V štatistike sa používajú rôzne typy priemerov, ktoré sú rozdelené do dvoch veľkých tried:

Mocninné priemery (harmonický priemer, geometrický priemer, aritmetický priemer, kvadratický priemer, kubický priemer);

Štrukturálne prostriedky (modus, medián).

Kalkulovať výkonové priemery je potrebné použiť všetky dostupné charakteristické hodnoty. Móda A medián sú určené len štruktúrou rozdelenia, preto sa nazývajú štrukturálne, polohové priemery. Medián a modus sa často používajú ako priemerná charakteristika v tých populáciách, kde je výpočet stredného výkonu nemožný alebo nepraktický.

Najbežnejším typom priemeru je aritmetický priemer. Pod aritmetický priemer sa chápe ako hodnota charakteristiky, ktorú by mala každá jednotka populácie, ak by celkový súčet všetkých hodnôt charakteristiky bol rozdelený rovnomerne medzi všetky jednotky populácie. Výpočet tejto hodnoty spočíva v súčte všetkých hodnôt meniacej sa charakteristiky a vydelení výsledného množstva Celkom jednotiek obyvateľstva. Napríklad päť pracovníkov splnilo zákazku na výrobu dielov, pričom prvý vyrobil 5 dielov, druhý – 7, tretí – 4, štvrtý – 10, piaty – 12. Keďže v zdrojových údajoch bola hodnota každého možnosť sa vyskytla iba raz, určiť

Na určenie priemerného výkonu jedného pracovníka by sa mal použiť jednoduchý aritmetický priemerný vzorec:

t.j. v našom príklade sa priemerný výkon jedného pracovníka rovná

Spolu s jednoduchým aritmetickým priemerom študujú vážený aritmetický priemer. Napríklad počítajme priemerný vekštudentov v skupine 20 ľudí, ktorých vek sa pohybuje od 18 do 22 rokov, kde xi– varianty charakteristiky, ktorá sa spriemeruje, fi– frekvencia, ktorá ukazuje, koľkokrát sa vyskytuje i-tý hodnotu v súhrne (tabuľka 5.1).

Tabuľka 5.1

Priemerný vek študentov

Použitím vzorca váženého aritmetického priemeru dostaneme:


Ak chcete vybrať vážený aritmetický priemer, existuje isté pravidlo: ak existuje séria údajov o dvoch ukazovateľoch, z ktorých pre jeden je potrebné vypočítať

priemerná hodnota a zároveň sú známe číselné hodnoty menovateľa jeho logického vzorca a hodnoty čitateľa sú neznáme, ale možno ich nájsť ako súčin týchto ukazovateľov, potom by mala byť priemerná hodnota sa vypočíta pomocou vzorca aritmetického váženého priemeru.

V niektorých prípadoch je povaha počiatočných štatistických údajov taká, že výpočet aritmetického priemeru stráca zmysel a jediným zovšeobecňujúcim ukazovateľom môže byť iba iný typ priemernej hodnoty - harmonický priemer. V súčasnosti výpočtové vlastnosti aritmetického priemeru stratili svoj význam pri výpočte všeobecných štatistických ukazovateľov v dôsledku rozsiahleho zavádzania elektronickej výpočtovej techniky. Harmonická stredná hodnota, ktorá môže byť aj jednoduchá a vážená, nadobudla veľký praktický význam. Ak sú známe číselné hodnoty čitateľa logického vzorca a hodnoty menovateľa sú neznáme, ale možno ich nájsť ako čiastočné rozdelenie jedného ukazovateľa druhým, potom sa priemerná hodnota vypočíta pomocou harmonickej vzorec váženého priemeru.

Napríklad, nech je známe, že prvých 210 km auto prešlo rýchlosťou 70 km/h a zvyšných 150 km rýchlosťou 75 km/h. Definujte priemerná rýchlosť auto na celú cestu 360 km, použitie vzorca aritmetického priemeru je nemožné. Keďže možnosti sú rýchlosti v jednotlivých úsekoch xj= 70 km/h a X2= 75 km/h a závažia (fi) sa považujú za zodpovedajúce úseky trasy, potom súčin možností a závaží nebude mať ani fyzické, ani ekonomický zmysel. V tomto prípade kvocienty nadobúdajú význam rozdelením úsekov cesty na zodpovedajúce rýchlosti (možnosti xi), t. j. čas strávený prejdením jednotlivých úsekov cesty (fi / xi). Ak sú segmenty cesty označené fi, potom bude celá cesta vyjadrená ako?fi a čas strávený na celej ceste bude vyjadrený ako?fi. fi / xi , Potom priemernú rýchlosť možno nájsť ako podiel celej trasy vydelený celkovým časom stráveným:

V našom príklade dostaneme:

Ak sú pri použití harmonického priemeru váhy všetkých možností (f) rovnaké, potom namiesto váženého môžete použiť jednoduchý (nevážený) harmonický priemer:

kde xi sú jednotlivé možnosti; n– počet variantov spriemerovanej charakteristiky. V príklade s rýchlosťou by sa mohol použiť jednoduchý harmonický priemer, ak by boli segmenty dráhy pokryté pri rôznych rýchlostiach.

