Laboratórna práca č.1.

"Populačná dynamika".

Modelovanie populačnej dynamiky pomocou výpočtového programu

Cieľ práce:Študujte modely dynamiky populácie pomocou výpočtového programu.

Vymazané do práce

Urobil som prácu

Obhajoval svoju prácu

2010 G.

1 TEORETICKÝ ÚVOD

Podľa definície slávneho ruského ekológa S.S. Shvartsa, populácia je elementárna skupina organizmov určitého druhu, ktorá má všetky potrebné podmienky na to, aby si dlhodobo udržala svoje počty v neustále sa meniacich podmienkach prostredia.

Populácia, ako každý biologický otvorený systém, sa vyznačuje určitou štruktúrou, rastom, vývojom a odolnosťou voči abiotickým a biotickým faktorom.

Najdôležitejším ukazovateľom blahobytu populácie (udržateľnosti) a jej úlohy vo fungovaní prirodzeného ekosystému je jej veľkosť.

Veľkosť populácie určujú najmä dva fenomény – pôrodnosť a úmrtnosť, ako aj migrácia.

Plodnosť - počet nových jedincov, ktorí sa objavili za jednotku času v dôsledku rozmnožovania. Počas procesu rozmnožovania sa počet jedincov zvyšuje, teoreticky je schopný neobmedzeného rastu počtu.

Existujú rôzne typy zmien v počte jedincov v populácii v závislosti od času (populačná dynamika). V najjednoduchších prípadoch možno populačnú dynamiku opísať jednoduchými matematickými modelmi, ktoré umožňujú predpovedať zmeny v počte jedincov.

1. Exponenciálny rast čísel.

Bol navrhnutý jeden z prvých modelov rastu populácie T. Malthus 1798, široko slávne dielo„O populačných princípoch“. Tento model sa nazýva exponenciálnyzávislosti rast populácie (krivka exponenciálneho rastu). Tento model predpokladá neobmedzené množstvo prírodných zdrojov, prístupné jednotlivcom obyvateľstva, a absencia akýchkoľvek obmedzujúcich faktorov pre rast populácie. Za takýchto predpokladov sa počet jedincov v populácii zvyšuje podľa mocenského zákona, t.j. veľmi rýchlo a neobmedzené.

Ak označíme podľa n 0 počet jedincov v populácii a počiatočný časový bod (t 0 ), a prostredníctvom Nt počet jedincov v určitom časovom bode t (t>t0). Potom zmena čísla ∆N za časový interval ∆ t. tie. miera rastu populácie sa bude rovnať:

(1)

Výraz (1) ukazuje priemernú mieru rastu populácie. V populačnej ekológii sa však častejšie nepoužíva absolútna priemerná rýchlosť, ale rýchlosť rastu na organizmus (špecifická rýchlosť):

(2)

Tento ukazovateľ vám umožňuje porovnávať hodnoty zmien v počte populácií rôznych veľkostí. V tomto prípade je abundancia definovaná ako miera nárastu o jedného jedinca za určitý časový interval.

Prechod na obmedzujúcu formu rýchlosti záznamu pri
0 a
a zavedenie nového zápisu:

(3)

Vo výraze (3) index r možno definovať ako okamžitý špecifický miera rastu populácie. Pre rôzne populácie toho istého druhu môže mať tento ukazovateľ rôzne významy. Najväčšia zo všetkých možných hodnôt (r max) sa nazýva biotický alebo reprodukčný potenciál populácie

Berúc do úvahy výraz (3), rýchlosť rastu populácie môže byť opísaná nasledujúcim výrazom

(4)

S diferencovaným výrazom (4) to dostaneme v akomkoľvek časovom okamihu, za predpokladu r=const (konštanta rýchlosti rastu), počet jedincov v populácii sa bude rovnať:
(5)

Vzorec (5) popisuje exponenciálny model rastu populácie, ktorý má v grafickej podobe tvar krivky (obr. 1). Model exponenciálneho rastu spĺňa podmienky neobmedzený rast počet jedincov v populácii.

Ryža. 1. Exponenciálna krivka rastu počtu jedincov v populácii

1. Model rastu logistiky

Maximálna veľkosť populácie, ktorú si ekosystém dokáže udržať donekonečna za stálych prírodných podmienok, je tzv ekosystémová kapacita pre tento typ.

Zmena populácie je vzťah medzi biologickým potenciálom (prírastok jedincov) a odolnosťou prostredia (úhyn jedincov, úmrtnosť). Faktory odolnosti prostredia vedú k zvýšeniu úmrtnosti a populačná krivka dosiahne plošinu alebo dokonca klesne, ak populačná explózia spôsobila vyčerpanie životne dôležitých zdrojov ekosystému. Krivka rastu populácie s odporom prostredia sa stáva S-obrazný pohľad (obr. 2).

