2 πR

Formule voor de oppervlakte van een cirkel S = πR²

Merk op dat beide formules een straal en een π hebben. Het wordt aanbevolen om deze formules uit het hoofd te leren, omdat ze de eenvoudigste zijn en zeker van pas zullen komen in Alledaagse leven en op het werk.

Oppervlakte van een cirkel per omtrek: formule

S = π (L / 2π) = L² / 4π, waarbij S de oppervlakte van de cirkel is, L de omtrek is.

Video: Wat is cirkel, cirkel en straal


Cirkel Is een figuur die bestaat uit alle punten op het vlak die op gelijke afstand van een bepaald punt liggen.

Basisconcepten:

cirkel centrum Is een punt op gelijke afstand van de punten van de cirkel.

Straal Is de afstand van de punten van de cirkel tot het middelpunt (gelijk aan de halve diameter, Fig. 1).

Diameter Is een akkoord dat door het middelpunt van de cirkel gaat (Fig. 1).

Akkoord Is een segment dat twee punten van een cirkel verbindt (Fig. 1).

Raaklijn Is een rechte lijn die slechts één gemeenschappelijk punt heeft met een cirkel. Gaat door een punt van de cirkel loodrecht op de diameter die naar dit punt is getrokken (Fig. 1).

secant Is een rechte lijn die door twee verschillende punten van de cirkel gaat (Fig. 1).

Eenheidscirkel Is een cirkel waarvan de straal gelijk is aan één.

Boog van een cirkel Is een deel van een cirkel gedeeld door twee niet-overeenkomende punten van de cirkel.

1 radiaal Is de hoek gevormd door de boog van een cirkel gelijk aan de lengte van de straal (Fig. 4).
1 radiaal = 180˚: π ≈ 57.3˚

Centrale hoek Is de hoek met de top in het midden van de cirkel. Gelijk aan de graadmaat van de boog waarop hij rust (Fig. 2).

Ingeschreven hoek Is een hoek waarvan het hoekpunt op een cirkel ligt, en de zijden snijden deze cirkel. Gelijk aan de halve graadmaat van de boog waarop hij rust (Fig. 3).

Twee cirkels met een gemeenschappelijk middelpunt heten concentrisch.

Twee cirkels die elkaar loodrecht snijden, worden genoemd orthogonaal.

Omtrek en oppervlakte van een cirkel:

Legende:
Omtrek - C
Diameter lengte - d
Straallengte - r

Betekenisπ :
 De verhouding van de omtrek van een cirkel tot de lengte van de diameter wordt aangegeven met de Griekse letter π (pi).

22
π = -
7

Omtrek formule:

C = πd, of C = 2πr

Formules cirkelgebied:

C r
S = -
2

π D 2
S = ---
4

Het gebied van een circulaire sector en een cirkelsegment.

Circulaire sector Is het deel van de cirkel dat binnen de bijbehorende centrale hoek ligt.
Formule voor de oppervlakte van een circulaire sector:

πR 2
S = ---α
360

waar π - constante waarde gelijk aan 3.1416; R - straal van de cirkel; α - de graadmaat van de corresponderende middelpuntshoek.

Cirkelsegment- dit is een gemeenschappelijk deel cirkel en halfvlak.
Formule voor de oppervlakte van een cirkelsegment:

πR 2
S = ---α ± S Δ
360

waar α - de graadmaat van de centrale hoek die de boog van dit cirkelsegment bevat; S Δ - het gebied van een driehoek met hoekpunten in het midden van de cirkel en aan de uiteinden van de stralen die de overeenkomstige sector begrenzen.

Het minteken moet worden genomen als α< 180˚, а знак «плюс» надо брать, когда α >180˚.

Vergelijking van een cirkel in cartesiaanse coördinatenx, ja gecentreerd op het punt (een; B):

(x -een) 2 + (y - b) 2 = R 2

Een cirkel rond een driehoek (Fig. 4).

Een cirkel ingeschreven in een driehoek (Fig. 5).