Akákoľvek priemerná hodnota sa musí vypočítať tak, aby sa pri nahradení každého variantu spriemerovanej charakteristiky nezmenila hodnota nejakého konečného všeobecného ukazovateľa, ktorý je spojený so spriemerovaným ukazovateľom. Pri nahradení skutočných rýchlostí na jednotlivých úsekoch trasy ich priemernou hodnotou (priemernou rýchlosťou) by sa teda celková vzdialenosť meniť nemala.

Forma (vzorec) priemernej hodnoty je určená povahou (mechanizmom) vzťahu tohto výsledného ukazovateľa k spriemerovanému, preto je konečný ukazovateľ, ktorého hodnota by sa pri nahradení opcií ich priemernou hodnotou nemala meniť. volal definujúci ukazovateľ. Ak chcete odvodiť vzorec pre priemer, musíte vytvoriť a vyriešiť rovnicu pomocou vzťahu medzi spriemerovaným ukazovateľom a určujúcim. Táto rovnica je vytvorená nahradením variantov spriemerovanej charakteristiky (ukazovateľa) ich priemernou hodnotou.

Okrem aritmetického a harmonického priemeru sa v štatistike používajú aj iné typy (formy) priemeru. Všetko sú to špeciálne prípady priemer výkonu. Ak vypočítame všetky typy priemerov výkonu pre rovnaké údaje, potom hodnoty

dopadnú rovnako, tu platí pravidlo hlavná sadzba priemer. So zvyšujúcim sa exponentom priemeru sa zvyšuje aj samotná priemerná hodnota. Najčastejšie používané výpočtové vzorce v praktickom výskume rôzne druhy priemerné hodnoty výkonu sú uvedené v tabuľke. 5.2.

Tabuľka 5.2

Druhy energetických prostriedkov


Ak existuje, použije sa geometrický priemer n rastové koeficienty, pričom jednotlivé hodnoty charakteristiky sú spravidla hodnoty relatívnej dynamiky, konštruované vo forme reťazových hodnôt, ako pomer k predchádzajúcej úrovni každej úrovne v rade dynamiky. Priemer teda charakterizuje priemernú mieru rastu. Priemerná geometrická jednoduchá vypočítané podľa vzorca

Vzorec vážený geometrický priemer má nasledujúci tvar:

Vyššie uvedené vzorce sú identické, ale jeden sa používa pre súčasné koeficienty alebo miery rastu a druhý sa používa pre absolútne hodnoty úrovní série.

Hlavné námestie používa sa pri výpočte s množstvami kvadratické funkcie, sa používa na meranie miery fluktuácie jednotlivých hodnôt charakteristiky okolo aritmetického priemeru v distribučnom rade a vypočíta sa podľa vzorca

Vážený stredný štvorec vypočítané pomocou iného vzorca:

Priemerný kubický používa sa pri výpočte s množstvami kubické funkcie a vypočíta sa podľa vzorca

priemerná kubická váha:

Všetky vyššie uvedené priemerné hodnoty môžu byť prezentované vo formulári všeobecný vzorec:

kde je priemerná hodnota; – individuálny význam; n– počet skúmaných jednotiek populácie; k– exponent, ktorý určuje typ priemeru.

Pri použití rovnakých zdrojových údajov tým viac k vo všeobecnom vzorci priemerného výkonu, čím väčšia je priemerná hodnota. Z toho vyplýva, že medzi hodnotami priemerov výkonu existuje prirodzený vzťah:

Vyššie popísané priemerné hodnoty poskytujú všeobecnú predstavu o skúmanej populácii a z tohto hľadiska je ich teoretický, aplikačný a vzdelávací význam nesporný. Ale stáva sa, že priemerná hodnota sa nezhoduje so žiadnou skutočnou existujúce možnosti, preto je okrem uvažovaných priemerov vhodné pri štatistickej analýze použiť aj hodnoty konkrétnych možností, ktoré zaberajú dobre definovanú pozíciu v zoradenom (zoradenom) rade hodnôt atribútov. Z týchto množstiev sa najčastejšie používajú štrukturálne, alebo popisný, priemerný– režim (Mo) a medián (Me).

