Nech je tam n identické molekuly v stave náhodného tepelného pohybu pri určitej teplote. Po každom akte zrážky medzi molekulami sa ich rýchlosť mení náhodne. V dôsledku nepredstaviteľne veľkého počtu zrážok dochádza k ustáleniu stacionárneho rovnovážneho stavu, kedy počet molekúl v danom rozsahu otáčok zostáva konštantný.

V dôsledku každej kolízie dochádza v projekciách rýchlosti molekúl k náhodnej zmene o Δυ x, Δυ y, Δυ z a zmeny v každej projekcii rýchlosti sú navzájom nezávislé. Budeme predpokladať, že silové polia nepôsobia na častice. Zistite za týchto podmienok, aký je počet častíc d n z celkovej sumy n má rýchlosť v rozsahu od υ do υ+Δυ. Zároveň nemôžeme povedať nič definitívne o presnej hodnote rýchlosti konkrétnej častice υ i, keďže zrážky a pohyby každej z molekúl nie je možné vysledovať ani experimentálne, ani teoreticky. Takéto detailné informácie sotva by to malo praktickú hodnotu.

Rozdelenie rýchlosti molekúl ideálneho plynu prvýkrát získal slávny anglický vedec J. Maxwell v roku 1860 pomocou metód teórie pravdepodobnosti.


Odvodenie vzorca pre funkciu distribúcie rýchlosti molekúl je v učebnici Yu.I.Tyurina a kol., (časť 1) alebo I.V. Savelyeva (zv. 1). Použijeme výsledky tohto odvodenia.

Rýchlosť je vektorová veličina. Pre premietanie rýchlosti na os x (X zložku rýchlosti) z (2.2.1) máme

Potom

(2.3.1)

Kde A 1 je konštanta rovná

Grafické znázornenie funkcie je na obrázku 2.2. Je vidieť, že podiel molekúl s rýchlosťou nie je nulový. Keď , (v tomto fyzický význam konštanta A1).

Vyššie uvedený výraz a graf platia pre rozloženie molekúl plynu na x-zložkách rýchlosti. Je zrejmé, že podľa r- A z-možno získať aj komponenty rýchlosti:

Kde, resp

(2.3.2)

Vzorec (2.3.2) možno geometricky interpretovať: d n xyz– je to počet molekúl v rovnobežnostene so stranami dυ x, dυ y, dυ z, teda v objeme d V=dυ x dυ y dυ z (obr. 2.3), umiestnený vo vzdialenosti od počiatku v rýchlostnom priestore.

Táto hodnota (d n xyz) nemôže závisieť od smeru vektora rýchlosti. Preto je potrebné získať distribučnú funkciu molekúl podľa rýchlosti bez ohľadu na ich smer, teda podľa absolútnej hodnoty rýchlosti.

Ak zhromaždíte všetky molekuly v jednotkovom objeme, ktorých rýchlosti sú vo všetkých smeroch v rozsahu od υ do υ+dυ a uvoľníte ich, potom sa za jednu sekundu ocitnú v guľovej vrstve hrúbky dυ a polomer υ (obr. 2.4). Toto sférická vrstva pozostáva z vyššie uvedených rovnobežnostenov.

Celkový počet molekúl vo vrstve, ako vyplýva z (2.3.2)

Kde je podiel všetkých častíc v guľovej vrstve s objemom d V, ktorého rýchlosti ležia v rozsahu od υ do υ+dυ.

Pre dυ = 1 dostaneme hustota pravdepodobnosti , alebo funkcia distribúcie rýchlosti molekúl:

(2.3.4)

Táto funkcia označuje podiel molekúl v jednotkovom objeme plynu, ktorého absolútne rýchlosti sú obsiahnuté v intervale jednotkovej rýchlosti, ktorý zahŕňa danú rýchlosť.

Označíme: potom z (2.3.4) dostaneme:

(2.3.5)

Graf tejto funkcie je znázornený na obrázku 2.5.

Závery:

Uvažujme o hraniciach použiteľnosti klasického popisu rozloženia rýchlosti častíc. Na tento účel používame Heisenbergov vzťah neurčitosti. Podľa tohto vzťahu súradnice a hybnosť častice nemôžu mať súčasne určitú hodnotu. Klasický popis je možný, ak sú splnené nasledujúce podmienky:

Tu je Planckova konštanta – základná konštanta, ktorá určuje rozsah kvantových (mikroskopických) procesov.

Ak je teda častica v objeme, potom je v tomto prípade možné opísať jej pohyb na základe zákonov klasickej mechaniky.

Najpravdepodobnejšie stredné a aritmetické stredné rýchlosti molekúl plynu

Uvažujme, ako sa mení počet častíc na jednotkový rýchlostný interval s absolútnou hodnotou rýchlosti pri jednotkovej koncentrácii častíc.

Graf funkcie Maxwellovho rozdelenia

,

Zobrazené na obrázku 2.6.

Z grafu je zrejmé, že pre „malé“ υ, t.j. s , máme ; potom dosiahne maximum A a potom exponenciálne klesá.

Veľkosť rýchlosti, pri ktorej nastane maximálna závislosť, nazývaná najpravdepodobnejšia rýchlosť.

Nájdite túto rýchlosť z podmienky rovnosti derivácie.

RMS rýchlosť nájdeme pomocou vzťahu: Aritmetická priemerná rýchlosť:
. .

Kde je počet molekúl s rýchlosťou od υ do υ+dυ. Ak tu nahradíme f(υ) a vypočítame, dostaneme: V tomto tvare

Okrem toho

Maxwellov zákon rozloženia rýchlosti a všetky z toho vyplývajúce dôsledky platia len pre plyn v rovnovážnom systéme. Zákon je štatistický a čím väčší počet molekúl, tým lepšie je splnený.

Molekuly akéhokoľvek plynu sú vo večnom chaotickom pohybe. Rýchlosti molekúl môžu zabrať najviac rôzne významy. Molekuly sa zrážajú a v dôsledku zrážok sa menia rýchlosti molekúl. V každom tento moment V čase, rýchlosť každej jednotlivej molekuly je náhodná v rozsahu aj smere.

