• Vo veľkom počte prípadov nestačí len znalosť priemerných hodnôt fyzikálnych veličín. Napríklad znalosť priemernej výšky ľudí nám neumožňuje plánovať výrobu oblečenia v rôznych veľkostiach. Potrebujete vedieť približný počet ľudí, ktorých výška leží v určitom intervale.

    Rovnako tak je dôležité poznať počty molekúl, ktoré majú rýchlosti odlišné od priemernej hodnoty. Maxwell bol prvý, kto objavil, ako možno tieto čísla určiť.

Pravdepodobnosť náhodnej udalosti

V § 4.1 sme už spomenuli, že na opis správania veľkého súboru molekúl zaviedol J. Maxwell pojem pravdepodobnosti.

Ako bolo opakovane zdôraznené, je v princípe nemožné sledovať zmenu rýchlosti (alebo hybnosti) jednej molekuly počas veľkého časového intervalu. Je tiež nemožné presne určiť rýchlosti všetkých molekúl plynu v tento momentčas. Z makroskopických podmienok, v ktorých sa plyn nachádza (určitý objem a teplota), nemusia nevyhnutne vyplývať určité hodnoty molekulárnych rýchlostí. Rýchlosť molekuly možno považovať za náhodnú premennú, ktorú za daných makroskopických podmienok môže nadobudnúť rôzne významy, rovnako ako pri hode kockou sa môže objaviť ľubovoľný počet bodov od 1 do 6 (počet strán kocky je šesť). Nie je možné predpovedať počet bodov, ktoré pri hode kockou padnú. Ale pravdepodobnosť hodenia, povedzme, piatich bodov je určená.

Aká je pravdepodobnosť výskytu náhodnej udalosti? Nech sa vykoná veľmi veľký počet N testov (N je počet hodov kockou). Navyše v N" prípadoch bol výsledok testov priaznivý (t. j. vypadla päťka). Potom sa pravdepodobnosť tejto udalosti rovná pomeru počtu prípadov s priaznivým výsledkom k celkovému počtu testov, za predpokladu, že toto číslo je také veľké, ako si želáte:

Pre symetrickú kocku je pravdepodobnosť ľubovoľného zvoleného počtu bodov od 1 do 6 .

Vidíme, že na pozadí mnohých náhodných udalostí sa odhalí určitý kvantitatívny vzorec, objaví sa číslo. Toto číslo - pravdepodobnosť - vám umožňuje vypočítať priemery. Ak teda hodíte 300 kockami, potom sa priemerný počet pätiek, ako vyplýva zo vzorca (4.6.1), bude rovnať 300 = 50 a je úplne jedno, či hodíte tou istou kockou 300-krát alebo 300 rovnakých. kocky v rovnakom čase.

Niet pochýb o tom, že správanie molekúl plynu v nádobe je oveľa zložitejšie ako pohyb hodenej kocky. Ale aj tu možno dúfať, že objavíme určité kvantitatívne vzorce, ktoré umožnia vypočítať štatistické priemery, ak sa problém položí rovnakým spôsobom ako v teórii hier, a nie ako v klasickej mechanike. Je potrebné opustiť neriešiteľný problém určenia presnej hodnoty rýchlosti molekuly v danom momente a pokúsiť sa nájsť pravdepodobnosť, že rýchlosť má určitú hodnotu.

Distribúcia rýchlosti molekúl - Maxwellova distribúcia

Maxwell predpokladal, že v plynoch v stave tepelnej rovnováhy existuje určité rozloženie rýchlostí, ktoré sa v priebehu času nemení, inými slovami, počet molekúl s rýchlosťami v danom rozsahu hodnôt zostáva konštantný. A Maxwell našiel túto distribúciu.

Ale Maxwellova hlavná zásluha nebola ani tak v riešení tohto problému, ako v samotnej formulácii nového problému. Jasne si uvedomil, že náhodné správanie jednotlivých molekúl za daných makroskopických podmienok podlieha určitému pravdepodobnostnému, čiže štatistickému zákonu. Tento štatistický zákon pre distribúciu rýchlostí molekúl plynu sa ukázal byť relatívne jednoduchý.

Distribúciu rýchlosti molekúl možno vizuálne znázorniť nasledovne. Poďme si vybrať pravouhlý systém referenciu, na ktorej osi vynesieme priemet v x, v y, v z rýchlostí častíc. Výsledkom bude trojrozmerný „priestor rýchlosti“, ktorého každý bod zodpovedá molekule s presne špecifikovanou rýchlosťou v, ktorá sa svojou veľkosťou rovná dĺžke vektora polomeru nakresleného od začiatku referenčného systému do tohto bodu ( Obr. 4.7).

Ryža. 4.7

Všeobecnú predstavu o distribúcii rýchlosti molekúl získame, ak rýchlosť každej z N molekúl znázorníme ako bod v tomto rýchlostnom priestore (obr. 4.8). Body budú umiestnené dosť chaoticky, ale v priemere sa hustota bodov zníži, keď sa budú vzďaľovať od počiatku (nie všetky molekulové rýchlosti sa vyskytujú rovnako často).

Ryža. 4.8

Obraz rozdelenia bodov, samozrejme, nie je zamrznutý. V priebehu času sa rýchlosti molekúl menia v dôsledku zrážok a následne sa mení vzor rozmiestnenia bodov v rýchlostnom priestore. Jeho zmena je však taká, že priemerná hustota bodov v ktorejkoľvek oblasti rýchlostného priestoru sa časom nezmení, zostáva rovnaká. Presne toto znamená existencia určitého štatistického zákona. Priemerná hustota zodpovedá najpravdepodobnejšiemu rozdeleniu rýchlosti.

