Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

  • Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromaždiť rôzne informácie, vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

  • Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
  • Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
  • Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
  • Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

  • V prípade potreby v súlade so zákonom súdne konanie, V súdny proces a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
  • V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Prezentácia a lekcia na túto tému:
"Graf funkcie $y=ax^2+bx+c$. Vlastnosti"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Vzdelávacie pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 8. ročník
Manuál k učebnici od Dorofeeva G.V. Manuál k učebnici od Nikolsky S.M.

Chlapci, v posledných lekciách sme budovali veľké množstvo grafy, vrátane mnohých parabol. Dnes si zhrnieme poznatky, ktoré sme nadobudli, a naučíme sa túto funkciu vykresľovať v jej najvšeobecnejšej podobe.
Pozrime sa na kvadratický trinom $a*x^2+b*x+c$. $a, b, c$ sa nazývajú koeficienty. Môžu to byť ľubovoľné čísla, ale $a≠0$. $a*x^2$ sa nazýva vedúci výraz, $a$ je vedúci koeficient. Stojí za zmienku, že koeficienty $b$ a $c$ sa môžu rovnať nule, to znamená, že trojčlen sa bude skladať z dvoch členov a tretí sa rovná nule.

Pozrime sa na funkciu $y=a*x^2+b*x+c$. Táto funkcia sa nazýva „kvadratická“, pretože najväčšia mocnina je druhá, teda štvorec. Koeficienty sú rovnaké, ako sú definované vyššie.

V minulej lekcii sme sa v poslednom príklade pozreli na vykreslenie grafu podobnej funkcie.
Dokážme, že každú takúto kvadratickú funkciu je možné zredukovať do tvaru: $y=a(x+l)^2+m$.

Graf takejto funkcie je zostrojený pomocou dodatočného súradnicového systému. Vo veľkej matematike sú čísla dosť zriedkavé. Takmer každý problém musí byť preukázaný v samom všeobecný prípad. Dnes sa pozrieme na jeden taký dôkaz. Chlapci, vidíte plnú silu matematického aparátu, ale aj jeho zložitosť.

Izolujme dokonalý štvorec od kvadratického trinomu:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Dostali sme, čo sme chceli.
Akákoľvek kvadratická funkcia môže byť reprezentovaná ako:
$y=a(x+l)^2+m$, kde $l=\frac(b)(2a)$, $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.

Ak chcete vykresliť graf $y=a(x+l)^2+m$, musíte nakresliť funkciu $y=ax^2$. Navyše, vrchol paraboly bude umiestnený v bode so súradnicami $(-l;m)$.
Takže naša funkcia $y=a*x^2+b*x+c$ je parabola.
Os paraboly bude priamka $x=-\frac(b)(2a)$ a súradnice vrcholu paraboly pozdĺž osi x, ako vidíme, sa vypočítajú podľa vzorca: $ x_(c)=-\frac(b)(2a) $.
Ak chcete vypočítať súradnicu osi y vrcholu paraboly, môžete:

  • použite vzorec: $y_(в)=\frac(4ac-b^2)(4a)$,
  • priamo dosaďte súradnicu vrcholu pozdĺž $x$ do pôvodnej funkcie: $y_(в)=ax_(в)^2+b*x_(в)+c$.
Ako vypočítať súradnicu vrcholu? Opäť platí, že výber je na vás, ale zvyčajne sa bude ľahšie vypočítať druhá metóda.
Ak potrebujete popísať niektoré vlastnosti alebo odpovedať na niektoré špecifické otázky, nemusíte vždy zostaviť graf funkcie. Hlavné otázky, na ktoré možno odpovedať bez konštrukcie, zvážime v nasledujúcom príklade.

