Единый государственный экзамен по математике базового уровня состоит из 20 заданий. В задании 20 проверяются навыки решения логических задач. Школьник должен уметь применять свои знания для решения задач на практике, в том числе на арифметическую и геометрическую прогрессию. Здесь вы можете узнать, как решать задание 20 ЕГЭ по математике базового уровня, а также изучить примеры и способы решения на основе подробно разобранных заданий.

Все задания ЕГЭ база все задания (263) ЕГЭ база задание 1 (5) ЕГЭ база задание 2 (6) ЕГЭ база задание 3 (45) ЕГЭ база задание 4 (33) ЕГЭ база задание 5 (2) ЕГЭ база задание 6 (44) ЕГЭ база задание 7 (1) ЕГЭ база задание 8 (12) ЕГЭ база задание 10 (22) ЕГЭ база задание 12 (5) ЕГЭ база задание 13 (20) ЕГЭ база задание 15 (13) ЕГЭ база задание 19 (23) ЕГЭ база задание 20 (32)

На ленте с разных сторон от середины отмечены две поперечные полоски

На ленте с разных сторон от середины отмечены две поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет длиннее другой на A см. Если разрезать по красной, то одна часть будет длиннее другой на B см. Найдите расстояние от красной до синей полоски.

Задача про ленту входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.

Биологи открыли разновидность амёб

Биологи открыли разновидность амёб, каждая из которых ровно через минуту делится на две. Биолог кладёт амёбу в пробирку, и ровно через N часов пробирка оказывается полностью заполненной амёбами. Сколько минут потребуется, чтобы вся пробирка заполнилась амёбами, если в неё положить не одну, а K амёб?

При демонстрации летней одежды наряды каждой манекенщицы

При демонстрации летней одежды наряды каждой манекенщицы отличаются хотя бы одним из трёх элементов: блузкой, юбкой и туфлями. Всего модельер приготовил для демонстрации A видов блузок, B вида юбок и C вида туфель. Сколько различных нарядов будет показано на этой демонстрации?

Задача про наряды входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.

Группа туристов преодолела горный перевал

Группа туристов преодолела горный перевал. Первый километр подъёма они преодолели за K минут, а каждый следующий километр проходили на L минут дольше предыдущего. Последний километр перед вершиной был пройден за M минут. После отдыха N минут на вершине туристы начали спуск, который был более пологим. Первый километр после вершины был пройден за P минут, а каждый следующий на R минут быстрее предыдущего. Сколько часов группа затратила на весь маршрут, если последний километр спуска был пройден за S минут.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.

Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме

Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять K капель, а в каждый следующий день - на N капель больше, чем в предыдущий. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится M капель?

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.

По эмпирическому закону Мура среднее число транзисторов на микросхемах

По эмпирическому закону Мура среднее число транзисторов на микросхемах каждый год увеличивается в N раз. Известно, что в 2005 году среднее число транзисторов на микросхеме равнялось K млн. Определите, сколько в среднем миллионов транзисторов было на микросхеме в 2003 году.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.

Нефтяная компания бурит скважину для добычи нефти

Нефтяная компания бурит скважину для добычи нефти, которая залегает, по данным геологоразведки, на глубине N км. В течение рабочего дня бурильщики проходят L метров в глубину, но за ночь скважина вновь «заиливается», то есть заполняется грунтом на K метров. За сколько рабочих дней нефтяники пробурят скважину до глубины залегания нефти?

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.

В магазине бытовой техники объём продаж холодильников носит сезонный характер

В магазине бытовой техники объём продаж холодильников носит сезонный характер. В январе было продано K холодильников, и в три последующих месяца продавали по L холодильников. С мая продажи увеличивались на M единиц по сравнению с предыдущим месяцем. С сентября объём продаж начал уменьшаться на N холодильников каждый месяц относительно предыдущего месяца. Сколько холодильников продал магазин за год?

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.

Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке

Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке L минут, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведённое на беговой дорожке, на M минут. За сколько занятий Андрей проведёт на беговой дорожке в общей сложности N часов K минут, если будет следовать советам тренера?

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.

Каждую секунду бактерия делится на две новые бактерии

Каждую секунду бактерия делится на две новые бактерии. Известно, что весь объём одного стакана бактерии заполняют за N часов. За сколько секунд стакан будет заполнен бактериями на 1/K часть?

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б - K км, между А и В - L км, между В и Г - M км, между Г и А - N км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.

Задача про бензоколонки входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в K подъезде в квартире № M, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом N-этажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Задача про квартиры и дома входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.

Мысикова Юлия

Единый государственный экзамен по математике базового уровня состоит из 20 заданий. В задании 20 проверяются навыки решения логических задач. Школьник должен уметь применять свои знания для решения задач на практике, в том числе на арифметическую и геометрическую прогрессию. В этой работе подробно разбираются, способы решения задание 20 ЕГЭ по математике базового уровня, а также примеры и способы решений на основе подробно разобранных заданий.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Задания на смекалку ЕГЭ по математике базового уровня. Задания №20 Мысиковой Юлии Александровны, ученицы 11 «А» социально-экономического класса Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №45»

Улитка на дереве Решение. Улитка за день заползает вверх по дереву на 3 м, а за ночь спускается на 2 м. Итого, за сутки она продвигается на 3 – 2 = 1 метр. За 7 суток она поднимется на 7 метров. На восьмой день она заползёт вверх еще на 3 метра и впервые окажется на высоте 7 + 3 = 10 (м), т.е. на вершине дерева. Ответ: 8 Улитка за день заползает вверх по дереву на 3 м, а за ночь спускается на 2 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка доползёт от основания до вершины дерева?

Бензоколонки Решение. Начертим окружность и расположим точки (бензоколонки)так, чтобы расстояния соответствовали условию. Заметим, что все расстояния между точками А, С и D известны. АС =20, АD=30, СD=20. Отметим точку А. От точки А по часовой стрелке отметим точку С, помним, что АС=20. Теперь будем отмечать точку D, которая лежит от А на расстоянии 30, это расстояние нельзя откладывать от А по часовой стрелке, так как тогда получится расстояние между С и D равно 10, а по условию СD= 2 0 . Значит от А до D надо двигаться против часовой стрелки, отмечаем точку D. Так как СD=20, то длина всей окружности равна 20+30+20=70. Так как АВ=35, то точка В диаметрально противоположна точке А. Расстояние от С до В будет равно 35-20=15. Ответ: 15. На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, B, C и Д. Расстояние между A и B - 35 км, между A и C - 20 км, между C и Д -20 км, между Д и A - 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между B и C. Ответ дайте в километрах.

В кинозале Решение. 1 способ. Просто считаем сколько мест в рядах до восьмого: 1 – 24 2 – 26 3 – 28 4 – 30 5 – 32 6 – 34 7 – 36 8 – 38. Ответ: 38. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 24 места, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в вось­мом ряду? 2 способ. Замечаем, что количество мест в рядах составляет арифметическую прогрессию с первым члено в 24 и разность равной 2. По формуле n - го члена прогрессии находим восьмой член а 8 = 24 + (8 – 1)*2 = 38. Ответ: 38.

Грибы в корзине Решение. Из условия, что среди любых 27 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик следует – количество груздей не больше 26. Из второго условия, что среди любых 25 гри­бов хотя бы один груздь, следует - количество рыжиков не больше 24. Так как всего грибов – 50, то рыжиков 24, а груздей – 26. Ответ: 24. В кор­зи­не лежат 50 гри­бов: ры­жи­ки и груз­ди. Из­вест­но, что среди любых 27 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 25 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в кор­зи­не?

Кубики в ряд Решение. Если пронумеровать все кубики числами от одного до шести (не учитывая, что имеются кубики разного цвета), то получим общее число перестановки кубиков: Р(6)=6*5*4*3*2*1=720 Теперь вспомним, что имеются 2 кубика красного цвета и перестановка их местами (Р(2)=2*1=2) не даст нового способа, поэтому полученное произведение надо уменьшить в 2 раза. Аналогично, вспоминаем, что у нас имеются 3 кубика зелёного цвета, поэтому придётся полученное произведение уменьшить ещё и в 6 раз (Р(3)=3*2*1=6) Итак, получим общее число способов расстановки кубиков 60. Ответ: 60. Сколь­ки­ми спо­со­ба­ми можно по­ста­вить в ряд два оди­на­ко­вых крас­ных ку­би­ка, три оди­на­ко­вых зелёных ку­би­ка и один синий кубик?

На бе­го­вой до­рож­ке Тре­нер по­со­ве­то­вал Ан­дрею в пер­вый день за­ня­тий про­ве­сти на бе­го­вой до­рож­ке 15 минут, а на каж­дом сле­ду­ю­щем за­ня­тии уве­ли­чи­вать время, про­ведённое на бе­го­вой до­рож­ке, на 7 минут. За сколь­ко за­ня­тий Ан­дрей про­ведёт на бе­го­вой до­рож­ке в общей слож­но­сти 2 часа 25 минут, если будет сле­до­вать со­ве­там тре­не­ра? Решение. 1 способ. Замечаем, что надо найти сумму арифметической прогрессии с первым членом 15 и разность равной 7. По формуле суммы n первых членов прогрессии S n =(2a 1 +(n-1)d)*n/2 имеем 145=(2*15+(n–1)*7)*n/2, 290=(30+(n–1)*7)*n, 290=(30+7n–7)*n, 290=(23+7n)*n, 290=23n+7n 2 , 7n 2 +23n-290=0, n=5 . Ответ: 5. 2 способ. Более трудоёмкий. 1-15-15 2-22-37 3-29-66 4-36-102 5-43-145. Ответ: 5.

Меняем монеты За­да­ние 20. В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух опе­ра­ций: за 2 зо­ло­тые мо­не­ты по­лу­чить 3 се­реб­ря­ные и одну мед­ную; за 5 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 3 зо­ло­тые и одну мед­ную. У Ни­ко­лая были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. После не­сколь­ких по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало мень­ше, зо­ло­тых не по­яви­лось, зато по­яви­лось 50 мед­ных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Ни­ко­лая? Решение. Пусть Николай сделал сначала х операций второго типа, а затем у операций первого типа. Тогда имеем: Тогда серебряных монет стало на 3у -5х = 90 – 100 = -10 т.е. на 10 меньше. Ответ: 10

Хозяин договорился Решение. Из условия понятно, что по­сле­до­ва­тель­ность цен за каждый выкопанный метр является ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сией с пер­вым чле­ном а 1 = 3700 и раз­но­стью d=1700 . Сумма пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле S n = 0,5(2a 1 + (n – 1)d)n . Подставляя исходные данные, получаем: S 10 = 0,5(2*3700 + (8 – 1)*1700)*8 = 77200 . Таким образом, хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить ра­бо­чим 77200 руб. Ответ: 77200. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3700 рублей, а за каждый следующий метр - на 1700 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 8 метров?

Вода в котловане В ре­зуль­та­те па­вод­ка кот­ло­ван за­пол­нил­ся водой до уров­ня 2 метра. Стро­и­тель­ная помпа не­пре­рыв­но от­ка­чи­ва­ет воду, по­ни­жая её уро­вень на 20 см в час. Под­поч­вен­ные воды, на­о­бо­рот, по­вы­ша­ют уро­вень воды в кот­ло­ва­не на 5 см в час. За сколь­ко часов ра­бо­ты помпы уро­вень воды в кот­ло­ва­не опу­стит­ся до 80 см? Решение. В результате работы насоса и подтопления почвенными водами уровень воды в котловане понижается на 20-5=15 сантиметров за час. Чтобы уровень снизился на 200-80=120 сантиметров необходимо 120:15=8 часов. Ответ: 8.

Бак с щелью В бак объёмом 38 литров каждый час, начиная с 12 часов, наливают полное ведро воды объёмом 8 литров. Но в днище бака есть небольшая щель, и из неё за час вытекает 3 литра. В какой момент времени (в часах) бак будет заполнен полностью? Решение. К концу каждого часа объём воды в баке увеличивается на 8 − 3 = 5 литров. Через 6 часов, то есть в 18 часов, в баке будет 30 литров воды. В 19 часов в бак дольют 8 литров воды и объём воды в баке станет равным 38 литров. Ответ: 19.

Скважина Неф­тя­ная ком­па­ния бурит сква­жи­ну для до­бы­чи нефти, ко­то­рая за­ле­га­ет, по дан­ным гео­ло­го­раз­вед­ки, на глу­би­не 3 км. В те­че­ние ра­бо­че­го дня бу­риль­щи­ки про­хо­дят 300 мет­ров в глу­би­ну, но за ночь сква­жи­на вновь «за­или­ва­ет­ся», то есть за­пол­ня­ет­ся грун­том на 30 мет­ров. За сколь­ко ра­бо­чих дней неф­тя­ни­ки про­бу­рят сква­жи­ну до глу­би­ны за­ле­га­ния нефти? Решение. Учитывая заиливание скважины, в течении суток проходят 300-30=270 метров. Значит за 10 полных суток будет пройдено 2700 метров и за 11-й рабочий день будет пройдено ещё 300 метров. Ответ: 11.