Móda– hodnota vlastnosti, ktorá sa najčastejšie vyskytuje v danej populácii. Vo vzťahu k variačnému radu je mód najčastejšie sa vyskytujúcou hodnotou zoradeného radu, teda možnosťou s najvyššou frekvenciou. Móda môže byť použitá pri určovaní obchodov, ktoré sú navštevované častejšie, najbežnejšej ceny akéhokoľvek produktu. Ukazuje veľkosť znaku charakteristického pre významnú časť populácie a je určená vzorcom

kde x0 – spodná čiara interval; h- veľkosť intervalu; fm– intervalová frekvencia; fm_ 1 – frekvencia predchádzajúceho intervalu; fm+ 1 – frekvencia nasledujúceho intervalu.

Medián volá sa možnosť umiestnená v strede hodnoteného riadku. Medián rozdeľuje sériu na dve rovnaké časti takým spôsobom, že na oboch jej stranách je rovnaký počet populačných jednotiek. V tomto prípade má jedna polovica jednotiek v populácii hodnotu meniacej sa charakteristiky, ktorá je menšia ako medián, zatiaľ čo druhá polovica má hodnotu väčšiu ako je medián. Medián sa používa pri štúdiu prvku, ktorého hodnota je väčšia alebo rovná, alebo súčasne menšia alebo rovná polovici prvkov distribučného radu. Medián poskytuje všeobecnú predstavu o tom, kde sú sústredené hodnoty atribútov, inými slovami, kde je ich stred.

Opisná povaha mediánu sa prejavuje v tom, že charakterizuje kvantitatívnu hranicu hodnôt rôznej charakteristiky, ktorú má polovica jednotiek v populácii. Problém nájdenia mediánu pre sériu diskrétnych variácií je ľahko vyriešený. Ak majú všetky jednotky série poradové čísla, potom sa poradové číslo možnosti medián určí ako (n + 1) / 2 s nepárnym počtom členov n. Ak je počet členov série párne číslo , potom bude medián priemernou hodnotou dvoch možností, ktoré majú sériové čísla n/ 2 a n/ 2 + 1.

Pri určovaní mediánu v intervalových variačných sériách najskôr určte interval, v ktorom sa nachádza (mediánový interval). Tento interval je charakteristický tým, že jeho akumulovaný súčet frekvencií sa rovná alebo presahuje polovicu súčtu všetkých frekvencií radu. Medián série intervalových variácií sa vypočíta pomocou vzorca

Kde X0– spodná hranica intervalu; h- veľkosť intervalu; fm– intervalová frekvencia; f– počet členov série;

M -1 – súčet akumulovaných členov radu, ktorý predchádza danému.

Spolu s mediánom pre viac plné charakteristikyštruktúry skúmanej populácie využívajú aj iné hodnoty možností, ktoré zaujímajú veľmi špecifickú pozíciu v hodnotenej sérii. Tie obsahujú kvartily A decilov. Kvartily rozdeľujú sériu podľa súčtu frekvencií na 4 rovnaké časti a decily - na 10 rovnakých častí. Existujú tri kvartily a deväť decilov.

Medián a modus na rozdiel od aritmetického priemeru nerušia individuálne rozdiely v hodnotách meniacej sa charakteristiky, a preto sú dodatočné a veľmi dôležité vlastnosti štatistickej populácie. V praxi sa často používajú namiesto priemeru alebo spolu s ním. Zvlášť vhodné je vypočítať medián a modus v prípadoch, keď skúmaná populácia obsahuje určitý počet jednotiek s veľmi veľkou alebo veľmi malou hodnotou premennej charakteristiky. Tieto hodnoty možností, ktoré nie sú príliš charakteristické pre populáciu, pričom ovplyvňujú hodnotu aritmetického priemeru, neovplyvňujú hodnoty mediánu a režimu, čo z nich robí veľmi cenné ukazovatele pre ekonomické a štatistické analýza.

Priemerné hodnoty sú široko používané v štatistike. Priemerné hodnoty charakterizujú kvalitatívne ukazovatele obchodnej činnosti: distribučné náklady, zisk, ziskovosť atď.

Priemerná - Toto je jedna z bežných techník zovšeobecňovania. Správne pochopenie podstaty priemeru určuje jeho osobitný význam v podmienkach trhové hospodárstvo, kedy priemer cez jednotlivé a náhodné nám umožňuje identifikovať všeobecné a potrebné, identifikovať trend vzorcov ekonomického vývoja.

priemerná hodnota - sú to všeobecné ukazovatele, v ktorých sú vyjadrené akcie všeobecné podmienky, vzory skúmaného javu.

Štatistické priemery sú vypočítané na základe hmotnostných údajov zo správne štatisticky organizovaného hromadného pozorovania (kontinuálneho a selektívneho). Štatistický priemer však bude objektívny a typický, ak sa vypočíta z hromadných údajov pre kvalitatívne homogénnu populáciu (masové javy). Ak napríklad vypočítate priemernú mzdu v družstvách a štátnych podnikoch a výsledok rozšírite na celú populáciu, potom je priemer fiktívny, keďže sa počíta pre heterogénnu populáciu a takýto priemer stráca zmysel.

