Derivát a jeho vlastnosti. Derivácia funkcie. Podrobná teória s príkladmi. Derivácia komplexnej funkcie

Pre pohodlie a prehľadnosť pri štúdiu témy uvádzame súhrnnú tabuľku.

Neustáley = C

Mocninná funkcia y = x p

(x p) " = p x p - 1

Exponenciálna funkciay = sekera

(a x) " = a x ln a

Najmä vtedy, keďa = emáme y = e x

(e x) " = e x

Logaritmická funkcia

(log a x) " = 1 x ln a

Najmä vtedy, keďa = emáme y = logx

(ln x) " = 1 x

Goniometrické funkcie

(sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 hriech 2 x

Inverzné goniometrické funkcie

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

Hyperbolické funkcie

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c h x) " = - 1 h 2 x

Poďme analyzovať, ako sa získali vzorce zadanej tabuľky, alebo inými slovami, dokážeme odvodenie derivačných vzorcov pre každý typ funkcie.

Derivácia konštanty

Dôkaz 1

Aby ste sa mohli stiahnuť tento vzorec, zoberme si za základ definíciu derivácie funkcie v bode. Používame x 0 = x, kde X má hodnotu akéhokoľvek reálneho čísla, alebo inými slovami, X je ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie f (x) = C. Zapíšme si limitu pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu ako ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Upozorňujeme, že výraz 0 ∆ x spadá pod medzné znamienko. Nie je to neistota „nula delená nulou“, keďže čitateľ neobsahuje nekonečne malú hodnotu, ale presne nulu. Inými slovami, prírastok konštantná funkcia vždy je tam nula.

Derivácia konštantnej funkcie f (x) = C sa teda rovná nule v celej oblasti definície.

Príklad 1

Konštantné funkcie sú dané:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Riešenie

Opíšme si dané podmienky. V prvej funkcii vidíme deriváciu prirodzeného čísla 3. V nasledujúcom príklade musíte vziať derivát z A, Kde A- akékoľvek skutočné číslo. Tretí príklad nám dáva deriváciu iracionálneho čísla 4. 13 7 22, štvrtý je deriváciou nuly (nula je celé číslo). Nakoniec v piatom prípade máme deriváciu racionálneho zlomku - 8 7.

odpoveď: derivácie daných funkcií sú nulové pre akúkoľvek real X(v celej oblasti definície)

f 1 " (x) = (3) " = 0, f 2 " (x) = (a) " = 0, a ∈ R, f 3 " (x) = 4. 13 7 22" = 0, f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivácia mocninovej funkcie

Prejdime k výkonová funkcia a vzorec jeho derivátu, ktorý má tvar: (x p) " = p x p - 1, kde exponent p je akékoľvek reálne číslo.

Dôkaz 2

Tu je dôkaz vzorca, keď je exponent prirodzené číslo: p = 1, 2, 3, …

Opäť sa opierame o definíciu derivátu. Zapíšme si hranicu pomeru prírastku mocninnej funkcie k prírastku argumentu:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Na zjednodušenie výrazu v čitateli používame Newtonov binomický vzorec:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Takto:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + .. + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + ... + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1

Dokázali sme teda vzorec pre deriváciu mocninnej funkcie, keď je exponent prirodzené číslo.

Dôkaz 3

Poskytnúť dôkazy pre prípad, keď p- akékoľvek iné reálne číslo ako nula, používame logaritmickú deriváciu (tu by sme mali pochopiť rozdiel od derivácie logaritmickej funkcie). Pre úplnejšie pochopenie sa odporúča študovať deriváciu logaritmickej funkcie a ďalej porozumieť derivácii implicitnej funkcie a derivácii komplexnej funkcie.

Uvažujme o dvoch prípadoch: kedy X pozitívne a kedy X negatívne.

Takže x > 0. Potom: x p > 0 . Logaritmujme rovnosť y = x p so základom e a aplikujme vlastnosť logaritmu:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

V tejto fáze sme získali implicitne špecifikovanú funkciu. Definujme jeho derivát:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Teraz zvážime prípad, kedy X - záporné číslo.