Ryža. 2 . Model rastu populácie v tvare písmena S

V prirodzených podmienkach je teda neobmedzený rast nemožný a skôr či neskôr počet obyvateľov dosiahne svoj limit, ktorá je určená stredná kapacita(priestorové, potravinové a pod.). Ak označíme maximálnym možným počtom jedincov v populácii určitú hodnotu K (stredná kapacita) a zaviesť korekčný ukazovateľ, ktorý zohľadňuje "odpor" prostredie pre rast populácie vo forme pomeru:

,

potom sa rovnica pre takýto prípad zapíše ako forma:

(7)

Riešenie tejto diferenciálnej rovnice bude mať tvar

(8)

Kde A - integračná konštanta, ktorá určuje polohu funkcie vzhľadom na počiatok; dá sa zistiť z výrazu (za predpokladu r= konšt).

(9)

Výraz (8) popisuje tzv krivka rastu logistiky(obr. 2). Toto je druhý najjednoduchší matematický model populačnej dynamiky, ktorý podlieha hornej hranici veľkosti populácie a odolnosti prostredia voči rastu populácie. Podľa tohto modelu veľkosť populácie na prvom miesteštádiu rastie pomerne rýchlo, ale potom sa tempo rastu populácie spomalí asa v blízkosti hodnoty stáva nekonečne malýmTO (logistická krivka sa asymptoticky približuje k horizontále TO).

Predmety: Zimné pneumatiky. región: Ukrajina. Marža: 13%. Propagačné obdobie: 1.09 – 31.12 2012 vs. 1.09 – 31.12 2013. Výdavky: 42 389 UAH oproti 131 341 UAH. (vrátane poplatkov agentúre).

Hoci nie som vyštudovaný matematik, mám pre túto vedu vášeň, takže v článku budú použité niektoré na prvý pohľad zložité matematické pojmy.

Účelom tohto článku je hovoriť o jednom zvláštnom fenoméne: zdvojnásobením rozpočtu na reklamu začnete zarábať nie dvakrát toľko, ale 2,5, 3 atď. krát viac. Samozrejme, do určitého bodu. Tento jav sa v matematike nazýva exponenciálny rast. Príkladom exponenciálneho rastu by bolo zvýšenie počtu baktérií v kolónii predtým, ako dôjde k obmedzeniu zdrojov.

Tí z vás, ktorí sa stretli so zloženým úročením napríklad pri výpočte výnosov z vkladov, hneď pochopia, o čom hovoríme, keďže zložené úročenie je len ďalším príkladom exponenciálneho rastu. Ak nevyberiete nahromadené prostriedky z vkladu, rast príjmu nebude lineárny, ale exponenciálny. Rovnako je to aj s rastom príjmov z predaja: so zvyšujúcim sa rozpočtom na reklamu rastú príjmy exponenciálne. V rámci tohto článku by som rád ilustroval ešte jeden fenomén. Práve kvôli tomuto fenoménu sa už tak oddelenie kontextovej reklamy nenazýva, ale volá sa oddelenie platenej návštevnosti. Je to o o synergickom efekte.

Aký je synergický efekt? Predstavme si ideálnu situáciu: existuje internetový obchod, na jeho propagáciu bola v prvom mesiaci použitá len kontextová reklama, ktorá priniesla 20 predajov a v druhom mesiaci už len SEO propagácia, ktorá priniesla aj 20 predajov. V treťom mesiaci bola použitá kontextová reklama aj SEO – čo v konečnom dôsledku neprinieslo 40 predajov, ale 50. Toto je synergický efekt: situácia, keď interakcia dvoch alebo viacerých faktorov vedie k zvýšeniu výsledkov väčším ako každý z týchto faktorov. mohol vyrobiť samostatne.

Použitím dvoch alebo viacerých reklamných kanálov súčasne dosiahneme vyššiu návratnosť. Naši internetoví obchodníci vedia z prvej ruky o synergickom efekte a snažia sa využiť maximálny počet reklamných kanálov. Odporúčame vziať na vedomie tento malý trik :) Teraz prejdime ku konkrétnemu príkladu, ktorý bude ilustrovať všetko vyššie uvedené - prípad služby „platená doprava“ na tému pneumatík.

Okamžite pripojím novú snímku obrazovky zo služby Google Analytics, pretože viem, že si ich čitatelia veľmi obľúbili:

Tento prípad odzrkadľuje ďalšie výsledky práce na projekte, ktorého prípad som zverejnil minulý rok. Porovnajme tieto dva roky. Na začiatok si porovnajme výdavky jednotlivých sezón - 2012 a 2013 (sezónou mám na mysli obdobie od 1. septembra do 31. decembra):

• reklama v cenových agregátoroch;
• kontextová reklama.

V sezóne 2012 sa reklama používala v službe Google Ads a umiestňovala sa v dvoch cenníkoch: Yandex.Market a Hotline.ua. V podobnej sezóne 2013 sa už reklama používala v Google Ads, Yandex.Direct a 10 agregátoroch cien. Použitie dodatočných reklamných kanálov zvýšilo náklady o takmer 310 %. Teraz sa pozrime, ako sa príjem z projektu zvýšil so zvýšením nákladov na reklamu o 310 %:

Vidíme teda, že zvýšením nákladov na reklamu o 310 % sme zvýšili príjem klienta nie o 310 %, ale o 573 %. Úžasné, však?! To znamená, že rast príjmov v porovnaní s výdavkami nenastáva lineárne, ale exponenciálne.

