Teória pravdepodobnosti. Základné pojmy a pojmy

Mama umyla rám

Na konci dlhej Letné prázdniny je čas pomaly sa vrátiť k vyššej matematike a slávnostne otvoriť prázdny súbor Verdov a začať vytvárať novú sekciu - . Uznávam, prvé riadky nie sú ľahké, ale prvý krok je polovica cesty, preto každému navrhujem pozorne si preštudovať úvodný článok, po ktorom bude zvládnutie témy 2x jednoduchšie! Vôbec nepreháňam. …V predvečer ďalšieho 1. septembra si pamätám prvú triedu a základku…. Písmená tvoria slabiky, slabiky slová, slová krátke vety - Mama umývala rám. Ovládanie turverových a matematických štatistík je také jednoduché ako naučiť sa čítať! Na to však potrebujete poznať kľúčové pojmy, pojmy a označenia, ako aj niektoré špecifické pravidlá, ktoré sú predmetom tejto lekcie.

Najprv však prijmite moje blahoželanie na začiatok (pokračovanie, dokončenie, poznámka podľa potreby) školský rok a prijmite dar. Najlepší darček- toto je kniha a pre samostatná práca Odporúčam nasledujúcu literatúru:

1) Gmurman V.E. Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika

Legendárna učebnica, ktorá prešla viac ako desiatimi dotlačami. Vyznačuje sa zrozumiteľnosťou a mimoriadne jednoduchou prezentáciou učiva a prvé kapitoly sú, myslím, úplne prístupné už pre žiakov 6. – 7. ročníka.

2) Gmurman V.E. Sprievodca riešením problémov v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike

Kniha riešení od toho istého Vladimíra Efimoviča s podrobnými príkladmi a problémami.

NUTNE stiahnite si obe knihy z internetu alebo získajte ich papierové originály! Fungovať bude aj verzia zo 60-tych a 70-tych rokov, ktorá je ešte lepšia pre figuríny. Hoci fráza „teória pravdepodobnosti pre figuríny“ znie dosť smiešne, pretože takmer všetko je obmedzené na základné aritmetické operácie. Miestami však preskakujú deriváty A integrály, ale to je len miestami.

Budem sa snažiť dosiahnuť rovnakú prehľadnosť prezentácie, ale musím upozorniť, že môj kurz je zameraný na riešenie problémov a teoretické výpočty sú obmedzené na minimum. Ak teda potrebujete podrobnú teóriu, dôkazy viet (vety-vety!), pozrite si učebnicu. No kto chce naučiť sa riešiť problémy v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike v čo najkratšom čase, nasleduj ma!

Na začiatok to stačí =)

Pri čítaní článkov je vhodné oboznámiť sa (aspoň stručne) s doplnkovými úlohami uvažovaných typov. Na stránke Hotové riešenia pre vyššiu matematiku Zverejnia sa príslušné pdf s príkladmi riešení. Poskytne sa aj významná pomoc IDZ 18.1 Ryabushko(jednoduchšie) a vyriešený IDZ podľa Chudesenkovej zbierky(ťažšie).

1) Suma dve udalosti a udalosť sa nazýva, že sa stane alebo udalosť alebo udalosť alebo obe udalosti súčasne. V prípade, že udalosti nezlučiteľné, posledná možnosť zmizne, to znamená, že sa môže vyskytnúť alebo udalosť alebo udalosť .

Pravidlo platí aj pre veľká kvantita termíny, napríklad udalosť je to, čo sa stane aspoň jeden z udalostí , A ak sú udalosti nezlučiteľné – potom jedna vec a len jedna vec udalosť z tejto sumy: alebo udalosť, alebo udalosť, alebo udalosť, alebo udalosť, alebo udalosť .

Príkladov je dosť:

Objavia sa udalosti (pri hode kockou sa 5 bodov neobjaví). alebo 1, alebo 2, alebo 3, alebo 4, alebo 6 bodov.

Udalosť (spadne nikdy viac dva body) je, že sa objaví 1 alebo 2bodov.

Udalosť (bude párny počet bodov). alebo 2 alebo 4 alebo 6 bodov.

Udalosť spočíva v tom, že sa z balíčka vytiahne červená karta (srdce). alebo tamburína) a udalosť – že sa „obrázok“ vytiahne (jack alebo pani alebo kráľ alebo eso).

O niečo zaujímavejší je prípad spoločných podujatí:

Udalosť spočíva v tom, že sa z palubovky vyžrebuje palica alebo sedem alebo sedem klubov Podľa definície uvedenej vyššie, aspoň niečo- alebo akýkoľvek klub alebo ľubovoľná sedmička alebo ich „priesečník“ - sedem klubov. Je ľahké vypočítať, že táto udalosť zodpovedá 12 základným výsledkom (9 klubových kariet + 3 zostávajúce sedmičky).

Akcia je, že zajtra o 12.00 príde ALESPOŇ JEDNO zo zhrňujúcich spoločných podujatí, menovite:

– alebo bude len dážď / iba búrka / iba slnko;
– alebo nastane len nejaká dvojica udalostí (dážď + búrka / dážď + slnko / búrka + slnko);
– alebo sa všetky tri udalosti zobrazia súčasne.

To znamená, že udalosť zahŕňa 7 možných výsledkov.

Druhý pilier algebry udalostí:

2) Práca dve udalosti a nazývame udalosť, ktorá spočíva v spoločnom výskyte týchto udalostí, inými slovami, násobenie znamená, že za určitých okolností dôjde A udalosť, A udalosť . Podobné tvrdenie platí pre väčší počet udalostí, napríklad dielo znamená, že za určitých podmienok sa tak stane A udalosť, A udalosť, A udalosť,…, A udalosť .

Zvážte test, v ktorom sa hádžu dve mince a nasledujúce udalosti:

– na 1. minci sa objavia hlavy;
– 1. minca pristane hlavy;
– na 2. minci sa objavia hlavy;
– 2. minca pristane hlavy.

potom:
A na 2.) sa objavia hlavy;
– udalosť je taká, že na oboch minciach (1 A na 2.) to budú hlavy;
– udalosť je taká, že 1. minca pristane hlavy A 2. minca sú chvosty;
– udalosť je taká, že 1. minca pristane hlavy A na 2. minci je orol.

Je ľahké vidieť, že udalosti nezlučiteľné (lebo napr. nemôžu byť súčasne 2 hlavy a 2 chvosty) a forme celá skupina (keďže sa berie do úvahy Všetky možné výsledky hádzania dvoch mincí). Zhrňme si tieto udalosti: . Ako interpretovať tento záznam? Veľmi jednoduché - násobenie znamená logické spojenie A a dodatok - ALEBO. Suma je teda ľahko čitateľná zrozumiteľnou ľudskou rečou: „objavia sa dve hlavy alebo dve hlavy alebo 1. minca pristane hlavy A na 2. chvostoch alebo 1. minca pristane hlavy A na druhej minci je orol"

Toto bol príklad, keď v jednom teste ide o niekoľko predmetov, v tomto prípade o dve mince. Ďalšou bežnou schémou v praktických problémoch je opätovné testovanie , kedy sa napríklad 3x za sebou hodí tá istá kocka. Ako demonštráciu zvážte nasledujúce udalosti:

– v 1. hode získate 4 body;
– v 2. hode získate 5 bodov;
– v 3. hode získate 6 bodov.

Potom udalosť je, že v 1. hode získate 4 body A v 2. hode získate 5 bodov A v 3. hode získate 6 bodov. Je zrejmé, že v prípade kocky bude podstatne viac kombinácií (výsledkov), ako keby sme si hádzali mincou.

...chápem, že tomu možno veľmi dobre nerozumejú zaujímavé príklady, ale to sú veci, s ktorými sa často stretávame v problémoch a niet pred nimi úniku. Okrem mince, kocky a balíčka kariet, urny s viacfarebné gule, niekoľko anonymov strieľajúcich na terč a neúnavný pracant, ktorý neustále omieľa nejaké detaily =)

Pravdepodobnosť udalosti

Pravdepodobnosť udalosti je ústredným pojmom teórie pravdepodobnosti. ...Zabíjajúca logická vec, ale niekde sme začať museli =) Existuje niekoľko prístupov k jej definícii:

;
Geometrická definícia pravdepodobnosti ;
Štatistická definícia pravdepodobnosti .

V tomto článku sa zameriam na klasickú definíciu pravdepodobnosti, ktorá je najviac využívaná vo vzdelávacích úlohách.

Označenia. Pravdepodobnosť určitej udalosti je označená veľkým latinským písmenom a samotná udalosť je uvedená v zátvorkách, čo funguje ako druh argumentu. Napríklad:

Malé písmeno sa tiež bežne používa na označenie pravdepodobnosti. Najmä môžete opustiť ťažkopádne označenia udalostí a ich pravdepodobnosti v prospech nasledujúceho štýlu:

– pravdepodobnosť, že pri hode mincou budú hlavy;
– pravdepodobnosť, že hod kockou bude mať za následok 5 bodov;
– pravdepodobnosť, že z balíčka bude vytiahnutá karta klubovej farby.

Táto možnosť je populárna pri riešení praktických problémov, pretože vám umožňuje výrazne znížiť zaznamenávanie riešenia. Ako v prvom prípade, aj tu je vhodné použiť „hovoriace“ dolné/horné indexy.

Všetci už dlho hádali čísla, ktoré som práve napísal vyššie, a teraz zistíme, ako dopadli:

Klasická definícia pravdepodobnosti:

Pravdepodobnosť udalosti vyskytujúcej sa v určitom teste sa nazýva pomer, kde:

– celkový počet všetkých rovnako možné, elementárne výsledky tohto testu, ktoré tvoria celá skupina podujatí;

- množstvo elementárne výsledky, priaznivý udalosť.

Pri hádzaní mince môžu vypadnúť buď hlavy alebo chvosty - tieto udalosti sa tvoria celá skupina, teda celkový počet výsledkov; zároveň každý z nich elementárne A rovnako možné. Udalosť je uprednostňovaná výsledkom (hlavy). Podľa klasickej definície pravdepodobnosti: .