Глобус На по­верх­но­сти гло­бу­са фло­ма­сте­ром про­ве­де­ны 17 па­рал­ле­лей и 24 ме­ри­ди­а­на. На сколь­ко ча­стей про­ведённые линии раз­де­ли­ли по­верх­ность гло­бу­са? Решение. Одна параллель разбивает поверхность глобуса на 2 части. Две на три части. Три на четыре части и т. д. 17 параллелей разбивают поверхность на 18 частей. Проведём один меридиан, и получим одну целую (не разрезанную) поверхность. Проведём второй меридиан и у нас уже две части, третий меридиан разобьёт поверхность на три части и т. д. 24 меридиана разбили нашу поверхность на 24 части. Получаем 18*24=432. Все линии разделят поверхность глобуса на 432 части. Ответ: 432.

Кузнечик прыгает Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 8 прыжков, начиная прыгать из начала координат? Решение: Немного подумав, мы можем за­ме­тить, что куз­не­чик может ока­зать­ся толь­ко в точ­ках с чётными ко­ор­ди­на­та­ми, по­сколь­ку число прыж­ков, ко­то­рое он де­ла­ет, чётно. Например, если он сделает пять прыжков в одну сторону, то в обратную сторону он сделает три прыжка и окажется в точках 2 или −2. Мак­си­маль­но куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках, мо­дуль ко­то­рых не пре­вы­ша­ет восьми. Таким об­ра­зом, куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках: −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6 и 8; всего 9 точек. Ответ: 9 .

Новые бактерии Каж­дую се­кун­ду бак­те­рия де­лит­ся на две новые бак­те­рии. Из­вест­но, что весь объём од­но­го ста­ка­на бак­те­рии за­пол­ня­ют за 1 час. За сколь­ко се­кунд бак­те­рии за­пол­ня­ют по­ло­ви­ну ста­ка­на? Решение. Вспомним, что 1 час = 3600 секундам. Через каждую секунду бактерий становится в два раза больше. Значит, чтобы из половины стакана бактерий получился полный стакан нужна всего 1 секунда. Поэтому стакан был заполнен на половину за 3600-1=3599 секунд. Ответ: 3599.

Делим числа Про­из­ве­де­ние де­ся­ти иду­щих под­ряд чисел раз­де­ли­ли на 7. Чему может быть равен оста­ток? Решение. Задача простая, так как среди десяти подряд идущих натуральных чисел хотя бы одно делится на 7. Значит и всё произведение будет делиться на 7 без остатка. То есть остаток равен 0. Ответ: 0.

Где живёт Петя? Задача 1. В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Петя живёт в квартире № 50. На каком этаже живёт Петя? Решение: Делим 50 на 6, получаем частное 8 и 2 в остатке. Это значит, что Петя живёт на 9 этаже. Ответ: 9. Задача 2. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 455 квартир? Решение: Решение этой задачи вытекает из разложения числа 455 на простые множители. 455 = 13*7*5. Значит в доме 13 этажей, по 7 квартир на каждом этаже в подъезде, 5 подъездов. Ответ: 13.

Задача 3. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.) Решение: Петя может подсчитать, что в двенадцатиэтажном доме в первых семи подъездах 12*7=84 площадки. Дальше, перебирая возможное количество квартир на одной площадке, можно увидеть, что их меньше шести, так как 84*6 = 504. Это больше 468. Значит, на каждой из площадок 5 квартир, тогда в первых семи подъездах 84*5 =420 квартир. 468 – 420 = 48, то есть Саша живёт в 48 квартире в 8 подъезде (если бы нумерация была с единицы в каждом подъезде). 48:5 = 9 и 3 в остатке. Таким образом Сашина квартира на 10 этаже. Ответ: 10.

Меню ресторана В меню ресторана имеется 6 видов салатов, 3 вида первых блюд, 5 видов вторых блюд и 4 вида десерта. Сколько вариантов обеда из салата, первого, второго и десерта могут выбрать посетители этого ресторана? Решение. Если мы пронумеруем каждый салат, первое, второе, десерт, то: с 1 салатом, 1 первым,1 вторым можно подать один из 4-х десертов. 4 варианта. Со вторым вторым тоже 4 варианта и т.д. Всего получим 6*3*5*4=360. Ответ: 360.

Маша и медведь Медведь съел свою половину банки варенья в 3 раза быстрее, чем Маша, значит, у него еще осталось в 3 раза больше времени на кушанье печенья. Т.к. Медведь ест печенье в 3 раза быстрее, чем Маша и еще у него осталось в 3 раза больше времени (он съел в 3 раза быстрее свою половину банки варенья), то он съедает в 3⋅3=9 раз больше печений, чем Маша (9 печений съедает Медведь, в то время как Маша только 1 печенье). Получается, что в отношении 9:1 едят Медведь и Маша печенье. Всего получается 10 долей, значит, 1 доля равна 160:10=16. В итоге, Медведь съел 16⋅9=144 печений. Ответ: 144 Маша и Медведь съели 160 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь - печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенье они съели поровну?

Палки и линии На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым - 5 кусков, а если по зелёным - 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов? Решение. Если распилить палку по красным линиям, то получится 15 кусков, следовательно, линий - 14. Если распилить палку по желтым - 5 кусков, следовательно, линий - 4. Если распилить по зеленым - 7 кусков, линий - 6. Всего линий: 14+4+6=24 линии, следовательно, кусков будет 25. Ответ: 25

Врач прописал Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 3 капли, а в каждый следующий день - на 3 капли больше, чем в предыдущий. Приняв 30 капель, он ещё 3 дня пьёт по 30 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает приём на 3 капли. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)? Решение На первом этапе приёма капель число принимаемых капель в день представляет собой возрастающую арифметическую прогрессию с первым членом, равным 3, разностью, равной 3 и последним членом, равным 30. Следовательно: Тогда 3 + 3(n -1)=30; 3+ 3 n -3=30; 3 n =30; n =10 , т.е. прошло 10 дней по схеме увеличения до 30 капель. Знаем формулу суммы ариф. прогрессии: Вычислим S10:

За следующие 3 дня – по 30 капель: 30 · 3 = 90 (капель) На последнем этапе приёма: Т.е. 30 -3(n-1) =0; 30 -3n+3=0; -3n=-33; n=11 т.е. 11 дней приём лекарства уменьшался. Найдём сумму арифметич. прогрессии 4) Значит, 165 + 90 + 165 = 420 капель всего 5) Тогда 420: 250 = 42/25 = 1 (17/25) пузырька Ответ: надо купить 2 пузырька

Магазин бытовой техники В магазине бытовой техники объём продаж холодильников носит сезонный характер. В январе было продано 10 холодильников, и в три последующих месяца продавали по 10 холодильников. С мая продажи увеличивались на 15 единиц по сравнению с предыдущим месяцем. С сентября объём продаж начал уменьшаться на 15 холодильников каждый месяц относительно предыдущего месяца. Сколько холодильников продал магазин за год? Решение. Последовательно рассчитаем сколько холодильников было продано за каждый месяц и просуммируем результаты: 10 · 4+(10+15)+(25+15)+(40+15)+(55+15)+(70-15)+ (55-15)+(40-15)+ (25-15)= = 40+25+40+55+70+55+40+25+10=120+110+130=360 Ответ: 360.

Ящики Ящики двух видов, имеющие одинаковую ширину и высоту, укладывают на складе в один ряд длиной 43м, приставляя друг к другу по ширине. Ящики одного вида имеют длину 2м, а другого-5м. Какое наименьшее число ящиков потребуется для заполнения всего ряда без образования пустых мест? Решение Т.к. надо найти наименьшее число ящиков, то => надо взять наибольшее количество больших ящиков. Значит 5 · 7 = 35; 43 – 35 = 8 и 8:2=4 ; 4+7=11 Значит, ящиков всего 11 . Ответ: 11.

Таблица В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы поставили по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 119, во втором - 125, в третьем - 133, а сумма чисел в каждой строке больше 15, но меньше 18. Сколько всего строк в столбце? Решение. Общая сумма во всех столбцах = 119 + 125 + 133 = 377 Числа 18 и 15 не включены в предел, значит: 1) если сумма в строке = 17, то, количество строк равно 377: 17= =22,2 2) если сумма в строке = 16, то, количество строк равно 377: 16= =23,5 Значит кол-во строк = 23 (т.к. оно должно быть между 22,2 и 23,5) Ответ: 23

Викторина и задания Список заданий викторины состоял из 36 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствие ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 75 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся? Решение. 1 способ: Пусть Х – количество верных ответов у – количество неверных ответов. Тогда составим уравнение 5х -11у = 75, где 0

Группа туристов Группа туристов преодолела горный перевал. Первый километр подъёма они преодолели за 50 минут, а каждый следующий километр проходили на 15 минут дольше предыдущего. Последний километр перед вершиной был пройден за 95 минут. После десятиминутного отдыха на вершине туристы начали спуск, который был более пологим. Первый километр после вершины был пройден за час, а каждый следующий на 10 минут быстрее предыдущего. Сколько часов группа затратила на весь маршрут, если последний километр спуска был пройден за 10 минут? Решение. На подъём в гору группа затратила 290 минут, на отдых 10 минут, на спуск с горы 210 минут. В сумме туристы затратили на весь маршрут 510 минут. Переведём 510 минут в часы и получим, что за 8,5 часов туристы преодолели весь маршрут. Ответ: 8,5

Спасибо за внимание!

Задание 20 Базовый уровень ЕГЭ

1)Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 13 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева? (4-1 =3, утро 4 дня окажется на высоте 9м, и за день проползет 4м. Ответ: 4 )

2)Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 3 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева? Ответ: 7

3)Улит­ка за день за­ле­за­ет вверх по де­ре­ву на 3 м, а за ночь спус­ка­ет­ся на 2 м. Вы­со­та де­ре­ва 10 м. За сколь­ко дней улит­ка под­ни­мет­ся на вер­ши­ну де­ре­ва?Ответ:8

4) На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым - 5 кусков, а если по зелёным - 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов? (Если распилить палку по красным линиям, то получится 15 кусков, следовательно, линий - 14. Если распилить палку по желтым - 5 кусков, следовательно, линий - 4. Если распилить по зеленым - 7 кусков, линий - 6. Всего линий: 14 + 4 + 6 = 24 линии. Ответ: 25 )

5) На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если по жёлтым - 7 кусков, а если по зелёным - 11 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов? Ответ : 21

6)На палке от­ме­че­ны по­пе­реч­ные линии крас­но­го, жёлтого и зелёного цвета. Если рас­пи­лить палку по крас­ным ли­ни­ям, по­лу­чит­ся 10 кус­ков, если по жёлтым - 8 кус­ков, если по зелёным - 8 кус­ков. Сколь­ко кус­ков по­лу­чит­ся, если рас­пи­лить палку по ли­ни­ям всех трёх цве­тов? Ответ : 24

7) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

За 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;

За 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая? Ответ: 10

8)В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух опе­ра­ций:

· за 2 зо­ло­тые мо­не­ты по­лу­чить 3 се­реб­ря­ные и одну мед­ную;

· за 5 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 3 зо­ло­тые и одну мед­ную.

У Ни­ко­лая были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. После не­сколь­ких по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало мень­ше, зо­ло­тых не по­яви­лось, зато по­яви­лось 100 мед­ных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Ни­ко­лая ? Ответ: 20

9) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

1) за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;

2) за 6 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.

У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николы? Ответ: 10

10) В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух опе­ра­ций:

1) за 3 зо­ло­тых мо­не­ты по­лу­чить 4 се­реб­ря­ных и одну мед­ную;

2) за 7 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 4 зо­ло­тых и одну мед­ную.

У Ни­ко­лы были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. После по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало мень­ше, зо­ло­тых не по­яви­лось, зато по­яви­лось 42 мед­ных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Ни­ко­лы? Ответ: 30

11) В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух опе­ра­ций:

1) за 4 зо­ло­тых мо­не­ты по­лу­чить 5 се­реб­ря­ных и одну мед­ную;

2) за 8 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 5 зо­ло­тых и одну мед­ную.

