Modificarea unei funcții la un anumit punct este definită ca limita incrementului funcției la incrementul argumentului, care tinde spre zero. Pentru a-l găsi, utilizați tabelul derivatelor. De exemplu, derivata funcției y = x3 va fi egală cu y ’= x2.

Setați această derivată la zero (în acest caz, x2 = 0).

Găsiți valoarea variabilei date. Acestea vor fi valorile când derivata dată este egală cu 0. Pentru a face acest lucru, înlocuiți cifrele arbitrare în expresie în loc de x, la care întreaga expresie devine zero. De exemplu:

2-2x2 = 0
(1-x) (1 + x) = 0
x1 = 1, x2 = -1

Trasați valorile obținute pe linia de coordonate și calculați semnul derivatei pentru fiecare dintre cele obținute. Punctele sunt marcate pe linia de coordonate, care sunt luate ca origine. Pentru a calcula valoarea în intervale, înlocuiți valorile arbitrare care se potrivesc criteriilor. De exemplu, pentru funcția anterioară, până la -1, puteți alege o valoare de -2. De la -1 la 1, puteți alege 0, iar pentru valorile mai mari decât 1, alegeți 2. Înlocuiți aceste numere în derivată și aflați semnul derivatei. În acest caz, derivata cu x = -2 va fi -0,24, adică. negativ și va exista un semn minus pe acest interval. Dacă x = 0, atunci valoarea va fi egală cu 2, iar pe acest interval este plasat un semn. Dacă x = 1, atunci și derivata va fi -0,24 și se pune minus.

Dacă, la trecerea printr-un punct de pe linia de coordonate, derivata își schimbă semnul de la minus la plus, atunci acesta este punctul minim, iar dacă de la plus la minus, atunci acesta este punctul maxim.

Videoclipuri similare

Sfaturi utile

Pentru a găsi derivatul, există servicii online care calculează valorile necesare și afișează rezultatul. Pe astfel de site-uri, puteți găsi un derivat până la ordinul 5.

Surse:

  • Unul dintre serviciile pentru calcularea instrumentelor derivate
  • punct maxim de funcționare

Punctele maxime ale unei funcții, împreună cu punctele minime, se numesc puncte extreme. În aceste puncte, funcția își schimbă comportamentul. Extremele sunt determinate la intervale numerice limitate și sunt întotdeauna locale.

Instrucțiuni

Procesul de găsire a extremelor locale se numește funcție și se realizează prin analiza primei și a doua derivate ale funcției. Asigurați-vă că intervalul specificat de valori ale argumentului sunt valori valide înainte de examinare. De exemplu, pentru funcția F = 1 / x, valoarea argumentului x = 0 este invalidă. Sau, pentru funcția Y = tg (x), argumentul nu poate avea valoarea x = 90 °.

Asigurați-vă că funcția Y este diferențiabilă pe întregul segment dat. Găsiți prima derivată Y". Evident, înainte de a ajunge la punctul de maxim local, funcția crește, iar la trecerea prin maxim, funcția devine descrescătoare. Prima derivată în felul ei simțul fizic caracterizează rata de schimbare a funcției. În timp ce funcția crește, rata acestui proces este pozitivă. La trecerea prin maximul local, funcția începe să scadă, iar rata procesului de schimbare a funcției devine negativă. Tranziția vitezei de schimbare a funcției prin zero are loc în punctul de maxim local.

$ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. $ F $ se spune că are maxim localîn punctul $ x_ (0) \ în E $, dacă există o vecinătate $ U $ a punctului $ x_ (0) $ astfel încât pentru toate $ x \ în U $ inegalitatea $ f \ stânga (x \ dreapta ) \ leqslant f \ left (x_ (0) \ right) $.

Maximul local este numit strict dacă vecinătatea $ U $ poate fi aleasă astfel încât pentru toate $ x \ în U $ altele decât $ x_ (0) $, să existe $ f \ stânga (x \ dreapta)< f\left(x_{0}\right)$.

Definiție
Fie $ f $ o funcție reală pe mulțimea deschisă $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. $ F $ se spune că are minim localîn punctul $ x_ (0) \ în E $, dacă există o vecinătate $ U $ a punctului $ x_ (0) $ astfel încât pentru toate $ x \ în U $ inegalitatea $ f \ stânga (x \ dreapta ) \ geqslant f \ left (x_ (0) \ right) $.

Un minim local se numește strict dacă vecinătatea $ U $ poate fi aleasă astfel încât pentru toate $ x \ în U $ altele decât $ x_ (0) $, $ f \ stânga (x \ dreapta)> f \ stânga (x_ ( 0) \ dreapta) $.

Extremul local combină conceptele de minim local și maxim local.

Teorema ( conditie necesara extremul funcției diferențiabile)
Fie $ f $ o funcție reală pe mulțimea deschisă $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Dacă în punctul $ x_ (0) \ în E $ funcția $ f $ are o extremă locală în acest punct, atunci $$ \ text (d) f \ stânga (x_ (0) \ dreapta) = 0. $$ Egalitatea cu diferența zero este echivalentă cu faptul că toate sunt egale cu zero, adică. $$ \ stil de afișare \ frac (\ parțial f) (\ parțial x_ (i)) \ stânga (x_ (0) \ dreapta) = 0. $$

În cazul unidimensional, este. Notăm $ \ phi \ left (t \ right) = f \ left (x_ (0) + th \ right) $, unde $ h $ este un vector arbitrar. Funcția $ \ phi $ este definită pentru valori suficient de mici de $ t $ în valoare absolută. În plus, prin, este diferențiabilă și $ (\ phi) ’\ stânga (t \ dreapta) = \ text (d) f \ stânga (x_ (0) + th \ dreapta) h $.
Fie $ f $ să aibă un maxim local în punctul x $ 0 $. Prin urmare, funcția $ \ phi $ pentru $ t = 0 $ are un maxim local și, după teorema lui Fermat, $ (\ phi) ’\ stânga (0 \ dreapta) = 0 $.
Deci, am obținut că $ df \ left (x_ (0) \ right) = 0 $, adică. a funcției $ f $ în punctul $ x_ (0) $ este egal cu zero pe orice vector $ h $.