Počet bodov AN v určitom malom objeme Δv x Δv y Δv z rýchlostného priestoru sa zjavne rovná tomuto objemu vynásobenému hustotou bodov v ňom. (Podobne sa hmotnosť Δm určitého objemu ΔV rovná súčinu hustoty hmoty ρ o tento objem: Δm = ρΔV.) Označme Nf(v x, v y, v z) priemernú hustotu bodov v rýchlosti. priestor, teda počet bodov na jednotku objemu priestorových rýchlostí (N je celkový počet molekúl plynu). Potom

ΔN je v skutočnosti počet molekúl, ktorých projekcie rýchlosti ležia v rozsahu hodnôt od v x do v x + Δv x, od v y do v y + Δv y a od v z do v z + Δv z (polomerové vektory rýchlostí týchto molekúl končí vo vnútri objemu rýchlostného priestoru Δv = Δv x Δv y Δv z, ktorý má tvar kocky (pozri obr. 4.8).

Pravdepodobnosť, že projekcie rýchlosti molekuly ležia v danom rozsahu rýchlosti, sa rovná pomeru počtu molekúl s danou hodnotou rýchlosti k celkovému počtu molekúl:

Funkcia f(v x, v y, v z) sa nazýva rýchlostná distribučná funkcia molekúl a predstavuje hustotu pravdepodobnosti, teda pravdepodobnosť na jednotku objemu rýchlostného priestoru.

Rýchlosti molekúl v danom časovom okamihu môžu byť v zásade ľubovoľné. Pravdepodobnosť rôznych distribúcií rýchlosti však nie je rovnaká. Medzi všetkými možnými okamžitými rozdeleniami je jedno, ktorého pravdepodobnosť je väčšia ako všetky ostatné – najpravdepodobnejšie rozdelenie. Maxwell zistil, že distribučná funkcia f(v x, v y, v z), ktorá dáva túto najpravdepodobnejšiu distribúciu rýchlosti molekúl (Maxwellova distribúcia), je určená pomerom kinetickej energie molekuly.

na priemernú energiu jeho tepelného pohybu kT (k je Boltzmannova konštanta). Táto distribúcia má tvar

Tu je e ≈ 2,718 základom prirodzených logaritmov a hodnota A nezávisí od rýchlosti.

Hustota bodov reprezentujúcich molekuly v rýchlostnom priestore je teda podľa Maxwella maximálna blízko počiatku (v = 0) a klesá s rastúcim v, a to čím rýchlejšie, tým nižšia je tepelná pohybová energia kT. Na obrázku 4.9 je znázornená závislosť distribučnej funkcie f na priemete v x za predpokladu, že priemetne v y a v z sú ľubovoľné. Distribučná funkcia má charakteristický zvonovitý tvar, ktorý sa často nachádza v štatistických teóriách a nazýva sa Gaussova krivka.

Ryža. 4.9

Konštanta A sa zistí z podmienky, že pravdepodobnosť, že rýchlosť molekuly bude mať akúkoľvek hodnotu od nuly do nekonečna, musí byť rovná jednej. Tento stav sa nazýva normalizačný stav. (Podobne, pravdepodobnosť získania ľubovoľného počtu bodov od 1 do 6 za daný hod kockou sa rovná jednej.) Celková pravdepodobnosť sa získa sčítaním pravdepodobností všetkých možných vzájomne sa vylučujúcich realizácií náhodnej udalosti.

Sčítaním pravdepodobností ΔW i všetkých možných hodnôt rýchlosti i dostaneme rovnicu

Po vypočítaní normalizačnej konštanty A pomocou rovnice (4.6.5) môžeme zapísať výraz pre priemerný počet častíc s rýchlosťami v danom intervale v nasledujúcom tvare:

Rýchlosť akejkoľvek molekuly v danom čase je náhodná hodnota. Preto je samotné rozloženie molekúl podľa rýchlosti v danom čase náhodné. Ale priemerné rozdelenie, určené štatistickým zákonom, sa nevyhnutne realizuje za určitých makroskopických podmienok a v čase sa nemení. Vždy však existujú odchýlky od priemeru – výkyvy. Tieto odchýlky sa rovnako pravdepodobne vyskytnú v jednom alebo druhom smere. Preto v priemere existuje určitá distribúcia molekúl podľa rýchlosti.

Maxwellova distribúcia rýchlosti molekúl sa ukazuje ako platná nielen pre plyny, ale aj pre kvapaliny a pevné látky. Iba v prípade, že nie je možné aplikovať popis pohybu častíc klasickej mechaniky, Maxwellova distribúcia už neplatí.

Distribúcia modulov rýchlosti molekúl

Nájdite priemerný počet molekúl, ktorých absolútne rýchlosti ležia v rozmedzí od v do v + Δv.

Maxwellovo rozdelenie (4.6.4) určuje počet molekúl, ktorých projekcie rýchlosti ležia v rozsahoch hodnôt od v x do v x + Δv x, od v y do v y + Δv y, od v z do v z + Δv z. Vektory týchto rýchlostí končia vo vnútri objemu Δv x Δu y Δv z (pozri obr. 4.8). Tým sa nastaví priemerný počet molekúl s určitým modulom a určitým smerom rýchlostí, daný polohou objemu Δv x Δu y Δv z v rýchlostnom priestore.

Všetky molekuly, ktorých rýchlostné moduly ležia v rozsahu od v do a + Δv, sa nachádzajú v rýchlostnom priestore vo vnútri guľovej vrstvy s polomerom v a hrúbkou Δv (obr. 4.10). Objem guľovej vrstvy sa rovná súčinu plochy povrchu vrstvy a jej hrúbky: 4πv 2 Δv.

Ryža. 4.10

Počet molekúl umiestnených vo vnútri tejto vrstvy, a teda s danými hodnotami rýchlostného modulu v rozsahu od v do v + Δv, možno zistiť zo vzorca (4.6.2), ak nahradíme objem Δv x Δu y Δv z s objemom 4πv 2 Δv .