Hoeken ingeschreven in een cirkel (Fig. 3).

Een hoek waarvan het hoekpunt op een cirkel ligt, en de zijden snijden deze cirkel, heet ingeschreven in een cirkel.

Basisconcepten:

De hoek verdeelt het vlak in twee delen. Elk van deze onderdelen heet vlakke hoek.

Platte hoeken met gemeenschappelijke zijden worden aanvullend.

Een vlakke hoek met een hoekpunt in het middelpunt van een cirkel heet middelste hoek(Figuur 2)



Proportionaliteit van lijnstukken van akkoorden en secansen van een cirkel.

Speciale gevallen en formules:

1) Trek vanuit het punt C, dat buiten de cirkel ligt, een raaklijn aan de cirkel en geef het punt van hun contact aan met de letter D.

Vervolgens tekenen we vanuit hetzelfde punt C een secans en de snijpunten van de secans en de cirkel worden aangegeven met de letters A en B (Fig. 8).

In dit geval:

CD 2 =ACBC

2) Teken de diameter AB in de cirkel. Trek vervolgens vanuit punt C, gelegen op de cirkel, een loodlijn op deze diameter en geef het resulterende segment CD aan (Fig. 9).

In dit geval:

CD 2 =ADVERTENTIEBD.

Cirkel- een geometrische figuur bestaande uit alle punten van het vlak die zich op een bepaalde afstand van een bepaald punt bevinden.

Dit punt (O) heet het middelpunt van de cirkel.
Cirkelradius is een lijnstuk dat het middelpunt verbindt met een willekeurig punt van de cirkel. Alle stralen zijn (per definitie) even lang.
Akkoord- een lijnstuk dat twee punten van een cirkel verbindt. Het akkoord dat door het middelpunt van de cirkel gaat heet diameter... Het middelpunt van een cirkel is het middelpunt van elke diameter.
Elke twee punten van de cirkel verdelen deze in twee delen. Elk van deze onderdelen heet boog van een cirkel... De boog heet halve cirkel als het lijnsegment dat de uiteinden verbindt een diameter heeft.
De lengte van de halve cirkel van de eenheid wordt aangegeven met π .
De som van de graadmaten van twee cirkelbogen met gemeenschappelijke uiteinden is 360.
Het deel van het vlak dat wordt begrensd door een cirkel heet in de omgeving van.
Circulaire sector- het deel van een cirkel dat wordt begrensd door een boog en twee stralen die de uiteinden van de boog verbinden met het middelpunt van de cirkel. De boog die de sector begrenst heet boogsector.
Twee cirkels met een gemeenschappelijk middelpunt heten concentrisch.
Twee cirkels die elkaar loodrecht snijden, worden genoemd orthogonaal.

Onderlinge rangschikking van een rechte lijn en een cirkel

  1. Als de afstand van het middelpunt van de cirkel tot de rechte lijn kleiner is dan de straal van de cirkel ( d), dan hebben de lijn en de cirkel twee punten gemeen. In dit geval heet de lijn secans in relatie tot de cirkel.
  2. Als de afstand van het middelpunt van de cirkel tot de rechte lijn gelijk is aan de straal van de cirkel, dan hebben de lijn en de cirkel maar één gemeenschappelijk punt. Zo'n rechte lijn heet raaklijn aan de cirkel, en hun gemeenschappelijke punt heet raakpunt van een lijn en een cirkel.
  3. Als de afstand van het middelpunt van de cirkel tot de rechte lijn groter is dan de straal van de cirkel, dan zijn de rechte lijn en de cirkel hebben geen gemeenschappelijke punten
    4. .

Midden en ingeschreven hoeken

Centrale hoek is de hoek met de top in het midden van de cirkel.
Ingeschreven hoek- een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt, en de zijkanten snijden de cirkel.

Ingeschreven hoekstelling

De ingeschreven hoek wordt gemeten door de helft van de boog waarop het rust.

  • Gevolg 1.
    De ingeschreven hoeken op basis van dezelfde boog zijn gelijk.