Ak indikátor p je párne číslo, potom je funkcia mocniny definovaná pre x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Potom x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Ak p je nepárne číslo, potom je funkcia mocniny definovaná pre x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Posledný prechod je možný vďaka tomu, že ak p je teda nepárne číslo p - 1 buď párne číslo alebo nula (pre p = 1), teda pre zápor X platí rovnosť (- x) p - 1 = x p - 1.

Takže sme dokázali vzorec pre deriváciu mocninovej funkcie pre akékoľvek skutočné p.

Príklad 2

Poskytnuté funkcie:

f 1 (x) = 1 x 2 3, f 2 (x) = x 2 - 1 4, f 3 (x) = 1 x log 7 12

Určite ich deriváty.

Riešenie

Niektoré z daných funkcií transformujeme do tabuľkového tvaru y = x p na základe vlastností stupňa a potom použijeme vzorec:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivácia exponenciálnej funkcie

Dôkaz 4

Odvodme odvodený vzorec pomocou definície ako základu:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Dostali sme neistotu. Aby sme to rozšírili, napíšme novú premennú z = a ∆ x - 1 (z → 0 ako ∆ x → 0). V tomto prípade a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Pri poslednom prechode bol použitý vzorec pre prechod na nový logaritmický základ.

Do pôvodného limitu dosadíme:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Pripomeňme si to druhé úžasná hranica a potom dostaneme derivačný vzorec exponenciálna funkcia:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Príklad 3

Exponenciálne funkcie sú dané:

f 1 (x) = 2 3 x, f 2 (x) = 5 3 x, f 3 (x) = 1 (e) x

Je potrebné nájsť ich deriváty.

Riešenie

Na deriváciu exponenciálnej funkcie a vlastnosti logaritmu používame vzorec:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivácia logaritmickej funkcie

Dôkaz 5

Uveďme dôkaz o vzorci pre deriváciu logaritmickej funkcie pre ľubovoľnú X v oblasti definície a akýchkoľvek prípustných hodnôt základu a logaritmu. Na základe definície derivátu dostaneme:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Z naznačeného reťazca rovnosti je zrejmé, že transformácie boli založené na vlastnosti logaritmu. Rovnosť lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e platí v súlade s druhou pozoruhodnou hranicou.

Príklad 4

Logaritmické funkcie sú dané:

f 1 (x) = log ln 3 x, f 2 (x) = ln x

Je potrebné vypočítať ich deriváty.

Riešenie

Aplikujme odvodený vzorec:

f1" (x) = (log ln 3 x)" = 1 x · ln (ln 3); f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Takže derivácia prirodzeného logaritmu je jedna delená X.

Derivácie goniometrických funkcií

Dôkaz 6

Použime niekoľko goniometrických vzorcov a prvú úžasnú limitu na odvodenie vzorca pre deriváciu goniometrickej funkcie.

Podľa definície derivácie funkcie sínus dostaneme:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Vzorec pre rozdiel sínusov nám umožní vykonať nasledujúce akcie:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Nakoniec použijeme prvý úžasný limit:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Takže derivácia funkcie hriech x bude cos x.

Ukážeme aj vzorec pre deriváciu kosínusu:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Tie. derivácia funkcie cos x bude – hriech x.

Vzorce pre derivácie tangens a kotangens odvodíme na základe pravidiel diferenciácie:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x hriech 2 x = - hriech 2 x + cos 2 x hriech 2 x = - 1 hriech 2 x

Derivácie inverzných goniometrických funkcií

Časť o derivácii inverzných funkcií poskytuje komplexné informácie o dôkaze vzorcov pre derivácie arksínusu, arkkozínu, arkustangensu a arkotangensu, takže tu látku nebudeme duplikovať.