Požadovaný priemerný počet molekúl je teda

Keďže pravdepodobnosť určitej hodnoty rýchlostného modulu molekuly sa rovná pomeru, potom pre hustotu pravdepodobnosti dostaneme

Graf vyjadrujúci závislosť tejto funkcie od rýchlosti je na obrázku 4.11. Vidíme, že funkcia f(v) už nemá maximum v nule, ako hustota pravdepodobnosti f(v x, v y, v z). Dôvod je nasledovný. Hustota bodov reprezentujúcich molekuly v rýchlostnom priestore bude stále najväčšia v blízkosti v = 0, ale v dôsledku zväčšovania objemu guľových vrstiev s rastúcimi rýchlostnými modulmi (~ v 2) sa funkcia f(v) zvyšuje. V tomto prípade počet bodov vo vnútri guľovej vrstvy rastie rýchlejšie, ako klesá funkcia f(v x, v y, v z) v dôsledku poklesu hustoty bodov.

Ryža. 4.11

Môžete vysvetliť, čo bolo povedané? jasný príklad. Povedzme, že pomerne presný strelec strieľa na bežný terč so sústrednými kruhmi. Zásahy guľky sú sústredené okolo stredu cieľa. Hustota zásahu – počet zásahov na jednotku plochy – bude maximálne blízko stredu cieľa. Rozdeľme cieľ na samostatné úzke pásy šírky Δx (obr. 4.12, a). Potom bude pomer počtu zásahov na danom páse k jeho šírke maximálne blízko stredu terča.

Ryža. 4.12

Vzťah medzi počtom zásahov v danom páse a jeho šírkou má tvar znázornený na obrázku 4.12, b. Tu opäť získame Gaussovu krivku, ako pre rozdelenie f(v x) cez projekcie rýchlosti (pozri obr. 4.9).

Úplne iný výsledok však získate, ak spočítate počet zásahov v rôznych cieľových kruhoch. V tomto prípade bude pomer počtu zásahov do kruhu s polomerom r k jeho šírke graficky charakterizovaný krivkou znázornenou na obrázku 4.12c. Hoci hustota zásahov klesá so vzdialenosťou od stredu cieľa, plochy prstencov sa zväčšujú úmerne k r, čo vedie k posunu maxima krivky od nuly.

Najpravdepodobnejšia rýchlosť molekúl

Poznaním vzorca (4.6.8) pre hustotu pravdepodobnosti modulov rýchlosti molekúl možno nájsť hodnotu rýchlosti zodpovedajúcu maximu tejto hustoty pravdepodobnosti (1). Rýchlosť (nazýva sa to najpravdepodobnejšia) sa ukáže ako rovná

Väčšina molekúl má rýchlosti blízke najpravdepodobnejšej (pozri obr. 4.11).

S rastúcou absolútnou teplotou T sa zvyšuje najpravdepodobnejšia rýchlosť a zároveň sa krivka závislosti Do) stále viac vyhladzuje (obr. 4.13).

Ryža. 4.13

Úloha rýchlych molekúl

Pri akejkoľvek teplote existuje určitý počet molekúl, ktorých rýchlosti, a teda aj kinetické energie, sú výrazne vyššie ako priemer.

Je známe, že mnohí chemické reakcie, napríklad spaľovanie klasických palív (drevo, uhlie a pod.) začína až pri určitom, dostatočnom vysoká teplota. Energia potrebná na spustenie procesu oxidácie paliva, teda spaľovania (nazýva sa to aktivačná energia), je rádovo 10 -19 J. A pri teplote 293 K (izbová teplota) je priemerná kinetická energia tepelného pohybu. molekúl je približne 5 10 -21 J K horeniu teda nedochádza. Avšak iba 2-násobné zvýšenie teploty (až 586 K) spôsobuje vznietenie. Priemerná energia molekúl sa tiež zvyšuje 2 krát, ale počet molekúl, ktorých kinetická energia presahuje 10 -19 J, sa zvyšuje 10 8 krát. Vyplýva to z distribúcie Maxwell. Preto sa pri teplote 293 K pri čítaní knihy cítite pohodlne, no pri teplote 586 K kniha začína horieť.

Odparovanie kvapaliny je tiež určené rýchlymi molekulami v pravom „chvostu“ Maxwellovho rozdelenia. Väzbová energia molekúl vody pri izbovej teplote je výrazne väčšia ako kT. Napriek tomu dochádza k odparovaniu v dôsledku malého počtu rýchlych molekúl, ktorých kinetická energia presahuje kT.

Maxwell objavil nový typ fyzikálny zákon- štatistické - a zistili rozdelenie molekúl podľa rýchlosti. Jasne pochopil význam svojho objavu. V správe pre Cambridge Philosophical Society Maxwell povedal: „Tomu verím najviac dôležité rozvíjať naše metódy myslenia molekulárne teórie majú, pretože nás nútia rozlišovať medzi dvoma metódami poznávania, ktoré môžeme nazvať dynamickými a štatistickými."

(1) Robí sa to podľa pravidiel na nájdenie maxima známej funkcie. Je potrebné vypočítať deriváciu tejto funkcie vzhľadom na rýchlosť a prirovnať ju k nule.

Keď sa zrazia, molekuly plynu zmenia svoju rýchlosť. Rýchlosť molekúl sa mení náhodne. Nie je možné vopred predpovedať, akú číselnú rýchlosť bude mať daná molekula: táto rýchlosť je náhodná.

Distribúcia molekúl cez rýchlostné moduly je opísaná pomocou distribučnej funkcie f(v):

kde pomer sa rovná podielu molekúl, ktorých rýchlosti ležia v rozsahu od v predtým v+dv. dv-šírka intervalu (obr. 2).

Ryža. 2. Interval rýchlosti

Poznanie pohľadu f(v), môžete zistiť počet molekúl Δ N V z týchto molekúl N, ktorých rýchlosti spadajú do rýchlostného intervalu od v predtým v + Δv. Postoj

(14)

udáva pravdepodobnosť, že rýchlosť molekuly bude mať hodnotu v rámci daného intervalu rýchlosti dv.

Funkcia f(v) musí spĺňať podmienku normalizácie, to znamená, že musí byť splnená podmienka:

(15)

Ľavá strana výrazu (17.3) udáva pravdepodobnosť, že molekula má rýchlosť v rozsahu od 0 do ∞. Keďže rýchlosť molekuly má nevyhnutne nejaký význam, uvedená pravdepodobnosť je pravdepodobnosťou určitej udalosti, a preto sa rovná 1.

