Koreňové vzorce. Vlastnosti odmocnin.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

V predchádzajúcej lekcii sme zistili, čo je druhá odmocnina. Je čas zistiť, ktoré existujú vzorce pre korenečo sú vlastnosti koreňov, a čo sa s tým všetkým dá robiť.

Vzorce koreňov, vlastnosti koreňov a pravidlá práce s koreňmi- to je v podstate to isté. Vzorce pre odmocniny prekvapivo málo. Čo ma určite teší! Alebo skôr, môžete napísať veľa rôznych vzorcov, ale na praktickú a sebavedomú prácu s koreňmi stačia len tri. Všetko ostatné plynie z týchto troch. Hoci mnohí ľudia sú zmätení v troch koreňových vzorcoch, áno...

Začnime tým najjednoduchším. Tu je:

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Gratulujeme: dnes sa pozrieme na korene - jedna z najzaujímavejších tém v 8. ročníku. :)

Mnoho ľudí je zmätených z koreňov nie preto, že sú zložité (čo je na tom také zložité – pár definícií a pár ďalších vlastností), ale preto, že vo väčšine školských učebníc sú korene definované cez takú džungľu, že iba autori učebníc sami môžu porozumieť tomuto písaniu. A aj to len s fľašou dobrej whisky. :)

Preto teraz uvediem najsprávnejšiu a najkompetentnejšiu definíciu koreňa - jedinú, ktorú by ste si naozaj mali pamätať. A potom vysvetlím: prečo je to všetko potrebné a ako to aplikovať v praxi.

Najprv si však zapamätajte jednu dôležitý bod, na ktorý mnohí kompilátori učebníc z nejakého dôvodu „zabudnú“:

Korene môžu byť párneho stupňa (naše obľúbené $\sqrt(a)$, ako aj všetky druhy $\sqrt(a)$ a párne $\sqrt(a)$) a nepárne (všetky druhy $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ atď.). A definícia koreňa nepárneho stupňa je trochu odlišná od párneho.

Pravdepodobne 95% všetkých chýb a nedorozumení spojených s koreňmi je skrytých v tomto posratom „trochu inom“. Poďme si teda raz a navždy ujasniť terminológiu:

Definícia. Dokonca aj koreň n od čísla $a$ je ľubovoľný nezápornéčíslo $b$ je také, že $((b)^(n))=a$. A nepárny koreň toho istého čísla $a$ je vo všeobecnosti akékoľvek číslo $b$, pre ktoré platí rovnaká rovnosť: $((b)^(n))=a$.

V každom prípade je koreň označený takto:

\(a)\]

Číslo $n$ v takomto zápise sa nazýva koreňový exponent a číslo $a$ sa nazýva radikálny výraz. Konkrétne, pre $n=2$ dostaneme našu „obľúbenú“ druhú odmocninu (mimochodom, toto je odmocnina z párneho stupňa) a pre $n=3$ dostaneme kubickú odmocninu (nepárny stupeň), čo je často sa vyskytuje aj v úlohách a rovniciach.

Príklady. Klasické príklady odmocnin:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(zarovnať)\]

Mimochodom, $\sqrt(0)=0$ a $\sqrt(1)=1$. Je to celkom logické, keďže $((0)^(2))=0$ a $((1)^(2))=1$.

Časté sú aj kockové korene - netreba sa ich báť:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(zarovnať)\]

No, pár „exotických príkladov“:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(zarovnať)\]

Ak nerozumiete, aký je rozdiel medzi párnym a nepárnym stupňom, znova si prečítajte definíciu. Je to veľmi dôležité!

Medzitým sa pozrieme na jednu nepríjemnú vlastnosť koreňov, kvôli ktorej sme potrebovali zaviesť samostatnú definíciu pre párne a nepárne exponenty.

Prečo sú korene vôbec potrebné?

Po prečítaní definície sa mnohí študenti opýtajú: „Čo matematici fajčili, keď na to prišli? A naozaj: prečo sú vôbec všetky tieto korene potrebné?

Aby sme na túto otázku odpovedali, vráťme sa na chvíľu späť základných tried. Pamätajte: v tých vzdialených časoch, keď boli stromy zelenšie a halušky chutnejšie, nám išlo hlavne o správne vynásobenie čísel. No, niečo ako „päť na päť – dvadsaťpäť“, to je všetko. Čísla však môžete násobiť nie v pároch, ale v trojiciach, štvoriciach a vo všeobecnosti v celých súboroch:

\[\začiatok(zarovnanie) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

O to však nejde. Trik je iný: matematici sú leniví ľudia, takže mali problém zapísať násobenie desiatich pätiek takto:

Preto prišli s titulmi. Prečo nenapísať počet faktorov ako horný index namiesto dlhého reťazca? Niečo také:

Je to veľmi pohodlné! Všetky výpočty sú výrazne zredukované a nemusíte plytvať hromadou listov pergamenu a zošitov, aby ste si zapísali nejakých 5 183. Tento záznam sa nazýval sila čísla, našlo sa v ňom veľa vlastností, ale šťastie sa ukázalo byť krátkodobé.

Po grandióznej pitke, ktorá bola zorganizovaná len kvôli „objaveniu“ stupňov, sa zrazu nejaký obzvlášť tvrdohlavý matematik spýtal: „Čo ak poznáme stupeň čísla, ale samotné číslo nie je známe? Ak teda vieme, že určité číslo $b$, povedzme, na 5. mocninu dáva 243, ako potom môžeme uhádnuť, čomu sa rovná samotné číslo $b$?

Tento problém sa ukázal byť oveľa globálnejší, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Pretože sa ukázalo, že pre väčšinu „hotových“ právomocí takéto „počiatočné“ čísla neexistujú. Veď posúďte sami:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((b)^(3))=27\šípka doprava b=3\cbodka 3\cbodka 3\šípka doprava b=3; \\ & ((b)^(3))=64\šípka doprava b=4\cbodka 4\cbodka 4\šípka doprava b=4. \\ \end(zarovnať)\]

Čo ak $((b)^(3))=50 $? Ukazuje sa, že musíme nájsť určité číslo, ktoré keď vynásobíme samo sebou trikrát, dostaneme 50. Čo je to však za číslo? Je zreteľne väčšia ako 3, pretože 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Teda toto číslo leží niekde medzi tromi a štyrmi, ale nerozumiete, čomu sa rovná.

To je presne dôvod, prečo matematici prišli s $n$-tým koreňom. To je presne dôvod, prečo bol zavedený radikálový symbol $\sqrt(*)$. Označiť samotné číslo $b$, ktoré nám v uvedenej miere poskytne predtým známu hodnotu

\[\sqrt[n](a)=b\šípka doprava ((b)^(n))=a\]

Nehádam sa: tieto korene sa často dajú ľahko vypočítať - vyššie sme videli niekoľko takýchto príkladov. Ale stále, vo väčšine prípadov, ak chcete ľubovoľné číslo a potom sa z neho pokúste vytiahnuť koreň ľubovoľného stupňa, čaká vás strašný trapas.