Deriváty hyperbolických funkcií

Dôkaz 7

Vzorce pre derivácie hyperbolického sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangens môžeme odvodiť pomocou pravidla diferenciácie a vzorca pre deriváciu exponenciálnej funkcie:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - h 2 x h 2 x = 1 h 2 x c h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = h 2 x - c h 2 x h 2 x = - 1 h 2 x

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Rozhodnite sa fyzické úlohy alebo príklady v matematike je úplne nemožné bez znalosti derivácie a metód jej výpočtu. Derivát je jedným z najdôležitejších pojmov v matematickej analýze. Dnešný článok sme sa rozhodli venovať tejto zásadnej téme. Čo je to derivácia, aký je jej fyzikálny a geometrický význam, ako vypočítať deriváciu funkcie? Všetky tieto otázky možno spojiť do jednej: ako porozumieť derivátu?

Geometrický a fyzikálny význam derivácie

Nech existuje funkcia f(x) , špecifikované v určitom intervale (a, b) . Do tohto intervalu patria body x a x0. Keď sa zmení x, zmení sa aj samotná funkcia. Zmena argumentu - rozdiel v jeho hodnotách x-x0 . Tento rozdiel je napísaný ako delta x a nazýva sa prírastok argumentov. Zmena alebo prírastok funkcie je rozdiel medzi hodnotami funkcie v dvoch bodoch. Definícia derivátu:

Derivácia funkcie v bode je limitom pomeru prírastku funkcie v danom bode k prírastku argumentu, keď ten má tendenciu k nule.

Inak sa to dá napísať aj takto:

Aký má zmysel nájsť takúto hranicu? A tu je to, čo to je:

derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla medzi osou OX a dotyčnici ku grafu funkcie v danom bode.

Fyzický význam derivát: derivácia dráhy vzhľadom na čas sa rovná rýchlosti priamočiareho pohybu.

V skutočnosti už od školských čias každý vie, že rýchlosť je osobitná cesta x=f(t) a čas t . priemerná rýchlosť na určitú dobu:

Ak chcete zistiť rýchlosť pohybu v danom okamihu t0 musíte vypočítať limit:

Pravidlo jedna: nastavte konštantu

Konštantu možno vyňať z derivačného znamienka. Okrem toho sa to musí urobiť. Pri riešení príkladov v matematike to berte ako pravidlo - Ak môžete zjednodušiť výraz, určite ho zjednodušte .

Príklad. Vypočítajme deriváciu:

Pravidlo dva: derivácia súčtu funkcií

Derivácia súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu derivácií týchto funkcií. To isté platí pre deriváciu rozdielu funkcií.

Nebudeme dávať dôkazy o tejto vete, ale uvažujme skôr o praktickom príklade.

Nájdite deriváciu funkcie:

Pravidlo tri: derivácia súčinu funkcií

Derivácia súčinu dvoch diferencovateľných funkcií sa vypočíta podľa vzorca:

Príklad: nájdite deriváciu funkcie:

Riešenie:

Tu je dôležité hovoriť o výpočte derivátov komplexných funkcií. Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie tejto funkcie vzhľadom na stredný argument a derivácie stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Vo vyššie uvedenom príklade sa stretneme s výrazom:

V tomto prípade je stredný argument 8-násobok ku piatej mocnine. Aby sme mohli vypočítať deriváciu takéhoto výrazu, najprv vypočítame deriváciu externej funkcie vzhľadom na stredný argument a potom vynásobíme deriváciou samotného stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Pravidlo štyri: derivácia podielu dvoch funkcií

Vzorec na určenie derivácie podielu dvoch funkcií:

Snažili sme sa hovoriť o derivátoch pre figuríny od začiatku. Táto téma nie je taká jednoduchá, ako sa zdá, takže buďte upozornení: v príkladoch sa často vyskytujú úskalia, preto buďte opatrní pri výpočte derivátov.

S akýmikoľvek otázkami na túto a iné témy sa môžete obrátiť na študentský servis. vzadu krátkodobý Pomôžeme vám vyriešiť tie najťažšie testy a problémy, aj keď ste ešte nikdy nerobili derivačné výpočty.

