Dependencia lineal e independencia vectorial.

Definiciones de sistemas vectoriales linealmente dependientes e independientes.

Definición 22

Tengamos un sistema de n-vectores y un conjunto de números.
, Entonces

(11)

se llama combinación lineal de un sistema dado de vectores con un conjunto dado de coeficientes.

Definición 23

Sistema vectorial
se llama linealmente dependiente si existe tal conjunto de coeficientes
, de los cuales al menos uno no es igual a cero, que la combinación lineal de un sistema dado de vectores con este conjunto de coeficientes es igual al vector cero:

Dejar
, Entonces

Definición 24 ( mediante la representación de un vector del sistema como combinación lineal de los demás)

Sistema vectorial
se llama linealmente dependiente si al menos uno de los vectores de este sistema se puede representar como una combinación lineal de los vectores restantes de este sistema.

Declaración 3

Las definiciones 23 y 24 son equivalentes.

Definición 25(a través de combinación lineal cero)

Sistema vectorial
se llama linealmente independiente si una combinación lineal cero de este sistema es posible solo para todos
igual a cero.

Definición 26(debido a la imposibilidad de representar un vector del sistema como una combinación lineal de los demás)

Sistema vectorial
se llama linealmente independiente si ninguno de los vectores de este sistema no puede representarse como una combinación lineal de otros vectores de este sistema.

Propiedades de sistemas vectoriales linealmente dependientes e independientes.

Teorema 2 (vector cero en el sistema de vectores)

Si un sistema de vectores tiene un vector cero, entonces el sistema es linealmente dependiente.

 dejar
, Entonces .

Obtenemos
, por lo tanto, por definición de un sistema de vectores linealmente dependiente a través de una combinación lineal cero (12) el sistema es linealmente dependiente. 

Teorema 3 (subsistema dependiente en un sistema vectorial)

Si un sistema de vectores tiene un subsistema linealmente dependiente, entonces todo el sistema es linealmente dependiente.

 dejar
- subsistema linealmente dependiente
, entre los cuales al menos uno no es igual a cero:

Esto significa, por definición 23, que el sistema es linealmente dependiente. 

Teorema 4

Cualquier subsistema de un sistema linealmente independiente es linealmente independiente.

 Del contrario. Sea el sistema linealmente independiente y tenga un subsistema linealmente dependiente. Pero entonces, según el teorema 3, todo el sistema también será linealmente dependiente. Contradicción. En consecuencia, un subsistema de un sistema linealmente independiente no puede ser linealmente dependiente. 

Significado geométrico de la dependencia lineal y la independencia de un sistema de vectores.

Teorema 5

Dos vectores Y son linealmente dependientes si y sólo si
.

Necesidad.

Y - linealmente dependiente
que la condición se cumple
. Entonces
, es decir.
.

Adecuación.

Linealmente dependiente. 

Corolario 5.1

El vector cero es colineal con cualquier vector.

Corolario 5.2

Para que dos vectores sean linealmente independientes es necesario y suficiente que no era colineal .

Teorema 6

Para que un sistema de tres vectores sea linealmente dependiente, es necesario y suficiente que estos vectores sean coplanares. .

Necesidad.

- son linealmente dependientes, por lo tanto, un vector se puede representar como una combinación lineal de los otros dos.

, (13)

Dónde
Y
. Según la regla del paralelogramo hay una diagonal de un paralelogramo con lados
, pero un paralelogramo es una figura plana
coplanar
- también son coplanares.

Adecuación.

- coplanar. Apliquemos tres vectores al punto O:

C

B`

– linealmente dependiente 

Corolario 6.1

El vector cero es coplanar con cualquier par de vectores.

Corolario 6.2

Para que los vectores
fueran linealmente independientes, es necesario y suficiente que no sean coplanares.

Corolario 6.3

Cualquier vector de un plano se puede representar como una combinación lineal de dos vectores cualesquiera no colineales del mismo plano.

Teorema 7

Cualesquiera cuatro vectores en el espacio son linealmente dependientes .

 Consideremos 4 casos:

Dibujemos un plano a través de vectores, luego un plano a través de vectores y un plano a través de vectores. Luego dibujamos planos que pasan por el punto D, paralelos a los pares de vectores; ; respectivamente. Construimos un paralelepípedo a lo largo de las líneas de intersección de planos. TRANSMISIÓN EXTERIOR. 1 D 1 C 1 ABDC.

Consideremos TRANSMISIÓN EXTERIOR. 1 D 1 C 1 – paralelogramo por construcción según la regla del paralelogramo
.