Podobne ako výsledok hodu kockou sa môžu objaviť elementárne rovnako možné výsledky, ktoré vytvoria kompletnú skupinu a udalosť je zvýhodnená jediným výsledkom (hádzaním päťky). Preto: TOTO SA NEAKCEPTUUJE (hoci nie je zakázané odhadovať percentá v hlave).

Je zvykom používať zlomky jednotky a, samozrejme, pravdepodobnosť sa môže meniť v rámci . Navyše, ak , potom udalosť je nemožné, Ak - spoľahlivý, a ak , potom hovoríme o náhodný udalosť.

! Ak pri riešení akéhokoľvek problému získate inú hodnotu pravdepodobnosti, hľadajte chybu!

V klasickom prístupe k určovaniu pravdepodobnosti sa extrémne hodnoty (nula a jedna) získavajú presne rovnakým uvažovaním. Nechajte náhodne vyžrebovať 1 loptičku z určitej urny obsahujúcej 10 červených loptičiek. Zvážte nasledujúce udalosti:

v jedinom pokuse nenastane udalosť s nízkou pravdepodobnosťou.

To je dôvod, prečo nezískate jackpot v lotérii, ak je pravdepodobnosť tejto udalosti povedzme 0,00000001. Áno, áno, ste to vy – s jediným lístkom v konkrétnom obehu. Väčší počet lístkov a väčší počet výkresov vám však veľmi nepomôže. ...Keď o tom hovorím ostatným, takmer vždy počujem odpoveď: "ale niekto vyhral." Dobre, potom urobme nasledujúci experiment: kúpte si dnes alebo zajtra tiket na akúkoľvek lotériu (neodkladajte!). A ak vyhráte... no, aspoň viac ako 10 kilorublov, určite sa prihláste - vysvetlím, prečo sa tak stalo. Za percentá, samozrejme =) =)

Netreba však smútiť, pretože platí opačný princíp: ak je pravdepodobnosť nejakej udalosti veľmi blízka jednej, potom v jedinom pokuse bude takmer isté stane sa. Pred zoskokom s padákom sa preto netreba báť, práve naopak, usmievajte sa! Aby totiž oba padáky zlyhali, musia nastať úplne nemysliteľné a fantastické okolnosti.

Aj keď je to všetko lyrika, pretože v závislosti od obsahu udalosti sa prvý princíp môže ukázať ako veselý a druhý - smutný; alebo dokonca obe sú paralelné.

Snáď to v triede zatiaľ stačí Klasické pravdepodobnostné problémy zo vzorca vyťažíme maximum. V poslednej časti tohto článku zvážime jednu dôležitú vetu:

Súčet pravdepodobností udalostí, ktoré tvoria ucelenú skupinu, sa rovná jednej. Zhruba povedané, ak udalosti tvoria kompletnú skupinu, potom so 100% pravdepodobnosťou dôjde k jednej z nich. V najjednoduchšom prípade je kompletná skupina vytvorená opačnými udalosťami, napríklad:

– v dôsledku hodu mincou sa objavia hlavy;
– výsledkom hodu mincou budú hlavy.

Podľa vety:

Je úplne jasné, že tieto udalosti sú rovnako možné a ich pravdepodobnosti sú rovnaké .

Kvôli rovnosti pravdepodobností sa často nazývajú rovnako možné udalosti rovnako pravdepodobné . A tu je jazykolam na určenie stupňa opitosti =)

Príklad s kockou: udalosti sú teda opačné .

Uvažovaná veta je vhodná v tom, že vám umožňuje rýchlo nájsť pravdepodobnosť opačnej udalosti. Takže ak je známa pravdepodobnosť, že padne päťka, je ľahké vypočítať pravdepodobnosť, že nepadne:

Je to oveľa jednoduchšie ako sčítanie pravdepodobností piatich základných výsledkov. Mimochodom, pre elementárne výsledky platí aj táto veta:
. Napríklad, ak je pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, potom je pravdepodobnosť, že netrafí.

! V teórii pravdepodobnosti je nežiaduce používať písmená na akékoľvek iné účely.

Na počesť Dňa vedomostí sa nebudem pýtať domáca úloha=), ale je veľmi dôležité, aby ste vedeli odpovedať ďalšie otázky:

– Aké typy udalostí existujú?
– Čo je náhoda a rovnaká možnosť udalosti?
– Ako rozumiete pojmom kompatibilita/nekompatibilita udalostí?
– Čo je úplná skupina udalostí, protichodných udalostí?
– Čo znamená sčítanie a násobenie udalostí?
– Čo je podstatou klasickej definície pravdepodobnosti?
– Prečo je užitočná veta o sčítaní pravdepodobností udalostí, ktoré tvoria úplnú skupinu?

Nie, nemusíte nič napchávať, toto sú len základy teórie pravdepodobnosti – akýsi základ, ktorý sa vám rýchlo zmestí do hlavy. A aby sa to stalo čo najskôr, navrhujem, aby ste sa oboznámili s lekciami

Štátna technická univerzita v Nižnom Novgorode

ich. A.E. Alekseeva

Abstrakt k disciplíne teórie pravdepodobnosti

Doplnil: Ruchina N.A gr 10MEenz

Kontroloval: Gladkov V.V.

Nižný Novgorod, 2011

Teória pravdepodobnosti …………………………………………

Predmet teórie pravdepodobnosti …………………………

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti …………………

Náhodné udalosti, pravdepodobnosti udalostí …………………………………………………………………

Limitné vety …………………………………………

Náhodné procesy …………………………………………………………

Historický odkaz ………………………………………

Použité knihy …………………………………………

Teória pravdepodobnosti

Teória pravdepodobnosti - matematická veda, ktorá umožňuje z pravdepodobnosti niektorých náhodných udalostí nájsť pravdepodobnosti iných náhodných udalostí súvisiacich nejakým spôsobom s prvou.

Tvrdenie, že udalosť nastane s pravdepodobnosťou , rovná napríklad 0,75, sama o sebe nepredstavuje konečnú hodnotu, keďže sa snažíme o spoľahlivé poznanie. Konečnou kognitívnou hodnotou sú tie výsledky teórie pravdepodobnosti, ktoré nám umožňujú tvrdiť, že pravdepodobnosť výskytu akejkoľvek udalosti A veľmi blízko k jednote alebo (čo je to isté) pravdepodobnosti, že udalosť nenastane A veľmi malé. V súlade so zásadou „zanedbania dostatočne malých pravdepodobností“ sa takáto udalosť právom považuje za prakticky istú. Závery tohto druhu, ktoré majú vedecký a praktický význam, sú zvyčajne založené na predpoklade, že výskyt alebo neexistencia udalosti A závisí od veľkého počtu náhodných faktorov, ktoré spolu málo súvisia . Preto môžeme tiež povedať, že teória pravdepodobnosti je matematická veda, ktorá objasňuje vzorce, ktoré vznikajú pri interakcii veľkého množstva náhodných faktorov.

Predmet teórie pravdepodobnosti

Predmet teórie pravdepodobnosti. Opísať prirodzený vzťah medzi určitými podmienkami S a udalosť A, ktorých výskyt alebo neprítomnosť je možné za daných podmienok presne určiť, prírodoveda zvyčajne používa jednu z týchto dvoch schém:

a) vždy, keď sú splnené podmienky S príde udalosť A. Túto formu majú napríklad všetky zákony klasickej mechaniky, ktoré uvádzajú, že za daný počiatočné podmienky a síl pôsobiacich na teleso alebo sústavu telies, pohyb bude prebiehať jednoznačne definovaným spôsobom.

b) Za podmienok S udalosť A má určitú pravdepodobnosť P(A/S), rovná R. Napríklad zákony rádioaktívneho žiarenia hovoria, že pre každú rádioaktívnu látku existuje určitá pravdepodobnosť, že sa z daného množstva látky v danom časovom období rozpadne nejaké číslo. N atómov.

Nazvime to frekvencia akcie A v tejto sérii od n testy (teda z n opakovaná implementácia podmienok S) postoj h = m/nčísla m tie testy, v ktorých A k ich celkovému počtu n. Dostupnosť podujatia A za podmienok S istá pravdepodobnosť rovná R, sa prejavuje tak, že takmer v každej dostatočne dlhej sérii testov sa frekvencia event A približne rovný R.

Štatistické vzory, tj vzory opísané schémou typu (b), boli prvýkrát objavené v hazardných hrách, ako sú kocky. Už veľmi dlho sú známe aj štatistické vzorce narodenia a úmrtia (napríklad pravdepodobnosť, že novorodenec bude chlapec, je 0,515). Koniec 19. storočia a 1. polovice 20. storočia. poznačený objavom veľkého množstva štatistických zákonov vo fyzike, chémii, biológii atď.

Možnosť aplikácie metód teórie pravdepodobnosti na štúdium štatistických vzorcov súvisiacich s vednými odbormi, ktoré sú si navzájom veľmi vzdialené, je založená na skutočnosti, že pravdepodobnosti udalostí vždy spĺňajú určité jednoduché vzťahy. Štúdium vlastností pravdepodobností udalostí na základe týchto jednoduchých vzťahov je predmetom teórie pravdepodobnosti.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Základné pojmy teórie pravdepodobnosti ako matematickej disciplíny sú najjednoduchšie definované v rámci takzvanej elementárnej teórie pravdepodobnosti. Každý test T, uvažovaný v elementárnej teórii pravdepodobnosti je taký, že končí jednou a len jednou z udalostí E 1 , E 2 ,...,E S (tak či onak, v závislosti od prípadu). Tieto udalosti sa nazývajú výsledky štúdie. S každým výsledkom E k priradené kladné číslo R Komu - pravdepodobnosť tohto výsledku. čísla p k treba pripočítať k jednému. Potom sa berú do úvahy udalosti A, spočívajúce v tom, že „dochádza k resp E i , alebo E j ,..., alebo E k" výsledky E i , E j ,...,E k sa nazývajú priaznivé A, a podľa definície predpokladajú pravdepodobnosť R(A) diania A rovná súčtu pravdepodobností pre neho priaznivých výsledkov:

P(A) =p i +p s +… +p k . (1)

Špeciálny prípad p 1 =p 2 =...p s = 1/S vedie k vzorcu

R(A) =r/s.(2)

Vzorec (2) vyjadruje takzvanú klasickú definíciu pravdepodobnosti, podľa ktorej pravdepodobnosť udalosti A rovný pomeru počtu r výsledky priaznivé A, na číslo s všetky „rovnako možné“ výsledky. Klasická definícia pravdepodobnosti iba redukuje pojem „pravdepodobnosti“ na pojem „rovnakej možnosti“, ktorý zostáva bez jasnej definície.