  • Gevolg 2.
    De ingeschreven hoek die op een halve cirkel rust, is een rechte lijn.

De stelling over het product van segmenten van snijdende akkoorden.

Als twee akkoorden van de cirkel elkaar snijden, dan is het product van de segmenten van het ene akkoord gelijk aan het product van de segmenten van het andere akkoord.

Basisformules

  • Omtrek:
C = 2 ∙ π ∙ R
  • Lengte cirkelboog:
R = С / (2 ∙ π) = D / 2
  • Diameter:
D = C / π = 2 ∙ R
  • Lengte cirkelboog:
l = (π ∙ R) / 180 ∙ α,
waar α - de graadmaat van de lengte van de cirkelboog)
  • Oppervlakte van een cirkel:
S = π ∙ R 2
  • Circulair sectorgebied:
S = ((π ∙ R 2) / 360) α

cirkel vergelijking

  • V rechthoekig systeem coördinaatvergelijking van cirkelstraal R gecentreerd op punt C(x о; y о) heeft de vorm:
(x - x о) 2 + (y - y о) 2 = r 2
  • De vergelijking van een cirkel met straal r gecentreerd op de oorsprong heeft de vorm:
x 2 + y 2 = r 2

Een cirkel is een gebogen gesloten lijn op een vlak, waarvan alle punten op dezelfde afstand van één punt liggen; dit punt wordt het middelpunt van de cirkel genoemd.

Het deel van het vlak dat door een cirkel wordt begrensd, wordt een cirkel genoemd.

Een recht lijnstuk dat een punt van een cirkel met zijn middelpunt verbindt, wordt een straal genoemd(afb. 84).

Omdat alle punten van de cirkel op dezelfde afstand van het middelpunt liggen, zijn alle stralen van dezelfde cirkel gelijk aan elkaar. De straal wordt meestal aangegeven met de letter R of R.

Het punt dat binnen de cirkel wordt genomen, bevindt zich vanuit het middelpunt op een afstand die kleiner is dan de straal. Dit is eenvoudig te controleren of er een straal door dit punt wordt getrokken (Fig. 85).

Een punt buiten de cirkel ligt vanuit het middelpunt op een grotere afstand dan de straal. Dit is eenvoudig te controleren als u dit punt verbindt met het middelpunt van de cirkel (afb. 85).

Een recht lijnstuk dat twee punten van een cirkel verbindt, wordt een akkoord genoemd.

Het akkoord dat door het midden gaat, wordt de diameter genoemd(afb. 84). De diameter wordt meestal aangegeven met de letter D. De diameter is gelijk aan twee stralen:

Omdat alle stralen van dezelfde cirkel aan elkaar gelijk zijn, zijn alle diameters van deze cirkel gelijk aan elkaar.

Stelling. Een koorde die niet door het middelpunt van een cirkel gaat, is kleiner dan een diameter in dezelfde cirkel.

Inderdaad, als we een akkoord tekenen, bijvoorbeeld AB, en de uiteinden ervan verbinden met het midden O (Fig. 86), zullen we zien dat het akkoord AB kleiner is dan de onderbroken lijn AO ​​+ OB, dat wil zeggen, AB r , en sinds 2 R= D, dan AB

Als de cirkel in diameter is gebogen (Fig. 87), worden beide delen van de cirkel en de cirkel gecombineerd. Diameter verdeelt een cirkel en een cirkel in twee gelijke delen.

Twee cirkels (twee cirkels) worden gelijk genoemd als ze op elkaar kunnen worden gelegd zodat ze uitgelijnd zijn.

Daarom zijn twee cirkels (twee cirkels) met gelijke stralen gelijk.

2. Boog van een cirkel.

Het deel van een cirkel wordt een boog genoemd.

Het woord "boog" wordt soms vervangen door \ (\ breve () \). Een boog wordt aangeduid met twee of drie letters, waarvan er twee aan de uiteinden van de boog zijn geplaatst en de derde op een bepaald punt op de boog. In tekening 88 zijn twee bogen aangegeven: \ (\ breve (ACB) \) en \ (\ breve (ADB) \).