Pri dosiahnutí takéhoto výsledku samozrejme došlo k synergickému efektu.

Pozrime sa na rast hrubého zisku:

Ukážme si tiež, ako narástol počet transakcií:

Táto snímka obrazovky nám umožňuje vyvodiť závery o situácii s priemernou kontrolou. Ak sa príjem zvýšil o 573% a počet predajov o 557%, potom je zrejmé, že priemerná kontrola sa mierne zvýšila.

Keď máme údaje o príjmoch z Google Analytics, výdavkoch a maržiach, vypočítajme si najdôležitejší ukazovateľ výkonnosti – ROMI (návratnosť marketingových investícií) pomocou nasledujúceho vzorca:

ROMI = ((výnosy × marža) - výdavky klienta) / výdavky klienta

Porovnajme teda výsledky ROMI v dvoch sezónach:

Je dôležité poznamenať, že pri výpočte ROMI sme brali do úvahy iba príjmy, ktoré zobrazuje Google Analytics, čo znamená, že sme nebrali do úvahy ďalších 80 % predajov uskutočnených telefonicky, to znamená, že sme brali do úvahy iba 20% z príjmu klienta - to je len 5. časť.

Veľmi zaujímavá situácia nastáva, keď vypočítame naše ROMI s prihliadnutím na 80 % telefonických objednávok. Aby sme to urobili, vynásobme svoj príjem 5 a potom počítajme ako zvyčajne:

Rast ROMI založený na príjme, ktorý je bližšie k realite, vyzerá ešte atraktívnejšie. Pointa však nie je len v ROMI, ale v skutočnom zvýšení obratu: výrazne viac klientov -> výrazne vyššie tržby.

Teraz ešte raz výsledky sezóny 2013

Výdavky klientov: 131 341 UAH. (vrátane poplatkov agentúre). Marža: 13%. Počet transakcií: 880. Príjem Google Analytics: 1 317 166,2 UAH. Hrubý zisk (vrátane telefonických objednávok): 856 158 UAH. ROMI hrubým ziskom (vrátane telefonických objednávok) : 551,86%.

Samozrejme, dosiahnutý výsledok je ďaleko od limitu: je tu priestor na zvýšenie reklamného rozpočtu > je tu priestor na rast príjmov klienta. Budúcu sezónu určite využijeme ďalšie reklamné kanály (ich počet snáď nikdy neskončí).

Medzi nevyhnutné funkcie novej sezóny patrí použitie nástroja na sledovanie telefonických objednávok ifTheyCall. Ide o novinku od Netpeaku, ktorú sme v sezóne september-december 2013 jednoducho nestihli využiť. Tento nástroj vám umožní presnejšie posúdiť vplyv každého reklamného kanála, prerozdeliť váš rozpočet a byť ešte efektívnejší.

Výsledky ilustrujem vo forme obrázkov.

Ako môžete vidieť z grafu, bod zlomu je uvedený nižšie. Do tohto bodu sa investícia do reklamy neoplatí. Napríklad, ak miniete 100 UAH. získať 100 kliknutí – pravdepodobnosť predaja, ktorý by tieto investície vrátila, je prakticky rovná 0. Druhý bod na grafe je bod optima (nazvime to tak) – vtedy investujete maximum peňazí do reklamy a získajte maximálny príjem. Po tomto bode nastáva posun k saturácii, čiže trh je nasýtený, každý je pokrytý reklamou potenciálnych kupcov, zvýšené investície do reklamy už nevedú k zvýšeniu príjmov. Ak je váš rozpočet na reklamu pod hranicou rentability, potom je pravdepodobné, že ak do reklamy investujete dvakrát toľko, váš príjem porastie exponenciálne, kým nedosiahnete optimálny bod.

• synergický efekt z používania 2 alebo viacerých reklamných kanálov súčasne:

K tejto ilustrácii ostáva už len dodať, vyskúšať nové reklamné kanály :)

Ako bolo zdôraznené v predchádzajúcej časti, každá populácia je v princípe schopná exponenciálne zväčšovať svoju veľkosť, a preto sa exponenciálny model používa na odhad rastového potenciálu populácií. V niektorých prípadoch sa však exponenciálny model ukazuje ako vhodný na popis skutočne pozorovaných procesov. Je zrejmé, že je to možné, keď dostatočne dlhú dobu (vzhľadom na trvanie generácie) nič neobmedzuje rast populácie a teda ukazovateľ jej špecifickej miery ( r) udržiava konštantnú kladnú hodnotu.

Napríklad v roku 1937 boli na malý ostrov Protekshi (pri severozápadnom pobreží USA neďaleko štátu Washington) privezených 2 samce a 6 bažantov. (Phasanius colchicus torqualus), predtým sa na ostrove nevyskytovali. V tom istom roku sa začali množiť bažanty a o 6 rokov neskôr populácia, ktorá začínala s 8 vtákmi, už čítala 1898 jedincov. Ako vyplýva z obr. 28 A, prinajmenšom prvé 3-4 roky bol nárast počtu bažantov dobre opísaný exponenciálnym vzťahom (priamka na logaritmickej ordinátnej stupnici). Žiaľ, neskôr, v dôsledku vypuknutia nepriateľstva, boli na ostrove umiestnené jednotky, ročné sčítanie sa zastavilo a samotná populácia bažantov bola z veľkej časti vyhubená.