У Ни­ко­лая были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. После не­сколь­ких по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало мень­ше, зо­ло­тых не по­яви­лось, зато по­яви­лось 45 мед­ных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Ни­ко­лая? Ответ: 35

12)В корзине лежит 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 28 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине? ( (50-28)+1=23 - долж­но быть ры­жи­ков. (50-24)+1=27 - долж­но быть груз­дей. Ответ: груздей в кор­зи­не 27 .)

13)В кор­зи­не лежит 40 гри­бов: ры­жи­ки и груз­ди. Из­вест­но, что среди любых 17 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 25 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в кор­зи­не? (Со­глас­но усло­вию за­да­чи: (40-17)+1=24 - долж­но быть ры­жи­ков. (40-25)+1=16 24 .)

14) кор­зи­не лежит 30 гри­бов: ры­жи­ки и груз­ди. Из­вест­но, что среди любых 12 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 20 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в кор­зи­не? (Со­глас­но усло­вию за­да­чи: (30-12)+1=19 - долж­но быть ры­жи­ков. (30-20)+1=11 - долж­но быть груз­дей. Ответ: ры­жи­ков в кор­зи­не 19 .)

15)В корзине лежит 45 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 23 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине? (Со­глас­но усло­вию за­да­чи: (45-23)+1=23 - долж­но быть ры­жи­ков. (45-24)+1=22 - долж­но быть груз­дей. Ответ: ры­жи­ков в кор­зи­не 23 .)

16)В корзине лежит 25 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 11 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 16 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине? (Так как среди любых 11 грибов хотя бы один – рыжик, то груздей не больше 10. Так как среди любых 16 грибов хотя бы один – груздь, то рыжиков не больше 15. А так как всего в корзине 25 грибов, то груздей ровно 10, а рыжиков ровно Ответ:15.

17)Хо­зя­ин до­го­во­рил­ся с ра­бо­чи­ми, что они вы­ко­па­ют ему ко­ло­дец на сле­ду­ю­щих усло­ви­ях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 4200 руб­лей, а за каж­дый сле­ду­ю­щий метр - на 1300 руб­лей боль­ше, чем за преды­ду­щий. Сколь­ко денег хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить ра­бо­чим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец глу­би­ной 11 мет­ров?(Ответ: 117700)

18) Хо­зя­ин до­го­во­рил­ся с ра­бо­чи­ми, что они вы­ко­па­ют ему ко­ло­дец на сле­ду­ю­щих усло­ви­ях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 3700 руб­лей, а за каж­дый сле­ду­ю­щий метр - на 1700 руб­лей боль­ше, чем за преды­ду­щий. Сколь­ко денег хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить ра­бо­чим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец глу­би­ной 8 мет­ров? (77200 )

19) Хо­зя­ин до­го­во­рил­ся с ра­бо­чи­ми, что они ко­па­ют ко­ло­дец на сле­ду­ю­щих усло­ви­ях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 3500 руб­лей, а за каж­дый сле­ду­ю­щий метр - на 1600 руб­лей боль­ше, чем за преды­ду­щий. Сколь­ко денег хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить ра­бо­чим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец глу­би­ной 9 мет­ров? (89100 )

20) Хо­зя­ин до­го­во­рил­ся с ра­бо­чи­ми, что они вы­ко­па­ют ему ко­ло­дец на сле­ду­ю­щих усло­ви­ях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 3900 руб­лей, а за каж­дый сле­ду­ю­щий метр будет пла­тить на 1200 руб­лей боль­ше, чем за преды­ду­щий. Сколь­ко руб­лей хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить ра­бо­чим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец глу­би­ной 6 мет­ров? (41400)

21) Тре­нер по­со­ве­то­вал Ан­дрею в пер­вый день за­ня­тий про­ве­сти на бе­го­вой до­рож­ке 15 минут, а на каж­дом сле­ду­ю­щем за­ня­тии уве­ли­чи­вать время, про­ведённое на бе­го­вой до­рож­ке, на 7 минут. За сколь­ко за­ня­тий Ан­дрей про­ведёт на бе­го­вой до­рож­ке в общей слож­но­сти 2 часа 25 минут, если будет сле­до­вать со­ве­там тре­не­ра? (5 )

22) Тре­нер по­со­ве­то­вал Ан­дрею в пер­вый день за­ня­тий про­ве­сти на бе­го­вой до­рож­ке 22 ми­ну­ты, а на каж­дом сле­ду­ю­щем за­ня­тии уве­ли­чи­вать время, про­ведённое на бе­го­вой до­рож­ке, на 4 ми­ну­ты, пока оно не до­стиг­нет 60 минут, а даль­ше про­дол­жать тре­ни­ро­вать­ся по 60 минут каж­дый день. За сколь­ко за­ня­тий, на­чи­ная с пер­во­го, Ан­дрей про­ведёт на бе­го­вой до­рож­ке в сумме 4 часа 48 минут? (8 )

23) В пер­вом ряду ки­но­за­ла 24 места, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в вось­мом ряду? (38 )

24)Врач про­пи­сал па­ци­ен­ту при­ни­мать ле­кар­ство по такой схеме: в пер­вый день он дол­жен при­нять 3 капли, а в каж­дый сле­ду­ю­щий день - на 3 капли боль­ше, чем в преды­ду­щий. При­няв 30 ка­пель, он ещё 3 дня пьёт по 30 ка­пель ле­кар­ства, а потом еже­днев­но умень­ша­ет приём на 3 капли. Сколь­ко пу­зырь­ков ле­кар­ства нужно ку­пить па­ци­ен­ту на весь курс приёма, если в каж­дом со­дер­жит­ся 20 мл ле­кар­ства (что со­став­ля­ет 250 ка­пель)? (2) сумму ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с пер­вым чле­ном, рав­ным 3, раз­но­стью, рав­ной 3 и по­след­ним чле­ном, рав­ным 30.; 165 + 90 + 135 = 390 ка­пель; 3+ 3(n -1)=30; n =10 и 27- 3(n -1)=3; n =9

25) Врач про­пи­сал па­ци­ен­ту при­ни­мать ле­кар­ство по такой схеме: в пер­вый день он дол­жен при­нять 20 ка­пель, а в каж­дый сле­ду­ю­щий день - на 3 капли боль­ше, чем в преды­ду­щий. После 15 дней приёма па­ци­ент де­ла­ет пе­ре­рыв в 3 дня и про­дол­жа­ет при­ни­мать ле­кар­ство по об­рат­ной схеме: в 19-й день он при­ни­ма­ет столь­ко же ка­пель, сколь­ко и в 15-й день, а затем еже­днев­но умень­ша­ет дозу на 3 капли, пока до­зи­ров­ка не ста­нет мень­ше 3 ка­пель в день. Сколь­ко пу­зырь­ков ле­кар­ства нужно ку­пить па­ци­ен­ту на весь курс приёма, если в каж­дом со­дер­жит­ся 200 ка­пель? (7 ) вы­пьет 615 + 615 + 55 = 1285 ;1285: 200 = 6,4

26)В ма­га­зи­не бы­то­вой тех­ни­ки объём про­даж хо­ло­диль­ни­ков носит се­зон­ный ха­рак­тер. В ян­ва­ре было про­да­но 10 хо­ло­диль­ни­ков, и в три по­сле­ду­ю­щих ме­ся­ца про­да­ва­ли по 10 хо­ло­диль­ни­ков. С мая про­да­жи уве­ли­чи­ва­лись на 15 еди­ниц по срав­не­нию с преды­ду­щим ме­ся­цем. С сен­тяб­ря объём про­даж начал умень­шать­ся на 15 хо­ло­диль­ни­ков каж­дый месяц от­но­си­тель­но преды­ду­ще­го ме­ся­ца. Сколь­ко хо­ло­диль­ни­ков про­дал ма­га­зин за год? (360) (5*10+2*25+2*40+2*55+70=360

27) На по­верх­но­сти гло­бу­са фло­ма­сте­ром про­ве­де­ны 12 па­рал­ле­лей и 22 ме­ри­ди­а­на. На сколь­ко ча­стей про­ведённые линии раз­де­ли­ли по­верх­ность гло­бу­са?

Ме­ри­ди­ан - это дуга окруж­но­сти, со­еди­ня­ю­щая Се­вер­ный и Южный по­лю­сы. Па­рал­лель - это окруж­ность, ле­жа­щая в плос­ко­сти, па­рал­лель­ной плос­ко­сти эк­ва­то­ра. (13 · 22= 286)

28) На по­верх­но­сти гло­бу­са фло­ма­сте­ром про­ве­де­ны 17 па­рал­ле­лей и 24 ме­ри­ди­а­на. На сколь­ко ча­стей про­ведённые линии раз­де­ли­ли по­верх­ность гло­бу­са? Ме­ри­ди­ан - это дуга окруж­но­сти, со­еди­ня­ю­щая Се­вер­ный и Южный по­лю­сы. Па­рал­лель - это окруж­ность, ле­жа­щая в плос­ко­сти, па­рал­лель­ной плос­ко­сти эк­ва­то­ра. (18 · 24 = 432)

29)Какое наи­мень­шее число иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы их про­из­ве­де­ние де­ли­лось на 7? (2) Если бы усло­вие за­да­чи зву­ча­ло так: «Какое наи­мень­шее число иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы их про­из­ве­де­ние га­ран­ти­ро­ва­но де­ли­лось на 7?» То нужно было бы взять семь под­ряд иду­щих чисел.

30)Какое наи­мень­шее число иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы их про­из­ве­де­ние де­ли­лось на 9? (2)

31)Про­из­ве­де­ние де­ся­ти иду­щих под­ряд чисел раз­де­ли­ли на 7. Чему может быть равен оста­ток? (0) Среди 10 под­ряд иду­щих чисел одно из них обя­за­тель­но будет де­лить­ся на 7, по­это­му про­из­ве­де­ние этих чисел крат­но семи. Сле­до­ва­тель­но, оста­ток от де­ле­ния на 7 равен нулю.

32)Куз­не­чик пры­га­ет вдоль ко­ор­ди­нат­ной пря­мой в любом на­прав­ле­нии на еди­нич­ный от­ре­зок за пры­жок. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных точек на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, в ко­то­рых куз­не­чик может ока­зать­ся, сде­лав ровно 6 прыж­ков, на­чи­ная пры­гать из на­ча­ла ко­ор­ди­нат? ( куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках: −6, −4, −2, 0, 2, 4 и 6; всего 7 точек.)

33)Куз­не­чик пры­га­ет вдоль ко­ор­ди­нат­ной пря­мой в любом на­прав­ле­нии на еди­нич­ный от­ре­зок за пры­жок. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных точек на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, в ко­то­рых куз­не­чик может ока­зать­ся, сде­лав ровно 12 прыж­ков, на­чи­ная пры­гать из на­ча­ла ко­ор­ди­нат? (куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках: −12, −10, −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 и 12; всего 13 точек.)

34)Куз­не­чик пры­га­ет вдоль ко­ор­ди­нат­ной пря­мой в любом на­прав­ле­нии на еди­нич­ный от­ре­зок за пры­жок. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных точек на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, в ко­то­рых куз­не­чик может ока­зать­ся, сде­лав ровно 11 прыж­ков, на­чи­ная пры­гать из на­ча­ла ко­ор­ди­нат?(может ока­зать­ся в точ­ках: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11; всего 12 точек.)

35)Куз­не­чик пры­га­ет вдоль ко­ор­ди­нат­ной пря­мой в любом на­прав­ле­нии на еди­нич­ный от­ре­зок за пры­жок. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных точек на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, в ко­то­рых куз­не­чик может ока­зать­ся, сде­лав ровно 8 прыж­ков, на­чи­ная пры­гать из на­ча­ла ко­ор­ди­нат?

За­ме­тим, что куз­не­чик может ока­зать­ся толь­ко в точ­ках с чётными ко­ор­ди­на­та­ми, по­сколь­ку число прыж­ков, ко­то­рое он де­ла­ет, - чётно. Мак­си­маль­но куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках, мо­дуль ко­то­рых не пре­вы­ша­ет восьми. Таким об­ра­зом, куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках: −8, −6, -2 ; −4, 0,2 , 4, 6, 8 всего 9 точек.

Рассмотрим такого плана задачи. Мы имеем следующие условия:

Общее количество: N

Из А штук хотя бы 1 другого вида, а из В штук хотя бы 1 первого вида

Тогда: (А-1) – минимальное количество первого вида, а (В-1) – второго.

После делаем проверку: (А-1)+(В-1)= N .