In het geval dat de boog kleiner is dan een halve cirkel, wordt deze meestal aangegeven met twee letters. Dus de boog ADB kan worden aangeduid als \ (\ breve (AB) \) (Fig. 88). Een akkoord dat de uiteinden van een boog verbindt, zou de boog samentrekken.

Als we de boog AC (Fig. 89, a) verplaatsen zodat deze over de gegeven cirkel schuift, en als deze tegelijkertijd samenvalt met de boog МN, dan \ (\ breve (AC) \) = \ (\ breve (NM) \).

In tekening 89 zijn b bogen AC en AB niet gelijk aan elkaar. Beide bogen beginnen bij punt A, maar de ene boog \ (\ breve (AB) \) is slechts een deel van de andere boog \ (\ breve (AC) \).

Daarom \ (\ breve (AC) \)> \ (\ breve (AB) \); \ (\ korte (AB) \)

Teken een cirkel vanuit drie punten

Taak. Teken een cirkel door drie punten die niet op één rechte lijn liggen.

Laten we drie punten A, B en C krijgen die niet op één rechte lijn liggen (Fig. 311).

Laten we deze punten verbinden met de segmenten AB en BC. Om punten op gelijke afstand van de punten A en B te vinden, deelt u het segment AB doormidden en trekt u een rechte lijn loodrecht op AB door het midden (punt M). Elk punt van deze loodlijn ligt even ver van de punten A en B.

Om punten op gelijke afstand van de punten B en C te vinden, deelt u het segment BC doormidden en trekt u een rechte lijn loodrecht op BC door het midden ervan (punt N). Elk punt van deze loodlijn ligt even ver van de punten B en C.

Punt O van het snijpunt van deze loodlijnen zal op dezelfde afstand van deze punten A, B en C liggen (AO = BO = CO). Als we, met punt O als middelpunt van de cirkel, met een straal gelijk aan AO, een cirkel tekenen, dan zal deze door alle gegeven punten A, B en C gaan.

Punt O is het enige punt dat kan dienen als middelpunt van een cirkel die door drie punten A, B en C gaat die niet op één rechte lijn liggen, aangezien twee loodlijnen op de segmenten AB en BC elkaar slechts in één punt kunnen snijden. Dit betekent dat het probleem een ​​unieke oplossing heeft.

Opmerking... Als drie punten A, B en C op één rechte lijn liggen, heeft het probleem geen oplossing, aangezien de loodlijnen op de segmenten AB en BC evenwijdig zijn en er geen punt zal zijn dat even ver van de punten A, B, C ligt , dat wil zeggen een punt dat als middelpunt van de gewenste cirkel zou kunnen dienen.

Als we de punten A en C verbinden met een segment en het midden van dit segment (punt K) verbinden met het middelpunt van cirkel O, dan staat OK loodrecht op AC (Fig. 311), aangezien in een gelijkbenige driehoek AOS OK de mediaan, dus OK⊥AS.

Gevolg. Drie loodlijnen op de zijden van de driehoek, getrokken door hun middelpunten, snijden elkaar in één punt.

Cirkel is een figuur die bestaat uit alle punten op een vlak die op gelijke afstand van een bepaald punt liggen. Dit punt wordt het middelpunt van de cirkel genoemd.

Een cirkel met straal nul (ontaarde cirkel) is een punt, soms wordt dit geval uitgesloten van de definitie.