Riešenie fyzikálnych úloh alebo príkladov v matematike je úplne nemožné bez znalosti derivácie a metód na jej výpočet. Derivát je jedným z najdôležitejších pojmov v matematickej analýze. Dnešný článok sme sa rozhodli venovať tejto zásadnej téme. Čo je to derivácia, aký je jej fyzikálny a geometrický význam, ako vypočítať deriváciu funkcie? Všetky tieto otázky možno spojiť do jednej: ako porozumieť derivátu?

Geometrický a fyzikálny význam derivácie

Derivácia funkcie v bode je limitom pomeru prírastku funkcie v danom bode k prírastku argumentu, keď ten má tendenciu k nule.

Inak sa to dá napísať aj takto:

Aký má zmysel nájsť takúto hranicu? A tu je to, čo to je:

derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla medzi osou OX a dotyčnici ku grafu funkcie v danom bode.

Fyzikálny význam derivátu: derivácia dráhy vzhľadom na čas sa rovná rýchlosti priamočiareho pohybu.

V skutočnosti už od školských čias každý vie, že rýchlosť je osobitná cesta x=f(t) a čas t . Priemerná rýchlosť za určité časové obdobie:

Ak chcete zistiť rýchlosť pohybu v danom okamihu t0 musíte vypočítať limit:

Pravidlo jedna: nastavte konštantu

Príklad. Vypočítajme deriváciu:

Pravidlo dva: derivácia súčtu funkcií

Derivácia súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu derivácií týchto funkcií. To isté platí pre deriváciu rozdielu funkcií.

Nebudeme dávať dôkazy o tejto vete, ale uvažujme skôr o praktickom príklade.

Nájdite deriváciu funkcie:

Pravidlo tri: derivácia súčinu funkcií

Derivácia súčinu dvoch diferencovateľných funkcií sa vypočíta podľa vzorca:

Príklad: nájdite deriváciu funkcie:

Riešenie:

Vo vyššie uvedenom príklade sa stretneme s výrazom:

Pravidlo štyri: derivácia podielu dvoch funkcií

Vzorec na určenie derivácie podielu dvoch funkcií:

S akýmikoľvek otázkami na túto a iné témy sa môžete obrátiť na študentský servis. V krátkom čase vám pomôžeme vyriešiť najťažší test a pochopiť úlohy, aj keď ste ešte nikdy nerobili derivačné výpočty.

PRVÝ DERIVÁT

(prvý derivát) Rýchlosť, ktorou sa zvyšuje hodnota funkcie, keď sa jej argument zvyšuje v ktoromkoľvek bode, ak je v tomto bode definovaná samotná funkcia. Na grafe prvá derivácia funkcie ukazuje jej sklon. Ak y=f(x), jeho prvá derivácia v bode x0 je hranica, ku ktorej smeruje f(x0+а)–f(x0)/а ako A má tendenciu k nekonečne malej hodnote. Môže byť označená prvá derivácia dy/dx alebo y'(x). Funkcia y(x) má v bode konštantnú hodnotu x0, Ak dy/dx v bode x0 rovná sa nule. Prvá derivácia rovná nule je nevyhnutná, ale nedostatočný stav aby funkcia dosiahla v danom bode svoje maximum alebo minimum.

ekonomika. Slovník. - M.: "INFRA-M", Vydavateľstvo "Ves Mir". J. Black. Všeobecné vydanie: doktor ekonómie Osadchaya I.M.. 2000 .

Ekonomický slovník. 2000 .

