Vedomosti základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy nemenej dôležité ako poznať násobilku. Sú ako základ, všetko je založené na nich, všetko sa z nich stavia a všetko sa od nich odvíja.

V tomto článku uvedieme všetky hlavné základné funkcie, poskytneme ich grafy a uvedieme ich bez záverov alebo dôkazov vlastnosti základných elementárnych funkcií podľa schémy:

• správanie funkcie na hraniciach definičného oboru, vertikálne asymptoty (v prípade potreby pozri článok klasifikácia bodov nespojitosti funkcie);
• párne a nepárne;
• intervaly konvexnosti (konvexnosť smerom nahor) a konkávnosti (konvexnosť smerom nadol), inflexné body (v prípade potreby pozri článok konvexnosť funkcie, smer konvexnosti, inflexné body, podmienky konvexnosti a inflexie);
• šikmé a horizontálne asymptoty;
• singulárne body funkcií;
• špeciálne vlastnosti niektoré funkcie (napríklad najmenšia kladná perióda goniometrické funkcie).

Ak máte záujem alebo, potom môžete prejsť na tieto časti teórie.

Základné elementárne funkcie sú: konštantná funkcia (konštanta), n-tá odmocnina, mocninná funkcia, exponenciála, logaritmická funkcia, goniometrické a inverzné goniometrické funkcie.

Navigácia na stránke.

Trvalá funkcia.

Konštantná funkcia je daný na množine všetkých reálnych čísel vzorcom , kde C je nejaké reálne číslo. Konštantná funkcia spája každú reálnu hodnotu nezávisle premennej x s rovnakou hodnotou závisle premennej y – hodnotou C. Konštantná funkcia sa tiež nazýva konštanta.

Graf konštantnej funkcie je priamka rovnobežná s osou x a prechádzajúca bodom so súradnicami (0,C). Ako príklad si ukážeme grafy konštantných funkcií y=5, y=-2 a, ktoré na obrázku nižšie zodpovedajú čiernej, červenej a modrej čiare.

Vlastnosti konštantnej funkcie.

• Doména: celá množina reálnych čísel.
• Konštantná funkcia je rovnomerná.
• Rozsah hodnôt: množina pozostávajúca z jednotného čísla S .
• Konštantná funkcia je nerastúca a neklesajúca (preto je konštantná).
• Nemá zmysel hovoriť o konvexnosti a konkávnosti konštanty.
• Neexistujú žiadne asymptoty.
• Funkcia prechádza bodom (0,C) súradnicovej roviny.

Koreň n-tého stupňa.

Uvažujme základnú elementárnu funkciu, ktorá je daná vzorcom , kde n je prirodzené číslo väčšie ako jedna.

Odmocnina n-tého stupňa, n je párne číslo.

Začnime s n-tou odmocninou funkciou pre párne hodnoty koreňového exponentu n.

Ako príklad uvádzame obrázok s obrázkami funkčných grafov a , zodpovedajú čiernym, červeným a modrým čiaram.

Grafy odmocninových funkcií párneho stupňa majú podobný vzhľad pre iné hodnoty exponentu.

Vlastnosti funkcie n-tej odmocniny pre párne n.

N-tá odmocnina, n je nepárne číslo.

Funkcia n-tej odmocniny s nepárnym exponentom n je definovaná na celej množine reálnych čísel. Tu sú napríklad grafy funkcií a , zodpovedajú čiernym, červeným a modrým krivkám.

Pre ostatné nepárne hodnoty koreňového exponentu budú mať funkčné grafy podobný vzhľad.

Vlastnosti funkcie n-tej odmocniny pre nepárne n.

Funkcia napájania.

Mocninná funkcia je daná vzorcom v tvare .

Uvažujme o tvare grafov mocninnej funkcie a vlastnostiach mocninnej funkcie v závislosti od hodnoty exponentu.

Začnime mocninnou funkciou s celočíselným exponentom a. V tomto prípade závisí vzhľad grafov mocninových funkcií a vlastnosti funkcií od párnosti alebo nepárnosti exponentu, ako aj od jeho znamienka. Preto najprv zvážime mocninné funkcie pre nepárne kladné hodnoty exponentu a, potom pre párne kladné exponenty, potom pre nepárne záporné exponenty a nakoniec pre párne záporné a.

Vlastnosti mocninných funkcií so zlomkovými a iracionálnymi exponentmi (ako aj typ grafov takýchto mocninných funkcií) závisia od hodnoty exponentu a. Budeme ich uvažovať po prvé pre a od nuly do jedna, po druhé, pre väčšie ako jedna, po tretie, pre a od mínus jedna po nulu, po štvrté, pre menej ako mínus jedna.

Na konci tejto časti si pre úplnosť popíšeme mocninnú funkciu s nulovým exponentom.

Mocninná funkcia s nepárnym kladným exponentom.

Uvažujme mocninnú funkciu s nepárnym kladným exponentom, teda s a = 1,3,5,....

Na obrázku nižšie sú znázornené grafy mocninových funkcií – čierna čiara, – modrá čiara, – červená čiara, – zelená čiara. Pre a=1 máme lineárna funkcia y=x.

Vlastnosti mocninnej funkcie s nepárnym kladným exponentom.

Mocninná funkcia s párnym kladným exponentom.

Uvažujme mocninnú funkciu s párnym kladným exponentom, teda pre a = 2,4,6,....

Ako príklad uvádzame grafy mocninných funkcií – čierna čiara, – modrá čiara, – červená čiara. Pre a=2 máme kvadratickú funkciu, ktorej graf je kvadratická parabola.

Vlastnosti mocninnej funkcie s párnym kladným exponentom.

Mocninná funkcia s nepárnym záporným exponentom.

Pozrite sa na grafy mocninovej funkcie pre nepárne záporné hodnoty exponent, teda pre a = -1, -3, -5,... .