Collegiale YouTube

    1 / 5

    Cirkel en zijn eigenschappen (bezbotvy)

    Ingeschreven en omgeschreven cirkel - door bezbotvy

    Wiskunde: voorbereiding op het examen en examen. Planimetrie. Kringen en hun eigenschappen

    Wiskunde 26. Kompassen. Cirkel en cirkel - Shishkina school

    VERGELIJKING VAN CIRKEL. OPDRACHT 18 (C5). ARTHUR SHARIFOV

    Ondertitels

Aanwijzing

Als een cirkel bijvoorbeeld door de punten A, B, C gaat, dan wordt deze aangegeven door deze punten tussen haakjes aan te duiden: (A, B, C). Dan wordt de boog van een cirkel die door de punten A, B, C gaat, aangeduid als boog ABC (of boog AC), evenals υ ABC (of υ AC).

andere definities

  • Diameter omtrek AB A, B AB zichtbaar onder een rechte hoek (Definitie door een hoek op basis van de diameter van de cirkel).
  • Omcirkel met een akkoord AB is een figuur bestaande uit punten A, B en alle punten van het vlak van waaruit het segment AB gezien onder een constante hoek van één kant, gelijk aan ingeschreven booghoek AB, en onder een andere constante hoek aan de andere kant gelijk aan 180 graden min ingeschreven booghoek AB hierboven (Definitie in termen van ingeschreven hoek).
  • Een figuur die uit dergelijke punten bestaat X, (\ weergavestijl X,) dat de verhouding van de lengtes van de segmenten BIJL en Bx constant: A X B X = c ≠ 1, (\ displaystyle (\ frac (AX) (BX)) = c \ neq 1,) is een cirkel (definitie door de cirkel van Apollonius).
  • Een figuur bestaande uit al deze punten, voor elk waarvan de som van de kwadraten van de afstanden tot twee gegeven punten gelijk is aan een gegeven waarde, meer dan de helft van het kwadraat van de afstand tussen deze punten, is ook een cirkel (Definitie door de stelling van Pythagoras voor een willekeurige rechthoekige driehoek ingeschreven in een cirkel, waarbij de hypotenusa de diameter van de cirkel is).
  • m teken alle akkoorden erin AB, CD, EF enzovoort, dan zijn de gelijkheden waar: A M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F =… (\ displaystyle AM ​​\ cdot (MB) = CM \ cdot (MD) = EM \ cdot (MF) = \ dots)... Gelijkheden blijven altijd geldig, ongeacht de puntselectie m en richtingen van akkoorden die erdoorheen worden getrokken (Definitie door kruisende akkoorden).
  • Een cirkel is een gesloten, zichzelf niet-snijdende figuur met de volgende eigenschap. Als door een willekeurig punt m buiten het teken twee raaklijnen aan de punten van hun raaklijn met de cirkel, bijvoorbeeld, EEN en B, dan zijn hun lengtes altijd gelijk: M A = M B (\ weergavestijl MA = MB)... Gelijkheid blijft altijd bestaan, ongeacht de puntselectie m(Definitie door gelijke raaklijnen).
  • Een cirkel is een gesloten, zichzelf niet-snijdende figuur met de volgende eigenschap. De verhouding van de lengte van een van zijn akkoorden tot de sinus van een van zijn ingeschreven hoek op basis van dit akkoord is een constante waarde gelijk aan de diameter van deze cirkel (definitie door de stelling van sinussen).
  • De cirkel is speciaal geval een ellips waarvan de afstand tussen de brandpunten gelijk is aan nul (definitie door een gedegenereerde ellips).