Ďalší slávny prípad exponenciálny rast populácie - zvýšenie veľkosti populácie holubice krúžkovej (Streptopelia decaocto) na Britských ostrovoch koncom 50. a začiatkom 60. rokov 20. storočia. (obr. 28, b). Tento rast sa zastavil až po 8 rokoch, po osídlení všetkých vhodných biotopov.

V zozname príkladov exponenciálneho rastu populácie možno pokračovať. Najmä niekoľkonásobný exponenciálny (alebo aspoň exponenciálny) nárast čísel sobov (Rangifer tarandus) pozorované počas jeho zavádzania na rôzne ostrovy. Tak sa z 25 jedincov (4 samcov a 21 samíc), privezených v roku 1911 na ostrov St. Paul (časť súostrovia Pribilofské ostrovy v Beringovom mori), objavila populácia, ktorej veľkosť v roku 1938 bola 100%. dosiahol 2 000 jedincov, ale potom nasledoval prudký pokles a do roku 1950 zostalo na ostrove iba 8 jeleňov. Podobný obraz bol pozorovaný na Ostrove svätého Matúša (tiež sa nachádza v Beringovom mori): 29 jedincov (5 samcov a 24 samíc) introdukovaných na ostrov v roku 1944 viedlo k vzniku populácie 1350 jedincov v roku 1957 a v roku 1963. asi 6 tisíc jedincov (rozloha tohto ostrova je 332 km 2, čo je približne trojnásobok rozlohy ostrova sv. Pavla). V ďalších rokoch však došlo ku katastrofálnemu poklesu stavov jelenej zveri, do roku 1966 ich zostalo len 42. V oboch uvedených prípadoch bola príčina prudký poklesčísla bol v zime nedostatok potravy, pozostávajúcej takmer výlučne z lišajníkov.

V laboratóriu je možné vytvárať podmienky pre exponenciálny rast, ak sú kultivované organizmy zásobované prebytkom zdrojov, ktoré zvyčajne obmedzujú ich rozvoj, a tiež udržiavaním hodnoty všetkých fyzikálno-chemických parametrov prostredia v medziach tolerancie daného. druhov. Na udržanie exponenciálneho rastu je často potrebné odstraňovať produkty metabolizmu organizmov (napr. pomocou prietokových systémov pri pestovaní rôznych vodných živočíchov a rastlín) alebo izolovať vznikajúce jedince od seba, aby sa predišlo zhlukovaniu (to je dôležité napr. napríklad pri pestovaní mnohých hlodavcov a iných zvierat s dostatkom ťažké správanie). V praxi nie je ťažké experimentálne získať exponenciálnu rastovú krivku len pre veľmi malé organizmy (kvasinky, prvoky, jednobunkové riasy a pod.). Veľké organizmy pestovať v veľké množstváťažké z čisto technických dôvodov. Navyše si to vyžaduje veľa času.

Situácie, v ktorých vznikajú podmienky pre exponenciálny rast, sú možné aj v prírode, a to nielen pre ostrovné populácie. Napríklad v jazerách miernych zemepisných šírkach na jar, po roztopení ľadu, povrchové vrstvy obsahujú veľké množstvo biogénne prvky (fosfor, dusík, kremík) majú planktónové riasy zvyčajne nedostatok, a preto nie je prekvapujúce, že ihneď po oteplení vody je pozorovaný rýchly (takmer exponenciálny) nárast počtu rozsievok alebo zelených rias. Zastaví sa až vtedy, keď sa všetky deficitné prvky naviažu v bunkách rias alebo keď sa produkcia populácií vyrovná ich konzumáciou rôznymi fytofágmi.

Hoci existujú aj iné príklady skutočne pozorovaného exponenciálneho nárastu počtu, nemožno povedať, že by boli veľmi početné. Je zrejmé, že nárast veľkosti populácie podľa exponenciálneho zákona, ak k nemu dôjde, je len veľmi veľký krátky čas, po ktorom nasleduje pokles alebo dosiahnutie plató (= stacionárna úroveň). V zásade je možných niekoľko možností na zastavenie exponenciálneho rastu populácie. Prvou možnosťou je striedanie období exponenciálneho rastu čísel s obdobiami prudkého (katastrofického) poklesu až po veľmi nízke hodnoty. Takáto regulácia (a pod populačnou reguláciou budeme rozumieť pôsobenie akýchkoľvek mechanizmov vedúcich k obmedzeniu rastu populácie) je najpravdepodobnejšie u organizmov s krátkym životný cyklus, žijúci na miestach s výraznými výkyvmi v hlavných obmedzujúcich faktoroch, napríklad medzi hmyzom žijúcim vo vysokých zemepisných šírkach. Je tiež zrejmé, že takéto organizmy musia mať kľudové štádiá, ktoré im umožňujú prežiť nepriaznivé ročné obdobia. Druhou možnosťou je náhle zastaviť exponenciálny rast a udržať populáciu na konštantnej (=stacionárnej) úrovni, okolo ktorej sú možné rôzne výkyvy. Treťou možnosťou je plynulý výjazd na náhornú plošinu. Výsledný tvar S krivky naznačuje, že s rastúcou veľkosťou populácie nezostáva rýchlosť jej rastu konštantná, ale klesá. Rast populácií v tvare písmena S sa pozoruje veľmi často tak v laboratórnych experimentoch, ako aj pri zavádzaní druhov do nových biotopov.