Príklad. Pri hode dvoma kockami môže byť každý z 36 možných výsledkov označený ( i,j), Kde i- počet bodov hodených na prvej kocke, j- Na druhom. Predpokladá sa, že výsledky sú rovnako pravdepodobné. Udalosť A -„súčet bodov je 4“, tri výsledky sú priaznivé (1; 3), (2; 2), (3; 1). teda R(A) = 3/36= 1/12.

Na základe akýchkoľvek daných udalostí možno určiť dve nové udalosti: ich spojenie (súčet) a kombináciu (súčin).

Udalosť IN nazývané združovanie udalostí A 1 , A 2 ,..., A r ,-, ak má tvar: „príde resp A 1 , alebo A 2 ,..., alebo A r ».

Udalosť C sa nazýva kombinácia udalostí A 1 , A. 2 ,..., A r , ak má tvar: „príde a A 1 , A A 2 ,..., A A r » . Zlúčenie udalostí sa označuje znakom a kombinácia znakom. Preto píšu:

B = A 1  A 2  …  A r , C = A 1  A 2  …  A r .

Diania A A IN sa nazývajú nekompatibilné, ak ich simultánna implementácia nie je možná, to znamená, ak medzi výsledkami testu nie je jediný priaznivý a A A IN.

Zavedené operácie kombinovania a kombinovania dejov sú spojené s dvoma hlavnými vetami teórie pravdepodobnosti – s vetami o sčítaní a násobení pravdepodobností.

Pravdepodobná veta sčítania: Ak udalosti A 1 ,A 2 ,...,A r sú také, že každé dva z nich sú nezlučiteľné, potom sa pravdepodobnosť ich spojenia rovná súčtu ich pravdepodobností.

Takže vo vyššie uvedenom príklade hodu dvoma kockami udalosť IN -„súčet bodov nepresahuje 4“, existuje spojenie troch nezlučiteľných udalostí A 2 ,A 3 ,A 4, spočívajúci v tom, že súčet bodov je rovný 2, 3, 4. Pravdepodobnosť týchto udalostí je 1/36; 2/36; 3/36. Podľa vety o sčítaní pravdepodobnosť R(IN) rovná

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Diania A 1 ,A 2 ,...,A r sa nazývajú nezávislé, ak sa podmienená pravdepodobnosť každého z nich, za predpokladu, že sa vyskytol ktorýkoľvek z ostatných, rovná jeho „nepodmienenej“ pravdepodobnosti.

Veta o násobení pravdepodobnosti: Pravdepodobnosť kombinácie udalostí A 1 ,A 2 ,...,A r sa rovná pravdepodobnosti udalosti A 1 , vynásobené pravdepodobnosťou udalosti A 2 prijaté pod podmienkou, že A 1 došlo,..., vynásobené pravdepodobnosťou udalosti A r za predpokladu, že A 1 ,A 2 ,...,A r-1 prišli. Pre nezávislé udalosti vedie teorém násobenia k vzorcu:

P(A 1 A 2 …A r) =P(A 1 )P(A 2 )· … · P(A r), (3)

to znamená, že pravdepodobnosť kombinácie nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí. Vzorec (3) zostáva platný, ak sú v oboch jeho častiach niektoré udalosti nahradené ich protikladmi.

Príklad. Na terč sa strieľajú 4 výstrely s pravdepodobnosťou zásahu 0,2 na výstrel. Predpokladá sa, že zásahy do cieľa z rôznych výstrelov sú nezávislé udalosti. Aká je pravdepodobnosť, že zasiahnete cieľ presne trikrát?

Každý výsledok testu môže byť označený sekvenciou štyroch písmen [napr. (y, n, n, y) znamená, že prvý a štvrtý výstrel zasiahol (úspech) a druhý a tretí výstrel nezasiahol (neúspech)]. Celkovo bude 2 · 2 · 2 · 2 = 16 výsledkov. V súlade s predpokladom nezávislosti výsledkov jednotlivých výstrelov by sa na určenie pravdepodobnosti týchto výsledkov mal použiť vzorec (3) a poznámka k nemu. Pravdepodobnosť výsledku (y, n. n, n) by sa teda mala rovnať 0,2 · 0,8 · 0,8 · 0,8 = 0,1024; tu 0,8 = 1-0,2 je pravdepodobnosť netrafenia pri jednom výstrele. Udalosť „cieľ je zasiahnutý trikrát“ je uprednostňovaná podľa výsledkov (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), pravdepodobnosť každého je rovnaká:

0,2 0,2 0,2 0,8 =...... =0,8 0,2 0,2 0,2 = 0,0064;

preto sa požadovaná pravdepodobnosť rovná

4·0,0064 = 0,0256.

Zhrnutím zdôvodnenia analyzovaného príkladu môžeme odvodiť jeden zo základných vzorcov teórie pravdepodobnosti: ak udalosti A 1 , A 2 ,..., A n sú nezávislé a majú každú pravdepodobnosť R, potom je pravdepodobnosť výskytu presne m z ktorých sa rovná

P n (m)=C n m p m (1 - str) n-m ; (4)

Tu C n m označuje počet kombinácií n prvky podľa m. Na slobode n výpočty pomocou vzorca (4) sa stávajú zložitými.

Medzi základné vzorce elementárnej teórie pravdepodobnosti patrí aj tzv vzorec celkovej pravdepodobnosti: ak udalosti A 1 , A 2 ,..., A r sú párovo nekompatibilné a ich spojenie je spoľahlivou udalosťou, potom pre každú udalosť IN jeho pravdepodobnosť sa rovná ich súčtu.

Veta o násobení pravdepodobnosti je obzvlášť užitočná pri zvažovaní zložených testov. Hovoria, že je to skúška T zložené z testov T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n, Ak výsledok každého testu T existuje kombinácia niektorých výsledkov A i , B j ,..., X k ,Y l príslušné testy T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n. Z jedného alebo druhého dôvodu sú pravdepodobnosti často známe

P(A i), P(B j /A i), …,P(Y l /A i B j …X k). (5)

Z pravdepodobností (5) pomocou vety o násobení možno určiť pravdepodobnosti R(E) pre všetky výsledky E kompozitný test, a zároveň pravdepodobnosť všetkých udalostí spojených s týmto testom. Z praktického hľadiska sa javia ako najvýznamnejšie dva typy kompozitných testov:

a) komponenty testu sú nezávislé, to znamená, že pravdepodobnosti (5) sa rovnajú nepodmieneným pravdepodobnostiam P(A i), P(B j),..., P(Y l);

b) pravdepodobnosti výsledkov akéhokoľvek testu sú ovplyvnené iba výsledkami bezprostredne predchádzajúceho testu, to znamená, že pravdepodobnosti (5) sú rovnaké, resp. P(A i), P(B j /A i),..., P(Y i /X k). V tomto prípade hovoríme o testoch spojených v Markovovom reťazci. Pravdepodobnosti všetkých udalostí spojených s kompozitným testom sú tu plne určené počiatočnými pravdepodobnosťami R(A i) a pravdepodobnosti prechodu P(B j /A i),..., P(Y l /X k).

Základné vzorce v teórii pravdepodobnosti

Vzorce teórie pravdepodobnosti.

1. Základné vzorce kombinatoriky

a) preskupenia.

\b) umiestnenie

c) kombinácie .

2. Klasická definícia pravdepodobnosti.

Kde je počet výsledkov priaznivých pre udalosť, je počet všetkých elementárnych rovnako možných výsledkov.

3. Pravdepodobnosť súčtu udalostí

Veta na sčítanie pravdepodobností nekompatibilných udalostí:

Veta na sčítanie pravdepodobnosti spoločných udalostí:

4. Pravdepodobnosť udalostí

Veta o násobení pravdepodobnosti nezávislých udalostí:

Veta o násobení pravdepodobnosti závislých udalostí:

Podmienená pravdepodobnosť udalosti vzhľadom na to, že udalosť nastala

Podmienená pravdepodobnosť udalosti vzhľadom na to, že udalosť nastala.

Kombinatorika je oblasť matematiky, ktorá študuje otázky o tom, koľko rôznych kombinácií možno za určitých podmienok vytvoriť z daných predmetov. Základy kombinatoriky sú veľmi dôležité pre odhad pravdepodobnosti náhodných udalostí, pretože Práve tie nám umožňujú vypočítať zásadne možný počet rôznych možností vývoja udalostí.

Základný vzorec kombinatoriky

Nech je k skupín prvkov a i-tá skupina pozostáva z ni prvkov. Z každej skupiny vyberieme jeden prvok. Potom celkový počet N spôsobov, ktorými je možné takúto voľbu uskutočniť, je určený vzťahom N=n1*n2*n3*...*nk.

Príklad 1. Vysvetlime si toto pravidlo na jednoduchom príklade. Nech sú dve skupiny prvkov a prvá skupina pozostáva z n1 prvkov a druhá z n2 prvkov. Koľko rôzne páry prvky môžu byť zložené z týchto dvoch skupín tak, že pár obsahuje jeden prvok z každej skupiny? Povedzme, že sme vzali prvý prvok z prvej skupiny a bez toho, aby sme ho zmenili, prešli všetky možné dvojice, pričom sme zmenili iba prvky z druhej skupiny. Pre tento prvok existuje n2 takýchto párov. Potom vezmeme druhý prvok z prvej skupiny a tiež k nemu vytvoríme všetky možné dvojice. Takýchto párov bude tiež n2. Keďže v prvej skupine je len n1 prvkov, celkový počet možných možností bude n1*n2.