Definiție
Puncte în care diferența este zero, adică cele în care toate derivatele parțiale sunt egale cu zero se numesc staționari. Puncte critice funcția $ f $ se numește astfel de puncte în care $ f $ nu este diferențiabilă sau este egală cu zero. Dacă punctul este staționar, atunci aceasta nu înseamnă încă că funcția are un extremum în acest punct.

Exemplul 1.
Fie $ f \ stânga (x, y \ dreapta) = x ^ (3) + y ^ (3) $. Apoi $ \ displaystyle \ frac (\ partial f) (\ partial x) = 3 \ cdot x ^ (2) $, $ \ displaystyle \ frac (\ partial f) (\ partial y) = 3 \ cdot y ^ (2 ) $, deci $ \ left (0,0 \ right) $ este un punct staționar, dar în acest moment funcția nu are extremum. Într-adevăr, $ f \ left (0,0 \ right) = 0 $, dar este ușor de observat că în orice vecinătate a punctului $ \ left (0,0 \ right) $ funcția ia atât valori pozitive, cât și negative.

Exemplul 2.
Funcția $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (2) - y ^ (2) $ își are originea ca punct staționar, dar este clar că nu există un extremum în acest punct.

Teoremă (condiție suficientă pentru un extremum).
Fie funcția $ f $ să fie de două ori diferențiabilă continuu pe mulțimea deschisă $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Fie $ x_ (0) \ în E $ un punct staționar și $$ \ displaystyle Q_ (x_ (0)) \ stânga (h \ dreapta) \ equiv \ sum_ (i = 1) ^ n \ sum_ (j = 1) ) ^ n \ frac (\ parțial ^ (2) f) (\ parțial x_ (i) \ parțial x_ (j)) \ stânga (x_ (0) \ dreapta) h ^ (i) h ^ (j). $ $ Atunci

  1. dacă $ Q_ (x_ (0)) $ -, atunci funcția $ f $ în punctul $ x_ (0) $ are un extremum local și anume un minim dacă forma este definită pozitivă și un maxim dacă forma este definit negativ;
  2. dacă forma pătratică $ Q_ (x_ (0)) $ este nedefinită, atunci funcția $ f $ în punctul $ x_ (0) $ nu are extremă.

Să folosim expansiunea conform formulei Taylor (12.7 p. 292). Ținând cont de faptul că derivatele parțiale de ordinul întâi în punctul $ x_ (0) $ sunt egale cu zero, obținem $$ \ displaystyle f \ left (x_ (0) + h \ right) −f \ left (x_ (0) \ dreapta) = \ frac (1) (2) \ sum_ (i = 1) ^ n \ sum_ (j = 1) ^ n \ frac (\ parțial ^ (2) f) (\ parțial x_ (i) ) \ parțial x_ (j)) \ left (x_ (0) + \ theta h \ right) h ^ (i) h ^ (j), $$ unde $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $ și $ \ epsilon \ stânga (h \ dreapta) \ rightarrow 0 $ pentru $ h \ rightarrow 0 $, atunci partea dreaptă va fi pozitivă pentru orice vector $ h $ de lungime suficient de mică.
Deci, am ajuns la concluzia că într-o apropiere a punctului $ x_ (0) $ inegalitatea $ f \ left (x \ right)> f \ left (x_ (0) \ right) $ este valabilă, dacă numai $ x \ neq x_ (0) $ (punem $ x = x_ (0) + h $ \ dreapta). Aceasta înseamnă că în punctul $ x_ (0) $ funcția are un minim local strict și astfel se demonstrează prima parte a teoremei noastre.
Să presupunem acum că $ Q_ (x_ (0)) $ este o formă nedefinită. Atunci există vectori $ h_ (1) $, $ h_ (2) $ astfel încât $ Q_ (x_ (0)) \ stânga (h_ (1) \ dreapta) = \ lambda_ (1)> 0 $, $ Q_ ( x_ (0)) \ stânga (h_ (2) \ dreapta) = \ lambda_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Apoi obținem $$ f \ left (x_ (0) + th_ (1) \ right) −f \ left (x_ (0) \ right) = \ frac (1) (2) \ left [t ^ (2) \ lambda_ (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ stânga (th_ (1) \ dreapta) \ dreapta] = \ frac (1) (2) t ^ (2) \ stânga [\ lambda_ (1) + | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ stânga (th_ (1) \ dreapta) \ dreapta]. $$ Pentru suficient de mic $ t> 0 $ partea dreaptă este pozitiv. Aceasta înseamnă că în orice vecinătate a punctului $ x_ (0) $ funcția $ f $ ia valori $ f \ stânga (x \ dreapta) $ care sunt mai mari decât $ f \ stânga (x_ (0) \ dreapta) $.
În mod similar, obținem că în orice vecinătate a punctului $ x_ (0) $ funcția $ f $ ia valori mai mici decât $ f \ stânga (x_ (0) \ dreapta) $. Aceasta, împreună cu cea anterioară, înseamnă că în punctul $ x_ (0) $ funcția $ f $ nu are extremum.

Considera caz special a acestei teoreme pentru funcția $ f \ left (x, y \ right) $ a două variabile, definite într-o vecinătate a punctului $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $ și având parțial continuu derivate de ordinul întâi și al doilea. Să presupunem că $ \ stânga (x_ (0), y_ (0) \ dreapta) $ este un punct staționar și notăm $$ \ displaystyle a_ (11) = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x ^ (2)) \ left (x_ (0), y_ (0) \ right), a_ (12) = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x \ partial y) \ left (x_ ( 0) ), y_ (0) \ dreapta), a_ (22) = \ frac (\ parțial ^ (2) f) (\ parțial y ^ (2)) \ stânga (x_ (0), y_ (0) \ dreapta ) $$ Atunci teorema anterioară ia următoarea formă.