Distribučnú funkciu teoreticky našiel Maxwell. Vyzerá to takto:

(16)

Kde t 0 - molekulová hmotnosť.

Výraz (16) sa nazýva Funkcia Maxwellovho rozdelenia.

Z (16) vyplýva, že typ distribúcie molekulovej rýchlosti závisí od charakteru plynu (hmotnosti molekuly) a teploty T. Tlak a objem neovplyvňujú distribúciu rýchlosti molekúl.

Obr.3. Graf funkcie Maxwellovho rozdelenia

Schematický graf funkcie Maxwellovho rozdelenia je uvedený na obr. 3. Poďme analyzovať graf.

1. Pri rýchlostiach smerujúcich k nule (v ->0) a do nekonečna (v -> ∞) distribučná funkcia má tiež tendenciu k nule. To znamená, že veľmi veľké a veľmi malé molekulové rýchlosti sú nepravdepodobné.

2. Rýchlosť vB, zodpovedajúca maximu distribučnej funkcie bude najpravdepodobnejšia. To znamená, že väčšina molekúl má rýchlosti blízke pravdepodobnej.

Môžete získať vzorec na výpočet najpravdepodobnejšej rýchlosti:

(17)

kde k — Boltzmannova konštanta; t 0 - molekulová hmotnosť.

3. V súlade s normalizačnou podmienkou (15) oblasť ohraničená krivkou f(v) a os x sa rovná jednej.

4. Distribučná krivka je asymetrická. To znamená, že zlomok molekúl s rýchlosťou vyššou ako najpravdepodobnejšia viac zdieľať molekuly s rýchlosťami menšími ako je najpravdepodobnejšia.

5. Tvar krivky závisí od teploty a charakteru plynu. Na obr. Obrázok 4 zobrazuje distribučnú funkciu pre ten istý plyn, ktorý sa nachádza na rozdielne teploty. Pri zahrievaní maximum krivky klesá a posúva sa doprava, pretože podiel „rýchlych“ molekúl sa zvyšuje a podiel „pomalých“ molekúl klesá. Plocha pod oboma krivkami zostáva konštantná a rovná sa jednote.


Maxwellov zákon distribúcie rýchlosti molekúl a dôsledky z neho vyplývajúce platia len pre plyn v rovnovážnom stave. Maxwellov zákon je štatistický, možno ho aplikovať len na veľké množstvo častíc

Ryža. 4. Maxwellove rozdelenia pri rôznych teplotách

Použitie funkcie Maxwellovho rozdelenia f(v), môžete nájsť množstvo priemerných hodnôt charakterizujúcich stav molekúl.

Aritmetická priemerná rýchlosť - súčet rýchlostí všetkých molekúl delený počtom molekúl:

. (18)

Stredná štvorcová rýchlosť, ktorý určuje priemernú kinetickú energiu molekúl (pozri vzorec (10)), sa podľa definície rovná

<v HF> = (19)

Funkcia rozdelenia hustoty

Maxwellova distribúcia- rozdelenie pravdepodobnosti nachádzajúce sa vo fyzike a chémii. Je základom kinetickej teórie plynov, ktorá vysvetľuje mnohé zo základných vlastností plynov vrátane tlaku a difúzie. Maxwellova distribúcia je použiteľná aj pre procesy elektronického prenosu a iné javy. Maxwellovo rozdelenie platí pre mnohé vlastnosti jednotlivých molekúl v plyne. Zvyčajne sa to považuje za distribúciu energií molekúl v plyne, ale môže sa použiť aj na distribúciu rýchlostí, hybnosti a modulu molekúl. Môže sa tiež vyjadriť ako diskrétne rozdelenie na mnohých diskrétnych energetických úrovniach alebo ako spojité rozdelenie na určité kontinuum energie.

Maxwellovo rozdelenie možno získať pomocou štatistickej mechaniky (pozri pôvod rozdeľovacej funkcie). Ako rozloženie energie zodpovedá najpravdepodobnejšiemu rozdeleniu energie v systéme s prevahou kolízie, ktorý pozostáva z veľká kvantita neinteragujúce častice, v ktorých kvantové efekty sú bezvýznamné. Keďže interakcia medzi molekulami v plyne je zvyčajne dosť malá, Maxwellova distribúcia poskytuje pomerne dobrú aproximáciu situácie existujúcej v plyne.

V mnohých iných prípadoch však podmienka dominancie elastických zrážok nad všetkými ostatnými procesmi nie je ani približne splnená. Platí to napríklad v ionosférickej a kozmickej plazmovej fyzike, kde rekombinácie a kolízne excitačné procesy (t.j. radiačné procesy) majú veľký význam, najmä pre elektróny. Predpoklad použiteľnosti Maxwellovho rozdelenia by v tomto prípade dával nielen kvantitatívne nesprávne výsledky, ale dokonca by bránil správnemu pochopeniu fyziky procesov na úroveň kvality. Tiež v prípade, že kvantová de Broglieho vlnová dĺžka častíc plynu nie je malá v porovnaní so vzdialenosťou medzi časticami, budú pozorované odchýlky od Maxwellovej distribúcie v dôsledku kvantových efektov.

Maxwellovu distribúciu energie možno vyjadriť ako diskrétnu distribúciu energie:

,

kde je počet molekúl, ktoré majú energiu pri teplote systému, je celkový počet molekúl v systéme a je Boltzmannova konštanta. (Všimnite si, že niekedy je vyššie uvedená rovnica napísaná s faktorom označujúcim stupeň degenerácie energetické hladiny. V tomto prípade bude súčet nad všetkými energiami a nie nad všetkými stavmi systému). Keďže rýchlosť súvisí s energiou, rovnicu (1) možno použiť na odvodenie vzťahu medzi teplotou a rýchlosťami molekúl v plyne. Menovateľ v rovnici (1) je známy ako kanonická rozdeľovacia funkcia.