Considere OADD 1 – un paralelogramo (de la propiedad de un paralelepípedo)
, Entonces

EMBED Ecuación.3.

Por el teorema 1
tal que. Entonces
, y por definición 24 el sistema de vectores es linealmente dependiente. 

Corolario 7.1

La suma de tres vectores no coplanares en el espacio es un vector que coincide con la diagonal de un paralelepípedo construido sobre estos tres vectores aplicados a un origen común, y el origen del vector suma coincide con el origen común de estos tres vectores.

Corolario 7.2

Si tomamos 3 vectores no coplanares en el espacio, entonces cualquier vector de este espacio se puede descomponer en una combinación lineal de estos tres vectores.

Expresión de la forma llamado combinación lineal de vectores Un 1 , Un 2 ,...,Un n con probabilidades λ 1, λ 2 ,..., λ norte.

Determinación de la dependencia lineal de un sistema de vectores.

Sistema vectorial Un 1 , Un 2 ,...,Un n llamado linealmente dependiente, si hay un conjunto de números distintos de cero λ 1, λ 2 ,..., λ norte, en el que la combinación lineal de vectores λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n igual al vector cero, es decir, el sistema de ecuaciones: tiene una solución distinta de cero.
conjunto de numeros λ 1, λ 2 ,..., λ norte es distinto de cero si al menos uno de los números λ 1, λ 2 ,..., λ norte diferente de cero.

Determinación de la independencia lineal de un sistema de vectores.

Sistema vectorial Un 1 , Un 2 ,...,Un n llamado independiente linealmente, si la combinación lineal de estos vectores λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n igual al vector cero sólo para un conjunto cero de números λ 1, λ 2 ,..., λ norte , es decir, el sistema de ecuaciones: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ tiene una única solución cero.

Ejemplo 29.1

Comprobar si un sistema de vectores es linealmente dependiente

Solución:

1. Componemos un sistema de ecuaciones.:

2. Lo resolvemos usando el método de Gauss.. Las transformaciones de Jordanano del sistema se dan en la tabla 29.1. Al calcular, los lados derechos del sistema no se escriben ya que son iguales a cero y no cambian durante las transformaciones de Jordan.

3. De las últimas tres filas de la tabla. escribir un sistema resuelto equivalente al original sistema:

4. Obtenemos la solución general del sistema.:

5. Habiendo establecido el valor de la variable libre x 3 =1 a su discreción, obtenemos una solución particular distinta de cero X=(-3,2,1).

Respuesta: Por lo tanto, para un conjunto de números distinto de cero (-3,2,1), la combinación lineal de vectores es igual al vector cero -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Por eso, sistema vectorial linealmente dependiente.

Propiedades de los sistemas vectoriales.

Propiedad (1)
Si un sistema de vectores es linealmente dependiente, entonces al menos uno de los vectores se expande en términos de los demás y, a la inversa, si al menos uno de los vectores del sistema se expande en términos de los demás, entonces el sistema de vectores es linealmente dependiente.

Propiedad (2)
Si algún subsistema de vectores es linealmente dependiente, entonces todo el sistema es linealmente dependiente.

Propiedad (3)
Si un sistema de vectores es linealmente independiente, entonces cualquiera de sus subsistemas es linealmente independiente.

Propiedad (4)
Cualquier sistema de vectores que contenga un vector cero es linealmente dependiente.

Propiedad (5)
Un sistema de vectores m-dimensionales siempre es linealmente dependiente si el número de vectores n es mayor que su dimensión (n>m)

Base del sistema vectorial.

La base del sistema vectorial. A 1 , A 2 ,..., Un subsistema de este tipo B 1 , B 2 ,...,B r se llama(cada uno de los vectores B 1,B 2,...,B r es uno de los vectores A 1, A 2,..., An), que satisface las siguientes condiciones:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r sistema de vectores linealmente independiente;
2. cualquier vector aj El sistema A 1 , A 2 ,..., An se expresa linealmente a través de los vectores B 1 , B 2 ,..., B r

r— el número de vectores incluidos en la base.

Teorema 29.1 Sobre la base unitaria de un sistema de vectores.

Si un sistema de vectores m-dimensionales contiene m diferentes vectores de unidad E 1 E 2 ,..., E m , entonces forman la base del sistema.

Algoritmo para encontrar la base de un sistema de vectores.