Teorema
Fie $ \ Delta = a_ (11) \ cdot a_ (22) - a_ (12) ^ 2 $. Atunci:

  1. dacă $ \ Delta> 0 $, atunci funcția $ f $ are un extremum local în punctul $ \ stânga (x_ (0), y_ (0) \ dreapta) $ și anume, un minim dacă $ a_ (11)> 0 $ și maxim dacă $ a_ (11)<0$;
  2. daca $ \ Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Exemple de rezolvare a problemelor

Algoritm pentru găsirea extremului unei funcții a mai multor variabile:

  1. Găsiți puncte staționare;
  2. Găsiți diferența de ordinul 2 în toate punctele staționare
  3. Folosind condiția suficientă pentru extremul unei funcții de mai multe variabile, considerăm diferența de ordinul doi la fiecare punct staționar
  1. Examinați funcția pentru extremul $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (3) + 8 \ cdot y ^ (3) + 18 \ cdot x - 30 \ cdot y $.
    Soluţie

    Găsiți derivatele parțiale de ordinul I: $$ \ displaystyle \ frac (\ partial f) (\ partial x) = 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y; $$ $$ \ displaystyle \ frac (\ partial f ) (\ partial y) = 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x. $$ Să compunem și să rezolvăm sistemul: $$ \ displaystyle \ begin (cases) \ frac (\ partial f) (\ partial x ) = 0 \\\ frac (\ partial f) (\ partial y) = 0 \ end (cases) \ Rightarrow \ begin (cases) 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y = 0 \\ 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x = 0 \ end (cases) \ Rightarrow \ begin (cases) x ^ (2) - 2 \ cdot y = 0 \\ 4 \ cdot y ^ (2) - x = 0 \ end (cases) $$ Din a 2-a ecuație, exprimă $ x = 4 \ cdot y ^ (2) $ - înlocuiește în prima ecuație: $$ \ displaystyle \ left (4 \ cdot y ^ (2) \ right ) ^ (2) -2 \ cdot y = 0 $$ $$ 16 \ cdot y ^ (4) - 2 \ cdot y = 0 $$ $$ 8 \ cdot y ^ (4) - y = 0 $$ $ $ y \ left (8 \ cdot y ^ (3) -1 \ right) = 0 $$ Ca rezultat, se obțin 2 puncte staționare:
    1) $ y = 0 \ Săgeată la dreapta x = 0, M_ (1) = \ stânga (0, 0 \ dreapta) $;
    2) $ \ displaystyle 8 \ cdot y ^ (3) -1 = 0 \ Rightarrow y ^ (3) = \ frac (1) (8) \ Rightarrow y = \ frac (1) (2) \ Rightarrow x = 1 , M_ (2) = \ stânga (\ frac (1) (2), 1 \ dreapta) $
    Să verificăm îndeplinirea condiției suficiente pentru un extremum:
    $$ \ displaystyle \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x ^ (2)) = 6 \ cdot x; \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x \ partial y) = - 6; \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial y ^ (2)) = 48 \ cdot y $$
    1) Pentru punctul $ M_ (1) = \ stânga (0,0 \ dreapta) $:
    $$ \ displaystyle A_ (1) = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x ^ (2)) \ stânga (0,0 \ dreapta) = 0; B_ (1) = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x \ partial y) \ left (0,0 \ right) = - 6; C_ (1) = \ frac (\ parțial ^ (2) f) (\ parțial y ^ (2)) \ stânga (0,0 \ dreapta) = 0; $$
    $ A_ (1) \ cdot B_ (1) - C_ (1) ^ (2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
    2) Pentru punctul $ M_ (2) $:
    $$ \ displaystyle A_ (2) = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x ^ (2)) \ stânga (1, \ frac (1) (2) \ dreapta) = 6; B_ (2) = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x \ partial y) \ left (1, \ frac (1) (2) \ right) = - 6; C_ (2) = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial y ^ (2)) \ stânga (1, \ frac (1) (2) \ dreapta) = 24; $$
    $ A_ (2) \ cdot B_ (2) - C_ (2) ^ (2) = 108> 0 $, deci există un extremum în punctul $ M_ (2) $, și deoarece $ A_ (2)> 0 $, atunci acesta este minimul.
    Răspuns: Punctul $ \ displaystyle M_ (2) \ stânga (1, \ frac (1) (2) \ dreapta) $ este punctul minim al funcției $ f $.

  2. Examinați funcția pentru extremul $ f = y ^ (2) + 2 \ cdot x \ cdot y - 4 \ cdot x - 2 \ cdot y - 3 $.
    Soluţie

    Găsiți puncte staționare: $$ \ displaystyle \ frac (\ partial f) (\ partial x) = 2 \ cdot y - 4; $$ $$ \ displaystyle \ frac (\ partial f) (\ partial y) = 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2. $$
    Să compunem și să rezolvăm sistemul: $$ \ displaystyle \ begin (cases) \ frac (\ partial f) (\ partial x) = 0 \\\ frac (\ partial f) (\ partial y) = 0 \ end (cases) ) \ Săgeată la dreapta \ begin (cases) 2 \ cdot y - 4 = 0 \\ 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2 = 0 \ end (cases) \ Rightarrow \ begin (cases) y = 2 \\ y + x = 1 \ end (cases) \ Săgeată la dreapta x = -1 $$
    $ M_ (0) \ stânga (-1, 2 \ dreapta) $ este un punct staționar.
    Să verificăm dacă este îndeplinită condiția extremum suficientă: $$ \ displaystyle A = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x ^ (2)) \ left (-1,2 \ right) = 0; B = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x \ partial y) \ left (-1,2 \ right) = 2; C = \ frac (\ parțial ^ (2) f) (\ parțial y ^ (2)) \ stânga (-1,2 \ dreapta) = 2; $$
    $ A \ cdot B - C ^ (2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
    Răspuns: nu există extreme.

Limita de timp: 0

Navigare (numai numere de job)

0 din 4 întrebări completate

informație

Faceți acest test pentru a vă testa cunoștințele despre subiectul pe care tocmai l-ați citit, „Extreme locale ale funcțiilor multor variabile”.

Ai susținut deja testul înainte. Nu o poți începe din nou.

Se încarcă testul...

Trebuie să vă autentificați sau să vă înregistrați pentru a începe testul.

Trebuie să finalizați următoarele teste pentru a începe acesta:

rezultate

Răspunsuri corecte: 0 din 4

Timpul tau:

Timpul a expirat

Ai obținut 0 din 0 puncte (0)

Rezultatul dvs. a fost înregistrat pe clasament

  1. Cu răspunsul
  2. Marcat ca vizualizat

    Sarcina 1 din 4

    1 .
    Puncte: 1

    Examinați funcția $ f $ pentru extrema: $ f = e ^ (x + y) (x ^ (2) -2 \ cdot y ^ (2)) $

    Dreapta

    Nu dreapta

  1. Întrebarea 2 din 4

    2 .
    Puncte: 1

    Funcția $ f = 4 + \ sqrt ((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2)) $

Punctul extremum al unei funcții este un punct din domeniul unei funcții la care valoarea unei funcții capătă o valoare minimă sau maximă. Valorile funcției în aceste puncte se numesc extreme (minim și maxim) ale funcției.