Verwante definities voor één cirkel

  • De meetkundige plaats van punten van het vlak, waarvan de afstand tot een bepaald punt niet meer is dan een gegeven niet-nul, wordt genoemd in de omgeving van .
  • Straal- niet alleen de waarde van de afstand, maar ook het segment dat het middelpunt van de cirkel verbindt met een van zijn punten. De straal is altijd de helft diameter cirkels.
  • De straal staat altijd loodrecht op de raaklijn die wordt getrokken naar de cirkel op het gemeenschappelijke punt met de cirkel. Dat wil zeggen, de straal is tegelijkertijd de normaal op de cirkel.
  • De cirkel heet enkel als de straal gelijk is aan één. Eenheidscirkel is een van de belangrijkste objecten van trigonometrie.
  • Een segment dat twee punten van een cirkel verbindt, wordt het genoemd akkoord... Het akkoord dat door het middelpunt van de cirkel gaat heet diameter.
  • Elke twee punten van de cirkel die niet samenvallen, verdelen deze in twee delen. Elk van deze onderdelen heet boog van een cirkel... De boog heet halve cirkel als het lijnsegment dat de uiteinden verbindt een diameter heeft.
  • De lengte van de halve cirkel van de eenheid wordt aangegeven met.
  • Een rechte lijn die precies één punt gemeen heeft met een cirkel heet raaklijn naar de cirkel, en hun gemeenschappelijk punt wordt het raakpunt van de lijn en de cirkel genoemd.
  • Raaklijn naar een cirkel staat altijd loodrecht op zijn straal (en diameter) getekend op het raakpunt, dat is normaal op dit punt getekend.
  • Een rechte lijn die door twee verschillende punten van een cirkel gaat, heet secans.

Driehoeken definiëren voor één cirkel

  • Driehoek ABC heet ingeschreven in een cirkel(A, B, C) als alle drie de hoekpunten A, B en C op deze cirkel liggen. In dit geval heet de cirkel omgeschreven cirkel driehoek ABC(Zie de omgeschreven cirkel).
  • Raaklijn aan een cirkel getrokken door een hoekpunt van een daarin ingeschreven driehoek is antiparallel aan de zijde van de driehoek tegenover het gegeven hoekpunt.
  • Driehoek ABC heet omgeschreven rond een cirkel(A ", B", C "), als alle drie de zijden AB, BC en CA deze cirkel respectievelijk op sommige punten C", A "en B" raken. In dit geval heet de cirkel ingeschreven cirkel driehoek ABC (Zie de incircle).

Hoekdefinities voor één cirkel

  • De hoek gevormd door een boog van een cirkel die even lang is als de straal wordt genomen als 1 radiaal.
  • Centraal hoek - de hoek met de top in het midden van de cirkel. De middelpuntshoek is gelijk aan de radiaal / graadmaat van de boog waarop hij rust (zie figuur).
  • ingeschreven hoek - een hoek waarvan het hoekpunt op een cirkel ligt, en de zijkanten snijden deze cirkel. Ingeschreven hoek is gelijk aan de halve graadmaat van de boog waarop hij rust (zie afb.).
  • Buitenhoek voor ingeschreven hoek - de hoek gevormd door een zijde en de voortzetting van de andere zijde ingeschreven hoek (zie afb. hoek θ Bruine kleur). Buitenhoek want de ingeschreven aan de andere kant van de hoek van de cirkel heeft dezelfde waarde θ .
  • De hoek tussen een cirkel en een rechte lijn- de hoek tussen de rechte lijn en de raaklijn aan de cirkel op het snijpunt van de rechte lijn en de cirkel. Beide hoeken tussen de snijdende cirkel en lijn zijn gelijk.
  • Hoek gebaseerd op de diameter van de cirkel- de hoek ingeschreven in deze cirkel, waarvan de zijkanten de uiteinden van de diameter bevatten. Hij is altijd direct.