Pomocou priemeru sa vyrovnávajú rozdiely v hodnote charakteristiky, ktoré vznikajú z toho či onoho dôvodu v jednotlivých jednotkách pozorovania.

Napríklad priemerná produktivita predajcu závisí od mnohých dôvodov: kvalifikácia, dĺžka služby, vek, forma služby, zdravotný stav atď.

Priemerná produkcia odráža všeobecný majetok celej populácie.

Priemerná hodnota je odrazom hodnôt študovanej charakteristiky, preto sa meria v rovnakej dimenzii ako táto charakteristika.

Každá priemerná hodnota charakterizuje skúmanú populáciu podľa ktorejkoľvek charakteristiky. Na získanie úplného a komplexného pochopenia skúmanej populácie podľa množstva základných charakteristík je vo všeobecnosti potrebné mať systém priemerných hodnôt, ktorý dokáže opísať jav z rôznych uhlov pohľadu.

Existujú rôzne priemery:

    aritmetický priemer;

    geometrický priemer;

    harmonický priemer;

    hlavné námestie;

    priemerne chronologicky.

Pozrime sa na niektoré typy priemerov, ktoré sa najčastejšie používajú v štatistike.

Aritmetický priemer

Jednoduchý aritmetický priemer (nevážený) sa rovná súčtu jednotlivých hodnôt atribútu vydelenému počtom týchto hodnôt.

Jednotlivé hodnoty charakteristiky sa nazývajú varianty a označujú sa x(); počet jednotiek obyvateľstva sa označí n, priemerná hodnota charakteristiky sa označí . Preto sa aritmetický jednoduchý priemer rovná:

Podľa údajov z diskrétnych distribučných radov je zrejmé, že rovnaké charakteristické hodnoty (varianty) sa opakujú niekoľkokrát. Možnosť x sa teda vyskytuje celkovo 2-krát a možnosť x 16-krát atď.

číslo identické hodnoty charakteristika v distribučných radoch sa nazýva frekvencia alebo hmotnosť a označuje sa symbolom n.

Vypočítajme si priemernú mzdu jedného pracovníka v rube.:

Fond mzdy pre každú skupinu pracovníkov sa rovná súčinu možností a frekvencie a súčet týchto súčinov dáva celkový mzdový fond pre všetkých pracovníkov.

V súlade s tým môžu byť výpočty prezentované vo všeobecnej forme:

Výsledný vzorec sa nazýva vážený aritmetický priemer.

Výsledkom spracovania je, že štatistický materiál môže byť prezentovaný nielen vo forme diskrétnych distribučných radov, ale aj vo forme intervalových variačných radov s uzavretými alebo otvorenými intervalmi.

Priemer pre zoskupené údaje sa vypočíta pomocou vzorca váženého aritmetického priemeru:

V praxi ekonomických štatistík je niekedy potrebné vypočítať priemer pomocou skupinových priemerov alebo priemerov jednotlivých častí obyvateľstva (čiastkové priemery). V takýchto prípadoch sa ako opcie (x) berú skupinové alebo súkromné ​​priemery, na základe ktorých sa vypočíta celkový priemer ako bežný vážený aritmetický priemer.

Základné vlastnosti aritmetického priemeru .

Aritmetický priemer má niekoľko vlastností:

1. Hodnota aritmetického priemeru sa nezmení znižovaním alebo zvyšovaním frekvencie každej hodnoty charakteristiky x n-krát.

Ak sa všetky frekvencie vydelia alebo vynásobia ľubovoľným číslom, priemerná hodnota sa nezmení.

2. Spoločný násobiteľ jednotlivých hodnôt charakteristiky môže byť za znamienkom priemeru:

3. Priemer súčtu (rozdielu) dvoch alebo viacerých veličín sa rovná súčtu (rozdielu) ich priemerov:

4. Ak x = c, kde c je konštantná hodnota, potom
.

5. Súčet odchýlok hodnôt atribútu X od aritmetického priemeru x sa rovná nule:

Harmonický priemer.

Spolu s aritmetickým priemerom používa štatistika harmonický priemer, prevrátenú hodnotu aritmetického priemeru prevrátených hodnôt atribútu. Rovnako ako aritmetický priemer môže byť jednoduchý a vážený.

Charakteristiky variačných radov spolu s priemermi sú modus a medián.

Móda - ide o hodnotu charakteristiky (variantu), ktorá sa v skúmanej populácii najčastejšie opakuje. Pre diskrétne distribučné série bude módom hodnota variantu s najvyššou frekvenciou.

Pre intervalové distribučné série s rovnakými intervalmi je režim určený vzorcom:

Kde
- pôvodná hodnota interval obsahujúci režim;

- hodnota modálneho intervalu;

- frekvencia modálneho intervalu;

- frekvencia intervalu predchádzajúceho modálnemu;

- frekvencia intervalu nasledujúceho po modálnom.