Na obrázku sú znázornené grafy výkonových funkcií ako príklady - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara, - zelená čiara. Pre a=-1 máme inverzná úmernosť, ktorej graf je hyperbola.

Vlastnosti mocninnej funkcie s nepárnym záporným exponentom.

Mocninná funkcia s párnym záporným exponentom.

Prejdime k mocninovej funkcii pre a=-2,-4,-6,….

Na obrázku sú znázornené grafy mocninových funkcií – čierna čiara, – modrá čiara, – červená čiara.

Vlastnosti mocninnej funkcie s párnym záporným exponentom.

Mocninná funkcia s racionálnym alebo iracionálnym exponentom, ktorej hodnota je väčšia ako nula a menšia ako jedna.

Poznámka! Ak a je kladný zlomok s nepárnym menovateľom, potom niektorí autori považujú doménu definície mocninnej funkcie za interval. Je stanovené, že exponent a je neredukovateľný zlomok. Teraz autori mnohých učebníc o algebre a princípoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie s exponentom vo forme zlomku s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Budeme sa držať práve tohto názoru, to znamená, že množinu budeme považovať za oblasti definície mocninných funkcií s zlomkovými kladnými exponentmi. Odporúčame študentom zistiť názor vášho učiteľa na tento jemný bod, aby sa predišlo nezhodám.

Uvažujme mocninnú funkciu s racionálnym alebo iracionálnym exponentom a, a .

Uveďme grafy mocninných funkcií pre a=11/12 (čierna čiara), a=5/7 (červená čiara), (modrá čiara), a=2/5 (zelená čiara).

Mocninná funkcia s neceločíselným racionálnym alebo iracionálnym exponentom väčším ako jedna.

Uvažujme mocninnú funkciu s neceločíselným racionálnym alebo iracionálnym exponentom a, a .

Uveďme grafy mocninných funkcií dané vzorcami (čierne, červené, modré a zelené čiary).

>

Pre ostatné hodnoty exponentu a budú mať grafy funkcie podobný vzhľad.

Vlastnosti mocninovej funkcie pri .

Mocninná funkcia so skutočným exponentom väčším ako mínus jedna a menším ako nula.

Poznámka! Ak a je záporný zlomok s nepárnym menovateľom, potom niektorí autori považujú doménu definície mocninovej funkcie za interval . Je stanovené, že exponent a je neredukovateľný zlomok. Teraz autori mnohých učebníc o algebre a princípoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie s exponentom vo forme zlomku s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Budeme sa držať práve tohto názoru, to znamená, že budeme považovať domény definície mocninných funkcií so zlomkovými zlomkovými zápornými exponentmi za množinu, resp. Odporúčame študentom zistiť názor vášho učiteľa na tento jemný bod, aby sa predišlo nezhodám.

Prejdime k funkcii napájania, kgod.

Aby ste mali dobrú predstavu o forme grafov mocninových funkcií pre , uvádzame príklady grafov funkcií (čierne, červené, modré a zelené krivky).

Vlastnosti mocninnej funkcie s exponentom a, .

Mocninná funkcia s neceločíselným reálnym exponentom, ktorý je menší ako mínus jedna.

Uveďme príklady grafov mocninových funkcií pre , sú znázornené čiernou, červenou, modrou a zelenou čiarou.

Vlastnosti mocninnej funkcie s neceločíselným záporným exponentom menším ako mínus jedna.

Keď a = 0, máme funkciu - je to priamka, z ktorej je vylúčený bod (0;1) (bolo dohodnuté, že výrazu 0 0 sa nepripisuje žiadny význam).

Exponenciálna funkcia.

Jednou z hlavných elementárnych funkcií je exponenciálna funkcia.

Rozvrh exponenciálna funkcia, kde prijíma iný druh v závislosti od hodnoty základu a. Poďme na to.

Najprv zvážte prípad, keď základ exponenciálnej funkcie nadobudne hodnotu od nuly do jednej, teda .

Ako príklad uvádzame grafy exponenciálnej funkcie pre a = 1/2 – modrá čiara, a = 5/6 – červená čiara. Grafy exponenciálnej funkcie majú podobný vzhľad pre ostatné hodnoty základne z intervalu.

Vlastnosti exponenciálnej funkcie so základom menším ako jedna.

Prejdime k prípadu, keď je základ exponenciálnej funkcie väčší ako jedna, teda .

Pre ilustráciu uvádzame grafy exponenciálnych funkcií - modrá čiara a - červená čiara. Pre ostatné hodnoty základne väčšie ako jedna budú mať grafy exponenciálnej funkcie podobný vzhľad.

Vlastnosti exponenciálnej funkcie so základom väčším ako jedna.

Logaritmická funkcia.

Ďalšou základnou elementárnou funkciou je logaritmická funkcia, kde , . Logaritmická funkcia je definovaná len pre kladné hodnoty argument, teda na .

Graf logaritmickej funkcie má rôzne podoby v závislosti od hodnoty bázy a.

Začnime prípadom, keď .

Ako príklad uvádzame grafy logaritmickej funkcie pre a = 1/2 – modrá čiara, a = 5/6 – červená čiara. Pre ostatné hodnoty základne nepresahujúce jednu budú mať grafy logaritmickej funkcie podobný vzhľad.

Vlastnosti logaritmickej funkcie so základom menším ako jedna.

Prejdime k prípadu, keď je základ logaritmickej funkcie väčší ako jedna ().

Ukážme si grafy logaritmických funkcií - modrá čiara, - červená čiara. Pre ostatné hodnoty základu väčšie ako jedna budú mať grafy logaritmickej funkcie podobný vzhľad.

Vlastnosti logaritmickej funkcie so základom väčším ako jedna.

Goniometrické funkcie, ich vlastnosti a grafy.