Verwante definities voor twee cirkels

  • Twee cirkels met een gemeenschappelijk middelpunt heten concentrisch.
  • Twee cirkels die slechts één gemeenschappelijk punt hebben, worden genoemd met betrekking tot uiterlijk als hun cirkels geen andere gemeenschappelijke punten hebben, en intern als hun cirkels in elkaar liggen.
  • Twee cirkels die twee gemeenschappelijke punten hebben, worden genoemd kruisend... Hun cirkels (door hen beperkt) kruisen elkaar in een gebied dat een dubbel cirkelvormig segment wordt genoemd.
  • Hoek tussen twee elkaar snijdende (of elkaar rakende) cirkels wordt de hoek genoemd tussen hun raaklijnen op een gemeenschappelijk snijpunt (of raakpunt).
  • Ook hoek tussen twee elkaar snijdende (of elkaar rakende) cirkels kan worden beschouwd als de hoek tussen hun stralen (diameters), getekend op een gemeenschappelijk snijpunt (of raaklijn).
  • Aangezien voor elke cirkel de straal (of diameter) en de raaklijn getrokken door een willekeurig punt van de cirkel onderling loodrecht staan, kan de straal (of diameter) worden beschouwd normaal naar de cirkel die op het gegeven punt is geconstrueerd. De twee soorten hoeken die in de vorige twee alinea's zijn gedefinieerd, zullen dus altijd gelijk zijn aan elkaar, zoals hoeken met onderling loodrechte zijden.
  • rechte hoeken worden genoemd orthogonaal... Kringen kunnen worden geteld orthogonaal als ze een rechte hoek met elkaar vormen.
  • Radicale as van twee cirkels- puntenverzameling waarvan de graden gelijk zijn ten opzichte van twee gegeven cirkels. Met andere woorden, de lengtes van vier raaklijnen aan twee gegeven cirkels vanuit een willekeurig punt zijn gelijk m een gegeven aantal punten.

Hoekdefinities voor twee cirkels

  • Hoek tussen twee snijdende cirkels- de hoek tussen de raaklijnen aan de cirkels op het snijpunt van deze cirkels. Beide hoeken tussen twee snijdende cirkels zijn gelijk.
  • Hoek tussen twee onsamenhangende cirkels- de hoek tussen twee gemeenschappelijke raaklijnen aan twee cirkels, gevormd op het snijpunt van deze twee raaklijnen. Het snijpunt van deze twee raaklijnen moet tussen de twee cirkels liggen, en niet aan de zijde van een van hen (deze hoek wordt niet beschouwd). Beide verticale hoeken tussen twee onsamenhangende cirkels zijn gelijk.

orthogonaliteit

  • Twee cirkels die elkaar loodrecht snijden, worden genoemd orthogonaal... Kringen kunnen worden geteld orthogonaal als ze een rechte hoek met elkaar vormen.
  • Twee cirkels die elkaar snijden in de punten A en B met middelpunten O en O "worden" genoemd orthogonaal als rechte hoeken OAO "en OBO" zijn. Het is deze voorwaarde die garandeert: juiste hoek tussen de cirkels. In dit geval staan ​​de stralen (normalen) van de twee cirkels, getrokken naar het snijpunt, loodrecht op elkaar. De raaklijnen van de twee cirkels die naar het snijpunt worden getrokken, staan ​​dus ook loodrecht op elkaar. De raaklijn aan de cirkel staat loodrecht op de straal (normaal) getrokken naar het raakpunt. Typisch is de hoek tussen krommen de hoek tussen hun raaklijnen getekend op hun snijpunt.
  • Een andere aanvullende voorwaarde is mogelijk. Laat twee cirkels die elkaar snijden in de punten A en B de middelpunten hebben van elkaar snijdende bogen in de punten C en D, dat wil zeggen, boog AC is gelijk aan boog CB, boog AD is gelijk aan boog DB. Dan heten deze cirkels orthogonaal als de rechte hoeken СAD en СBD zijn.

Verwante definities voor drie cirkels

  • Drie cirkels worden elkaar rakend (kruisend) genoemd als twee van hen elkaar raken (kruisen).
  • in geometrie radicaal centrum van drie cirkels is het snijpunt van de drie basisassen van cirkelparen. Als het wortelpunt buiten alle drie de cirkels ligt, dan is het het middelpunt van de enige cirkel ( radicale cirkel) die drie gegeven cirkels snijdt orthogonaal.