Medián - ide o možnosť, ktorá sa nachádza v strede série variácií. Ak je distribučný rad diskrétny a má nepárny počet členov, potom medián bude možnosť nachádzajúca sa v strede usporiadaného radu (usporiadaný rad je usporiadanie jednotiek populácie vo vzostupnom alebo zostupnom poradí).

V štádiu štatistického spracovania najviac rôzne úlohyštúdie, pre ktoré je potrebné zvoliť vhodný priemer. V tomto prípade je potrebné riadiť sa nasledujúcim pravidlom: veličiny, ktoré predstavujú čitateľa a menovateľa priemeru, musia spolu logicky súvisieť.

  • priemery výkonu;
  • štrukturálne priemery.

Predstavme si nasledujúce konvencie:

množstvá, pre ktoré sa vypočítava priemer;

Priemer, kde stĺpec vyššie naznačuje, že sa uskutočňuje priemerovanie jednotlivých hodnôt;

Frekvencia (opakovateľnosť jednotlivých charakteristických hodnôt).

Zo všeobecného vzorca priemerného výkonu sú odvodené rôzne priemery:

keď k = 1 - aritmetický priemer; k = -1 - harmonický priemer; k = 0 - geometrický priemer; k = -2 - stredná odmocnina.

Priemerné hodnoty môžu byť jednoduché alebo vážené.

Vážené priemery Toto sú hodnoty, ktoré berú do úvahy, že niektoré varianty hodnôt atribútov môžu mať rôzne čísla, a preto je potrebné každú možnosť vynásobiť týmto číslom. Inými slovami, „stupnice“ sú počty agregovaných jednotiek v rôzne skupiny, t.j. Každá možnosť je „vážená“ svojou frekvenciou. Frekvencia f sa nazýva štatistická váha resp Priemerná hmotnosť.

Je známe, že transakcie sa uskutočnili do 5 dní (5 transakcií), počet akcií predaných za predajný kurz bol rozdelený takto:

1 - 800 ak. - 1010 rubľov.

2 - 650 ak. - 990 rubľov.

3 - 700 ak. - 1015 rubľov.

4 - 550 ak. - 900 rubľov.

5 - 850 ak. - 1150 rubľov.

Počiatočný pomer na určenie priemernej ceny akcií je pomer celkového množstva transakcií (TVA) k počtu predaných akcií (KPA):

OSS = 1 010 800 + 990 650 + 1 015 700 + 900 550 + 1 150 850 = 3 634 500;

KPA = 800 + 650 + 700 + 550 + 850 = 3 550.

V tomto prípade sa priemerná cena akcií rovnala:

Je potrebné poznať vlastnosti aritmetického priemeru, čo je veľmi dôležité tak pre jeho použitie, ako aj pre jeho výpočet. Môžeme rozlíšiť tri hlavné vlastnosti, ktoré najviac určovali rozšírené používanie aritmetického priemeru v štatistických a ekonomických výpočtoch.

Nehnuteľnosť jedna (nula): súčet kladných odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky od jej priemernej hodnoty sa rovná súčtu záporných odchýlok. Toto je veľmi dôležitá vlastnosť, pretože ukazuje, že akékoľvek odchýlky (aj + aj -) spôsobené náhodnými príčinami budú vzájomne anulované.

Dôkaz:

Nehnuteľnosť dva (minimálne): súčet štvorcových odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky od aritmetického priemeru je menší ako od akéhokoľvek iného čísla (a), t.j. existuje minimálny počet.

Dôkaz.

Zostavme súčet štvorcových odchýlok od premennej a:

Na nájdenie extrému tejto funkcie je potrebné prirovnať jej deriváciu vzhľadom na a k nule:

Odtiaľto dostaneme:

V dôsledku toho sa extrém súčtu kvadrátov odchýlok dosiahne pri . Tento extrém je minimum, pretože funkcia nemôže mať maximum.

Nehnuteľnosť tri: aritmetický priemer konštantnej hodnoty sa rovná tejto konštante: pre a = konšt.

Okrem týchto troch najdôležitejších vlastností aritmetického priemeru existujú tzv dizajnové vlastnosti, ktoré používaním elektronickej výpočtovej techniky postupne strácajú svoj význam:

  • ak sa individuálna hodnota atribútu každej jednotky vynásobí alebo vydelí konštantným číslom, potom sa aritmetický priemer zvýši alebo zníži o rovnakú hodnotu;
  • aritmetický priemer sa nezmení, ak sa váha (frekvencia) každej hodnoty atribútu vydelí konštantným číslom;
  • ak sa jednotlivé hodnoty atribútu každej jednotky znížia alebo zvýšia o rovnakú hodnotu, aritmetický priemer sa zníži alebo zvýši o rovnakú hodnotu.