Čo je tam! Dokonca ani najjednoduchšie a najznámejšie $\sqrt(2)$ nemôže byť reprezentované v našej bežnej forme - ako celé číslo alebo zlomok. A ak zadáte toto číslo do kalkulačky, uvidíte toto:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Ako vidíte, za desatinnou čiarkou je nekonečná postupnosť čísel, ktoré sa neriadia žiadnou logikou. Toto číslo môžete samozrejme zaokrúhliť, aby ste ho mohli rýchlo porovnať s inými číslami. Napríklad:

\[\sqrt(2)=1,4142...\približne 1,4 \lt 1,5\]

Alebo tu je ďalší príklad:

\[\sqrt(3)=1,73205...\približne 1,7 \gt 1,5\]

Ale všetky tieto zaoblenia sú po prvé dosť hrubé; a po druhé, musíte vedieť pracovať aj s približnými hodnotami, inak môžete zachytiť kopu neprehliadnuteľných chýb (mimochodom, zručnosť porovnávania a zaokrúhľovania povinné kontrolované v profile Jednotná štátna skúška).

Preto sa v serióznej matematike nezaobídete bez koreňov - sú to rovnakí rovnakí zástupcovia množiny všetkých reálnych čísel $\mathbb(R)$, rovnako ako zlomky a celé čísla, ktoré sú nám už dlho známe.

Neschopnosť reprezentovať koreň ako zlomok tvaru $\frac(p)(q)$ znamená, že tento koreň nie je racionálne číslo. Takéto čísla sa nazývajú iracionálne a nemožno ich presne znázorniť inak, než pomocou radikálu alebo iných špeciálne na to navrhnutých konštrukcií (logaritmy, mocniny, limity atď.). Ale o tom viac inokedy.

Zoberme si niekoľko príkladov, kde po všetkých výpočtoch zostanú v odpovedi stále iracionálne čísla.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\cca 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\približne -1,2599... \\ \end(align)\]

Prirodzene, podľa vzhľad root je takmer nemožné uhádnuť, ktoré čísla budú nasledovať za desatinnou čiarkou. Môžete sa však spoľahnúť na kalkulačku, no aj tá najpokročilejšia dátumová kalkulačka nám dáva len prvých pár číslic iracionálneho čísla. Preto je oveľa správnejšie písať odpovede v tvare $\sqrt(5)$ a $\sqrt(-2)$.

To je presne dôvod, prečo boli vynájdené. Na pohodlné zaznamenávanie odpovedí.

Prečo sú potrebné dve definície?

Pozorný čitateľ si už zrejme všimol, že všetky odmocniny uvedené v príkladoch sú prevzaté z kladných čísel. No v ako posledná možnosť od nuly. Kockové korene však možno pokojne extrahovať z absolútne akéhokoľvek čísla - či už pozitívneho alebo negatívneho.

Prečo sa to deje? Pozrite sa na graf funkcie $y=((x)^(2))$:

Rozvrh kvadratickej funkcie dáva dva korene: pozitívny a negatívny

Skúsme vypočítať $\sqrt(4)$ pomocou tohto grafu. Na tento účel je na grafe nakreslená vodorovná čiara $y=4$ (označená červenou farbou), ktorá sa pretína s parabolou v dvoch bodoch: $((x)_(1))=2$ a $((x). )_(2)) = -2 $. Je to celkom logické, keďže

S prvým číslom je všetko jasné - je kladné, takže je to koreň:

Ale čo potom robiť s druhým bodom? Akože štyri majú dva korene naraz? Ak totiž odmocníme číslo −2, dostaneme aj 4. Prečo teda nenapísať $\sqrt(4)=-2$? A prečo sa učitelia pozerajú na takéto príspevky, akoby ťa chceli zjesť? :)

Problém je v tom, že ak neuložíte žiadne ďalšie podmienky, štvorkolka bude mať dve odmocniny - pozitívnu a negatívnu. A každé kladné číslo ich bude mať aj dve. Ale záporné čísla nebudú mať vôbec žiadne korene - to je možné vidieť z rovnakého grafu, pretože parabola nikdy neklesne pod os r, t.j. neprijíma záporné hodnoty.

Podobný problém sa vyskytuje pre všetky korene s párnym exponentom:

  1. Presne povedané, každé kladné číslo bude mať dva korene s párnym exponentom $n$;
  2. Zo záporných čísel sa odmocnina s párnym $n$ vôbec nevytiahne.

Preto je v definícii odmocniny párneho stupňa $n$ špecificky stanovené, že odpoveď musí byť nezáporné číslo. Takto sa zbavíme nejednoznačnosti.

Ale pre nepárnych $n$ takýto problém neexistuje. Aby sme to videli, pozrime sa na graf funkcie $y=((x)^(3))$:

Kubická parabola môže mať akúkoľvek hodnotu koreň kocky extrahované z ľubovoľného čísla

Z tohto grafu možno vyvodiť dva závery:

  1. Vetvy kubickej paraboly, na rozdiel od bežnej, idú do nekonečna oboma smermi – hore aj dole. Preto bez ohľadu na to, v akej výške nakreslíme vodorovnú čiaru, táto čiara sa určite pretína s naším grafom. V dôsledku toho môže byť kocka vždy extrahovaná z absolútne akéhokoľvek čísla;
  2. Okrem toho bude takáto križovatka vždy jedinečná, takže nemusíte premýšľať o tom, ktoré číslo sa považuje za „správny“ koreň a ktoré sa má ignorovať. Preto je určovanie koreňov pre nepárny stupeň jednoduchšie ako pre párny stupeň (neexistuje požiadavka na nezápornosť).

Škoda, že tieto jednoduché veci nie sú vo väčšine učebníc vysvetlené. Namiesto toho náš mozog začne stúpať so všetkými druhmi aritmetických koreňov a ich vlastností.

Áno, nehádam sa: musíte tiež vedieť, čo je aritmetický koreň. A o tom budem podrobne hovoriť v samostatnej lekcii. Dnes si o nej tiež povieme, pretože bez nej by boli všetky úvahy o koreňoch $n$-tej násobnosti neúplné.

Najprv však musíte jasne pochopiť definíciu, ktorú som uviedol vyššie. V opačnom prípade sa vám kvôli hojnosti pojmov začne v hlave taký chaos, že nakoniec nebudete rozumieť vôbec ničomu.