Všetky goniometrické funkcie (sínus, kosínus, tangens a kotangens) patria medzi základné elementárne funkcie. Teraz sa pozrieme na ich grafy a uvedieme ich vlastnosti.

Goniometrické funkcie majú koncept frekvencia(opakovateľnosť funkčných hodnôt pri rôzne významy argumenty líšiace sa od seba obdobím , kde T je bodka), preto do zoznamu vlastností goniometrických funkcií pribudla položka "najmenšie pozitívne obdobie". Pre každú goniometrickú funkciu tiež uvedieme hodnoty argumentu, pri ktorých príslušná funkcia zmizne.

Teraz sa poďme zaoberať všetkými goniometrickými funkciami v poradí.

Sínusová funkcia y = sin(x) .

Nakreslite graf funkcie sínus, nazýva sa to „sínusová vlna“.

Vlastnosti funkcie sínus y = sinx.

Kosínusová funkcia y = cos(x) .

Graf funkcie kosínus (nazývaný "kosínus") vyzerá takto:

Vlastnosti funkcie kosínus y = cosx.

Funkcia dotyčnice y = tan(x) .

Graf funkcie dotyčnice (nazývaný „tangentoid“) vyzerá takto:

Vlastnosti funkcie dotyčnice y = tanx.

Funkcia kotangens y = ctg(x) .

Nakreslíme graf funkcie kotangens (nazýva sa to "kotangentoid"):

Vlastnosti funkcie kotangens y = ctgx.

Inverzné goniometrické funkcie, ich vlastnosti a grafy.

Základnými elementárnymi funkciami sú inverzné goniometrické funkcie (oblúkový sínus, arckosínus, arkustangens a arkuskotangens). Inverzné goniometrické funkcie sa často kvôli predpone „oblúk“ nazývajú oblúkové funkcie. Teraz sa pozrieme na ich grafy a uvedieme ich vlastnosti.

Arcsine funkcia y = arcsin(x) .

Nakreslíme funkciu arcsínus:

Vlastnosti funkcie arkotangens y = arcctg(x) .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a i. Algebra a začiatky analýzy: Proc. pre 10-11 ročníkov. všeobecné vzdelávacie inštitúcie.
• Vygodsky M.Ya. Príručka elementárnej matematiky.
• Novoselov S.I. Algebra a elementárne funkcie.
• Tumanov S.I. Elementárna algebra. Manuál pre sebavzdelávanie.

Lineárna funkcia je funkciou tvaru y=kx+b, kde x je nezávislá premenná, kab sú ľubovoľné čísla.
Graf lineárnej funkcie je priamka.

1. Ak chcete nakresliť funkčný graf, potrebujeme súradnice dvoch bodov patriacich do grafu funkcie. Ak ich chcete nájsť, musíte vziať dve hodnoty x, nahradiť ich do rovnice funkcie a použiť ich na výpočet zodpovedajúcich hodnôt y.

Napríklad na vykreslenie funkcie y= x+2 je vhodné vziať x=0 a x=3, potom sa súradnice týchto bodov budú rovnať y=2 a y=3. Získame body A(0;2) a B(3;3). Spojme ich a získame graf funkcie y= x+2:

2. Vo vzorci y=kx+b sa číslo k nazýva koeficient proporcionality:
ak k>0, potom funkcia y=kx+b narastá
ak k
Koeficient b znázorňuje posun funkčného grafu pozdĺž osi OY:
ak b>0, potom graf funkcie y=kx+b získame z grafu funkcie y=kx posunutím jednotiek b nahor pozdĺž osi OY
ak b
Na obrázku nižšie sú znázornené grafy funkcií y=2x+3; y = 1/2 x + 3; y=x+3

Všimnite si, že vo všetkých týchto funkciách je koeficient k Nad nulou, a funkcie sú zvyšujúci sa. Navyše, čím väčšia je hodnota k, tým väčší je uhol sklonu priamky voči kladnému smeru osi OX.

Vo všetkých funkciách b=3 - a vidíme, že všetky grafy pretínajú os OY v bode (0;3)

Teraz zvážte grafy funkcií y=-2x+3; y = - 1/2 x + 3; y=-x+3

Tentoraz vo všetkých funkciách koeficient k menej ako nula a funkcie klesajú. Koeficient b=3 a grafy, ako v predchádzajúcom prípade, pretínajú os OY v bode (0;3)

Uvažujme grafy funkcií y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Teraz vo všetkých funkčných rovniciach sú koeficienty k rovné 2. A máme tri rovnobežné čiary.

Koeficienty b sú však odlišné a tieto grafy pretínajú os OY v rôznych bodoch:
Graf funkcie y=2x+3 (b=3) pretína os OY v bode (0;3)
Graf funkcie y=2x (b=0) pretína os OY v bode (0;0) - počiatok.
Graf funkcie y=2x-3 (b=-3) pretína os OY v bode (0;-3)

Ak teda poznáme znamienka koeficientov k a b, tak si hneď vieme predstaviť, ako vyzerá graf funkcie y=kx+b.
Ak k 0

Ak k>0 a b>0, potom graf funkcie y=kx+b vyzerá takto:

Ak k>0 a b, potom graf funkcie y=kx+b vyzerá takto:

Ak k, potom graf funkcie y=kx+b vyzerá takto:

Ak k=0, potom sa funkcia y=kx+b zmení na funkciu y=b a jej graf vyzerá takto:

Súradnice všetkých bodov na grafe funkcie y=b sa rovnajú b If b = 0, potom graf funkcie y=kx (priama úmernosť) prechádza počiatkom:

3. Samostatne si všimnime graf rovnice x=a. Graf tejto rovnice je priamka rovnobežná s osou OY, ktorej všetky body majú úsečku x=a.

Napríklad graf rovnice x=3 vyzerá takto:
Pozor! Rovnica x=a nie je funkcia, preto zodpovedá jedna hodnota argumentu rôzne významy funkcie, čo nezodpovedá definícii funkcie.