Harmonický priemer. Tento priemer sa nazýva inverzný aritmetický priemer, pretože táto hodnota sa používa, keď k = -1.

Jednoduchý harmonický priemer sa používa, keď sú váhy hodnôt atribútov rovnaké. Jeho vzorec možno odvodiť zo základného vzorca dosadením k = -1:

Potrebujeme napríklad vypočítať priemernú rýchlosť dvoch áut, ktoré prešli tú istú cestu, ale rôznymi rýchlosťami: prvé pri rýchlosti 100 km/h, druhé pri rýchlosti 90 km/h.

Pomocou metódy harmonického priemeru vypočítame priemernú rýchlosť:

V štatistickej praxi sa častejšie používa harmonická váha, ktorej vzorec má tvar:

Tento vzorec sa používa v prípadoch, keď váhy (alebo objemy javov) pre každý atribút nie sú rovnaké. V počiatočnom vzťahu na výpočet priemeru je čitateľ známy, no menovateľ nie je známy.

Napríklad pri výpočte priemernej ceny musíme použiť pomer predajnej sumy k počtu predaných kusov. Nepoznáme počet predaných kusov ( hovoríme o o rôznych tovaroch), ale predajné sumy týchto rôznych tovarov sú známe.

Povedzme, že potrebujete zistiť priemernú cenu predaného tovaru:

Dostaneme

Ak tu použijete aritmetický priemerný vzorec, môžete získať priemernú cenu, ktorá bude nereálna:

Geometrický priemer. Geometrický priemer najčastejšie nachádza uplatnenie pri určovaní priemerných rýchlostí rastu (priemerných rastových koeficientov), ​​keď sú jednotlivé hodnoty charakteristiky prezentované vo forme relatívnych hodnôt. Používa sa tiež, ak je potrebné nájsť priemer medzi minimálnymi a maximálnymi hodnotami charakteristiky (napríklad medzi 100 a 1000000). Existujú vzorce pre jednoduchý a vážený geometrický priemer.

Pre jednoduchý geometrický priemer:

Pre vážený geometrický priemer:

Odmocnina so štvorcovou hodnotou. Hlavnou oblasťou jeho použitia je meranie variácie charakteristiky v agregáte (výpočet smerodajnej odchýlky).

Jednoduchý stredný štvorcový vzorec:

Vzorec váženého stredného štvorca:

V dôsledku toho môžeme povedať, že od správna voľba Typ priemernej hodnoty v každom konkrétnom prípade závisí od úspešného riešenia problémov štatistického výskumu.

Výber priemeru zahŕňa nasledujúcu postupnosť:

a) stanovenie všeobecného ukazovateľa populácie;

b) určenie matematického vzťahu veličín pre daný všeobecný ukazovateľ;

c) nahradenie jednotlivých hodnôt priemernými hodnotami;

d) výpočet priemeru pomocou príslušnej rovnice.

Príklad. Podľa tabuľky. 2.1 vyžaduje výpočet priemernej mzdy za tri podniky ako celok.

Tabuľka 2.1

Mzdy podnikov JSC

Spoločnosť

Počet priemyselných výrobypersonál (PPP), os.

Mesačný fond mzdy, rub.

Priemerná mzda, trieť.