Para encontrar la base del sistema de vectores A 1 ,A 2 ,...,A n es necesario:

  • Crear un sistema homogéneo de ecuaciones correspondiente al sistema de vectores. A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
  • trae este sistema

Vectores, sus propiedades y acciones con ellos.

Vectores, acciones con vectores, espacio vectorial lineal.

Los vectores son una colección ordenada de un número finito de números reales.

Comportamiento: 1.Multiplicar un vector por un número: lambda*vector x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. Suma de vectores (pertenecen al mismo espacio vectorial) vector x + vector y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vector 0=(0,0…0)---n E n – vector n-dimensional (espacio lineal) x + vector 0 = vector x

Teorema. Para que un sistema de n vectores, un espacio lineal de n dimensiones, sea linealmente dependiente, es necesario y suficiente que uno de los vectores sea una combinación lineal de los demás.

Teorema. Cualquier conjunto de n+ 1.º vectores de un espacio lineal de fenómenos de n dimensiones. linealmente dependiente.

Suma de vectores, multiplicación de vectores por números. Resta de vectores.

La suma de dos vectores es un vector dirigido desde el principio del vector hasta el final del vector, siempre que el principio coincida con el final del vector. Si los vectores están dados por sus expansiones en vectores unitarios básicos, entonces al sumar vectores, se suman sus coordenadas correspondientes.

Consideremos esto usando el ejemplo de un sistema de coordenadas cartesiano. Dejar

demostremos que

De la Figura 3 se desprende claramente que

La suma de cualquier número finito de vectores se puede encontrar utilizando la regla del polígono (Fig.4): para construir la suma de un número finito de vectores, basta con combinar el comienzo de cada vector posterior con el final del anterior. y construya un vector que conecte el comienzo del primer vector con el final del último.

Propiedades de la operación de suma de vectores:

En estas expresiones m, n son números.

La diferencia entre vectores se llama vector. El segundo término es un vector opuesto al vector en dirección, pero igual en longitud.

Así, la operación de restar vectores se reemplaza por una operación de suma.

Un vector cuyo comienzo está en el origen y final en el punto A (x1, y1, z1) se llama vector radio del punto A y se denota de forma sencilla. Dado que sus coordenadas coinciden con las coordenadas del punto A, su expansión en vectores unitarios tiene la forma

Un vector que comienza en el punto A(x1, y1, z1) y termina en el punto B(x2, y2, z2) se puede escribir como

donde r 2 es el vector de radio del punto B; r 1 - vector de radio del punto A.

Por tanto, la expansión del vector en vectores unitarios tiene la forma

Su longitud es igual a la distancia entre los puntos A y B.

MULTIPLICACIÓN

Entonces, en el caso de un problema plano, el producto de un vector por a = (ax; ay) por el número b se encuentra mediante la fórmula

a b = (ax b; ay b)

Ejemplo 1. Encuentra el producto del vector a = (1; 2) por 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Entonces, en el caso de un problema espacial, el producto del vector a = (ax; ay; az) por el número b se encuentra mediante la fórmula

a b = (ax b; ay b; az b)

Ejemplo 1. Encuentra el producto del vector a = (1; 2; -5) por 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Producto escalar de vectores y ¿Dónde está el ángulo entre los vectores y? si cualquiera, entonces

De la definición del producto escalar se deduce que

donde, por ejemplo, es la magnitud de la proyección del vector sobre la dirección del vector.

Vector escalar cuadrado:

Propiedades del producto escalar:

Producto escalar en coordenadas

Si Eso

Ángulo entre vectores

Ángulo entre vectores: el ángulo entre las direcciones de estos vectores (ángulo más pequeño).

Producto cruzado (Producto cruzado de dos vectores) - se trata de un pseudovector perpendicular a un plano construido a partir de dos factores, que es el resultado de la operación binaria “multiplicación de vectores” sobre vectores en el espacio euclidiano tridimensional. El producto no es conmutativo ni asociativo (es anticonmutativo) y es diferente del producto escalar de vectores. En muchos problemas de ingeniería y física, es necesario poder construir un vector perpendicular a dos existentes; el producto vectorial brinda esta oportunidad. El producto vectorial es útil para "medir" la perpendicularidad de vectores - longitud producto vectorial dos vectores es igual al producto de sus longitudes si son perpendiculares y disminuye a cero si los vectores son paralelos o antiparalelos.

El producto vectorial se define sólo en espacios tridimensionales y heptadimensionales. El resultado de un producto vectorial, como un producto escalar, depende de la métrica del espacio euclidiano.