Ak je však plyn ponechaný sám na seba, potom sú rôzne rýchlosti tepelného pohybu rozdelené medzi molekuly daného množstva plynu pri danej teplote podľa veľmi špecifického zákona, t.j. existuje rozdelenie molekúl podľa rýchlosti.

Zákon distribúcie molekulárnej rýchlosti teoreticky odvodil Maxwell. Maxwellov zákon je vyjadrený nasledujúcim vzorcom:

kde je počet molekúl, ktorých rýchlosti ležia v intervale ; – celkový počet molekúl daného množstva plynu; – základ prirodzeného logaritmu; – špecifikovaná hodnota rýchlosti z intervalu; – najpravdepodobnejšia rýchlosť molekúl plynu pri danej teplote.

S najväčšou pravdepodobnosťou rýchlosť sa nazýva rýchlosť blízka, ktorej má najväčší počet molekúl danej hmotnosti plynu. Hodnota závisí od teploty plynu.

Vzorec (10.6) udáva počet molekúl, ktorých rýchlosti ležia v danom rozsahu rýchlostí bez ohľadu na smer rýchlostí.

Ak si položíme špecifickejšiu otázku, konkrétne, aký je počet molekúl v plyne, ktorého zložky rýchlosti ležia v intervale medzi a , a , a ,

alebo , (10.8)

kde je kinetická energia molekuly plynu; - hmotnosť molekuly; – Boltzmannova konštanta; – absolútna teplota plynu Vzorce (10.7) a (10.8) – tiež Maxwellove distribučné vzorce. Krivka distribúcie rýchlosti molekúl zodpovedajúca distribučnému zákonu (10.6) je znázornená na obr. 10.1. Os x znázorňuje hodnoty rýchlosti, ktoré môže nadobudnúť jednotlivá molekula plynu.

Maximum krivky zodpovedá najpravdepodobnejšej rýchlosti. Krivka je asymetrická vzhľadom na , pretože plyn obsahuje relatívne malý počet molekúl s veľmi vysokou rýchlosťou.

Uvažujme nejaký interval , (obr. 10.1). Ak je malý, potom je plocha tieňovaného pásu blízko k ploche obdĺžnika:

tie. plocha tieňovaného pruhu predstavuje počet molekúl, ktorých rýchlosti ležia v intervale . A plocha pod celou krivkou je úmerná celkovému počtu molekúl danej hmotnosti plynu.

Poďme zistiť, pri akej hodnote bude mať krivka maximum. Nájdeme maximum pomocou zvyčajných pravidiel matematiky, pričom prvú deriváciu prirovnáme k nule:

Odvtedy.

Ak vezmeme deriváciu, dostaneme, že t.j. maximum krivky zodpovedá najpravdepodobnejšej rýchlosti.

Maxwell teoreticky našiel vzorce, ktoré možno použiť na výpočet aritmetickej priemernej rýchlosti. Vymenujme rýchlosti, ktorými možno charakterizovať tepelný pohyb molekúl plynu.

1. Najpravdepodobnejšia rýchlosť. (10.9)

2. Stredná odmocnina rýchlosť:

3. Aritmetická priemerná rýchlosť. (10.11)

Všetky rýchlosti sú priamo úmerné a nepriamo úmerné , kde je hmotnosť mólu plynu.

Na obr. 10.1 je graf I vynesený pre teplotu a graf II je vynesený pre teplotu. Je vidieť, že s rastúcou teplotou sa maximum krivky posúva doprava, pretože So zvyšujúcou sa teplotou sa zvyšuje rýchlosť molekúl. Existuje viac rýchlych molekúl, pravá vetva krivky stúpa, pomalých molekúl je menej, ľavá vetva je strmšia. A celá krivka klesá, pretože plocha pod krivkou musí zostať rovnaká, pretože celkový počet molekúl plynu zostal rovnaký a samozrejme sa nemohol meniť pri zahrievaní plynu.

Maxwellov zákon je štatistický zákon, t.j. zákon, ktorý platí pre veľmi veľký počet molekúl.

Maxwellov zákon navyše neberie do úvahy vonkajší vplyv na plyn, t.j. na plyn nepôsobia žiadne silové polia.

10.4. Ideálny plyn vonkajšie pole.
Barometrický vzorec. Boltzmannovo rozdelenie

Uvažujme vertikálny stĺpec vzduchu na povrchu Zeme (obr. 10.2). Ak je výška stĺpca relatívne malá (nepresahuje niekoľko stoviek metrov), hustota plynu a počet molekúl na jednotku objemu (koncentrácia) budú približne rovnaké. Ak je však výška stĺpca približne kilometer alebo viac, rovnomerné rozloženie molekúl pozdĺž výšky je narušené gravitácia, ktorý má tendenciu koncentrovať molekuly blízko zemského povrchu. V dôsledku toho hustota vzduchu a Atmosférický tlak bude klesať so vzdialenosťou od zemského povrchu.

Určme zákon zmeny tlaku s výškou (nájdeme barometrický vzorec).

Barometrický vzorec ukazuje, ako závisí atmosférický tlak P z výšky h nad povrchom Zeme. Nech je tlak vo výške blízko povrchu Zeme. Tlak je známy. Musíme nájsť zmenu tlaku s výškou.

Pri odvodzovaní predpokladáme, že teplota plynu zostáva konštantná. Vyberme si valcový stĺpec plynu (vzduchu) s prierezom nad povrchom Zeme. Uvažujme vrstvu plynu nekonečne malej hrúbky umiestnenú vo výške od základne stĺpca.

Rozdiel síl pôsobiacich na hornú a spodnú základňu vrstvy sa rovná hmotnosti plynu obsiahnutého v tejto vrstve, t.j.

Infinitezimálna hmotnosť plynu vo vrstve sa vypočíta podľa vzorca

kde je objem vrstvy plynu.