Všetko, čo musíte urobiť, je pochopiť rozdiel medzi párnymi a nepárnymi ukazovateľmi. Preto ešte raz zhromaždíme všetko, čo skutočne potrebujete vedieť o koreňoch:

  1. Odmocnina párneho stupňa existuje len z nezáporného čísla a sama je vždy nezáporným číslom. Pre záporné čísla nie je takýto koreň definovaný.
  2. Ale koreň nepárneho stupňa existuje z ľubovoľného čísla a sám o sebe môže byť ľubovoľným číslom: pre kladné čísla je kladný a pre záporné čísla, ako naznačuje viečko, záporný.

Je to zložité? Nie, nie je to ťažké. To je jasné? Áno, je to úplne zrejmé! Teraz si teda trochu zacvičíme s výpočtami.

Základné vlastnosti a obmedzenia

Korene majú veľa zvláštnych vlastností a obmedzení – o tom sa bude diskutovať v samostatnej lekcii. Preto teraz zvážime iba najdôležitejší „trik“, ktorý sa vzťahuje iba na korene s rovnomerným indexom. Napíšme túto vlastnosť ako vzorec:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\vpravo|\]

Inými slovami, ak zvýšime číslo na párnu mocninu a potom vytiahneme odmocninu tej istej mocniny, nedostaneme pôvodné číslo, ale jeho modul. Toto je jednoduchá veta, ktorá sa dá ľahko dokázať (stačí zvážiť nezáporné $x$ oddelene a potom oddelene negatívne). Učitelia o tom neustále hovoria, učí sa to v každej školská učebnica. Ale akonáhle príde na riešenie iracionálnych rovníc (t. j. rovníc obsahujúcich radikálové znamienko), študenti na tento vzorec jednohlasne zabudnú.

Aby sme problém pochopili dopodrobna, zabudnime na minútu všetky vzorce a skúsme vypočítať dve čísla rovno:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Toto je veľmi jednoduché príklady. Väčšina ľudí vyrieši prvý príklad, ale veľa ľudí sa zasekne na druhom. Aby ste takéto svinstvo vyriešili bez problémov, vždy zvážte postup:

  1. Najprv sa číslo zvýši na štvrtú mocninu. No je to akési jednoduché. Dostanete nové číslo, ktoré nájdete aj v násobilke;
  2. A teraz z tohto nového čísla je potrebné extrahovať štvrtý koreň. Tie. nedochádza k „redukcii“ koreňov a právomocí – ide o postupné akcie.

Pozrime sa na prvý výraz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Je zrejmé, že najprv musíte vypočítať výraz pod koreňom:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Potom extrahujeme štvrtý koreň čísla 81:

Teraz urobme to isté s druhým výrazom. Najprv zvýšime číslo −3 na štvrtú mocninu, čo si vyžaduje vynásobiť ho 4-krát:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ vľavo(-3 \vpravo)=81\]

Dostali sme kladné číslo, pretože Celkom V práci sú 4 mínusy a všetky sa navzájom vyrušia (napokon mínus za mínus dáva plus). Potom znova extrahujeme koreň:

V zásade tento riadok nemohol byť napísaný, pretože nie je potrebné uvažovať, že odpoveď by bola rovnaká. Tie. párny koreň rovnakej párnej sily „spaľuje“ mínusy a v tomto zmysle je výsledok na nerozoznanie od bežného modulu:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \vpravo|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \vpravo|=3. \\ \end(zarovnať)\]

Tieto výpočty sú v dobrej zhode s definíciou odmocniny párneho stupňa: výsledok je vždy nezáporný a znamienko radikálu tiež vždy obsahuje nezáporné číslo. V opačnom prípade je koreň nedefinovaný.

Poznámka k postupu

  1. Zápis $\sqrt(((a)^(2)))$ znamená, že najprv odmocníme číslo $a$ a potom vezmeme druhú odmocninu z výslednej hodnoty. Preto si môžeme byť istí, že pod znamienkom koreňa je vždy nezáporné číslo, pretože $((a)^(2))\ge 0$ v každom prípade;
  2. Ale zápis $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ naopak znamená, že najprv vezmeme odmocninu z určitého čísla $a$ a až potom odmocníme výsledok. Preto číslo $a$ nemôže byť v žiadnom prípade záporné - je to povinná požiadavka zahrnutá v definícii.

V žiadnom prípade by sa teda nemali bezmyšlienkovite zmenšovať korene a stupne, čím sa údajne „zjednodušuje“ pôvodný výraz. Pretože ak má koreň záporné číslo a jeho exponent je párny, dostaneme kopu problémov.

Všetky tieto problémy sú však relevantné len pre párne ukazovatele.

Odstránenie znamienka mínus spod znamienka koreňa

Prirodzene, korene s nepárnymi exponentmi majú tiež svoju vlastnosť, ktorá v princípe neexistuje pri párnych. menovite:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Stručne povedané, môžete odstrániť mínus pod znakom koreňov nepárneho stupňa. Toto je veľmi užitočný majetok, ktorý vám umožní „vyhodiť“ všetky negatíva:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Táto jednoduchá vlastnosť výrazne zjednodušuje mnohé výpočty. Teraz sa nemusíte obávať: čo keby bol pod koreňom skrytý negatívny výraz, ale stupeň pri koreni sa ukázal byť párny? Stačí len „vyhodiť“ všetky mínusy mimo koreňov, potom sa môžu navzájom množiť, deliť a celkovo robiť veľa podozrivých vecí, ktoré nás v prípade „klasických“ koreňov zaručene privedú k chyba.

A tu prichádza na scénu ďalšia definícia – tá istá, s ktorou na väčšine škôl začínajú štúdium iracionálnych výrazov. A bez toho by naša úvaha bola neúplná. Zoznámte sa!

Aritmetický koreň

Predpokladajme na chvíľu, že pod znamienkom koreňa môžu byť iba kladné čísla alebo v extrémnych prípadoch nula. Zabudnime na párne/nepárne ukazovatele, zabudnime na všetky vyššie uvedené definície – budeme pracovať len s nezápornými číslami. Čo potom?

A potom dostaneme aritmetický koreň - čiastočne sa prekrýva s našimi „štandardnými“ definíciami, ale stále sa od nich líši.

Definícia. Aritmetický koreň $n$-tého stupňa nezáporného čísla $a$ je nezáporné číslo $b$ také, že $((b)^(n))=a$.

Ako vidíme, parita nás už nezaujíma. Namiesto toho sa objavilo nové obmedzenie: radikálny výraz je teraz vždy nezáporný a samotný koreň je tiež nezáporný.