Maxwellova distribúcia

Distribúcia impulzným vektorom

To, čo je uvedené nižšie, sa veľmi líši od odvodenia, ktoré navrhol James Clerk Maxwell a neskôr ho s menším počtom predpokladov opísal Ludwig Boltzmann.

Kedy ideálny plyn, pozostávajúci z neinteragujúcich atómov v základnom stave, všetka energia je vo forme kinetickej energie. Kinetická energia súvisí s hybnosťou častice nasledovne

,

kde je druhá mocnina vektora hybnosti.

Preto môžeme rovnicu (1) prepísať takto:

,

kde je deliaca funkcia zodpovedajúca menovateľovi v rovnici (1), je molekulová hmotnosť plynu, je termodynamická teplota a je Boltzmannova konštanta. Toto rozdelenie je úmerné funkcii hustoty pravdepodobnosti nájdenia molekuly v stave s týmito hodnotami zložiek hybnosti. Takto:

Normalizačná konštanta C, sa určuje z podmienky, podľa ktorej majú molekuly pravdepodobnosť akýkoľvek Vo všeobecnosti by sa impulz mal rovnať jednote. Preto sa integrál rovnice (4) nad všetkými hodnotami musí rovnať jednotke. Dá sa ukázať, že:

.

Aby teda integrál v rovnici (4) mal hodnotu 1, je potrebné, aby

.

Dosadením výrazu (6) do rovnice (4) a využitím skutočnosti, že dostaneme

.

Rozdelenie vektora rýchlosti

Vzhľadom na to, že hustota distribúcie rýchlosti je úmerná hustote distribúcie impulzov:

a pomocou získame:

,

čo je Maxwellovo rozdelenie rýchlosti. Pravdepodobnosť detekcie častice v infinitezimálnom prvku blízko rýchlosti je

Rozdelenie podľa absolútnej hodnoty impulzu

Integráciou môžeme nájsť rozdelenie absolútnej hodnoty hybnosti

Rozvod energie

Nakoniec pomocou vzťahov a získame rozdelenie kinetickej energie:

Rozloženie projektovanej rýchlosti

Maxwellovo rozdelenie pre vektor rýchlosti je súčinom rozdelení pre každý z troch smerov:

,

kde distribúcia v jednom smere:

Toto rozdelenie má tvar normálneho rozdelenia. Ako by sa dalo očakávať pre plyn v pokoji, priemerná rýchlosť v akomkoľvek smere je nulová.

Distribúcia podľa rýchlostného modulu

Zvyčajne je distribúcia podľa absolútnej hodnoty zaujímavejšia, než podľa projekcií molekulárnych rýchlostí. rýchlostný modul, v definovaný ako:

preto modul rýchlosti bude vždy väčší alebo rovný nule. Keďže je všetko normálne rozdelené, bude to mať chí-kvadrát rozdelenie s tromi stupňami voľnosti. Ak je funkcia hustoty pravdepodobnosti pre modul rýchlosti, potom:

,

teda funkcia hustoty pravdepodobnosti pre modul rýchlosti je rovná

Charakteristická rýchlosť

Hoci rovnica (11) udáva distribúciu rýchlosti alebo inými slovami podiel molekúl s konkrétnou rýchlosťou, iné veličiny, ako napríklad priemerné rýchlosti častíc, sú často zaujímavejšie. V nasledujúcich podkapitolách definujeme a získame s najväčšou pravdepodobnosťou rýchlosť, priemerná rýchlosť A RMS rýchlosť.

Najpravdepodobnejšia rýchlosť

s najväčšou pravdepodobnosťou rýchlosť, - pravdepodobnosť držania ktorejkoľvek molekuly systému je maximálna a ktorá zodpovedá maximálnej hodnote . Aby ste to našli, musíte vypočítať, prirovnať ho k nule a vyriešiť:

priemerná rýchlosť

RMS rýchlosť

Nahrádzanie a integrovanie, dostaneme

Odvodenie Maxwellovho rozdelenia

Získajme teraz distribučný vzorec, ako to urobil sám James Clerk Maxwell.
Uvažujme priestor rýchlostných bodov (každú molekulu predstavujeme ako bod v súradnicovom systéme) v stacionárnom stave plynu. Vyberme si nekonečne malý objemový prvok. Keďže plyn je stacionárny, počet rýchlostných bodov zostáva v priebehu času nezmenený. Rýchlostný priestor je izotropný, takže funkcie hustoty pravdepodobnosti pre všetky smery sú rovnaké.

Maxwell predpokladal, že distribúcie rýchlostí pozdĺž smerov sú štatisticky nezávislé, to znamená, že zložka rýchlosti molekuly nezávisí od zložiek.

- v skutočnosti pravdepodobnosť nájdenia rýchlostného bodu v objeme.

Pravá strana nezávisí od a , čo znamená, že ľavá strana nezávisí od a . Sú si však rovní, preto ľavá strana tiež nezávisí od . To znamená, že tento výraz sa môže rovnať iba nejakej konštante.

Teraz musíte urobiť zásadný krok – zadať teplotu. Kinetické stanovenie teploty (ako miera priemernej kinetickej energie pohybu molekúl).

Molekuly akéhokoľvek plynu sú vo večnom chaotickom pohybe. Rýchlosti molekúl môžu nadobúdať rôzne hodnoty. Molekuly sa zrážajú a v dôsledku zrážok sa menia rýchlosti molekúl. V každom danom časovom okamihu je rýchlosť každej jednotlivej molekuly náhodná v rozsahu aj smere.

Ak je však plyn ponechaný sám na seba, potom sú rôzne rýchlosti tepelného pohybu rozdelené medzi molekuly daného množstva plynu pri danej teplote podľa veľmi špecifického zákona, t.j. existuje rozdelenie molekúl podľa rýchlosti.

Zákon distribúcie molekulárnej rýchlosti teoreticky odvodil Maxwell. Je vyjadrený Maxwellov zákon nasledujúci vzorec:

kde je počet molekúl, ktorých rýchlosti ležia v intervale ; – celkový počet molekúl daného množstva plynu; – základ prirodzeného logaritmu; – špecifikovaná hodnota rýchlosti z intervalu; – najpravdepodobnejšia rýchlosť molekúl plynu pri danej teplote.