Definiție... Punct X1 domeniul functional f(X) se numește punctul maxim al funcției , dacă valoarea funcției în acest punct este mai mare decât valorile funcției în puncte suficient de apropiate de ea, situate la dreapta și la stânga acesteia (adică inegalitatea f(X0 ) > f(X 0 + Δ X) X1 maxim.

Definiție... Punct X2 domeniul functional f(X) se numește punctul minim al funcției, dacă valoarea funcției în acest punct este mai mică decât valorile funcției în puncte suficient de apropiate de ea, situate la dreapta și la stânga acesteia (adică inegalitatea f(X0 ) < f(X 0 + Δ X) ). În acest caz, se spune că funcția are la punctul X2 minim.

Să spunem punct X1 este punctul maxim al funcției f(X). Apoi în intervalul până la X1 funcția crește, deci derivata funcției este mai mare decât zero ( f "(X)> 0), iar în intervalul de după X1 funcţia scade, prin urmare, şi derivata unei functii mai putin de zero ( f "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Să presupunem, de asemenea, că ideea X2 este punctul minim al funcției f(X). Apoi în intervalul până la X2 funcția scade, iar derivata funcției este mai mică decât zero ( f "(X) < 0 ), а в интервале после X2 funcția crește, iar derivata funcției este mai mare decât zero ( f "(X)> 0). În acest caz, tot la punct X2 derivata functiei este zero sau nu exista.

Teorema lui Fermat (un criteriu necesar pentru existența unui extremum al unei funcții)... Dacă punct X0 este punctul extremum al funcției f(X), atunci în acest moment derivata funcției este egală cu zero ( f "(X) = 0) sau nu există.

Definiție... Sunt numite punctele în care derivata unei funcții este zero sau nu există puncte critice .

Exemplul 1. Să luăm în considerare o funcție.

La punctul X= 0, derivata funcției este egală cu zero, deci punctul X= 0 este punctul critic. Cu toate acestea, după cum se poate vedea pe graficul funcției, aceasta crește pe întregul domeniu de definiție, deci punctul X= 0 nu este punctul extrem al acestei funcții.

Astfel, condițiile că derivata unei funcții într-un punct este zero sau nu există sunt condiții necesare pentru un extremum, dar nu suficiente, deoarece alte exemple de funcții pentru care aceste condiții sunt îndeplinite, dar funcția nu are un extremum în punctul corespunzător, poate fi dat. De aceea trebuie să ai destule semne, permițând să se judece dacă există un extremum la un anumit punct critic și care este un maxim sau un minim.

Teoremă (primul criteriu suficient pentru existența unui extremum al unei funcții). Punct critic X0 f(X), dacă derivata funcției își schimbă semnul la trecerea prin acest punct, iar dacă semnul se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci punctul maxim, iar dacă de la „minus” la „plus”, atunci punctul minim .

Dacă aproape de punct X0 , la stânga și la dreapta acesteia, derivata păstrează semnul, atunci asta înseamnă că funcția fie doar scade, fie crește doar într-o vecinătate a punctului X0 ... În acest caz, la punctul X0 nu exista extrema.

Asa de, pentru a determina punctele extreme ale funcției, trebuie să faceți următoarele :

  1. Aflați derivata funcției.
  2. Setați derivata la zero și determinați punctele critice.
  3. Mental sau pe hârtie, marcați punctele critice pe axa numerică și determinați semnele derivatei funcției în intervalele obținute. Dacă semnul derivatei se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci punctul critic este punctul maxim, iar dacă de la „minus” la „plus”, atunci punctul minim.
  4. Calculați valoarea funcției la punctele extreme.

Exemplul 2. Găsiți extremele unei funcții .

Soluţie. Să găsim derivata funcției:

Să setăm derivata la zero pentru a găsi punctele critice:

.

Deoarece pentru orice valoare a lui „x” numitorul nu este zero, atunci echivalăm numărătorul cu zero:

Am un punct de răsturnare X= 3. Să determinăm semnul derivatei în intervalele delimitate de acest punct:

în intervalul de la minus infinit la 3 - semnul minus, adică funcția scade,

în intervalul de la 3 la plus infinit - semnul plus, adică funcția crește.

Adică punct X= 3 este punctul minim.

Să găsim valoarea funcției în punctul minim:

Astfel, punctul extremum al funcției se găsește: (3; 0), și este punctul minim.

Teoremă (al doilea criteriu suficient pentru existența unui extremum al unei funcții). Punct critic X0 este punctul extremum al funcției f(X) dacă derivata a doua a funcției în acest punct nu este zero ( f ""(X) ≠ 0), iar dacă derivata a doua este mai mare decât zero ( f ""(X)> 0), atunci punctul maxim, iar dacă derivata a doua este mai mică decât zero ( f ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Observaţie 1. Dacă la punct X0 atât prima cât și a doua derivată dispar, atunci în acest moment este imposibil să judecăm prezența unui extremum pe baza celui de-al doilea criteriu suficient. În acest caz, este necesar să folosiți primul indicator suficient al extremului funcției.

Observația 2. Al doilea criteriu suficient pentru extremul unei funcții este de asemenea inaplicabil dacă derivata întâi nu există în punctul staționar (atunci nici derivata a doua nu există). În acest caz, este, de asemenea, necesar să folosiți primul indicator suficient al extremului funcției.

Caracterul local al extremelor funcției

Din definițiile de mai sus rezultă că extremul funcției are un caracter local - este cel mai mare și cea mai mică valoare funcţie comparativ cu valorile apropiate.