ПРИМЕР

В

РЕШЕНИЕ

Итак: всего рыб у нас 35 (окуни и плотвички)

Рассмотрим условия: среди любых 21 рыбы имеется хотя бы одна плотвичка, значит минимум 1 плотвичка есть в данном условии, следовательно (21-1)=20 это минимум окуней. Среди любых 16 рыб - хотя бы один окунь, рассуждая аналогично, (16-1)=15 – это минимум плотвичек. Теперь делаем проверку: 20+15=35, то есть мы получили общее количество рыб, а значит 20 окуней и 15 плотвичек.

ОТВЕТ: 15 плотвичек

Викторина и количество правильных ответов

Список заданий викторины состоял из А вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал а очков, за неправильный ответ с него списывали b очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший N очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Мы знаем сколько баллов он заработал, знаем цену правильного и неправильного ответа. Исходя из того был дан хотя бы один неправильный ответ, то количество баллов за правильные ответы должны превышать количество штрафных баллов на N баллов. Пусть было дано х правильных ответов и у неправильных, тогда:

а* x = N + b * y

х=( N + b * y )/а

из данного равенства видно, что число в скобках должно быть кратным а. С учетом этого мы можем оценить у(он тоже целое число). При этом надо учесть что количество правильных и не правильных ответов не должно превышать общего числа вопросов.

ПРИМЕР

РЕШЕНИЕ:

вводим обозначения (для удобства) х - правильные, у – неправильные, тогда

5*х=75+11*у

Х=(75+11*у)/5

Так как 75 делится нацело на пять, то и 11*у тоже должно делиться нацело на пять. Поэтому у может принимать значения кратные пяти (5, 10, 15, и т.д.). берем первое значение у=5 тогда х=(75+11*5)/5=26 всего вопросов 26+5=31

У=10 х=(75+11*10)=37 всего ответов 37+10= 47 (больше чем вопросов) не подходит.

Значит всего было: 26 верных и 5 неверных ответов.

ОТВЕТ: 26 верных ответов

На каком этаже?

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в а подъезде в квартире № N , а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом y- этажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

РЕШЕНИЕ

По условию задачи мы знаем номер квартиры, подъезд и количество этажей в доме. Исходя из этих данных, можно сделать оценку количества квартир на этаже. Пусть х - количество квартир на этаже, тогда должно выполняться следующее условие:

А*у*х должно быть больше или равно N

Из этого неравенства оцениваем х

Берем для начала минимальное целое значение х, пусть оно равно с, и делаем проверку: (а-1)*у*с меньше N , а а*у*с больше или равно N .

Выбрав необходимое нам значение х, мы легко можем рассчитать этаж (в): в=(N -( a -1)* c )/ c , причем в – целое число и получая дробное значение, мы берем ближайшее целое(в большую сторону)

ПРИМЕР

РЕШЕНИЕ

Оценим количество квартир на этаже: 7*7*х больше или равно 462, отсюда хбольше или равен 462/(7*7)=9,42 значит минимальный х=10. Делаем проверку: 6*7*10=420 и 7*7*10=490 в итоге мы получили,что квартира по номеру попадает в данный диапозон. Теперь найдем этаж: (462-6*7*10)/10=4,2 значит мальчик живет на пятом этаже.

ОТВЕТ: 5 этаж

Квартиры, этажи, подъезды

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и па всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём Х квартир?

Данный тип задач базируется на следующем условии: если в доме Э – этажей, П – подъездов и К – квартир на этаже, то общее количество квартир в доме должно быть равно Э*П*К=Х. значит нам необходимо Х представить в виде произведения трех чисел не равны 1(по условию задачи). Для этого сделаем разложение числа Х на простые множители. Сделав разложение и учитывая условия задачи мы делаем выборку соответствия чисел и тех условий, которые указаны в задачи.

ПРИМЕР

РЕШЕНИЕ

Представим число 105 в виде произведения простых множителей

105=5*7*3, теперь вернемся к условию задачи: так как число этажей самое большое, то оно равно 7, число квартир на этаже 5, а подъездов – 3.

ОТВЕТ: подъездов - 7, квартир на этаже – 5, подъездов – 3.

Обмен

В

За а золотых монет получить у серебряные и с медную;

За х серебряных монет получить в золотых и с 1 медную.

У Николая были только серебряные монеты. После обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось С медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

В обменом пунукте есть две схемы обмена:

ПРИМЕР

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

РЕШЕНИЕ

5 золотых=4 серебрянных+1 медная

10 серебрянных=7 золотых+1 медная

так как не появилось золотых монет, то нам необходима схема обмена без золоты монет. Поэтому количество золотых монет должно быть равным в обоих случаях. Нам надо найти наименьшее общее кратное чисел 5 и 7, и привести наше золото в обоих случаях к нему:

35 золотых=28 серебрянных+7 медных

50 серебрянных=35 золотых+5 медных

в итоге получаем

50 серебрянных=28 серебрянных+12 медных

Мы нашли схему обмена минуя золотые монеты, теперь нам надо,зная количество медных монет, найти сколько раз такая операция выполнялась

N =60/12=5

В итоге получаем

250 серебрянных=140 серебрянных+60 медных

Подставив, и получив конечный обмен мы найдем какое количество серебра было поменяно. Значит - количество уменьшилось на 250-140=110

ОТВЕТ на 110 монет

6. ГЛОБУС

На поверхности глобуса маркером проведены х параллелей и у меридиана. На сколько частей проведенные линии разделили поверхность глобуса? (меридиан - это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы, а параллель - это граница сечения глобуса плоскостью, параллельной плоскости экватора).

РЕШЕНИЕ:

Так как параллель эо граница сечения глобуса плоскостью, то одна разобьет глобус на 2 части, две на три части, х на х+1 частей

Меридиан же это дуга окружности(точнее полуокружность) и у меридиан разбивают поверхность на у частей следовательно всего получиться (х+1)*у частей.

ПРИМЕР

Проведя аналогичные рассуждения мы получим:

(30+1)*24=744 (части)

ОТВЕТ: на 744 части

7. РАСПИЛЫ

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится А кусков, если по жёлтым - В кусков, а если по зелёным - С кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

РЕШЕНИЕ

Для решения учтем, что количество кусков на 1 больше количества распилов. Теперь необходимо найти сколько линий отмечено на палке. Получаем красных (А-1), желтых – (В-1), зеленных – (С-1). Найдя количество линий каждого цвета и просуммировав их получим общее количество линий: (А-1)+(В-1)+(С-1). Прибавляем к полученному числу единицу (так как количество кусков на один больше количества распилов) получаем количество кусков, если пилить по всем линиям.

ПРИМЕР

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 7 кусков, если по жёлтым - 13 кусков, а если по зелёным - 5 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

РЕШЕНИЕ

Находим количество линий

Красных: 7-1=6

Желтых: 13-1=12

Зеленых: 5-1=4

Общее количество линий: 6+12+4=22

Тогда количество кусков: 22+1=23

ОТВЕТ: 23 куска

8. СТОЛБЦЫ И СТРОКИ

В каждую клетку таблицы поставили по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна С1, во втором - С2, в третьем - С3, а сумма чисел в каждой строке больше У1, но меньше У2. Сколько всего строк в таблице?

РЕШЕНИЕ

Так как числа в ячейках таблицы не меняются, то сумма всех чисел таблицы равна: С=С1+С2+С3.

Теперь обратим внимание на то, что таблица состоит из натуральных чисел, а значит сумма чисел по строкам должны быть целыми числами и находиться в пределах от (У1+1) до (У2-1)(так как сумма строк ограниченна строго). Теперь мы можем оценить количесво строк:

С/(У1+1) – максимальное количество

С/(У2-1) – минимальное количество

ПРИМЕР

В таблице три столбца и несколько строк. В

РЕШЕНИЕ

Найдем сумму таблицы

С=85+77+71=233

Определим границы суммы строк

12+1=13 – минимальная

15-1=14 – максимальная

Оценим количество строк в таблице

233/13=17,92 максимальное

233/14=16,64 минимальное

В этих пределах заключено только одно целое число – 17

ОТВЕТ: 17

9. ЗАПРАВКА НА КОЛЬЦЕВОЙ

и Г. Расстояние между А и Б - 35 км, между А и В - 20 км, между В и Г - 20 км, между Г и А и В.

РЕШЕНИЕ

Внимательно прочитав задачу, мы заметим, что практически окружность разбита на три дуги АВ, ВГ и АГ. На основании этого мы найдем длину всей окружности(кольцевой). Для данной задачи она равна 20+20+30=70 (км).

Теперь расставив все точки на окружности и подписав длины соответствующих дуг, легко определить искомое расстояние. В данной задаче БВ=АБ-АВ, то есть БВ=35-20=15

ОТВЕТ: 15 км

10. КОМБИНАЦИИ

РЕШЕНИЕ

Для решения данного типа задач следует вспомнить что такое факториал

Факториалом числа N ! называется произведение последовательных чисел от 1 до N , то есть 4!=1*2*3*4.

Теперь вернемся к задаче. Найдем общее количество кубиков: 3+1+1=5. Так как одного цвета у нас три кубика, то общее количество кубиков можно найти по формуле 5!/3! Получим (5*4*3*2*1)/(1*2*3)=5*4=20

ОТВЕТ: 20 способов расстановки

11 . КОЛОДЦЫ

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им Х рублей, а за каждый следующий метр - на У рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной N метров?

РЕШЕНИЕ:

Так как хозяин увеличивает цену за каждый метр, то за второй он заплатит (Х+У), за третий – (Х+2У), за четвертый (Х+3У) и т.д. Не сложно увидеть, что данная система оплаты напомин6ает арифметическую прогрессия, где а1=Х, d = Y , n = N . Тогда

Оплата за работу есть ничто иное как сумма данной прогрессии:

S = ( (2a ₁ +d(n-1))/2)·n

ПРИМЕР:

РЕШЕНИЕ

Исходя из выше сказанного получаем a 1=4200

d=1300

n=11

подставляя эти данные в нашу формулу получаем

S=((2*4200+1300(11-1)/2)*11=((8400+13000)/2)*11=10700*11=117700

ОТВЕТ: 117700

12 . СТОЛБЫ И ПРОВОДА

Х столбов, соеденны между собой проводами, так что от каждого отходит ровно У проводов. Сколько всего проводов натянуто между столбами?

РЕШЕНИЕ

Найдем сколько промежутков между столбами. Между двумя один промежуток, между тремя – два, между четырьмя – 3, между Х – (Х-1).

На каждом промежутке У проводов, тогда (Х-1)*У это всего проводов между столбами.

ПРИМЕР

Десять столбов соеденны между собой проводами, так что от каждого отходит ровно 6 проводов. Сколько всего проводов натянуто между столбами?

РЕШЕНИЕ

Возвращаясь к предыдущим обозначениям получаем:

Х=9 У=6

Тогда получаем (9-1)*6=8*6=48

ОТВЕТ: 48

13. ПИЛИМ ДОСКИ И БРЕВНА

Было несколько брёвен. Сделали Х распилов и получилось У чурбачков. Сколько брёвен распилили?

РЕШЕНИЕ

При решении сделаем одно замечание: некоторые задачи не всегда имеют математическое решение.

Теперь к задаче. При решении надо учесть, что бревен больше чем одно и при распили каждого бревна получается =1 кусок.

Данный вид задачи решать удобнее методом подбора:

Пусть будет два бревна тогда кусков получиться 13+2=15

Возьмем три получим 13+3=16

И тут можно увидеть зависимость, что количество распилов и кусков увеличивается одинаково, то есть количество бревен которые надо распилить равно У-Х

ПРИМЕР

Было несколько брёвен. Сделали 13 распилов и получилось 20 чубачков. Сколько брёвен распилили?

РЕШЕНИЕ

Вернувшись к нашим рассуждениям мы можем подбирать, или можно просто 20-13=7 значит всего 7 бревен

Ответ 7

14 . ВЫПАВШИЕ СТРАНИЦЫ

Из книги выпало подряд несколько страниц. Первая из выпавших страниц имеет номер Х, а номер последней записывается такими же цифрами в каком-то другом порядке. Сколько страниц выпало из книги?

РЕШЕНИЕ

Нумерация страниц, которые выпали, начинаются с нечетного числа и должны оканчиваться четным числом. Поэтому, мы, зная.что номер последней выпавшей записывается теми же цифрами, что первая выпавшая знаем ее последнюю цифру. Путем перестановок оставшихся цифр и, учитывая, что нумерация страницы должна быть больше, чем первая выпавшая, получаем ее номер. Зная номера страниц, можно посчитать сколько их выпало, при этом учтем что страница Х тоже выпала. Значит из получившегося номера мы должны вычисть число (Х-1)

ПРИМЕР

Из книги выпало подряд несколько страниц. Первая из выпавших страниц имеет номер 387, а номер последней записывается такими же цифрами в каком-то другом порядке. Сколько страниц выпало из книги?