S najväčšou pravdepodobnosťou rýchlosť sa nazýva rýchlosť blízka, ktorej má najväčší počet molekúl danej hmotnosti plynu. Hodnota závisí od teploty plynu.

Vzorec (10.6) udáva počet molekúl, ktorých rýchlosti ležia v danom rozsahu rýchlostí bez ohľadu na smer rýchlostí.

Ak si položíme špecifickejšiu otázku, konkrétne, aký je počet molekúl v plyne, ktorého zložky rýchlosti ležia v intervale medzi a , a , a ,

alebo , (10.8)

kde je kinetická energia molekuly plynu; - hmotnosť molekuly; – Boltzmannova konštanta; – absolútna teplota plynu. Vzorce (10.7) a (10.8) – tiež Maxwellove distribučné vzorce. Krivka distribúcie rýchlosti molekúl zodpovedajúca distribučnému zákonu (10.6) je znázornená na obr. 10.1. Os x znázorňuje hodnoty rýchlosti, ktoré môže nadobudnúť jednotlivá molekula plynu.

Maximum krivky zodpovedá najpravdepodobnejšej rýchlosti. Krivka je asymetrická vzhľadom na , pretože plyn obsahuje relatívne malý počet molekúl s veľmi vysokou rýchlosťou.

Uvažujme nejaký interval , (obr. 10.1). Ak je malý, potom je plocha tieňovaného pásu blízko k ploche obdĺžnika:

tie. plocha tieňovaného pruhu predstavuje počet molekúl, ktorých rýchlosti ležia v intervale . A plocha pod celou krivkou je úmerná celkovému počtu molekúl danej hmotnosti plynu.

Poďme zistiť, pri akej hodnote bude mať krivka maximum. Nájdeme maximum pomocou zvyčajných pravidiel matematiky, pričom prvú deriváciu prirovnáme k nule:

,

.

Odvtedy .

Ak vezmeme deriváciu, dostaneme, že t.j. maximum krivky zodpovedá najpravdepodobnejšej rýchlosti.

Maxwell teoreticky našiel vzorce, ktoré možno použiť na výpočet aritmetickej priemernej rýchlosti. Vymenujme rýchlosti, ktorými možno charakterizovať tepelný pohyb molekúl plynu.

1. Najpravdepodobnejšia rýchlosť. (10.9)

2. Stredná odmocnina rýchlosť:

; . (10.10)

3. Aritmetická priemerná rýchlosť. (10.11)

Všetky rýchlosti sú priamo úmerné a nepriamo úmerné , kde je hmotnosť mólu plynu.

Na obr. 10.1 je graf I vynesený pre teplotu a graf II je vynesený pre teplotu. Je vidieť, že s rastúcou teplotou sa maximum krivky posúva doprava, pretože So zvyšujúcou sa teplotou sa zvyšuje rýchlosť molekúl. Existuje viac rýchlych molekúl, pravá vetva krivky stúpa, pomalých molekúl je menej, ľavá vetva je strmšia. A celá krivka klesá, pretože plocha pod krivkou musí zostať rovnaká, pretože celkový počet molekúl plynu zostal rovnaký a samozrejme sa nemohol meniť pri zahrievaní plynu.

Maxwellov zákon je štatistický zákon, t.j. zákon, ktorý platí pre veľmi veľký počet molekúl.

Maxwellov zákon navyše neberie do úvahy vonkajší vplyv na plyn, t.j. na plyn nepôsobia žiadne silové polia.

10.4. Ideálny plyn vonkajšie pole.
Barometrický vzorec. Boltzmannovo rozdelenie

Uvažujme vertikálny stĺpec vzduchu na povrchu Zeme (obr. 10.2). Ak je výška stĺpca relatívne malá (nepresahuje niekoľko stoviek metrov), hustota plynu a počet molekúl na jednotku objemu (koncentrácia) budú približne rovnaké. Ak je však výška stĺpca približne kilometer alebo viac, rovnomerné rozloženie molekúl pozdĺž výšky je narušené gravitácia, ktorý má tendenciu koncentrovať molekuly blízko zemského povrchu. V dôsledku toho hustota vzduchu a Atmosférický tlak bude klesať so vzdialenosťou od zemského povrchu.

Určme zákon zmeny tlaku s výškou (nájdeme barometrický vzorec).

Barometrický vzorec ukazuje, ako závisí atmosférický tlak P z výšky h nad povrchom Zeme. Nech je tlak vo výške blízko povrchu Zeme. Tlak je známy. Musíme nájsť zmenu tlaku s výškou.

Pri odvodzovaní predpokladáme, že teplota plynu zostáva konštantná. Vyberme si valcový stĺpec plynu (vzduchu) s prierezom nad povrchom Zeme. Uvažujme vrstvu plynu nekonečne malej hrúbky umiestnenú vo výške od základne stĺpca.

Rozdiel síl pôsobiacich na hornú a spodnú základňu vrstvy sa rovná hmotnosti plynu obsiahnutého v tejto vrstve, t.j.

Infinitezimálna hmotnosť plynu vo vrstve sa vypočíta podľa vzorca

,

kde je objem vrstvy plynu.

Potom, kde je hustota plynu; - gravitačné zrýchlenie.

Tlakový rozdiel na oboch základniach vrstvy:

.

A tiež musíte dať znamienko mínus

pretože znamienko mínus má fyzický význam. Ukazuje, že tlak plynu klesá s nadmorskou výškou. Ak vystúpite do výšky, tlak plynu sa o niečo zníži.

Hustotu plynu nájdeme z Mendelejevovej-Clapeyronovej rovnice.

Nahradením výrazu v (10.12) máme

Toto Diferenciálnej rovnice s oddeliteľnými premennými:

.

Poďme integrovať:

.