4. Podmienka pre rovnobežnosť dvoch čiar:

Graf funkcie y=k 1 x+b 1 je rovnobežný s grafom funkcie y=k 2 x+b 2 ak k 1 =k 2

5. Podmienka, aby dve priame čiary boli kolmé:

Graf funkcie y=k 1 x+b 1 je kolmý na graf funkcie y=k 2 x+b 2, ak k 1 *k 2 =-1 alebo k 1 =-1/k 2

6. Priesečníky grafu funkcie y=kx+b so súradnicovými osami.

S osou OY. Abscisa ľubovoľného bodu, ktorý patrí k osi OY, sa rovná nule. Preto, aby ste našli priesečník s osou OY, musíte v rovnici funkcie namiesto x nahradiť nulu. Dostaneme y=b. To znamená, že priesečník s osou OY má súradnice (0; b).

S osou OX: Ordináta ktoréhokoľvek bodu prislúchajúceho k osi OX je nula. Preto, aby ste našli priesečník s osou OX, musíte v rovnici funkcie namiesto y nahradiť nulu. Dostaneme 0=kx+b. Preto x=-b/k. To znamená, že priesečník s osou OX má súradnice (-b/k;0):

Pozrime sa, ako skúmať funkciu pomocou grafu. Ukazuje sa, že pri pohľade na graf môžeme zistiť všetko, čo nás zaujíma, a to:

• doména funkcie
• funkčný rozsah
• funkčné nuly
• intervaly zvyšovania a znižovania
• maximálny a minimálny počet bodov
• najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na segmente.

Ujasnime si terminológiu:

Abscisa je horizontálna súradnica bodu.
Ordinovať- vertikálna súradnica.
Abscisová os- vodorovná os, najčastejšie nazývaná os.
os Y- vertikálna os, alebo os.

Argumentovať- nezávislá premenná, od ktorej závisia funkčné hodnoty. Najčastejšie indikované.
Inými slovami, vyberieme , dosadíme funkcie do vzorca a dostaneme .

doména funkcie - množina tých (a iba tých) hodnôt argumentov, pre ktoré funkcia existuje.
Označené: alebo .

Na našom obrázku je doménou definície funkcie segment. Práve na tomto segmente je nakreslený graf funkcie. Toto je jediné miesto, kde táto funkcia existuje.

Rozsah funkcií je množina hodnôt, ktoré premenná nadobúda. Na našom obrázku ide o segment – ​​od najnižšej po najvyššiu hodnotu.

Funkčné nuly- body, kde je hodnota funkcie nula, tzn. Na našom obrázku sú to body a .

Funkčné hodnoty sú kladné kde . Na našom obrázku sú to intervaly a .
Funkčné hodnoty sú záporné kde . Pre nás je to interval (alebo interval) od do .

Najdôležitejšie pojmy - zvyšovanie a znižovanie funkcie na nejakej zostave. Ako množinu môžete vziať segment, interval, spojenie intervalov alebo celú číselnú os.

Funkcia zvyšuje

Inými slovami, čím viac, tým viac, to znamená, že graf ide doprava a nahor.

Funkcia klesá na množine, ak pre nejaké a patriace do množiny, nerovnosť implikuje nerovnosť .

Pre klesajúcu funkciu vyššiu hodnotu zodpovedá menšej hodnote. Graf ide doprava a dole.

Na našom obrázku funkcia rastie na intervale a klesá na intervaloch a .

Definujme, čo to je maximálne a minimálne body funkcie.

Maximálny bod- toto je vnútorný bod definičného oboru, takže hodnota funkcie v ňom je väčšia ako vo všetkých bodoch dostatočne blízko k nemu.
Inými slovami, maximálny bod je bod, v ktorom je hodnota funkcie viac ako v susedných. Toto je miestny „kopec“ na mape.

Na našom obrázku je maximálny bod.

Minimálny bod- vnútorný bod definičného oboru, takže hodnota funkcie v ňom je menšia ako vo všetkých bodoch dostatočne blízko k nemu.
To znamená, že minimálny bod je taký, že hodnota funkcie v ňom je menšia ako v jeho susedoch. Toto je lokálna „diera“ na grafe.

Na našom obrázku je minimálny bod.

Pointa je hranica. Ona nie je vnútorný bod oblasť definície, a preto nezodpovedá definícii maximálneho bodu. Veď ona nemá susedov vľavo. Rovnako tak na našom grafe nemôže byť minimálny bod.

Maximálny a minimálny počet bodov sa nazývajú spolu extrémnych bodov funkcie. V našom prípade je to a .

Čo robiť, ak potrebujete nájsť napr. minimálna funkcia v segmente? V tomto prípade je odpoveď: . Pretože minimálna funkcia je jeho hodnota v minimálnom bode.

Podobne maximum našej funkcie je . Dosahuje sa v bode .

Môžeme povedať, že extrémy funkcie sa rovnajú a .

Niekedy problémy vyžadujú hľadanie najväčší a najmenšia hodnota funkcie v danom segmente. Nemusia sa nevyhnutne zhodovať s extrémami.

V našom prípade najmenšia funkčná hodnota na segmente sa rovná minimu funkcie a zhoduje sa s ním. Ale jeho najväčšia hodnota v tomto segmente sa rovná . Dosahuje sa na ľavom konci segmentu.

V každom prípade sa najväčšie a najmenšie hodnoty spojitej funkcie na segmente dosiahnu buď v extrémnych bodoch alebo na koncoch segmentu.

The metodický materiál slúži len ako referencia a vzťahuje sa na širokú škálu tém. Článok poskytuje prehľad grafov základných elementárnych funkcií a zaoberá sa najdôležitejšou otázkou - ako správne a RÝCHLO zostaviť graf. V priebehu štúdia vyššej matematiky bez znalosti grafov základných elementárnych funkcií to bude ťažké, preto je veľmi dôležité zapamätať si, ako vyzerajú grafy paraboly, hyperboly, sínusu, kosínusu atď., a zapamätať si niektoré o významoch funkcií. Povieme si aj o niektorých vlastnostiach hlavných funkcií.