Príklad 1
Bez grafu funkcie $y=4x^2-6x-3$, odpovedzte ďalšie otázky:


Riešenie.
a) Os paraboly je priamka $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3 )(4) $ .
b) Našli sme úsečku vrcholu nad $x_(c)=\frac(3)(4)$.
Zistíme ordinátu vrcholu priamou substitúciou do pôvodnej funkcie:
$y_(в)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4 )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
c) Graf požadovanej funkcie získame paralelným prenosom grafu $y=4x^2$. Jeho vetvy vyzerajú nahor, a preto vetvy paraboly pôvodná funkcia sa tiež pozrie hore.
Vo všeobecnosti, ak je koeficient $a>0$, potom sa vetvy pozerajú nahor, ak koeficient $a
Príklad 2
Graf funkcie: $y=2x^2+4x-6$.

Riešenie.
Nájdite súradnice vrcholu paraboly:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(в)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Vyznačme súradnicu vrcholu na súradnicovej osi. V tomto bode, ako keby na nový systém súradnice zostrojíme parabolu $y=2x^2$.

Existuje mnoho spôsobov, ako zjednodušiť konštrukciu parabolických grafov.

  • Môžeme nájsť dva symetrické body, vypočítať hodnotu funkcie v týchto bodoch, označiť ich na súradnicovej rovine a spojiť ich s vrcholom krivky opisujúcej parabolu.
  • Môžeme zostrojiť vetvu paraboly napravo alebo naľavo od vrcholu a potom ju odrážať.
  • Môžeme stavať bod po bode.

Príklad 3
Nájdite najväčšie a najmenšia hodnota funkcie: $y=-x^2+6x+4$ na intervale $[-1;6]$.

Riešenie.
Zostavme graf tejto funkcie, vyberieme požadovaný interval a nájdeme najnižšie a najvyššie body nášho grafu.
Nájdite súradnice vrcholu paraboly:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(в)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
V bode so súradnicami $(3;13)$ zostrojíme parabolu $y=-x^2$. Vyberieme požadovaný interval. Najnižší bod má súradnicu -3, najvyšší bod má súradnicu 13.
$y_(meno)=-3$; $y_(maximum)=13$.

Problémy riešiť samostatne

1. Bez grafu funkcie $y=-3x^2+12x-4$ odpovedzte na nasledujúce otázky:
a) Identifikujte priamku, ktorá slúži ako os paraboly.
b) Nájdite súradnice vrcholu.
c) Akým smerom smeruje parabola (hore alebo dole)?
2. Zostrojte graf funkcie: $y=2x^2-6x+2$.
3. Nakreslite graf funkcie: $y=-x^2+8x-4$.
4. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie: $y=x^2+4x-3$ na segmente $[-5;2]$.

Kvadratická funkcia je funkciou tvaru:
y=a*(x^2)+b*x+c,
kde a je koeficient pre najvyšší stupeň neznámeho x,
b - koeficient pre neznáme x,
a c je voľný člen.
Graf kvadratickej funkcie je krivka nazývaná parabola. Všeobecná forma Parabola je znázornená na obrázku nižšie.

Obr.1 Celkový pohľad na parabolu.

Je tam niekoľko rôznymi spôsobmi vykreslenie kvadratickej funkcie. Pozrieme sa na hlavné a najvšeobecnejšie z nich.

Algoritmus na vykreslenie kvadratickej funkcie y=a*(x^2)+b*x+c

1. Zostrojte súradnicový systém, označte jednotkový segment a označte súradnicové osi.

2. Určte smer vetiev paraboly (hore alebo dole).
Aby ste to dosiahli, musíte sa pozrieť na znamienko koeficientu a. Ak je plus, potom vetvy smerujú nahor, ak je mínus, potom vetvy smerujú nadol.

3. Určte súradnicu x vrcholu paraboly.
Ak to chcete urobiť, musíte použiť vzorec Xvertex = -b/2*a.

4. Určte súradnicu vo vrchole paraboly.
Za týmto účelom dosaďte do rovnice Uvershiny = a*(x^2)+b*x+c namiesto x hodnotu Xverhiny zistenú v predchádzajúcom kroku.