Să presupunem că vă uitați la câștigurile dvs. pe o perioadă de un an. Dacă ați câștigat 45.000 de ruble în mai și 42.000 de ruble în aprilie și 39.000 de ruble în iunie, atunci câștigurile din mai sunt maximul funcției de câștig în comparație cu cele mai apropiate valori. Dar în octombrie ai câștigat 71.000 de ruble, în septembrie 75.000 de ruble și în noiembrie 74.000 de ruble, deci câștigurile din octombrie sunt minimul funcției de câștig în comparație cu valorile din apropiere. Și puteți observa cu ușurință că maximul dintre valorile aprilie-mai-iunie este mai mic decât minimul septembrie-octombrie-noiembrie.

În general, pe interval o funcție poate avea mai multe extreme și se poate dovedi că orice minim al funcției este mai mare decât orice maxim. Deci, pentru funcția prezentată în figura de mai sus,.

Adică, nu trebuie să credem că maximul și minimul unei funcții sunt, respectiv, valorile sale cele mai mari și cele mai mici pe întregul interval considerat. În punctul maxim, funcția are cea mai mare valoare numai în comparație cu valorile pe care le are în toate punctele suficient de aproape de punctul maxim, iar în punctul minim - cea mai mică valoare numai în comparație cu valorile care are în toate punctele suficient de aproape de punctul minim.

Prin urmare, este posibil să clarificăm conceptul de mai sus de puncte extreme ale unei funcții și să numim punctele minime ca puncte minime locale și punctele maxime - puncte maxime locale.

Căutăm împreună extremele unei funcții

Exemplul 3.

Soluție: Funcția este definită și continuă pe întreaga linie numerică. Derivatul său există și pe întreaga dreaptă numerică. Prin urmare, în acest caz, punctele critice sunt doar cele în care, i.e. , de unde și. Puncte critice și împărțiți întregul domeniu al funcției în trei intervale de monotonitate:. Să alegem câte un punct de control în fiecare dintre ele și să găsim semnul derivatei în acest punct.

Pentru interval, punctul de control poate fi: găsi. Luând un punct în interval, obținem, și luând un punct în interval, avem. Deci, în intervalele și, și în interval. Conform primului criteriu suficient pentru un extremum, nu există un extremum la punct (deoarece derivata își păstrează semnul în interval), iar în punct funcția are un minim (deoarece derivata își schimbă semnul din minus în plus la trecere). prin acest punct). Să găsim valorile corespunzătoare ale funcției:, a. În interval, funcția scade, ca în acest interval, iar în interval, crește, ca în acest interval.

Pentru a clarifica construcția graficului, vom găsi punctele de intersecție a acestuia cu axele de coordonate. Căci, obținem o ecuație ale cărei rădăcini și, adică, două puncte (0; 0) și (4; 0) ale graficului funcției se găsesc. Folosind toate informațiile obținute, construim un grafic (vezi la începutul exemplului).

Exemplul 4. Găsiți extremele funcției și construiți graficul acesteia.

Domeniul funcției este întreaga dreaptă numerică, cu excepția punctului, i.e. ...

Pentru a scurta cercetarea, puteți folosi faptul că această funcție este uniformă, deoarece ... Prin urmare, graficul său este simetric față de axă Oi iar explorarea poate fi efectuată doar pentru un interval.

Găsiți derivata și punctele critice ale funcției:

1) ;

2) ,

dar funcția se întrerupe în acest punct, deci nu poate fi un punct extremum.

Astfel, funcția dată are două puncte critice: și. Ținând cont de paritatea funcției, să verificăm doar punctul după al doilea criteriu suficient al extremului. Pentru a face acest lucru, găsim derivata a doua și definiți-i semnul la: obținem. Deoarece și, atunci este punctul minim al funcției, while .

Pentru a obține o imagine mai completă a graficului unei funcții, să aflăm comportamentul acesteia la granițele domeniului de definiție:

(aici simbolul denotă dorința X la zero în dreapta și X rămâne pozitiv; la fel înseamnă aspirație X la zero în stânga și X rămâne negativ). Astfel, dacă, atunci. Mai departe, găsim

,

acestea. daca atunci.

Graficul funcției nu are puncte de intersecție cu axele. Poza este la începutul exemplului.

Continuăm să căutăm împreună extremele funcției

Exemplul 8. Găsiți extremele funcției.

Soluţie. Să găsim domeniul funcției. Deoarece inegalitatea trebuie să se mențină, obținem de la.

Să găsim prima derivată a funcției:

Să găsim punctele critice ale funcției.

$ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. $ F $ se spune că are maxim localîn punctul $ x_ (0) \ în E $, dacă există o vecinătate $ U $ a punctului $ x_ (0) $ astfel încât pentru toate $ x \ în U $ inegalitatea $ f \ stânga (x \ dreapta ) \ leqslant f \ left (x_ (0) \ right) $.

Maximul local este numit strict dacă vecinătatea $ U $ poate fi aleasă astfel încât pentru toate $ x \ în U $ altele decât $ x_ (0) $, să existe $ f \ stânga (x \ dreapta)< f\left(x_{0}\right)$.

Definiție
Fie $ f $ o funcție reală pe mulțimea deschisă $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. $ F $ se spune că are minim localîn punctul $ x_ (0) \ în E $, dacă există o vecinătate $ U $ a punctului $ x_ (0) $ astfel încât pentru toate $ x \ în U $ inegalitatea $ f \ stânga (x \ dreapta ) \ geqslant f \ left (x_ (0) \ right) $.

Un minim local se numește strict dacă vecinătatea $ U $ poate fi aleasă astfel încât pentru toate $ x \ în U $ altele decât $ x_ (0) $, $ f \ stânga (x \ dreapta)> f \ stânga (x_ ( 0) \ dreapta) $.

Extremul local combină conceptele de minim local și maxim local.