Nenárokujem si úplnosť a vedeckú dôkladnosť materiálov, dôraz sa bude klásť predovšetkým na prax - tie veci, s ktorými človek sa stretáva doslova na každom kroku, v akejkoľvek téme vyššej matematiky. Tabuľky pre figuríny? Dalo by sa to tak povedať.

Kvôli početným požiadavkám čitateľov klikateľný obsah:

K téme je navyše ultrakrátka synopsa
– osvojte si 16 typov grafov štúdiom 6 strán!

Vážne, šesť, dokonca som bol prekvapený. Tento súhrn obsahuje vylepšenú grafiku a je k dispozícii za nominálny poplatok; môžete si pozrieť demo verziu. Súbor je vhodné vytlačiť, aby ste mali grafy vždy po ruke. Ďakujeme za podporu projektu!

A začnime hneď:

Ako správne zostaviť súradnicové osi?

V praxi testy takmer vždy vypĺňajú žiaci do samostatných zošitov, linajkových do štvorca. Prečo potrebujete kockované označenie? Koniec koncov, prácu je možné v zásade vykonať na listoch A4. A klietka je potrebná práve pre kvalitný a presný dizajn výkresov.

Akékoľvek kreslenie funkčného grafu začína súradnicovými osami.

Výkresy môžu byť dvojrozmerné alebo trojrozmerné.

Zoberme si najprv dvojrozmerný prípad karteziánsky pravouhlý systém súradnice:

1) Nakreslite súradnicové osi. Os je tzv os x , a os je os y . Vždy sa ich snažíme nakresliť úhľadné a nie krivé. Šípky by tiež nemali pripomínať bradu Papa Carla.

2) Osy označujeme veľkými písmenami „X“ a „Y“. Nezabudnite si osy označiť.

3) Nastavte mierku pozdĺž osí: nakreslite nulu a dve jednotky. Pri kreslení je najpohodlnejšia a najčastejšie používaná mierka: 1 jednotka = 2 bunky (výkres vľavo) - ak je to možné, držte sa jej. Z času na čas sa však stane, že sa nám kresba nezmestí na hárok zošita – vtedy zmenšíme mierku: 1 jednotka = 1 bunka (výkres vpravo). Je to zriedkavé, ale stáva sa, že mierka kresby sa musí ešte viac zmenšiť (alebo zväčšiť).

NIE JE POTREBNÉ „guľomet“ …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Súradnicová rovina totiž nie je pomníkom Descarta a študent nie je holubica. Dali sme nula A dve jednotky pozdĺž osí. Niekedy namiesto jednotky, je vhodné „označiť“ iné hodnoty, napríklad „dve“ na osi x a „tri“ na osi y - a tento systém (0, 2 a 3) bude tiež jednoznačne definovať súradnicovú sieť.

Odhadované rozmery výkresu je lepšie odhadnúť PRED konštrukciou výkresu. Takže napríklad, ak úloha vyžaduje nakreslenie trojuholníka s vrcholmi , , , potom je úplne jasné, že populárna mierka 1 jednotka = 2 bunky nebude fungovať. prečo? Pozrime sa na vec - tu budete musieť merať pätnásť centimetrov a kresba sa, samozrejme, nezmestí (alebo sa sotva zmestí) na list notebooku. Preto hneď vyberieme menšiu mierku: 1 jednotka = 1 bunka.

Mimochodom, asi centimetre a bunky notebooku. Je pravda, že 30 buniek notebooku obsahuje 15 centimetrov? Pre zábavu si pravítkom odmerajte v zápisníku 15 centimetrov. V ZSSR to možno platilo... Je zaujímavé, že ak tieto isté centimetre zmeriate horizontálne aj vertikálne, výsledky (v bunkách) budú iné! Prísne vzaté, moderné notebooky nie sú kockované, ale obdĺžnikové. Môže sa to zdať nezmysel, ale kresliť napríklad kružnicu kružidlom v takýchto situáciách je veľmi nepohodlné. Úprimne povedané, v takých chvíľach začínate uvažovať o správnosti súdruha Stalina, ktorého poslali do táborov na hackerské práce vo výrobe, nehovoriac o domácom automobilovom priemysle, padajúcich lietadlách či explodujúcich elektrárňach.

Keď už hovoríme o kvalite, alebo krátke odporúčanie na písacie potreby. Dnes je väčšina notebookov v predaji prinajmenšom úplná kravina. Z toho dôvodu, že sa namočia, a to nielen z gélových pier, ale aj z guľôčkových pier! Šetria peniaze na papieri. Na registráciu testy Odporúčam používať zošity z Arkhangelskej celulózky a papiera (18 listov, mriežka) alebo „Pyaterochka“, aj keď je to drahšie. Vhodné je zvoliť gélové pero, aj tá najlacnejšia čínska gélová náplň je oveľa lepšia ako guľôčkové pero, ktoré papier buď rozmazáva, alebo trhá. Jediné „konkurenčné“ guľôčkové pero, ktoré si pamätám, je Erich Krause. Píše jasne, krásne a dôsledne – či už s plným jadrom, alebo s takmer prázdnym.

Okrem toho: Vízia pravouhlého súradnicového systému očami analytickej geometrie je zahrnutá v článku Lineárna (ne)závislosť vektorov. Základy vektorov, detailné informácie o súradnicových štvrtiach nájdete v druhom odseku lekcie Lineárne nerovnosti.

3D puzdro

Tu je to takmer rovnaké.

1) Nakreslite súradnicové osi. štandard: os aplikovať – smeruje nahor, os – smeruje doprava, os – smeruje dole doľava prísne pod uhlom 45 stupňov.