5. Nakreslite výsledný bod do grafu a nakreslite cez neho os symetrie rovnobežnú so súradnicovou osou Oy.

6. Nájdite priesečníky grafu s osou Ox.
Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť kvadratickú rovnicu a*(x^2)+b*x+c = 0 pomocou jedného z známymi metódami. Ak rovnica nemá skutočné korene, potom graf funkcie nepretína os Ox.

7. Nájdite súradnice priesečníka grafu s osou Oy.
Aby sme to dosiahli, dosadíme do rovnice hodnotu x=0 a vypočítame hodnotu y. Na grafe označíme tento a s ním symetrický bod.

8. Nájdite súradnice ľubovoľného bodu A(x,y)
Ak to chcete urobiť, vyberte ľubovoľnú hodnotu pre súradnicu x a nahraďte ju do našej rovnice. V tomto bode dostaneme hodnotu y. Nakreslite bod do grafu. A tiež vyznačte na grafe bod, ktorý je symetrický k bodu A(x,y).

9. Výsledné body na grafe spojte hladkou čiarou a pokračujte v grafe za krajné body až na koniec súradnicovej osi. Označte graf buď na vodiacej čiare alebo, ak to priestor dovoľuje, pozdĺž samotného grafu.

Príklad vykresľovania

Ako príklad nakreslíme kvadratickú funkciu danú rovnicou y=x^2+4*x-1
1. Nakreslite súradnicové osi, označte ich a označte jednotkový segment.
2. Hodnoty koeficientu a=1, b=4, c= -1. Pretože a=1, ktoré je väčšie ako nula, vetvy paraboly smerujú nahor.
3. Určte súradnicu X vrcholu paraboly Xvertices = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Určte súradnicu Y vrcholu paraboly
Vrcholy = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Označte vrchol a nakreslite os súmernosti.
6. Nájdite priesečníky grafu kvadratickej funkcie s osou Ox. Riešime kvadratickú rovnicu x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Získané hodnoty zaznačíme do grafu.
7. Nájdite priesečníky grafu s osou Oy.
x=0; y = -1
8. Vyberte ľubovoľný bod B. Nech má súradnicu x=1.
Potom y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Spojte získané body a podpíšte graf.

Ako ukazuje prax, úlohy o vlastnostiach a grafoch kvadratickej funkcie spôsobujú vážne ťažkosti. Je to dosť zvláštne, pretože v 8. ročníku študujú kvadratickú funkciu a potom celý prvý štvrťrok 9. ročníka „trápia“ vlastnosti paraboly a stavajú jej grafy pre rôzne parametre.

Je to spôsobené tým, že keď núti študentov konštruovať paraboly, prakticky nevenujú čas „čítaniu“ grafov, to znamená, že necvičia pochopenie informácií získaných z obrázka. Zrejme sa predpokladá, že po zostrojení tucta či dvoch grafov šikovný študent sám objaví a sformuluje vzťah medzi koeficientmi vo vzorci a vzhľad grafické umenie. V praxi to nefunguje. Na takéto zovšeobecnenie je potrebná vážna prax v matematickom minivýskume, ktorou väčšina deviatakov, samozrejme, nedisponuje. Štátna inšpekcia medzitým navrhuje určiť znamienka koeficientov pomocou harmonogramu.

Nebudeme od školákov vyžadovať nemožné a jednoducho ponúkneme jeden z algoritmov na riešenie takýchto problémov.

Takže funkcia formulára y = ax 2 + bx + c nazývaný kvadratický, jeho grafom je parabola. Ako už názov napovedá, hlavným pojmom je sekera 2. Teda A by sa nemali rovnať nule, zostávajúce koeficienty ( b A s) sa môže rovnať nule.

Pozrime sa, ako znamienka jeho koeficientov ovplyvňujú vzhľad paraboly.