Príklad 2. Koľko trojciferných párnych čísel možno zostaviť z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ak sa číslice môžu opakovať?

Riešenie: n1=6 (pretože ako prvú číslicu môžete vziať akékoľvek číslo od 1, 2, 3, 4, 5, 6), n2=7 (pretože ako druhú číslicu môžete vziať akékoľvek číslo od 0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4 (keďže za tretiu číslicu možno brať ľubovoľné číslo od 0, 2, 4, 6).

Takže N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

V prípade, keď všetky skupiny pozostávajú z rovnakého počtu prvkov, t.j. n1=n2=...nk=n môžeme predpokladať, že každý výber je urobený z rovnakej skupiny a prvok po výbere je vrátený do skupiny. Potom sa počet všetkých metód výberu rovná nk.Táto metóda výberu sa nazýva vzorkovanie s návratom.

Príklad. Koľko štvorciferných čísel možno vytvoriť z číslic 1, 5, 6, 7, 8?

Riešenie. Pre každú číslicu štvorciferného čísla existuje päť možností, čo znamená N=5*5*5*5=54=625.

Uvažujme množinu pozostávajúcu z n prvkov. Túto množinu budeme nazývať všeobecná populácia.

Definícia 1. Usporiadanie n prvkov podľa m je ľubovoľná usporiadaná množina m rôznych prvkov vybraných z populácia v n prvkoch.

Príklad. Rôzne usporiadania troch prvkov (1, 2, 3) po dvoch budú množiny (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3). , 2). Umiestnenia sa môžu navzájom líšiť v prvkoch aj v poradí.

Počet umiestnení je označený A, m od n a vypočíta sa podľa vzorca:

Poznámka: n!=1*2*3*...*n (čítaj: "en faktoriál"), navyše sa predpokladá, že 0!=1.

Príklad 5. Koľko je dvojciferných čísel, v ktorých sú desatinné a jednotkové rôzne a nepárne?

Riešenie: pretože Ak existuje päť nepárnych číslic, konkrétne 1, 3, 5, 7, 9, potom táto úloha spočíva v výbere a umiestnení dvoch z piatich rôznych číslic na dve rôzne pozície, t.j. uvedené čísla budú:

Definícia 2. Kombinácia n prvkov z m je ľubovoľná neusporiadaná množina m rôznych prvkov vybraných z populácie n prvkov.

Príklad 6. Pre množinu (1, 2, 3) sú kombinácie (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Počet kombinácií je označený Cnm a vypočíta sa podľa vzorca:

Definícia 3. Permutácia n prvkov je ľubovoľná usporiadaná množina týchto prvkov.

Príklad 7a. Všetky možné permutácie množiny pozostávajúcej z troch prvkov (1, 2, 3) sú: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Počet rôznych permutácií n prvkov sa označí Pn a vypočíta sa podľa vzorca Pn=n!.

Príklad 8. Koľkými spôsobmi možno na poličke usporiadať sedem kníh od rôznych autorov v jednom rade?

Riešenie: Tento problém sa týka počtu permutácií siedmich rôznych kníh. Existuje P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 spôsobov usporiadania kníh.

Diskusia. Vidíme, že počet možných kombinácií možno vypočítať podľa rôznych pravidiel (permutácií, kombinácií, umiestnení) a výsledok bude iný, pretože Princíp výpočtu a samotné vzorce sú odlišné. Pri pozornom pohľade na definície si všimnete, že výsledok závisí od viacerých faktorov súčasne.

Po prvé, z koľkých prvkov môžeme kombinovať ich množiny (aký veľký je súčet prvkov).

Po druhé, výsledok závisí od veľkosti množín prvkov, ktoré potrebujeme.

Nakoniec je dôležité vedieť, či je pre nás dôležité poradie prvkov v súbore. Poďme si to vysvetliť posledný faktor pomocou nasledujúceho príkladu.

Príklad. Na rodičovskom stretnutí je prítomných 20 ľudí. Koľko rôznych možností je na zloženie materského výboru, ak v ňom musí byť 5 osôb?

Riešenie: V tomto príklade nás nezaujíma poradie mien na zozname komisie. Ak sa v dôsledku toho ukáže, že tí istí ľudia sú jeho súčasťou, znamená to pre nás rovnakú možnosť. Preto môžeme použiť vzorec na výpočet počtu kombinácií 20 prvkov z 5.

Veci budú iné, ak bude každý člen výboru spočiatku zodpovedný za konkrétnu oblasť práce. Potom, s rovnakým zložením zoznamu v komisii, je v nej možno 5! permutácie, na ktorých záleží. Počet rôznych možností (v zložení aj v oblasti zodpovednosti) je v tomto prípade určený počtom umiestnení 20 prvkov z 5.

Geometrická definícia pravdepodobnosti

Nech si náhodný test predstavíme ako náhodný hod bodu do nejakej geometrickej oblasti G (na priamke, rovine alebo priestore). Elementárne výsledky sú jednotlivé body G, každá udalosť je podmnožinou tejto oblasti, priestor elementárnych výsledkov G. Môžeme predpokladať, že všetky body G sú „rovnaké“ a potom pravdepodobnosť, že bod spadne do určitej podmnožiny je úmerná jeho meraniu (dĺžka, plocha, objem) a nezávisí od jeho umiestnenia a tvaru.

Geometrická pravdepodobnosť udalosti A je určená vzťahom: , kde m(G), m(A) sú geometrické miery (dĺžky, plochy alebo objemy) celého priestoru elementárnych výsledkov a udalosti A.

Príklad. Kruh s polomerom r () je náhodne vrhnutý na rovinu znázornenú rovnobežnými pásikmi šírky 2d, pričom vzdialenosť medzi osovými čiarami je rovná 2D. Nájdite pravdepodobnosť, že kruh bude pretínať určitý pás.

Riešenie. Ako základný výsledok tohto testu budeme uvažovať vzdialenosť x od stredu kruhu k stredovej čiare prúžku najbližšieho ku kruhu. Potom je celý priestor elementárnych výsledkov segmentom. Priesečník kružnice s pásom nastane, ak jeho stred spadne do pásu, t.j., alebo sa nachádza od okraja pásu vo vzdialenosti menšej ako je polomer, t.j.

Pre požadovanú pravdepodobnosť dostaneme: .

Klasifikácia udalostí na možné, pravdepodobné a náhodné. Pojmy jednoduchých a zložitých elementárnych dejov. Operácie na udalostiach. Klasická definícia pravdepodobnosti náhodnej udalosti a jej vlastností. Prvky kombinatoriky v teórii pravdepodobnosti. Geometrická pravdepodobnosť. Axiómy teórie pravdepodobnosti.

1. Klasifikácia udalostí

Jedným zo základných pojmov teórie pravdepodobnosti je pojem udalosti. Udalosť je akákoľvek skutočnosť, ktorá môže nastať ako výsledok zážitku alebo testu. Pod pojmom skúsenosť, alebo test, rozumieme implementáciu určitého súboru podmienok.

Príklady udalostí:

– zasiahnutie cieľa pri streľbe zo zbrane (skúsenosť - uskutočnenie výstrelu; udalosť - zasiahnutie cieľa);

– strata dvoch emblémov pri trojitom hode mincou (zážitok – hod mincou trikrát; udalosť – strata dvoch emblémov);

– výskyt chyby merania v rámci stanovených limitov pri meraní vzdialenosti k cieľu (skúsenosť – meranie vzdialenosti; udalosť – chyba merania).

Podobných príkladov možno uviesť nespočetné množstvo. Udalosti sú označené veľkými písmenami latinskej abecedy atď.

Rozlišujú sa spoločné a nesúrodé podujatia. Udalosti sa nazývajú spoločné, ak výskyt jednej z nich nevylučuje výskyt druhej. V opačnom prípade sa udalosti nazývajú nekompatibilné. Napríklad sa hádže dvoma kockami. Udalosť – tri body pripadajúce na prvú kocku, udalosť – tri body pripadajúce na druhú kocku a – spoločné udalosti. Nechajte obchod dostať dávku topánok rovnakého štýlu a veľkosti, ale iná farba. Udalosť – náhodne vybratá škatuľka obsahuje čierne topánky, udalosť – škatuľa obsahuje hnedé topánky a – nekompatibilné udalosti.

Udalosť sa nazýva spoľahlivá, ak je isté, že nastane za podmienok danej skúsenosti.

Udalosť sa nazýva nemožná, ak nemôže nastať za podmienok danej skúsenosti. Napríklad prípad, že štandardný diel bude prevzatý z dávky štandardných dielov, je spoľahlivý, ale neštandardný diel je nemožný.

Udalosť sa nazýva možná alebo náhodná, ak sa v dôsledku skúsenosti môže objaviť, ale nemusí sa objaviť. Príkladom náhodnej udalosti môže byť identifikácia nedostatkov produktu pri kontrole šarže hotových produktov, nesúlad medzi veľkosťou spracovávaného produktu a určenou alebo výpadok jedného z článkov v automatizovanom kontrolnom systéme.

Udalosti sa nazývajú rovnako možné, ak podľa testovacích podmienok žiadna z týchto udalostí nie je objektívne možnejšia ako ostatné. Nechajte napríklad obchod zásobovať žiarovkami (v rovnakom množstve) niekoľko výrobných závodov. Udalosti zahŕňajúce nákup žiarovky z ktorejkoľvek z týchto tovární sú rovnako možné.

Dôležitým konceptom je kompletná skupina udalostí. Niekoľko udalostí v danom experimente tvorí kompletnú skupinu, ak sa aspoň jedna z nich určite objaví ako výsledok experimentu. Napríklad urna obsahuje desať loptičiek, z toho šesť červených, štyri biele a päť loptičiek má čísla. - vzhľad červenej gule počas jedného žrebovania, - vzhľad bielej gule, - vzhľad gule s číslom. Podujatia tvoria ucelenú skupinu spoločných podujatí.