Potom, kde je hustota plynu; - gravitačné zrýchlenie.

Rozdiel tlakov na oboch základniach vrstvy:

A tiež musíte dať znamienko mínus

pretože znamienko mínus má fyzický význam. Ukazuje, že tlak plynu klesá s nadmorskou výškou. Ak vystúpite do výšky, tlak plynu sa o niečo zníži.

Hustotu plynu nájdeme z Mendelejevovej-Clapeyronovej rovnice.

Nahradením výrazu v (10.12) máme

Toto Diferenciálnej rovnice s oddeliteľnými premennými:

Poďme integrovať:

Zoberme si barometrický vzorec

Na obr. 10.3 sú znázornené grafy závislosti tlaku na výške pre dve hodnoty teploty T 1 a T 2 (T 2 > T 1). So zmenou teploty plynu, tlaku P 0 pri povrchu Zeme zostáva nezmenená, pretože rovná sa hmotnosti vyššie umiestneného zemského povrchu vertikálny stĺp plynu s jednotkovou základnou plochou a neobmedzenou výškou. Hmotnosť plynu nezávisí od teploty.

Z barometrického vzorca je veľmi ľahké získať Boltzmannovu distribúciu pre prípad, keď vonkajším vplyvom na plyn je gravitačná sila.

Tlak plynu v nadmorskej výške je priamo úmerný počtu molekúl na jednotku objemu v tejto nadmorskej výške, , je koncentrácia molekúl v nadmorskej výške a , – koncentrácia molekúl plynu vo výške .

Buď. (10.14)

Vzorec (10.14) sa nazýva Boltzmannovo rozdelenie pre molekuly v gravitačnom poli.

Na obr. Obrázok 10.4 ukazuje grafy molekulárnych koncentrácií proti výške pre dve hodnoty teploty T 1 a T 2 (T 2 >T 1) v gravitačnom poli. Molekulárna koncentrácia n 0 na povrchu Zeme klesá so zvyšujúcou sa teplotou ( n 0 (T 2) < n 0 (T 1)) v dôsledku prerozdelenia molekúl vo vnútri plynového stĺpca. Molekuly s väčšou kinetickou energiou stúpajú vyššie.

Ak , je potenciálna energia molekuly vo výške , potom

Vzorec (10.15) platí nielen pre prípad, keď sa molekuly pohybujú v gravitačnom poli. Tento vzorec vyjadrujúci Boltzmannovu distribúciu platí pre každé silové pole s potenciálnou funkciou:

Perrinov zážitok (1870 – 1942).
Definícia Avogadroho čísla

Francúzsky fyzik Perrin použil Boltzmannovu distribúciu na experimentálne určenie Avogadrovho čísla.

Mikroskop bol namierený na vrchnú vrstvu emulzie (obr. 10.5), vyrobenej cez mikroskop okamžitá fotografia, spočítali počet Brownových častíc na fotografii. Potom sa trubica mikroskopu znížila o 0,01 mm, znova sa urobili fotografie a spočítal sa počet Brownových častíc na fotografii. Ukázalo sa, že viac Brownových častíc je na dne nádoby, menej na povrchu emulzie a vo všeobecnosti výškové rozloženie Brownových častíc zodpovedá Boltzmannovmu rozdeleniu. Keďže žuvačky sú v kvapaline (emulzii), ich potenciálnu energiu, berúc do úvahy Archimedovu vztlakovú silu, možno zapísať, kde m 0 – hmotnosť lopty, m g – hmotnosť objemu kvapaliny vytlačenej guľou. Potom možno Boltzmannovu distribúciu zapísať ako

Ak n 1 a n 2 – namerané koncentrácie častíc vo výškach h 1 a h 2, potom; , A.

Potom môžeme určiť a .

Veľkosť

kde a sú hustoty materiálu guľôčok a emulzie.

Po experimentálnom stanovení Boltzmannova konštanta k Perrin odvodil hodnotu Avogadroho čísla zo závislosti. Presná hodnota:

Téma 11
PRÁCA, VNÚTORNÁ ENERGIA A TEPLO.
PRVÝ ZÁKON TERMODYNAMIE

Termodynamika je veda, ktorá študuje podmienky transformácie rôzne druhy energie na tepelnú energiu a naopak, ako aj kvantitatívne vzťahy pozorované v tomto prípade. Termodynamika pokrýva širokú škálu javov pozorovaných v prírode a technike. Zvláštny význam má pre vykurovaciu techniku, pretože poskytuje základ pre vývoj vykurovacích a chladiacich strojov. V termodynamike sa toto slovo často používa telo. V termodynamike možno teleso nazvať vzduch, voda, ortuť, akýkoľvek plyn, t.j. akákoľvek látka, ktorá zaberá určitý objem.

Termodynamický systém môže obsahovať niekoľko telies, ale môže pozostávať aj z jedného telesa, veľmi často je toto teleso ideálnym plynom.

Termodynamický systém je akýkoľvek súbor uvažovaných telies, ktoré si môžu vymieňať energiu medzi sebou as inými telesami. Ideálnym plynom môže byť napríklad termodynamický systém.

Stav termodynamického systému charakterizujú termodynamické parametre. Termodynamické parametre sú veličiny charakterizujúce stav systému. Termodynamické parametre zahŕňajú veličiny ako tlak, objem, teplota, hustota látky atď. Parametrami stavu ideálneho plynu sú napríklad tlak P, objem V, teplota T. Rovnica, ktorá dáva do súvisu parametre stavu termodynamického systému, sa nazýva stavová rovnica. Napríklad Mendelejevova-Clapeyronova rovnica: .

Stav termodynamického systému je tzv rovnováha, ak všetky jeho parametre majú určitú hodnotu a nemenia sa v čase za konštantných vonkajších podmienok.

Ak je termodynamický systém vyvedený z rovnováhy a ponechaný sám sebe, vráti sa do pôvodného stavu. Tento proces sa nazýva relaxácia.