РЕШЕНИЕ

Опираясь, на наши рассуждения получаем, что номер последней выпавшей страницы должен оканчиваться на цифру 8. Значит у нас всего два варианта чисел это 378 и 738. 378 нам не подходит так как оно меньше номера первой выпавшей страницы значит последняя выпавшая это 738.

738-(387-1)=352

ОТВЕТ: 352

Следует добавить следующее: иногда просят указать количество листов, тогда следует количество страниц разделить пополам.

15. ИТОГОВАЯ ОЦЕНКА

В конце четверти Вовочка выписал подряд в строчку свои текущие отметки по пению и поставил между некоторых из них знак умножения. Произведения получившихся чисел оказалось равны Х. Какая отметка выходит у Вовочки в четверти по пению?

РЕШЕНИЕ

При решении данного типа задач необходимо учитывать, что его оценки должны быть 2,3,4 и 5. Поэтому нам необходимо разложить число Х на множители 2,3,4 и 5. Причем остаток от разложения тоже должен состоять из этих чисел.

ПРИМЕР1

В конце четверти Вовочка выписал подряд в строчку свои текущие отметки по пению и поставил между некоторых из них знак умножения. Произведения получившихся чисел оказалось равны 2007. Какая отметка выходит у Вовочки в четверти по пению?

РЕШЕНИЕ

Разложим число 2007 на множители

Получим 2007=3*3*223

Значит его отметки: 3 3 2 2 3 теперь найдем среднее арифметическое его оценок для данного набора это 2,6 следовательно его оценка три (больше чем 2,5)

ОТВЕТ 3

ПРИМЕР 2

В конце четверти Вовочка выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалась равным 690. Какая отметка выходит у Вовочки в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки 2, 3, 4 и 5 и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округленная по правилам округления? (Например: 2,4 округляется до двух; 3,5 – до 4; а 4,8 – до 5.)

РЕШЕНИЕ

690 разложим на множители так что бы остаток от разложения состоял из цифр 2 3 4 5

690=3*5*2*23

Следовательно его оценки: 3 5 2 2 3

Найдем среднее арифметическое этих чисел: (3+5+2+2+3)/5=3

Это и будет его оценкой

ОТВЕТ: 3

16 . МЕНЮ

В меню ре­сто­ра­на име­ет­ся Х видов са­ла­тов, У вида пер­вых блюд, А видов вто­рых блюд и В вида де­сер­та. Сколь­ко ва­ри­ан­тов обеда из са­ла­та, пер­во­го, вто­ро­го и де­сер­та могут вы­брать по­се­ти­те­ли этого ре­сто­ра­на?

РЕШЕНИЕ

При решении немного урежем меню: пусть есть только салат и первое тогда вариантов становиться (Х*У). Теперь добавим второе блюдо количество вариантов возрастает в А раз и становиться (Х*У*А). ну а теперь добавим десерт. Количество вариантов возрастет в В раз

Теперь мы получаем окончательный ответ:

N= Х*У*А*В

ПРИМЕР

РЕШЕНИЕ
Опираясь на выше изложенное получаем:

N=6*3*5*4=360

ОТВЕТ: 360

17 . ДЕЛИМ БЕЗ ОСТАТКА

В данном разделе рассмотрим задачи на конкретном примере, для большей наглядности

Так как у нас произведение последовательно идущих чисел и их больше чем 7, то хотя бы одно должно делиться на 7. Значит мы имеем произведение, один из множителей которого делиться на 7, следовательно и все произведение тоже делиться на семь, а значит остаток от деления будет равен нулю, или для второй задачи количество множителей должно равняться делителю.

18.ТУРИСТЫ

Данный тип задач тоже рассмотрим на конкретном примере.

Для начала определим, что нам необходимо найти: времямаршрута=подъем+отдых+спуск

Отдых мы знаем, теперь надо найти время подъема и спуска

Читая задачу, мы видим что в обоих случая (подъем и спуск) время зависит как арифметическая прогрессия, но мы еще не знаем на какую высоту было восхождение, хотя ее нетрудно найти:

H =(95-50)15+1=4

Мы нашли высоту подъема, теперь найдем время подъема как сумму арифметической прогрессии: Тподьема= ((2*50+15*(4-1))*4)/2=290 минут

Аналогично находим, учитывая что теперь разность прогрессии равна -10. Получаем Тспуска=((2*60-10(4-1))*4)/2= 180 минут.

Зная все составляющие можно посчитать общее время маршрута:

Тмаршрута=290+180+10=480 минут или переводя в часы(делим на 60) получим 8 часов.

ОТВЕТ: 8 часов

19.ПРЯМОУГОЛЬНИКИ

На прямоугольники встречается два типа задач: на периметры и на площади

Для решения такого плана задач, нетрудно доказать, что при разбитии любого прямоугольника двумя прямолинейными разрезами, мы получим четыре прямоугольника для которых всегда будут выполняться следующие соотношения:

Р1+Р2=Р3+Р4

S1*S2=S3*S4,

где Р – периметр , S - площадь

Основываясь на этих соотношениях, мы легко можем решить следующие задачи

19.1.Периметры

РЕШЕНИЕ

Опираясь на выше сказанное получаем

24+16=28+Х

Х=(24+16)-28=12

ОТВЕТ: 12

19.2 ПЛОЩАДИ

Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке равны 18, 12 и 20. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

РЕШЕНИЕ

Для полученных прямоугольников должно выполняться:

18*20=12*Х

Тогда Х=(18*20)/12=30

ОТВЕТ: 30

20. ТУДА-СЮДА

Улит­ка за день за­пол­за­ет вверх по де­ре­ву на А м, а за ночь спол­за­ет на В м. Вы­со­та де­ре­ва С м. За сколь­ко дней улит­ка впер­вые до­ползёт до вер­ши­ны де­ре­ва?

РЕШЕНИЕ

За одни сутки улитка может подняться на высоту (А-В) метров. Так как она за один день может подняться на высоту А, то до последнего подъема ей необходимо преодолеть высоту (С-А). Исходя из этого, получаем что она будет подниматься (С-А)\(А-В)+1 (единицу прибавляем так как она за один день поднимается на высоту А).

ПРИМЕР

РЕШЕНИЕ

Возвращаясь к нашим рассуждениям получаем

(10-4)/(4-3)+1=7

ОТВЕТ за 7 дней

Следует отметить что таким способ можно решать задачи на наполнение чего либо, когда поступает что-то и что-то вытекает.

21. ПРЫЖКИ ПО ПРЯМОЙ

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав Х прыжков, начиная прыгать из начала координат?

РЕШЕНИЕ

Предположим, что кузнечик делает все прыжки в одну сторону, тогда он попадет в точку с координатой Х. Теперь он прыгает вперед на (Х-1) прыжков и один обратно: попадает в точку с координатой (Х-2). Рассматривая таким способом все его прыжки можно заметить, что он будет находиться в точках с координатами Х, (Х-2),(Х-4) и т.д. Данная зависимость является не чем иным как арифметической прогрессией с разностью d =-2 и а1=Х, а an =- X . Тогда количество членов этой прогрессии и есть количество точек в которых он может оказаться. Найдем их

an=a1+d(n-1)

X=X+d(n-1)

2X=-2(n-1)

n=X+1

ПРИМЕР

РЕШЕНИЕ

Основываясь на выше приведенных выводах получаем

10+1=11

ОТВЕТ 11 точек

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:

1. Каж­дую се­кун­ду бак­те­рия де­лит­ся на две новые бак­те­рии. Из­вест­но, что весь объём од­но­го ста­ка­на бак­те­рии за­пол­ня­ют за 1 час. За сколь­ко се­кунд ста­кан будет за­пол­нен бак­те­ри­я­ми на­по­ло­ви­ну?

2. На палке от­ме­че­ны по­пе­реч­ные линии крас­но­го, жёлтого и зелёного цвета. Если рас­пи­лить палку по крас­ным ли­ни­ям, по­лу­чит­ся 15 кус­ков, если по жёлтым - 5 кус­ков, а если по зелёным - 7 кус­ков. Сколь­ко кус­ков по­лу­чит­ся, если рас­пи­лить палку по ли­ни­ям всех трёх цве­тов?

3. Куз­не­чик пры­га­ет вдоль ко­ор­ди­нат­ной пря­мой в любом на­прав­ле­нии на еди­нич­ный от­ре­зок за один пры­жок. Куз­не­чик на­чи­на­ет пры­гать из на­ча­ла ко­ор­ди­нат. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных точек на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, в ко­то­рых куз­не­чик может ока­зать­ся, сде­лав ровно 11 прыж­ков?

4. В кор­зи­не лежит 40 гри­бов: ры­жи­ки и груз­ди. Из­вест­но, что среди любых 17 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 25 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в кор­зи­не?

5. Саша при­гла­сил Петю в гости, ска­зав, что живёт в седь­мом подъ­ез­де в квар­ти­ре № 462, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя об­на­ру­жил, что дом се­ми­этаж­ный. На каком этаже живёт Саша? (На всех эта­жах число квар­тир оди­на­ко­во, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с еди­ни­цы.)

6. Саша при­гла­сил Петю в гости, ска­зав, что живёт в вось­мом подъ­ез­де в квар­ти­ре № 468, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя об­на­ру­жил, что дом две­на­дца­ти­этаж­ный. На каком этаже живёт Саша? (На всех эта­жах число квар­тир оди­на­ко­во, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с еди­ни­цы.)

7. Саша при­гла­сил Петю в гости, ска­зав, что живёт в две­на­дца­том подъ­ез­де в квар­ти­ре № 465, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя об­на­ру­жил, что дом пя­ти­этаж­ный. На каком этаже живёт Саша? (На всех эта­жах число квар­тир оди­на­ко­во, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с еди­ни­цы.)

8. Саша при­гла­сил Петю в гости, ска­зав, что живёт в де­ся­том подъ­ез­де в квар­ти­ре № 333, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя об­на­ру­жил, что дом де­вя­ти­этаж­ный. На каком этаже живёт Саша? (На всех эта­жах число квар­тир оди­на­ко­во, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с еди­ни­цы.)

9. Тре­нер по­со­ве­то­вал Ан­дрею в пер­вый день за­ня­тий про­ве­сти на бе­го­вой до­рож­ке 15 минут, а на каж­дом сле­ду­ю­щем за­ня­тии уве­ли­чи­вать время, про­ведённое на бе­го­вой до­рож­ке, на 7 минут. За сколь­ко за­ня­тий Ан­дрей про­ведёт на бе­го­вой до­рож­ке в общей слож­но­сти 2 часа 25 минут, если будет сле­до­вать со­ве­там тре­не­ра?

10. Врач про­пи­сал па­ци­ен­ту при­ни­мать ле­кар­ство по такой схеме: в пер­вый день он дол­жен при­нять 3 капли, а в каж­дый сле­ду­ю­щий день - на 3 капли боль­ше, чем в преды­ду­щий. При­няв 30 ка­пель, он ещё 3 дня пьёт по 30 ка­пель ле­кар­ства, а потом еже­днев­но умень­ша­ет приём на 3 капли. Сколь­ко пу­зырь­ков ле­кар­ства нужно ку­пить па­ци­ен­ту на весь курс приёма, если в каж­дом со­дер­жит­ся 20 мл ле­кар­ства (что со­став­ля­ет 250 ка­пель)?

11. Врач про­пи­сал па­ци­ен­ту при­ни­мать ле­кар­ство по такой схеме: в пер­вый день он дол­жен при­нять 20 ка­пель, а в каж­дый сле­ду­ю­щий день - на 3 капли боль­ше, чем в преды­ду­щий. После 15 дней приёма па­ци­ент де­ла­ет пе­ре­рыв в 3 дня и про­дол­жа­ет при­ни­мать ле­кар­ство по об­рат­ной схеме: в 19-й день он при­ни­ма­ет столь­ко же ка­пель, сколь­ко и в 15-й день, а затем еже­днев­но умень­ша­ет дозу на 3 капли, пока до­зи­ров­ка не ста­нет мень­ше 3 ка­пель в день. Сколь­ко пу­зырь­ков ле­кар­ства нужно ку­пить па­ци­ен­ту на весь курс приёма, если в каж­дом со­дер­жит­ся 200 ка­пель?

12. Про­из­ве­де­ние де­ся­ти иду­щих под­ряд чисел раз­де­ли­ли на 7. Чему может быть равен оста­ток?

13. Сколь­ки­ми спо­со­ба­ми можно по­ста­вить в ряд два оди­на­ко­вых крас­ных ку­би­ка, три оди­на­ко­вых зелёных ку­би­ка и один синий кубик?