2) Označte osi.

3) Nastavte mierku pozdĺž osí. Mierka pozdĺž osi je dvakrát menšia ako mierka pozdĺž ostatných osí. Všimnite si tiež, že v pravom výkrese som použil neštandardný "zárez" pozdĺž osi (táto možnosť už bola spomenutá vyššie). Z môjho pohľadu je to presnejšie, rýchlejšie a estetickejšie – netreba hľadať stred bunky pod mikroskopom a „vyrezávať“ jednotku blízko začiatku súradníc.

Pri vytváraní 3D výkresu dávajte opäť prednosť mierke
1 jednotka = 2 bunky (nákres vľavo).

Na čo slúžia všetky tieto pravidlá? Pravidlá sú na to aby sa porušovali. To je to, čo teraz urobím. Faktom je, že následné kresby článku urobím v Exceli a súradnicové osi budú z hľadiska správneho návrhu vyzerať nesprávne. Všetky grafy by som mohol kresliť ručne, ale v skutočnosti je strašidelné ich kresliť, pretože Excel sa zdráha kresliť ich oveľa presnejšie.

Grafy a základné vlastnosti elementárnych funkcií

Lineárna funkcia je daná rovnicou. Graf lineárnych funkcií je priamy. Na zostrojenie priamky stačí poznať dva body.

Príklad 1

Zostrojte graf funkcie. Nájdime dva body. Ako jeden z bodov je výhodné zvoliť nulu.

Ak potom

Vezmime si ďalší bod, napríklad 1.

Ak potom

Pri plnení úloh sú súradnice bodov zvyčajne zhrnuté v tabuľke:

A samotné hodnoty sa počítajú ústne alebo na koncepte, kalkulačke.

Našli sa dva body, urobme nákres:

Pri príprave výkresu vždy podpisujeme grafiku.

Bolo by užitočné pripomenúť si špeciálne prípady lineárnej funkcie:

Všimnite si, ako som umiestnil podpisy, podpisy by nemali umožňovať nezrovnalosti pri štúdiu výkresu. V tomto prípade bolo krajne nežiaduce umiestniť podpis vedľa priesečníka čiar alebo vpravo dole medzi grafy.

1) Lineárna funkcia tvaru () sa nazýva priama úmernosť. Napríklad, . Počiatkom vždy prechádza graf priamej úmernosti. Zostrojenie priamky je teda zjednodušené – stačí nájsť len jeden bod.

2) Rovnica v tvare špecifikuje priamku rovnobežnú s osou, najmä samotná os je daná rovnicou. Graf funkcie je zostrojený okamžite, bez nájdenia akýchkoľvek bodov. To znamená, že záznam by sa mal chápať takto: „y sa vždy rovná –4 pre akúkoľvek hodnotu x“.

3) Rovnica v tvare určuje priamku rovnobežnú s osou, najmä samotná os je daná rovnicou. Okamžite sa vykreslí aj graf funkcie. Záznam by sa mal chápať takto: „x sa vždy pre akúkoľvek hodnotu y rovná 1.“

Niektorí sa budú pýtať, prečo si pamätať 6. ročník?! Je to tak, možno je to tak, ale v priebehu rokov praxe som stretol dobrý tucet študentov, ktorí boli zmätení úlohou zostrojiť graf ako alebo.

Zostrojenie priamky je najbežnejšou činnosťou pri vytváraní výkresov.

Priamka je podrobne diskutovaná v kurze analytickej geometrie a záujemcovia si môžu prečítať článok Rovnica priamky na rovine.

Graf kvadratickej, kubickej funkcie, graf polynómu

Parabola. Rozvrh kvadratickej funkcie () predstavuje parabolu. Zvážte slávny prípad:

Pripomeňme si niektoré vlastnosti funkcie.

Takže riešenie našej rovnice: – v tomto bode sa nachádza vrchol paraboly. Prečo je to tak, nájdete v teoretickom článku o derivácii a lekcii o extrémoch funkcie. Medzitým vypočítajme zodpovedajúcu hodnotu „Y“:

Vrchol je teda v bode

Teraz nájdeme ďalšie body, pričom drzo využívame symetriu paraboly. Treba poznamenať, že funkcia – nie je rovnomerné, ale napriek tomu nikto nezrušil symetriu paraboly.

V akom poradí nájsť zvyšné body, myslím, že bude jasné z konečnej tabuľky:

Tento konštrukčný algoritmus možno obrazne nazvať „kyvadlo“ alebo princíp „tam a späť“ s Anfisou Čechovou.

Urobme výkres:

Zo skúmaných grafov prichádza na myseľ ďalšia užitočná funkcia:

Pre kvadratickú funkciu () platí:

Ak , potom vetvy paraboly smerujú nahor.

Ak , potom vetvy paraboly smerujú nadol.

Hlboké znalosti o krivke možno získať na lekcii Hyperbola a parabola.

Kubická parabola je daná funkciou. Tu je kresba známa zo školy:

Uveďme hlavné vlastnosti funkcie

Graf funkcie

Predstavuje jednu z vetiev paraboly. Urobme výkres:

Hlavné vlastnosti funkcie:

V tomto prípade je os vertikálna asymptota pre graf hyperboly v .

Bolo by HRUBOU chybou, ak by ste pri kreslení nedbanlivo dovolili, aby sa graf pretínal s asymptotou.

Aj jednostranné limity nám hovoria, že hyperbola nie je zhora obmedzený A nie je obmedzený zdola.

Pozrime sa na funkciu v nekonečne: , to znamená, že ak sa začneme pohybovať pozdĺž osi doľava (alebo doprava) do nekonečna, potom budú „hry“ v usporiadanom kroku. nekonečne blízko priblížiť sa k nule a podľa toho aj vetvy hyperboly nekonečne blízko priblížiť sa k osi.