V termodynamike sa študujú zákony všetkých možných prechodov systému z jedného stavu do druhého. Prechod systému z jedného štátu do druhého,ktorá je sprevádzaná zmenou aspoň jedného parametra stavu,nazývaný proces. Rovnica, ktorá určuje zmenu parametrov systému pri prechode z jedného stavu do druhého, sa nazýva procesná rovnica.

Termodynamika študuje len termodynamicky rovnovážne stavy telies a pomalé procesy, ktoré sa považujú za rovnovážne stavy, ktoré na seba kontinuálne nadväzujú. Učí sa všeobecné vzory prechod sústav do stavov termodynamickej rovnováhy.

Rovnovážne procesy– procesy, pri ktorých je rýchlosť zmeny termodynamických parametrov nekonečne malá, t.j. zmeny termodynamických parametrov nastávajú v nekonečne dlhom čase. Toto Model, pretože všetky reálne procesy sú nerovnovážne.

Rovnovážny proces je proces, ktorý prechádza sledom rovnovážnych stavov.

Nerovnovážny proces– proces, pri ktorom v konečnom čase nastáva zmena termodynamických parametrov o konečnú hodnotu.

Nerovnovážny proces nie je možné znázorniť graficky.

Termodynamika používa špeciálnu metódu na štúdium javov - termodynamická metóda. Termodynamika skúma, ako prebieha proces.

Termodynamika je založená na dvoch základných zákonoch, ktoré sú zovšeobecnením obrovského faktografického materiálu. Tieto zákony viedli k vzniku celej vedy o termodynamike, a preto dostali názov začiatky.

11.1. Vnútorná energia ideálneho plynu.
Počet stupňov voľnosti

Počet stupňov voľnosti volal najmenšie číslo nezávislé súradnice, ktoré je potrebné zadať na určenie polohy telesa v priestore. – počet stupňov voľnosti.

Uvažujme monatomický plyn. Molekula takéhoto plynu môže byť považovaná za hmotný bod, polohu hmotného bodu (obr. 11.1) v priestore určujú tri súradnice.

Molekula sa môže pohybovať tromi smermi (obr. 11.2).

V dôsledku toho má tri translačné stupne voľnosti.

Molekula je hmotný bod.

Energia rotačného pohybu, pretože moment zotrvačnosti hmotného bodu voči osi prechádzajúcej bodom je nulový

Pre monoatomickú molekulu plynu je počet stupňov voľnosti .

Uvažujme diatomický plyn. V dvojatómovej molekule je každý atóm braný ako hmotný bod a predpokladá sa, že atómy sú navzájom pevne spojené; toto je činkový model dvojatómovej molekuly. Diatomická pevne viazaná molekula(súbor dvoch hmotných bodov spojených nedeformovateľným spojom), Obr. 11.3.

Poloha ťažiska molekuly je určená tromi súradnicami, (obr. 11.4) sú to tri stupne voľnosti, určujú pohyb vpred molekuly. Ale molekula môže tiež vykonávať rotačné pohyby okolo osí a , to sú ďalšie dva stupne voľnosti, ktoré určujú rotácia molekúl. Otáčanie molekuly okolo osi je nemožné, pretože hmotné body sa nemôžu otáčať okolo osi prechádzajúcej týmito bodmi.

Pre dvojatómovú molekulu plynu je počet stupňov voľnosti .

Uvažujme trojatómový plyn. Modelom molekuly sú tri atómy (hmotné body), navzájom pevne spojené (obr. 11.5).

Triatómová molekula je pevne viazaná molekula.

Pre trojatómovú molekulu plynu je počet stupňov voľnosti .

Pre polyatómovú molekulu je počet stupňov voľnosti .

Pre skutočné molekuly, ktoré nemajú pevné väzby medzi atómami, je tiež potrebné vziať do úvahy stupne voľnosti vibračného pohybu, potom sa počet stupňov voľnosti skutočnej molekuly rovná

i= i bude platiť + i točiť sa + i oscilácia (11.1)

Zákon rovnomerného rozloženia energie
podľa stupňov voľnosti (Boltzmannov zákon)

Zákon o ekvidistribúcii energie cez stupne voľnosti uvádza, že ak je systém častíc v stave termodynamickej rovnováhy, potom priemerná kinetická energia chaotického pohybu molekúl na 1 stupeň voľnosti translačný a rotačný pohyb sa rovná

Preto molekula, ktorá má stupne voľnosti, má energiu

je počet mólov, kde je hmotnosť mólu a vnútorná energia plynu je vyjadrená vzorcom

Vnútorná energia ideálneho plynu závisí len od teploty plynu. Zmena vnútornej energie ideálneho plynu je určená zmenou teploty a nezávisí od procesu, v ktorom k tejto zmene došlo.

Zmena vnútornej energie ideálneho plynu

kde je zmena teploty.

Zákon rovnomerného rozloženia energie platí pre vibračný pohyb atómov v molekule. Vibračný stupeň voľnosti predstavuje nielen kinetickú energiu, ale aj potenciálnu energiu a priemerná hodnota kinetickej energie na jeden stupeň sa rovná priemernej hodnote potenciálnej energie na jeden stupeň voľnosti a rovná sa

Ak má teda molekula určitý počet stupňov voľnosti
i= i bude platiť + i otočiť + i vibrácie, potom priemerná celková energia molekuly: a vnútorná energia hmoty plynu:

11.2. Elementárna práca. Ideálna práca s plynom
počas izoprocesov

Ak vonkajšie sily pracujte na systéme, potom je práca negatívna.

Uvažujme ideálny plyn umiestnený pod piestom vo valci (obr. 11.6). Plyn expanduje a piest stúpa do nekonečne malej výšky. Sila pôsobiaca z plynu na piest sa zistí podľa vzorca

V P ( V) a priame čiary prechádzajúce koncami segmentu rovnobežne s osou y.