14. В бак объёмом 38 лит­ров каж­дый час, на­чи­ная с 12 часов, на­ли­ва­ют пол­ное ведро воды объёмом 8 лит­ров. Но в днище бака есть не­боль­шая щель, и из неё за час вы­те­ка­ет 3 литра. В какой мо­мент вре­ме­ни (в часах) бак будет за­пол­нен пол­но­стью.

15. Какое наи­мень­шее число иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы их про­из­ве­де­ние де­ли­лось на 7?

16. В ре­зуль­та­те па­вод­ка кот­ло­ван за­пол­нил­ся водой до уров­ня 2 метра. Стро­и­тель­ная помпа не­пре­рыв­но от­ка­чи­ва­ет воду, по­ни­жая её уро­вень на 20 см в час. Под­поч­вен­ные воды, на­о­бо­рот, по­вы­ша­ют уро­вень воды в кот­ло­ва­не на 5 см в час. За сколь­ко часов ра­бо­ты помпы уро­вень воды в кот­ло­ва­не опу­стит­ся до 80 см?

17. В меню ре­сто­ра­на име­ет­ся 6 видов са­ла­тов, 3 вида пер­вых блюд, 5 видов вто­рых блюд и 4 вида де­сер­та. Сколь­ко ва­ри­ан­тов обеда из са­ла­та, пер­во­го, вто­ро­го и де­сер­та могут вы­брать по­се­ти­те­ли этого ре­сто­ра­на?

18. Неф­тя­ная ком­па­ния бурит сква­жи­ну для до­бы­чи нефти, ко­то­рая за­ле­га­ет, по дан­ным гео­ло­го­раз­вед­ки, на глу­би­не 3 км. В те­че­ние ра­бо­че­го дня бу­риль­щи­ки про­хо­дят 300 мет­ров в глу­би­ну, но за ночь сква­жи­на вновь «за­или­ва­ет­ся», то есть за­пол­ня­ет­ся грун­том на 30 мет­ров. За сколь­ко ра­бо­чих дней неф­тя­ни­ки про­бу­рят сква­жи­ну до глу­би­ны за­ле­га­ния нефти?

19. Какое наи­мень­шее число иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы их про­из­ве­де­ние де­ли­лось на 9?

20.

за 2 зо­ло­тых мо­не­ты по­лу­чить 3 се­реб­ря­ных и одну мед­ную;

за 5 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 3 зо­ло­тых и одну мед­ную.

21. На по­верх­но­сти гло­бу­са фло­ма­сте­ром про­ве­де­ны 12 па­рал­ле­лей и 22 ме­ри­ди­а­на. На сколь­ко ча­стей про­ведённые линии раз­де­ли­ли по­верх­ность гло­бу­са?

Ме­ри­ди­ан - это дуга окруж­но­сти, со­еди­ня­ю­щая Се­вер­ный и Южный по­лю­сы. Па­рал­лель - это окруж­ность, ле­жа­щая в плос­ко­сти, па­рал­лель­ной плос­ко­сти эк­ва­то­ра.

22. В кор­зи­не лежит 50 гри­бов: ры­жи­ки и груз­ди. Из­вест­но, что среди любых 28 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 24 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко груз­дей в кор­зи­не?

23. Груп­па ту­ри­стов пре­одо­ле­ла гор­ный пе­ре­вал. Пер­вый ки­ло­метр подъёма они пре­одо­ле­ли за 50 минут, а каж­дый сле­ду­ю­щий ки­ло­метр про­хо­ди­ли на 15 минут доль­ше преды­ду­ще­го. По­след­ний ки­ло­метр перед вер­ши­ной был прой­ден за 95 минут. После де­ся­ти­ми­нут­но­го от­ды­ха на вер­ши­не ту­ри­сты на­ча­ли спуск, ко­то­рый был более по­ло­гим. Пер­вый ки­ло­метр после вер­ши­ны был прой­ден за час, а каж­дый сле­ду­ю­щий на 10 минут быст­рее преды­ду­ще­го. Сколь­ко часов груп­па за­тра­ти­ла на весь марш­рут, если по­след­ний ки­ло­метр спус­ка был прой­ден за 10 минут.

24. На коль­це­вой до­ро­ге рас­по­ло­же­ны че­ты­ре бен­зо­ко­лон­ки: A, B, C и D. Рас­сто­я­ние между A и B - 35 км, между A и C - 20 км, между C и D - 20 км, между D и A - 30 км (все рас­сто­я­ния из­ме­ря­ют­ся вдоль коль­це­вой до­ро­ги в крат­чай­шую сто­ро­ну). Най­ди­те рас­сто­я­ние между B и C. Ответ дайте в ки­ло­мет­рах.

25. На коль­це­вой до­ро­ге рас­по­ло­же­ны че­ты­ре бен­зо­ко­лон­ки: A, B, C и D. Рас­сто­я­ние между A и B - 50 км, между A и C - 40 км, между C и D - 25 км, между D и A - 35 км (все рас­сто­я­ния из­ме­ря­ют­ся вдоль коль­це­вой до­ро­ги в крат­чай­шую сто­ро­ну). Най­ди­те рас­сто­я­ние между B и C.

26. В клас­се учит­ся 25 уча­щих­ся. Не­сколь­ко из них хо­ди­ли в кино, 18 че­ло­век хо­ди­ли в театр, причём и в кино, и в театр хо­ди­ли 12 че­ло­век. Из­вест­но, что трое не хо­ди­ли ни в кино, ни в театр. Сколь­ко че­ло­век из клас­са хо­ди­ли в кино?

27. По эм­пи­ри­че­ско­му за­ко­ну Мура сред­нее число тран­зи­сто­ров на мик­ро­схе­мах каж­дый год удва­и­ва­ет­ся. Из­вест­но, что в 2005 году сред­нее число тран­зи­сто­ров на мик­ро­схе­ме рав­ня­лось 520 млн. Опре­де­ли­те, сколь­ко в сред­нем мил­ли­о­нов тран­зи­сто­ров было на мик­ро­схе­ме в 2003 году.

28. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 24 места, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в вось­мом ряду?

29. На палке от­ме­че­ны по­пе­реч­ные линии крас­но­го, жёлтого и зелёного цвета. Если рас­пи­лить палку по крас­ным ли­ни­ям, то по­лу­чит­ся 5 кус­ков, если по жёлтым - 7 кус­ков, а если по зелёным - 11 кус­ков. Сколь­ко кус­ков по­лу­чит­ся, если рас­пи­лить палку по ли­ни­ям всех трёх цве­тов?

30. В ма­га­зи­не бы­то­вой тех­ни­ки объём про­даж хо­ло­диль­ни­ков носит се­зон­ный ха­рак­тер. В ян­ва­ре было про­да­но 10 хо­ло­диль­ни­ков, и в три по­сле­ду­ю­щих ме­ся­ца про­да­ва­ли по 10 хо­ло­диль­ни­ков. С мая про­да­жи уве­ли­чи­ва­лись на 15 еди­ниц по срав­не­нию с преды­ду­щим ме­ся­цем. С сен­тяб­ря объём про­даж начал умень­шать­ся на 15 хо­ло­диль­ни­ков каж­дый месяц от­но­си­тель­но преды­ду­ще­го ме­ся­ца. Сколь­ко хо­ло­диль­ни­ков про­дал ма­га­зин за год?

31. В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух опе­ра­ций:

1) за 3 зо­ло­тых мо­не­ты по­лу­чить 4 се­реб­ря­ных и одну мед­ную;

2) за 6 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 4 зо­ло­тых и одну мед­ную.

У Ни­ко­лы были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. После по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало мень­ше, зо­ло­тых не по­яви­лось, зато по­яви­лось 35 мед­ных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Ни­ко­лы?

32. Саша при­гла­сил Петю в гости, ска­зав, что живёт в седь­мом подъ­ез­де в квар­ти­ре № 462, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя об­на­ру­жил, что дом се­ми­этаж­ный. На каком этаже живёт Саша? (На каж­дом этаже число квар­тир оди­на­ко­во, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с еди­ни­цы.)

33. Во всех подъ­ез­дах дома оди­на­ко­вое число эта­жей, а на каж­дом этаже оди­на­ко­вое число квар­тир. При этом число эта­жей в доме боль­ше числа квар­тир на этаже, число квар­тир на этаже боль­ше числа подъ­ез­дов, а число подъ­ез­дов боль­ше од­но­го. Сколь­ко эта­жей в доме, если всего в нём 110 квар­тир?

34. Куз­не­чик пры­га­ет вдоль ко­ор­ди­нат­ной пря­мой в любом на­прав­ле­нии на еди­нич­ный от­ре­зок за пры­жок. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных точек на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, в ко­то­рых куз­не­чик может ока­зать­ся, сде­лав ровно 6 прыж­ков, на­чи­ная пры­гать из на­ча­ла ко­ор­ди­нат?

35. В кор­зи­не лежат 40 гри­бов: ры­жи­ки и груз­ди. Из­вест­но, что среди любых 17 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 25 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в кор­зи­не?

36. В кор­зи­не лежат 25 гри­бов: ры­жи­ки и груз­ди. Из­вест­но, что среди любых 11 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 16 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в кор­зи­не?

37. В кор­зи­не лежат 30 гри­бов: ры­жи­ки и груз­ди. Из­вест­но, что среди любых 12 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 20 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в кор­зи­не?

38. На гло­бу­се фло­ма­сте­ром про­ве­де­ны 17 па­рал­ле­лей (вклю­чая эк­ва­тор) и 24 ме­ри­ди­а­на. На сколь­ко ча­стей про­ведённые линии раз­де­ля­ют по­верх­ность гло­бу­са?

39. Улит­ка за день за­пол­за­ет вверх по де­ре­ву на 4 м, а за ночь спол­за­ет на 3 м. Вы­со­та де­ре­ва 10 м. За сколь­ко дней улит­ка впер­вые до­ползёт до вер­ши­ны де­ре­ва?

40. Улит­ка за день за­пол­за­ет вверх по де­ре­ву на 4 м, а за ночь спол­за­ет на 1 м. Вы­со­та де­ре­ва 13 м. За сколь­ко дней улит­ка впер­вые до­ползёт до вер­ши­ны де­ре­ва?

41. Хо­зя­ин до­го­во­рил­ся с ра­бо­чи­ми, что они вы­ко­па­ют ему ко­ло­дец на сле­ду­ю­щих усло­ви­ях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 4200 руб­лей, а за каж­дый сле­ду­ю­щий метр - на 1300 руб­лей боль­ше, чем за преды­ду­щий. Сколь­ко денег хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить ра­бо­чим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец глу­би­ной 11 мет­ров?

42. Хо­зя­ин до­го­во­рил­ся с ра­бо­чи­ми, что они ко­па­ют ко­ло­дец на сле­ду­ю­щих усло­ви­ях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 3500 руб­лей, а за каж­дый сле­ду­ю­щий метр - на 1600 руб­лей боль­ше, чем за преды­ду­щий. Сколь­ко денег хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить ра­бо­чим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец глу­би­ной 9 мет­ров?

43. В кор­зи­не лежит 45 гри­бов: ры­жи­ки и груз­ди. Из­вест­но, что среди любых 23 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 24 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в кор­зи­не?

44. В кор­зи­не лежит 25 гри­бов: ры­жи­ки и груз­ди. Из­вест­но, что среди любых 11 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 16 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в кор­зи­не?

45. Спи­сок за­да­ний вик­то­ри­ны со­сто­ял из 25 во­про­сов. За каж­дый пра­виль­ный ответ уче­ник по­лу­чал 7 очков, за не­пра­виль­ный ответ с него спи­сы­ва­ли 10 очков, а при от­сут­ствии от­ве­та да­ва­ли 0 очков. Сколь­ко вер­ных от­ве­тов дал уче­ник, на­брав­ший 42 очка, если из­вест­но, что по край­ней мере один раз он ошиб­ся?

46. На палке от­ме­че­ны по­пе­реч­ные линии крас­но­го, жел­то­го и зе­ле­но­го цвета. Если рас­пи­лить палку по крас­ным ли­ни­ям, то по­лу­чит­ся 5 кус­ков, если по жел­тым ― 7 кус­ков, а если по зе­ле­ным ― 11 кус­ков. Сколь­ко кус­ков по­лу­чит­ся, если рас­пи­лить палку по ли­ни­ям всех трех цве­тов?

47. Улит­ка за день за­пол­за­ет вверх по де­ре­ву на 2 м, а за ночь спол­за­ет на 1 м. Вы­со­та де­ре­ва 11 м. За сколь­ко дней улит­ка до­ползёт от ос­но­ва­ния до вер­ши­ны де­ре­ва?