Predstavme si pojem opačnej, alebo doplnkovej udalosti. Opačná udalosť je udalosť, ktorá musí nevyhnutne nastať, ak nejaká udalosť nenastane. Opačné udalosti sú nezlučiteľné a jediné možné. Tvoria ucelenú skupinu podujatí. Napríklad, ak šarža vyrobených výrobkov pozostáva z dobrých a chybných výrobkov, potom sa pri odstránení jedného výrobku môže ukázať, že je buď dobrý - udalosť, alebo chybný - udalosť.

2. Operácie na udalostiach

Pri vývoji aparátu a metodológie na štúdium náhodných udalostí v teórii pravdepodobnosti je veľmi dôležitý koncept súčtu a súčinu udalostí.

„Nehody nie sú náhodné“... Znie to ako niečo, čo povedal filozof, ale v skutočnosti je štúdium náhodnosti osudom veľkej vedy matematiky. V matematike sa náhodou zaoberá teória pravdepodobnosti. V článku budú uvedené vzorce a príklady úloh, ako aj základné definície tejto vedy.

Čo je teória pravdepodobnosti?

Teória pravdepodobnosti je jednou z matematických disciplín, ktorá študuje náhodné udalosti.

Aby to bolo trochu jasnejšie, uveďme malý príklad: ak hodíte mincu, môže pristáť na hlavách alebo chvostoch. Kým je minca vo vzduchu, obe tieto pravdepodobnosti sú možné. Teda pravdepodobnosť možné následky pomer je 1:1. Ak je jedna vytiahnutá z balíčka 36 kariet, pravdepodobnosť bude označená ako 1:36. Zdalo by sa, že tu nie je čo skúmať a predpovedať, najmä pomocou matematických vzorcov. Ak však určitú akciu zopakujete mnohokrát, môžete identifikovať určitý vzorec a na základe neho predpovedať výsledok udalostí v iných podmienkach.

Aby sme zhrnuli všetky vyššie uvedené skutočnosti, teória pravdepodobnosti v klasickom zmysle študuje možnosť výskytu jednej z možných udalostí v číselnej hodnote.

Zo stránok histórie

Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady prvých úloh sa objavili v ďalekom stredoveku, keď sa prvýkrát objavili pokusy predpovedať výsledok kartových hier.

Spočiatku teória pravdepodobnosti nemala nič spoločné s matematikou. Bolo to odôvodnené empirickými faktami alebo vlastnosťami udalosti, ktoré bolo možné reprodukovať v praxi. Prvá pracuje v tejto oblasti ako v r matematická disciplína sa objavil v 17. storočí. Zakladateľmi boli Blaise Pascal a Pierre Fermat. Dlho študovali hazard a videli určité vzorce, o ktorých sa rozhodli povedať verejnosti.

Rovnakú techniku vynašiel Christiaan Huygens, aj keď nepoznal výsledky výskumu Pascala a Fermata. Zaviedol pojem „teória pravdepodobnosti“, vzorce a príklady, ktoré sa považujú za prvé v histórii disciplíny.

Nemalý význam majú aj diela Jacoba Bernoulliho, Laplaceove a Poissonove vety. Z teórie pravdepodobnosti urobili skôr matematickú disciplínu. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady základných úloh dostali súčasnú podobu vďaka Kolmogorovovým axiómam. V dôsledku všetkých zmien sa teória pravdepodobnosti stala jedným z matematických odvetví.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Diania

Hlavným konceptom tejto disciplíny je „udalosť“. Existujú tri typy udalostí:

Spoľahlivý. Tie, ktoré sa aj tak stanú (minca padne).
nemožné. Udalosti, ktoré sa za žiadnych okolností nestanú (minca zostane visieť vo vzduchu).
Náhodný. Tie, ktoré sa stanú alebo nestanú. Môžu byť ovplyvnené rôznymi faktormi, ktoré je veľmi ťažké predvídať. Ak hovoríme o minci, potom existujú náhodné faktory, ktoré môžu ovplyvniť výsledok: fyzikálne vlastnosti mince, jej tvar, pôvodná poloha, sila hodu atď.

Všetky udalosti v príkladoch sú označené veľkými písmenami s latinskými písmenami, s výnimkou P, ktorý má inú úlohu. Napríklad:

A = „študenti prišli prednášať“.
Ā = „študenti neprišli na prednášku“.

IN praktické úlohy Udalosti sa zvyčajne zaznamenávajú slovami.

Jeden z najdôležitejšie vlastnosti udalosti - ich rovnocenná možnosť. To znamená, že ak si hodíte mincou, sú možné všetky varianty počiatočného pádu, kým nepadne. Ale udalosti tiež nie sú rovnako možné. Stáva sa to vtedy, keď niekto úmyselne ovplyvňuje výsledok. Napríklad „označené“ hracie karty alebo kocky, v ktorých stred posunutý gravitácia.

Udalosti môžu byť tiež kompatibilné a nekompatibilné. Kompatibilné udalosti nevylučujú vzájomný výskyt. Napríklad:

A = „študent prišiel na prednášku“.
B = „študent prišiel na prednášku“.

Tieto udalosti sú na sebe nezávislé a výskyt jednej z nich neovplyvňuje výskyt druhej. Nezlučiteľné udalosti sú definované skutočnosťou, že výskyt jedného vylučuje výskyt iného. Ak hovoríme o tej istej minci, potom strata „chvostov“ znemožňuje objavenie sa „hláv“ v tom istom experimente.

Akcie na udalostiach

Udalosti je možné násobiť a pridávať, podľa toho sú v disciplíne zavedené logické spojky „AND“ a „ALEBO“.

Množstvo je určené skutočnosťou, že buď udalosť A alebo B, alebo dve, môžu nastať súčasne. Ak nie sú kompatibilné, posledná možnosť nie je možná, hodí sa buď A alebo B.

Násobenie udalostí spočíva v objavení sa A a B súčasne.

Teraz môžeme uviesť niekoľko príkladov, aby sme si lepšie zapamätali základy, teóriu pravdepodobnosti a vzorce. Príklady riešenia problémov nižšie.

Cvičenie 1: Spoločnosť sa zúčastňuje súťaže o zákazky na tri druhy prác. Možné udalosti, ktoré môžu nastať:

A = „firma dostane prvú zmluvu“.
A 1 = „firma nedostane prvú zákazku“.
B = „firma dostane druhú zmluvu“.
B 1 = „firma nedostane druhú zákazku“
C = „firma dostane tretiu zmluvu“.
C 1 = „firma nedostane tretiu zákazku“.

Pomocou akcií na udalostiach sa pokúsime vyjadriť nasledujúce situácie:

K = „spoločnosť dostane všetky zmluvy“.

V matematickom tvare bude mať rovnica nasledujúci tvar: K = ABC.

M = „spoločnosť nedostane ani jednu zmluvu“.

M = A1B1C1.

Skomplikujme si úlohu: H = „spoločnosť dostane jednu zákazku“. Keďže nie je známe, ktorú zmluvu spoločnosť dostane (prvú, druhú alebo tretiu), je potrebné zaznamenať celý rad možných udalostí:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je séria udalostí, kde firma nedostane prvú a tretiu zmluvu, ale dostane druhú. Ďalšie možné udalosti boli zaznamenané pomocou vhodnej metódy. Symbol υ v disciplíne označuje spojku „ALEBO“. Ak uvedený príklad preložíme do ľudskej reči, firma dostane buď tretiu zmluvu, alebo druhú, alebo prvú. Podobným spôsobom si môžete zapísať ďalšie podmienky v disciplíne „Teória pravdepodobnosti“. Vzorce a príklady riešenia problémov uvedené vyššie vám pomôžu urobiť to sami.

Vlastne pravdepodobnosť

Možno je v tejto matematickej disciplíne ústredným pojmom pravdepodobnosť udalosti. Existujú 3 definície pravdepodobnosti:

klasický;
štatistické;
geometrický.

Každý má svoje miesto v štúdiu pravdepodobnosti. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady (9. ročník) používajú hlavne klasickú definíciu, ktorá znie takto:

Pravdepodobnosť situácie A sa rovná pomeru počtu výsledkov, ktoré podporujú jej výskyt, k počtu všetkých možných výsledkov.

Vzorec vyzerá takto: P(A)=m/n.

A je vlastne udalosť. Ak sa objaví prípad opačný ako A, možno ho zapísať ako Ā alebo A 1 .

m je počet možných priaznivých prípadov.

n - všetky udalosti, ktoré sa môžu stať.

Napríklad A = „vytiahnite kartu farby srdca“. V štandardnom balíčku je 36 kariet, z toho 9 sŕdc. V súlade s tým bude vzorec na riešenie problému vyzerať takto:

P(A) = 9/36 = 0,25.

V dôsledku toho bude pravdepodobnosť, že sa z balíčka vyberie karta srdcovej farby, 0,25.

Smerom k vyššej matematike

Teraz je trochu známe, čo je teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ktoré sa vyskytujú školské osnovy. Teóriu pravdepodobnosti však nájdeme aj vo vyššej matematike, ktorá sa vyučuje na univerzitách. Najčastejšie pracujú s geometrickými a štatistickými definíciami teórie a zložitými vzorcami.

Teória pravdepodobnosti je veľmi zaujímavá. Je lepšie začať študovať vzorce a príklady (vyššia matematika) v malom - so štatistickou (alebo frekvenčnou) definíciou pravdepodobnosti.

Štatistický prístup nie je v rozpore s klasickým, ale mierne ho rozširuje. Ak v prvom prípade bolo potrebné určiť, s akou mierou pravdepodobnosti dôjde k udalosti, potom v tejto metóde musíte určiť, ako často sa to bude vyskytovať. Tu sa zavádza nový pojem „relatívnej frekvencie“, ktorý možno označiť ako W n (A). Vzorec sa nelíši od klasického:

Ak sa na predikciu počíta klasický vzorec, potom sa podľa výsledkov experimentu vypočíta štatistický. Zoberme si napríklad malú úlohu.

Oddelenie technologickej kontroly kontroluje kvalitu výrobkov. Spomedzi 100 produktov sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Ako zistiť frekvenčnú pravdepodobnosť kvalitného produktu?