Zoberme si barometrický vzorec

Na obr. 10.3 sú znázornené grafy závislosti tlaku na výške pre dve hodnoty teploty T 1 a T 2 (T 2 > T 1). So zmenou teploty plynu, tlaku P 0 pri povrchu Zeme zostáva nezmenená, pretože rovná sa hmotnosti vyššie umiestneného zemského povrchu vertikálny stĺp plynu s jednotkovou základnou plochou a neobmedzenou výškou. Hmotnosť plynu nezávisí od teploty.

Z barometrického vzorca je veľmi ľahké získať Boltzmannovu distribúciu pre prípad, keď vonkajším vplyvom na plyn je gravitačná sila.

Tlak plynu v nadmorskej výške je priamo úmerný počtu molekúl na jednotku objemu v tejto nadmorskej výške, , je koncentrácia molekúl v nadmorskej výške a , – koncentrácia molekúl plynu vo výške .

Buď . (10.14)

Vzorec (10.14) sa nazýva Boltzmannovo rozdelenie pre molekuly v gravitačnom poli.

Na obr. Obrázok 10.4 ukazuje grafy molekulárnych koncentrácií proti výške pre dve hodnoty teploty T 1 a T 2 (T 2 >T 1) v gravitačnom poli. Molekulárna koncentrácia n 0 na povrchu Zeme klesá so zvyšujúcou sa teplotou ( n 0 (T 2) < n 0 (T 1)) v dôsledku prerozdelenia molekúl vo vnútri plynového stĺpca. Molekuly s väčšou kinetickou energiou stúpajú vyššie.

Ak , je potenciálna energia molekuly vo výške , potom

Vzorec (10.15) platí nielen pre prípad, keď sa molekuly pohybujú v gravitačnom poli. Tento vzorec vyjadrujúci Boltzmannovu distribúciu platí pre každé silové pole s potenciálnou funkciou:

Perrinov zážitok (1870 – 1942).
Definícia Avogadroho čísla

Francúzsky fyzik Perrin použil Boltzmannovu distribúciu na experimentálne určenie Avogadrovho čísla.

Mikroskop bol namierený na vrchnú vrstvu emulzie (obr. 10.5), vyrobenej cez mikroskop okamžitá fotografia, spočítali počet Brownových častíc na fotografii. Potom sa trubica mikroskopu znížila o 0,01 mm, znova sa urobili fotografie a spočítal sa počet Brownových častíc na fotografii. Ukázalo sa, že viac Brownových častíc je na dne nádoby, menej na povrchu emulzie a vo všeobecnosti výškové rozloženie Brownových častíc zodpovedá Boltzmannovmu rozdeleniu. Keďže guľôčky žuvačky sú v kvapaline (emulzii), ich potenciálnu energiu, berúc do úvahy Archimedovu vztlakovú silu, možno zapísať , Kde m 0 – hmotnosť lopty, m g – hmotnosť objemu kvapaliny vytlačenej guľou. Potom je možné napísať Boltzmannovu distribúciu .

Ak n 1 a n 2 – namerané koncentrácie častíc vo výškach h 1 a h 2, potom ; , A .

Potom môžeme určiť A .

Veľkosť

kde a sú hustoty materiálu guľôčok a emulzie.

Po experimentálnom stanovení Boltzmannova konštanta k Perrin sa dostal zo závislosti hodnota Avogadroho čísla. Presná hodnota:

(10.17)

Téma 11
PRÁCA, VNÚTORNÁ ENERGIA A TEPLO.
PRVÝ ZÁKON TERMODYNAMIE

Termodynamika je veda, ktorá študuje podmienky transformácie rôzne druhy energie na tepelnú energiu a naopak, ako aj kvantitatívne vzťahy pozorované v tomto prípade. Termodynamika pokrýva širokú škálu javov pozorovaných v prírode a technike. Zvláštny význam má pre vykurovaciu techniku, pretože poskytuje základ pre vývoj vykurovacích a chladiacich strojov. V termodynamike sa toto slovo často používa telo. V termodynamike možno teleso nazvať vzduch, voda, ortuť, akýkoľvek plyn, t.j. akákoľvek látka, ktorá zaberá určitý objem.

Termodynamický systém môže obsahovať niekoľko telies, ale môže pozostávať aj z jedného telesa, veľmi často je toto teleso ideálnym plynom.

Termodynamický systém je akýkoľvek súbor uvažovaných telies, ktoré si môžu vymieňať energiu medzi sebou as inými telesami. Ideálnym plynom môže byť napríklad termodynamický systém.

Stav termodynamického systému charakterizujú termodynamické parametre. Termodynamické parametre sú veličiny charakterizujúce stav systému. Termodynamické parametre zahŕňajú veličiny ako tlak, objem, teplota, hustota látky atď. Parametrami stavu ideálneho plynu sú napríklad tlak P, objem V, teplota T. Rovnica, ktorá dáva do súvisu parametre stavu termodynamického systému, sa nazýva stavová rovnica. Napríklad Mendelejevova-Clapeyronova rovnica: .

Stav termodynamického systému je tzv rovnováha, ak všetky jeho parametre majú určitú hodnotu a nemenia sa v čase za konštantných vonkajších podmienok.

Ak je termodynamický systém vyvedený z rovnováhy a ponechaný sám sebe, vráti sa do pôvodného stavu. Tento proces sa nazýva relaxácia.

V termodynamike sa študujú zákony všetkých možných prechodov systému z jedného stavu do druhého. Prechod systému z jedného štátu do druhého,ktorá je sprevádzaná zmenou aspoň jedného parametra stavu,nazývaný proces. Rovnica, ktorá určuje zmenu parametrov systému pri prechode z jedného stavu do druhého, sa nazýva procesná rovnica.

Termodynamika študuje len termodynamicky rovnovážne stavy telies a pomalé procesy, ktoré sa považujú za rovnovážne stavy, ktoré na seba kontinuálne nadväzujú. Učí sa všeobecné vzory prechod sústav do stavov termodynamickej rovnováhy.