Aby ste lepšie pochopili, ako sa aritmetický koreň líši od bežného, ​​pozrite sa na grafy štvorcovej a kubickej paraboly, ktoré už poznáme:

Oblasť vyhľadávania aritmetického koreňa - nezáporné čísla

Ako vidíte, odteraz nás zaujímajú len tie časti grafov, ktoré sa nachádzajú v prvej súradnicovej štvrtine – kde sú súradnice $x$ a $y$ kladné (alebo aspoň nulové). Už sa nemusíte pozerať na indikátor, aby ste pochopili, či máme právo umiestniť záporné číslo pod koreň alebo nie. Pretože so zápornými číslami sa už v zásade nepočíta.

Môžete sa opýtať: „No, prečo potrebujeme takú kastrovanú definíciu? Alebo: "Prečo si nemôžeme vystačiť so štandardnou definíciou uvedenou vyššie?"

Uvediem len jednu vlastnosť, kvôli ktorej sa nová definícia stáva vhodnou. Napríklad pravidlo pre umocňovanie:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Poznámka: radikálny výraz môžeme zvýšiť na ľubovoľnú mocninu a zároveň vynásobiť koreňový exponent rovnakou mocninou – a výsledkom bude rovnaké číslo! Tu sú príklady:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

O čo teda ide? Prečo sme to nemohli urobiť skôr? Tu je dôvod. Zoberme si jednoduchý výraz: $\sqrt(-2)$ - toto číslo je v našom klasickom chápaní celkom normálne, ale z hľadiska aritmetického koreňa absolútne neprijateľné. Skúsme to previesť:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Ako vidíte, v prvom prípade sme odstránili mínus spod radikálu (máme plné právo, pretože exponent je nepárny) av druhom prípade sme použili vyššie uvedený vzorec. Tie. Z matematického hľadiska sa všetko robí podľa pravidiel.

WTF?! Ako môže byť rovnaké číslo kladné aj záporné? V žiadnom prípade. Ide len o to, že vzorec pre umocňovanie, ktorý funguje skvele pre kladné čísla a nulu, začína v prípade záporných čísel vytvárať úplnú herézu.

Aby sa zbavili takejto nejednoznačnosti, boli vynájdené aritmetické korene. Im je venovaná samostatná skvelá lekcia, kde podrobne zvážime všetky ich vlastnosti. Teraz sa nimi nebudeme zaoberať - lekcia sa už ukázala ako príliš dlhá.

Algebraický koreň: pre tých, ktorí chcú vedieť viac

Dlho som rozmýšľal, či dať túto tému do samostatného odseku alebo nie. Nakoniec som sa rozhodol, že to tu nechám. Tento materiál je určený pre tých, ktorí chcú ešte lepšie pochopiť korene - už nie na priemernej „školskej“ úrovni, ale na úrovni blízkej olympiáde.

Takže: okrem „klasickej“ definície $n$-tej odmocniny čísla a súvisiaceho delenia na párne a nepárne exponenty existuje aj „dospelejšia“ definícia, ktorá vôbec nezávisí od parity a iných jemností. Toto sa nazýva algebraický koreň.

Definícia. Algebraický $n$-tý koreň každého $a$ je množina všetkých čísel $b$ takých, že $((b)^(n))=a$. Pre takéto korene neexistuje žiadne zavedené označenie, takže navrch dáme pomlčku:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\vľavo\( b\vľavo| b\v \mathbb(R);((b)^(n))=a \vpravo. \vpravo\) \]

Základný rozdiel oproti štandardnej definícii uvedenej na začiatku lekcie je v tom, že algebraický koreň nie je konkrétne číslo, ale množina. A keďže pracujeme s reálnymi číslami, táto množina sa dodáva iba v troch typoch:

  1. Prázdna súprava. Vyskytuje sa, keď potrebujete nájsť algebraický koreň párneho stupňa zo záporného čísla;
  2. Sada pozostávajúca z jedného jediného prvku. Do tejto kategórie spadajú všetky korene nepárnych mocnín, ako aj odmocniny párnych mocnín nuly;
  3. Nakoniec môže množina obsahovať dve čísla – rovnaké $((x)_(1))$ a $((x)_(2))=-((x)_(1))$, ktoré sme videli na graf kvadratickej funkcie. V súlade s tým je takéto usporiadanie možné len pri extrakcii odmocniny párneho stupňa z kladného čísla.

Posledný prípad si zaslúži podrobnejšie posúdenie. Poďme si spočítať pár príkladov, aby sme pochopili rozdiel.

Príklad. Vyhodnoťte výrazy:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Riešenie. Prvý výraz je jednoduchý:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Sú to dve čísla, ktoré sú súčasťou sady. Pretože každá z nich na druhú dáva štvorku.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Tu vidíme množinu pozostávajúcu iba z jedného čísla. Je to celkom logické, keďže koreňový exponent je nepárny.

Nakoniec posledný výraz:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Dostali sme prázdnu súpravu. Pretože neexistuje jediné reálne číslo, ktoré nám po zvýšení na štvrtú (t. j. párnu!) mocninu dá záporné číslo -16.

Poznámka na záver. Poznámka: nie náhodou som všade poznamenal, že pracujeme s reálnymi číslami. Pretože je toho viac komplexné čísla— celkom dobre sa tam dá vypočítať $\sqrt(-16)$ a mnoho iných zvláštnych vecí.

V moderných školských kurzoch matematiky sa však komplexné čísla takmer nikdy neobjavujú. Boli odstránené z väčšiny učebníc, pretože naši úradníci považujú túto tému za „príliš ťažké na pochopenie“.

To je všetko. V ďalšej lekcii sa pozrieme na všetky kľúčové vlastnosti koreňov a nakoniec sa naučíme, ako zjednodušiť iracionálne výrazy. :)


V tomto článku sa pozrieme na to hlavné vlastnosti koreňov. Začnime s vlastnosťami aritmetickej druhej odmocniny, uveďte ich formulácie a poskytnite dôkazy. Potom sa budeme zaoberať vlastnosťami aritmetického koreňa n-tého stupňa.

Navigácia na stránke.

Vlastnosti druhej odmocniny

V tomto odseku sa budeme zaoberať nasledujúcimi základnými vlastnosti aritmetickej druhej odmocniny:

V každej zapísanej rovnosti je možné zameniť ľavú a pravú stranu, napríklad rovnosť možno prepísať ako . V tejto „obrátenej“ forme sa vlastnosti aritmetickej druhej odmocniny aplikujú, keď zjednodušujúce výrazy rovnako často ako v „priamej“ forme.

Dôkaz prvých dvoch vlastností je založený na definícii aritmetickej odmocniny a na . A aby ste ospravedlnili poslednú vlastnosť aritmetickej druhej odmocniny, budete si musieť pamätať.