Najjednoduchšia závislosť pre koeficient A. Väčšina školákov sebavedomo odpovedá: „ak A> 0, potom vetvy paraboly smerujú nahor a ak A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5 x 2 - 3 x + 1

V tomto prípade A = 0,5

A teraz pre A < 0:

y = - 0,5 x 2 - 3 x + 1

V tomto prípade A = - 0,5

Vplyv koeficientu s Je to tiež celkom jednoduché sledovať. Predstavme si, že chceme nájsť hodnotu funkcie v bode X= 0. Dosaďte do vzorca nulu:

r = a 0 2 + b 0 + c = c. Ukazuje sa, že y = c. Teda s je ordináta priesečníka paraboly s osou y. Tento bod sa zvyčajne dá ľahko nájsť na grafe. A určiť, či leží nad nulou alebo pod. Teda s> 0 alebo s < 0.

s > 0:

y = x 2 + 4 x + 3

s < 0

y = x 2 + 4 x - 3

V súlade s tým, ak s= 0, potom parabola nevyhnutne prejde cez počiatok:

y = x 2 + 4x


Náročnejšie s parametrom b. Bod, v ktorom ho nájdeme, závisí nielen od b ale aj z A. Toto je vrchol paraboly. Jeho úsečka (súradnica osi X) sa zistí podľa vzorca x v = - b/(2a). teda b = - 2x palec. To znamená, že postupujeme takto: nájdeme vrchol paraboly na grafe, určíme znamienko jej úsečky, to znamená, že sa pozrieme napravo od nuly ( x v> 0) alebo doľava ( x v < 0) она лежит.

To však nie je všetko. Pozor si treba dať aj na znamienko koeficientu A. To znamená, že sa pozrite, kam smerujú vetvy paraboly. A až potom podľa vzorca b = - 2x palec určiť znamenie b.

Pozrime sa na príklad:

Vetvy smerujú nahor, čo znamená A> 0, parabola pretína os pri pod nulou, tzn s < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x v> 0. Takže b = - 2x palec = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, s < 0.

Uvažujme výraz v tvare ax 2 + bx + c, kde a, b, c sú reálne čísla a a je odlišné od nuly. Tento matematický výraz je známy ako kvadratický trinom.

Pripomeňme, že ax 2 je vedúci člen tohto kvadratického trinomu a a je jeho vodiaci koeficient.

Ale kvadratická trojčlenka nemá vždy všetky tri členy. Vezmime si napríklad výraz 3x 2 + 2x, kde a=3, b=2, c=0.

Prejdime ku kvadratickej funkcii y=ax 2 +in+c, kde a, b, c sú ľubovoľné čísla. Táto funkcia je kvadratická, pretože obsahuje člen druhého stupňa, teda x na druhú.

Je celkom jednoduché zostrojiť graf kvadratickej funkcie, napríklad môžete použiť metódu izolácie dokonalého štvorca.

Uvažujme príklad zostrojenia grafu funkcie y sa rovná -3x 2 - 6x + 1.

Aby sme to dosiahli, prvá vec, ktorú si pamätáme, je schéma izolácie celého štvorca v trojčlenke -3x 2 - 6x + 1.

Vyberme -3 zo zátvoriek pre prvé dva pojmy. Máme -3-násobok súčtu x na druhú plus 2x a pripočítame 1. Pripočítaním a odčítaním jednotky v zátvorke dostaneme vzorec na druhú mocninu súčtu, ktorý možno zbaliť. Dostaneme -3 vynásobené súčtom (x+1) na druhú mínus 1 sčítajte 1. Otvorením zátvoriek a pridaním podobných členov dostaneme výraz: -3 vynásobený druhou mocninou súčtu (x+1) sčítajte 4.

Nakreslíme výslednú funkciu tak, že pôjdeme do pomocný systém súradnice s počiatkom v bode so súradnicami (-1; 4).

Na obrázku z videa je tento systém naznačený bodkovanými čiarami. K zostrojenému súradnicovému systému priraďme funkciu y sa rovná -3x2. Pre pohodlie si vezmime kontrolné body. Napríklad (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). Zároveň ich odložíme do zostrojeného súradnicového systému. Parabola získaná počas konštrukcie je graf, ktorý potrebujeme. Na obrázku je to červená parabola.