A = „vzhľad kvalitného produktu“.

Wn(A)=97/100=0,97

Frekvencia kvalitného produktu je teda 0,97. Odkiaľ máš 97? Zo 100 kontrolovaných produktov sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Odpočítame 3 od 100 a dostaneme 97, to je množstvo kvalitného tovaru.

Trochu o kombinatorike

Ďalšia metóda teórie pravdepodobnosti sa nazýva kombinatorika. Jej základným princípom je, že ak je možné urobiť určitú voľbu A m rôzne cesty a výber B je n rôznymi spôsobmi, potom výber A a B možno vykonať násobením.

Napríklad z mesta A do mesta B vedie 5 ciest. Z mesta B do mesta C vedú 4 cesty. Koľkými spôsobmi sa môžete dostať z mesta A do mesta C?

Je to jednoduché: 5x4=20, čiže dvadsiatimi rôznymi spôsobmi sa môžete dostať z bodu A do bodu C.

Skomplikujme si úlohu. Koľko spôsobov je možné rozložiť karty v solitaire? V balíčku je 36 kariet - to je východiskový bod. Ak chcete zistiť počet spôsobov, musíte „odčítať“ jednu kartu naraz od počiatočného bodu a vynásobiť.

To znamená, že 36x35x34x33x32...x2x1= výsledok sa nezmestí na obrazovku kalkulačky, takže ho možno jednoducho označiť ako 36!. Podpíšte sa "!" vedľa čísla znamená, že celý rad čísel je vynásobený.

V kombinatorike existujú také pojmy ako permutácia, umiestnenie a kombinácia. Každý z nich má svoj vlastný vzorec.

Usporiadaná množina prvkov množiny sa nazýva usporiadanie. Umiestnenia sa môžu opakovať, to znamená, že jeden prvok možno použiť niekoľkokrát. A to bez opakovania, keď sa prvky neopakujú. n sú všetky prvky, m sú prvky, ktoré sa podieľajú na umiestnení. Vzorec pre umiestnenie bez opakovania bude vyzerať takto:

A n m = n!/(n-m)!

Spojenia n prvkov, ktoré sa líšia iba poradím umiestnenia, sa nazývajú permutácie. V matematike to vyzerá takto: P n = n!

Kombinácie n prvkov z m sú tie zlúčeniny, pri ktorých je dôležité, aké prvky to boli a aké Celkom. Vzorec bude vyzerať takto:

A n m = n!/m! (n-m)!

Bernoulliho vzorec

V teórii pravdepodobnosti, ako v každej disciplíne, existujú práce vynikajúcich výskumníkov vo svojom odbore, ktorí ju posunuli na novú úroveň. Jednou z týchto prác je Bernoulliho vzorec, ktorý vám umožňuje určiť pravdepodobnosť výskytu určitej udalosti za nezávislých podmienok. To naznačuje, že výskyt A v experimente nezávisí od výskytu alebo neprítomnosti rovnakej udalosti v skorších alebo nasledujúcich pokusoch.

Bernoulliho rovnica:

Pn (m) = Cnm xpm xqn-m.

Pravdepodobnosť (p) výskytu udalosti (A) je konštantná pre každý pokus. Pravdepodobnosť, že situácia nastane presne m-krát v n počte experimentov, sa vypočíta podľa vyššie uvedeného vzorca. V súlade s tým vzniká otázka, ako zistiť číslo q.

Ak sa udalosť A vyskytne p toľkokrát, nemusí nastať. Jednotka je číslo, ktoré sa používa na označenie všetkých výsledkov situácie v disciplíne. Preto q je číslo, ktoré označuje možnosť, že udalosť nenastane.

Teraz poznáte Bernoulliho vzorec (teóriu pravdepodobnosti). Príklady riešenia problémov (prvá úroveň) zvážime nižšie.

Úloha 2: Návštevník obchodu uskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2. Do predajne samostatne vstúpilo 6 návštevníkov. Aká je pravdepodobnosť, že návštevník uskutoční nákup?

Riešenie: Keďže nie je známe, koľko návštevníkov by malo uskutočniť nákup, jeden alebo všetkých šesť, je potrebné vypočítať všetky možné pravdepodobnosti pomocou Bernoulliho vzorca.

A = „návštevník uskutoční nákup.“

V tomto prípade: p = 0,2 (ako je uvedené v úlohe). V súlade s tým q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (keďže v predajni je 6 zákazníkov). Číslo m sa bude meniť od 0 (ani jeden zákazník nenakúpi) do 6 (všetci návštevníci obchodu niečo kúpia). V dôsledku toho dostaneme riešenie:

P6 (0) = Co6 xp0 xq6 = q6 = (0,8)6 = 0,2621.

Žiadny z kupujúcich neuskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2621.

Ako inak sa používa Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti)? Príklady riešenia problémov (druhá úroveň) nižšie.

Po vyššie uvedenom príklade vyvstávajú otázky, kam sa podeli C a r. Vo vzťahu k p sa číslo s mocninou 0 rovná jednej. Pokiaľ ide o C, možno ho nájsť podľa vzorca:

C n m = n! /m!(n-m)!

Keďže v prvom príklade m = 0, C = 1, čo v zásade neovplyvňuje výsledok. Pomocou nového vzorca sa pokúsme zistiť, aká je pravdepodobnosť nákupu tovaru dvoma návštevníkmi.

P6 (2) = C6 2 ×p 2 ×q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teória pravdepodobnosti nie je až taká zložitá. Bernoulliho vzorec, ktorého príklady sú uvedené vyššie, je toho priamym dôkazom.

Poissonov vzorec

Poissonova rovnica sa používa na výpočet náhodných situácií s nízkou pravdepodobnosťou.

Základný vzorec:

Pn(m)=Am/m! x e (-λ).

V tomto prípade λ = n x p. Tu je jednoduchý Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Nižšie zvážime príklady riešenia problémov.

Úloha 3: Továreň vyrobila 100 000 dielov. Výskyt chybnej časti = 0,0001. Aká je pravdepodobnosť, že v dávke bude 5 chybných dielov?

Ako vidíte, manželstvo je nepravdepodobná udalosť, a preto sa na výpočet používa Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia úloh tohto druhu sa nelíšia od iných úloh v disciplíne, potrebné údaje dosadíme do daného vzorca:

A = “náhodne vybraný diel bude chybný.”

p = 0,0001 (podľa podmienok úlohy).

n = 100 000 (počet častí).

m = 5 (chybné časti). Údaje dosadíme do vzorca a získame:

R 100 000 (5) = 105/5! Xe-io = 0,0375.

Rovnako ako Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešení, ktoré sú napísané vyššie, má Poissonova rovnica neznáme e. V skutočnosti ju možno nájsť podľa vzorca:

e-λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

Existujú však špeciálne tabuľky, ktoré obsahujú takmer všetky hodnoty napr.

De Moivre-Laplaceova veta

Ak je počet pokusov v Bernoulliho schéme dostatočne veľký a pravdepodobnosť výskytu udalosti A vo všetkých schémach je rovnaká, potom pravdepodobnosť výskytu udalosti A v určitom počte opakovaní v sérii testov možno nájsť pomocou Laplaceov vzorec:

Р n (m) = 1/√npq x ϕ (X m).

Xm = m-np/√npq.

Aby ste si lepšie zapamätali Laplaceov vzorec (teória pravdepodobnosti), nižšie sú uvedené príklady problémov.

Najprv nájdime X m, dosadíme údaje (všetky sú uvedené vyššie) do vzorca a dostaneme 0,025. Pomocou tabuliek nájdeme číslo ϕ(0,025), ktorého hodnota je 0,3988. Teraz môžete nahradiť všetky údaje do vzorca:

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Pravdepodobnosť, že leták bude fungovať presne 267-krát, je teda 0,03.

Bayesov vzorec

Bayesov vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešenia problémov, pomocou ktorých budú uvedené nižšie, je rovnica, ktorá popisuje pravdepodobnosť udalosti na základe okolností, ktoré by s ňou mohli byť spojené. Základný vzorec je nasledujúci:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A a B sú určité udalosti.

P(A|B) je podmienená pravdepodobnosť, to znamená, že udalosť A môže nastať za predpokladu, že udalosť B je pravdivá.

P (B|A) - podmienená pravdepodobnosť udalosti B.

Takže poslednou časťou krátkeho kurzu „Teória pravdepodobnosti“ je Bayesov vzorec, príklady riešení problémov, s ktorými sú uvedené nižšie.

Úloha 5: Do skladu boli privezené telefóny od troch firiem. Zároveň je podiel telefónov vyrobených v prvom závode 25%, v druhom - 60%, v treťom - 15%. Je tiež známe, že priemerné percento chybných výrobkov v prvom závode je 2%, v druhom - 4% a v treťom - 1%. Musíte nájsť pravdepodobnosť, že náhodne vybraný telefón bude chybný.

A = „náhodne vybraný telefón“.

B 1 - telefón, ktorý vyrobila prvá továreň. Podľa toho sa objavia úvodné B 2 a B 3 (pre druhú a tretiu továreň).

V dôsledku toho dostaneme:

P(B1) = 25 %/100 % = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - teda sme zistili pravdepodobnosť každej možnosti.

Teraz musíte nájsť podmienené pravdepodobnosti požadovanej udalosti, to znamená pravdepodobnosť chybných produktov v spoločnostiach:

P (A/B1) = 2 %/100 % = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B3) = 0,01.

Teraz nahraďme údaje do Bayesovho vzorca a získame:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Článok predstavuje teóriu pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ale toto je len špička ľadovca obrovskej disciplíny. A po všetkom, čo bolo napísané, by bolo logické položiť si otázku, či je v živote potrebná teória pravdepodobnosti. K obyčajnému človeku Je ťažké odpovedať, je lepšie sa opýtať niekoho, kto to použil na výhru jackpotu viac ako raz.

Čo je teória pravdepodobnosti?

Teória pravdepodobnosti je jednou z matematických disciplín, ktorá študuje náhodné udalosti.