Začnime teda s dôkaz aritmetickej vlastnosti druhej odmocniny súčinu dvoch nezáporných čísel: . Aby sme to dosiahli, podľa definície aritmetickej odmocniny stačí ukázať, že ide o nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná a·b. Poďme na to. Hodnota výrazu je nezáporná ako súčin nezáporných čísel. Vlastnosť mocniny súčinu dvoch čísel nám umožňuje zapísať rovnosť , a keďže podľa definície aritmickej druhej odmocniny a , potom .

Podobne je dokázané, že aritmetická druhá odmocnina súčinu k nezáporných faktorov a 1 , a 2 , ..., a k sa rovná súčinu aritmetických odmocnín týchto faktorov. Naozaj,. Z tejto rovnosti vyplýva, že .

Uveďme príklady: a.

Teraz dokážme vlastnosť aritmetickej druhej odmocniny kvocientu: . Vlastnosť kvocientu v prirodzený stupeň nám umožňuje zapísať rovnosť , A a je tam nezáporné číslo. Toto je dôkaz.

Napríklad a .

Je čas to vyriešiť vlastnosť aritmetickej druhej odmocniny druhej mocniny čísla, v tvare rovnosti sa píše ako . Aby ste to dokázali, zvážte dva prípady: pre a≥0 a pre a<0 .

Je zrejmé, že pre a≥0 platí rovnosť. Je tiež ľahké vidieť, že pre a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 a (-a)2=a2. teda , čo bolo potrebné dokázať.

Tu je niekoľko príkladov: A .

Práve preukázaná vlastnosť druhej odmocniny nám umožňuje zdôvodniť nasledujúci výsledok, kde a je ľubovoľné reálne číslo a m je ľubovoľné . Vlastnosť zvýšenia mocniny na mocninu nám v skutočnosti umožňuje nahradiť mocninu a 2 m výrazom (a m) 2, potom .

napr. A .

Vlastnosti n-tého koreňa

Po prvé, poďme uviesť hlavné vlastnosti n-tých koreňov:

Všetky písomné rovnosti zostávajú v platnosti, ak sa ich ľavá a pravá strana vymení. Často sa používajú aj v tejto podobe, hlavne pri zjednodušovaní a pretváraní výrazov.

Dôkaz všetkých oznámených vlastností koreňa je založený na definícii aritmetického koreňa n-tého stupňa, na vlastnostiach stupňa a na definícii modulu čísla. Preukážeme ich v poradí podľa priority.

    Začnime dôkazom vlastnosti n-tej odmocniny produktu . Pre nezáporné a a b je hodnota výrazu tiež nezáporná, podobne ako súčin nezáporných čísel. Vlastnosť produktu k prírodnej sile nám umožňuje zapísať rovnosť . Podľa definície aritmetického koreňa n-tého stupňa, a teda . To dokazuje vlastnosť uvažovaného koreňa.

    Táto vlastnosť je dokázaná podobne pre súčin k faktorov: pre nezáporné čísla a 1, a 2, …, a n, A .

    Tu sú príklady použitia vlastnosti n-tého koreňa produktu: A .

    Poďme dokázať vlastnosť koreňa kvocientu. Keď a≥0 a b>0 je podmienka splnená a .

    Ukážme si príklady: A .

    Poďme ďalej. Poďme dokázať vlastnosť n-tej odmocniny čísla na n-tú mocninu. To znamená, že to dokážeme pre akékoľvek skutočné a a prirodzené m. Pre a≥0 máme a , čo dokazuje rovnosť , a rovnosť samozrejme. Keď<0 имеем и (posledný prechod je platný kvôli vlastnosti stupňa s párnym exponentom), ktorý dokazuje rovnosť , a je pravda, pretože keď hovoríme o koreňoch nepárneho stupňa, akceptovali sme pre akékoľvek nezáporné číslo c.

    Tu sú príklady použitia analyzovanej koreňovej vlastnosti: a .

    Prejdeme k dôkazu vlastnosti koreňa koreňa. Vymeňme pravú a ľavú stranu, čiže dokážeme platnosť rovnosti, ktorá bude znamenať platnosť pôvodnej rovnosti. Pre nezáporné číslo a je koreňom tvaru nezáporné číslo. Keď si pripomenieme vlastnosť zvyšovania stupňa k moci a pomocou definície koreňa, môžeme napísať reťazec rovnosti tvaru . To dokazuje vlastnosť koreňa uvažovaného koreňa.

    Podobným spôsobom sa dokazuje vlastnosť koreňa koreňa koreňa atď. naozaj, .

    Napríklad, A .

    Dokážme nasledovné koreňová vlastnosť kontrakcie exponentu. Aby sme to dosiahli, na základe definície odmocniny stačí ukázať, že existuje nezáporné číslo, ktoré sa po umocnení n·m rovná m. Poďme na to. Je jasné, že ak je číslo a nezáporné, potom n-tá odmocnina čísla a je nezáporné číslo. V čom , čím sa dokazovanie dopĺňa.

    Tu je príklad použitia analyzovanej koreňovej vlastnosti: .

    Dokážme nasledujúcu vlastnosť – vlastnosť odmocniny stupňa tvaru . Je zrejmé, že keď a≥0, stupeň je nezáporné číslo. Navyše, jeho n-tá mocnina sa rovná a m, skutočne . To dokazuje vlastnosť posudzovaného stupňa.

    Napríklad, .

    Poďme ďalej. Dokážme, že pre všetky kladné čísla a a b, pre ktoré je splnená podmienka a , to znamená a≥b. A to je v rozpore s podmienkou a

    Ako príklad uveďme správnu nerovnosť .

    Nakoniec zostáva dokázať poslednú vlastnosť n-tej odmocniny. Najprv dokážme prvú časť tejto vlastnosti, to znamená, že dokážeme, že pre m>n a 0 . Potom, vzhľadom na vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom, nerovnosť , to znamená a n ≤ a m . A výsledná nerovnosť pre m>n a 0

    Podobne je kontradikciou dokázané, že pre m>n a a>1 je podmienka splnená.

    Uveďme príklady aplikácie osvedčenej koreňovej vlastnosti v konkrétnych číslach. Napríklad nerovnosti a sú pravdivé.

Bibliografia.

  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 8. ročník. vzdelávacie inštitúcie.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre 10. - 11. ročník inštitúcií všeobecného vzdelávania.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl).

V tomto článku vám predstavíme pojem koreňa čísla. Budeme postupovať postupne: začneme odmocninou, odtiaľ prejdeme k opisu odmocniny, po ktorej zovšeobecníme pojem odmocniny, pričom definujeme n-tú odmocninu. Zároveň uvedieme definície, zápisy, uvedieme príklady koreňov a uvedieme potrebné vysvetlenia a komentáre.