Pozrite sa, čo je „PRVÝ DERIVÁT“ v iných slovníkoch:

- (derivát) Rýchlosť, akou sa zvyšuje hodnota funkcie, keď sa jej argument zvýši v ktoromkoľvek bode, ak je v tomto bode definovaná samotná funkcia. Na grafe prvá derivácia funkcie ukazuje jej sklon. Ak y=f(x), jeho prvá derivácia v bode... ... Ekonomický slovník

Tento výraz má iné významy, pozri derivát. Ilustrácia konceptu derivátu Derivát ... Wikipedia

Derivácia je základný pojem diferenciálneho počtu, charakterizujúci rýchlosť zmeny funkcie. Definované ako limit pomeru prírastku funkcie k prírastku jej argumentu, keďže prírastok argumentu má tendenciu k nule, ak je takýto limit... ... Wikipedia

Problém hraničnej hodnoty špeciálny typ; spočíva v hľadaní riešenia v doméne Dvariables x=(x1,..., x n). Diferenciálnej rovnice(1) párneho rádu 2m pre dané hodnoty všetkých derivácií rádu nie vyšších ako m na hranici S oblasti D (alebo jej časti) ... Matematická encyklopédia

- (druhá derivácia) Prvá derivácia prvej derivácie funkcie. Prvá derivácia meria sklon funkcie; Druhá derivácia meria, ako sa mení sklon, keď sa argument zvyšuje. Druhá derivácia y = f(x)… … Ekonomický slovník

Tento článok alebo sekcia potrebuje revíziu. Vylepšite prosím článok v súlade s pravidlami pre písanie článkov. Zlomok o ... Wikipedia

- (krížová parciálna derivácia) Vplyv zmeny jedného argumentu funkcie z dvoch alebo viacerých premenných na deriváciu danej funkcie vzhľadom na iný argument. Ak y=f(x,z), potom jej derivácia alebo prvá derivácia funkcie y vzhľadom na argument x sa rovná... ... Ekonomický slovník

analógová bodová rýchlosť- Prvá derivácia pohybu bodu pozdĺž zovšeobecnenej súradnice mechanizmu...

analóg uhlovej rýchlosti spojenia- Prvá derivácia uhla natočenia spojky vzhľadom na zovšeobecnenú súradnicu mechanizmu... Polytechnický terminologický výkladový slovník

zovšeobecnená rýchlosť mechanizmu- Prvá derivácia zovšeobecnených súradníc mechanizmu vzhľadom na čas... Polytechnický terminologický výkladový slovník

knihy

Zbierka úloh o diferenciálnej geometrii a topológii, Mishchenko A.S.. Táto zbierka úloh má čo najviac odrážať existujúce požiadavky do kurzov diferenciálnej geometrie a topológie, ako z nových programov, tak aj z iných kurzov...
Moje vedecké články. Kniha 3. Metóda hustotných matíc v kvantových teóriách lasera, ľubovoľný atóm, Bondarev Boris Vladimirovič. Vydané recenzie tejto knihy vedecké články, v ktorom metóda matíc hustoty stanovuje nové kvantové teórie laser, ľubovoľný atóm a kvantový oscilátor s tlmením...

Veľmi ľahko zapamätateľné.

No, nechoďme ďaleko, okamžite zvážime inverznú funkciu. Ktorá funkcia je inverzná k exponenciálnej funkcii? Logaritmus:

V našom prípade je základom číslo:

Takýto logaritmus (to znamená logaritmus so základom) sa nazýva „prirodzený“ a používame preň špeciálny zápis: namiesto toho píšeme.

Čomu sa to rovná? Samozrejme, .

Derivácia prirodzeného logaritmu je tiež veľmi jednoduchá:

Príklady:

Nájdite deriváciu funkcie.
Aká je derivácia funkcie?

Odpovede: Exponenciálny a prirodzený logaritmus sú z derivačnej perspektívy jedinečne jednoduché funkcie. Exponenciálne a logaritmické funkcie s akoukoľvek inou bázou budú mať inú deriváciu, ktorú budeme analyzovať neskôr, keď si prejdeme pravidlá diferenciácie.

Pravidlá diferenciácie

Pravidlá čoho? Opäť nový termín, opäť?!...

Diferenciácia je proces hľadania derivátu.