Aby to bolo trochu jasnejšie, uveďme malý príklad: ak hodíte mincu, môže pristáť na hlavách alebo chvostoch. Kým je minca vo vzduchu, obe tieto pravdepodobnosti sú možné. To znamená, že pravdepodobnosť možných následkov je 1:1. Ak je jedna vytiahnutá z balíčka 36 kariet, pravdepodobnosť bude označená ako 1:36. Zdalo by sa, že tu nie je čo skúmať a predpovedať, najmä pomocou matematických vzorcov. Ak však určitú akciu zopakujete mnohokrát, môžete identifikovať určitý vzorec a na základe neho predpovedať výsledok udalostí v iných podmienkach.

Aby sme zhrnuli všetky vyššie uvedené skutočnosti, teória pravdepodobnosti v klasickom zmysle študuje možnosť výskytu jednej z možných udalostí v číselnej hodnote.

Zo stránok histórie

Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady prvých úloh sa objavili v ďalekom stredoveku, keď sa prvýkrát objavili pokusy predpovedať výsledok kartových hier.

Spočiatku teória pravdepodobnosti nemala nič spoločné s matematikou. Bolo to odôvodnené empirickými faktami alebo vlastnosťami udalosti, ktoré bolo možné reprodukovať v praxi. Prvé práce v tejto oblasti ako matematickej disciplíne sa objavili v 17. storočí. Zakladateľmi boli Blaise Pascal a Pierre Fermat. Dlho študovali hazard a videli určité vzorce, o ktorých sa rozhodli povedať verejnosti.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Diania

Hlavným konceptom tejto disciplíny je „udalosť“. Existujú tri typy udalostí:

Spoľahlivý. Tie, ktoré sa aj tak stanú (minca padne).
nemožné. Udalosti, ktoré sa za žiadnych okolností nestanú (minca zostane visieť vo vzduchu).
Náhodný. Tie, ktoré sa stanú alebo nestanú. Môžu byť ovplyvnené rôznymi faktormi, ktoré je veľmi ťažké predvídať. Ak hovoríme o minci, potom existujú náhodné faktory, ktoré môžu ovplyvniť výsledok: fyzikálne vlastnosti mince, jej tvar, pôvodná poloha, sila hodu atď.

Všetky udalosti v príkladoch sú označené veľkými latinskými písmenami, s výnimkou P, ktoré má inú úlohu. Napríklad:

A = „študenti prišli prednášať“.
Ā = „študenti neprišli na prednášku“.

V praktických úlohách sa udalosti zvyčajne zapisujú slovami.

Jednou z najdôležitejších charakteristík udalostí je ich rovnaká možnosť. To znamená, že ak si hodíte mincou, sú možné všetky varianty počiatočného pádu, kým nepadne. Ale udalosti tiež nie sú rovnako možné. Stáva sa to vtedy, keď niekto úmyselne ovplyvňuje výsledok. Napríklad „označené“ hracie karty alebo kocky, v ktorých je posunuté ťažisko.

Udalosti môžu byť tiež kompatibilné a nekompatibilné. Kompatibilné udalosti nevylučujú vzájomný výskyt. Napríklad:

A = „študent prišiel na prednášku“.
B = „študent prišiel na prednášku“.

Akcie na udalostiach

Udalosti je možné násobiť a pridávať, podľa toho sú v disciplíne zavedené logické spojky „AND“ a „ALEBO“.

Množstvo je určené skutočnosťou, že buď udalosť A alebo B, alebo dve, môžu nastať súčasne. Ak nie sú kompatibilné, posledná možnosť nie je možná, hodí sa buď A alebo B.

Násobenie udalostí spočíva v objavení sa A a B súčasne.

Teraz môžeme uviesť niekoľko príkladov, aby sme si lepšie zapamätali základy, teóriu pravdepodobnosti a vzorce. Príklady riešenia problémov nižšie.

Cvičenie 1: Spoločnosť sa zúčastňuje súťaže o zákazky na tri druhy prác. Možné udalosti, ktoré môžu nastať:

A = „firma dostane prvú zmluvu“.
A 1 = „firma nedostane prvú zákazku“.
B = „firma dostane druhú zmluvu“.
B 1 = „firma nedostane druhú zákazku“
C = „firma dostane tretiu zmluvu“.
C 1 = „firma nedostane tretiu zákazku“.

Pomocou akcií na udalostiach sa pokúsime vyjadriť nasledujúce situácie:

K = „spoločnosť dostane všetky zmluvy“.

V matematickom tvare bude mať rovnica nasledujúci tvar: K = ABC.

M = „spoločnosť nedostane ani jednu zmluvu“.

M = A1B1C1.

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Vlastne pravdepodobnosť

Možno je v tejto matematickej disciplíne ústredným pojmom pravdepodobnosť udalosti. Existujú 3 definície pravdepodobnosti:

klasický;
štatistické;
geometrický.

Každý má svoje miesto v štúdiu pravdepodobnosti. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady (9. ročník) používajú hlavne klasickú definíciu, ktorá znie takto:

Pravdepodobnosť situácie A sa rovná pomeru počtu výsledkov, ktoré podporujú jej výskyt, k počtu všetkých možných výsledkov.

Vzorec vyzerá takto: P(A)=m/n.

A je vlastne udalosť. Ak sa objaví prípad opačný ako A, možno ho zapísať ako Ā alebo A 1 .

m je počet možných priaznivých prípadov.

n - všetky udalosti, ktoré sa môžu stať.

Napríklad A = „vytiahnite kartu farby srdca“. V štandardnom balíčku je 36 kariet, z toho 9 sŕdc. V súlade s tým bude vzorec na riešenie problému vyzerať takto:

P(A) = 9/36 = 0,25.

V dôsledku toho bude pravdepodobnosť, že sa z balíčka vyberie karta srdcovej farby, 0,25.

Smerom k vyššej matematike

Teraz je už trochu známe, čo je to teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ktoré sa vyskytujú v školských osnovách. Teóriu pravdepodobnosti však nájdeme aj vo vyššej matematike, ktorá sa vyučuje na univerzitách. Najčastejšie pracujú s geometrickými a štatistickými definíciami teórie a zložitými vzorcami.

Teória pravdepodobnosti je veľmi zaujímavá. Je lepšie začať študovať vzorce a príklady (vyššia matematika) v malom - so štatistickou (alebo frekvenčnou) definíciou pravdepodobnosti.

Štatistický prístup nie je v rozpore s klasickým, ale mierne ho rozširuje. Ak bolo v prvom prípade potrebné určiť, s akou pravdepodobnosťou dôjde k udalosti, potom je potrebné pri tejto metóde uviesť, ako často sa bude vyskytovať. Tu sa zavádza nový pojem „relatívnej frekvencie“, ktorý možno označiť ako W n (A). Vzorec sa nelíši od klasického:

Ak sa na predikciu počíta klasický vzorec, potom sa podľa výsledkov experimentu vypočíta štatistický. Zoberme si napríklad malú úlohu.

Oddelenie technologickej kontroly kontroluje kvalitu výrobkov. Spomedzi 100 produktov sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Ako zistiť frekvenčnú pravdepodobnosť kvalitného produktu?

A = „vzhľad kvalitného produktu“.

Wn(A)=97/100=0,97

Trochu o kombinatorike

Ďalšia metóda teórie pravdepodobnosti sa nazýva kombinatorika. Jeho základným princípom je, že ak sa určitá voľba A dá urobiť m rôznymi spôsobmi a voľba B sa dá urobiť n rôznymi spôsobmi, potom sa voľba A a B dá urobiť násobením.

Napríklad z mesta A do mesta B vedie 5 ciest. Z mesta B do mesta C vedú 4 cesty. Koľkými spôsobmi sa môžete dostať z mesta A do mesta C?

Je to jednoduché: 5x4=20, čiže dvadsiatimi rôznymi spôsobmi sa môžete dostať z bodu A do bodu C.

V kombinatorike existujú také pojmy ako permutácia, umiestnenie a kombinácia. Každý z nich má svoj vlastný vzorec.

A n m = n!/(n-m)!

Spojenia n prvkov, ktoré sa líšia iba poradím umiestnenia, sa nazývajú permutácie. V matematike to vyzerá takto: P n = n!

Kombinácie n prvkov z m sú tie zlúčeniny, pri ktorých je dôležité, o aké prvky išlo a aký je ich celkový počet. Vzorec bude vyzerať takto:

A n m = n!/m! (n-m)!

Bernoulliho vzorec

Bernoulliho rovnica:

Pn (m) = Cnm xpm xqn-m.

Teraz poznáte Bernoulliho vzorec (teóriu pravdepodobnosti). Príklady riešenia problémov (prvá úroveň) zvážime nižšie.

Úloha 2: Návštevník obchodu uskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2. Do predajne samostatne vstúpilo 6 návštevníkov. Aká je pravdepodobnosť, že návštevník uskutoční nákup?

A = „návštevník uskutoční nákup.“

V tomto prípade: p = 0,2 (ako je uvedené v úlohe). V súlade s tým q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (keďže v predajni je 6 zákazníkov). Číslo m sa bude meniť od 0 (ani jeden zákazník nenakúpi) do 6 (všetci návštevníci obchodu niečo kúpia). V dôsledku toho dostaneme riešenie:

P6 (0) = Co6 xp0 xq6 = q6 = (0,8)6 = 0,2621.

Žiadny z kupujúcich neuskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2621.

Ako inak sa používa Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti)? Príklady riešenia problémov (druhá úroveň) nižšie.

Po vyššie uvedenom príklade vyvstávajú otázky, kam sa podeli C a r. Vo vzťahu k p sa číslo s mocninou 0 rovná jednej. Pokiaľ ide o C, možno ho nájsť podľa vzorca:

C n m = n! /m!(n-m)!

Keďže v prvom príklade m = 0, C = 1, čo v zásade neovplyvňuje výsledok. Pomocou nového vzorca sa pokúsme zistiť, aká je pravdepodobnosť nákupu tovaru dvoma návštevníkmi.

P6 (2) = C6 2 ×p 2 ×q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teória pravdepodobnosti nie je až taká zložitá. Bernoulliho vzorec, ktorého príklady sú uvedené vyššie, je toho priamym dôkazom.