Druhá odmocnina, aritmetická druhá odmocnina

Aby ste pochopili definíciu odmocniny čísla, a najmä druhej odmocniny, musíte mať . Na tomto mieste sa často stretneme s druhou mocninou čísla – druhou mocninou čísla.

Začnime s definície druhej odmocniny.

Definícia

Druhá odmocnina z a je číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná a.

S cieľom priniesť príklady odmocnin, vezmite niekoľko čísel, napríklad 5, −0,3, 0,3, 0, a odmocnite ich, dostaneme čísla 25, 0,09, 0,09 a 0 (5 2 =5·5=25, (-0,3)2 = (-0,3)·(-0,3)=0,09(0,3)2=0,3-0,3=0,09 a 02=0,0=0). Potom, podľa definície uvedenej vyššie, číslo 5 je druhá odmocnina čísla 25, čísla -0,3 a 0,3 sú druhé odmocniny 0,09 a 0 je druhá odmocnina nuly.

Treba poznamenať, že pre žiadne číslo a neexistuje a, ktorého druhá mocnina sa rovná a. Totiž pre žiadne záporné číslo a neexistuje reálne číslo b, ktorého druhá mocnina sa rovná a. V skutočnosti je rovnosť a=b 2 nemožná pre žiadne záporné a, pretože b 2 je nezáporné číslo pre akékoľvek b. teda v množine reálnych čísel neexistuje druhá odmocnina záporného čísla. Inými slovami, na množine reálnych čísel druhá odmocnina záporného čísla nie je definovaná a nemá žiadny význam.

To vedie k logickej otázke: „Existuje druhá odmocnina z a pre akékoľvek nezáporné a“? Odpoveď je áno. Túto skutočnosť možno zdôvodniť konštruktívnou metódou použitou na zistenie hodnoty druhej odmocniny.

Potom vyvstáva ďalšia logická otázka: „Aký je počet všetkých druhých odmocnín daného nezáporného čísla a - jeden, dva, tri alebo dokonca viac“? Tu je odpoveď: ak a je nula, potom jediná druhá odmocnina nuly je nula; ak a je nejaké kladné číslo, potom počet druhých odmocnín čísla a je dva a odmocniny sú . Zdôvodnime to.

Začnime prípadom a=0 . Najprv ukážme, že nula je skutočne druhá odmocnina nuly. Vyplýva to zo zjavnej rovnosti 0 2 =0·0=0 a definície druhej odmocniny.

Teraz dokážme, že 0 je jediná odmocnina z nuly. Použime opačnú metódu. Predpokladajme, že existuje nejaké nenulové číslo b, ktoré je druhou odmocninou nuly. Potom musí byť splnená podmienka b 2 =0, čo je nemožné, keďže pre každé nenulové b je hodnota výrazu b 2 kladná. Dospeli sme k rozporu. To dokazuje, že 0 je jediná odmocnina z nuly.

Prejdime k prípadom, kde a je kladné číslo. Vyššie sme povedali, že z každého nezáporného čísla vždy existuje druhá odmocnina, nech odmocnina z a je číslo b. Povedzme, že existuje číslo c, ktoré je zároveň druhou odmocninou z a. Potom podľa definície druhej odmocniny platia rovnosti b 2 =a a c 2 =a, z čoho vyplýva, že b 2 −c 2 =a−a=0, ale keďže b 2 −c 2 =( b-c)·(b+c), potom (b-c)·(b+c)=0. Výsledná rovnosť platí vlastnosti operácií s reálnymi číslami možné len vtedy, keď b−c=0 alebo b+c=0 . Čísla b a c sú teda rovnaké alebo opačné.

Ak predpokladáme, že existuje číslo d, ktoré je ďalšou druhou odmocninou čísla a, potom podobným uvažovaním ako už bolo uvedené sa dokáže, že d sa rovná číslu b alebo číslu c. Počet druhých odmocnín kladného čísla je teda dva a odmocniny sú opačné čísla.

Pre uľahčenie práce s odmocninou je záporná odmocnina „oddelená“ od kladnej. Na tento účel sa zavádza definícia aritmetickej druhej odmocniny.

Definícia

Aritmetická druhá odmocnina nezáporného čísla a je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná a.

Zápis pre aritmetickú druhú odmocninu a je . Znamienko sa nazýva aritmetická odmocnina. Nazýva sa aj radikálne znamenie. Preto niekedy môžete počuť aj „koreň“ aj „radikál“, čo znamená ten istý objekt.

Volá sa číslo pod aritmetickou odmocninou radikálne číslo a výraz pod koreňovým znakom je radikálny prejav, pričom výraz „radikálne číslo“ sa často nahrádza výrazom „radikálny výraz“. Napríklad v zápise je číslo 151 radikálne číslo a v zápise je výraz a radikálnym výrazom.

Pri čítaní sa slovo „aritmetika“ často vynecháva, napríklad záznam sa číta ako „druhá odmocnina zo siedmich bodov dvadsaťdeväť“. Slovo „aritmetika“ sa používa iba vtedy, keď chcú zdôrazniť, že hovoríme konkrétne o kladnej druhej odmocnine čísla.

Vo svetle zavedeného zápisu z definície aritmetickej odmocniny vyplýva, že pre akékoľvek nezáporné číslo a .

Druhé odmocniny kladného čísla a sa zapisujú pomocou aritmetickej odmocniny ako a . Napríklad odmocniny z 13 sú a . Aritmetická druhá odmocnina nuly je nula, teda . Pre záporné čísla a nebudeme pripisovať význam zápisu, kým nebudeme študovať komplexné čísla. Napríklad výrazy a sú bezvýznamné.

Na základe definície druhej odmocniny sa dokazujú vlastnosti odmocnín, ktoré sa často využívajú v praxi.

Na záver tohto bodu si všimneme, že druhé odmocniny čísla a sú riešenia tvaru x 2 =a vzhľadom na premennú x.

Kocka odmocniny čísla

Definícia odmocniny kockyčísla a je daná podobne ako pri definícii druhej odmocniny. Len to je založené na koncepte kocky čísla, nie štvorca.

Definícia

Kockový koreň a je číslo, ktorého kocka sa rovná a.

Dajme si príklady kubických koreňov. Ak to chcete urobiť, vezmite niekoľko čísel, napríklad 7, 0, −2/3, a rozdeľte ich na kocku: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Potom na základe definície odmocniny môžeme povedať, že číslo 7 je odmocnina z 343, 0 je odmocnina z nuly a −2/3 je odmocnina z −8/27.

Dá sa ukázať, že odmocnina čísla na rozdiel od druhej odmocniny vždy existuje, nielen pre nezáporné a, ale aj pre akékoľvek reálne číslo a. Ak to chcete urobiť, môžete použiť rovnakú metódu, ktorú sme spomenuli pri štúdiu odmocnín.