48. Улит­ка за день за­пол­за­ет вверх по де­ре­ву на 4 м, а за ночь спол­за­ет на 2 м. Вы­со­та де­ре­ва 14 м. За сколь­ко дней улит­ка до­ползёт от ос­но­ва­ния до вер­ши­ны де­ре­ва?

49. Пря­мо­уголь­ник раз­бит на че­ты­ре мень­ших пря­мо­уголь­ни­ка двумя пря­мо­ли­ней­ны­ми раз­ре­за­ми. Пе­ри­мет­ры трёх из них, на­чи­ная с ле­во­го верх­не­го и далее по ча­со­вой стрел­ке, равны 24, 28 и 16. Най­ди­те пе­ри­метр четвёртого пря­мо­уголь­ни­ка.

50. В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух опе­ра­ций:

1) за 2 зо­ло­тых мо­не­ты по­лу­чить 3 се­реб­ря­ных и одну мед­ную;

2) за 5 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 3 зо­ло­тых и одну мед­ную.

У Ни­ко­лая были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. После не­сколь­ких по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало мень­ше, зо­ло­тых не по­яви­лось, зато по­яви­лось 50 мед­ных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Ни­ко­лая?

51. Пря­мо­уголь­ник раз­бит на че­ты­ре мень­ших пря­мо­уголь­ни­ка двумя пря­мо­ли­ней­ны­ми раз­ре­за­ми. Пе­ри­мет­ры трёх из них, на­чи­ная с ле­во­го верх­не­го и далее по ча­со­вой стрел­ке, равны 24, 28 и 16. Най­ди­те пе­ри­метр четвёртого пря­мо­уголь­ни­ка.

52. В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух опе­ра­ций:

1) за 4 зо­ло­тых мо­не­ты по­лу­чить 5 се­реб­ря­ных и одну мед­ную;

2) за 7 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 5 зо­ло­тых и одну мед­ную.

У Ни­ко­лая были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. После не­сколь­ких по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало мень­ше, зо­ло­тых не по­яви­лось, зато по­яви­лось 90 мед­ных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Ни­ко­лая?

53. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже - одинаковое число квартир. При этом число подъездов дома меньше числа квартир на этаже, число квартир на этаже меньше числа этажей, число подъездов больше одного, а число этажей не более 24. Сколько этажей в доме, если в нем всего 156 квартир?

54. В классе учится 26 учащихся. Несколько из них слушают рок, 14 человек слушают рэп, причем и рок, и рэп слушают всего лишь трое. Известно, что четверо не слушают ни рок, ни рэп. Сколько человек из класса слушают рок?

55. В садке лежат 35 рыб: окуни и плотвички. Известно, что среди любых 21 рыбы имеется хотя бы одна плотвичка, а среди любых 16 рыб - хотя бы один окунь. Сколько плотвичек в садке?

56. На поверхности глобуса маркером проведены 30 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей проведенные линии разделили поверхность глобуса? (меридиан - это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы, а параллель - это граница сечения глобуса плоскостью, параллельной плоскости экватора).

57. В доисторическом обменном пункте можно было совершить одну из двух операций:
- за 2 шкуры пещерного льва получить 5 шкур тигра и 1 шкуру кабана;
- за 7 шкур тигра получить 2 шкуры пещерного льва и 1 шкуру кабана.
У Уна, сына Быка, были только шкуры тигра. После нескольких посещений обменного пункта шкур тигра у него не прибавилось, шкур пещерного льва не появилось, зато появилось 80 шкур кабана. На сколько, в итоге, уменьшилось количество шкур тигра у Уна, сына Быка?

58. В войсковой части 32103 имеется 3 вида салата, 2 вида первого блюда, 3 вида второго блюда и на выбор компот или чай. Сколько вариантов обеда, состоящего обязательно из одного салата, одного первого блюда, одного второго блюда и одного напитка, могут выбрать военнослужащие этой войсковой части?

59. Улитка за день заползает вверх по дереву на 5 метров, а за ночь сползает вниз на 3 метра. Высота дерева 17 метров. На какой день улитка впервые доползет до вершины дерева?

60. Сколькими способами можно поставить в ряд три одинаковых желтых кубика, один синий кубик и один зеленый кубик?

61. Произведение шестнадцати идущих подряд натуральных чисел разделили на 11. Чему может быть равен остаток от деления?

62. Каждую минуту бактерия делится на две новые бактерии. Известно, что весь объем трехлитровой банки бактерии заполняют за 4 часа. За сколько секунд бактерии заполняют четверть банки?

63. Список заданий викторины состоял из 36 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 75 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

64. Кузнечик прыгает по прямой дороге длина одного прыжка 1 см. сначала он прыгает 11 прыжков вперед потом 3 назад потом опять 11 прыжков и затем назад 3 прыжка и так далее сколько прыжков он сделает к моменту когда впервые окажется на расстоянии 100 см. от начала.

65. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, то получится 7 кусков, если по жёлтым - 13 кусков, а если по зелёным - 5 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

66. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;
за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

67. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами.
Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

68. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;
2) за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.
У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 90 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет?

69. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 2 м. Высота дерева 12 м. За сколько дней улитка доползёт от основания до вершины дерева?

70. Список заданий викторины состоял из 32 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получает 5 очков. За неправильный списывали 9, при отсуттвии ответа давали 0 очков.
Сколько верных ответов дал ученик, набравший 75 баллов, если он по крайней мере 2 раза ошибся?

71. Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 42 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

72. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр - на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 11 метров?

73. Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке равны 18, 12 и 20. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

74. Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке равны 12, 18 и 30. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

75. В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы поставили по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 85, во втором - 77, в третьем - 71, а сумма чисел в каждой строке больше 12, но меньше 15. Сколько всего строк в таблице?

76. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 10 прыжков, начиная прыгать из начала координат?

77. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

78. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
за 2 золотые монеты получить 3 серебряные и одну медную;
за 7 серебряных монет получить 3 золотые и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После обменного пункта золотых монет у него не появилось, зато появилось 20 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

79. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 11 прыжков, начиная прыгать из начала координат?

80. На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б - 35 км, между А и В - 20 км, между В и Г - 20 км, между Г и А - 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.

81. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
за 4 золотые монеты получить 5 серебряных и одну медную;
за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, Золотых не появилось, зато появилось 90 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая.

82. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 8 прыжков, начиная прыгать из начала координат?

83. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
за 5 золотых монет получить 4 серебряные и одну медную;
за 10 серебряных монет получить 7 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 60 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

84. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
за 5 золотых монет получить 6 серебряных и одну медную;
за 8 серебряных монет получить 6 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 55 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

85. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и па всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 105 квартир?

86. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;
2) за 7 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.
У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 42 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николы?

ОТВЕТЫ

Задание №20 ЕГЭ по математике содержит задачу на сообразительность. Задачи в этом разделе более интуитивно понятно, нежели в 19 задании ЕГЭ, но тем не менее достаточно сложны для обычного школьника. Итак, перейдем к рассмотрению типовых вариантов.

Разбор типовых вариантов заданий №20 ЕГЭ по математике базового уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

• за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;
• за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Алгоритм выполнения:

1. Ввести условные обозначения.
2. Записать данные задачи с помощью условных обозначений.
3. Логически рассуждая определить неизвестное.

Решение:

По условию золотых монет не появилось, значит все полученные после осуществления второй операции золотые монеты, Николай обменял с помощью первой операции. Золотые монеты можно менять только по 2 штуки, следовательно, вторых операций было четное число.

Введем обозначение, пусть вторых операций было 2n(число всегда четное).

Если применить вторую операцию получим:

Все золотые монеты были обменяны в ходе первой операции. За одну операцию можно обменять сразу 2 золотые монеты, значит, всего операций будет совершено (3 · 2n)/2 = 3 n. То есть

3 · 2n золотых обменяли на 3· 3n серебряных + 3n медных.

Или после преобразования:

Сопоставим результаты первой и второй операции:

5 · 2n серебряных обменяли на 3 · 2n золотых + 2n медных.

3 · 2n золотых обменяли на 9n серебряных + 3n медных

5 · 2n серебряных обменяли на 9n серебряных + 3n медных+2n медных

10 n серебряных обменяли на 9n серебряных + 5n медных

Если, обменяв 10 n серебряных монет, получим 9 n серебряных монет, то количество серебряных монет у Николая уменьшилось на n. Из последнего выражения видно, что Николай получил 5n медных монет, а по условию появилось 50 медных, то есть 5n = 50.

Второй вариант задания

Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь - печенья, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

Алгоритм выполнения:

1. Сопоставить результаты.
2. Найти неизвестное.

Решение:

1. Так как варенье и Маша, и Медведь съели поровну, и при этом Медведь ел варенье в 3 раза быстрее, то Маша ела варенье (свою половину) в 3 раза дольше, чем Медведь (такую же половину).
2. Тогда получается, что Медведь ел печенья в 3 раза дольше Маши и к тому же ел их в 3 раза быстрее, то есть, на одно съеденное Машей печенье приходилось 3∙3=9 печений, съеденных Медведем.
3. В сумме эти печенья составляют 1+9=10 и таких сумм в 100 печеньях ровно 100:10 = 10.
4. Значит, Маша съела 10 печений, а Медведь 9∙10=90.

Третий вариант задания

Маша и Медведь съели 51 печенье и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь - печенья, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест в четыре раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

Алгоритм выполнения:

1. Определить, кто и во сколько раз дольше ел печенье.
2. Определить, кто и во сколько раз дольше ел варенье.
3. Сопоставить результаты.
4. Найти неизвестное.

Решение:

1. Так как варенье и Маша, и Медведь, съели поровну, и при этом Медведь ел варенье в 4 раза быстрее, то Маша ела варенье (свою половину) в 4 раза дольше, чем Медведь (такую же половину).
2. Тогда получается, что Медведь ел печенья в 4 раза дольше Маши и к тому же ел их в 4 раза быстрее, то есть, на одно съеденное Машей печенье приходилось 4∙4=16 печений, съеденных Медведем.
3. В сумме эти печенья составляют 1+16=17 и таких сумм в 51 печеньях ровно 51:17 = 3.
4. Значит, Маша съела 3 печенья, а Медведь 3∙16=48.

Четвертый вариант задания

Если бы каждый из двух сомножителей увеличили на 1, их произведение увеличилось бы на 11. На самом деле каждый из двух сомножителей увеличили на 2. На сколько увеличилось произведение?

Алгоритм выполнения:

1. Ввести условные обозначения.
2. Преобразовать полученное выражение.
3. Найти неизвестное.

Решение:

При увеличении этих сомножителей на 1 их произведение возрастает на 11, то есть,

Теперь аналогично вычислим, на сколько увеличится произведение, если сомножители увеличить на 2 и подставим уже известное нам a + b = 10:

Пятый вариант задания

Если бы каждый из двух сомножителей увеличили на 1, их произведение увеличилось бы на 3. На самом деле каждый из двух сомножителей увеличили на 5. На сколько увеличилось произведение?

Алгоритм выполнения:

1. Ввести условные обозначения.
2. Записать первое условие с помощью условных обозначений.
3. Преобразовать полученное выражение.
4. Записать с помощью условных обозначений второе условие.
5. Преобразовать полученное выражение.
6. Найти неизвестное.

Решение:

Пусть первый сомножитель равен a, а второй b, их произведение равно ab.

При увеличении этих сомножителей на 1 их произведение возрастает на 3, то есть,

Перенесем произведение ab в левую часть с противоположным знаком и раскроем скобки перемножив.

Теперь аналогично вычислим, на сколько увеличится произведение, если сомножители увеличить на 5 и подставим уже известное нам a + b = 2:

Вариант двадцатого задания 2017

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными отрезками. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Перерисуем прямоугольник в удобном для нас виде:

Теперь составим уравнения с помощью формулы периметра прямоугольника:

Вариант двадцатого задания 2019 года (1)

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 42 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Алгоритм выполнения

1. Составляем комбинации правильных и неправильных ответов и определяем кол-во баллов в них, например: 1) 1 прав+1 неправ=7–10=–3 балла; 2) 2 прав+1неправ=2·7–10=4 балла и т.д.
2. Из баллов за прав.ответы и баллов за их комбинации «набираем» 42 балла. Подсчитываем кол-во вопросов, которые при этом были заданы.
3. Оставшуюся разницу между полученным числом вопросов и данными 25-ю вопросами определяем как те, на которые не было дано ответа.
4. Делаем проверку полученного результата.

Решение:

Введем обозначения: прав.ответ – 1П, неправ.ответ – 1Н.

Задаем комбинации и определяем кол-во баллов, которое при этом будет начислено:

1П=7 баллов

1П+1Н=7–10=–3 б.