564840

2092

332750

2750

517540

2260

Celkom

1415130

Konkrétny vzorec výpočtu závisí od toho, aké údaje sú v tabuľke. 7 sú pôvodné. V súlade s tým sú možné tieto možnosti: údaje zo stĺpca 1 (počet zamestnancov) a 2 (mesačné mzdy); alebo - 1 (počet PPP) a 3 (priemerný plat); alebo 2 (mesačná mzda) a 3 (priemerná mzda). Ak sú k dispozícii iba údaje zo stĺpcov 1 a 2. Výsledky týchto stĺpcov obsahujú potrebné hodnoty na výpočet požadovaného priemeru. Používa sa priemerný agregovaný vzorec: Ak sú dostupné iba údaje zo stĺpcov 1 a 3, potom je známy menovateľ pôvodného pomeru, ale nie je známy jeho čitateľ. Mzdový fond však možno získať vynásobením priemernej mzdy počtom pedagogických zamestnancov. Preto je možné celkový priemer vypočítať pomocou vzorca vážený aritmetický priemer: Upozorňujeme, že hmotnosť ( f i) v niektorých prípadoch môže byť súčinom dvoch alebo dokonca troch hodnôt. Okrem toho sa priemer používa aj v štatistickej praxi. aritmetický nevážený: . kde n je objem populácie. Tento priemer sa používa, keď váhy ( f i) chýbajú (každý variant charakteristiky sa vyskytuje len raz) alebo sú si navzájom rovné. Ak existujú iba údaje zo stĺpcov 2 a 3., teda čitateľ pôvodného pomeru je známy, no jeho menovateľ nie je známy. Počet zamestnancov každého podniku možno získať vydelením mzdy priemernou mzdou. Potom sa pomocou vzorca vypočíta priemerná mzda za tri podniky ako celok vážený harmonický priemer: Ak sú hmotnosti rovnaké ( f i) výpočet priemeru možno vykonať podľa harmonický priemer nevážený:. V našom príklade sme použili rôzne tvary priemer, ale dostal rovnakú odpoveď. Je to spôsobené tým, že pre konkrétne údaje bol vždy implementovaný rovnaký počiatočný pomer priemeru. Priemerné ukazovatele možno vypočítať pomocou diskrétnych a intervalových variačných sérií. V tomto prípade sa výpočet vykonáva pomocou váženého aritmetického priemeru. Pre samostatnú sériu tento vzorec použiť rovnakým spôsobom ako vo vyššie uvedenom príklade. V intervalových radoch sa na výpočet určujú stredy intervalov. Príklad. Podľa tabuľky. 2.2 určíme výšku priemerného peňažného príjmu na obyvateľa za mesiac v podmienenom regióne. Tabuľka 2.2 Počiatočné údaje (série variácií)
Priemerný peňažný príjem na obyvateľa za mesiac, x, rub. Populácia, % z celkového počtu/
Až 400 30,2
400 - 600 24,4
600 - 800 16,7
800 - 1000 10,5
1000-1200 6,5
1200 - 1600 6,7
1600 - 2000 2,7
2000 a vyššie 2,3
Celkom 100
Priemerný peňažný príjem na obyvateľa je 688,5 rubľov. Harmonický priemer sa vypočíta v prípadoch, keď: · aritmetický priemer nemožno vypočítať na základe dostupných údajov; · výpočet harmonických priemerov je pohodlnejší, kde X varianty spriemerovanej charakteristiky. Príklad. Produktivitu práce pracovnej sily je potrebné vypočítať, ak prvý pracovník potrebuje na výrobu jednotky produkcie 0,25 hodiny, druhý 1/3 hodiny a tretí 1/2 hodiny. Dostaneme:

Každý človek v modernom svete Pri plánovaní pôžičky alebo zásobovania sa zeleninou na zimu sa pravidelne stretávate s pojmom „priemerná hodnota“. Poďme zistiť: čo to je, aké typy a triedy existujú a prečo sa používa v štatistike a iných disciplínach.

Priemerná hodnota - čo to je?

Podobný názov (SV) je zovšeobecnená charakteristika súboru homogénnych javov, určená jednou kvantitatívnou premennou charakteristikou.

Avšak ľudia, ktorí majú ďaleko od takýchto nejasných definícií, chápu tento pojem ako priemerné množstvo niečoho. Napríklad pracovník banky pred čerpaním úveru určite požiada potenciálneho klienta o poskytnutie údajov o priemernom príjme za rok, teda o celkovej sume, ktorú človek zarobí. Vypočíta sa tak, že sa spočítajú zárobky za celý rok a vydelia sa počtom mesiacov. Banka tak bude vedieť určiť, či jej klient bude schopný splatiť dlh načas.

Prečo sa používa?

Priemerné hodnoty sa spravidla široko používajú na poskytnutie súhrnného opisu určitých spoločenských javov masovej povahy. Môžu sa použiť aj na výpočty menšieho rozsahu, ako v prípade pôžičky v príklade vyššie.

Najčastejšie sa však priemerné hodnoty stále používajú na globálne účely. Príkladom jednej z nich je výpočet množstva elektriny spotrebovanej občanmi počas jednej kalendárny mesiac. Na základe získaných údajov sú následne stanovené maximálne štandardy pre kategórie obyvateľstva požívajúce dávky od štátu.

Taktiež pomocou priemerných hodnôt sa vyvíja záručná životnosť niektorých domácich spotrebičov, áut, budov a pod.. Na základe takto zozbieraných údajov boli kedysi vyvinuté moderné štandardy prácu a odpočinok.

Prakticky akýkoľvek fenomén moderný život, ktorý má masový charakter, je tak či onak nevyhnutne spojený s uvažovaným pojmom.

Oblasti použitia

Tento jav je široko používaný takmer vo všetkých exaktné vedy ach, najmä tie experimentálneho charakteru.

Hľadanie priemeru má veľkú hodnotu v medicíne, strojárstve, varení, ekonomike, politike atď.

Na základe údajov získaných z takýchto zovšeobecnení sa vyvíjajú terapeutické lieky, vzdelávacie programy, nastavte minimum životné minimum a platy, vytvárať vzdelávacie plány, vyrábať nábytok, odevy a obuv, hygienické výrobky a mnoho ďalšieho.

V matematike tento termín sa nazýva „priemerná hodnota“ a používa sa na rozhodovanie rôzne príklady a úlohy. Najjednoduchšie sú sčítanie a odčítanie s obyčajnými zlomkami. Koniec koncov, ako viete, na vyriešenie takýchto príkladov je potrebné priviesť oba zlomky k spoločnému menovateľovi.