Ľudia nie sú veľmi dobrými prediktormi budúcnosti. Počas väčšiny histórie boli naše skúsenosti „miestne a lineárne“: používali sme rovnaké nástroje, jedli rovnaké jedlá, žili na určitom mieste. V dôsledku toho sú naše prediktívne schopnosti založené na intuícii a minulých skúsenostiach. Je to ako rebrík: po niekoľkých krokoch nahor pochopíme, aká bude zostávajúca cesta po tomto rebríku. Keď žijeme svoj život, očakávame, že každý nový deň bude podobný tomu predchádzajúcemu. Teraz sa však všetko mení.

Slávny americký vynálezca a futurista Raymond Kurzweil vo svojej knihe „Singularita je blízko“ píše, že skok v technologickom vývoji, ktorý sme videli v posledných desaťročiach, spôsobil zrýchlenie pokroku v mnohých rôznych oblastiach. To viedlo k neočakávaným technologickým a sociálna zmena, vyskytujúce sa nielen medzi generáciami, ale aj v rámci nich. Teraz intuitívny prístup k predpovedaniu budúcnosti nefunguje. Budúcnosť sa už neodvíja lineárne, ale exponenciálne: je čoraz ťažšie predpovedať, čo sa stane ďalej a kedy sa to stane. Tempo technologického pokroku nás neustále prekvapuje a aby sme s ním mohli držať krok a naučiť sa predpovedať budúcnosť, musíme sa najskôr naučiť myslieť exponenciálne.

Čo je to exponenciálny rast?

Na rozdiel od lineárneho rastu, ktorý je výsledkom opakovaného pridávania konštanty, je exponenciálny rast výsledkom opakovaného násobenia. Ak je lineárny rast priamka stabilná v čase, potom je priamka exponenciálneho rastu podobná vzletu. Ako vyššiu hodnotu nadobúda hodnotu, tým rýchlejšie ďalej rastie.

Predstavte si, že idete po ceste a každý váš krok je meter dlhý. Urobíte šesť krokov a teraz ste sa posunuli o šesť metrov. Keď urobíte ďalších 24 krokov, budete 30 metrov od miesta, kde ste začali. Toto je lineárny rast.

Teraz si predstavte (hoci vaše telo to nedokáže, predstavte si), že zakaždým, keď sa dĺžka vášho kroku zdvojnásobí. To znamená, že najprv prekročíte jeden meter, potom dva, potom štyri, potom osem a tak ďalej. V šiestich takýchto krokoch prejdete 32 metrov – to je oveľa viac ako pri šiestich krokoch po jednom metre. Je ťažké uveriť, ale ak budete pokračovať rovnakým tempom, po tridsiatom kroku sa ocitnete miliardu metrov od miesta štartu. To je 26 ciest okolo Zeme. A toto je exponenciálny rast.

Je zaujímavé, že všetci nový krok pri takomto raste je súčtom všetkých predchádzajúcich. To znamená, že po 29 krokoch ste prešli 500 miliónov metrov a rovnaké množstvo prejdete v jednom ďalšom, tridsiatom kroku. To znamená, že ktorýkoľvek z vašich predchádzajúcich krokov je neporovnateľne malý v porovnaní s niekoľkými nasledujúcimi krokmi explozívneho rastu a väčšina z nich sa deje v relatívne krátkom časovom období. Ak si tento rast predstavíte ako pohyb z bodu A do bodu B, najväčší pokrok v pohybe sa dosiahne v poslednej fáze.

Často nám unikajú výrazné trendy v skoré štádia Pretože počiatočné tempo exponenciálneho rastu je pomalé a postupné, je ťažké ho odlíšiť od lineárneho rastu. Okrem toho sa často predpovede založené na predpoklade, že nejaký jav sa bude vyvíjať exponenciálne, môžu zdať neuveriteľné a my ich odmietame.

„Keď sa v roku 1990 začalo skenovanie ľudského genómu, kritici poznamenali, že vzhľadom na rýchlosť, akou proces spočiatku prebiehal, by skenovanie genómu trvalo tisíce rokov. Projekt bol však ukončený už v roku 2003,“- Raymond Kurzweil uvádza príklad.

IN V poslednej dobe Rozvoj technológií je exponenciálny: s každým desaťročím, s každým rokom dokážeme neporovnateľne viac ako doteraz.

Môže sa niekedy exponenciálny rast skončiť?

V praxi exponenciálne trendy netrvajú večne. Niektoré však môžu pokračovať dlhý čas, ak sú vhodné podmienky na výbušný vývoj.