Prednáška 5

V dôsledku početných zrážok molekúl plynu medzi sebou (~10 9 zrážok za 1 sekundu) a so stenami nádoby, štatistické rozdelenie molekuly podľa rýchlosti. V tomto prípade sa všetky smery molekulárnych rýchlostných vektorov ukážu ako rovnako pravdepodobné a rýchlostné moduly a ich projekcie na súradnicové osi sa riadia určitými zákonmi.

Počas zrážok sa rýchlosti molekúl náhodne menia. Môže sa ukázať, že jedna z molekúl v sérii zrážok dostane energiu od iných molekúl a jej energia bude výrazne väčšia ako priemerná energetická hodnota pri danej teplote. Rýchlosť takejto molekuly bude vysoká, ale stále bude mať konečnú hodnotu, keďže maximálna možná rýchlosť je rýchlosť svetla - 3·10 8 m/s. V dôsledku toho môže mať rýchlosť molekuly vo všeobecnosti hodnoty od 0 do niektorých υ max. Dá sa tvrdiť, že veľmi vysoké rýchlosti v porovnaní s priemernými hodnotami sú zriedkavé, rovnako ako veľmi malé.

Ako ukazuje teória a experimenty, rozdelenie molekúl podľa rýchlosti nie je náhodné, ale celkom určité. Určme, koľko molekúl alebo aká časť molekúl má rýchlosti, ktoré ležia v určitom intervale blízko danej rýchlosti.

Nech daná hmotnosť plynu obsahuje N molekuly, zatiaľ čo dN molekuly majú rýchlosti v rozmedzí od υ predtým υ +dυ. Je zrejmé, že ide o počet molekúl dNúmerné celkovému počtu molekúl N a hodnotu určeného rýchlostného intervalu dυ

Kde a- koeficient proporcionality.

Je tiež zrejmé, že dN závisí od rýchlosti υ , keďže v intervaloch rovnakej veľkosti, ale pri rôznych absolútnych hodnotách rýchlosti bude počet molekúl rôzny (príklad: porovnajte počet ľudí žijúcich vo veku 20 - 21 rokov a 99 - 100 rokov). To znamená, že koeficient a vo vzorci (1) musí byť funkciou rýchlosti.

Berúc to do úvahy, prepíšeme (1) do formulára

Z (2) dostaneme

Funkcia f(υ ) sa nazýva distribučná funkcia. Jeho fyzikálny význam vyplýva zo vzorca (3)

teda f(υ ) sa rovná relatívnemu zlomku molekúl, ktorých rýchlosti sú obsiahnuté v jednotkovom rýchlostnom intervale blízkom rýchlosti υ . Presnejšie povedané, distribučná funkcia má význam pravdepodobnosti akejkoľvek molekuly plynu s rýchlosťou obsiahnutou v jednotkový interval blízka rýchlosť υ . Preto ju volajú hustota pravdepodobnosti.

Získame integráciou (2) cez všetky hodnoty rýchlosti od 0 do

Z (5) vyplýva, že

Rovnica (6) sa nazýva normalizačný stav funkcie. Určuje pravdepodobnosť, že molekula má jednu z hodnôt rýchlosti od 0 do . Rýchlosť molekuly má nejaký význam: táto udalosť je spoľahlivá a jej pravdepodobnosť sa rovná jednej.



Funkcia f(υ ) našiel Maxwell v roku 1859. Dostala meno Maxwellova distribúcia:

Kde A– koeficient, ktorý nezávisí od rýchlosti, m- molekulová hmotnosť, T- teplota plynu. Pomocou normalizačnej podmienky (6) môžeme určiť koeficient A:

Ak vezmeme tento integrál, dostaneme A:

S prihliadnutím na koeficient A Maxwellova distribučná funkcia má tvar:

Pri zvyšovaní υ faktor v (8) sa mení rýchlejšie ako rastie υ 2. Preto distribučná funkcia (8) začína na začiatku, dosahuje maximum pri určitej hodnote rýchlosti, potom klesá, asymptoticky sa blíži k nule (obr. 1).

Obr.1. Maxwellovská distribúcia molekúl

podľa rýchlosti. T 2 > T 1

Pomocou Maxwellovej distribučnej krivky môžete graficky nájsť relatívny počet molekúl, ktorých rýchlosti ležia v danom rozsahu rýchlostí od υ predtým dυ(Obr. 1, oblasť tieňovaného pásu).

Je zrejmé, že celá plocha pod krivkou udáva celkový počet molekúl N. Z rovnice (2), berúc do úvahy (8), zistíme počet molekúl, ktorých rýchlosti ležia v rozmedzí od υ predtým dυ

Z (8) je tiež zrejmé, že konkrétna forma distribučnej funkcie závisí od typu plynu (hmotnosti molekuly m) a teplote a nezávisí od tlaku a objemu plynu.

Ak je izolovaný systém vyvedený z rovnováhy a ponechaný sám sebe, potom sa po určitom čase vráti do rovnováhy. Toto časové obdobie sa nazýva relaxačný čas. Pre rôzne systémy je to iné. Ak je plyn v rovnovážnom stave, potom sa distribúcia molekúl podľa rýchlosti v priebehu času nemení. Rýchlosti jednotlivých molekúl sa neustále menia, ale počet molekúl dN, ktorých rýchlosti ležia v rozmedzí od υ predtým dυ zostáva konštantná po celý čas.

Maxwellovská distribúcia rýchlosti molekúl je vždy stanovená, keď systém dosiahne stav rovnováhy. Pohyb molekúl plynu je chaotický. Presná definícia Náhodnosť tepelných pohybov je nasledovná: pohyb molekúl je úplne chaotický, ak sú rýchlosti molekúl rozložené podľa Maxwella. Z toho vyplýva, že teplota je určená priemernou kinetickou energiou a to chaotické pohyby. Bez ohľadu na to, aká vysoká je rýchlosť silný vietor, ona ho "nerozpáli". Aj ten najsilnejší vietor môže byť studený aj teplý, pretože teplota plynu nie je určená smerovou rýchlosťou vetra, ale rýchlosťou chaotického pohybu molekúl.