Okrem toho existuje iba jedna odmocnina z daného čísla a. Dokážme posledné tvrdenie. Ak to chcete urobiť, zvážte oddelene tri prípady: a je kladné číslo, a=0 a a je záporné číslo.

Je ľahké ukázať, že ak je a kladné, odmocnina z a nemôže byť ani záporné číslo, ani nula. Vskutku, nech b je odmocnina z a, potom podľa definície môžeme napísať rovnosť b 3 =a. Je jasné, že táto rovnosť nemôže platiť pre záporné b a pre b=0, pretože v týchto prípadoch bude b 3 =b·b·b záporné číslo alebo nula. Odmocnina z kladného čísla a je teda kladné číslo.

Teraz predpokladajme, že okrem čísla b existuje ešte jedna odmocnina čísla a, označme ho c. Potom c 3 = a. Preto b 3 −c 3 =a−a=0, ale b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(toto je skrátený vzorec násobenia rozdiel kociek), kde (b−c)·(b2+b·c+c2)=0. Výsledná rovnosť je možná len vtedy, keď b−c=0 alebo b 2 +b·c+c 2 =0. Z prvej rovnosti máme b=c a druhá rovnosť nemá riešenia, pretože jej ľavá strana je kladné číslo pre akékoľvek kladné čísla b a c ako súčet troch kladných členov b 2, b·c a c 2. To dokazuje jedinečnosť druhej odmocniny kladného čísla a.

Keď a=0, odmocninou čísla a je iba číslo nula. Ak totiž predpokladáme, že existuje číslo b, ktoré je nenulovou odmocninou z nuly, potom musí platiť rovnosť b 3 =0, čo je možné len vtedy, keď b=0.

Pre záporné a možno uviesť argumenty podobné prípadom kladného a. Najprv ukážeme, že odmocnina záporného čísla sa nemôže rovnať ani kladnému číslu, ani nule. Po druhé, predpokladáme, že existuje druhá odmocnina záporného čísla a ukážeme, že sa nevyhnutne zhoduje s prvou.

Takže vždy existuje odmocnina akéhokoľvek daného reálneho čísla a a jedno jedinečné.

Dajme si definícia aritmetickej odmocniny.

Definícia

Aritmetická odmocnina nezáporného čísla a je nezáporné číslo, ktorého kocka sa rovná a.

Aritmetická odmocnina nezáporného čísla a sa označuje ako , znamienko sa nazýva znamienko aritmetickej odmocniny, číslo 3 v tomto zápise sa nazýva koreňový index. Číslo pod koreňovým znakom je radikálne číslo, výraz pod koreňovým znakom je radikálny prejav.

Hoci aritmetická odmocnina je definovaná len pre nezáporné čísla a, je vhodné použiť aj zápisy, v ktorých sa záporné čísla nachádzajú pod znamienkom aritmetickej kocky. Budeme ich chápať takto: , kde a je kladné číslo. Napríklad, .

O vlastnostiach kubických koreňov si povieme vo všeobecnom článku vlastnosti koreňov.

Výpočet hodnoty odmocniny kocky sa nazýva extrahovanie odmocniny; táto akcia je popísaná v článku extrahovanie koreňov: metódy, príklady, riešenia.

Na záver tohto bodu povedzme, že odmocnina čísla a je riešením v tvare x 3 =a.

n-tý koreň, aritmetický koreň stupňa n

Zovšeobecnme pojem koreňa čísla - predstavíme definícia n-tého koreňa pre n.

Definícia

n-tý koreň a je číslo, ktorého n-tá mocnina sa rovná a.

Z tejto definície je zrejmé, že odmocninou prvého stupňa čísla a je samotné číslo a, keďže pri štúdiu stupňa s prirodzeným exponentom sme brali a 1 =a.

Vyššie sme sa pozreli na špeciálne prípady n-tej odmocniny pre n=2 a n=3 - druhá odmocnina a odmocnina. To znamená, že druhá odmocnina je odmocninou druhého stupňa a odmocnina je odmocninou tretieho stupňa. Na štúdium koreňov n-tého stupňa pre n=4, 5, 6, ... je vhodné ich rozdeliť do dvoch skupín: prvá skupina - korene párnych stupňov (t. j. pre n = 4, 6, 8 , ...), druhá skupina - odmocniny nepárnych stupňov (t. j. s n=5, 7, 9, ...). Je to spôsobené tým, že odmocniny párnych mocnín sú podobné odmocninám a odmocniny nepárnych mocnín sú podobné kubickým odmocninám. Poďme sa s nimi vysporiadať jeden po druhom.

Začnime odmocninami, ktorých mocniny sú párne čísla 4, 6, 8, ... Ako sme už povedali, sú podobné odmocnine čísla a. To znamená, že koreň akéhokoľvek párneho stupňa čísla a existuje len pre nezáporné a. Navyše, ak a=0, potom koreň a je jedinečný a rovný nule, a ak a>0, potom existujú dva korene párneho stupňa čísla a a sú to opačné čísla.

Zdôvodnime posledné tvrdenie. Nech b je párny koreň (označíme ho 2·m, kde m je nejaké prirodzené číslo) čísla a. Predpokladajme, že existuje číslo c - ďalšia odmocnina stupňa 2·m od čísla a. Potom b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Ale poznáme tvar b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2), potom (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Z tejto rovnosti vyplýva, že b−c=0, alebo b+c=0, alebo b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Prvé dve rovnosti znamenajú, že čísla b a c sú rovnaké alebo b a c sú opačné. A posledná rovnosť platí len pre b=c=0, keďže na jej ľavej strane je výraz, ktorý je nezáporný pre ľubovoľné b a c ako súčet nezáporných čísel.

Pokiaľ ide o korene n-tého stupňa pre nepárne n, sú podobné kubickému koreňu. To znamená, že koreň akéhokoľvek nepárneho stupňa čísla a existuje pre akékoľvek reálne číslo a a pre dané číslo a je jedinečný.

Jedinečnosť odmocniny nepárneho stupňa 2·m+1 čísla a sa dokazuje analogicky s dôkazom jednoznačnosti odmocniny z a. Len tu namiesto rovnosti a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) používa sa rovnosť tvaru b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m-1 ·c+b 2·m-2 ·c 2 +… +c 2·m). Výraz v poslednej zátvorke možno prepísať ako b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m-2 +c 2 m-2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Napríklad s m=2 máme b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Keď sú a aj b kladné alebo záporné, ich súčin je kladné číslo, potom výraz b 2 +c 2 +b·c v najvyšších vnorených zátvorkách je kladný ako súčet kladných čísel. Teraz, keď prejdeme postupne k výrazom v zátvorkách predchádzajúcich stupňov vnorenia, sme presvedčení, že sú tiež kladné ako súčet kladných čísel. Výsledkom je, že rovnosť b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m-1 ·c+b 2·m-2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 možné len vtedy, keď b−c=0, teda keď sa číslo b rovná číslu c.