Teoremă (condiție necesară pentru extremul unei funcții diferențiabile)
Fie $ f $ o funcție reală pe mulțimea deschisă $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Dacă în punctul $ x_ (0) \ în E $ funcția $ f $ are o extremă locală în acest punct, atunci $$ \ text (d) f \ stânga (x_ (0) \ dreapta) = 0. $$ Egalitatea cu diferența zero este echivalentă cu faptul că toate sunt egale cu zero, adică. $$ \ stil de afișare \ frac (\ parțial f) (\ parțial x_ (i)) \ stânga (x_ (0) \ dreapta) = 0. $$

În cazul unidimensional, este. Notăm $ \ phi \ left (t \ right) = f \ left (x_ (0) + th \ right) $, unde $ h $ este un vector arbitrar. Funcția $ \ phi $ este definită pentru valori suficient de mici de $ t $ în valoare absolută. În plus, prin, este diferențiabilă și $ (\ phi) ’\ stânga (t \ dreapta) = \ text (d) f \ stânga (x_ (0) + th \ dreapta) h $.
Fie $ f $ să aibă un maxim local în punctul x $ 0 $. Prin urmare, funcția $ \ phi $ pentru $ t = 0 $ are un maxim local și, după teorema lui Fermat, $ (\ phi) ’\ stânga (0 \ dreapta) = 0 $.
Deci, am obținut că $ df \ left (x_ (0) \ right) = 0 $, adică. a funcției $ f $ în punctul $ x_ (0) $ este egal cu zero pe orice vector $ h $.

Definiție
Puncte în care diferența este zero, adică cele în care toate derivatele parțiale sunt egale cu zero se numesc staționari. Puncte critice funcția $ f $ se numește astfel de puncte în care $ f $ nu este diferențiabilă sau este egală cu zero. Dacă punctul este staționar, atunci aceasta nu înseamnă încă că funcția are un extremum în acest punct.

Exemplul 1.
Fie $ f \ stânga (x, y \ dreapta) = x ^ (3) + y ^ (3) $. Apoi $ \ displaystyle \ frac (\ partial f) (\ partial x) = 3 \ cdot x ^ (2) $, $ \ displaystyle \ frac (\ partial f) (\ partial y) = 3 \ cdot y ^ (2 ) $, deci $ \ left (0,0 \ right) $ este un punct staționar, dar în acest moment funcția nu are extremum. Într-adevăr, $ f \ left (0,0 \ right) = 0 $, dar este ușor de observat că în orice vecinătate a punctului $ \ left (0,0 \ right) $ funcția ia atât valori pozitive, cât și negative.

Exemplul 2.
Funcția $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (2) - y ^ (2) $ își are originea ca punct staționar, dar este clar că nu există un extremum în acest punct.

Teoremă (condiție suficientă pentru un extremum).
Fie funcția $ f $ să fie de două ori diferențiabilă continuu pe mulțimea deschisă $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Fie $ x_ (0) \ în E $ un punct staționar și $$ \ displaystyle Q_ (x_ (0)) \ stânga (h \ dreapta) \ equiv \ sum_ (i = 1) ^ n \ sum_ (j = 1) ) ^ n \ frac (\ parțial ^ (2) f) (\ parțial x_ (i) \ parțial x_ (j)) \ stânga (x_ (0) \ dreapta) h ^ (i) h ^ (j). $ $ Atunci

  1. dacă $ Q_ (x_ (0)) $ -, atunci funcția $ f $ în punctul $ x_ (0) $ are un extremum local și anume un minim dacă forma este definită pozitivă și un maxim dacă forma este definit negativ;
  2. dacă forma pătratică $ Q_ (x_ (0)) $ este nedefinită, atunci funcția $ f $ în punctul $ x_ (0) $ nu are extremă.

Să folosim expansiunea conform formulei Taylor (12.7 p. 292). Ținând cont de faptul că derivatele parțiale de ordinul întâi în punctul $ x_ (0) $ sunt egale cu zero, obținem $$ \ displaystyle f \ left (x_ (0) + h \ right) −f \ left (x_ (0) \ dreapta) = \ frac (1) (2) \ sum_ (i = 1) ^ n \ sum_ (j = 1) ^ n \ frac (\ parțial ^ (2) f) (\ parțial x_ (i) ) \ parțial x_ (j)) \ left (x_ (0) + \ theta h \ right) h ^ (i) h ^ (j), $$ unde $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $ și $ \ epsilon \ stânga (h \ dreapta) \ rightarrow 0 $ pentru $ h \ rightarrow 0 $, atunci partea dreaptă va fi pozitivă pentru orice vector $ h $ de lungime suficient de mică.
Deci, am ajuns la concluzia că într-o apropiere a punctului $ x_ (0) $ inegalitatea $ f \ left (x \ right)> f \ left (x_ (0) \ right) $ este valabilă, dacă numai $ x \ neq x_ (0) $ (punem $ x = x_ (0) + h $ \ dreapta). Aceasta înseamnă că în punctul $ x_ (0) $ funcția are un minim local strict și astfel se demonstrează prima parte a teoremei noastre.
Să presupunem acum că $ Q_ (x_ (0)) $ este o formă nedefinită. Atunci există vectori $ h_ (1) $, $ h_ (2) $ astfel încât $ Q_ (x_ (0)) \ stânga (h_ (1) \ dreapta) = \ lambda_ (1)> 0 $, $ Q_ ( x_ (0)) \ stânga (h_ (2) \ dreapta) = \ lambda_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Apoi obținem $$ f \ left (x_ (0) + th_ (1) \ right) −f \ left (x_ (0) \ right) = \ frac (1) (2) \ left [t ^ (2) \ lambda_ (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ stânga (th_ (1) \ dreapta) \ dreapta] = \ frac (1) (2) t ^ (2) \ stânga [\ lambda_ (1) + | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ stânga (th_ (1) \ dreapta) \ dreapta]. $$ Pentru suficient de mic $ t> 0 $ partea dreaptă este pozitiv. Aceasta înseamnă că în orice vecinătate a punctului $ x_ (0) $ funcția $ f $ ia valori $ f \ stânga (x \ dreapta) $ care sunt mai mari decât $ f \ stânga (x_ (0) \ dreapta) $.
În mod similar, obținem că în orice vecinătate a punctului $ x_ (0) $ funcția $ f $ ia valori mai mici decât $ f \ stânga (x_ (0) \ dreapta) $. Aceasta, împreună cu cea anterioară, înseamnă că în punctul $ x_ (0) $ funcția $ f $ nu are extremum.

Să considerăm un caz particular al acestei teoreme pentru funcția $ f \ left (x, y \ right) $ a două variabile, definite într-o vecinătate a punctului $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $ și având derivate parțiale continue de ordinul întâi și al doilea. Să presupunem că $ \ stânga (x_ (0), y_ (0) \ dreapta) $ este un punct staționar și notăm $$ \ displaystyle a_ (11) = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x ^ (2)) \ left (x_ (0), y_ (0) \ right), a_ (12) = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x \ partial y) \ left (x_ ( 0) ), y_ (0) \ dreapta), a_ (22) = \ frac (\ parțial ^ (2) f) (\ parțial y ^ (2)) \ stânga (x_ (0), y_ (0) \ dreapta ) $$ Atunci teorema anterioară ia următoarea formă.