Exponenciálny trend zvyčajne pozostáva zo série po sebe nasledujúcich technologických životných cyklov v tvare písmena S alebo kriviek v tvare písmena S. Každá krivka vyzerá ako písmeno „S“ kvôli trom štádiám rastu, ktoré zobrazuje: počiatočný pomalý rast, explozívny rast a vyrovnávanie, keď technológia dozrieva. Tieto S-krivky sa pretínajú a keď sa jedna technológia spomalí, začne stúpať nová. S každým novým vývojovým kolesom v tvare S je čas potrebný na dosiahnutie viac vysoké úrovne produktivita klesá.

Napríklad pri diskusii o vývoji technológie v minulom storočí Kurzweil uvádza päť výpočtových paradigiem: elektromechanické, relé, vákuové elektrónky, diskrétne tranzistory a integrované obvody. Keď jedna technológia vyčerpala svoj potenciál, ďalšia začala napredovať, a to rýchlejšie ako jej predchodcovia.

Plánovanie exponenciálnej budúcnosti

V podmienkach exponenciálneho vývoja je veľmi ťažké predpovedať, čo nás v budúcnosti čaká. Vytvorte graf na základe geometrická progresia- to je jedna vec, ale odhadnúť, ako sa život zmení o desať až dvadsať rokov, je úplne iné. Ale treba sa riadiť jednoduchým pravidlom: očakávajte, že vás život veľmi prekvapí, a naplánujte si prekvapenia, ktoré očakávate. Inými slovami, môžete predpokladať tie najneuveriteľnejšie výsledky a pripraviť sa na ne, ako keby sa určite stali.

„Budúcnosť bude oveľa úžasnejšia, ako si väčšina ľudí dokáže predstaviť. Málokto skutočne pochopil skutočnosť, že samotná rýchlosť zmien sa zrýchľuje.“- píše Raymond Kurzweil.

Ako bude vyzerať náš život o päť rokov? Jedným zo spôsobov, ako urobiť prognózu, je pozrieť sa na posledných päť rokov a preniesť tieto skúsenosti do nasledujúcich piatich, ale toto je „lineárne“ myslenie, ktoré, ako sme zistili, nie vždy funguje. Tempo zmien sa mení, takže pokrok dosiahnutý za posledných päť rokov bude v budúcnosti trvať dlhšie. Je pravdepodobné, že zmeny, ktoré očakávate o päť rokov, sa skutočne stanú o tri alebo dva roky. S trochou praxe budeme schopní lepšie predpovedať budúci vývoj života, naučíme sa vidieť vyhliadky na exponenciálny rast a budeme vedieť lepšie plánovať svoju vlastnú budúcnosť.

Nie je to len zaujímavý koncept. Naše myslenie, často zamerané na lineárny vývoj, nás môže priviesť do slepej uličky. Je to lineárne myslenie, ktoré núti niektorých podnikateľov a politikov brániť sa zmenám, jednoducho nechápu, že vývoj prebieha exponenciálne, a obávajú sa, že je čoraz ťažšie kontrolovať budúcnosť. Ale to je presne pole pre súťaž. Aby ste udržali krok s touto zmenou, musíte byť vždy o krok vpred a nerobiť to, čo je aktuálne teraz, ale to, čo bude aktuálne a žiadané v budúcnosti, berúc do úvahy, že vývoj neprebieha lineárne, ale exponenciálne.

Exponenciálne myslenie znižuje deštruktívny stres, ktorý pochádza z nášho strachu z budúcnosti a otvára nové možnosti. Ak dokážeme lepšie plánovať svoju budúcnosť a dokážeme myslieť exponenciálne, uľahčíme si prechod z jednej paradigmy do druhej a budeme pokojne čeliť budúcnosti.