A diferencia de la fórmula para calcular las coordenadas de los vectores del producto escalar en un sistema de coordenadas rectangular tridimensional, la fórmula del producto vectorial depende de la orientación. sistema rectangular coordenadas o, en otras palabras, su “quiralidad”

Colinealidad de vectores.

Dos vectores distintos de cero (distintos de 0) se denominan colineales si se encuentran en rectas paralelas o en la misma recta. Un sinónimo aceptable, pero no recomendado, es el de vectores “paralelos”. Los vectores colineales pueden tener direcciones idénticas ("codireccionales") o direcciones opuestas (en este último caso, a veces se les llama "anticolineales" o "antiparalelos").

Producto mixto de vectores ( a B C)- producto escalar del vector a y el producto vectorial de los vectores b y c:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

a veces se le llama producto escalar triple de vectores, aparentemente porque el resultado es un escalar (más precisamente, un pseudoescalar).

Significado geométrico: El módulo del producto mezclado es numéricamente igual al volumen del paralelepípedo formado por los vectores. (a B C) .

Propiedades

Un producto mixto es asimétrico con respecto a todos sus argumentos: es decir e. reorganizar dos factores cualesquiera cambia el signo del producto. De ello se deduce que el producto mezclado de la derecha sistema cartesiano coordenadas (en base ortonormal) es igual al determinante de una matriz compuesta por vectores y:

El producto mixto en el sistema de coordenadas cartesiano izquierdo (en base ortonormal) es igual al determinante de la matriz compuesta por vectores y, tomado con signo menos:

En particular,

Si dos vectores cualesquiera son paralelos, entonces con cualquier tercer vector forman un producto mixto igual a cero.

Si tres vectores son linealmente dependientes (es decir, coplanares, se encuentran en el mismo plano), entonces su producto mixto es igual a cero.

Significado geométrico: el producto mixto es igual en valor absoluto al volumen del paralelepípedo (ver figura) formado por los vectores y; el signo depende de si este triple de vectores es diestro o zurdo.

Coplanaridad de vectores.

Tres vectores (o más) se llaman coplanares si, reducidos a un origen común, se encuentran en el mismo plano.

Propiedades de la coplanaridad

Si al menos uno de los tres vectores es cero, entonces los tres vectores también se consideran coplanares.

Una terna de vectores que contiene un par de vectores colineales es coplanar.

Producto mixto de vectores coplanares. Este es un criterio para la coplanaridad de tres vectores.

Los vectores coplanares son linealmente dependientes. Este es también un criterio de coplanaridad.

En el espacio tridimensional, 3 vectores no coplanares forman una base

Vectores linealmente dependientes y linealmente independientes.

Linealmente dependiente y sistemas independientes vectores.Definición. El sistema vectorial se llama linealmente dependiente, si existe al menos una combinación lineal no trivial de estos vectores igual al vector cero. De lo contrario, es decir si sólo una combinación lineal trivial de vectores dados es igual al vector nulo, los vectores se llaman independiente linealmente.

Teorema (criterio de dependencia lineal). Para que un sistema de vectores en un espacio lineal sea linealmente dependiente, es necesario y suficiente que al menos uno de estos vectores sea una combinación lineal de los demás.

1) Si entre los vectores hay al menos un vector cero, entonces todo el sistema de vectores es linealmente dependiente.

De hecho, si, por ejemplo, , entonces, asumiendo , tenemos una combinación lineal no trivial .▲

2) Si entre los vectores algunos forman un sistema linealmente dependiente, entonces todo el sistema es linealmente dependiente.

De hecho, sean linealmente dependientes los vectores , . Esto significa que existe una combinación lineal no trivial igual al vector cero. Pero entonces, suponiendo , también obtenemos una combinación lineal no trivial igual al vector cero.

2. Base y dimensión. Definición. Sistema de vectores linealmente independientes. el espacio vectorial se llama base de este espacio si cualquier vector de puede representarse como una combinación lineal de vectores de este sistema, es decir para cada vector hay números reales tal que se cumple la igualdad. Esta igualdad se llama. descomposición vectorial según la base y los números son llamados coordenadas del vector con respecto a la base(o en la base) .

Teorema (sobre la unicidad del desarrollo con respecto a la base). Todo vector en el espacio se puede expandir hasta formar una base. de la única manera, es decir coordenadas de cada vector en la base se determinan de manera inequívoca.