Pomocou metódy izolácie úplného štvorca máme kvadratickú funkciu tvaru: y = a*(x+1) 2 + m.

Graf paraboly y = ax 2 + bx + c možno jednoducho získať z paraboly y = ax 2 rovnobežným prekladom. Potvrdzuje to veta, ktorú možno dokázať izoláciou dokonalého štvorca binomu. Výraz ax 2 + bx + c sa po postupných transformáciách zmení na výraz v tvare: a*(x+l) 2 + m. Nakreslíme graf. Urobme rovnobežný pohyb paraboly y = ax 2, pričom vrchol zarovnáme s bodom so súradnicami (-l; m). Dôležité je, že x = -l, čo znamená -b/2a. To znamená, že táto priamka je osou paraboly ax 2 + bx + c, jej vrchol je v bode, kde sa x nula rovná mínus b delená 2a a ordináta sa vypočíta pomocou ťažkopádneho vzorca 4ac - b 2 /. Tento vzorec si však nemusíte pamätať. Keďže dosadením hodnoty úsečky do funkcie dostaneme ordinátu.

Na určenie rovnice osi, smeru jej vetiev a súradníc vrcholu paraboly zvážte nasledujúci príklad.

Zoberme si funkciu y = -3x 2 - 6x + 1. Po zostavení rovnice pre os paraboly máme, že x = -1. A táto hodnota je súradnicou x vrcholu paraboly. Zostáva len nájsť ordinát. Dosadením hodnoty -1 do funkcie dostaneme 4. Vrchol paraboly je v bode (-1; 4).

Graf funkcie y = -3x 2 - 6x + 1 sme získali, keď paralelný prenos graf funkcie y = -3x 2, čo znamená, že sa správa podobne. Vodiaci koeficient je záporný, takže vetvy smerujú nadol.

Vidíme, že pre akúkoľvek funkciu v tvare y = ax 2 + bx + c je najjednoduchšia posledná otázka, teda smer vetiev paraboly. Ak je koeficient a kladný, potom sú vetvy nahor a ak je záporné, potom sú vetvy nadol.

Ďalšou najťažšou otázkou je prvá otázka, pretože si vyžaduje dodatočné výpočty.

A ten druhý je najťažší, keďže okrem výpočtov potrebujete aj znalosti vzorcov, v ktorých x je nula a y je nula.

Zostrojme graf funkcie y = 2x 2 - x + 1.

Hneď určíme, že graf je parabola, vetvy smerujú nahor, pretože vodiaci koeficient je 2, čo je kladné číslo. Pomocou vzorca zistíme, že os x je nula, rovná sa 1,5. Ak chcete nájsť ordinátu, nezabudnite, že y nula sa rovná funkcii 1,5; pri výpočte dostaneme -3,5.

Vrch - (1,5;-3,5). Os - x = 1,5. Zoberme si body x=0 a x=3. y=1. Označme tieto body. Na základe troch známych bodov zostrojíme požadovaný graf.

Na vykreslenie grafu funkcie ax 2 + bx + c potrebujete:

Nájdite súradnice vrcholu paraboly a označte ich na obrázku, potom nakreslite os paraboly;

Na osi oh vezmite dva body, ktoré sú symetrické vzhľadom na os paraboly, nájdite hodnotu funkcie v týchto bodoch a označte ich na rovine súradníc;

Zostrojte parabolu cez tri body, v prípade potreby môžete vziať niekoľko ďalších bodov a zostaviť graf na základe nich.

V nasledujúcom príklade sa naučíme, ako nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie -2x 2 + 8x - 5 na segmente.

Podľa algoritmu: a=-2, b=8, čo znamená, že x nula je 2 a y nula je 3, (2;3) je vrchol paraboly a x=2 je os.

Zoberme si hodnoty x=0 a x=4 a nájdime súradnice týchto bodov. Toto je -5. Zostavíme parabolu a určíme, že najmenšia hodnota funkcie je -5 pri x=0 a najväčšia je 3 pri x=2.