Z grafu distribučnej funkcie (obr. 1) je zrejmé, že počet molekúl, ktorých rýchlosti ležia v rovnakých intervaloch d υ , ale takmer rôzne rýchlosti υ , viac ako rýchlosť υ sa blíži k rýchlosti, ktorá zodpovedá maximu funkcie f(υ ). Táto rýchlosť υ n sa nazýva najpravdepodobnejší (najpravdepodobnejší).

Derivujme (8) a prirovnajme deriváciu k nule:

potom je posledná rovnosť splnená, keď:

Rovnica (10) je splnená, keď:

Prvé dva korene zodpovedajú minimálnym hodnotám funkcie. Potom nájdeme rýchlosť, ktorá zodpovedá maximu distribučnej funkcie z podmienky:

Z poslednej rovnice:

Kde R- univerzálna plynová konštanta, μ – molárna hmota.

Ak vezmeme do úvahy (11) z (8), môžeme získať maximálnu hodnotu distribučnej funkcie

Z (11) a (12) vyplýva, že s rastúcim T alebo pri znižovaní m maximum krivky f(υ ) sa posúva doprava a zmenšuje sa, ale plocha pod krivkou zostáva konštantná (obr. 1).

Na vyriešenie mnohých problémov je vhodné použiť Maxwellovu distribúciu v redukovanej forme. Predstavme si relatívnu rýchlosť:

Kde υ - daná rýchlosť, υ n- najpravdepodobnejšia rýchlosť. Ak to vezmeme do úvahy, rovnica (9) má tvar:

(13) je univerzálna rovnica. V tejto forme funkcia distribúcie nezávisí od typu plynu alebo teploty.

Krivka f(υ ) je asymetrický. Z grafu (obr. 1) je zrejmé, že väčšina molekúl má rýchlosti väčšie ako υ n. Asymetria krivky znamená, že aritmetický priemer rýchlosti molekúl nie je rovnaký υ n. Aritmetický priemer rýchlosti sa rovná súčtu rýchlostí všetkých molekúl vydelených ich počtom:

Berme do úvahy, že podľa (2)

Nahradením do (14) hodnoty f(υ ) z (8) získame aritmetickú priemernú rýchlosť:

Priemernú druhú mocninu rýchlosti molekúl získame výpočtom pomeru súčtu štvorcov rýchlostí všetkých molekúl k ich počtu:

Po vystriedaní f(υ ) z (8) získame:

Z posledného výrazu nájdeme strednú odmocninu rýchlosti:

Porovnaním (11), (15) a (16) môžeme konštatovať, že a rovnako závisia od teploty a líšia sa len v číselných hodnotách: (obr. 2).

Obr.2. Maxwellovo rozdelenie na absolútne hodnoty rýchlosti

Maxwellovo rozdelenie platí pre plyny v rovnovážnom stave, počet uvažovaných molekúl musí byť dostatočne veľký. Pre malý počet molekúl možno pozorovať významné odchýlky od Maxwellovej distribúcie (fluktuácie).

Prvé experimentálne stanovenie molekulárnych rýchlostí sa uskutočnilo r Stern v roku 1920. Sternovo zariadenie pozostávalo z dvoch valcov rôznych polomerov namontovaných na rovnakej osi. Vzduch z valcov bol odčerpaný do hlbokého vákua. Pozdĺž osi bola natiahnutá platinová niť potiahnutá tenkou vrstvou striebra. Pri prechode pozdĺž vlákna elektrický prúd zahriala sa až vysoká teplota(~1200 o C), čo viedlo k vyparovaniu atómov striebra.

V stene vnútorného valca bola vytvorená úzka pozdĺžna štrbina, cez ktorú prechádzali pohybujúce sa atómy striebra. Usadené na vnútornom povrchu vonkajšieho valca vytvorili jasne viditeľný tenký pás priamo oproti štrbine.

Valce sa začali otáčať konštantnou uhlovou rýchlosťou ω. Teraz sa atómy, ktoré prešli štrbinou, už neusadzovali priamo oproti štrbine, ale boli posunuté o určitú vzdialenosť, pretože počas ich letu mal vonkajší valec čas otočiť sa o určitý uhol. Keď sa valce otáčajú konštantnou rýchlosťou, poloha pásu, tvorené atómami na vonkajšom valci, posunutý o určitú vzdialenosť l.

Častice sa usadzujú v bode 1, keď je zariadenie stacionárne; keď sa zariadenie otáča, častice sa usadzujú v bode 2.

Získané hodnoty rýchlosti potvrdili Maxwellovu teóriu. Táto metóda však poskytla približné informácie o charaktere distribúcie rýchlosti molekúl.

Maxwellovo rozdelenie bolo presnejšie overené experimentmi Lammert, Easterman, Eldridge a Costa. Tieto experimenty celkom presne potvrdili Maxwellovu teóriu.

Priame merania rýchlosti atómov ortuti v lúči sa uskutočnili v roku 1929 Lammert. Zjednodušený diagram tohto experimentu je znázornený na obr. 3.

Obr.3. Schéma Lammertovho experimentu
1 - rýchlo rotujúce disky, 2 - úzke štrbiny, 3 - pec, 4 - kolimátor, 5 - dráha molekúl, 6 - detektor

Dva disky 1, namontované na spoločnej osi, mali radiálne štrbiny 2, posunuté voči sebe pod uhlom φ . Oproti štrbinám bola pec 3, v ktorej sa zahrieval tavný kov na vysokú teplotu. Zahriate atómy kovu, v tomto prípade ortuti, vyleteli z pece a pomocou kolimátora 4 boli nasmerované do potrebný smer. Prítomnosť dvoch štrbín v kolimátore zabezpečovala pohyb častíc medzi diskami po priamej dráhe 5. Ďalej sa pomocou detektora 6 zaznamenávali atómy, ktoré prešli štrbinami v diskoch. Celá opísaná inštalácia bola umiestnená do hlbokého vákua .