Aj v kráľovnej exaktných vied sa často používa termín „priemerná hodnota“, ktorý má podobný význam náhodná premenná" Pre väčšinu je známejšia ako „matematické očakávanie“, ktoré sa častejšie považuje za teóriu pravdepodobnosti. Stojí za zmienku, že podobný jav platí aj pri vykonávaní štatistických výpočtov.

Priemerná hodnota v štatistike

Najčastejšie sa však skúmaný koncept používa v štatistike. Ako je známe, táto veda sa špecializuje na výpočet a analýzu kvantitatívnych charakteristík masových spoločenských javov. Preto sa priemerná hodnota v štatistike používa ako špecializovaná metóda na dosiahnutie jej hlavných cieľov - zberu a analýzy informácií.

Podstatou tejto štatistickej metódy je nahradiť jednotlivé jedinečné hodnoty posudzovanej charakteristiky určitou vyváženou priemernou hodnotou.

Príkladom je známy vtip o jedle. Takže v istej továrni v utorok na obed jeho šéfovia zvyčajne jedia mäsový kastról a obyčajní pracovníci - dusená kapusta. Na základe týchto údajov môžeme usúdiť, že v priemere personál závodu v utorok obeduje kapustnicu.

Hoci tento príklad mierne prehnané, ale ilustruje hlavný nedostatok metódy hľadania priemernej hodnoty – vyrovnávanie individuálnych charakteristík predmetov či osobností.

V priemerných hodnotách sa používajú nielen na analýzu zhromaždených informácií, ale aj na plánovanie a predpovedanie ďalších akcií.

Slúži aj na vyhodnotenie dosiahnutých výsledkov (napríklad plnenie plánu pestovania a zberu pšenice na sezónu jar-leto).

Ako správne vypočítať

Hoci v závislosti od typu SV existujú rôzne vzorce na jeho výpočet, vo všeobecnej teórii štatistiky sa spravidla používa iba jeden spôsob výpočtu priemernej hodnoty charakteristiky. Aby ste to dosiahli, musíte najprv sčítať hodnoty všetkých javov a potom rozdeliť výsledný súčet ich počtom.

Pri takýchto výpočtoch je potrebné pamätať na to, že priemerná hodnota má vždy rovnaký rozmer (alebo jednotky) ako jednotlivá jednotka populácie.

Podmienky pre správny výpočet

Vyššie diskutovaný vzorec je veľmi jednoduchý a univerzálny, takže je takmer nemožné urobiť s ním chybu. Vždy sa však oplatí zvážiť dva aspekty, inak získané údaje nebudú odrážať skutočný stav.


triedy SV

Po nájdení odpovedí na základné otázky: "Aká je priemerná hodnota?", "Kde sa používa?" a „Ako to môžete vypočítať?“, stojí za to zistiť, aké triedy a typy SV existujú.

V prvom rade je tento jav rozdelený do 2 tried. Ide o štrukturálne a výkonové priemery.

Typy výkonových SV

Každá z vyššie uvedených tried je zase rozdelená do typov. Sedačková trieda má štyri.

  • Aritmetický priemer je najbežnejším typom SV. Je to priemerný člen, ktorý určuje, ktorý celkový objem uvažovanej charakteristiky v súbore údajov je rovnomerne rozdelený medzi všetky jednotky tohto súboru.

    Tento typ sa delí na podtypy: jednoduchý a vážený aritmetický SV.

  • Harmonický priemer je ukazovateľ, ktorý je inverznou hodnotou jednoduchého aritmetického priemeru, vypočítaného z recipročných hodnôt posudzovanej charakteristiky.

    Používa sa v prípadoch, keď sú známe jednotlivé hodnoty atribútu a produktu, ale nie sú známe údaje o frekvencii.

  • Geometrický priemer sa najčastejšie používa pri analýze temp rastu ekonomických javov. Umožňuje zachovať nezmenený súčin jednotlivých hodnôt danej veličiny a nie súčet.

    Môže byť aj jednoduchý a vyvážený.

  • Stredná štvorcová hodnota sa používa pri výpočte jednotlivých ukazovateľov, ako je variačný koeficient, charakterizujúci rytmus výstupu produktu atď.

    Používa sa tiež na výpočet priemerných priemerov rúr, kolies, priemerných strán štvorca a podobných čísel.

    Rovnako ako všetky ostatné typy priemerov môže byť stredná odmocnina jednoduchá a vážená.

Typy štruktúrnych veličín

Okrem priemerných SV sa v štatistike často používajú štrukturálne typy. Sú vhodnejšie na výpočet relatívnych charakteristík hodnôt rôznych charakteristík a vnútorná štruktúra distribučné riadky.

Existujú dva takéto typy.