Poissonov vzorec

Poissonova rovnica sa používa na výpočet náhodných situácií s nízkou pravdepodobnosťou.

Základný vzorec:

Pn(m)=Am/m! x e (-λ).

V tomto prípade λ = n x p. Tu je jednoduchý Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Nižšie zvážime príklady riešenia problémov.

Úloha 3: Továreň vyrobila 100 000 dielov. Výskyt chybnej časti = 0,0001. Aká je pravdepodobnosť, že v dávke bude 5 chybných dielov?

A = “náhodne vybraný diel bude chybný.”

p = 0,0001 (podľa podmienok úlohy).

n = 100 000 (počet častí).

m = 5 (chybné časti). Údaje dosadíme do vzorca a získame:

R 100 000 (5) = 105/5! Xe-io = 0,0375.

Rovnako ako Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešení, ktoré sú napísané vyššie, má Poissonova rovnica neznáme e. V skutočnosti ju možno nájsť podľa vzorca:

e-λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

Existujú však špeciálne tabuľky, ktoré obsahujú takmer všetky hodnoty napr.

De Moivre-Laplaceova veta

Р n (m) = 1/√npq x ϕ (X m).

Xm = m-np/√npq.

Aby ste si lepšie zapamätali Laplaceov vzorec (teória pravdepodobnosti), nižšie sú uvedené príklady problémov.

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Pravdepodobnosť, že leták bude fungovať presne 267-krát, je teda 0,03.

Bayesov vzorec

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A a B sú určité udalosti.

P(A|B) je podmienená pravdepodobnosť, to znamená, že udalosť A môže nastať za predpokladu, že udalosť B je pravdivá.

P (B|A) - podmienená pravdepodobnosť udalosti B.

Takže poslednou časťou krátkeho kurzu „Teória pravdepodobnosti“ je Bayesov vzorec, príklady riešení problémov, s ktorými sú uvedené nižšie.

A = „náhodne vybraný telefón“.

B 1 - telefón, ktorý vyrobila prvá továreň. Podľa toho sa objavia úvodné B 2 a B 3 (pre druhú a tretiu továreň).

V dôsledku toho dostaneme:

P(B1) = 25 %/100 % = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - teda sme zistili pravdepodobnosť každej možnosti.

Teraz musíte nájsť podmienené pravdepodobnosti požadovanej udalosti, to znamená pravdepodobnosť chybných produktov v spoločnostiach:

P (A/B1) = 2 %/100 % = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B3) = 0,01.

Teraz nahraďme údaje do Bayesovho vzorca a získame:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Článok predstavuje teóriu pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ale toto je len špička ľadovca obrovskej disciplíny. A po všetkom, čo bolo napísané, by bolo logické položiť si otázku, či je v živote potrebná teória pravdepodobnosti. Pre bežného človeka je ťažké odpovedať; je lepšie opýtať sa niekoho, kto to použil na výhru jackpotu viac ako raz.

Teória pravdepodobnosti – matematická veda, ktorá študuje vzorce náhodných javov. Náhodnými javmi sa rozumejú javy s neistým výsledkom, ktoré nastávajú pri opakovanom reprodukovaní určitého súboru podmienok.

Napríklad pri hádzaní mince nemôžete predpovedať, na ktorú stranu padne. Výsledok hodu mincou je náhodný. Ale pri dostatočne veľkom počte hodov mincou existuje určitý vzor (erb a značka hash vypadnú približne rovnako často).

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti

Test (skúsenosť, experiment) - realizácia určitého súboru podmienok, v ktorých sa pozoruje ten či onen jav a ten či onen výsledok sa zaznamenáva.

Napríklad: hod kockou a získanie určitého počtu bodov; teplotný rozdiel vzduchu; spôsob liečenia choroby; nejaké obdobie života človeka.

Náhodná udalosť (alebo len udalosť) - výsledok testu.

Príklady náhodných udalostí:

získanie jedného bodu pri hode kockou;

exacerbácia koronárne ochorenie srdce s prudkým zvýšením teploty vzduchu v lete;

vývoj komplikácií choroby v dôsledku nesprávneho výberu metódy liečby;

prijatie na vysokú školu po úspešnom štúdiu na škole.

Udalosti predstavujú veľkými písmenami latinská alfavita: A , B , C , …

Podujatie sa volá spoľahlivý , ak v dôsledku skúšky musí nevyhnutne nastať.

Podujatie sa volá nemožné , ak v dôsledku skúšky nemôže vôbec nastať.

Napríklad, ak sú všetky produkty v dávke štandardné, potom je extrahovanie štandardného produktu z nej spoľahlivá udalosť, ale extrahovanie chybného produktu za rovnakých podmienok je nemožná udalosť.

KLASICKÉ VYMEDZENIE PRAVDEPODOBNOSTI

Pravdepodobnosť je jedným zo základných pojmov teórie pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť klasickej udalosti sa nazýva pomer počtu prípadov priaznivých pre udalosť , k celkovému počtu prípadov, t.j.

, (5.1)

Kde
- pravdepodobnosť udalosti ,

- počet prípadov priaznivých pre udalosť ,

- celkový počet prípadov.

Vlastnosti pravdepodobnosti udalosti

Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti leží medzi nulou a jednou, t.j.

Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej, t.j.

Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová, t.j.

(Navrhnite vyriešiť niekoľko jednoduché úlohyústne).

ŠTATISTICKÉ URČENIE PRAVDEPODOBNOSTI

V praxi je odhad pravdepodobnosti udalostí často založený na tom, ako často sa daná udalosť vyskytne v vykonaných testoch. V tomto prípade sa používa štatistická definícia pravdepodobnosti.

Štatistická pravdepodobnosť udalosti sa nazýva relatívna frekvenčná hranica (pomer počtu prípadov m, priaznivé pre vznik udalosti , na celkový počet vykonané testy), keď počet testov má tendenciu k nekonečnu, t.j.

Kde
- štatistická pravdepodobnosť diania ,
- počet pokusov, v ktorých sa udalosť objavila , - celkový počet testov.

Na rozdiel od klasickej pravdepodobnosti je štatistická pravdepodobnosť charakteristikou experimentálnej pravdepodobnosti. Klasická pravdepodobnosť slúži na teoretický výpočet pravdepodobnosti udalosti za daných podmienok a nevyžaduje, aby sa testy vykonávali v skutočnosti. Štatistický pravdepodobnostný vzorec sa používa na experimentálne určenie pravdepodobnosti udalosti, t.j. predpokladá sa, že testy boli skutočne vykonané.

Štatistická pravdepodobnosť sa približne rovná relatívnej frekvencii náhodnej udalosti, preto sa v praxi relatívna frekvencia berie ako štatistická pravdepodobnosť, pretože štatistickú pravdepodobnosť je prakticky nemožné nájsť.

Štatistická definícia pravdepodobnosti je použiteľná pre náhodné udalosti, ktoré majú nasledujúce vlastnosti:

Vety o sčítaní pravdepodobnosti a násobení

Základné pojmy

a) Jediné možné udalosti

Diania
Nazývajú sa jediné možné, ak sa v dôsledku každého testu určite vyskytne aspoň jeden z nich.

Tieto udalosti tvoria ucelenú skupinu udalostí.

Napríklad pri hádzaní kockou sú jedinými možnými udalosťami strany s jedným, dvoma, tromi, štyrmi, piatimi a šiestimi bodmi. Tvoria ucelenú skupinu podujatí.

b) Udalosti sa nazývajú nezlučiteľné, ak výskyt jednej z nich vylučuje výskyt iných udalostí v tom istom konaní. Inak sa nazývajú spoločné.

c) Opačný pomenujte dve jedinečne možné udalosti, ktoré tvoria ucelenú skupinu. Vymenovať A .

G) Udalosti sa nazývajú nezávislé, ak pravdepodobnosť výskytu jedného z nich nezávisí od poverenia alebo nesplnenia ďalších.

Akcie na udalostiach

Súčet viacerých udalostí je udalosť pozostávajúca z výskytu aspoň jednej z týchto udalostí.

Ak A – spoločné akcie, potom ich súčet
alebo
označuje výskyt buď udalosti A, alebo udalosti B, alebo oboch udalostí spolu.

Ak A – nezlučiteľné udalosti, potom ich súčet
znamená výskyt alebo udalosti alebo udalosti .

Suma udalosti znamenajú:

Súčin (priesečník) viacerých udalostí je udalosť pozostávajúca zo spoločného výskytu všetkých týchto udalostí.

Súčin dvoch udalostí je označený
alebo
.

Práca udalosti predstavujú

Veta o sčítaní pravdepodobností nekompatibilných udalostí

Pravdepodobnosť súčtu dvoch alebo viacerých nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:

Na dve udalosti;

- Pre diania.

Dôsledky:

a) Súčet pravdepodobností opačných udalostí A rovná sa jednej:

Pravdepodobnosť opačnej udalosti označujeme :
.

b) Súčet pravdepodobností udalostí tvoriacich ucelenú skupinu udalostí sa rovná jednej: alebo
.

Veta o sčítaní pravdepodobností spoločných udalostí

Pravdepodobnosť súčtu dvoch spoločných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí bez pravdepodobností ich prieniku, t.j.

Veta o násobení pravdepodobnosti

a) Pre dve nezávislé udalosti:

b) Pre dve závislé udalosti

Kde
– podmienená pravdepodobnosť udalosti , t.j. pravdepodobnosť udalosti , vypočítané za podmienky, že udalosť Stalo.

c) Pre nezávislé udalosti:

d) Pravdepodobnosť výskytu aspoň jednej z udalostí , ktoré tvoria ucelenú skupinu nezávislých podujatí:

Podmienená pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť udalosti , vypočítané za predpokladu, že udalosť nastala , sa nazýva podmienená pravdepodobnosť udalosti a je určený
alebo
.

Pri výpočte podmienená pravdepodobnosť podľa klasického pravdepodobnostného vzorca počet výsledkov A
vypočítané s prihliadnutím na skutočnosť, že pred udalosťou došlo k udalosti .