Keď sa disky otáčali konštantnou uhlovou rýchlosťou ω, cez ich štrbiny voľne prechádzali iba atómy, ktoré mali určitú rýchlosť υ . Pre atómy prechádzajúce oboma štrbinami musí byť splnená rovnosť:

kde Δ t 1 - čas letu molekúl medzi diskami, Δ t 2 - čas na otočenie diskov pod uhlom φ . potom:

Zmenou uhlovej rýchlosti otáčania diskov bolo možné izolovať molekuly s určitou rýchlosťou od lúča υ a z intenzity zaznamenanej detektorom posúďte ich relatívny obsah v lúči.

Týmto spôsobom bolo možné experimentálne overiť Maxwellov zákon distribúcie rýchlosti molekúl.

Keď sa zrazia, molekuly plynu zmenia svoju rýchlosť. Rýchlosť molekúl sa mení náhodne. Nie je možné vopred predpovedať, akú číselnú rýchlosť bude mať daná molekula: táto rýchlosť je náhodná.

Distribúcia molekúl cez rýchlostné moduly je opísaná pomocou distribučnej funkcie f(v):

kde pomer sa rovná podielu molekúl, ktorých rýchlosti ležia v rozsahu od v predtým v+dv. dv-šírka intervalu (obr. 2).

Ryža. 2. Interval rýchlosti

Poznanie pohľadu f(v), môžete zistiť počet molekúl Δ N V z týchto molekúl N, ktorých rýchlosti spadajú do rýchlostného intervalu od v predtým v + Δv. Postoj

udáva pravdepodobnosť, že rýchlosť molekuly bude mať hodnotu v rámci daného intervalu rýchlosti dv.

Funkcia f(v) musí spĺňať podmienku normalizácie, to znamená, že musí byť splnená podmienka:

Ľavá strana výrazu (17.3) udáva pravdepodobnosť, že molekula má rýchlosť v rozsahu od 0 do ∞. Keďže rýchlosť molekuly má nevyhnutne nejaký význam, uvedená pravdepodobnosť je pravdepodobnosťou určitej udalosti, a preto sa rovná 1.

Distribučnú funkciu teoreticky našiel Maxwell. Vyzerá to takto:

Kde t 0 - molekulová hmotnosť.

Výraz (16) sa nazýva Funkcia Maxwellovho rozdelenia.

Z (16) vyplýva, že typ distribúcie molekulovej rýchlosti závisí od charakteru plynu (hmotnosti molekuly) a teploty T. Tlak a objem neovplyvňujú distribúciu rýchlosti molekúl.

Obr.3. Graf funkcie Maxwellovho rozdelenia

Schematický graf funkcie Maxwellovho rozdelenia je uvedený na obr. 3. Poďme analyzovať graf.

1. Pri rýchlostiach smerujúcich k nule (v ->0) a do nekonečna (v -> ∞) distribučná funkcia má tiež tendenciu k nule. To znamená, že veľmi veľké a veľmi malé molekulové rýchlosti sú nepravdepodobné.

2. Rýchlosť vB, zodpovedajúca maximu distribučnej funkcie bude najpravdepodobnejšia. To znamená, že väčšina molekúl má rýchlosti blízke pravdepodobnej.

Môžete získať vzorec na výpočet najpravdepodobnejšej rýchlosti:

kde k — Boltzmannova konštanta; t 0 - molekulová hmotnosť.

3. V súlade s normalizačnou podmienkou (15) oblasť ohraničená krivkou f(v) a os x sa rovná jednej.

4. Distribučná krivka je asymetrická. To znamená, že frakcia molekúl s rýchlosťami vyššími ako je najpravdepodobnejšia viac zdieľať molekuly s rýchlosťami menšími ako je najpravdepodobnejšia.

5. Tvar krivky závisí od teploty a charakteru plynu. Na obr. Obrázok 4 zobrazuje distribučnú funkciu pre ten istý plyn, ktorý sa nachádza na rozdielne teploty. Pri zahrievaní maximum krivky klesá a posúva sa doprava, pretože podiel „rýchlych“ molekúl sa zvyšuje a podiel „pomalých“ molekúl klesá. Plocha pod oboma krivkami zostáva konštantná a rovná sa jednote.


Maxwellov zákon distribúcie rýchlosti molekúl a dôsledky z neho vyplývajúce platia len pre plyn v rovnovážnom stave. Maxwellov zákon je štatistický, možno ho aplikovať len na veľké množstvo častíc

Ryža. 4. Maxwellove rozdelenia pri rôznych teplotách

Použitie funkcie Maxwellovho rozdelenia f(v), môžete nájsť množstvo priemerných hodnôt charakterizujúcich stav molekúl.

Aritmetická priemerná rýchlosť - súčet rýchlostí všetkých molekúl delený počtom molekúl:

Stredná štvorcová rýchlosť, ktorý určuje priemernú kinetickú energiu molekúl (pozri vzorec (10)), sa podľa definície rovná

<v HF> = (19)

Výpočet pomocou Maxwellovho rozdelenia dáva nasledujúce vzorce:

<v HF> = (21)

Ak vezmeme do úvahy, že hmotnosť jednej molekuly sa rovná , kde μ je molárna hmotnosť; N A je Avogadrove číslo a tiež to kN A = R, potom možno výrazy pre najpravdepodobnejší aritmetický priemer a odmocninu prepísať takto:

= ; (22)

<v HF> = . (24)

Pri porovnaní (22), (23) a (24) to vidíme vB,<v HF> závisia rovnako od teploty plynu a molárnej hmotnosti, líšia sa len v multiplikátore. Ich vzťah vyzerá takto:

<v V> : <v> : <v HF> = 1: 1,13: 1,22.

Maxwellova distribúcia (distribúcia molekúl plynupodľa rýchlosti). V rovnovážnom stave ostávajú parametre plynu (tlak, objem a teplota) nezmenené, ale mikrostavy - relatívne usporiadanie molekúl, ich rýchlosti - sa plynule menia. Kvôli obrovské množstvo molekuly, je prakticky nemožné určiť hodnoty ich rýchlostí v každom okamihu, ale je možné, vzhľadom na rýchlosť molekúl ako spojitú náhodnú premennú, naznačiť rozdelenie molekúl podľa rýchlosti.