Takže os je horizontálna asymptota pre graf funkcie, ak „x“ smeruje k plus alebo mínus nekonečnu.

Funkcia je zvláštny, a preto je hyperbola symetrická podľa pôvodu. Tento fakt z výkresu je zrejmé, navyše sa dá ľahko analyticky overiť: .

Graf funkcie tvaru () predstavuje dve vetvy hyperboly.

Ak , potom sa hyperbola nachádza v prvej a tretej súradnicovej štvrtine(pozri obrázok vyššie).

Ak , potom sa hyperbola nachádza v druhej a štvrtej súradnicovej štvrtine.

Naznačený vzor pobytu hyperboly je ľahko analyzovateľný z hľadiska geometrických transformácií grafov.

Príklad 3

Zostrojte pravú vetvu hyperboly

Používame metódu bodovej konštrukcie a je výhodné voliť hodnoty tak, aby boli deliteľné celkom:

Urobme výkres:

Zostrojiť ľavú vetvu hyperboly nebude ťažké, tu pomôže zvláštnosť funkcie. Zhruba povedané, v tabuľke bodovej konštrukcie mentálne pridáme ku každému číslu mínus, dáme zodpovedajúce body a nakreslíme druhú vetvu.

Podrobné geometrické informácie o uvažovanej priamke nájdete v článku Hyperbola a parabola.

Graf exponenciálnej funkcie

V tejto časti sa budem okamžite zaoberať exponenciálnou funkciou, pretože v úlohách vyššej matematiky sa v 95% prípadov objavuje práve exponenciála.

Dovoľte mi pripomenúť, že toto je iracionálne číslo: , to bude potrebné pri zostavovaní grafu, ktorý v skutočnosti zostavím bez obradu. Tri body asi stačia:

Graf funkcie nechajme zatiaľ na pokoji, viac o ňom neskôr.

Hlavné vlastnosti funkcie:

Funkčné grafy atď. vyzerajú v podstate rovnako.

Musím povedať, že druhý prípad sa v praxi vyskytuje menej často, ale vyskytuje sa, preto som považoval za potrebné zahrnúť ho do tohto článku.

Graf logaritmickej funkcie

Uvažujme funkciu s prirodzeným logaritmom.
Urobme nákres bod po bode:

Ak ste zabudli, čo je logaritmus, pozrite si prosím svoje školské učebnice.

Hlavné vlastnosti funkcie:

doména:

Rozsah hodnôt: .

Funkcia nie je obmedzená zhora: , aj keď pomaly, ale vetva logaritmu ide až do nekonečna.
Pozrime sa na správanie funkcie blízko nuly vpravo: . Takže os je vertikálna asymptota pre graf funkcie ako „x“ má tendenciu k nule sprava.

Je nevyhnutné poznať a zapamätať si typickú hodnotu logaritmu: .

V princípe vyzerá graf logaritmu k základu rovnako: , , (desatinný logaritmus k základu 10) atď. Navyše, čím väčšia je základňa, tým plochejší bude graf.

Prípad nebudeme zvažovať, nepamätám si kedy naposledy Na tomto základe som vytvoril graf. A zdá sa, že logaritmus je veľmi zriedkavým hosťom v problémoch vyššej matematiky.

Na konci tohto odseku poviem ešte jeden fakt: Exponenciálna funkcia a logaritmická funkcia– sú to dve vzájomne inverzné funkcie. Ak sa pozriete pozorne na graf logaritmu, môžete vidieť, že ide o rovnaký exponent, len je umiestnený trochu inak.

Grafy goniometrických funkcií

Kde začína trigonometrické trápenie v škole? Správny. Zo sínusu

Nakreslíme funkciu

Táto linka je tzv sínusoida.

Dovoľte mi pripomenúť, že „pí“ je iracionálne číslo: a pri trigonometrii vám oslnia oči.

Hlavné vlastnosti funkcie:

Táto funkcia je periodické s bodkou . Čo to znamená? Pozrime sa na segment. Naľavo a napravo od neho sa donekonečna opakuje presne ten istý kus grafu.

doména: , to znamená, že pre každú hodnotu „x“ existuje sínusová hodnota.

Rozsah hodnôt: . Funkcia je obmedzené: , to znamená, že všetky „hry“ sedia striktne v segmente .
To sa nestane: alebo presnejšie, stane sa, ale tieto rovnice nemajú riešenie.

1. Zlomková lineárna funkcia a jej graf

Funkcia tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) sú polynómy, sa nazýva zlomková racionálna funkcia.

Pravdepodobne už poznáte pojem racionálne čísla. Podobne racionálne funkcie sú funkcie, ktoré možno znázorniť ako podiel dvoch polynómov.

Ak je zlomková racionálna funkcia kvocientom dvoch lineárne funkcie– polynómy prvého stupňa, t.j. funkcia formulára

y = (ax + b) / (cx + d), potom sa nazýva zlomková lineárna.

Všimnite si, že vo funkcii y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (inak sa funkcia stane lineárnou y = ax/d + b/d) a že a/c ≠ b/d (inak funkcia je konštantná). Lineárna zlomková funkcia je definovaná pre všetky reálne čísla okrem x = -d/c. Grafy zlomkových lineárnych funkcií sa tvarom nelíšia od grafu y = 1/x, ktorý poznáte. Nazýva sa krivka, ktorá je grafom funkcie y = 1/x hyperbola. Pri neobmedzenom náraste x v absolútnej hodnote funkcia y = 1/x neobmedzene klesá v absolútnej hodnote a obe vetvy grafu sa približujú k úsečke: pravá zhora a ľavá zdola. Čiary, ku ktorým sa približujú vetvy hyperboly, sa nazývajú jej asymptoty.

Príklad 1

y = (2x + 1) / (x – 3).

Riešenie.