Rovnovážne procesy– procesy, pri ktorých je rýchlosť zmeny termodynamických parametrov nekonečne malá, t.j. zmeny termodynamických parametrov nastávajú v nekonečne dlhom čase. Toto Model, pretože všetky reálne procesy sú nerovnovážne.

Rovnovážny proces je proces, ktorý prechádza sledom rovnovážnych stavov.

Nerovnovážny proces– proces, pri ktorom v konečnom čase nastáva zmena termodynamických parametrov o konečnú hodnotu.

Nerovnovážny proces nie je možné znázorniť graficky.

Termodynamika používa špeciálnu metódu na štúdium javov - termodynamická metóda. Termodynamika skúma, ako prebieha proces.

Termodynamika je založená na dvoch základných zákonoch, ktoré sú zovšeobecnením obrovského faktografického materiálu. Tieto zákony viedli k vzniku celej vedy o termodynamike, a preto dostali názov začiatky.

11.1. Vnútorná energia ideálneho plynu.
Počet stupňov voľnosti

Počet stupňov voľnosti volal najmenšie číslo nezávislé súradnice, ktoré je potrebné zadať na určenie polohy telesa v priestore. – počet stupňov voľnosti.

Uvažujme monatomický plyn. Molekula takéhoto plynu môže byť považovaná za hmotný bod, polohu hmotného bodu (obr. 11.1) v priestore určujú tri súradnice.

Molekula sa môže pohybovať tromi smermi (obr. 11.2).

V dôsledku toho má tri translačné stupne voľnosti.

Molekula je hmotný bod.

Energia rotačného pohybu, pretože moment zotrvačnosti hmotného bodu voči osi prechádzajúcej bodom je nulový

Pre monoatomickú molekulu plynu je počet stupňov voľnosti .

Uvažujme diatomický plyn. V dvojatómovej molekule je každý atóm braný ako hmotný bod a predpokladá sa, že atómy sú navzájom pevne spojené; toto je činkový model dvojatómovej molekuly. Diatomická pevne viazaná molekula(súbor dvoch hmotných bodov spojených nedeformovateľným spojom), Obr. 11.3.

Poloha ťažiska molekuly je určená tromi súradnicami, (obr. 11.4) sú to tri stupne voľnosti, určujú pohyb vpred molekuly. Ale molekula môže tiež vykonávať rotačné pohyby okolo osí a , to sú ďalšie dva stupne voľnosti, ktoré určujú rotácia molekúl. Otáčanie molekuly okolo osi je nemožné, pretože hmotné body sa nemôžu otáčať okolo osi prechádzajúcej týmito bodmi.

Pre dvojatómovú molekulu plynu je počet stupňov voľnosti .

Uvažujme trojatómový plyn. Modelom molekuly sú tri atómy (hmotné body), navzájom pevne spojené (obr. 11.5).

Triatómová molekula je pevne viazaná molekula.

Pre trojatómovú molekulu plynu je počet stupňov voľnosti .

Štatistické rozdelenia

Pri tepelnom pohybe sa polohy častíc, veľkosť a smer ich rýchlostí náhodne menia. Vďaka gigantickému počtu častíc sa náhodný charakter ich pohybu prejavuje v existencii určitých štatistických vzorov v rozložení častíc systému podľa súradníc, hodnôt rýchlosti atď. Takéto rozdelenia sú charakterizované zodpovedajúcimi distribučnými funkciami. Distribučná funkcia (hustota pravdepodobnosti) charakterizuje rozdelenie častíc podľa príslušnej premennej (súradnice, rýchlosti atď.). Klasická štatistika je založená na nasledujúcich princípoch:

Všetky častice klasického systému sú rozlíšiteľné (to znamená, že môžu byť očíslované a každá častica môže byť sledovaná);

Všetky dynamické premenné charakterizujúce stav častice sa neustále menia;

V danom stave môže existovať neobmedzený počet častíc.

V stave tepelnej rovnováhy, bez ohľadu na to, ako sa rýchlosť molekúl počas zrážok mení, stredná kvadratická rýchlosť molekúl v plyne pri T = konštantná zostáva konštantná a rovnaká.


Vysvetľuje to skutočnosť, že v plyne je vytvorený určitý stacionárny stav. štatistické rozdelenie molekuly podľa ich hodnôt rýchlosti, nazývané Maxwellovo rozdelenie. Maxwellovo rozdelenie je opísané nejakou funkciou f(u), nazývaná funkcia distribúcie rýchlosti molekúl.

,

kde N je celkový počet molekúl, dN(u) je počet molekúl, ktorých rýchlosti patria do rozsahu rýchlostí od u do u + du.

Maxwellova funkcia f(u) sa teda rovná pravdepodobnosti, že hodnota rýchlosti náhodne vybranej molekuly patrí do intervalu jednotkovej rýchlosti blízko hodnoty u. Alebo sa rovná podielu molekúl, ktorých rýchlosti patria do intervalu jednotkovej rýchlosti blízkej hodnote u.

Explicitný tvar funkcie f(u) získal teoreticky Maxwell:

.

Graf distribučnej funkcie je znázornený na obr. 12. Z grafu vyplýva, že distribučná funkcia má tendenciu k nule pri u®0 a u®¥ a prechádza maximom pri určitej rýchlosti u B, tzv. s najväčšou pravdepodobnosťou rýchlosť. Najväčší počet molekúl má túto rýchlosť a tie, ktoré sú jej blízke. Krivka je asymetrická vzhľadom na u B. Hodnotu najpravdepodobnejšej rýchlosti zistíme pomocou podmienky pre maximum funkcie f(u).

.

Na obr. Obrázok 13 ukazuje posun uB so zmenou teploty, pričom plocha pod grafom zostáva konštantná a rovná sa 1, čo vyplýva z normalizačné podmienky Maxwellove funkcie

Normalizačná podmienka vyplýva z významu tohto integrálu - určuje pravdepodobnosť, že rýchlosť molekuly bude spadať do rozsahu rýchlostí od 0 do ¥. Ide o spoľahlivú udalosť, ktorej pravdepodobnosť sa podľa definície rovná 1.