Ahoj! Dnes sa pokúsime pochopiť, čo je exponenciálny rast. Exponenciálny rast je nárast hodnoty v geometrickej progresii. Množstvo rastie rýchlosťou úmernou jeho hodnote. To znamená, že pre akékoľvek exponenciálne rastúce množstvo platí, že čím väčšia hodnota nadobudne, tým rýchlejšie rastie. Pozrime sa na to na príklade. Z biológie si možno pamätáte, že baktérie sa VEĽMI rýchlo rozmnožujú. Rast bakteriálnej populácie je podobný rastu neustále narastajúceho záujmu. Ukážem to, keď problém vyriešime. Takže toto je naša úloha pre exponenciálny rast. Tu je podmienka: zapnuté počiatočná fáza bakteriálna kolónia obsahuje 100 buniek a začína rásť úmerne k svojej veľkosti. Po 1 hodine sa počet buniek zvýši na 420. Najprv musíme nájsť výraz, ktorý ukazuje počet baktérií po t hodinách. Poďme to spraviť. Dalo by sa povedať, že počet baktérií je funkciou času. Nazvime to b. Tak si to zapíšme. Počet baktérií ako funkciu t možno zapísať ako b(t). Napíšem to sem: b(t). Počet baktérií ako funkcia času sa teda rovná: počiatočný počet baktérií, to znamená I, je nula (ak nakreslíme analógiu s úrokom, potom je to telo pôžičky). V tomto prípade je to množstvo, s ktorým začíname. Ďalej máme číslo prichádza e na mocninu kt, kde k je typ exponenciálneho rastu. Toto je naše I nula, inými slovami, počiatočné množstvo. t = 0, pretože v počiatočnom okamihu sa čas rovná nule, čo znamená, že celý stupeň sa rovná nule a celý výraz sa tu rovná jednej. Logické, však? b(0) sa musí rovnať I nule. Preto, ak viete, s ktorou hodnotou začať, ako aj s druhou hodnotou, potom môžete nájsť k. Potom nájdenú hodnotu dosadíte za k - a teraz máte hotový prvý bod úlohy: nájdite výraz, ktorý ukazuje počet baktérií po t hodinách. Moja otázka teda znie: čo som nula? Toto číslo poznáme. Tu je problém: v počiatočnom štádiu obsahuje bakteriálna kolónia 100 buniek. Preto vieme, že b(0) sa rovná 100. Napíšem to inak: b(0) = I nula * e na mocninu 0 = I nula. Preto je počet baktérií v t=0 100. Teraz sme v riešení trochu pokročili. Teraz môžeme povedať, že b(t)=100*e na mocninu kt. Ak by sme teda mali k, mohli by sme dokončiť prvú časť úlohy: nájsť výraz, ktorý ukazuje počet baktérií po t hodinách. Ako môžeme nájsť k? Ale tu máme druhú hodnotu počtu baktérií: po 1 hodine sa počet buniek zvýši na 420 kusov. Čo nám to hovorí? O tom, že b(1) t.j. počet obyvateľov po 1 hodine sa rovná 420 kusom, alebo sa to rovná 100*e k mocnine kt. Čomu sa rovná t? t=1, teda vynásobené e mocninou k. Teda 420=100*e na mocninu k. Teraz môžeme nájsť k. Najprv vydelme obe strany rovnice 100. Takže 4,2...asi vymením strany rovnice. Takže e k mocnine k je 4,2. Teraz, aby sme našli k, musíme vziať prirodzené logaritmy oboch strán. Teda k=ln(4,2). V dôsledku toho dostaneme nejaké číslo. Nájdeme to neskôr pomocou kalkulačky. Do tohto výrazu sme teda najskôr dosadili hodnotu 100, zistili, čomu sa I nula rovná a pomocou ďalších údajov sme našli k: k=ln(4,2). Teraz máme výraz, pretože k a I nula sú nám známe. Preto tu je odpoveď na prvý bod úlohy: funkcia b(t) sa rovná: počiatočnej veličine, teda 100, vynásobenej e mocninou kt, a keďže k=ln(4,2 ), dostaneme e na mocninu (ln(4 ,2))*t. Takto vyzerá naša funkcia. Teraz prejdime k druhému bodu našej úlohy. Tu je druhý bod: nájdite počet baktérií po 3 hodinách. Je to jednoduché a jednoduché. Máme funkciu a t=3, preto môžeme počet baktérií zistiť po 3 hodinách. Takže, b(3)=100*e na mocninu (ln(4,2)*3). A môžeme vypočítať hodnotu tohto výrazu, ak, samozrejme, máte kalkulačku. Aký je prirodzený logaritmus čísla 4,2? V skutočnosti môžeme hodnotu nájsť analytickou metódou. Takže toto je to isté ako 100-krát e na mocninu ln(4,2) a to všetko na tretiu mocninu, pretože ak sa dve mocniny vynásobia, potom je to ekvivalentné umocneniu na mocninu, čo znamená, že zvyšujeme do 3. moci . A ak to zjednodušíme, potom je všetko jasné. Čomu sa e rovná mocnine ln(4,2)? To sa rovná 4,2, nie? Prirodzený logaritmus nám hovorí, na akú mocninu musíme zvýšiť číslo e, aby sme dostali 4,2. Pozri, ja sa zaobídem aj bez kalkulačky. To znamená 100*(4,2) na tretiu mocninu. Teraz musíme zistiť, koľko (4.2) je na tretiu mocninu. Bude to okolo 70. Poďme na to neskôr. Tu je odpoveď na druhý bod našej úlohy. Hodnotu zistíte pomocou kalkulačky. Môžete to urobiť sami. Aký je tretí bod? Teraz musíme nájsť rýchlosť rastu po 3 hodinách. Čo od nás v tejto chvíli chcú? Musíme nájsť uhol sklonu tejto funkcie. Inými slovami, musíme nájsť deriváciu tejto funkcie pri t=3. Dovoľte mi, aby som tu všetko vymazal, keďže tieto úlohy sme už dokončili. Tu stačí počítať na kalkulačke. Pripravený. Prejdime teda k tretiemu bodu. Musíme nájsť rýchlosť rastu, teda deriváciu tejto funkcie. Derivácia funkcie b’(t) sa teda rovná...