Vyberieme celú časť: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Teraz je ľahké vidieť, že graf tejto funkcie sa získa z grafu funkcie y = 1/x nasledujúcimi transformáciami: posunutie o 3 jednotkové segmenty doprava, natiahnutie pozdĺž osi Oy 7-krát a posunutie o 2 segmenty jednotky smerom nahor.

Akýkoľvek zlomok y = (ax + b) / (cx + d) možno zapísať podobným spôsobom, pričom sa zvýrazní „celočíselná časť“. V dôsledku toho sú grafy všetkých zlomkových lineárnych funkcií hyperboly, posunuté rôznymi spôsobmi pozdĺž súradnicových osí a natiahnuté pozdĺž osi Oy.

Na zostavenie grafu ľubovoľnej zlomkovo-lineárnej funkcie nie je vôbec potrebné transformovať zlomok definujúci túto funkciu. Keďže vieme, že graf je hyperbola, bude stačiť nájsť priamky, ku ktorým sa približujú jeho vetvy - asymptoty hyperboly x = -d/c a y = a/c.

Príklad 2

Nájdite asymptoty grafu funkcie y = (3x + 5)/(2x + 2).

Riešenie.

Funkcia nie je definovaná, pri x = -1. To znamená, že priamka x = -1 slúži ako vertikálna asymptota. Aby sme našli horizontálnu asymptotu, zistime, k čomu sa približujú hodnoty funkcie y(x), keď argument x rastie v absolútnej hodnote.

Ak to chcete urobiť, vydeľte čitateľa a menovateľa zlomku x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Ako x → ∞ bude mať zlomok tendenciu k 3/2. To znamená, že horizontálna asymptota je priamka y = 3/2.

Príklad 3

Nakreslite graf funkcie y = (2x + 1)/(x + 1).

Riešenie.

Vyberme „celú časť“ zlomku:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Teraz je ľahké vidieť, že graf tejto funkcie získame z grafu funkcie y = 1/x nasledujúcimi transformáciami: posunom o 1 jednotku doľava, symetrickým zobrazením vzhľadom na Ox a posunom o 2 segmenty jednotky nahor pozdĺž osi Oy.

Doména D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Rozsah hodnôt E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Priesečníky s osami: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkcia sa zvyšuje v každom intervale definičnej oblasti.

Odpoveď: Obrázok 1.

2. Zlomková racionálna funkcia

Uvažujme zlomkovú racionálnu funkciu tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) sú polynómy vyššieho stupňa ako prvý.

Príklady takýchto racionálnych funkcií:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) alebo y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ak funkcia y = P(x) / Q(x) predstavuje kvocient dvoch polynómov stupňa vyššieho ako prvý, potom bude jej graf spravidla zložitejší a niekedy môže byť ťažké ho presne zostrojiť. , so všetkými podrobnosťami. Často však stačí použiť techniky podobné tým, ktoré sme už predstavili vyššie.

Nech je zlomok vlastný zlomok (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + ... + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + ...+

+ (M1x + N1) / (x2 + pt x + q t) m1 + ... + (M 1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Je zrejmé, že graf zlomkovej racionálnej funkcie možno získať ako súčet grafov elementárnych zlomkov.

Vykresľovanie grafov zlomkových racionálnych funkcií

Uvažujme niekoľko spôsobov, ako zostrojiť grafy zlomkovej racionálnej funkcie.

Príklad 4.

Nakreslite graf funkcie y = 1/x 2 .

Riešenie.

Pomocou grafu funkcie y = x 2 zostrojíme graf y = 1/x 2 a použijeme techniku ​​„delenia“ grafov.

Doména D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Rozsah hodnôt E(y) = (0; +∞).

Neexistujú žiadne priesečníky s osami. Funkcia je rovnomerná. Zvyšuje pre všetky x z intervalu (-∞; 0), znižuje pre x od 0 do +∞.

Odpoveď: Obrázok 2.

Príklad 5.

Graf funkcie y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Riešenie.

Doména D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Tu sme použili techniku ​​faktorizácie, redukcie a redukcie na lineárnu funkciu.

Odpoveď: Obrázok 3.

Príklad 6.

Nakreslite graf funkcie y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Riešenie.

Definičný obor je D(y) = R. Keďže funkcia je párna, graf je symetrický podľa ordináty. Pred vytvorením grafu znova transformujme výraz, pričom zvýrazníme celú časť:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Všimnite si, že izolácia celočíselnej časti vo vzorci zlomkovej racionálnej funkcie je jednou z hlavných pri vytváraní grafov.

Ak x → ±∞, potom y → 1, t.j. priamka y = 1 je vodorovná asymptota.

Odpoveď: Obrázok 4.

Príklad 7.

Uvažujme funkciu y = x/(x 2 + 1) a skúsme presne nájsť jej najväčšiu hodnotu, t.j. najvyšší bod v pravej polovici grafu. Na presné zostrojenie tohto grafu dnešné poznatky nestačia. Je zrejmé, že naša krivka nemôže „stúpnuť“ veľmi vysoko, pretože menovateľ rýchlo začne „predbiehať“ čitateľa. Pozrime sa, či sa hodnota funkcie môže rovnať 1. Na to potrebujeme vyriešiť rovnicu x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Táto rovnica nemá žiadne skutočné korene. To znamená, že náš predpoklad je nesprávny. Aby ste našli čo najviac veľký význam funkcie, musíte zistiť, pri akom najväčšom A bude mať rovnica A = x/(x 2 + 1) riešenie. Pôvodnú rovnicu nahraďme kvadratickou rovnicou: Аx 2 – x + А = 0. Táto rovnica má riešenie, keď 1 – 4А 2 ≥ 0. Odtiaľto nájdeme najvyššia hodnota A = 1/2.

Odpoveď: Obrázok 5, maximálne y(x) = ½.

Stále máte otázky? Neviete ako graficky znázorniť funkcie?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.