Teorema
Fie $ \ Delta = a_ (11) \ cdot a_ (22) - a_ (12) ^ 2 $. Atunci:

  1. dacă $ \ Delta> 0 $, atunci funcția $ f $ are un extremum local în punctul $ \ stânga (x_ (0), y_ (0) \ dreapta) $ și anume, un minim dacă $ a_ (11)> 0 $ și maxim dacă $ a_ (11)<0$;
  2. daca $ \ Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Exemple de rezolvare a problemelor

Algoritm pentru găsirea extremului unei funcții a mai multor variabile:

  1. Găsiți puncte staționare;
  2. Găsiți diferența de ordinul 2 în toate punctele staționare
  3. Folosind condiția suficientă pentru extremul unei funcții de mai multe variabile, considerăm diferența de ordinul doi la fiecare punct staționar
  1. Examinați funcția pentru extremul $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (3) + 8 \ cdot y ^ (3) + 18 \ cdot x - 30 \ cdot y $.
    Soluţie

    Găsiți derivatele parțiale de ordinul I: $$ \ displaystyle \ frac (\ partial f) (\ partial x) = 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y; $$ $$ \ displaystyle \ frac (\ partial f ) (\ partial y) = 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x. $$ Să compunem și să rezolvăm sistemul: $$ \ displaystyle \ begin (cases) \ frac (\ partial f) (\ partial x ) = 0 \\\ frac (\ partial f) (\ partial y) = 0 \ end (cases) \ Rightarrow \ begin (cases) 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y = 0 \\ 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x = 0 \ end (cases) \ Rightarrow \ begin (cases) x ^ (2) - 2 \ cdot y = 0 \\ 4 \ cdot y ^ (2) - x = 0 \ end (cases) $$ Din a 2-a ecuație, exprimă $ x = 4 \ cdot y ^ (2) $ - înlocuiește în prima ecuație: $$ \ displaystyle \ left (4 \ cdot y ^ (2) \ right ) ^ (2) -2 \ cdot y = 0 $$ $$ 16 \ cdot y ^ (4) - 2 \ cdot y = 0 $$ $$ 8 \ cdot y ^ (4) - y = 0 $$ $ $ y \ left (8 \ cdot y ^ (3) -1 \ right) = 0 $$ Ca rezultat, se obțin 2 puncte staționare:
    1) $ y = 0 \ Săgeată la dreapta x = 0, M_ (1) = \ stânga (0, 0 \ dreapta) $;
    2) $ \ displaystyle 8 \ cdot y ^ (3) -1 = 0 \ Rightarrow y ^ (3) = \ frac (1) (8) \ Rightarrow y = \ frac (1) (2) \ Rightarrow x = 1 , M_ (2) = \ stânga (\ frac (1) (2), 1 \ dreapta) $
    Să verificăm îndeplinirea condiției suficiente pentru un extremum:
    $$ \ displaystyle \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x ^ (2)) = 6 \ cdot x; \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x \ partial y) = - 6; \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial y ^ (2)) = 48 \ cdot y $$
    1) Pentru punctul $ M_ (1) = \ stânga (0,0 \ dreapta) $:
    $$ \ displaystyle A_ (1) = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x ^ (2)) \ stânga (0,0 \ dreapta) = 0; B_ (1) = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x \ partial y) \ left (0,0 \ right) = - 6; C_ (1) = \ frac (\ parțial ^ (2) f) (\ parțial y ^ (2)) \ stânga (0,0 \ dreapta) = 0; $$
    $ A_ (1) \ cdot B_ (1) - C_ (1) ^ (2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
    2) Pentru punctul $ M_ (2) $:
    $$ \ displaystyle A_ (2) = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x ^ (2)) \ stânga (1, \ frac (1) (2) \ dreapta) = 6; B_ (2) = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x \ partial y) \ left (1, \ frac (1) (2) \ right) = - 6; C_ (2) = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial y ^ (2)) \ stânga (1, \ frac (1) (2) \ dreapta) = 24; $$
    $ A_ (2) \ cdot B_ (2) - C_ (2) ^ (2) = 108> 0 $, deci există un extremum în punctul $ M_ (2) $, și deoarece $ A_ (2)> 0 $, atunci acesta este minimul.
    Răspuns: Punctul $ \ displaystyle M_ (2) \ stânga (1, \ frac (1) (2) \ dreapta) $ este punctul minim al funcției $ f $.

  2. Examinați funcția pentru extremul $ f = y ^ (2) + 2 \ cdot x \ cdot y - 4 \ cdot x - 2 \ cdot y - 3 $.
    Soluţie

    Găsiți puncte staționare: $$ \ displaystyle \ frac (\ partial f) (\ partial x) = 2 \ cdot y - 4; $$ $$ \ displaystyle \ frac (\ partial f) (\ partial y) = 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2. $$
    Să compunem și să rezolvăm sistemul: $$ \ displaystyle \ begin (cases) \ frac (\ partial f) (\ partial x) = 0 \\\ frac (\ partial f) (\ partial y) = 0 \ end (cases) ) \ Săgeată la dreapta \ begin (cases) 2 \ cdot y - 4 = 0 \\ 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2 = 0 \ end (cases) \ Rightarrow \ begin (cases) y = 2 \\ y + x = 1 \ end (cases) \ Săgeată la dreapta x = -1 $$
    $ M_ (0) \ stânga (-1, 2 \ dreapta) $ este un punct staționar.
    Să verificăm dacă este îndeplinită condiția extremum suficientă: $$ \ displaystyle A = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x ^ (2)) \ left (-1,2 \ right) = 0; B = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x \ partial y) \ left (-1,2 \ right) = 2; C = \ frac (\ parțial ^ (2) f) (\ parțial y ^ (2)) \ stânga (-1,2 \ dreapta) = 2; $$
    $ A \ cdot B - C ^ (2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
    Răspuns: nu există extreme.