To je všetko. Ako inak môžete nazvať tento proces jedným slovom? Nie derivácia... Matematici nazývajú diferenciál rovnakým prírastkom funkcie at. Tento výraz pochádza z latinského differentia – rozdiel. Tu.

Pri odvodzovaní všetkých týchto pravidiel použijeme dve funkcie, napríklad a. Budeme tiež potrebovať vzorce pre ich prírastky:

Celkovo existuje 5 pravidiel.

Konštanta je vyňatá z derivačného znamienka.

Ak - nejaké konštantné číslo (konštanta), potom.

Je zrejmé, že toto pravidlo funguje aj pre rozdiel: .

Poďme to dokázať. Nech je to tak, alebo jednoduchšie.

Príklady.

Nájdite derivácie funkcií:

v bode;
v bode;
v bode;
v bode.

Riešenia:

(derivát je vo všetkých bodoch rovnaký, pretože toto lineárna funkcia, pamätáš?);

Derivát produktu

Všetko je tu podobné: vstúpme Nová funkcia a nájdite jeho prírastok:

odvodený:

Príklady:

Nájdite derivácie funkcií a;
Nájdite deriváciu funkcie v bode.

Riešenia:

Derivácia exponenciálnej funkcie

Teraz sú vaše znalosti dostatočné na to, aby ste sa naučili nájsť deriváciu akejkoľvek exponenciálnej funkcie, a nielen exponentov (zabudli ste, čo to je?).

Takže, kde je nejaké číslo.

Deriváciu funkcie už poznáme, takže skúsme našu funkciu zredukovať na nový základ:

Na to použijeme jednoduché pravidlo: . potom:

No podarilo sa. Teraz skúste nájsť deriváciu a nezabudnite, že táto funkcia je zložitá.

Stalo?

Tu sa presvedčte:

Ukázalo sa, že vzorec je veľmi podobný derivátu exponentu: ako to bolo, zostáva rovnaký, objavil sa iba faktor, ktorý je len číslom, ale nie premennou.

Príklady:
Nájdite derivácie funkcií:

Odpovede:

Toto je len číslo, ktoré sa bez kalkulačky nedá vypočítať, teda už sa nedá zapísať v jednoduchej forme. Preto ho v odpovedi necháme v tejto podobe.

Všimnite si, že tu je kvocient dvoch funkcií, takže použijeme zodpovedajúce pravidlo diferenciácie:

V tomto príklade súčin dvoch funkcií:

Derivácia logaritmickej funkcie

Tu je to podobné: deriváciu prirodzeného logaritmu už poznáte:

Preto nájsť ľubovoľný logaritmus s inou základňou, napríklad:

Tento logaritmus musíme zredukovať na základňu. Ako zmeníte základ logaritmu? Dúfam, že si pamätáte tento vzorec:

Len teraz namiesto toho napíšeme:

Menovateľ je jednoducho konštanta (konštantné číslo, bez premennej). Derivát sa získa veľmi jednoducho:

Deriváty exponenciálnych a logaritmické funkcie takmer nikdy sa neobjavia v jednotnej štátnej skúške, ale nezaškodilo by ich poznať.

Derivácia komplexnej funkcie.

Čo je to „komplexná funkcia“? Nie, toto nie je logaritmus ani arkustangens. Tieto funkcie môžu byť ťažko pochopiteľné (hoci ak sa vám zdá logaritmus ťažký, prečítajte si tému „Logaritmy“ a budete v poriadku), ale z matematického hľadiska slovo „komplexný“ neznamená „ťažký“.

Predstavte si malý dopravný pás: dvaja ľudia sedia a robia nejaké akcie s nejakými predmetmi. Napríklad prvý zabalí čokoládovú tyčinku do obalu a druhý ju previaže stuhou. Výsledkom je zložený objekt: čokoládová tyčinka zabalená a previazaná stuhou. Ak chcete zjesť čokoládovú tyčinku, musíte vykonať opačné kroky v opačnom poradí.