Definición. Combinación lineal de vectores. a 1 , ..., a n con coeficientes x 1 , ..., x n se llama vector

x 1 un 1 + ... + x norte un norte .

trivial, si todos los coeficientes x 1 , ..., x n son iguales a cero.

Definición. La combinación lineal x 1 a 1 + ... + x n a n se llama no trivial, si al menos uno de los coeficientes x 1, ..., x n no es igual a cero.

independiente linealmente, si no existe una combinación no trivial de estos vectores igual al vector cero.

Es decir, los vectores a 1, ..., an son linealmente independientes si x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 si y solo si x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definición. Los vectores a 1, ..., an se llaman linealmente dependiente, si existe una combinación no trivial de estos vectores igual al vector cero.

Propiedades de vectores linealmente dependientes:

    Para vectores bidimensionales y tridimensionales.

    Dos vectores linealmente dependientes son colineales. (Los vectores colineales son linealmente dependientes).

    Para vectores tridimensionales.

    Tres vectores linealmente dependientes son coplanares. (Tres vectores coplanares son linealmente dependientes).

  • Para vectores n-dimensionales.

    n + 1 vectores siempre son linealmente dependientes.

Ejemplos de problemas de dependencia lineal e independencia lineal de vectores:

Ejemplo 1. Comprueba si los vectores a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) son linealmente independientes .

Solución:

Los vectores serán linealmente dependientes, ya que la dimensión de los vectores es menor que el número de vectores.

Ejemplo 2. Comprueba si los vectores a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) son linealmente independientes.

Solución:

x1 + x2 = 0
x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0
x1 + x3 = 0
1 1 0 0 ~
1 2 -1 0
1 0 1 0
~ 1 1 0 0 ~ 1 1 0 0 ~
1 - 1 2 - 1 -1 - 0 0 - 0 0 1 -1 0
1 - 1 0 - 1 1 - 0 0 - 0 0 -1 1 0

reste el segundo de la primera línea; agregue una segunda línea a la tercera línea:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (-1) 0 - 0 ~ 1 0 1 0
0 1 -1 0 0 1 -1 0
0 + 0 -1 + 1 1 + (-1) 0 + 0 0 0 0 0

Esta solución muestra que el sistema tiene muchas soluciones, es decir, existe una combinación distinta de cero de valores de los números x 1, x 2, x 3 tal que la combinación lineal de los vectores a, b, c es igual a el vector cero, por ejemplo:

A + b + c = 0

y esto significa que los vectores a, b, c son linealmente dependientes.

Respuesta: los vectores a, b, c son linealmente dependientes.

Ejemplo 3. Comprueba si los vectores a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) son linealmente independientes.

Solución: Encontremos los valores de los coeficientes en los que la combinación lineal de estos vectores será igual al vector cero.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Esta ecuación vectorial se puede escribir como un sistema. ecuaciones lineales

x1 + x2 = 0
x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0
x1 + 2x3 = 0

Resolvamos este sistema usando el método de Gauss.

1 1 0 0 ~
1 2 -1 0
1 0 2 0

reste la primera de la segunda línea; resta la primera de la tercera línea:

~ 1 1 0 0 ~ 1 1 0 0 ~
1 - 1 2 - 1 -1 - 0 0 - 0 0 1 -1 0
1 - 1 0 - 1 2 - 0 0 - 0 0 -1 2 0

reste el segundo de la primera línea; agregue una segunda a la tercera línea.

En este artículo cubriremos:

  • ¿Qué son los vectores colineales?
  • ¿Cuáles son las condiciones para la colinealidad de los vectores?
  • qué propiedades existen de los vectores colineales;
  • ¿Cuál es la dependencia lineal de los vectores colineales?
Definición 1

Los vectores colineales son vectores que son paralelos a una recta o que se encuentran en una recta.

Ejemplo 1

Condiciones para la colinealidad de vectores.

Dos vectores son colineales si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

  • condición 1 . Los vectores a y b son colineales si existe un número λ tal que a = λ b;
  • condición 2 . Los vectores a y b son colineales con proporciones de coordenadas iguales:

a = (a 1; a 2), b = (b 1; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

  • condición 3 . Los vectores a y b son colineales siempre que el producto vectorial y el vector cero sean iguales:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Nota 1

Condición 2 no aplicable si una de las coordenadas del vector es cero.

Nota 2

Condición 3 se aplica sólo a aquellos vectores que se especifican en el espacio.

Ejemplos de problemas para estudiar la colinealidad de vectores.

Ejemplo 1

Examinamos los vectores a = (1; 3) y b = (2; 1) en busca de colinealidad.