Limita de timp: 0

Navigare (numai numere de job)

0 din 4 întrebări completate

informație

Faceți acest test pentru a vă testa cunoștințele despre subiectul pe care tocmai l-ați citit, „Extreme locale ale funcțiilor multor variabile”.

Ai susținut deja testul înainte. Nu o poți începe din nou.

Se încarcă testul...

Trebuie să vă autentificați sau să vă înregistrați pentru a începe testul.

Trebuie să finalizați următoarele teste pentru a începe acesta:

rezultate

Răspunsuri corecte: 0 din 4

Timpul tau:

Timpul a expirat

Ai obținut 0 din 0 puncte (0)

Rezultatul dvs. a fost înregistrat pe clasament

  1. Cu răspunsul
  2. Marcat ca vizualizat

    Sarcina 1 din 4

    1 .
    Puncte: 1

    Examinați funcția $ f $ pentru extrema: $ f = e ^ (x + y) (x ^ (2) -2 \ cdot y ^ (2)) $

    Dreapta

    Nu dreapta

  1. Întrebarea 2 din 4

    2 .
    Puncte: 1

    Funcția $ f = 4 + \ sqrt ((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2)) $

Definiție: Punctul x0 se numește punctul maximului (sau minimului) local al funcției dacă într-o vecinătate a punctului x0 funcția ia cea mai mare (sau cea mai mică) valoare, i.e. pentru toți х din vreo vecinătate a punctului х0, condiția f (x) f (x0) (sau f (x) f (x0)) este îndeplinită.

Punctele maximului sau minimului local sunt unite printr-un nume comun - punctele extremului local al funcției.

Rețineți că în punctele unui extremum local, funcția își atinge valoarea maximă sau minimă doar într-o anumită zonă locală. Există cazuri când valoarea уmaxуmin.

Un criteriu necesar pentru existența unui extremum local al unei funcții

Teorema ... Dacă o funcție continuă y = f (x) are un extremum local într-un punct x0, atunci în acest punct derivata întâi dispare sau nu există, adică. un extremum local apare în punctele critice de primul fel.

În punctele extremului local, fie tangenta este paralelă cu axa 0x, fie există două tangente (vezi figura). Rețineți că punctele critice sunt o condiție necesară, dar insuficientă pentru un extremum local. Un extremum local are loc numai în punctele critice de primul fel, dar nu toate punctele critice au un extremum local.

De exemplu: o parabolă cubică y = x3, are un punct critic x0 = 0, în care derivataу / (0) = 0, dar punctul critic х0 = 0 nu este un punct extrem, ci există un punct de inflexiune (vezi mai jos).

Un criteriu suficient pentru existența unui extrem local al unei funcții

Teorema ... Dacă, când argumentul trece printr-un punct critic de primul fel de la stânga la dreapta, prima derivată y / (x)

schimbă semnul din „+” în „-”, apoi funcția continuă y (x) în acest punct critic are un maxim local;

schimbă semnul din „-” în „+”, apoi funcția continuă y (x) are un minim local în acest punct critic

nu schimbă semnul, atunci în acest punct critic nu există un extremum local, aici există un punct de inflexiune.

Pentru un maxim local, regiunea funcției crescătoare (y / 0) este înlocuită cu regiunea funcției descrescătoare (y / 0). Pentru un minim local, regiunea funcției descrescătoare (y/0) este înlocuită cu regiunea funcției crescătoare (y/0).

Exemplu: Examinați funcția y = x3 + 9x2 + 15x - 9 pentru monotonitate, extremum și construiți un grafic al funcției.

Să găsim punctele critice de primul fel determinând derivata (y /) și echivalând-o cu zero: y / = 3x2 + 18x + 15 = 3 (x2 + 6x + 5) = 0

Să rezolvăm trinomul pătrat folosind discriminantul:

x2 + 6x + 5 = 0 (a = 1, b = 6, c = 5) D =, x1k = -5, x2k = -1.

2) Împărțim axa numerică prin puncte critice în 3 regiuni și determinăm semnele derivatei (y /) în acestea. Folosind aceste semne, vom găsi zone de monotonitate (creștere și scădere) a funcțiilor, iar din schimbarea semnelor, vom determina punctele de extremum local (maxim și minim).

Rezultatele cercetării vor fi prezentate sub forma unui tabel, din care se pot trage următoarele concluzii:

  • 1. Pe intervalul у / (- 10) 0, funcția crește monoton (semnul derivatei у a fost estimat din punctul de control x = -10, luat în acest interval);
  • 2. Pe intervalul (-5; -1) y / (- 2) 0, funcția scade monoton (semnul derivatei y a fost estimat din punctul de control x = -2 luat în acest interval);
  • 3. Pe intervalul у / (0) 0, funcția crește monoton (semnul derivatei у a fost estimat din punctul de control x = 0 luat în acest interval);
  • 4. La trecerea prin punctul critic х1к = -5, derivata își schimbă semnul din „+” în „-”, prin urmare acest punct este un punct de maxim local
  • (ymax (-5) = (-5) 3 + 9 (-5) 2 +15 (-5) -9 = -125 + 225 - 75 - 9 = 16);
  • 5. La trecerea prin punctul critic х2к = -1, derivata își schimbă semnul din „-” în „+”, prin urmare acest punct este un punct de minim local
  • (ymin (-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5; -1) -1

3) Vom construi un grafic conform rezultatelor studiului cu implicarea unor calcule suplimentare ale valorilor funcției la punctele de control:

construiți un sistem de coordonate dreptunghiular Oxy;

se arată prin coordonatele punctelor maxime (-5; 16) și minime (-1; -16);

pentru a rafina graficul, calculăm valoarea funcției la punctele de control, alegându-le în stânga și în dreapta punctelor maxime și minime și în intervalul mediu, de exemplu: y (-6) = (- 6) 3 +9 (-6) 2 + 15 (-6) -9 = 9; y (-3) = (- 3) 3 + 9 (-3) 2 + 15 (-3) -9 = 0;

y (0) = -9 (-6; 9); (-3; 0) și (0; -9) - puncte de control calculate care sunt reprezentate pentru a construi un grafic;

arătăm graficul sub forma unei curbe cu o umflătură în sus în punctul maxim și o umflătură în jos în punctul minim și care trece prin punctele de control calculate.