Je čas pochopiť označenie n-tých koreňov. Na tento účel je daný definícia aritmetického koreňa n-tého stupňa.

Definícia

Aritmetický koreň n-tého stupňa nezáporného čísla a je nezáporné číslo, ktorého n-tá mocnina sa rovná a.

Aritmetický koreň n-tého stupňa nezáporného čísla a sa označí ako . Číslo a sa nazýva radikálne číslo a číslo n je koreňový exponent. Zoberme si napríklad záznam, tu je radikálne číslo 125,36 a koreňový exponent je 5.

Všimnite si, že keď n=2 máme do činenia s druhou odmocninou čísla, v tomto prípade je zvykom nezapisovať odmocninu, to znamená, že položky znamenajú rovnaké číslo.

Napriek tomu, že definícia aritmetického koreňa n-tého stupňa, ako aj jeho označenie, bola zavedená pre nezáporné radikálové čísla, z dôvodu prehľadnosti budeme pre nepárne exponenty odmocniny a záporné radikálové čísla používať zápisy formulára, ktorý budeme chápať ako . Napríklad, A .

Nebudeme pripisovať žiadny význam koreňom párnych stupňov so zápornými radikálmi (predtým, než začneme študovať komplexné čísla). Napríklad výrazy nedávajú zmysel.

Na základe vyššie uvedenej definície sú podložené vlastnosti n-tých koreňov, ktoré majú široké praktické využitie.

Na záver je vhodné povedať, že korene n-tého stupňa sú koreňmi rovníc tvaru x n =a.

Prakticky dôležité výsledky

Prvý prakticky dôležitý výsledok: .

Tento výsledok v podstate odráža definíciu párneho koreňa. Znak ⇔ znamená rovnocennosť. To znamená, že vyššie uvedený záznam treba chápať takto: ak , potom , a ak , potom . A teraz to isté, ale slovami: ak b je odmocnina párneho stupňa 2·k z čísla a, potom b je nezáporné číslo spĺňajúce rovnosť b 2·k =a a naopak, ak b je nezáporné číslo spĺňajúce rovnosť b 2·k =a, potom b je párny koreň 2·k z čísla a.

Z prvej rovnosti systému je zrejmé, že číslo a je nezáporné, pretože sa rovná nezápornému číslu b umocnenému na párnu mocninu 2·k.

V škole teda uvažujú o koreňoch párnych mocnín len od nezáporných čísel, chápu ich ako a korene párnych mocnín záporných čísel nemajú žiadny význam.

Druhý prakticky dôležitý výsledok: .

V podstate kombinuje definíciu aritmetickej odmocniny nepárnej mocniny a definíciu nepárnej odmocniny záporného čísla. Poďme si to vysvetliť.

Z definícií uvedených v predchádzajúcich odsekoch je zrejmé, že dávajú význam koreňom nepárnych mocnín akýchkoľvek reálnych čísel, nielen nezáporných, ale aj záporných. Pre nezáporné čísla b sa uvažuje, že . Posledný systém zahŕňa podmienku a≥0. Pre záporné čísla −a (kde a je kladné číslo) vezmite . Je jasné, že s touto definíciou je to záporné číslo, pretože sa rovná , a je kladné číslo. Je tiež jasné, že zvýšenie odmocniny na mocninu 2 k+1 dáva radikandu –a. Ak vezmeme do úvahy túto definíciu a vlastnosti právomocí, máme

Z toho usudzujeme, že koreň nepárneho stupňa 2 k+1 záporného čísla −a je záporné číslo b, ktorého stupeň 2 k+1 sa rovná −a, v doslovnom tvare . Kombinovanie výsledkov pre a≥0 a pre<0 , приходим к следующему выводу: корень нечетной степени 2·k+1 из произвольного действительного числа a есть число b (оно может быть как неотрицательным, так и отрицательным), которое при возведении в степень 2·k+1 равно a , то есть .

V škole teda uvažujú o koreňoch nepárnych mocnín akýchkoľvek reálnych čísel a chápu ich takto: .

Na záver si ešte raz napíšme dva výsledky, ktoré nás zaujímajú: A .

\(\sqrt(a)=b\), ak \(b^2=a\), kde \(a≥0,b≥0\)


Príklady:

\(\sqrt(49)=7\), pretože \(7^2=49\)
\(\sqrt(0,04)=0,2\), pretože \(0,2^2=0,04\)

Ako extrahovať druhú odmocninu čísla?

Ak chcete extrahovať druhú odmocninu čísla, musíte si položiť otázku: aké číslo na druhú poskytne výraz pod odmocninou?

Napríklad. Extrahujte koreň: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0,001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Aké číslo na druhú dá \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Aké číslo na druhú dá \(\frac(4)(9)\) ?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Aké číslo na druhú dá \(0,0001\)?

\(\sqrt(0,0001)=0,01\)

d) Aké číslo na druhú dá \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? Ak chcete odpovedať na otázku, musíte ju previesť na nesprávnu.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Komentujte: Hoci \(-50\), \(-\frac(2)(3)\), \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\), odpovedzte aj na otázky, ale neberú sa do úvahy, pretože druhá odmocnina je vždy kladná.

Hlavná vlastnosť koreňa

Ako viete, v matematike má každá akcia inverznú hodnotu. Sčítanie má odčítanie, násobenie má delenie. Inverzná kvadrátka je odmocnina. Preto sa tieto akcie navzájom kompenzujú:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Toto je hlavná vlastnosť koreňa, ktorý sa najčastejšie používa (vrátane OGE)

Príklad . (zadanie od OGE). Nájdite hodnotu výrazu \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

Riešenie :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Príklad . (zadanie od OGE). Nájdite hodnotu výrazu \((\sqrt(85)-1)^2\)

Riešenie:

odpoveď: \(86-2\sqrt(85)\)

Samozrejme, pri práci s odmocninami musíte použiť iné.

Príklad . (zadanie od OGE). Nájdite hodnotu výrazu \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Riešenie:

odpoveď: \(220\)

4 pravidlá, na ktoré ľudia vždy zabúdajú

Koreň nie je vždy extrahovaný


Príklad: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) atď. – extrahovanie odmocniny čísla nie je vždy možné a to je normálne!


Koreň čísla, tiež číslo

\(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) nie je potrebné nijako špeciálne ošetrovať. To sú čísla, ale nie celé čísla, áno, ale nie všetko v našom svete sa meria celými číslami.


Odmocnina sa preberá iba z nezáporných čísel

Preto v učebniciach neuvidíte takéto záznamy \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) atď.