¿Cómo resolver?

En este caso, es necesario utilizar la segunda condición de colinealidad. Para vectores dados se ve así:

La igualdad es falsa. De esto podemos concluir que los vectores a y b no son colineales.

Respuesta : un | | b

Ejemplo 2

¿Qué valor m del vector a = (1; 2) y b = (- 1; m) es necesario para que los vectores sean colineales?

¿Cómo resolver?

Usando la segunda condición de colinealidad, los vectores serán colineales si sus coordenadas son proporcionales:

Esto muestra que m = - 2.

Respuesta: metro = - 2 .

Criterios de dependencia lineal e independencia lineal de sistemas vectoriales.

Teorema

Un sistema de vectores en un espacio vectorial es linealmente dependiente sólo si uno de los vectores del sistema se puede expresar en términos de los vectores restantes de este sistema.

Prueba

Sea el sistema e 1 , e 2 , . . . , e n es linealmente dependiente. Escribamos una combinación lineal de este sistema igual al vector cero:

un 1 mi 1 + un 2 mi 2 + . . . + un norte y norte = 0

en el que al menos uno de los coeficientes de combinación no es igual a cero.

Sea a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Dividimos ambos lados de la igualdad por un coeficiente distinto de cero:

un k - 1 (un k - 1 un 1) mi 1 + (un k - 1 un k) mi k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Denotemos:

A k - 1 a m , donde m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , norte

En este caso:

β 1 mi 1 + . . . + β k - 1 mi k - 1 + β k + 1 mi k + 1 + . . . + β norte mi norte = 0

o mi k = (- β 1) mi 1 + . . . + (- β k - 1) mi k - 1 + (- β k + 1) mi k + 1 + . . . + (- β norte) mi norte

De ello se deduce que uno de los vectores del sistema se expresa a través de todos los demás vectores del sistema. Que es lo que había que demostrar (etc.).

Adecuación

Sea uno de los vectores expresado linealmente a través de todos los demás vectores del sistema:

mi k = γ 1 mi 1 + . . . + γ k - 1 mi k - 1 + γ k + 1 mi k + 1 + . . . + γ norte mi norte

Movemos el vector e k al lado derecho de esta igualdad:

0 = γ 1 mi 1 + . . . + γ k - 1 mi k - 1 - mi k + γ k + 1 mi k + 1 + . . . + γ norte mi norte

Dado que el coeficiente del vector e k es igual a - 1 ≠ 0, obtenemos una representación no trivial de cero mediante un sistema de vectores e 1, e 2, . . . , e n , y esto, a su vez, significa que este sistema los vectores son linealmente dependientes. Que es lo que había que demostrar (etc.).

Consecuencia:

  • Un sistema de vectores es linealmente independiente cuando ninguno de sus vectores puede expresarse en términos de todos los demás vectores del sistema.
  • Un sistema de vectores que contiene un vector cero o dos vectores iguales es linealmente dependiente.

Propiedades de vectores linealmente dependientes.

  1. Para vectores bidimensionales y tridimensionales, se cumple la siguiente condición: dos vectores linealmente dependientes son colineales. Dos vectores colineales son linealmente dependientes.
  2. Para vectores tridimensionales, se cumple la siguiente condición: tres vectores linealmente dependientes son coplanares. (3 vectores coplanares son linealmente dependientes).
  3. Para vectores n-dimensionales, se cumple la siguiente condición: n + 1 vectores siempre son linealmente dependientes.

Ejemplos de resolución de problemas que involucran dependencia lineal o independencia lineal de vectores

Ejemplo 3

Comprobemos los vectores a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 para independencia lineal.

Solución. Los vectores son linealmente dependientes porque la dimensión de los vectores es menor que el número de vectores.

Ejemplo 4

Comprobemos la independencia lineal de los vectores a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1.

Solución. Encontramos los valores de los coeficientes en los que la combinación lineal será igual al vector cero:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Escribimos la ecuación vectorial en forma lineal:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Resolvemos este sistema usando el método de Gauss:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

De la 2ª línea restamos la 1ª, de la 3ª - la 1ª:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

De la 1ª línea restamos la 2ª, a la 3ª sumamos la 2ª:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

De la solución se deduce que el sistema tiene muchas soluciones. Esto significa que existe una combinación distinta de cero de valores de tales números x 1, x 2, x 3 para los cuales la combinación lineal de a, b, c es igual al vector cero. Por tanto, los vectores a, b, c son linealmente dependiente. ​​​​​​​

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