Vyberme samostatnú molekulu. Náhodnosť pohybu umožňuje napríklad premietanie rýchlosti X molekuly akceptujú zákon normálneho rozdelenia. V tomto prípade, ako ukázal J. C. Maxwell, je hustota pravdepodobnosti zapísaná takto:

Kde T 0 - hmotnosť molekuly, T- termodynamická teplota plynu, k - Boltzmannova konštanta.

Podobné výrazy možno získať pre f( pri ) A f( z ).

Na základe vzorca (2.15) môžeme zapísať pravdepodobnosť, že molekula má projekciu rýchlosti ležiacu v rozmedzí od X predtým X + d X :

podobné pre ostatné osi

Každá z podmienok (2.29) a (2.30) odráža nezávislú udalosť. Preto pravdepodobnosť, že molekula má rýchlosť, ktorej projekcie súčasne spĺňajú všetky podmienky, možno nájsť pomocou vety o násobení pravdepodobnosti [pozri (2.6)]:

Pomocou (2.28) z (2.31) dostaneme:

Všimnite si, že z (2.32) môžeme získať Maxwellovu funkciu rozdelenia pravdepodobnosti hodnôt absolútnej rýchlosti (Maxwellova distribúcia rýchlosti):

a pravdepodobnosť, že rýchlosť molekuly je medzi predtým + d:

Graf funkcie (2.33) je znázornený na obrázku 2.5. rýchlosť,zodpovedajúca maximu Maxwellovej krivky sa nazývapravdepodobne V. Dá sa určiť pomocou podmienky maximálnej funkcie:

Priemernú rýchlosť molekuly (matematické očakávanie) možno nájsť podľa všeobecného pravidla [pozri. (2,20)]. Keďže sa určuje priemerná hodnota rýchlosti, hranice integrácie sa berú od 0 do  (matematické detaily sú vynechané):

Kde M = t 0 N A je molárna hmotnosť plynu, R = k N A - univerzálna plynová konštanta, N A je Avogadrove číslo.

S rastúcou teplotou sa maximum Maxwellovej krivky posúva smerom k vyšším rýchlostiam a distribúcii molekúl zmeny (obr. 2.6; T 1 < Т 2 ). Maxwellovo rozdelenie umožňuje vypočítať počet molekúl, ktorých rýchlosti ležia v určitom intervale . Získame zodpovedajúci vzorec.

Od celkového počtu N molekuly v plyne sú zvyčajne vysoké, potom je pravdepodobnosť d P možno vyjadriť ako podiel čísla d N molekuly, ktorých rýchlosti ležia v určitom rozsahu d, k celkovému počtu N molekuly:

Z (2,34) a (2,37) vyplýva, že

Vzorec (2.38) nám umožňuje určiť počet molekúl, ktorých rýchlosti ležia v rozmedzí od a: do i> 2. Ak to chcete urobiť, musíte integrovať (2.38):

alebo graficky vypočítajte plochu zakriveného lichobežníka v rozsahu od 1 predtým 2 (obr. 2.7).

Ak je interval rýchlosti d je dostatočne malý, potom počet molekúl, ktorých rýchlosti zodpovedajú tomuto intervalu, možno vypočítať približne pomocou vzorca (2.38) alebo graficky ako plochu obdĺžnika so základňou d.

Na otázku, koľko molekúl má rýchlosť rovnajúcu sa akejkoľvek konkrétnej hodnote, nasleduje na prvý pohľad zvláštna odpoveď: ak je rýchlosť absolútne presne špecifikovaná, potom je interval rýchlosti nula. (d = 0) a z (2.38) dostaneme nulu, t.j. ani jedna molekula nemá rýchlosť presne rovnajúcu sa vopred určenej rýchlosti. To zodpovedá jednému z ustanovení teórie pravdepodobnosti: pre spojitú náhodnú premennú, akou je rýchlosť, nie je možné absolútne presne „uhádnuť“ jej hodnotu, akú má aspoň jedna molekula v plyne.

Rozdelenie molekúl podľa rýchlosti bolo potvrdené rôznymi experimentmi.

Maxwellovu distribúciu možno považovať za distribúciu molekúl nielen podľa rýchlosti, ale aj podľa kinetickej energie (keďže tieto pojmy spolu súvisia).

Boltzmannovo rozdelenie. Ak sú molekuly v nejakom vonkajšom silovom poli, napríklad v gravitačnom poli Zeme, potom je možné nájsť rozdelenie ich potenciálnych energií, to znamená určiť koncentráciu častíc s určitou špecifickou hodnotou potenciálnej energie. .

Rozloženie častíc podľa potenciálnych energií v sirybárske polia-gravitačné, elektrické atď.-nazývaná Boltzmannova distribúcia.

Vo vzťahu ku gravitačnému poľu možno toto rozdelenie zapísať ako závislosť koncentrácie P molekuly z výšky h nad úrovňou Zeme alebo z potenciálnej energie molekuly mgh:

Výraz (2.40) platí pre častice ideálneho plynu. Graficky je táto exponenciálna závislosť znázornená na obr. 2.8.

Toto rozloženie molekúl v gravitačnom poli Zeme možno kvalitatívne vysvetliť v rámci molekulárnych kinetických konceptov tým, že na molekuly pôsobia dva protichodné faktory: gravitačné pole, pod vplyvom ktorého sú všetky molekuly priťahované k Zemi. a molekulárno-chaotický pohyb, ktorý má tendenciu rozptyľovať molekuly rovnomerne do maximálnej možnej miery.

Na záver je užitočné poznamenať niektoré podobnosti medzi exponenciálnymi pojmami v Maxwellovej a Boltzmannovej distribúcii:

V prvom rozdelení, v exponente, pomer kinetickej energie molekuly k kT, v druhom - pomer potenciálnej energie k kT.