Lemma Archimedes

Een bewijs

laten zijn G (\ weergavestijl G)- homothety, het transformeren van een kleine cirkel in een grote. Dan is het duidelijk dat A 1 (\ weergavestijl A_ (1)) is het centrum van deze homotheteit. Dan de rechte lijn B C (\ weergavestijl BC) gaat in een soort rechte lijn a (\ weergavestijl a) rakend aan de grote cirkel, en A 2 (\ weergavestijl A_ (2)) gaat naar een punt op deze lijn en behoort tot de grote cirkel. Als we ons herinneren dat de homothety rechte lijnen omzet in lijnen die er evenwijdig aan lopen, begrijpen we dat: a ∥ B C (\ displaystyle a \ parallel BC)... laten zijn G (A 2) = A 3 (\ weergavestijl G (A_ (2)) = A_ (3)) en D (\ weergavestijl D)- punt op een rechte lijn a (\ weergavestijl a), zodat het scherp is, en E (\ weergavestijl E)- zo'n punt op een rechte lijn a (\ weergavestijl a), wat ∠ B A 3 E (\ displaystyle \ hoek BA_ (3) E)- pittig. dan sinds a (\ weergavestijl a)- raaklijn aan de grote cirkel ∠ C A 3 D (\ displaystyle \ hoek CA_ (3) D)= (\ weergavestijl =)∠ C B A 3 (\ displaystyle \ hoek CBA_ (3))= ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 (\ displaystyle = \ hoek BA_ (3) E = \ hoek BCA_ (3))... Vandaar △ B C A 3 (\ displaystyle \ bigtriangleup BCA_ (3))- gelijkbenig, wat betekent: ∠ B A 1 A 3 = ∠ C A 1 A 3 (\ displaystyle \ hoek BA_ (1) A_ (3) = \ hoek CA_ (1) A_ (3)), dat is A 1 A 2 (\ displaystyle A_ (1) A_ (2))- bissectrice ∠ B A 1 C (\ displaystyle \ hoek BA_ (1) C).

Stelling van Descartes voor de stralen van vier paarsgewijze raakcirkels

De stelling van Descartes" stelt dat de stralen van elke vier elkaar rakende cirkels voldoen aan een kwadratische vergelijking. Ze worden soms Soddy-cirkels genoemd.

Eigendommen

x 2 + y 2 = R 2. (\ displaystyle x ^ (2) + y ^ (2) = R ^ (2).)

Vergelijking van een cirkel die door punten gaat (x 1, y 1), (x 2, y 2), (x 3, y 3), (\ displaystyle \ left (x_ (1), y_ (1) \ right), \ left (x_ (2) , y_ (2) \ rechts), \ links (x_ (3), y_ (3) \ rechts),) niet op één rechte lijn liggen (met behulp van de determinant):

| x 2 + j 2 x j 1 x 1 2 + j 1 2 x 1 j 1 1 x 2 2 + j 2 2 x 2 j 2 1 x 3 2 + j 3 2 x 3 j 3 1 | = 0. (\ displaystyle (\ begin (vmatrix) x ^ (2) + y ^ (2) & x & y & 1 \\ x_ (1) ^ (2) + y_ (1) ^ (2) & x_ (1) & y_ (1 ) & 1 \\ x_ (2) ^ (2) + y_ (2) ^ (2) & x_ (2) & y_ (2) & 1 \\ x_ (3) ^ (2 ) + y_ (3) ^ (2) & x_ (3) & y_ (3) & 1 \ einde (vmatrix)) = 0.) (x = x 0 + R cos ⁡ φ y = y 0 + R sin ⁡ φ, 0 ⩽ φ< 2 π . {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases}},\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .}

In een cartesiaans coördinatensysteem is een cirkel geen grafiek van een functie, maar kan deze worden beschreven als de vereniging van grafieken van de volgende twee functies:

y = y 0 ± R 2 - (x - x 0) 2. (\ displaystyle y = y_ (0) \ pm (\ sqrt (R ^ (2) - (x-x_ (0)) ^ (2))).)

Als het middelpunt van de cirkel samenvalt met de oorsprong, hebben de functies de vorm:

y = ± R 2 - x 2. (\ displaystyle y = \ pm (\ sqrt (R ^ (2) -x ^ (2))).)

Pool coördinaten

Cirkelradius R (\ weergavestijl R) gecentreerd op punt (ρ 0, ϕ 0) (\ displaystyle \ left (\ rho _ (0), \ phi _ (0) \ right)).