2П+1Н=2·7–10=4 б.

3П+1Н=3·7–10=11 б.

Суммируем баллы, которые можно при этом получить: 7+ (–3)+4+11=19. Это явно мало. И гарантированно можно добавить еще 11: 19+11=30. Чтобы «добрать» до 42 баллов, нужно далее добавить 12 баллов, которые набираются тройным вхождением 4-х баллов. В целом получаем:

7+(–3)+4+11+11+3·4=42.

Распишем полученную комбинацию слагаемых в виде ответов:

1П+(1П+1Н)+(2П+1Н)+(3П+1Н)+(3П+1Н)+3·(2П+1Н)=1П+1П+1Н+2П+1Н+3П+1Н+3П+1Н+6П+3Н=16П+7Н (ответов).

16+7=23 ответа. 25–23=2 ответа, за которые было получено по 0 баллов, т.е. это вопросы, оставшиеся без ответов.

Итак, по нашим подсчетам верных ответов было дано 16.

Проверим это:

16 ответов по 7 б. + 7 ответов по (–10) б. + 2 ответа по 0 б. = 16·7–7·10+2·0=112–70+0=42 (балла).

Вариант двадцатого задания 2019 года (2)

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 103, во втором – 97, в третьем – 93, а сумма чисел в каждой строке больше 21, но меньше 24. Сколько всего строк в таблице?

Алгоритм выполнения

1. Находим общую сумму для всех чисел в таблице (сложив суммы для каждого из 3-х столбцов).
2. Определяем диапазон допустимых значений для сумм чисел в каждой строке.
3. Разделив общую сумму сначала на наименьшую сумму чисел в каждой строке, а затем на наибольшую, получаем искомое кол-во строк.

Решение:

Общая сумма чисел в таблице равна: 103+97+93=293.

Поскольку по условию суммы чисел в каждой строке составляют >21, но <24, то кол-во строк X может быть равным меньше, чем 293:21≈13,95, и больше, чем 293:24≈12,21. Т.е.: 12,21 < X < 13,95. Единственное целое число в полученном диапазоне – 13. Значит, искомое кол-во строк равно 13.

Вариант двадцатого задания 2019 года (3)

В доме всего восемнадцать квартир с номерами от 1 до 18. В каждой квартире живет не менее одного и не более трех человек. В квартирах с 1-й по 13-ю включительно живет суммарно 15 человек, а в квартирах с 11-й по 18-ю включительно живет суммарно 20 человек. Сколько всего человек живет в этом доме?

Алгоритм выполнения

1. Определяем максимальное кол-во живущих в 11–13-й квартирах, используя данные о том, сколько человек живет в 1–13-й квартирах.
2. Находим минимальное число жильцов 11–13-й квартир, учитывая данные о живущих в 11–18-й квартирах.
3. Сопоставляет данные, полученные в пп.1–2, получаем точное кол-во жильцов этих квартир №№11–13.
4. Находим кол-во живущих в квартирах 1–10-й и 14–18-й.
5. Вычисляем общее число жильцов дома.

Решение:

В первых 13 квартирах (с 1-й по 13-ю) живет 15 человек. Это означает, что в 11-ти квартирах живет по 1 человеку плюс в 2-х квартирах по 2 человека (11·1+2·2=15). Следовательно, в 11–13-й (т.е. в 3-х) квартирах проживает не менее 3-х и не более 5 (1+2+2) человек.

Во вторых 8 квартирах (11-й по 18-ю) проживает 20 человек. При этом с 14-й по 18-ю квартиры (т.е. в 5 квартирах) не может проживать более чем 5·3=15 человек. А следовательно, в 11-13-й квартирах живет не менее, чем 20–15=5 человек.

Т.е. с одной стороны в 11-13-й квартирах должно жить не более 5 человек, а с другой – не менее 5. Вывод: в этих квартирах живет ровно 5 человек, т.к. других допустимых для обоих случаев значений тут нет.

Тогда получаем: в 1–10-й квартирах живет 15–5=10 человек, в 14–18-й – 20–5=15 человек. Всего в доме проживает: 10+5+15=30 человек.

Вариант двадцатого задания 2019 года (4)

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

• за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;
• за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Алгоритм выполнения

1. Определяем кол-во серебряных монет, которые необходимы Николаю для совершения двойного обмена так, чтобы у него не появились золотые монеты. Двойной обмен – это обмен сначала серебряных монет на золотые и медные, а затем золотые на серебряные и медные.
2. Определяем кол-во разных монет, которые появятся у Николая в результате 1 двойного обмена.
3. Вычисляем кол-во двойных обменов, которые необходимо совершить, чтобы появилось 45 медных монет.
4. Находим кол-во серебряных монет, которые должен был иметь Николай изначально, чтобы совершить нужное кол-во обменов, и которые получил в результате всех обменов.
5. Определяем искомую разницу.

Решение:

Совершить 1-й обмен Николай должен по 2-й схеме, т.к. у него есть только серебряные монеты. Для того же, чтобы в результате у него не оказалось золотых монет, нужно найти минимальное кратное для 5 золотых, которые он получит, и 4 золотых, которые у него за 1 раз могут принять в полном объеме (без остатка). Это – число 20.

Соответственно, чтобы получить 20 золотых монет, у Николая должно быть 20:5=4 комплекта серебряных монет по 7 штук. Значит, первоначально их у него должно быть 4·7=28. И при этом Николай получает еще и 1·4=4 медных монеты.

Совершая обмен, Николай отдает 20:4=5 комплектов золотых медалей. Взамен он получает 5·5=25 серебряных монет и 1·5=5 медных монет.

Т.о., в результате одного обмена у Николая появится 25 серебряных монет и 4+5=9 медных монет. Поскольку в итоге у Николая оказалось 45 медных монет, значит, было совершено 45:9=5 двойных обменов.

Если в результате 1 двойного обмена у Николая оказалось 25 серебряных монет, то после 5 таких обменов у него их окажется 25·5=125 штук. А первоначально он должен был для этого иметь 28·5=140 серебряных монет. Следовательно, их количество у Николая уменьшилось на 140–125=15 штук.

Вариант двадцатого задания 2019 года (5)

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нем 357 квартир?

Алгоритм выполнения

1. Определяем уравнение для определения кол-ва квартир в доме всего через параметры, заявленные в условии (т.е. через кол-во квартир на этаже и т.д.).
2. Раскладываем 357 на множители.
3. Находим соответствие полученных множителей конкретным параметрам, сходя из условия о том, какой из параметров больше или меньше прочих.

Решение:

Т.к. на всех этажах одинаковое кол-во квартир (Х), по всех подъездах одинаковое кол-во этажей (Y), то обозначив кол-во подъездов через Z, можем записать: 357=X·Y·Z.

Разложим 357 на простые множители. Получим: 357=3·7·17·1. Причем это единственный вариант расклада. Т.к. Y>X>Z>1, то единицу в раскладе не учитываем и определяем, что Z=3, X=7, Y=17.

Поскольку кол-во этажей было обозначено через Y, то искомое число – 17.

Вариант двадцатого задания 2019 года (6)

Из десяти стран семь подписали договор о дружбе ровно с тремя странами, а каждая из оставшихся трех – ровно с семью. Сколько всего было подписано договоров?

Алгоритм выполнения

1. Подсчитываем кол-во договоров, подписанных 7-ю странами.
2. Определяем кол-во договоров, которые подписали 3 оставшиеся страны.
3. Находим общее кол-во подписанных договоров. Делим его на 2, т.к. договоры двусторонние.

Решение:

Первые 7 стран подписали договоры с 3 странами, т.е. на этих договорах поставлено 7·3=21 подпись. Аналогично остальные 3 страны при оформлении договоров с 7-ю странами поставили 3·7=21 подпись. Значит, всего поставлено 21+21=42 подписи.

Т.к. все договоры двусторонние, то это значит, что на каждом из них зафиксировано 2 подписи. Следовательно, договоров вдвое меньше, чем подписей, т.е. 42:2=21 договор.

Вариант двадцатого задания 2019 года (7)

На поверхности глобуса фломастером проведены 13 параллелей и 25 меридианов. На сколько частей проведенные линии разделили поверхность глобуса?

Меридиан – это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель – это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

Алгоритм выполнения

1. Доказываем, что параллели делят глобус на 13+1 часть.
2. Доказываем, что меридианы делят глобус на 25 частей.
3. Определяем кол-во частей, на которые в целом разделен глобус, как произведение найденных чисел.

Решение:

Если всякая параллель – это окружность, то она является замкнутой линией. А это означает, что 1-я параллель делит глобус на 2 части. Далее 2-я параллель обеспечивает деление на 3 части, 3-я – на 4 и т.д. В итоге 13 параллелей разделят глобус на 13+1=14 частей.

Меридиан является дугой окружности, соединяющей полюса, т.е. замкнутой линией она не является и глобус на части не делит. А вот 2 меридиана уже делят, т.е. 2 меридиана обеспечивают деление на 2 части, далее 3-й меридиан добавляет 3-ю часть, 4-й – 5-ю часть и т.д. Значит, в конечном счете, 25 меридианов создает на глобусе 25 частей.

Всего частей на глобусе получается: 14·25=350 частей.

Вариант двадцатого задания 2019 года (8)

В корзине лежит 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов – хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

Алгоритм выполнения

1. Определяем кол-во груздей среди 12 грибов и рыжиков среди 20 грибов.
2. Доказываем, что имеется единственно верное число, отображающее кол-во рыжиков. Фиксируем его в ответе.

Решение:

Если среди 12 грибов есть как минимум 1 рыжик, значит, груздей здесь не более 11. Если среди 20 грибов имеется не менее 1 груздя, то тут не более 19 рыжиков.

Это означает, что если груздей не может быть больше 11, то рыжиков не может быть меньше 30–11=19 штук. Т.е. рыжиков с одной стороны не больше 19, а с другой – не меньше 19. Следовательно, рыжиков может быть только ровно 19.

Вариант двадцатого задания 2019 года (9)

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 3. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 5?

Алгоритм выполнения

1. Вводим обозначения для множителей. Это позволит выразить и первоначальное произведение (до увеличения множителей).
2. Составляем уравнение для ситуации, когда множители увеличены на 1. Выполняем преобразования. Получаем новое выражение, отображающее связь между первоначальными множителями.
3. Составляем уравнение для ситуации, когда множители увеличены на 5. Выполняем преобразования. Вводим в уравнение выражение, полученное в п.2, находим искомую разницу.

Решение:

Пусть 1-й множитель равен х, 2-й – у. Тогда их произведение – ху.

После того, как множители увеличены на 1, получаем:

(х+1)(у+1)=ху+3

ху +у+х+1= ху +3

После увеличения множителей на 5 имеем:

(х+5)(у+5)=ху+N, где N – искомая разница произведений.

Выполняем преобразования:

ху+5у+5х+25=ху+N

N= ху +5у+5х+25– ху

Т.к. выше уже определено, что х+у=2, то получим:

Вариант двадцатого задания 2019 года (10)

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живет в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живет Саша? (На всех этажах число квартир одинакова, нумерация квартир в доме начинается с единицы.)

Алгоритм выполнения

1. Способом подбора определяем кол-во квартир на площадке. Это должно быть такое число, чтобы номер квартиры оказался большим, чем кол-во квартир в 6-ти подъездах, однако меньшим, чем кол-во квартир в 7-ми.
2. Определяем кол-во квартир в 6-ти подъездах. От 462 отнимаем это кол-во и делим на число квартир на площадке. Так узнаем искомый номер этажа. Примечание: 1) если получено целое число, то искомый номер этажа на 1 больше, чем вычисленное значение; 2) если получено дробное число, то номером этажа будет округленный в большую сторону результат.

Решение:

Ищем кол-во квартир на площадке, проверяя число за числом.

Предположим, что это кол-во равно 3. Тогда получим, что в 7 подъездах на 6 этажах имеется 7·6·3=126 квартир,

а в 7 подъездах на 7 этажах 7·7·3=147 квартир.

Квартира №462 точно не попадает в диапазон квартир №№126–147.

Аналогично проверяя числа 4, 5 и т.д., придем к числу 10. Докажем, что именно оно подходит:

в 7 подъездах на 6 этажах находится 7·6·10=420 квартир,

в 7 подъездах на 7 этажах: 7·7·10=490 квартир. Поскольку 420<462<490, то условие задания выполнено.

Для того чтобы попасть в квартиру №462, нужно пройти мимо 462–420=42 квартир. Т.к. на каждой площадке находится 10 квартир, то 42:10=4,2 этажей для этого нужно преодолеть. 4,2 означает, что 4 этажа нужно пройти полностью и подняться на 5-й. Т.о., искомый этаж – 5-й.