Čomu sa rovná? Využime reťazové pravidlo, t.j. princíp diferenciácie komplexných funkcií. Takže, keďže 100 je konštanta, môžeme pred funkciu napísať 100. A derivácia tohto výrazu sa rovná ln(4,2) vynásobenému deriváciou e mocninou ln(4,2)*t. Zistili sme rýchlosť rastu pri t, ale musíme zistiť, čomu sa bude rovnať pri t=3. Preto b’(3)=100*ln(4,2) a toto všetko vynásobíme e na mocninu ln(4,2)*t. A už sme povedali, že tento výraz sa jednoducho rovná (4.2) mocnine t. Takže tu násobíme (4.2) na tretiu mocninu. Ako vidíte, dotkli sme sa tu aj témy logaritmov. Potom je všetko ľahké a jednoduché: namiesto t sme dosadili hodnotu 3. Dúfam, že rozumiete. No, ak nie, potom môžete jednoducho použiť kalkulačku. Ale podľa mňa potrebujete vedieť toto: e v budúcnosti (ln x) = x. Koniec koncov, čo je (ln x)? Toto je mocnina, na ktorú sa musí zvýšiť e, aby sme dostali x. Inými slovami, ak zvýšim e na mocninu x, dostanem x. To je všetko, čo som chcel povedať. Takže, e na mocninu ((ln(4,2) na mocninu t)= (4,2) na mocninu t. Ako vidíte, náš pôvodný výraz môžem prepísať takto: 100*(4 ,2) na mocninu t.Práve sme zjednodušili odpoveď na prvý bod úlohy.Bude to lepšie.Vďaka tomu by bolo jednoduchšie nájsť riešenie na druhý bod.No a čo sa týka tretieho bod, je lepšie nechať všetko tak, pretože nájdenie derivátu tohto výrazu je oveľa jednoduchšie. Tento výraz môžeme prepísať ako: b'(t)=(100*ln(4,2))*(4,2 ) na silu t. Tak som tento výraz zmenil na toto. Prepáčte, som tu, už som to tak načmáral. A nakoniec sa dostávame k poslednému bodu našej úlohy: nájsť čas po v ktorom počet baktérií dosiahne 10 000. Dovoľte mi pravdepodobne vymazať riešenie do tretieho bodu. Po akom čase dosiahne počet baktérií 10 000? Najprv si napíšme, že náš výraz je trochu jednoduchší. Takže b(t) = 100*e na mocninu (ln(4,2)*t) A to sa rovná, ako som už povedal, 100*(4,2)^t. Pýtajú sa nás, kedy počet baktérií dosiahne 10 000. Inými slovami, pri akej hodnote t sa funkcia b(t) rovná 10 000. Takže 10 000=100*e na mocninu ln(4,2)*t. Pozrime sa, čo tu máme. Obidve strany rovnosti môžeme vydeliť 100. Preto 100 = e na mocninu (ln(4,2)*t). Teraz môžeme zapísať obe strany ako prirodzené logaritmy. Čo tu dostaneme? Zoberme si inú farbu, ln100 sa rovná..., a ak vezmeme prirodzený logaritmus e do určitej miery, potom jednoducho dostaneme prirodzený logaritmus hodnoty tohto stupňa. Inými slovami, zostáva nám len logaritmus výrazu, ktorým je mocnina. Takže si to zapíšme: ln100=ln(4,2)*t. A aby sme našli t, musíme obe strany rovnosti vydeliť ln(4,2). Preto t=(ln100)/(ln(4,2)) Takto zistíme čas, po ktorom počet baktérií dosiahne 10 000. Zostáva len vziať kalkulačku a nájsť význam tohto výrazu. Teraz sa pre zábavu pozrime na zjednodušenú verziu nášho výrazu. Čo by sme teda dostali: 100*(4,2) na mocninu t=10 000. Obidve strany rovnosti vydelíme 100. To znamená (4.2) na mocninu t=100. A aby sme to vyriešili, musíme vziať logaritmus na základ 4,2. Preto sa t rovná logaritmu 100 k základu 4,2. K tomu sa ešte vrátime vo videu o vlastnostiach logaritmu. Je veľmi dôležité vedieť, ako vypočítať logaritmus zo základu čísla. Pretože na kalkulačke môžete nájsť logaritmus iba na základe e alebo 10. Ako môžete nájsť logaritmus na základe akéhokoľvek iného čísla? Moja odpoveď je veľmi jednoduchá: stačí vziať prirodzený logaritmus 100 a vydeliť ho prirodzeným logaritmom tejto hodnoty. Alebo zoberte desiatkový logaritmus 100 a vydeľte ho desiatkovým logaritmom 4,2. To je všetko, tu asi skončíme, aby sa vám všetko nepomotalo v hlave. Takže v tejto lekcii sme sa pozreli na exponenciálny rast. Namiesto „kolónie baktérií“ by sme mohli napísať „počiatočný vklad je 100 a rastie úmerne k jeho veľkosti“. Potom by to bol zložený úrok. A tu by sme mohli povedať, že „po 1 hodine sa suma zvýšila povedzme o 4,2 dolára. V tomto prípade by sme hľadali kontinuálne zložené úročenie. Vo všeobecnosti je to to isté. Nezáleží na tom, na čo sa presne pozeráme. V budúcnosti ukážem niekoľko ďalších príkladov na túto tému a zvážime aj problém exponenciálneho rozpadu. Do skorého videnia!