Vytvorme podobný matematický reťazec: najprv nájdeme kosínus čísla a potom odmocnime výsledné číslo. Takže dostaneme číslo (čokoláda), nájdem jeho kosínus (obal) a potom utvoríte štvorec, čo som dostal (previažte to stuhou). Čo sa stalo? Funkcia. Toto je príklad komplexnej funkcie: keď na zistenie jej hodnoty vykonáme prvú akciu priamo s premennou a potom druhú akciu s tým, čo vyplynulo z prvej.

Inými slovami, komplexná funkcia je funkcia, ktorej argumentom je iná funkcia: .

Pre náš príklad, .

Rovnaké kroky môžeme jednoducho urobiť v opačnom poradí: najprv to odmocni a ja potom hľadám kosínus výsledného čísla: . Je ľahké uhádnuť, že výsledok bude takmer vždy iný. Dôležitá vlastnosť komplexné funkcie: keď sa zmení poradie akcií, zmení sa funkcia.

Druhý príklad: (to isté). .

Akcia, ktorú urobíme ako posledná, bude vyvolaná „vonkajšia“ funkcia, a akcia vykonaná ako prvá - podľa toho „vnútorná“ funkcia(sú to neformálne názvy, používam ich len na vysvetlenie látky jednoduchým jazykom).

Skúste sami určiť, ktorá funkcia je externá a ktorá interná:

Odpovede: Oddelenie vnútorných a vonkajších funkcií je veľmi podobné zmene premenných: napríklad vo funkcii

Akú akciu vykonáme ako prvú? Najprv vypočítame sínus a až potom ho dáme na kocku. To znamená, že ide o vnútornú funkciu, ale vonkajšiu.
A pôvodná funkcia je ich zloženie: .
Vnútorné: ; vonkajší: .
Vyšetrenie: .
Vnútorné: ; vonkajší: .
Vyšetrenie: .
Vnútorné: ; vonkajší: .
Vyšetrenie: .
Vnútorné: ; vonkajší: .
Vyšetrenie: .

Zmeníme premenné a dostaneme funkciu.

Teraz vyberieme našu čokoládovú tyčinku a budeme hľadať derivát. Postup je vždy opačný: najprv hľadáme deriváciu vonkajšej funkcie, potom výsledok vynásobíme deriváciou vnútornej funkcie. Vo vzťahu k pôvodnému príkladu to vyzerá takto:

Ďalší príklad:

Takže konečne sformulujme oficiálne pravidlo:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

Zdá sa to jednoduché, však?

Pozrime sa na príklady:

Riešenia:

1) Interné: ;

Vonkajšie: ;

2) Interné: ;

(Len to teraz neskúšajte odstrihnúť! Spod kosínusu nič nevychádza, pamätáte?)

3) Interné: ;

Vonkajšie: ;

Okamžite je jasné, že ide o trojúrovňovú komplexnú funkciu: koniec koncov, toto je už sama o sebe zložitá funkcia a extrahujeme z nej aj koreň, to znamená, že vykonáme tretiu akciu (vložíme čokoládu do obalu a so stuhou v kufríku). Nie je však dôvod na strach: túto funkciu budeme stále „rozbaľovať“ v rovnakom poradí ako obvykle: od konca.

To znamená, že najprv diferencujeme koreň, potom kosínus a až potom výraz v zátvorkách. A potom to všetko vynásobíme.

V takýchto prípadoch je vhodné akcie očíslovať. To znamená, predstavme si, čo vieme. V akom poradí vykonáme akcie na výpočet hodnoty tohto výrazu? Pozrime sa na príklad:

Čím neskôr sa akcia vykoná, tým „externejšia“ bude príslušná funkcia. Postupnosť akcií je rovnaká ako predtým:

Tu je hniezdenie vo všeobecnosti 4-úrovňové. Stanovme si postup.

1. Radikálne vyjadrenie. .

2. Koreň. .

3. Sínus. .

4. Štvorec. .

5. Daj to všetko dokopy: